手牽手走出美麗新境界
一個創意教學方案
編者按:此教學方案榮獲由中華創意發展協會 與台灣師範大學共同辦理之 rGreaTeach 2003
全國創意教學獎」數學領域特優獎，特刊此文 以饗請者。 壹、設計理念: 九年一貫教育改革，政府開放民間出版 單位，可以編寫各階段有創意、可提高學生 學習樂趣與成效的教科書，是一項具前瞻 性、務實性的革新做法。從現有幾家園中教 科書市場佔有率較高的出版社，所編寫國中 一年級: r 線對稱圓形 J (數學學習領域能力 指構ιS-3-8 r 能瞭解平面圖形線對稱的意 義 J) 的單元教材中可以發現，大多數相關課 程的活動設計，皆著重藉由摺紙或剪紙或畫 鏡射圖形的實作，達成建構線對稱概念與瞭 解線對稱意義的學習目標，因為取材平實， 而且以學生的生活經驗為主，所以受到許多 師生的肯定和歡迎。但對部分學生而言，這 些活動會顯得較為老套(如同小學生勞作的 經驗) ，或感覺單調或不夠活潑。筆者自編這 份兩堂課的教材與課程活動設計，其編寫理 念正是希望透過富有「創造思考」、「活學活 用」的自創遊戲，來輔助或補充現有的教材 和評量，希望學生能從「耳目一新」、「寓數 學於遊戲」、「欣賞數學之美」、「合作解題」、 「親子共學」的課程中，不只能夠瞭解「平許建銘
高雄市立龍華國民中學
面圖形線對稱的意義J' 也可以讓更多人認識
數學教育「趣味化」與「生活化」的豐富面 貌和本質。貳、課程規劃:
「手牽手走出美麗新境界」的課程，主
要是以兩個「手牽手」為主軸的實作活動「交 融」而成，若不搭配其它相關課程，其授課 總節數規劃為兩節課的異質性分組教學。第 一節上完課至第二次上課(第二節課)前，間 隔三至四天充裕的課餘時間，作為組員研討 與組長彙整資料之用，而且每個活動都是作 二階段的教學安排，意即將每個活動切割成 兩部分，再融合有序地於兩節課先後實施完 成。 此外為了強化與推廣教育成效並增進親 子互動關係，也運用視聽教室的設備以及精 緻的電子簡報(計70 頁)實施教學，同時鼓勵 學生將兩個遊戲帶回家裡和親人共學、共享 學習歷程與成果。如果家人在「活動紀錄單」 上簽名者，將依各組簽名總人數之多寡予以 加分。參、教學流程:
一、教師以電子簡報呈現生活化題材，
引起學生學習動機: (一)教師配合視聽教室的設備，以電子簡報 檔上的圖文講解「線對稱圖形」的概念:平面上的圖形，若可找到一條直線，使得圓形 治此直線對摺後，直線兩側的圓形會完全疊 合，這種圖形就是線對稱圖形，這條直線就 是這個圓形的對稱軸。 (二)在大陸峽西省西安市附近，發現了一個 古代社會的遺址，叫做半坡村。那見發
掘出來的文物，反映了六千年前的生活
情況。其中有個線對稱的圖飾(如下頁上 圖之右) ，常常在陶器上面出現，驟看之 下不容易知道它代表什麼意思。但在更 早時期的器血上卻找到了合理的解釋。 原來人們是要繪畫兩尾頭對著頭的魚， 最初把兩尾魚都維妙維肖地畫下來，到 了後來，把形象的精華抽取了，就變成 一個更美觀的線對稱圖案(如下圍之 上)。再進一步，就畫出更抽象化的圖案了(如下圖之下)。
本段取材自:為什麼要學習數學? 蕭文強著凡異出版社 82.6
(三)教師將自己的作品，透過 Powerpoint與學生分享「線對稱之美」。下圖是以七
巧板拼成的各式「七巧樹 J' 每棵樹的輪 廓都是線對稱圖形。 (四)教師以選舉投票時，圈選章上的圖案說明「線對稱圖形」與「鏡射」的意義:
若將投票時圈選章上設計的圖樣@
蓋在紙上，並以一直線為軸將紙對摺，則 圖樣拓印至紙上的另一處。因為選票對摺 後可能拓印出的圖樣(())'無論從圈外任一 方向看圈內，圓圈裡面都不是「←」字， 由此道理就可輕易辨識出此圖不是蓋上去 的。這也是圈選章上的圖樣不設計成對稱 圖形如φ 的原因。二、教師進行「五花八門園一圈」教學
活動: (一)此項活動的第一階段﹒ I.教師預先印製如下圖的方陣紙，並貼在白 板上(或在白板上畫出 25 個圓圈方陣共六 份) ，再準備 30 個同樣大小的圓形磁鐵片， 然後將它們分成 6 份，整齊分開貼在白板 上(每份如下圖，其中 5 個紅色磁鐵片用來 演示成被圍住的 5 個人)。00000
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2. 教師將已印製好的學習單【每人各一份，-
51 一如附件(一)】發給每位學生。 3. 配合視聽教室的設備，教師以事先製作之 電子簡報檔、方陣紙與圓形磁鐵片，引導 學生了解問題並作解題說明: (1)遊戲紙上有 5 乘以 5 共 25 個圓(代表 25 個人)的方陣，而每個圓都點出了圓心。將 相鄰的兩個圓心以直線相連，就表示兩個 人手牽手，而圍出的圈子是指用直尺將某 些圓心依序連出一個封閉性圖形。
(2)
，-五花」是指被圈子圍在內部的必須有五 個人(同學可以用筆塗滿這五個圓的內 部) ;而「八門」是指圈子外部必須有八 個人;而「圍一圈」所規定的圈子必須是 各種「線對稱」圓形。 (3) 問題:在遊戲紙上畫出符合以上條件的「線對稱圈子」及其對稱軸。
(4)舉例講解幾種圍法(視學生程度與學習狀 況正調整) ，以筆者實際教學經驗，可先以 如下錯誤與正確的圍法作說明: @錯誤的圍法:。 0Q0~
~000Gf
~.'&(i)
(illQ0~
@苟0'00
~O~
(5)以下四個圈子，雖然被圍的人不完全相
同，但只能算是一個「線對稱圓形 J . 4 教師發給各組一張整組遊戲紙(每組一 份，如附件(二))，鼓勵各組及每位同學集 思廣益，在遊戲紙上嘗試解題，為自己的 組爭取榮譽。 5. 教師宣布:討論與解題的時間有 5 分鐘(討 論時間大約經過 3 分鐘後，由教師抽籤決 定各組上台報告的次序),
5 分鐘之後，各 組由組長或推派一名代表，上台報告所找 到不同圓形中的任何一個，而且各組報告 的圖形儘可能不同(用圓形磁鐵片、方陣紙 與白板筆說明，所有組別報告的總時間約為 10 分鐘)。
6. 教師於小組討論時，應作行間巡視，為同 學解答疑惑，使同學更了解活動規則與目 的，並鼓勵或帶領不加思索就先行放棄的 學生親自動手做。 7. 各組組長依抽籤次序上台報告所找到的圓 形。此時教師除了與全班共同驗證答案的 正確性外，也要對各組的表現作正面鼓 勵。且可以用較輕鬆活潑的語氣問全班: 「這個圖形很像口口口，你們認為呢? J 「我為這個美麗的圖案取名為口口口口，你們覺得好不好? J I 難道你們口J 以取出 更好的名字(或名稱)不成。」 8. 教師於學生發表答案的@J軒 ql ， wj 以和學 生令起分 7 解題心得。({且不必急著講解 「解題策略」。學生經由獨 tl. 思考與溝通討 論，可以培養並建構屬於白己的解題機 制，讓學習者從「發現」中得到快樂與成 就，因而感受數學知識的實用與奧妙，會 是影響他們對「解題與思考」是否犀牛興 趣的重要因素。) (二)教師作第二階段活動的規劃說明: 1.教師發給每位學生一張「活動紀錄單 J (每 人一份，如附件(三) ，使用時記得將 A4 影 印放大成 B4
c)
:以及發給每細細長 張整 組的「成果回報單J (如附件(同) ，使用時 記得將 A4 影印放大成 B4 0 )。 2. 教師說明: 三天後，各組要作成果發表。 今天活動結束後，請在組長的任務分["卡 通力合作，每{Ii:組員將找出的圓形交由組 長彙整，同時發揮想像力，昂的(找出來的 每-個圓形「命名 J '它可以足，你干活問遭 事物的名稱，也可以是抽象的、!惡性的、 有趣的意念想法。 3. 教師鼓勵:請同學與家人共同研究或分乎 成果，如果家人有共同參與研究或分享成 果，請他們在自己的「活動紀錄單 J (如附 件(二 »t簽名。 4. 教師說明:下次上這個課之前，組長彙整 全組資料(紀錄不同的線對稱圓形以及它 的名稱(可以兩個以上»'iTE統計輕組的家 人總簽名毀，再詳實紀錄於「成果 r11 報單」 t--, 05. 教師說明:下次上課的前-天繳交「成果
回報單」的組耳目，由老師影印給所有組):\\1 各 4 份，下次 t課當天才轍交的姐則，請 該組組長-定要在 u果前，負責影印給老 師以及所有組別各一份「成果回報單」。 6. 教師事先抽籤決定 F 次報告組別與公布組 長 r'o 台的次序，並宣布:下次 I二課組長要 上台作: 1~2 分鍾的成果報告，內容為@兩 個活動的簽名總人數各有多少?@畫出多 少個「線對稱圈子 J?
(])是否摺剪出「長于牽短于、短于牽長于」三個人形的完成
圖?@)寫出心個最有創意的命名，並在白 板(方陣紙 )J: 畫出這個圈子。(
:
)此項活動的第二階段: (第;節課的前半 時段實施) 1.教師與組長在上課前，影印各組完成的「成 果同報單 J '並分送-份給各組組長和老 師。 2. 件組依 100 次抽籤次序，由組長 t 台作 1~2 分蟬的成果報告。教師則隨時紀錄各組報 台之優缺點。 3. 師生 A 起分享各甜的報告內容時，教師要 多給學牛鼓勵。 4. 報告結束，教師配合電子簡報，透過提問 或討論與學生共同作「解題策略」分析﹒ (1)因為只圓 圈，所以被圍的人→定是方陣 內部九人的其中五人。(2) 因為國內必須是 5 人，圈外是 8 人，所以
于牽手的人有 12 人。
(3)只有圈內 5 人的排列方式為線對稱，才可 能闖出線對稱的圈子。因為 4 個線對稱圓 形內部，若以對稱軸為界，兩側的圓圈必-
53 一完成圖。 (一)此項活動的第一階段: (第一節後半時段
實施)
1.教師發給每人一份如下頁上圖的「于牽 手，三個好朋友」遊戲紙。(可將此圖影印 長、寬各約為 12 公分與 4 公分的大小，再 治黑色邊線剪下即可。) 置，是要 2 個人或 O 人參與圓圈;用心考 慮且畫出對稱軸一側對應 5 人或 6 人的各 種圍圈方式;最後作對稱軸另一側的鏡射 圖形即可。 ※此策略的運用，不只可以提高解題效率與 正確性，更可強化學生的線對稱概念與鏡 射圓形的作圖能力。 5.教師以電子簡報，將所有的「線對稱圈子」 作有次序的呈現(共有 32 種不同的正確圈 子，如電子簡報檔第 23 至 56 張，而其中 有兩個圖重覆出現)。教師講解簡報時，除 了呼應解題策略與之前學生的報告內容 外，也要求每位同學，隨時在自己的遊戲 紙補畫上遺漏的圓形。三、教師進行「手牽手，三個好朋友」
的教學活動: 本活動的第一階段，是緊接「五花八門 圍一圈」的第一階段活動完成後進行，其教 學目標正是希望學生能活學活用「線對稱」 與「鏡射」的概念，在教師自創的遊戲中， 用最簡單的方式，摺剪出兩種不同的手牽手 互為鏡射，所以只要找出圍內 5 人的所有 線對稱排列方式，就可畫出更多或者是全 部的線對稱圈子。 (4)如果對稱軸通過的位置，手牽手圍圈的人 恰有 2 個，則對稱軸一側還有 5 個人參與 手牽手圍圈;如果對稱軸通過的位置，沒 有手牽手圍圈的人，則對稱軸一側就要有6 個人參與手牽手圈圈。所以只要確定對
稱軸一側圍圈的人，就可用鏡射或對稱的 概念，更有效率地圈出正確的圈子。 (5) 同憬的人牽手，卻可能不只一種牽手方 式，聞出的圈子可能就會不一樣。 (6)綜合以上 (1 )~(5)的解題分析:解題時將圈 子內五個人的某一線對稱排列圖案先行 定出(共有 8 種不同的排列圖案) ;接著畫 出它的一條對稱軸;決定對稱軸經過的位2 教師以事先製作之電「簡報配合學習單 (如何才件(今) ，引導學把 f 解問題位作解題 (1)長手牽長手，短手牽短手。
合
說明:( 1
)遊戲紙的兩邊有兩個全等人形，旬，個人 Jf~ 除 f 一長一短的于部外，其它自r;杭甘與人 形頭部中心線成對桶，而且每個人形兩于 打開的寬與中央矩形等寬。 (2) 同組同學集思廣益，設法利用兩側的人形 (2) 長手牽短手，短手牽長手 O 摺疊至 rjJ 央 ~R }f~紙 I'. 的輪廓，在押形紙上(
-)教師作第-階段活動的規劃晶|問: 再剪出另，但|全等人形。剪紙時必須先全 L 教師發給每位學生-張兩份的遊戲紙。(由 吉[I摺疊好再剪'而且剪了之後便不得{J}閑 學生臼 h 利用時間沁著黑色邊線剪出遊戲 來剪。)
。 TlJ 鬥 Ua 日 μ 江此 ，v 月 (3) 問題:全組通力合作，每位同學都能在 3 2. 教師 H守電于簡報檔第 64 張展現給學位看， 分鐘內，用最簡單的方式，摺剪 rH I 長于 'W 宣刊ti :請各組!組長領導整細分 r 合作，牽長手、短于牽短手」三個人形的完成個]
"
想、 HI r 長于牽划于、短手牽長于」三個人
3. 教師於小組討論時，民主 n: 行間巡視，的|而 f朽的摺剪方式。在 F 次 I'. 此活動課之前， 學解答疑惑，使同學更 F 解的動規則與 H 組長要將正確的摺剪方式繳交給老師(如 的，世鼓勵或帶有in 1~JJl1思索就先行放棄的 t-_ 國 (2))' I 的何種正確解答必須台(1)→份摺 學牛-親自動于做。 紙闢 (2)- 1:分剪紙闊，且必須於紙 I. 註明組4.
--:_分鍾的合作解題結束，教師以電「閻部 ol
l -力 講解摺剪方式，世實際操作遊戲紙給學丹: 3. 教自IIi 鼓勵同學與家人共同研究或分享成 右。詞在各組剪 lU 完成圓的人數， [7 以表 果，如果家人有共同參與研究或分享成 揚或圳分。 果，請他們在自己的「活動紀錄單 J (如附 5. 教師將摺剪 w 的完成|劃(如 H商(1)
,
'fa 了一間 fj:(玉 ))L~ 簽名。 報檔第 60 張)展現給學生看，並解說.這 4. 教師晶明:~.次 I: 這個課之前，組長彙整 i[叫圖可以是摺剪在邊的人形得到的，也 llJ :個好朋友」全組資料'，[(，; il守「于牽子，
以是摺剪右邊的人形得到的)而藉由解說 與「五花八門 l劃 4 圈」的家人牌、簽名數， 與對照，不只可以帶給學 lj:. 'tJ 鏡射 I剖形的 統計立世紀錄於各組的「成果 [hj 報單 J (如附 深刻印象，也會提高學牛-了解「線對稱」 fH 內))。 的基本概念。(電 f聞報檔第 63 張的第二 5. 教師再次說明: ~.次 I'.課的前一天繳交「成 種摺剪 j去，可於第:階段的教學中，再作 果[口I 報單」的組別， I臼老師影印給所有組 ζJ '、〕 補充說明別各一份;1'次J-.課當天 J繳交的組則， 請該組組長一定要在 I·. 課前，負責影印給 老師以及所有組別各 1分「成果回報單」。 (-~ )此項活動的第 1皆段: (第二節課的後乍 時段實施) 1.教師報告此活動的表現情況，並與同學分 享各組的摺剪成果。 2. 教師以電子簡報講解「長于金短手、短于 牽長于」之摺剪法，自巾魚一起操作遊戲紙， 並伺機由學主或教師作「解題策略 j 分析:
(1
)因為長于要牽矩于，所以先將右側(或 但Jj )人形山人頭中心線對摺，就可找到長 于與短于的長度差(如圍中灰色矩形的部 分)。 (2) 以紅色矩形的縱對稱軸作鏡射(將軸右側 的紙對摺後，摺疊到中央軍形紙的 k 面),
如此就口J在中央矩形紙上，摺疊出→個雙 于皆為短于的線對稱人形(如右圖的摺紙 圖示)。 (3)因為摺疊在矩形紙 t 的人形，它的右邊必 須是知于，左邊必須是長于，所以再將 側人形由人頭中心線對摺'就可以補 1-.rj
,
央矩形紙仁短于變為長于的不足長度(如 下圓的摺紙圖示)。 ※藉由學生的解題活動與教師的分析講解， 除了叫以強化學在瞭解線對稱與鏡射的意 義，還叫以讓學生體會數學知識的妙用 3 - --以此線為軸，將軸一側的圓 形向前或向後摺疊。 以此線為軸，將軸一側的圓 形向前或向復摺，再攤平復留下的摺痕。 ...0..-3. 教師鼓勵 CD 仍未剪出正解的學生，再嘗試 摺剪看看; (寄已經摺剪 iH 兩種不同「于牽 于」完成國的同學，可觀察、比較兩者的 差別。 4. 教師配合電子簡報，講解「長于牽短于、 短手牽長于」的第 A 種摺剪方法，也叫補充「長于牽長于、短于牽短于」的第三種
摺的法。肆、實施配當: (總計兩節課， 90 分鐘)
吾有 教學活動 內 r在7斗? 評量 教學教學資 1Jhi
次
方式 時間 教師藉由趣味化與中活化的題材，講解 一 「線對稱」與「鏡射」的概念與意義，藉11
電子簡報檔 此引起學生學習動機。 教師進行「五花八門圖一圈」的第-階段 小組 ~!F 呈 電 F簡報檔 一個人訐量
24
附件( ....~)
教學活動。 附件(..:.)
一 教師作「五花八門開一圈」第 J 階段活動2
附件(三) 規劃的說明。 附件(同) 教師進行「于牽手，三個好朋友一」的第 A 小組評量6
電于簡報檔 一 階段教學活動。 個人評旦 附件(7\)
教師作「于牽于，三個好朋友」第二階段
電子聞報梢 一 活動規劃的說明，並對本節活動內容作簡2
附件(二) 要性整理複習。 附件(四) 教師進行「五花八門間一國」的第一階段 小組評量 電子簡報檔30
附件(二)、 一 教學與回饋活動。 個人評量 (間)、 ( I弋)教師進行「于牽于，岡好朋友」的第-
小組評量13
電于簡報檔 一 階段教學與問饋活動。 個人評量 |司打牛(六)-
教師對本課軒作結論。2
電子聞報棺 一 。教師課前與課後的準(捕事項: (以 ~fjf 42 個學笠 '6 個小車H 計算) (一)課前準備事項: l 圓圓形磁鐵片 30 個。製作: 12 張力陣紙， 6 個組的隊名籤 0 分科l名單表。兩種摺好的「于牽手」大型遊戲紙。兩種剪好的「于牽于」人11 乏人形完成圈。
2.Powerpoint 電「簡報檔與附件( :.)、(同)文件檔磁片。單梢投影機。電腦及視聽設備。 3. 影印:附件(一) ，.于未手走出美麗新境界」學習單位張。附件(-~) r 五花八門周一 罔」小組jJ1f戲紙 6 張。附件('.)
，.于牽于走 IH 美麗新境界」活動紀錄單位張(影印成 B4) 。附件(四) ，.于牽于走出美麗新境界」成果回報單 6 張(影印成 B4) 。附件(六): ,.
于牽于，三三個好朋友」遊戲紙 126 張(請參見本文第 6 頁的圖) ，並預先沿著黑線剪好 課堂使用的遊戲紙 42 張，另外 84 張只要影印給每位學 It 2 張， \說由他們白己說 )2l是線 剪下遊戲紙即可。 (二)課後完成事項: 1.影印附件(五):
r 五花八門圍」罔 J 32 種線對稱園子的解答 1 Y長。 12
評閱各組「成果fI嘲單 J '做現優良之組別或個人的成果與教師印製的解答，張貼 展示於班級公布欄或學習角。- 57
附件(一)
「手牽手甜美麗新境界」學習單
班級:組別:一一一座號:一一學生姓名:
1.
r 五花八門園一圈」的活動:
(1)遊戲紙上有 5 乘以 5 共 25 個圓(代表 25 個人)的方陣，而每個國都點出了圓心。將相鄰 的兩個圓心以直線相連，就表示兩個人手牽手，而圍出的圈子是指用直尺將某些國心依 序達出一個封閉性圖形。(2)
r 五花」指被圈子圍在內部的必須有五個人(可以用筆塗滿這五個圓的內部);而「八門」 是指圈子外部必須有八個人;而「園一圈」所規定的圈子必須是各種「線對稱」圓形。 (3) 問題:在遊戲紙上畫出符合以上條件的「線對稱圈子」及其對稱軸。 (4) 下圖左邊的兩種圈子是錯誤的圍法;而右邊的兩種圈子是正確的圍法。。
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(5) 同組同學集思廣益，在整組的遊戲紙上嘗試完成各種不同的線對稱圈子。解題時間為旦 分鐘，大約 5 分鐘後，老師抽籤請每組的組長，上台報告所找到不同圓形中的任何一個 (各組報告的圓形儘可能不同)。2.
r 手牽手，三個好朋友」的活動:
(1)遊戲紙的兩倒有兩個全等人形，中央是一個矩形紙。每個人形除了一長一短的乎都外， -其它部位皆與其頭部中心線成對稱，而且每個人形兩手打開後的寬與中央矩形等寬。 (2) 同組同學集思廣益，設法利用兩側人形摺疊至中央矩形紙上的輪廓，在矩形紙上再剪出 另一個全等人形。剪紙時必須先全部摺疊好再剪，而且剪了之後使不得再摺來剪。 (3) 問題:主主堂內，各組的每一位學生都能用最簡單的方式，摺剪出「長手牽長手、短手 牽短手」三個人彤的完成圈。3. 下次上課前應完成的作業:
(1)每位組員要在組長的任務分工下通力合作:曰找出各種「五花八門圍一圈」的線對稱圈
同時為每一個圖形「命名 J' 這個名稱可以是你生活周遭事物的名稱，也可以是任何抽象的、感性的、有趣的意念想法。因摺剪出「長手牽短手、短手牽長手」的三個人形的完
成圈。 (2) 每位組員可以和家人共同研究或分享成果，如果家人有共同參與研究或分享成果，請他 們在自己的「活動紀錄單」上簽名，並將個人完成後的作品儘快交給組長彙整。 (3) 各組組長彙整全組資料(紀錄不同的線對稱圓形以及它的名稱(可以兩個以上))
，並統 計整組的家人總簽名數，紀錄於「成果回報單」後，將「活動紀錄單」退還給組員。 (4) 各組組長一定要在下次上諜的前一天繳交「成果回報單 J '老師才來得及影印給所有組 別各一份;下次上課當天才繳交的組別，請該組組長一定要在上課前，自行負責影印給 老師以及所有組別各一份「成果回報單」。 (5) 各組組長也要在下次上這個活動諜前，繳交「長手牽短手、短手牽長手」的正確摺剪法給老師，而每種正確解答必須含回一份摺紙團囝一份剪紙圈，而且記得在遊戲紙上言主明
組別。好鄰居
