第二章拉普拉斯变换第二章拉普拉斯变换

拉普拉斯变换 第二章

Fourier

(1)

[0   ), t  0

可以进行傅里叶变换的函数必须在整个数轴 上有定义，定义于，而不必考虑时

取值的函数不能取傅里叶变换；

共 43 页 /22 2

(2)绝对可积的条件太强。许多简单函数的傅氏 变换或者不存在，或者为非常义下的广义函 数给应用带来很大的不方便。

§1 Laplace 变换的概念

0, 0

( ) ( 0).

, 0

t

t t

e

t

  ^ 

^  

  设指数衰减函数

         

 

   

, 0.

0, ^t .

t

f t t f t u t f t t

e f t dt f t u t e











   





考虑,有=

若存在使

那么的傅氏积分总是存在的。

 

( )

0 0

[ ( ) ( ) ] ( ) ( )

( ) ( )

t t j t

j t st

f t u t e f t u t e e dt

f t e dt s j f t e dt F s

  

 

 

   



    



   



 

F

t f (t)

O

t f (t)u(t)e^t

O

共 43 页 /22 4

 

0

0

1

( ) [0, ) ( ) , ( ) ( )

( ) Laplace

[ ( )] ( )

( ) ( ) Laplace ( ) [ ( )].

( ) ( )

st

st

f t

s j F s f t e dt

f t

f t F s f t e dt

f t F s f t F s

F s f t

 

 





  

 







设是上的实或复值函数，若对参数

在s平面的某一区域 内收敛，则称其为的变换，记为

称为的逆变换，记为

称为象函数，称为象原函数.

L

L

1.

例 1 求单位阶跃函数

^{( ) 0 0}

1 0

u t t

t

 

    的拉氏变换.

[ ( )] u t  

e d

t L

根据拉氏变换的定义 , 有

这个积分在 Re(s)>0 时收敛 , 而且有

0

1 1

e d e

0

st

t

s s

   

  



[ ( )] u t 1 (Re( ) 0). s

 s 

所以 L

共 43 页 /22 6

例 2 求指数函数 f (t)=e ^kt 的拉氏变换 (k 为实数 ) .

( )

0 0

[ ( )] f t  

e e d

t  

e

d t L

( ) ( )

0 0

1 1

e

d t e

s k s k

  

 



 



• 这个积分在 Re(s)>k 时收敛 , 而且 有

其实 k 为复数时上式也成立 , 只是收敛区间为 Re(s)>Re(k)

[e ]

1 (Re( ) s k ).

 s k 

所以 L 

根据拉氏变换的定义 , 有

若函数 f (t) 满足 :

(1) 在 t  0 的任一有限区间上分段连续 ;

(2) 当 t 时 , f (t) 的增长速度不超过某一指数函数 , 即存在常数 M > 0 及 c  0, 使得 |f (t)| M e ^ct, 0 t <

则 f (t) 的拉氏变换

( ) 0 ( )e d^st

F s



f t

t

在半平面 Re(s)>c 上一定存在 , 并且在 Re(s) > c 的半平面内 , F(s) 为解析函数 .

共 43 页 /22 8

2.

M

Me^ct

f (t)

t O

注 1: 大部分常用函数的 Laplace 变换都存在 ( 常义 下 );

§2 Laplace 变换的性质与计算

 

 

 

1 1 2 2 1 1 2 2

1

1 1 2 2 1 1 2 2

1. ( ) ( ) ( 1,2), ( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( )

i i

f t F s i

a f t a f t a F s a F s b F s b F s b f t b f t



 

  

  

线性性：则 L L

L

本讲介绍拉氏变换的几个性质 , 它们在拉氏变换 的实际应用中都是很有用的 . 为方便起见 , 假定在这些 性质中 , 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在 定理中的条件 , 并且把这些函数的增长指数都统一地取 为 c. 在证明性质时不再重述这些条件 .

共 43 页 /22 10

例 3 求 f (t)=sinkt (k 为实数 ) 的拉氏变换

 

0

j j

0

( j ) ( j )

0 0

2 2

[sin ] sin e d

1 (e e )e d 2 j

j e d e d

2

j 1 1

Re( )>0

2 j j

st

kt kt st

s k t s k t

kt kt t

t

t t

k s

s k s k s k

 

  

     



 

  

 

          





 

, （）

L

2 2

[sin ]

k kt

s k

L  同理可得

[ c o s]

s

k t

 s k

L 

共 43 页 /22 12

解

ℒ







例 4 求单位脉冲函数



0_  ( )t e dt^{s t}

 







则，此时 Laplace 变换的定义应为

ℒ



0 0

( )

f t t  t 

如果函数在及的任意一个邻域内有定义

( )

0

[ 

( )] t  s

, (Re( ) s  )

类似可证：

ℒ

( ) n ( ) ( ) t f t dt ( 1) n f ( ) n (0).

   



2.

  ^{ }

  ^{ }

( ) ( ) Re( ) ,

( ) ( ) (0) Re( )

f t F s s c

f t s F s f s c

 

   

则 L

L

   

( ) 1 2 ( 1)

1 1 ( )

0

( ) ( ) (0) (0) (0)

( ) (0) 1,2, Re( )

n n n n n

n n n k k

k

f t s F s s f s f f

s F s s f n s c

  

  



       

 

 





 L

此性质可以使我们有可能将 f (t) 的微分方 程转化为 F(s) 的代数方程 .

特别当 时

，有

 

 

 

f  f     f ^ 

 ⁿ

 

 

f t s F s

  

 

L

例 5 求 的拉氏变换（ m 为正整 数）。^{f t}

 

 

 

 

 

f  f    f ^  f t  m

由由由

     

( ) 1

! ! 1 ! ;

f m t m m m

     s

 

一方面 L L L

 

 

     

 

另一方面； L f ^m L t^m

1

1 1

! ! (Re( ) 0).

m

s m m m s

s s ^

   

 L t ^m   L t ^m  

共 43 页 /22 14

 

1 ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( 1) ( )

n n

n n n

F s t f t

t f t F s



     

   

 

L

L

   

   

1

1

( ) ( ) Re( )

( ) ( ) ( ) ( )

F s tf t s c

tf t F s f t F s

t





   

  

    

  

 

L

L L

象函数的微分性质 :

   

2

2 2 2 2 3

2 6 cos 1 cos ( )

( )

s s k s

t kt kt s

s k s k

 

  

       

     

L 2L

例 6 求

(k

 

f t  t kt

3.

   

0

( ) ( ) Re , ( ) ( )

t

f t F s s c

f t dt F s

s

 

  

 





则 L

L

0 0 0

{ } 1

d d ( ) d ( )

t t t

t t f t t n F s

s n

 





次 L

例 7 求^ft

 



 

0

1 1 1

cos cos

1 1

t s

tdt t

s s s s

    

 





L L

共 43 页 /22 16

象函数积分性质 : 则^L





( ) ( )d .

s

f t F s s t

  

 ^L   



, ( )_n d d ( )d

s s s

n

f t s s F s s

t

  

  

 

 

 



次

由由由由 L

共 43 页 /22 18

[ e

] 1 , (Re( ) s k )

 s k 

ℒ 

2 2

0

[sin ] , (Re( ) )

+

kt k s

 s k 

ℒ

2 2

0

[cos ] , (Re( ) )

+

kt s s

 s k 

ℒ

( )

0

[ 

( )] t  s

, (Re( ) s  ) ℒ

1

0

[ ]

m

! ,( ) (Re( ) )

t m s

s

 为整数 

ℒ

1 1 0

[ ( )] u t [ ] , (Re( ) s )

  s 

ℒ ℒ

   ^{ } 

4. 平移性延迟性：则L ( ) f t ( )  F s ( ) t  0, f t  0 ,

函数 f (t t )

而 f (t

t )

t

个时间

t .

t )

平移

t

.

O t t

f(t) f(tt)

 ^{f t ( }

⁾  ^{ e}

 ^{f t ( )}  ^{ e F s}

^{( )}  ^{Re( ) s  c} 

L L

[ ( )] 1 ,

[ ( )] 1

u t s

u t e

s

t



  已知根据延迟性质 L

L

例 8 求函数

  

 



 t _t ^t t t

t

u ( ) 1 0

1

u(tt)

t _t

O

共 43 页 /22 20

  ^{ }

5. 位移性：则 L f t ( )  F s ( ) Re( ) s  c ,

2 2

2 2

[sin ] ,

[e sin ] ,Re( )>

( )

at

kt k

s k

kt k s a

s a k

 

  

已知由位移性质得 L L

例 9 求

^{f t}   ^{ e}

^{sin kt}

   

  ^{ }

1

( ) Re( )

( )

t

t

e f t F s s c

F s e f t





 





     

 

 

L

L

[1] 1 ,

[e ]

1 ,Re( )>

s

s a s a



 

已知由位移性质得 L L

例 10 求 的拉氏变 换 .

 

f t  e

本次课内容结束 暂时没有作业

共 43 页 /22 22

§3 Laplace 逆变换

前面主要讨论了由已知函数 f (t) 求它的象

即已知象函数 F(s) 求它的象原函数 f (t). 本节就 来

解决这个问题 .

由拉氏变换的概念可知 ,

实际上就是 f (t)u(t)e^t 的傅氏变换 .

 

( )

0 0

[ ( ) ( ) ] ( ) ( )

( ) ( )

t t j t

j t st

f t u t e f t u t e e dt

f t e dt s j f t e dt F s

  

 

 

   



    



   



 

F

因此 , 按傅氏积分公式 , 在 f (t) 的连续点就有

j j

j ( j )

0

j

( ) ( )e

1 ( ) ( )e e d e d 2

1 e d ( )e d

2

1 ( j )e d , 0 2

t

t

t

t

f t u t

f u

f

F t



t t 

   t



t t t 



 t t



  





   

 

   







 

  

 

  

  

 

 



( j )

( ) 1 ( j )e d , 0 2

f t F  

 t



 





等式两边同乘以 e^t

,

共 43 页 /22 24

( j )

j j

( ) 1 ( j )e d , 0 2

j , 1

( ) 1 ( )e d , 0.

2 j

 



 

 

  

  

 





令ds,有

t

st

f t F t

s d j

f t F s s t

 





  



  



计算复变函数的积分通常比较困难 , 但是可以

右端的积分称为拉氏反演积分 .

1

j

j 1

( ) , ,

( Re ) lim ( ) 0, 0 1 ( ) Res ( ) , .

2 j

n

s

st n st

k k

F s s

s F s t

F s e ds F s e s











 

  

  

 







由由由由由由由由由由由由由由由s  由由由由由由由由

R

O 实轴

虚轴

L C_R

+jR

jR

为奇点



解析

共 43 页 /22 26

2

( ) 1 .

( 1) F s  s s

例1 求的逆变换 

0 , 1 ,

s  为一级极点为二级极点 s 

   

2 1

0

1 2

( ) Re ,0 Re ,1

1 d 1

e lim e

( 1) d

1 lim e 1 e

1 ( e e ) 1 e ( 1) ( 0).

st st

st st

s s

st st

s

t t t

f t s F s e s F s e

s s s

t

s s

t t t

 



   

     

 

      

 

    

 

      

2

( ) 1 .

( 1) F s  s s

例2求的逆变换 

2 2

1 1 1 1

( ) ( 1) 1

F s s s s s s

    

 

1

2

( ) 1

( 1)

f t s s



 

     

所以 L

1 e

( 0).

t

t

       

     

     

   

-1 -1 -1

2

1 -1 1

=L L L

s s s+1

共 43 页 /22 28

2. 部分分式方法

§4 卷积

1. 卷积的概念：两个函数的卷积是指

1

( )

( )

( ) (

)d f t f t

f t f t t t

  



如果 f₁(t) 与 f₂(t) 都满足条件 : 当 t<0 时 ,

f

0

1 2 1 2

1 2 1 2

0

1 2

( ) ( ) ( ) ( )d

( ) ( )d ( ) ( )d

( ) ( )d .

t

t t

f t f t f f t

f f t f f t

f f t

t t t

t t t t t t

t t t





  

   

 



 



( )

0 0

0 0 0

0

2

: e e d e e d

1 e

e de e e d

e 1

e e

e 1

e (e 1) 1 (e 1)

t t

at a t at a

t at t t

at a a a

at at a t

at at at

at

t

a a

a t a

a t a

t

a a

t t

t t t

t

t t t t

t t t

 

  

 

 

  

  

       

  

     

  

      

   

 

 

例1

共 43 页 /22 30

卷积定理：

       

1 2

1 1 2 2

( ), ( ) Laplace

[ ] [ ]

f t f t

f t  F f t  F

设满足变换存在定理条件，

且s , L L s ,

       

   





[ ] [ ] [ ] ( ) ( )

[ ( ) ( )] .

f t f t f t f t F s F s

F s F s f t f t



    

  

则

或：

L L L

L

注：卷积公式可用来计算逆变换或卷积 .

例 2 ⁽⁾ ₂₂^{1, 1}





( 1)

Fs Fs ss

 

求L

 

1 1 1

2 2

1 1

1 ( ) sin

F s 1 t t

s s





      

        

解法： L L L

 

1 1 1

2 2

0 0

0 0

0

1 1

2 ( ) sin

1

sin( ) cos( )

cos( ) cos( ) sin( ) sin

t t

t t

t

F s t t

s s

t d d t

t t s ds

t t s t t

t t

t t

t t t t t

t t

  









   

         

   

   

    

 



解法： L L L

共 43 页 /22 32

§5 Laplace 变换的应用

对一个系统进行分析和研究 , 首先要知道该

微分方程的拉氏变换解法

首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代 数方程 , 解代数方程求出象函数 , 再取逆变换 得最后的解 . 如下图所示 .

象原函数

(

解 )

象函数

微分方程 象函数的

代数方程 取拉氏逆变换

取拉氏变换

解代数方程

共 43 页 /22 35

例 1 求解 ^{ yt}_y^₍^()2()3_{0) 0, (}^yt_y^_0)1^{ }_^{y()t et} 。



 

 

2

2

( ) ( ) , Laplace

( ) (0) (0) 2 ( ) (0) 3 ( ) 1

1 ( ) 1 2 ( ) 3 ( ) 1

1 ( ) 2

( 1)( 1)( 3)

Y s y t

s Y s sy y sY s y Y s

s

s Y s sY s Y s

s Y s s

s s s



      



    



 

  

令方程两边取变换， L

( ) 2

( 1)( 1)( 3)

3 1

1

8 8

4

1 1 3

Y s s

s s s

s s s

 

  

 

  

  

1 3 1

( ) 4 8 8

t t t

y t e

e e

    

共 43 页 /22 37

例 2 求解

2 2

() 2() 2() 10 2() () 3() 13 (0) 1, (0) 3

t t

xt xt yt e xt yt yt e x y

   

   

  



   

2 2

( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) 2 ( ) 10

2 2 ( ) ( ) 3 3 ( ) 13

2 ( ) 1

2 ( )

3 ( ) 3 ( ) 2

t

t

X s x t Y s y t

sX s X s Y s

s

X s sY s Y s

s

X s s x t e

y t e Y s s

 

    

 

    

 



 

  

 

   

 

 

 



令， L L

例 3 求解积分方 程

⁰

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( )

y t h t

y t f d

h t f t

t t t

  





其中为定义在[ 0, + )已知函数，

三者的拉普拉斯变换都存在。

[ ( )] y t  Y s ( ), [ ( )] h t  H s ( ), [ ( )] f t  F s ( )

设L L L

解：

0^t

y t ( 

) ( ) = ( )* ( ) f

d y t f t



而

( = ( ) ( ) ( ) Y s H s  Y s F s

对方程两端取拉氏变换，由卷积定理

）

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( = ( )

1 ( )

( ) [ ( ) ] 1 ( ) Y s H s

F s y t H s

F s



 

）

L

3

2

( ) , ( ) sin 2

( ) [ ]

1 1

1

h t t f t t

y t s

s

 



 

若

L

3

3 5

2

2 4

2

2 2

( ) [ ] [ ]

1 1

1 1

12 y t s

s s

s

t t

  

 

 

-1 -1

L L

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全书结束

Laplace 作业 变换作

业