國中數學1 3 2一元一次方程式

3−2 一元一次方程式

本節課程學習重點： ◎能由具體情境中列出一元一次方程式。 ◎能理解一元一次方程式解的意義。 ◎能以代入法或枚舉法求一元一次方程式的解。 ◎能利用等量公理解一元一次方程式，並作驗算。 ◎能利用移項法則解一元一次方程式，並作驗算。 一、一元一次方程式的列式： ◎一元一次方程式的意義： 含有未知數的等式稱為方程式，一個方程式經過化簡後，只含一種未知數(一元)，且未知數的次數 是 1(一次)的等式，稱為一元一次方程式。例如：3x＋5＝14、y－3＝17 等都是一元一次方程式。 【觀念釐清】一元一次方程式須滿足：(1)只含一種未知數、(2)未知數的次數是 1、(3)有等號。 ◎一元一次方程式的列式：依照文字敘述列出適當的一元一次方程式。 文字敘述 一元一次方程式 比 x 大 5 的數是－9 x＋5

＝

－9 比 y 小 3 的數是 17 y－3

＝

17 x 的 2_{3 倍是 11} x． 2₃

＝

11 把 a 分成 3 等分，每一份都等於 7 a 3

＝

7 比 c 的 2 倍多 10 的數是 6 c．2＋10

＝

6 －5 是比 x 的 2_{3 倍小 4 的數} －5

＝

x． 2_{3 －4} 練習1 ：媽媽買了6盒牛奶，每盒都是x元，另外又買了120元的麵包，結帳時總共付了1560元， 則依題意可列出一元一次方程式為何？ 練習2 ：書萍今年y歲，爸爸今年的年齡比書萍年齡的2倍多5歲，則 (1)爸爸今年 歲。(以y列式) (2)假設爸爸今年35歲，則依題意可列出一元一次方程式為 。 二、解一元一次方程式： ◎方程式的解：依題意列出方程式後，可以用代入法試著找出未知數所代表的值。 能使方程式的等號兩邊相等的數，稱為此方程式的解；而求出方程式中未知數所代表的數的過程， 稱為解方程式。 【說明】例如：將 x＝3 代入 3x＋5＝14 中，可知方程式的等號兩邊相等，所以 x＝3 是一元一次方程式 3x＋5＝14 的解。

練習3：檢驗看看，－2、8、11 三數中，哪一個是方程式－2x＋3＝－19 的解？ ◎等量公理：在等號的兩邊同加、減、乘、除以一個數(除數不可為0)，則等號的兩邊仍會維持相等。 【說明】若a＝b，則a＋c＝b＋c，a－c＝b－c，a×c＝b×c， a c＝ b c(c≠0)。 【觀念釐清】(1)等量加法公理：等號的兩邊分別同加一個正數(或負數)，等式仍然成立。 (2)等量減法公理：等號的兩邊分別同減一個正數(或負數)，等式仍然成立。 (3)等量乘法公理：等號的兩邊分別同乘以一個正數(或負數)，等式仍然成立。 (4)等量除法公理：等號的兩邊分別同除以一個正數(或負數)，等式仍然成立。 練習4：解一元一次方程式 x－7＝15 並驗算。(Hint：減號移項變成加號) 練習5 ：解下列各一元一次方程式。(1) x－5＝－5 (2)－4＋x＝5 練習6：解一元一次方程式 23＝x＋17。(Hint：加號移項變成減號) 【觀念釐清】習慣上，會將6＝x 寫成 x＝6。 練習7：解下列各一元一次方程式。(1) －18＝x＋2 (2) x＋13＝22 練習8：解一元一次方程式 x_{7 ＝－3。(Hint：除號移項變成乘號)} 練習9：解下列各一元一次方程式。(1) _{9 ＝5 (2)} x _{－8＝－6 (3)} x x_{4 ＝－2}

練習10：解一元一次方程式 x×3＝12。(Hint：乘號移項變成除號) 練習11：解下列各一元一次方程式。(1) 8x＝－48 (2)－3x＝21 (3)－2x＝－ 3₄ ◎移項法則：把某數移到等號的另一邊，且加變減、減變加、乘變除、除變乘的一種解方程式的方法， 稱為移項法則。 【觀念釐清】當等號左、右兩邊都有未知數和數字，可用等量公理(或移項法則)使得含有 x 的數都在 等號左邊，不含 x 的數都在等號右邊。 練習12：解一元一次方程式 4x＋5＝x＋11 並驗算。 練習13：解下列各一元一次方程式。(1) 8x－5＝6x－7 (2) 19－6x＝－3x＋10 練習14：解下列各一元一次方程式。(1)－2(2x－1)＝－x＋5 (2) 4(x－1)＝4－3(x－2) 練習15：解下列各一元一次方程式。(1) 3(－2x－1)＝2x＋5 (2) 5x－4＝－1－(x＋3) 練習16：解下列各一元一次方程式。(1) 3[2(1－x)＋4x]＝8 (2) 8x－3[－2x－(1－x)]＝2(x＋6)

練習17：解下列各一元一次方程式。(1)－2[3(x－2)－2x]＝4 (2)－13－5[－3x－(4－2x)]＝2(x－7) 練習18：解下列各一元一次方程式。(1) 1_{3 x＝} 7_{6 －} 1_{4 x (2)} 7x＋2_{5 －} 4x－5_{3 ＝1} 練習19：解下列各一元一次方程式。(1) _{2 －} x 1_{3 ＝} 2_{3 －x (2)} x－3_{2 ＝} x＋5_{3 －2} 自我評量 1. 媽媽今年 36 歲，學安今年 x 歲，若三年前，媽媽的年齡是學安的 3 倍，則依題意可列出一元一次 方程式為何？ (A) 36＝3x (B) 36＋3＝3x＋3 (C) 36－3＝3x－3 (D)36－3＝3(x－3) 2. 下列有三個形狀不同的積木： 、 、 ，同一個積木的重量都一樣重。當天平維持平衡時， 三個積木的重量關係如圖(1)、圖(2)所示，回答下列問題。 圖(1) 圖(2) 當天平維持平衡時，下列哪一個圖是錯誤的？ (A) (B) (C) (D)

3. 試問 x＝－2 是下列哪一個方程式的解？ (A) 3x＋2＝1 (B) 2－x＝x (C) x＋3＝2x－5 (D) 4x－3＝2x－7 4. 解下列各一元一次方程式。 (1) 4y－7＝5－2y (2) 4(－x＋2)＝2(3x－1) (3) 1_{2 (3x＋6)＋} 1_{3 (x－1)＝} 7₄ (4) x－7＝ 3x－14₂ (5) 3x－1_{2 －} 9＋x_{3 ＝21} (6) 9－[3x－(1＋x)]＝4(x－5) 習作 1. 以下是一元一次方程式的有 。 (A) x＋5＝－9 (B) 3x－2 (C) _{3 ＋}x _{3 ＝x (D)} x x_{3 ＝7x＋6 (E) 2x＋10 (F) 2x＝0} 2. 依題意列出一元一次方程式。 (1)一打汽水賣 x 元，4 瓶汽水賣 100 元，則依題意可列出一元一次方程式為

。 (2)兒子的體重是 x 公斤，父親的體重比兒子體重的 2 倍少 3 公斤，已知父親的體重是 72 公斤， 則依題意可列出一元一次方程式為

。 (3)蕙芝的身高是 x 公分，一條繩子折成等長的 5 段後，每一段都比蕙芝的身高多 24 公分，如果 繩子的長是880 公分，則依題意可列出一元一次方程式為

。 (4)如右圖，長方形的周長是 40 公分，則依題意可列出一元一次方程式為

。 (單位：公分) 2

m

－5

m

＋1

3. (1)下列各數中，哪一個是一元一次方程式 8－3x＝－1 的解？ (A) x＝0 (B) x＝－1 (C) x＝3 (2)下列各數中，哪一個是一元一次方程式 2_{3 x－5＝3 的解？ (A) x＝12 (B) x＝－3 (C) x＝}16₃ (3)下列各數中，哪一個是一元一次方程式 3x－2＝11 的解？ (A) x＝3 (B) x＝13_{3 (C) x＝－3} 4. 利用等量公理回答下列問題。 (1)若 6x＝15，則 6x＋5＝ ；6x－5＝ ；60x＝ ；0.6x＝ 。 (2)若 5x＋2＝48，則 5x＋3＝ ；5x－2＝ ；10x＋4＝ ；5x_{4 ＋}1_{2 ＝ 。} 5. 解下列各一元一次方程式。 (1) x_{3 ＋5＝－1} (2)－x＋7＝－4x－5 (3)－2x＋2＝25＋0.3x (4) 5(x＋2)＝34－3x (5) 3(5－2x)＝－(x－2)－4 (6) 2[2(5－2x)＋5x]＝－(3x－1)＋4 (7) x_{2 －3＝－}5_{6 ＋}1－x₃ (8) 4x－1_{3 ＋2＝}3＋7x₅ 6. 已知 x 的一元一次方程式 5(x＋2)＝2x－2 與 3x＋8＝nx－6 的解相同，則 n＝？

7. 若｜2x－9｜＝3，則 x 的值是多少？ 8. 若3x－2_{4 與 5－}7x＋4_{3 的值互為相反數，則 x 的值是多少？} 類題補充 1. 一長方形的長為 x 公分，寬比長的兩倍少 50 公分，周長為 80 公分，依題意可列出一元一次方程式 為何？ 2. 若 _{3a－2 的倒數為 a－1，則 a 之值為何？} 4 3. 方程式 699_{922 x＋123＝} 821_{772 x＋123 的解為何？} 4. 有一個兩位數，其個位數字是 x，且十位數字和個位數字的和為 8；若將此兩位數的十位數字和個位 數字互換，所得的新數比原數小54，請依題意列出一元一次方程式。 5. 若 2x＋ 3_{4 ＝1，則} 4_{5 x＋1 之值為 。} 6. 若 x＝－1 為一元一次方程式 3x－1_{2 －}x－a_{3 ＝}5x－1_{6 的解，則 a＝？}

7. 有一列車身長為 100 公尺的火車過山洞，測得整列火車從進山洞到完全過完山洞需 30 秒，整列火車 完全在山洞內的時間為20 秒，設山洞長為 x 公尺，請依題意列出一元一次方程式為何？ 8. 解一元一次方程式 1_{2 {} 1_{3 [} 1_{4 (} 1_{5 x＋1)＋2]＋3}＝4，則 x＝？} 9. 若將一大瓶汽水分裝在相同的杯子裡，已知倒滿 4 杯時，瓶中尚餘 700cc，倒滿 5 杯時，瓶中尚餘 320cc，則 (1)以 x 表示杯子的容量，則依題意可列出 x 的一元一次方程式為何？ (2)以 y 表示一大瓶汽水的容量，則依題意可列出 y 的一元一次方程式為何？ 10. 解下列各一元一次方程式： (1) 0.8x－4＝1.5x＋0.2 (2) 0.5＝ 0.27_{0.3 ＋}0.09x－0.18_0.9 11. 若方程式 2(x＋1)＝a－x 與 2(x－2)＝a－2x 有相同的解，則 (1) a＝？ (2)此相同的解為何？

加強練習 1. 「一數的 4 倍減去 10 等於該數的三分之二」，下列哪個方程式符合題意？ (A) 4(x－10)＝ 2x_{3 (B) 4x－10＝} 2x_{3 (C) 10－4＝} 2x_{3 (D) 4(10－x)＝} 2x₃ 2. 下列是求解 5(9－x)＝ x_{3 －7 的過程，哪一步驟開始發生錯誤？} 步驟一：45－5x＝ x_{3 －7 ⇒ 45＝} 16_{3 x－7} 步驟二：45＋7＝ 16_{3 x－7＋7 ⇒ 52＝} 16_{3 x} 步驟三：52÷ _{16 ＝} 3 16_{3 x÷ 16} 3 步驟四：x＝274 1₃ (A) 步驟一 (B) 步驟二 (C) 步驟三 (D) 步驟四 3. 下列哪一個一元一次方程式無解？ (A) 10x＋5(33－x)＝290 (B) 4(x－1)＝2x－5 (C) 3x＋2＝3(x－1) (D) 6－2x＝2(3－x) 4. 已知一方程式 2y＋3＝ 1_{4 y－5，若將等號兩邊同乘以 4，則下列何者敘述正確？} (A) y 的值不受影響 (B) y 的值會放大 4 倍 (C) y 的值會縮小 4 倍 (D) y 的值為正數 5. 下列哪一個方程式的解與 0.2x＋3＝0.3x－0.5 的解不同？ (A) 2x＋3＝3x－5 (B) 0.2x＝0.3x－3.5 (C) 2x＋30＝3x－5 (D) 2x＋35＝3x 6. 將方程式 _{0.7 ＝12 等號左邊的分母化成整數後，方程式變成下列何式？} x (A) _{70＝12 (B)} x x_{7 ＝12 (C)} 10x_{7 ＝12 (D)} 10x_{7 ＝120} 7. 解方程式 3_{2 (3a＋2)＝2a＋3 的步驟如下：} 步驟一：3(3a＋2)＝2×2a＋2×3 步驟二：9a＋6＝4a＋6 步驟三：9a＝4a 步驟四：9＝4 試問：從哪一個步驟開始發生錯誤？ (A) 步驟一 (B) 步驟二 (C) 步驟三 (D) 步驟四 8. 如果－1＜x＜3，則 │x＋1│_x＋1 ＋│x＋2│ x＋2 ＋ │x－3│ 3－x ＋ │x－4│ x－4 ＝ 。 9. 若 x 的方程式 2(x－2)＝a－x 與 x－a＝3－x 有相同的解，則 a＝ 。

10. 已知時鐘上的分針(長針)每分鐘轉動 6°，時針(短針)每小時轉動 30°，且在 12 時 x 分時，兩針成一 直線(夾角為 180°)，則依題意可列出下列哪一個方程式？

(A) _{60 ×30＋180＝} x _{60 ×6 (B)} x _{60 ×30＋180＝6x (C) 30x＝6x＋180 (D) 30x＝} x _{60 ×6＋180} x 11. 解下列各一元一次方程式：

(1)若 4{3[3(4x－2)－1]－4}－8＝36，則 x＝？ (2)若 .y＋1_{2 －} .y＋2_{5 ＝} .7y＋5_{10 ，則 y＝？}

12. 已知鉛筆一枝 8 元，鋼珠筆一枝 25 元，阿寶共買了 10 枝筆，結果店員將鉛筆與鋼珠筆數目弄反了，

使阿寶多付了34 元，若設鉛筆為 x 枝，則依題意列出一元一次方程式為何？

Ans：1.(B)；2.(C)；3.(C)；4.(A)；5.(A)；6.(C)；7.(D)；8. 2；9.－1；10.(B)；11.(1) x＝1，(2) y＝－1； 12. 8x＋25(10－x)＋34＝8(10－x)＋25x；13.32

43。 心得筆記