第一章:相似形 第三節:相似三角形的應用 一、選擇
1. ( )如圖,小龍想知道樹高 AB ,他在離樹根 6 公尺的 D 點直立了一根標竿 CD ,並在 BD 的 延長線上找到一點 E,使得 A、C、E 三點恰好成一直線。已知 CD =1 公尺, DE =1.5 公尺,則樹高 AB 是多少公尺?
(A)8 (B)6 (C)5 (D)4
2. ( )如圖,直角坐標平面上,A(-3 , -1)、B(2 , 5),若 M(a , b)為¯ AB 的中點,則 a+b=?
(A)2 (B)1 (C) 3 2 (D) 2 3
3. ( )任意四邊形的四邊中點 A、B、C、D,若依次連接¯ AB、¯ BC、¯ CD 、¯ DA,則四邊形 ABCD 必為何種形狀?
(A)平行四邊形 (B)矩形 (C)菱形 (D)箏形 4. ( )關於四邊形的各邊中點連線,下列敘述何者錯誤?
(A)依序連接正方形各邊中點,可得到一個正方形 (B)依序連接平行四邊形各邊中點,可得到一個正方形 (C)依序連接長方形各邊中點,可得到一個菱形
(D)依序連接菱形各邊中點,可得到長方形
5. ( )如圖,小軒站在高 36 公尺的大樓頂樓,在陽光的照射下,大樓的影長為 24 公尺,已知 小軒的身高是 1.8 公尺,那麼同一時間小軒的影長是多少公尺?
(A)1.8 (B)1.5 (C)1.4 (D)1.2
6. ( )如圖,菱形 ABCD 的對角線¯ BD 長為 6,面積為 24,則四邊中點所形成的新四邊形 PQRS 的周長為多少?
(A)13 (B)14 (C)15 (D)16
7. ( )△ABC~△A'B'C',¯ AH和 A'H'是它們的對應高,若¯ ¯ BC=3, B'C'=4,則¯ ¯ AH: A'H'=?¯
(A)3:4 (B)9:16 (C)7:4 (D)3:7
8. ( )如圖,四邊形 ABCD 中,E、F、G、H 分別為¯ AD、¯ AB、¯ BC、¯ CD 的中點,則連接 E、F、
G、H 四點所形成的四邊形必為何種四邊形?
(A)長方形 (B)菱形 (C)正方形 (D)平行四邊形
9. ( )如圖,△ABC 的兩中線¯ BD、¯ CE相交於 O,連接¯ DE,則△BOC 面積:△DOE 面積=?
(A)5:1 (B)4:1 (C)3:1 (D)2:1
10. ( )以下哪一種四邊形,取各邊中點後依次相連,必可得長方形?
(A)梯形 (B)平行四邊形 (C)長方形 (D)菱形
11. ( )如圖,四邊形 ABCD 中,¯ AC =6 公分,¯ BD =9 公分,P、Q、R、S 分別為¯ AB、¯ BC、¯ CD 、
¯ AD 的中點,則¯ PQ+¯ QR +¯ RS +¯ PS 為多少公分?
(A)30 (B)22 (C)18 (D)15
12. ( )如圖,四邊形 ABCD 中,其對角線¯ AC =16 公分、¯ BD =8 公分,且 E、F、G、H 分別為
¯ AD 、¯ AB 、¯ BC 、 CD 的中點,則此四邊形 EFGH 的周長為多少公分?
(A)12 (B)18 (C)24 (D)26
13. ( )將下列哪一個四邊形的四邊中點依序連接,一定可以形成一個菱形?
(A)菱形 (B)平行四邊形 (C)梯形 (D)長方形
14. ( )某一殘障人士專用的斜坡道長 50 公尺、高 3 公尺,某日阿珍從地面沿者斜坡往上走了 20 公尺後,停下來休息,則此時她離地面的高度為多少公尺?
(A)1.2 (B)1.4 (C)1.8 (D)2
15. ( )兩個相似三角形的面積比為 1:2,則對應邊的比為多少?
(A)1:2 (B)1:4 (C)1:1 (D)1: 2
16. ( )將一個頂角為 20 度的等腰三角形影印縮放成 2 倍後,可得一新的等腰三角形,下列關於 此一新等腰三角形的敘述,何者錯誤?
(A)原等腰三角形的周長是新等腰三角形周長的一半 (B)新等腰三角形的面積是原等腰三角形面積的 4 倍 (C)新等腰三角形的一底角為 80 度
(D)新等腰三角形的一頂角為 40 度
17. ( )已知一電線杆高 3.6 公尺,影長 2.4 公尺,試求在同一時間、同一地點 30 公尺的高樓,
其影長為多少公尺?
(A)18 (B)20 (C)21 (D)24
18. ( )如圖,在箏形 ABCD 中,E、F、G、H 分別為各邊中點,將此四點依序連接起來,得到 四邊形 EFGH,若兩對角線¯ AC =12 公分、¯ BD =10 公分,則四邊形 EFGH 的周長是多少 公分?
(A)10 (B)11 (C)22 (D)44
19. ( )如圖,箏形 ABCD 中,E、F、G、H 分別為各邊中點,若將其各邊中點依序連接起來,
得到四邊形 EFGH,則四邊形 EFGH 是哪一種圖形?
(A)菱形 (B)正方形 (C)箏形 (D)長方形
20. ( )如圖,小如的身高是 150 公分,在太陽下測得她的影長是 100 公分,又在同一時間測得 一棵大樹的影長為 2.5 公尺,請問大樹的高度是幾公尺?
(A)375 (B)300 (C)3.75 (D)3
21. ( )如圖,小凌想測量樹高¯ DE,已知∠1=∠2,¯ AB =1.6 公尺、¯ BC =2 公尺、¯ CE =6 公尺,
則樹高¯ DE 是多少公尺?
(A)3.2 (B)6 (C)4 (D)4.8
22. ( )如圖,小玲設計了兩個三角形來測量河寬¯ CE,已知¯ AB //¯ DE,¯ AB =25 公尺,¯ DE =10 公 尺,¯ BE =15 公尺,則河寬¯ CE 是多少公尺?
(A)25 (B)15 (C)10 (D)30
23. ( )如圖,小軒想知道大樓的高度,他先在大樓的西方 120 公尺的 C 點平放一面鏡子,再向
西方後退到離鏡子 3 公尺的 B 點,透過光的反射看到了大樓樓頂 E 點。根據光的反射定 律知道∠1=∠2,若小軒眼睛到腳的高度 AB 為 1.5 公尺,則大樓高 DE 是多少公尺?
(A)60 (B)70 (C)80 (D)90
24. ( )一群海盜在無名島上藏了三批珠寶,先在島上 A 地藏第一批珠寶,然後向東走 x 公里,
再向南走 5 公里 B 地藏第二批珠寶,再循原路回到 A 地後,向西走 6 公里,再向北走 10 公里到 C 地藏第三批珠寶,如果 A、B、C 三地恰好在一條直線上,則 x=?
(A)3 (B)6 (C) 25
3 (D)12
25. ( )連接任意等腰梯形的中點會形成下列哪一種四邊形?
(A)正方形 (B)長方形 (C)菱形 (D)平行四邊形
26. ( )如圖,△ABC 中,∠C=90°,D、E 分別為¯ AC、¯ AB 的中點,若¯ AB =20,¯ AC =16,則¯ DE
=?
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
27. ( )如圖,在△ABC 中,若 D、E 分別為¯ AB 、¯ AC 中點,△ABC 的周長是 18,則△ADE 的周 長是多少?
(A)18 (B)12 (C)9 (D)6
28. ( )如圖,四邊形 ABCD 中,¯ AC ⊥¯ BD 且¯ AC =10,¯ BD =16,P、Q、R、S 分別為¯ AB 、¯ BC 、
¯ CD 、¯ AD 的中點,則四邊形 PQRS 的面積多少?
(A)5 (B)10 (C)20 (D)40
29. ( )小軒在野外一棵樹下拍照,同一照片中小軒高 2 公分,樹高 9 公分,若小軒實際身高 160 公分,則樹的實際高度約多少公尺?
(A)7.2 (B)4.8 (C)6.4 (D)5.2
30. ( )如圖,地上的投射燈將小蛋的影子,投射至小蛋後方 6 公尺的牆上,已知小蛋的影子高 3.6 公尺,投射燈距離小蛋 2 公尺處,請問小蛋的身高是多少公尺?
(A)0.9 (B)1.2 (C)1.6 (D)1.8
31. ( )如圖,有一支夾子,¯ AC=3¯ BC,¯ DE=3¯ BE。如果在夾子前面有一長條的硬物¯ PQ長 6 公 分,想用 A、D 夾住 P、Q 兩點,那麼手握的地方¯ CE要張開多少公分才能夾住¯ PQ?
(A)1 (B)2 (C)2.5 (D)3
32. ( )地上置有一燈,照著一道高牆,若有一人身高 1.5 公尺,自光源處向牆壁走近 3 公尺時,
牆上的人影恰好也是 3 公尺,則此人再向前走 1 公尺時,牆上的人影應為多少公尺?
(A)2.25 (B)2.5 (C)2.75 (D)3
33. ( )△ABC 中,D、E、F 分別為¯ BC 、¯ AC 、¯ AB 中點,連接¯ DE 、¯ EF 、¯ DF ,若△DEF 周長 10,則△ABC 周長=?
(A)10 (B)15 (C)20 (D)25
34. ( )若將太陽光視為平行光,作為測量的依據,如圖,已知軒軒的身高是 165 公分,在太陽 下測得她的影長是 3 公尺,同時間測得榕樹的影長是 14 公尺,請問榕樹的高度大約是多 少公尺?
(A)6 (B)6.6 (C)7 (D)7.7
35. ( )如圖,△ABC 中,D、E、F 分別為¯ AB 、¯ AC 、¯ BC 的中點,若∠1=∠2=65°,則∠A+
∠C=?
(A)65° (B)95° (C)115° (D)125°
36. ( )一旗杆高 6 公尺,中午過後不久,影長為 4 公尺。若同一時間,旗杆上方插了一面旗子,
旗子高出旗杆頂 50 公分,如圖所示,則旗子的影長為多少公尺?
(A)1 (B) 2
3 (C) 1
2 (D) 1 3
37. ( )將一個三角形的三個邊長各放大為 2 倍可形成一個新的三角形。有關這兩個三角形的敘 述,下列哪一個是錯誤的?ˉ【94.基測題本】
(A)新三角形與原三角形相似
(B)新三角形的面積為原三角形的 4 倍 (C)新三角形的周長為原三角形周長的 2 倍
(D)新三角形的每個內角均為原三角形內角之 2 倍
38. ( )如圖,地圖上一條筆直的鐵路行經 A、B 兩地,若 A 地坐標為(4 , 1)、B 地坐標為(0 , 4),
今欲從 C 地(-5 , 1)作一條連接至鐵路的快速道路,則此快速道路最短的距離是多少?
(A) 25
3 (B) 25
4 (C) 27
5 (D) 27 6
39. ( )如圖,有 A 村與一條直線型的公路,今以 A 村為基準點,向北走 4 公里可到達公路。若 由 A 村向東走 6 公里,再向北走 6 公里了可到達公路,則由 A 村向西走多少公里可到達 公路?[93.基本學測(一)]
(A)4 (B)6 (C)9 (D)12
40. ( )小明走在紅磚路上,發現一根柱子與路面垂直豎立著,上面標示著「高 3 公尺」,他想 要知道自己的身高和柱子差多少,於是測量柱子的影長為 4 塊紅磚的長度,自己的影長 恰為 2 塊紅磚的長度,則小明的身高和柱高相差多少公尺?
(A)0.5 (B)1 (C)1.5 (D)2
41. ( )如圖,面積為 600 平方公分的四邊形 ABCD 中,¯ AB =¯ AD,¯ BC =¯ CD ,若¯ BD:¯ AC =3:
4,則其四邊中點所形成的四邊形 PQRS 的周長為多少公分?
(A)65 (B)70 (C)75 (D)80
42. ( )英傑想要測量一棟建築物的高度,他在建築物旁立著一根 100 公分高的竹竿,如圖,當 時測量得竹竿的影長為 50 公分及建築物的影長為 10 公尺, 則建築物的高度是多少公尺?
(A)16 (B)18 (C)20 (D)22
公分處(C 點)時,則投射在牆上的影子 DE 長多少公分?
(A)60 (B)55 (C) 128
5 (D) 80 3
44. ( )如圖,△ABC 中,D、E 分別為¯ AB 、¯ AC 中點,則下列敘述何者錯誤?
(A)四邊形 DECB 為梯形 (B)∠DEC+∠ECB=180°
(C)¯ BC =2¯ DE (D)¯ DB =¯ EC
45. ( )如圖,明章想利用相似三角形的原理來測量大樹的高¯ AB ,已知¯ AB //¯ DE //¯ FG ,¯ DE =¯ FG
=1.6 公尺,¯ EG =10 公尺,¯ EH =2 公尺,¯ GC =3 公尺,則¯ AB +¯ BE 為多少公尺?
(A)36.5 (B)37.2 (C)37.6 (D)38.4
46. ( )如圖,美琪利用三角形的相似性質來測量河流的寬度,已知她測得 AB =10 公尺,CD = 4 公尺, AC =15.6 公尺,則河寬 DE 為多少公尺?
(A)8.6 (B)9.2 (C)9.6 (D)10.8
47. ( )如圖,梯形 ABCD 的高為 15 公分,¯ EF =5 公分、¯ GH =7 公分,且¯ AD //¯ EF //¯ GH //¯ BC,E、
G 三等分¯ AB ,F、H 三等分¯ CD ,試求此梯形 ABCD 的面積為多少平方公分?
(A)150 (B)120 (C)90 (D)60
48. ( )一個斜坡長 70 公尺,它的高為 5 公尺,把重物從斜坡起點推到斜坡上 20 公尺處停下來,
則停下來的地點高度為多少公尺?
(A)1 4
7 (B)1 3
7 (C)1 2
7 (D)1 1 2
49. ( ) 浩浩想利用鏡子(放在 C 點處)來測量樹的高度, 如圖所示, 若浩浩的眼睛至腳的高度(即 AB 長)為 160 公分, BC =2 公尺, CD =8 公尺,且∠1=∠2,則樹高 ED 為多少公尺?
(A)6.4 (B)6 (C)5 (D)48
50. ( )如圖,D、F、H 分別是¯ AB 、¯ AD 、¯ AF 的中點,E、G、I 分別為¯ AC 、¯ AE 、¯ AG 的中點,
若¯ DE =16,則¯ HI +¯ FG +¯ BC =?
(A)44 (B)30 (C)28 (D)20
51. ( )菱形的一對角線長 8 公分,面積為 56 平方公分,則其四邊中點連線所形成之四邊形的周 長為多少公分?
(A)15 (B)20 (C)22 (D)23
52. ( )如圖,菱形 ABCD 中,P、Q、R、S 分別為¯ AB、¯ BC、¯ CD、¯ DA 的中點,若∠B=60°, AB
=12,則四邊形 PQRS 的面積=?
(A)18 (B)36 (C)36 3 (D)72 3
53. ( )如圖,有一長 4 公尺的旗杆在陽光的照射下,影長為 5 公尺,若方平從杆底往杆影的方 向走了 3 公尺後,發現他影子的前端與杆影的端點恰好重合,則方平的身高為多少公分?
(A)158 (B)160 (C)162 (D)164
54. ( )如圖,有一把夾子, AE =3 DE , BE =3 CE ,若一長條硬物PQ長 15 公分,今想用 A、
B 夾住 P、Q 兩點,那麼手握的地方須張開(即 CD 長)多少公分?
(A)3 (B)5 (C)8 (D)10
55. ( )地上放置一盞燈,照著一道高牆,若志涵身高 150 公分,當志涵距離光源處 3 公尺時,
其牆上的人影高恰好也是 3 公尺,如圖所示,則燈和牆的距離為多少公尺?
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
56. ( )如圖,在坐標平面上,自 A 點(-4 , 3)出發,沿¯ AO、¯ OB前進與直線 x=12 交於 B 點,若
∠1=∠2,則 B 點坐標為何?
(A)(12 , 9) (B)(12 , 10) (C)(12 , 16) (D)(16 , 12)
57. ( )如圖,甲、乙、丙三村落分別在兩條互相垂直的公路上,另一條鐵路通過甲、乙兩村,
今想要從丙村建築一條最短的便道(即圖中的虛線)通往鐵路,若甲、丙兩村相距 9 公里,
甲、乙兩村相距 5 公里,且乙村距離兩公路交叉路口 3 公里,則此條便道的長度為多少 公里?
(A)5 (B)5.2 (C)5.4 (D)5.6
58. ( )如圖,梯形 ABCD 中,¯ AD //¯ BC ,E、F 分別為¯ BD 、¯ AC 的中點,若¯ EF =5,且梯形的兩 腰中點連線段長為 12,則¯ BC =?
(A)15 (B)16 (C)17 (D)18
59. ( )如圖,△ABC 中,¯ FG //¯ DE //¯ BC,且 D、E 為¯ AB、¯ AC 的中點,F、G 為¯ AD、¯ AE 的中點,
則 ¯ FG
¯ DE + ¯ FG
¯ BC =?
(A) 1
2 (B) 2 3 (C) 3 4 (D)1
60. ( )如圖,E、F、G、H 為矩形 ABCD 四邊的中點,且 M、N、O、P 為四邊形 EFGH 的中點,
若¯ AB <¯ BC ,則下列敘述正確的有幾個?
甲:四邊形 ABCD~四邊形 EFGH 乙:四邊形 ABCD~四邊形 MNOP
丙:四邊形 MNOP 面積是四邊形 ABCD 面積的 1 4 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
61. ( )某天朝會時,蔡老師、康康、軒軒、小育剛好成一縱隊,且間距相同,假設此時太陽光 正好從蔡老師的背後照過來,使得康康、軒軒、小育剛好被遮住(即陽光通過四人的頭頂,
如圖)。已知小育、軒軒的身高分別為 153 公分、158 公分,請問蔡老師的身高為多少公 分?
(A)172 (B)168 (C)164 (D)160
62. ( )如圖,△ABC 中,P 為¯ AB 中點,且¯ BQ =¯ QR =¯ RC ,¯ RS =3,若△CPQ 的周長是 22,則
¯ PS +¯ BQ =?
(A)4 (B)6 (C)8 (D)10
63. ( )△ABC 中,若 D 為¯ AB 的中點,¯ DE //¯ BC 交¯ AC 於 E,則下列敘述何者錯誤?
(A)E 為¯ AC 的中點 (B)¯ DE = 1 2 ¯ BC
(C)△ABC 面積為△ADE 面積的 2 倍 (D)△ABC 周長為△ADE 周長的 2 倍
64. ( )如圖,ABCD 為一長方形,¯ AB =8、¯ AD =¯ AE =6。
(1)將¯ AD 向¯ AE 方向摺過去,使得¯ AD 與¯ AE 重合,出現摺線¯ AF ,如圖。
(2)將△AFD 以¯ DF 為摺線向右摺過去,如圖。
求△CFG 的面積是多少?【91.基本學測二】
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
65. ( )△ABC 中,¯ DE//¯ FG//¯ BC,若¯ AD=2,¯ DF=4,¯ FB=6,且△ADE 面積=3,則△AFG 的 面積為多少?
(A)21 (B)24 (C)\27 (D)30
66. ( )如圖,高( AB )1.2 公尺的 B 點處有一平面鏡,平面鏡與牆的距離 AC =2d 公尺,鏡前 d
(A)2.4 (B)3.6 (C)4.8 (D)3d
67. ( )如圖,¯ AB 、¯ CD 垂直 x 軸,A 點坐標為(-4,8),且¯ OC =3。若 A、O、D 三點在同一條直 線上,D 點的坐標為(a,b),則 a+b=?
(A)10 (B)9 (C)-4 (D)-3
68. ( ) 河流對岸互相平行如圖,阿亮設計了兩個直角三角形來測量河寬¯ AB,若¯ EF =15 公尺,¯ AC
=24 公尺,¯ CF =10 公尺,則河寬¯ AB 為多少公尺?
(A)28 (B)36 (C)48 (D)72
69. ( )如圖,L1 與 L2 是兩條距離為 4 的平行線,若¯ DE=4,¯ BC=12,則△ADE 的面積為多少?
(A)12 (B)8 (C)6 (D)4
70. ( )如圖,平行四邊形 ABCD 中,∠B=135°,¯ AB =8,¯ AD =12,P、Q、R、S 分別為其四 邊中點,則四邊形 PQRS 的面積=?
(A)6 2 (B)12 2 (C)24 2 (D)48 2
71. ( )如圖,小萍想測量樹高,她先在樹的前面 5 公尺處平放一面鏡子,再由距離鏡子前 3 公 尺處向鏡子看去,透過光的反射看到了樹梢,已知小萍身高 165 公分,則樹高為多少公 尺?
(A)2.25 (B)2.55 (C)2.75 (D)2.85
72. ( )如圖,已知 AD 、 DE 長,若要測量 BC 的長度,則還需要下列哪些條件才足夠?
(A) AE 與 EC 長 (B) DE + AB 與 AB 長 (C) BD 與 AC 長 (D) DE // BC 與 BD 長
73. ( )如圖,A、B 是湖泊岸邊的兩點,志中欲測量 AB 的長度,首先他設計了兩個直角三角形 ABE 與 ACD,並測得 BE =5 公尺, BC =12 公尺, CD =10 公尺,則 AB 為多少公尺?
(A)12 (B)16 (C)20 (D)24
74. ( )如圖,已知¯ OA:OA'=¯ ¯ OB:OB'=¯ ¯ OC: OC'=1:2,則△ABC 面積:△A'B'C'面積=? ¯ (A)1:2 (B)1:3 (C)1:4 (D)2:3
75. ( )如圖,阿如設計了兩個梯形 ACDB 和 CEFD 來測量河寬(即¯ EF 長),已知¯ AB //¯ CD //¯ EF , 若¯ AB =20 公尺,¯ CD =30 公尺,¯ AC :¯ CE =2:3,則¯ EF 長多少公尺?
(A)40 (B)45 (C)50 (D)60
76. ( )如圖,長方形 ABCD 中,¯ AB=6,¯ AD=12,E 為¯ AD中點,則四邊形 CDEF 的面積是多少?
(A)24 (B)27 (C)30 (D)33
77. ( )如圖,在△ABC 中,已知 D 為¯ AC 中點,F 為¯ BD 中點,¯ DG //¯ AE,若¯ BC =18,則¯ EG =?
(A)2 (B)3 (C)6 (D)9
78. ( )如圖,△ABC 中,∠1=∠2,¯ AF = 1 2 ¯ AC ,若△AEF 周長 26,則△ABC 周長=?
(A)48 (B)52 (C)60 (D)72
79. ( )將一個三角形的三邊長度各縮小為 1
2 ,可形成一個新的三角形。以下有關這兩個三角形 的敘述,何者錯誤?
(A)兩三角形相似
(B)原三角形面積是新三角形面積的 4 倍 (C)原三角形周長是新三角形周長的 2 倍
(D)原三角形的每個內角是新三角形每個內角的 2 倍
80. ( )如圖,翊寧設計了兩個三角形△ABD 與△ACE 來測量湖的最大寬度¯ CE ,若量得 AB =20 公尺, BC =240 公尺與 BD =30 公尺,且 BD // CE ,則 CE 為多少公尺?
(A)270 (B)300 (C)360 (D)390
81. ( )小軒沿著一棵樹的影子 BE 走到 D 點,此時,小軒的頭、樹的頂端 A 與樹影的末端好在 同一直線上。若測量得小軒身高 CD =2 公尺,小軒到樹的距離 BD =8 公尺,小軒到樹 影末端 E 的距離 DE =4 公尺,則樹高 AB 為多少公尺?
(A)12 (B)10 (C)8 (D)6
82. ( )如圖,阿志想測量樹高¯ CD ,他站在距離樹 30 公尺的 E 點,將手臂水平伸直,並把一支 直尺¯ AB 豎在眼睛前方,已知阿志的眼晴 O 點,與直尺上的 A 點及樹的頂端 D 點同在一 直線上,且 O 點與直尺上的 B 點及樹的底部 C 點也在同一直線上。若¯ AB =10 公分,¯ CE
=30 公尺,阿志的手臂長 50 公分,則樹高是多少公尺?
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
83. ( )智智想知道學校唯一一棵桐花樹的高度,他先在樹的西方 5.5 公尺處放一面鏡子,再由鏡 子西方後退 2 公尺處,透過光的反射看到了樹梢(頂)。由光的反射定理知道∠1=∠2,而 智智眼睛到腳的高度約 1.6 公尺,求桐花樹的高度是多少公尺?
(A)4 (B)4.4 (C)4.8 (D)5.2
84. ( )如圖,小樺想知道樹的高度,她在樹根前方 3 公尺處直立一根長 1.8 公尺的竹竿¯ CD ,並 在直線 BD 上找到一點 E,使得 A、C、E 三點共線,已知¯ DE =1.5 公尺,求樹高是多少 公尺?
(A)5.2 (B)5.4 (C)5.6 (D)5.8
85. ( )一根竹竿長 5 公尺,在陽光的照射下,影子長 4 公尺。今在同一時間下,於竹竿頂插一 枝旗子,如果旗子超出竹竿頭 1 公尺,那麼竿頂的旗子在陽光的照射下,其影長為多少 公尺?
(A)0.5 (B)0.6 (C)0.7 (D)0.8
86. ( )如圖,在廣大的田野中,有一農舍高 h 公尺,今測得農舍在地面的影長¯ AB 為 10 公尺,
而旁邊一棵高 1.5 公尺的小樹其影長為 2 公尺,則 h 為多少公尺?
(A)9 (B)8.5 (C)8 (D)7.5
87. ( )如圖,箏形 ABCD 中,對角線長¯ AC =12,¯ BD =8,將其四邊中點相連成四邊形 PQRS,
則四邊形 PQRS 的面積為何?
(A)12 (B)24 (C)48 (D)96
88. ( ) 如圖,小軒設計△ABD 及△ACE 來測量河寬 AB,若測量得 BC =28 公尺,BD =24 公尺,
CE =40 公尺,則河寬 AB 為多少公尺?
(A)32 (B)36 (C)38 (D)42
89. ( )冠源想利用太陽光照射來測量旗杆的高度,如圖所示,經測量後得冠源身高 150 公分,
影長 200 公分,而¯ BC 長 400 公分,則旗杆長¯ CD 為多少公分?
(A)300 (B)400 (C)450 (D)480
90. ( ) 如圖,P、Q 是湖泊岸邊的兩點,欲測量 P、Q 兩點間的距離,可在湖外取一點 R,且在 RP 、 RQ上各取一點 S、T,使得 ST //PQ。量得 RS =24 公尺,ST =18 公尺,SP =25 公尺,
則PQ為多少公尺?
(A) 147
2 (B) 147
4 (C) 95
4 (D) 95 2
91. ( )119 報案臺某日接到緊急求助,有一高樓火災有人受困於陽台待援,隊長接到報案民眾提 供的訊息如下:『我的眼睛距地面 2 公尺,我的視線從路邊紅綠燈號誌桿頂處望去,剛 好看到受困民眾,號誌桿高 7 公尺,我距離號誌桿 10 公尺,號誌桿距離高樓 44 公尺。』
請問消防隊長至少應派出可伸長幾公尺高的雲梯消防車前往救援?
(A)26 (B)27 (C)28 (D)29
92. ( )小康與小軒是優秀的童子軍,打算測量神木的高度,方法如下:首先在地上立兩支 150 公分的童軍棍 PE 及CQ,兩棍相距 30 公尺,並且使兩棍和神木在同一直線上,從童軍棍 C 點後退 3 公尺,由地面向上望,觀測得棍頂與神木的頂點在同一直線上,再從童軍棍 E 點後退 5 公尺,由地面向上望,觀測得棍頂與神木的頂點在同一直線上,試求此神木的 高度 AB 是多少公尺?
(A)21 (B)22 (C)23 (D)24
93. ( )如圖,一根直立在地面上的路標,距離 3 公尺牆壁上的影長是 2 公尺,同時在地面上直 立 1 公尺長的竹竿,其影長為 1.2 公尺時,則此路標的高度為多少公尺?
(A)3 (B)3.5 (C)4 (D)4.5
94. ( )埃及金字塔藏著古文明的神祕色彩,小康與小軒來此考古,準備測量金字塔,已知他們 站在陽光下,利用光的直進原理,則得金字塔及身高為 2 公尺的小康影長各為 75 公尺及 5 公尺,又金字塔本身是邊長為 50 公尺的正四角錐,試求塔高為多少公尺?
(A)20 (B)30 (C)40 (D)50
95. ( )如圖,小明、小英的身高分別為¯ AB =160 公分,¯ CD =170 公分,兩人分別站立於旗杆前,
若 A、F、D 三點在同一直線上,今依圖中距離所示,則可得旗杆高¯ EF 為多少公尺?
(A)4.1 (B)4 (C)3.8 (D)3.5
96. ( )如圖是一座由鋼管(黑線部分)焊接成型的橋梁。兩側鋼管¯ AB、¯ AC 的長度相等,而其下方 是等間隔排列的 7 根大小不同的鋼管,若橋梁的規模及尺寸如圖所示,則你看到的這一 面至少共需要多少公尺的鋼管才能完成(橋的另一面不考慮)?
(A)76 (B)78 (C)84 (D)88
97. ( )如圖,平行四邊形 ABCD 中,E、F 分別為¯ AB 、¯ BC 的中點,若△BEF 的面積為 3,則平 行四邊形 ABCD 的面積是多少?
(A)16 (B)20 (C)24 (D)32
98. ( )如圖所示,已知學校升旗杆的高度為 4.5 公尺,上午 8 點整陽光照射升旗杆時,經測量得 影子長度為 6 公尺,此時平春則是站在離旗杆 4 公尺處,則平春影子頂端恰與旗杆影子 頂端重合,則下列何者錯誤?
(A)平春的身高為 1.5 公尺
(B)升旗杆的高度是平春影子長的 2.25 倍 (C)平春影子長度與身高的比為 3:5 (D)平春影子長度與身高的比為 4:3
99. ( )如圖,已知康橋大樓建地有一輛吊車,吊杆頭正要吊起一重物,已知吊車的高度為 2 公 尺,若沿著吊杆延長線接觸到地面 A 點,A 點距離吊車 5 公尺,且距離重物 50 公尺,試 求吊杆頭距離地面¯ DE 是多少公尺?
(A)10 (B)20 (C)30 (D)40
100. ( )如圖,側面為梯形的水桶,下面寬 8 公分,上面開口寬為 20 公分,桶高 12 公分,今裝 滿 9 公分的水,求液面¯ AB 的長為多少公分?
(A)8 (B)12 (C)17 (D)20
101. ( )如圖,梯形 ABCD 中,¯ AD //¯ BC ,∠BCD=90°,已知¯ AD =12 公分,¯ BC =18 公分,¯ CD
=15 公分,則下列敘述何者錯誤?
(A)¯ AE :¯ CE =2:3
(B)△ABE 面積:△AED 面積=3:2 (C)△AED 面積:△BEC 面積=4:9 (D)△BEC 的面積是 18 平方公分
102. ( )如圖是一個圓錐體砂漏,裝滿砂時,砂面圓形的半徑為 12 公分,高 15 公分;開始漏砂 20 秒後,砂面下降 6 公分,此時砂面圓形的半徑是多少公分?
(A)7.5 (B)7.2 (C)6 (D)5
103. ( )如圖為鐵路平交道的活動柵欄。若支點 O 點距離地面為 1.2 公尺,且兩端點 A、B 到 O 點距離比為¯ AO :¯ OB =2:9,當 A 點下降 0.6 公尺時,另一端 B 點與地面的距離為多少 公尺?
(A)3.9 (B)4 (C)4.2 (D)4.4
104. ( )如圖,矩形 ABCD 為撞球檯,¯ AD =8,¯ EC =3,¯ CF =6,球由 E 點經 F 點、G 點進入 D 袋,根據入射角等於反射角,則此撞球檯的寬¯ AB =?
(A)4.5 (B)4 (C)5 (D)6
105. ( )豔秋想要估測對岸的矩形房子 ABCD 的寬度¯ AB ,她設計了兩個梯形 EFAB 和 GHFE,如 圖所示,已知河寬¯ AF 為 30 公尺,¯ HF =60 公尺,¯ GH =45 公尺,¯ EF =35 公尺,則房子 ABCD 的寬度¯ AB 為多少公尺?
(A)30 (B)32 (C)36 (D)40
106. ( )如圖,平行四邊形 ABCD 中,對角線¯ AC 、¯ BD 相交於 O,E、F、G、H 分別為OA 、¯ ¯ OB 、
¯ OC 、¯ OD 的中點,¯ AB =2 3 . ,¯ BC =4,∠ABC=60°,設四邊形 EFGH 的周長為 a,面 積為 b,則下列哪一項敘述正確?
(A)5<a<6 (B)9<a<10 (C)b=2 (D)b=3
107. ( )如圖,長方形 ABCD 四邊中點依次連接成一菱形,該菱形四邊中點依次連接又成一長方 形 PQRS,若長方形 ABCD 的面積為 10,則長方形 PQRS 的面積=?
(A)2 (B) 2
5 (C)5 (D) 2 15
108. ( )如圖,E、F、G、H 分別為四邊形 ABCD 四邊¯ AB 、¯ AD 、¯ CD 、¯ BC 的中點,若¯ EF =2,
則¯ HG =?
(A)1 (B) 3
2 (C)2 (D) 5 2
109. ( )長短不同的兩根電線杆 AB 與 CD 直立在地面上,若分別從頂端 A、C 兩處拉鋼索將它們 固定,如圖所示。已知 AB =10 公尺,兩鋼索相交處 E 點離地面 6 公尺,則 CD 為多少公 尺?
(A)12 (B)15 (C)16 (D)18
110. ( )如圖,△ABC 中,¯ AB =¯ AC ,D、E 分別為¯ AB 、¯ AC 的中點,P、Q、R 三點在¯ BC 上,且
¯ BP =¯ PQ =¯ QR =¯ RC ,¯ AP 、¯ AQ 、¯ AR 分別與¯ BC 交於 F、G、I 三點,若¯ BC =16,¯ AQ = 12,則△AFI 的面積為多少?
(A)12 (B)15 (C)30 (D)60
111. ( )如圖,有一根竹竿長 8 公尺,在陽光的照射下,影子長為 6 公尺,竹竿頂插了一枝旗子,
旗子超出竹竿頂 1.2 公尺,試求此時旗子的影長為多少公分?
(A)0.9 (B)1.2 (C)90 (D)120
112. ( )如圖,P、Q、R、S 為菱形 ABCD 四邊中點,若四邊形 PEFG 周長 10,則¯ AC +¯ BD =?
(A)10 (B)20 (C)25 (D)30
113. ( )如圖,電線杆在距離 6 公尺之牆壁上的影長是 4 公尺,小彥在地面上直立了一枝 2 公尺 長的竹竿,竹竿距離牆壁 2 公尺,若此時竹竿在地面上的影長為 2 公尺,則電線杆的高 度是多少公尺?
(A)4 (B)6 (C)8 (D)10
114. ( )如圖,四邊形 ABCD 中,E、F、G、H 分別為¯ AB 、¯ BC 、¯ CD 、¯ DA 的中點,若∠HGD=
20°,∠EFG=70°,則∠1+∠2=?
(A)150° (B)130° (C)120° (D)110°
115. ( )如圖,梯形 ABCD 中,AD //¯ ¯ BC, EF 為其兩腰中點的連線段,對角線¯ AC、¯ BD 分別交¯ EF 於 N、M 兩點,其中¯ AD :¯ BC =4:9,若¯ MN =40 公分,則¯ EF 為多少公分?
(A)80 (B)91 (C)100 (D)104
116. ( )如圖,¯ AB 、¯ CD 、¯ GH 分別垂直¯ EF ,已知¯ AB =12,¯ CD =8,且¯ BH = 3
2 ¯ DH ,則¯ GH =?
(A)6 (B)4 (C)4.5 (D)4.8
117. ( )如圖,緯緯為了求河岸兩側 A、B 兩點的距離,先在 AB 的延長線上找一點 C,接著分別 在過 B、C 且垂直 BC 的直線上分別找到 E、D,使得 A、E、D 共線,若他測得 BE =12 公尺, BC =15 公尺, CD =27 公尺,則 AB 長多少公尺?
(A)12 (B)15 (C)18 (D)21
118. ( )小康與小軒駕車走南二高經過著名的斜張橋,發現斜張橋僅靠著一橋柱支撐整個橋身重 量,鋼筋鐵鍊連接著橋身與橋柱,形成漂亮的平行線,如圖所示,若測得橋頭 A 點到橋 身 B、D 兩點距離分別為 500 公尺、300 公尺,橋柱 B 點到 E 點有 20 公尺高,試求橋柱 B 點到 C 點是多少公尺?
(A)20 (B)30 (C)40 (D)50
119. ( )如圖,朝會時教官、美倫、佩珊恰好站在同一排;已知美倫和佩珊的身高分別是 156 公 分和 149 公分,且教官和美倫的距離恰好是美倫和佩珊距離的 3 倍,試求教官的身高是 多少公分?
(A)174 (B)175 (C)176 (D)177
120. ( )如圖,D、E 分別為¯ AB、¯ AC 的中點,F、G 分別為¯ AD、¯ AE 的中點,則 四邊形FDEG面積
△ABC面積 =?
(A) 1 4 (B) 8 3 (C) 16 3 (D) 16 5
121. ( )如圖,有一側面為梯形的容器,高為 8 公分,其內部裝入高為 6 公分的水,今將一根長 18 公分的細棒置入容器中,若有 2 公分露出容器外,則細棒在水中部分的長度為多少公 分?
(A)8 (B)10 (C)12 (D)14
122. ( )如圖,水平桌面上有一個不等臂天平,已知 O 點為天平的支點,A、B 為兩端點,且 AO
=18 公分, BO =27 公分,將 A 點按於桌面時,B 點離桌面為 24 公分,現在若將 B 點按 於桌面,則 A 點距離桌面多少公分?
(A)16 (B)18 (C)20 (D)24
123. ( )如圖,有兩個大小、形狀都相同的高腳杯,杯腳長皆為 5 公分,現分別在兩杯中加入一 些酒,結果甲杯的酒面¯ AB 到杯子底部高為 8 公分,乙杯的酒面¯ CD 到杯子底部高為 11 公 分,若此時¯ AB 為 4 公分,則¯ CD 為多少公分?
(A)4 (B)6 (C)8 (D)10
124. ( )家寶想知道日本 別府市某知名地獄溫泉的長¯ AB,他先找到一定點 C,並量得¯ AC =20 公 尺,再於¯ CA 上取一定點 D,量得¯ DA =12 公尺,最後在¯ CB 上取一定點 E,使得¯ DE //¯ AB , 並量得¯ DE =12 公尺,求此溫泉的長¯ AB 是多少公尺?
(A)24 (B)26 (C)28 (D)30
125. ( )如圖,水平地面上空 26 公尺 A 點處有一盞燈,燈的正下方有一半徑 5 公尺的球,球心為 O,¯ OA =13 公尺,試求此球在燈的照射下,在水平也面所形成的圓形影子圓 B 的面積為 多少平方公尺?
(A)100π (B) 961
9 π (C) 1024
9 π (D) 4225 36 π
126. ( )如圖,梯形 ABCD 中,已知AD //¯ ¯ BC ,兩腰中點連線段¯ EF 交¯ BD 、¯ AC 於 G、H,若¯ AD = 5、¯ BC =9,則 GH : HF =?
(A)4:5 (B)3:5 (C)3:4 (D)2:5
127. ( )如圖,¯ AE:¯ BE=2:3,¯ AD//¯ CE,¯ BC//¯ DE,若△ADE 的面積為 16,則四邊形 BCDE 的 面積為多少?
(A)70 (B)60 (C)50 (D)40
128. ( )一長方形 ABCD 的球檯, AB =14, AD =20,今將一小球從 CD 上的 P 點撞出,該小球 在 Q 點反彈,再於 R 點反彈,最後撞到 D 點,如圖所示,其中虛線為其所行的路徑,且
∠1=∠2,∠3=∠4。若 PC =6,QC=12,則PQ:QR: RD =?
(A)3:2:5 (B)4:3:7 (C)2:1:3 (D)5:3:8 二、填充
1. 如圖,田野中有一農舍高 h 公尺,今量得農舍在地面上的影長 AB 為 10 公尺,同時旁邊一棵高 1.5 公尺的小樹影長為 2 公尺,則 h= 公尺。
2. 圖中的四邊形為等腰梯形,連接等腰梯形的各邊中點會得到哪一種四邊形?答: 。
4. 若一三角形的三內角比為 1:2:3,則以此三角形之三邊長為邊,各作一個正三角形,其面積比
為 。
5. 如圖,在直角坐標平面上,平行四邊形 ABCD 中,A 點、B 點、C 點坐標分別為(1 , 1)、(12 , 1)、
(17 , 5),則:
(1)對角線交點 M 的坐標為 。 (2)D 點的坐標為 。
6. 如圖,自 E 望一塔¯ AB之頂 B 與一竿¯ CD之頂 D,剛好成一直線,設¯ EA為水平線,¯ CE=4 呎,¯ CD
=3 呎,¯ CA=36 呎,則此塔之高為 呎。
7. 坐標平面上有 O(0 , 0)、B(6 , 0)、C(4 , 2)三點,若△OBC~△OB'C',B'(3 , 0),且 C' 點在第四 象限,則 C' 點的坐標為 。
8. 如圖,小清想知道河寬 AB 的長度,測量得 BC =14 公尺, BD =12 公尺, CE =20 公尺,則河 寬 AB 的長度為 公尺。
9. 如圖,在直角坐標平面上,已知平行四邊形 ABCD 的對角線¯ AC 與¯ BD 相交於原點 O,若 A(2 , 10),
B(-7 , -5),則:
(1)C 點坐標為 。 (2)D 點坐標為 。 10. 如圖,在△ABC 內找一點 O,取¯ OA =3OA'、¯ ¯ OB =3OB' ¯
、OC =3 ¯ OC',若△A'B'C'的面積是 4,則△ABC 的面積是 ¯
。
11. 如圖,梯形 ABCD 中,¯ AD //¯ BC ,¯ AB ⊥¯ AC ,若¯ AB =¯ CD =6, ¯ BC =10,且 P、Q、R、S 分別 為四邊中點,則四邊形 PQRS 的周長為 。
12. 已知矩形 EFGH 為矩形 ABCD 的 2 倍縮放圖,若¯ AB = 2,¯ BC =3,則矩形 EFGH 的面積
是 。
13. 如圖,小佳想知道河寬 BC 的距離,她量得 AB =4 公尺,BD =6 公尺,CE =24 公尺,則河寬 BC
= 公尺。
14. 如圖,在直角坐標平面上,平行四邊形 ABCD 中,B 點、C 點、D 點坐標分別為(7 , 4)、(10 , 8)、
(5 , 6),則:
(1)對角線交點 M 的坐標為 。 (2)A 點的坐標為 。
15. 如圖,大明走在紅磚道上,發現路旁有一支柱子,上面標示著「高 3 公尺」,大明發現柱子的 影長恰為 5 塊紅磚的長度,而自己的影長恰為 3 塊紅磚的長度,則大明的身高和柱高相差 公分。
16. 直角坐標平面上,平行四邊形 ABCD 的頂點分別為 A(2 , 9)、B(4 , 1)、C(-3 , 2)、D(x , y),試問:
(1)平行四邊形 ABCD 兩對角線的交點坐標為 。 (2)x= ,y= 。
17. 如圖,小軒想要測量旗杆的高度,在陽光的照射下,旗杆影長為 6 公尺,當他從杆底往前走 4.5 公尺,發現他自己影子的最前端和杆影的最前端剛好疊合,已知小軒的身高是 175 公分,則旗 杆的高度是 公尺。
18. 有一圓的圓心坐標為(-1 , 2),且點 P(3 , 1)在圓上,若¯ PQ 為直徑,則 Q 點的坐標為 。 19. 如圖,牆壁影長 10 公尺,壁頂直立一根長 2 公尺的竹竿,其影長為 3 公尺,則壁高 公
尺。
20. 如圖,A、B 是湖泊岸邊的兩點,已知 DE // AB ,今量得 AC =30 公尺, CD =12 公尺, DE = 15 公尺,則 AB = 公尺。
21. 如圖,△ABC 中,若 D、E、F 分別為¯ AB 、¯ AC 、¯ BC 的中點,則△ABC 的周長是△DEF 周長的 倍。
22. 如圖,小軒拿了一隻夾子撿拾學校水溝內的雜物,已知 2¯ AE =3¯ AC ,2¯ BD =3¯ BC ,¯ PQ =12 公 分。如果小軒想用夾子的 A、B 夾住雜物的 P、Q 兩點,那麼手握的地方¯ DE 要張開 公 分。
23. 如圖,¯ DE//¯ BC,且將△ABC 面積兩等分。若 A 到¯ BC的距離為 50,則 A 到¯ DE的距離為 。
24. 如圖,已知一直角三角形的三邊長¯ AB =6 cm,¯ BC =8 cm,¯ CA =10 cm,分別取¯ AB、¯ AC 之中點 D、E,求:
(1)¯ DE = cm。
(2)四邊形 BCED 的面積為 cm 2 。
25. 在直角坐標平面上,已知 A(0 , 0)、B(12 , 0)、C(8 , 8),若△ABC~△AB'C', AB : ' AB =1:2,
且 B' 點在 x 軸上,則 B' 點的坐標為 。
26. 如圖,佳惠想知道臺北 101 大樓的高度,她在地上直立了兩根 4 公尺高的標竿,兩根標竿相距 252 公尺。她發現,如果從離大樓較近的標竿處退後 10 公尺往上看,則竿頂與樓頂剛好共線;
如果從離大樓較遠的標竿處退後 12 公尺往上看 , 則竿頂與樓頂也會共線。 則大樓樓高 公
尺。
27. 如圖,快樂村與逍遙村之間有一河川,為了使兩地來往便利,村民計畫在 A、B 兩地之間建造一 座吊橋,於是設計如圖的兩個三角形,想知道¯ AB 的長度。已知¯ DE //¯ AB ,¯ AE =18 公尺,¯ AC = 32 公尺,¯ DE =21 公尺,則¯ AB = 公尺。
28. 平春想知道河岸寬度,他在對岸河邊選擇一定點 A,另外在河邊選定 B、C、D、E 四點,如圖。
其中 DE // AB ,C、E、A 三點共線,C、D、B 三點也共線。已知 BD =18 公尺, DE =5 公尺,
CD =4 公尺,則河寬 AB 是 公尺。
29. 菱形 ABCD 中,若¯ AC =12 公分,¯ BD =8 公分,則此菱形的四邊中點所形成的四邊形的周長為 公分。
30. 如圖,在河的對岸有一個長方形的空地 ABCD,已知河寬 AF 為 6 公尺, EF =7 公尺、 GH =9 公尺、 HF =12 公尺,則空地 ABCD 的寬度 AB 為 公尺。
31. 如圖,由光源 O 發出的光線將△ABC 映至△A'B'C',且¯ OA:OA'=2:5,¯ ¯ AB:¯ BC:¯ CA=4:3:
2,當¯ AB=16 時,△A'B'C'的周長為 。
32. 如圖,站在陸地遠眺海島,豎立兩根 3 公尺的標竿(¯ CD 、¯ EF ),兩標竿相距¯ DF =50 公尺,且兩 標竿與海島成一直線,從前標竿(¯ CD ),向內地走 12 公尺(DG ),由地面(G 點)向上望,觀得竿頂 ¯ (C 點)與山頂(A 點)在一直線上;由後標竿(¯ EF ),向內地走 15 公尺(¯ FH ),由地面(H 點)向上望,
觀得竿頂(E 點)與山頂(A 點)在一直線上。試問海島高度¯ AB 及海島與岸邊的距離¯ BD 分別是多 少?(取材自海島算經)
∴ ¯ BG DG ¯ = ¯ AB
¯ CD , ¯ AB
¯ EF = ¯ BH
¯ FH
設海島高¯ AB =x 公尺,海島與岸邊的距離¯ BD =y 公尺 得 y+12
12 = x
3 = y+65 15 M
得 x= ,y=
故海島高 公尺,海島與岸邊距離 公尺。
33. 有一陸橋,如圖,若從上坡起點每隔 10 公尺有一根支柱,今測量得知第一根支柱¯ AA'高 7.5 公尺,
試問:
(1)最高點 D'距離地面的高度為 公尺。
(2)此陸橋的斜坡 OD'為 ¯ 公尺。
34. 志龍利用影子來測量金字塔的高度,如圖,方法如下:
下午 3 點時,金字塔的影長(¯ AB )為 15 公尺,志龍的影長(¯ PQ 為 170 公分;下午 4 點時,金字塔 的影長(¯ AC )為 30 公尺,志龍的影長(¯ PR )為 2 公尺,若志龍的身高為 160 公分,則金字塔的高度
為 公尺。
35. 如圖有一棵樹,主人想知道這棵樹到底長的多高,於是在距離樹根 7.5 公尺的 C 點立了一根高 1 公尺的標竿 EC ,且 AE 的延長線和 BC 的延長線相交在 D 點,又測得CD =1.5 公尺,則這棵樹 高為 公尺。
36. 如圖,研究員在棲蘭山上發現了一棵神木,於是在神木前 26.4 公尺處與 28.8 公尺處的 D、F 兩 點,分別直立了兩根高度不同的竹竿¯ CD 、¯ EF ,使得兩竹竿的竿頂 E、C 與神木的頂端 A 三點 共線。已知¯ CD =2.3 公尺,¯ EF =0.8 公尺,則神木的高度¯ AB 是 公尺。
37. 如圖,正方形 ABCD 中,E、F 分別為¯ AB 、¯ AD 中點,若¯ EF =10,則正方形 ABCD 的面積
為 。
38. 如圖,已知△ABC~△DEF,M、N 分別為¯ BC 、¯ EF 的中點,若 2¯ BC =3¯ EF ,則¯ AM :¯ DN
= 。
39. 如圖,在△ABC 中,D、E 分別是¯ AB、¯ AC的中點,P 是¯ BC上的一點,且¯ BP:¯ CP=1:2,則△
PDE 面積與△ABC 面積的比值為 。
40. 如圖,一根竹竿長 8 公尺,在陽光的照射下,影子長 6 公尺;今天同一時間下,在竹竿頂插一 枝旗子,如果旗子超出竹竿頂 1.2 公尺,則旗子的影長為 公尺。
41. 如圖,A、B 是湖泊岸邊的兩點,為了求 A、B 兩點的距離,我們先找一點 C,量得 AC =30 公 尺, CD =12 公尺,再作 DE // AB ,並量得 DE =15 公尺,則 AB = 公尺。
42. 如圖,小楊想知道為樹高 AB 是多少,他先在地面上直立兩根標竿 CD 、 EF ,然後拉一條繩子 通過共線的 A、C、E 三點,並量得 AC =20 公尺,CE =5 公尺, CD =120 公分, EF =150 公 分,則樹高 AB = 公尺。
43. 在高 3 公尺的牆上,放置一盆花,同一時間,量得牆的影子長 4 公尺,花盆的影子長 52 公分,
則該花盆實際高度為 公分。
已知平行四邊形 ABCD 的面積為 36 平方公分, 則平行四邊形 EGFH 的面積為 平方公分。
45. 如圖,翊寧為測量湖泊最寬處的長度,將測量的資料畫了一張設計圖;其中 A、O、D 在同一直 線上,且 AB ⊥ AO ,CD ⊥ AD ,若 AO =18 公尺,OD =4 公尺,CD =10 公尺,則湖寬 AB = 公尺。
46. 如圖,明澤想測量樹高,他先在樹的西方 4 公尺處的地面上平放一面小鏡子,再由鏡子西方 2 公尺處向鏡子看,透過光的反射看到了樹梢;根據光的反射定律,知道∠1=∠2。又知明澤身 高約 160 公分,則樹高約 公尺。
47. 如圖,¯ DE 為△ABC 中兩邊中點的連線,且¯ AH ⊥¯ BC,若¯ AH =5 公分,△ABC 面積為 20 平方公 分,則¯ DE = 公分。
48. 有一圓錐形高腳杯,高度 16 公分,高腳杯腳長 6 公分,杯口直徑 5 公分,今倒入一些酒,液面 離桌面 10 公分,如圖,則液面的直徑為 公分。
49. 如圖,超聯大樓高 36 公尺,文霆站在頂樓,在陽光的照射下,大樓影長 24 公尺,若文霆身高 180 公分,那麼同一時間的陽光的照射下,文霆的影長為 公分。
50. 如圖,家怡準備要測量學校升旗用的旗杆高度,經測量發現旗杆在陽光的照射下,杆影長為 6 公尺,當她從杆底往前走 4 公尺後,發現她本人影子的前端和杆影的端點恰好疊合,已知家怡 身高 160 公分,則旗杆高 公尺。
51. 如圖,梯形 ABCD 中,¯ AD //¯ BC ,若¯ AD =4 公分,¯ BC =12 公分,梯形兩腰中點連線段¯ EF 分別 交¯ BD 、¯ AC 於 G、H,則:
(1)¯ GF = 公分。 (2)¯ GH = 公分。
52. 如圖,若 L1//L2,且¯ AB=3 公分,¯ BC=1 公分,△ABD 面積為 27 平方公分,則△CBE 面積為 平方公分。
53. 如圖,D、E、F 為△ABC 三邊中點,G、H、I 為△DEF 三邊中點,則△GHI 周長為△ABC 周長 的 倍。
54. 等腰梯形 ABCD 中,已知¯ AB //¯ CD、¯ AD =¯ BC =5、¯ AB =6、¯ CD =12,E、F、G、H 分別為¯ AB 、
¯ BC 、¯ CD 、¯ AD 的中點,則四邊形 EFGH 面積為 。
55. 已知直角坐標平面上,菱形 ABCD 的四個頂點坐標為 A(m , 1)、B(3 , 5)、C(7 , 3)、D(5 , n),則 m
+n= 。
56. 設 P、Q 為平行四邊形 ABCD 中¯ AB、¯ AD的中點,則△APQ 面積:平行四邊形 ABCD 面積
= 。
57. 如圖,菱形 ABCD 中,∠A=150°,且¯ AB =6 公分,P、Q、R、S 為四邊的中點,則此四邊形 PQRS 的面積= 平方公分。
58. 如圖,一斜坡 AC 長 100 公尺,高 BC =30 公尺,若將一重物由斜坡起點(A 點)推到斜坡上 30 公 尺處(D 點),則此時該重物離地面 公尺。
59. 順伯為測量樹高¯ CD ,站在距離樹 30 公尺處,即 E 點的位置,將其手臂伸直,把一支有刻度的 尺豎在眼睛前方,若順伯的眼睛 O 點,和尺上的 A 點及樹的頂端 D 點同在一直線上,且 O 點與
尺上的 B 點及樹的底部 C 點同在一直線上,如圖所示,已知尺的長¯ AB =12 公分,順伯的手臂 長 60 公分,則樹高
公尺。
60. 如圖為一矩形撞球檯 ABCD,根據物理特性可知,入射角等於反射角,且¯ AB=2,¯ BE=4,¯ CE=
2,則¯ DG= 。
61. 如圖,小康在 B 點舉一木棍 DB ,小軒從 A 點向 E 點望去,使得 E 點剛好在 AD 的延長線上,
若∠ABD=∠ACE=90°, DB =6 公尺, EC =10 公尺, CB =6 公尺,則 AB 的距離為 公尺。
62. 如圖,某次撞球表演中,有一張方形的特製撞球檯 ABCD, AB =360 公分, BC =150 公分,某 選手將一球從 P 點撞出,經三次反彈回到 P,已知 CP =50 公分,則:
(1)¯ AS = 公分。
(2)球經過的總路徑PQ+QR+ RS + SP = 公分。
63. 如圖,四邊形 ABCD 中,¯ AD//¯ BC。若△ADE 面積為 9,△BEC 面積為 16,則△ABE 面積 為 ,四邊形 ABCD 面積為 。
64. 如圖,身高¯ AB =150 公分的小芬站在一道高 3 公尺的牆(¯ CD )前 2 公尺處(B 點),向牆另一側望 去,觀得牆頂(C 點)與樹梢(E 點)在同一直線上,若樹與牆相距(¯ DF )4 公尺,則樹高¯ EF =
公尺。
65. 一根直立在地面上的電線杆,其在距離 6 公尺牆壁上的影長是 4 公尺,若同時在距離牆角 2 公
尺的地面上直立一根 2 公尺長的竹竿,此時竹竿在地面上的影長亦為 2 公尺,則電線杆的高度
為 公尺。
66. 如圖,佑佑為了測量樹高(即 EF ),在樹的正前方立了兩根標竿¯ AB 和¯ CD,若¯ AB =1.5 公尺,¯ BD
=¯ CD =2 公尺,¯ DF =10 公尺,則樹高¯ EF = 公尺。
67. 崇文到埃及旅遊,想測量金字塔的高度,他用夜晚的時間,在金字塔尖端放置一個光源,並在 地上立了一根長 1.5 公尺的標竿,此時竿影長為 3 公尺,後來又在距離第一根標竿的 10 公尺處 再立一根相同的標竿,此時竿影長為 6 公尺,如圖所示,則此座金字塔的高度應為 公 尺。
68. 如圖,若¯ OA=3¯ AD,¯ OB=3¯ BE,¯ OC=3¯ CF,則 △ABC面積
△DEF面積 = 。
69. 如圖,小榮想利用三角形的相似性質來測量河的寬度,他測得 AB =5 公尺,CD =2 公尺, AC
=7.8 公尺,則河寬 DE = 公尺。
70. 如圖,天敏在大樓的西方 6 公尺處放置一面鏡子,再向西方後退到離鏡子 40 公分的位置處,經 由光的反射看到了大樓最高處的 D 點,由光的反射定律得知∠1=∠2,而天敏眼睛到腳的高度 約 160 公分,則此大樓的高度( DE )為 公尺。
71. 如圖,玉珊為了要測量樹高 AB ,在離樹根 6 公尺的 D 點垂直立了一根標竿 CD ,並在 BD 的延
長線上找到一點 E,使 A、C、E 三點成一直線。已知 CD =1 公尺,又測得 DE 為 1.5 公尺,則 樹高 AB = 公尺。
72. 如圖,萬斤在木棍上綁了一個氣球,已知木棍的長度¯ AB =1.2 公尺,在陽光的照射下,木棍的 影長¯ BC =90 公分,氣球與細繩部分的影長¯ CE =108 公分,則¯ AD = 公尺。
73. 如圖,正方形 ABCD 的邊長為 4,依序連接各邊中點得正方形 A1B1C1D1,再依序連接各邊中點 得正方形 A2B2C2D2,依此方式可得五個正方形,則:
(1)五個正方形的周長總和為 。 (2)五個正方形的面積總和為 。
74. 如圖,¯ BD=2¯ AD,¯ CE=2¯ AE,¯ BE與¯ CD交於 P,則:
(1) ¯ BC
¯ DE = 。
(2)若△PDE 面積為 3,則△ABC 面積為 。
75. 如圖,△ABC 中,M、N 分別為¯ AC 、¯ BM 的中點,試回答下列問題:
(1)¯ CP :¯ PB =? (2)¯ AP :¯ NP =?
76. 如圖,小龍設計了測量河寬 AB 長度的方法,已知 AB // DE ,且 BE =10 公尺、CE =5 公尺、DE
=15 公尺,則河寬 AB = 公尺。
77. 如圖,A、B 兩點間有湖泊,小明為了求¯ AB 長,先找一點 C,量得¯ AC =100 公尺,在¯ AC 上取¯ AE 為 20 公尺,過 E 點作¯ ED //¯ BC ,使 A、D、B 三點共線,量得¯ AD =38 公尺,則¯ AB =
公尺。
78. 如圖,鳳姨利用重差術測量城門的高度¯ AB ,她將兩根 1.5 公尺長的標竿,分別直立於 D、G 兩 處後,從 D 點後退 4 公尺到 E 點時,發現 A、C、E 三點共線;¯ EG =18 公尺,再從 G 點後退 6 公尺到 H 點時,發現 A、F、H 三點也共線,則城門的高度¯ AB = 公尺。
79. 如圖,等腰梯形 ABCD 中,¯ AD //¯ BC,¯ AB =¯ CD =6,若 E、F、G、H 分別為¯ AD、¯ BD、¯ BC、¯ AC 的中點,則四邊形 EFGH 的周長為 。
80. 如圖為一直角坐標平面,小弘想在直線 AB 上找一點 D,使得 CD 會最短,則 CD = 。
81. 如圖,在梯形 ABCD 中,¯ AD//¯ BC,¯ AD=4,¯ BC=6,¯ BA、¯ CD 之延長線相交於 P,若梯形 ABCD 的面積為 25,則△PAD 面積為 。
82. 如圖,△ABC 中,D、E 分別為¯ AB 、¯ AC 的中點,M、N 分別為¯ BE、¯ CD 的中點,若¯ BC =8,則
¯ MN = 。
83. 如圖,等腰梯形 ABCD 中,¯ AD //¯ BC ,E、M、F、N 分別為¯ AD 、¯ BD 、¯ BC 、¯ AC 的中點,若AD ¯
=14 公分, BC =30 公分, AB =17 公分,則:
(1)四邊形 EMFN 是哪一種四邊形?答: 。 (2)¯ MN = 公分,¯ EF = 公分。
(3)四邊形 EMFN 的面積是 平方公分。
84. 如圖,小宗想測量樹高 DE 的高度,他先在距離樹 4 公尺的 C 點平放一面小鏡子,再由鏡子後 退 2 公尺的 B 點處向鏡子看,透過光的反射看到了樹梢 D 點,根據光的反射定律,知道∠1=∠
2,若小宗的身高 AB 為 1.6 公尺,則樹高 DE = 公尺。
85. 如圖,¯ AB 為樹高,¯ CD 與¯ EF 是直立在地面上的兩根標竿,今若在 A、C 兩點拉一條繩子,恰好 會通過 E 點,且量得¯ AC =20 公尺,¯ CE =5 公尺,若¯ CD =1.2 公尺,¯ EF =1.5 公尺,則樹高¯ AB
= 公尺。
86. 如圖,A、B 兩點間有一座山,安娜為測量 A、B 兩點的距離,先找一點 C,並測得¯ AC =300 公 尺,¯ BC =225 公尺,接著在紙上畫△DEF,使得∠F=∠C,¯ DF =12 公分,¯ EF =9 公分,並測 量¯ DE =10 公分,則¯ AB = 公尺。
87. 如圖,已知小玲的身高 AB 為 1 公尺,小岳的身高 EF 為 1.5 公尺,兩人分別站在樹前,發現 A、
F、D 三點恰好在同一直線上,若 BE =1 公尺、 CE =6 公尺,則樹高 CD 為 公尺。
88. 如圖,△ABC 中,∠C=90°,D、E、F 分別為¯ AB、¯ BC、¯ AC 的中點,G、H、I 分別為¯ DE、¯ EF 、
¯ DF 的中點,若¯ AB =20,¯ BC =16,¯ AC =12,試問:
(1)△DEF 的周長為 ,△GHI 的周長為 。 (2)△DEF 的面積為 ,△GHI 的面積為 。
89. 如圖,斜坡的長度¯ AC 是 180 公尺、高度¯ AB 是 12 公尺,若小嵐沿斜坡的起點 C 向上走 30 公尺 至 D 點停下來,則 D 點的高度¯ DE = 公尺。
90. 如圖,甲、乙兩人分別在大樓(¯ AB )的正東方與正西方立一根長 3 公尺的標竿,並使兩標竿與大 樓的位置在一條直線上,從左邊的標竿後退 9 公尺,由地面向上望,標竿頂(C 點)與大樓頂(A 點)在一直線上;而從右邊的標竿後退 6 公尺,由地面向上望,標竿頂(E 點)與大樓頂在同一直 線上,若¯ BD 比¯ BF 長 30 公尺,則大樓高度為 公尺。
91. 如圖,秋華想測量樹高,她先在樹的西方 5 公尺處的地面上平放一面小鏡子,再由鏡子西方 3 公尺處向鏡子看,透過光的反射看到了樹梢。若由光的反射定律知∠1=∠2,且已知秋華眼睛(A 點處)離地面 162 公分,則樹高¯ DE 為 公分。
92. 世賢想運用所學測量某遊樂區中摩天輪的高度¯ AB ,他在地上立了兩根 2 公尺的標竿¯ CD 和¯ EF , 兩根標竿相距 58 公尺,從標竿¯ CD 後退 5 公尺的地上 G 點往上看,C、A 兩點剛好在一直線上;
再從標竿¯ EF 後退 7 公尺的地上 H 點往上看,E、A 兩點也同在一直線上。如果標竿¯ CD、¯ EF 及¯ AB 都在同一平面上,則摩天輪的高度是 公尺。
三、證明
1. 如圖,梯形 ABCD 中, AD // BC ,E、F 分別為 DB 、 AC 中點,試證:
(1) EF = 1
2 ( BC - AD ) (2) EF // AD
(3)梯形 ABCD 的兩腰中點連線段在直線 EF 上
2. 如圖,四邊形 ABCD 為梯形,¯ AD //¯ BC ,若EF 為兩對角線中點連線,試證¯ EF = 1
2 (¯ BC -¯ AD )。
四、作圖
1. 如圖,O 為△ABC 外一點,試分別在直線 OA、直線 OB、直線 OC 上各取 D、E、F 點,使得△
DEF~△ABC,且△DEF 的面積是△ABC 面積的 4 倍。
五、計算 1.
如圖,小佑想要知道河寬¯ AD 的長度,他測得¯ BD =6 公尺,¯ DE =7 公尺,¯ CE =10 公尺,試求 河寬¯ AD 的長度是多少公尺?
2. 如圖,DM為樹高,¯ ¯ AA'與¯ BB'為兩根標竿,A、B 與 D 三點共線,A'、B'與 M 三點也共線。設已 知¯ AA'=1.75 公尺,¯ BB'=2.55 公尺,又量得¯ AB=1.25 公尺,¯ AD=22.5 公尺,求樹高為多少公 尺?
3. 如圖,小凡設計了一個方法來測量河寬¯ AB ,已知△ABC 和△CDE 都是直角三角形,其中¯ AC = 24 公尺、¯ CD =10 公尺、¯ DE =15 公尺,試求河寬¯ AB 是多少公尺?
4. 如圖,若菱形 ABCD 的一對角線¯ AC 長為 8,且其面積為 56,則由其四邊中點所形成的新四邊形 EFGH 的周長為多少?
5. 如圖,△ABC 中,D、E 分別為¯ AB 、¯ AC 的中點,F、G 分別為¯ AD 、¯ AE 的中點,若¯ FG =4,則
¯ DE +¯ BC =?
如圖,已知△ABC~△A'B'C',其中 A 點坐標為(9,3)、B 點坐標為(15,3)、C 點坐標為(12,15)、A'
點坐標為(-15,0)、B' 點坐標為(-3,0),試問:
(1)C' 點坐標是多少?
(2)△A'B'C'的面積是多少?
7. 如圖,陽光通過窗口照到室內,在地面上留下 2.7 公尺寬的亮區,已知亮區一邊到窗下的牆距離 CE =8.7 公尺,窗口高 AB =1.8 公尺,則窗口底邊離地面的高 BC 為多少公尺?
8. 如圖,△ABC 中,D、E 分別為¯ AB 、¯ BC 的中點,若¯ AC =16,則:
(1)¯ DE ? (2)△BDE 的周長=?
9. 如圖,A、B 兩點間有一湖泊,為了求 A 點與 B 點間的距離,我們先找一點 C,量得 CA =60 公 尺, CD =24 公尺,再作 DE // AB ,並使 C、E、B 三點在同一直線上,量得 DE =32 公尺,則 A 與 B 的距離是多少公尺?
10. 如圖,¯ AD//¯ BC,¯ AD=4,¯ BC=5,則△PAD 面積:四邊形 ABCD 面積=?
11. 如圖,正賢為了測量某教堂的高度 AB ,在距離教堂 14 公尺處插一竹竿 DE ,並在 AE 的延長線 上找一點 C,使 B、D、C 三點在同一直線上,若 DE =1.5 公尺, CE =2 公尺,則教堂的高度 為多少公尺?
12. 如圖,陽光從窗口¯ AB 照到室內,在地面上留下 2.7 公尺寬的亮區¯ DE 。已知亮區一側 E 點到窗 下牆角 C 點的距離¯ CE =8.7 公尺,窗口¯ AB =1.8 公尺,試求窗口的下緣 B 點,離地面的高度¯ BC 為多少公尺?
13. 如圖,碧玉想在河流兩岸建一座橋樑連接 A、B 兩處,經測量後,畫了一張設計圖,其中 DE // AB,
BE =20 公尺, CE =10 公尺, DE =30 公尺,則橋的長度 AB 為多少公尺?
14. 如圖,兩根電線杆¯ AB與¯ CD相距 L 公尺,分別在高為 12 公尺的 A 處和 18 公尺的 C 處用鋼索固 定兩電線杆,如圖所示。求鋼索¯ AD與鋼索¯ BC交點 M 處離地面的高度MH為多少公尺? ¯
15. 大冠想運用相似形原理測量操場上旗杆的高度(¯ AB ),如圖所示,大冠站在旗杆前 30 公尺處(即 C 點),手臂(¯ EF 長 60 公分)伸直呈水平,並把一長 24 公分的直尺¯ DE 豎在眼睛前方與地面垂直,
若由其眼睛 P 點望去,P、D、B 三點恰成一直線,P、E、A 三點也成一直線,則旗杆高為多少 公尺?
16. 如圖,梯形 ABCD 中,¯ AB //¯ CD,E、F 分別為¯ AD 及¯ BC 的中點,¯ EF 與¯ AC 相交於 G 點,若¯ AB = 2,¯ CD =8,則¯ EG :¯ FG =?
17. 如圖,梯形 ABCD 中,¯ AD//¯ BC,¯ AC與¯ BD交於 P 點,設¯ BP=3,△APD 面積=32,△BPC 面積
=72。求: