國中數學1 3 2一元一次方程式

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3−2 一元一次方程式

本節課程學習重點: ◎能由具體情境中列出一元一次方程式。 ◎能理解一元一次方程式解的意義。 ◎能以代入法或枚舉法求一元一次方程式的解。 ◎能利用等量公理解一元一次方程式,並作驗算。 ◎能利用移項法則解一元一次方程式,並作驗算。 一、一元一次方程式的列式: ◎一元一次方程式的意義: 含有未知數的等式稱為方程式,一個方程式經過化簡後,只含一種未知數(一元),且未知數的次數 是 1(一次)的等式,稱為一元一次方程式。例如:3x+5=14、y-3=17 等都是一元一次方程式。 【觀念釐清】一元一次方程式須滿足:(1)只含一種未知數、(2)未知數的次數是 1、(3)有等號。 ◎一元一次方程式的列式:依照文字敘述列出適當的一元一次方程式。 文字敘述 一元一次方程式 比 x 大 5 的數是-9 x+5

-9 比 y 小 3 的數是 17 y-3

17 x 的 23 倍是 11 x. 23

11 把 a 分成 3 等分,每一份都等於 7 a 3

7 比 c 的 2 倍多 10 的數是 6 c.2+10

6 -5 是比 x 的 23 倍小 4 的數 -5

x. 23 -4 練習1 :媽媽買了6盒牛奶,每盒都是x元,另外又買了120元的麵包,結帳時總共付了1560元, 則依題意可列出一元一次方程式為何? 練習2 :書萍今年y歲,爸爸今年的年齡比書萍年齡的2倍多5歲,則 (1)爸爸今年 歲。(以y列式) (2)假設爸爸今年35歲,則依題意可列出一元一次方程式為 。 二、解一元一次方程式: ◎方程式的解:依題意列出方程式後,可以用代入法試著找出未知數所代表的值。 能使方程式的等號兩邊相等的數,稱為此方程式的解;而求出方程式中未知數所代表的數的過程, 稱為解方程式。 【說明】例如:將 x=3 代入 3x+5=14 中,可知方程式的等號兩邊相等,所以 x=3 是一元一次方程式 3x+5=14 的解。

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練習3:檢驗看看,-2、8、11 三數中,哪一個是方程式-2x+3=-19 的解? ◎等量公理:在等號的兩邊同加、減、乘、除以一個數(除數不可為0),則等號的兩邊仍會維持相等。 【說明】若a=b,則a+c=b+c,a-c=b-c,a×c=b×c, a cb c(c≠0)。 【觀念釐清】(1)等量加法公理:等號的兩邊分別同加一個正數(或負數),等式仍然成立。 (2)等量減法公理:等號的兩邊分別同減一個正數(或負數),等式仍然成立。 (3)等量乘法公理:等號的兩邊分別同乘以一個正數(或負數),等式仍然成立。 (4)等量除法公理:等號的兩邊分別同除以一個正數(或負數),等式仍然成立。 練習4:解一元一次方程式 x-7=15 並驗算。(Hint:減號移項變成加號) 練習5 :解下列各一元一次方程式。(1) x-5=-5 (2)-4+x=5 練習6:解一元一次方程式 23=x+17。(Hint:加號移項變成減號) 【觀念釐清】習慣上,會將6=x 寫成 x=6。 練習7:解下列各一元一次方程式。(1) -18=x+2 (2) x+13=22 練習8:解一元一次方程式 x7 =-3。(Hint:除號移項變成乘號) 練習9:解下列各一元一次方程式。(1) 9 =5 (2) x -8=-6 (3) x x4 =-2

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練習10:解一元一次方程式 x×3=12。(Hint:乘號移項變成除號) 練習11:解下列各一元一次方程式。(1) 8x=-48 (2)-3x=21 (3)-2x=- 34 ◎移項法則:把某數移到等號的另一邊,且加變減、減變加、乘變除、除變乘的一種解方程式的方法, 稱為移項法則。 【觀念釐清】當等號左、右兩邊都有未知數和數字,可用等量公理(或移項法則)使得含有 x 的數都在 等號左邊,不含 x 的數都在等號右邊。 練習12:解一元一次方程式 4x+5=x+11 並驗算。 練習13:解下列各一元一次方程式。(1) 8x-5=6x-7 (2) 19-6x=-3x+10 練習14:解下列各一元一次方程式。(1)-2(2x-1)=-x+5 (2) 4(x-1)=4-3(x-2) 練習15:解下列各一元一次方程式。(1) 3(-2x-1)=2x+5 (2) 5x-4=-1-(x+3) 練習16:解下列各一元一次方程式。(1) 3[2(1-x)+4x]=8 (2) 8x-3[-2x-(1-x)]=2(x+6)

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練習17:解下列各一元一次方程式。(1)-2[3(x-2)-2x]=4 (2)-13-5[-3x-(4-2x)]=2(x-7) 練習18:解下列各一元一次方程式。(1) 13 x= 76 - 14 x (2) 7x+25 - 4x-53 =1 練習19:解下列各一元一次方程式。(1) 2 - x 13 = 23 -x (2) x-32 = x+53 -2 自我評量 1. 媽媽今年 36 歲,學安今年 x 歲,若三年前,媽媽的年齡是學安的 3 倍,則依題意可列出一元一次 方程式為何? (A) 36=3x (B) 36+3=3x+3 (C) 36-3=3x-3 (D)36-3=3(x-3) 2. 下列有三個形狀不同的積木: 、 、 ,同一個積木的重量都一樣重。當天平維持平衡時, 三個積木的重量關係如圖(1)、圖(2)所示,回答下列問題。 圖(1) 圖(2) 當天平維持平衡時,下列哪一個圖是錯誤的? (A) (B) (C) (D)

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3. 試問 x=-2 是下列哪一個方程式的解? (A) 3x+2=1 (B) 2-x=x (C) x+3=2x-5 (D) 4x-3=2x-7 4. 解下列各一元一次方程式。 (1) 4y-7=5-2y (2) 4(-x+2)=2(3x-1) (3) 12 (3x+6)+ 13 (x-1)= 74 (4) x-7= 3x-142 (5) 3x-12 - 9+x3 =21 (6) 9-[3x-(1+x)]=4(x-5) 習作 1. 以下是一元一次方程式的有 。 (A) x+5=-9 (B) 3x-2 (C) 3 +x 3 =x (D) x x3 =7x+6 (E) 2x+10 (F) 2x=0 2. 依題意列出一元一次方程式。 (1)一打汽水賣 x 元,4 瓶汽水賣 100 元,則依題意可列出一元一次方程式為

(2)兒子的體重是 x 公斤,父親的體重比兒子體重的 2 倍少 3 公斤,已知父親的體重是 72 公斤, 則依題意可列出一元一次方程式為

(3)蕙芝的身高是 x 公分,一條繩子折成等長的 5 段後,每一段都比蕙芝的身高多 24 公分,如果 繩子的長是880 公分,則依題意可列出一元一次方程式為

。 (4)如右圖,長方形的周長是 40 公分,則依題意可列出一元一次方程式為

。 (單位:公分) 2

m

-5

m

+1

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3. (1)下列各數中,哪一個是一元一次方程式 8-3x=-1 的解? (A) x=0 (B) x=-1 (C) x=3 (2)下列各數中,哪一個是一元一次方程式 23 x-5=3 的解? (A) x=12 (B) x=-3 (C) x=163 (3)下列各數中,哪一個是一元一次方程式 3x-2=11 的解? (A) x=3 (B) x=133 (C) x=-3 4. 利用等量公理回答下列問題。 (1)若 6x=15,則 6x+5= ;6x-5= ;60x= ;0.6x= 。 (2)若 5x+2=48,則 5x+3= ;5x-2= ;10x+4= ;5x4 +12 = 。 5. 解下列各一元一次方程式。 (1) x3 +5=-1 (2)-x+7=-4x-5 (3)-2x+2=25+0.3x (4) 5(x+2)=34-3x (5) 3(5-2x)=-(x-2)-4 (6) 2[2(5-2x)+5x]=-(3x-1)+4 (7) x2 -3=-56 +1-x3 (8) 4x-13 +2=3+7x5 6. 已知 x 的一元一次方程式 5(x+2)=2x-2 與 3x+8=nx-6 的解相同,則 n=?

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7. 若|2x-9|=3,則 x 的值是多少? 8. 若3x-24 與 5-7x+43 的值互為相反數,則 x 的值是多少? 類題補充 1. 一長方形的長為 x 公分,寬比長的兩倍少 50 公分,周長為 80 公分,依題意可列出一元一次方程式 為何? 2. 若 3a-2 的倒數為 a-1,則 a 之值為何? 4 3. 方程式 699922 x+123= 821772 x+123 的解為何? 4. 有一個兩位數,其個位數字是 x,且十位數字和個位數字的和為 8;若將此兩位數的十位數字和個位 數字互換,所得的新數比原數小54,請依題意列出一元一次方程式。 5. 若 2x+ 34 =1,則 45 x+1 之值為 。 6. 若 x=-1 為一元一次方程式 3x-12 -x-a3 =5x-16 的解,則 a=?

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7. 有一列車身長為 100 公尺的火車過山洞,測得整列火車從進山洞到完全過完山洞需 30 秒,整列火車 完全在山洞內的時間為20 秒,設山洞長為 x 公尺,請依題意列出一元一次方程式為何? 8. 解一元一次方程式 12 { 13 [ 14 ( 15 x+1)+2]+3}=4,則 x=? 9. 若將一大瓶汽水分裝在相同的杯子裡,已知倒滿 4 杯時,瓶中尚餘 700cc,倒滿 5 杯時,瓶中尚餘 320cc,則 (1)以 x 表示杯子的容量,則依題意可列出 x 的一元一次方程式為何? (2)以 y 表示一大瓶汽水的容量,則依題意可列出 y 的一元一次方程式為何? 10. 解下列各一元一次方程式: (1) 0.8x-4=1.5x+0.2 (2) 0.5= 0.270.3 +0.09x-0.180.9 11. 若方程式 2(x+1)=a-x 與 2(x-2)=a-2x 有相同的解,則 (1) a=? (2)此相同的解為何?

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加強練習 1. 「一數的 4 倍減去 10 等於該數的三分之二」,下列哪個方程式符合題意? (A) 4(x-10)= 2x3 (B) 4x-10= 2x3 (C) 10-4= 2x3 (D) 4(10-x)= 2x3 2. 下列是求解 5(9-x)= x3 -7 的過程,哪一步驟開始發生錯誤? 步驟一:45-5x= x3 -7 ⇒ 45= 163 x-7 步驟二:45+7= 163 x-7+7 ⇒ 52= 163 x 步驟三:52÷ 16 = 3 163 x÷ 16 3 步驟四:x=274 13 (A) 步驟一 (B) 步驟二 (C) 步驟三 (D) 步驟四 3. 下列哪一個一元一次方程式無解? (A) 10x+5(33-x)=290 (B) 4(x-1)=2x-5 (C) 3x+2=3(x-1) (D) 6-2x=2(3-x) 4. 已知一方程式 2y+3= 14 y-5,若將等號兩邊同乘以 4,則下列何者敘述正確? (A) y 的值不受影響 (B) y 的值會放大 4 倍 (C) y 的值會縮小 4 倍 (D) y 的值為正數 5. 下列哪一個方程式的解與 0.2x+3=0.3x-0.5 的解不同? (A) 2x+3=3x-5 (B) 0.2x=0.3x-3.5 (C) 2x+30=3x-5 (D) 2x+35=3x 6. 將方程式 0.7 =12 等號左邊的分母化成整數後,方程式變成下列何式? x (A) 70=12 (B) x x7 =12 (C) 10x7 =12 (D) 10x7 =120 7. 解方程式 32 (3a+2)=2a+3 的步驟如下: 步驟一:3(3a+2)=2×2a+2×3 步驟二:9a+6=4a+6 步驟三:9a=4a 步驟四:9=4 試問:從哪一個步驟開始發生錯誤? (A) 步驟一 (B) 步驟二 (C) 步驟三 (D) 步驟四 8. 如果-1<x<3,則 │x+1│x+1│x+2│ x+2│x-3│ 3-x + │x-4│ x-4 = 。 9. 若 x 的方程式 2(x-2)=a-x 與 x-a=3-x 有相同的解,則 a= 。

10. 已知時鐘上的分針(長針)每分鐘轉動 6°,時針(短針)每小時轉動 30°,且在 12 時 x 分時,兩針成一 直線(夾角為 180°),則依題意可列出下列哪一個方程式?

(A) 60 ×30+180= x 60 ×6 (B) x 60 ×30+180=6x (C) 30x=6x+180 (D) 30x= x 60 ×6+180 x 11. 解下列各一元一次方程式:

(1)若 4{3[3(4x-2)-1]-4}-8=36,則 x=? (2)若 .y+12 - .y+25 = .7y+510 ,則 y=?

12. 已知鉛筆一枝 8 元,鋼珠筆一枝 25 元,阿寶共買了 10 枝筆,結果店員將鉛筆與鋼珠筆數目弄反了,

使阿寶多付了34 元,若設鉛筆為 x 枝,則依題意列出一元一次方程式為何?

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Ans:1.(B);2.(C);3.(C);4.(A);5.(A);6.(C);7.(D);8. 2;9.-1;10.(B);11.(1) x=1,(2) y=-1; 12. 8x+25(10-x)+34=8(10-x)+25x;13.32

43。 心得筆記

數據

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參考文獻