數學 題本

104 學年度學科能力測驗試題

數學考科

作答注意事項

考試時間：100 分鐘

題型題數：單選題

4 題，多選題 6 題，選填題第 A 至 J 題共 10 題

作答方式：用

2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿

使用修正液（帶）

。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答

案者，其後果由考生自行承擔。

選填題作答說明：選填題的題號是

A，B，C，……，而答案的格式每題可能

不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一

個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

例：若第

B 題的答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是

8 3

，則考生

必須分別在答案卡上的第

18 列的 與第 19 列的 畫記，如：

例：若第

C 題的答案格式是 ，而答案是

7 50 

時，則考生必須分別在答案

卡的第

20 列的 與第 21 列的 畫記，如：

※試題後附有參考公式及可能用到的數值

3 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

18

19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

20

21

1 2 3 4 5 6 8 7 9 0   1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  _  7 19 18 20 21 50

第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 占 5 0 分 ）

一 、 單 選 題 （ 占 2 0 分 ）

說明：第

1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記

在答案卡之「選擇（填）題答案區」

。各題答對者，得

5 分；答錯、未作答或畫記多

於一個選項者，該題以零分計算。

1 . 每 週 同 一 時 間 點 記 錄 某 植 物 的 成 長 高 度 ， 連 續 五 週 的 數 據 為 1 1, 2, 6, 15, 312 3 4 5 a  a  a  a  a  。 請 問 此 成 長 高 度 數 列 滿 足 下 列 選 項 中 哪 一 個 式 子 ？ (1) a_t13a_t ，1 t1, 2, 3, 4 (2) a_t ，t! t1, 2, 3, 4, 5 (3) 2 1 t t a a  ，t t1, 2, 3, 4 (4) 2t 1 t a   ，t1, 2, 3, 4, 5 (5) a_t1ta_t ，1 t1, 2, 3, 4 2 . 第 1 天 獲 得 1 元 、 第 2 天 獲 得 2 元 、 第 3 天 獲 得 4 元 、 第 4 天 獲 得 8 元 、 依 此 每 天 所 獲 得 的 錢 為 前 一 天 的 兩 倍 ， 如 此 進 行 到 第 3 0 天 ， 試 問 這 3 0 天 所 獲 得 的 錢 ， 總 數 最 接 近 下 列 哪 一 個 選 項 ？ ( 1 ) 1 0 ,0 0 0 元 ( 2 ) 1 , 00 0 ,0 0 0 元 (3) 100,000,000 元 ( 4 ) 1 , 00 0 ,0 0 0 ,0 0 0 元 ( 5 ) 1 , 00 0 ,0 0 0 ,0 0 0 ,00 0 元 3 . 有 兩 組 供 機 器 運 作 的 配 件 A 、 B ， 其 單 獨 發 生 故 障 的 機 率 分 別 為 0 . 1 、 0 . 1 5 。 只 有 當 A B 都 發 生 故 障 時 ， 此 機 器 才 無 法 運 作 。 A、 B 兩 配 件 若 用 串 接 方 式 ， 前 面, 故 障 會 導 致 後 面 故 障 ， 但 若 後 面 故 障 則 不 會 影 響 前 面 的 故 障 情 形 ； 若 用 並 列 方 式 ， 則 故 障 情 形 互 不 影 響 。 若 考 慮 以 下 三 種 情 形 ： (一 ) 將 B 串 接 於 A 之 後 (二 ) 將 A串 接 於 B 之 後 (三 ) 將 , A B 獨 立 並 列 在 情 況(一 )、 (二 )、 ( 三 )之 下 ， 機 器 無 法 運 作 的 機 率 分 別 為

p

₁、

p

₂、

p

₃。 請 選 出 正 確 的 選 項 。 (1)

p

₁



p

₂



p

₃ (2)

p

₂



p

₁



p

₃ (3)

p

₃



p

₂



p

₁ (4)

p

₃



p

₁



p

₂ (5)

p

₁



p

₂



p

₃

4 . 一 線 性 規 劃 問 題 的 可 行 解 區 域 為 坐 標 平 面 上 的 正 八 邊 形 ABCDEFGH 及 其 內 部 ， 如 右 圖 。 已 知 目 標 函 數 axby3（ 其 中 a b, 為 實 數 ） 的 最 大 值 只 發 生 在 B 點 。 請 問 當 目 標 函 數 改 為 3 bx ay  時 ， 最 大 值 會 發 生 在 下 列 哪 一 點 ？ (1) A (2) B (3) C (4) D (5) E

二 、 多 選 題 （ 占 3 0 分 ）

說明：第

5 題至第 10 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項

畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」

。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，

得

5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項

或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

5 . 小 明 參 加 某 次 路 跑 1 0 公 里 組 的 比 賽 ， 下 表 爲 小 明 手 錶 所 記 錄 之 各 公 里 的 完 成 時 間 、 平 均 心 率 及 步 數 ： 完 成 時 間 平 均 心 率 步 數 第 一 公 里 5 : 0 0 1 6 1 9 9 0 第 二 公 里 _{4 : 5 0 1 6 2 1 0 0 0} 第 三 公 里 _{4 : 5 0 1 6 5 1 0 0 5} 第 四 公 里 4 : 5 5 1 6 2 9 9 5 第 五 公 里 4 : 4 0 1 7 1 1 0 1 5 第 六 公 里 _{4 : 4 1 1 7 0 1 0 0 5} 第 七 公 里 _{4 : 3 5 1 7 3 1 0 5 0} 第 八 公 里 4 : 3 5 1 8 1 1 0 5 0 第 九 公 里 4 : 4 0 1 7 1 1 0 5 0 第 十 公 里 _{4 : 3 4 1 8 8 11 0 0} 在 這 1 0 公 里 的 比 賽 過 程 ， 請 依 據 上 述 數 據 ， 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) 由 每 公 里 的 平 均 心 率 得 知 小 明 最 高 心 率 爲 1 8 8 (2) 小 明 此 次 路 跑 ， 每 步 距 離 的 平 均 小 於 1 公 尺 (3) 每 公 里 完 成 時 間 和 每 公 里 平 均 心 率 的 相 關 係 數 爲 正 相 關 (4) 每 公 里 步 數 和 每 公 里 平 均 心 率 的 相 關 係 數 爲 正 相 關 (5) 每 公 里 完 成 時 間 和 每 公 里 步 數 的 相 關 係 數 爲 負 相 關

6 . 設 f x( )是 首 項 係 數 為 1 的 實 係 數 二 次 多 項 式 。 請 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) 若 f(2) 0 ， 則 x 可 整 除 ( )2 f x (2) 若 f(2) 0 ， 則 ( )f x 為 整 係 數 多 項 式 (3) 若 f( 2) 0 ， 則 (f  2) 0 (4) 若 f(2 ) 0i  ， 則 ( 2 ) 0f  i  (5) 若 (2 ) 0f i  ， 則 ( )f x 為 整 係 數 多 項 式 7 . 坐 標 平 面 上 ， 在 函 數 圖 形 2x y 上 ， 標 示 A 、 B 、 C 、 D 四 個 點 ， 其 x 坐 標 分 別 為 1  、 0、 1、 2。 請 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) 點 B 落 在 直 線 AC 下 方 (2) 在 直 線 AB 、 直 線 BC 、 直 線 CD 中 ， 以 直 線 CD 的 斜 率 最 大 (3) A 、 B 、 C 、 D 四 個 點 ， 以 點 B 最 靠 近 x軸 (4) 直 線 y2x與 2x y 的 圖 形 有 兩 個 交 點 (5) 點 A 與 點 C 對 稱 於

y

軸 8 . 坐 標 平 面 上 有 一 雙 曲 線 ， 其 漸 近 線 為 x  和y 0 x  。 關 於 此 雙 曲 線 的 性 質 ，y 0 請 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) 此 雙 曲 線 的 方 程 式 為 2 2 2 2 1 x y r  r  或 2 2 2 2 1 x y r  r   ， 其 中 r 為 非 零 實 數 (2) 此 雙 曲 線 的 貫 軸 長 等 於 共 軛 軸 長 (3) 若 點 ( , )a b 為 此 雙 曲 線 在 第 一 象 限 上 一 點 ， 則 當 a1000時 ， a b  1 (4) 若 點 ( , ), ( ', ')a b a b 為 此 雙 曲 線 在 第 一 象 限 上 兩 點 且 a ， 則a' b b' (5) 此 雙 曲 線 同 時 對 稱 於 x軸 與 y 軸 9 . 如 圖 ， 以 M 為 圓 心 、 MA = 為 半 徑 畫 圓 ， AE 為 該 圓 的 直 徑 ， B 、8 C 、 D 三 點 皆 在 圓 上 ， 且 AB=BC=CD=DE。 若 MD8(cos(θ 90 ), sin(θ 90 ))    。 請 選 出 正 確 的 選 項 。 ( 1 ) MA8(cosθ, sinθ) ( 2 ) MC8(cos(θ 45 ), sin(θ 45 ))    ( 3 ) （ 內 積 ） MA MA  8 ( 4 ) （ 內 積 ） MB MD  0

( 5 ) BD8(cosθ cos(θ 90 ), sinθ sin(θ 90 ))      E

B C

D

A

1 0 . 某 一 班 共 有 4 5 人 ， 問 卷 調 查 有 手 機 與 平 板 電 腦 的 人 數 。 從 統 計 資 料 顯 示 此 班 有 3 5 人 有 手 機 ， 而 有 2 4 人 有 平 板 電 腦 。 設 ： A 為 同 時 有 手 機 與 平 板 電 腦 的 人 數 B 為 有 手 機 ， 但 沒 有 平 板 電 腦 的 人 數 C 為 沒 有 手 機 ， 但 有 平 板 電 腦 的 人 數 D 為 沒 有 手 機 ， 也 沒 有 平 板 電 腦 的 人 數 請 選 出 恆 成 立 的 不 等 式 選 項 。 (1) A＞ B (2) A＞ C (3) B＞ C (4) B＞ D ( 5 ) C＞ D

第 貳 部 分 ： 選 填 題 （ 占 5 0 分 ）

說明：1.第 A 至 J 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（11–37）。

2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 如 圖，老 王 在 平 地 點

A

測 得 遠 方 山 頂 點

P

的 仰 角 為13。老 王 朝 著 山 的 方 向 前 進 3 7 公 丈 後 來 到 點

B

， 再 測 得 山 頂 點

P

的 仰 角 為15。 則 山 高 約 為

⑪ ⑫

公 丈 。 （ 四 捨 五 入 至 個 位 數 ， tan13 0.231， tan15 0.268） B. 不 透 明 袋 中 有 3 白 3 紅 共 6 個 球 ， 球 大 小 形 狀 相 同 ， 僅 顏 色 相 異 。 甲 、 乙 、 丙 、 丁 、 戊 5 人 依 甲 第 一 、 乙 第 二 、 … … 、 戊 第 五 的 次 序 ， 從 袋 中 各 取 一 球 ， 取 後 不 放 回 。 試 問 在 甲 、 乙 取 出 不 同 色 球 的 條 件 下 ， 戊 取 得 紅 球 的 機 率 為

⑬

⑭

。（ 化 為 最 簡 分 數 ） C. 小 燦 預 定 在 陽 台 上 種 植 玫 瑰 、 百 合 、 菊 花 和 向 日 葵 等 四 種 盆 栽 。 如 果 陽 台 上 的 空 間 最 多 能 種 8 盆 ， 可 以 不 必 擺 滿 ， 並 且 每 種 花 至 少 一 盆 ， 則 小 燦 買 盆 栽 的 方 法 共 有

⑮ ⑯

種 。 A 37 B P

D. 平 面 x  y z 0與 三 平 面 x2，x  y 2，x y 2分 別 相 交 所 得 的 三 直 線 可 圍 成 一 個 三 角 形 。 此 三 角 形 之 周 長 化 成 最 簡 根 式 ， 可 表 為 a b c d ， 其 中 a b c d, , , 為 正 整 數 且 b d ， 則

a



⑰

， b

⑱

，

c



⑲

， d

⑳

。 E. 坐 標 平 面 上 ， 直 線 L 與₁ L 的 方 程 式 分 別 為₂ x2y0與 3x5y0。 為 了 確 定 平 面 上 某 一 定 點 P 的 坐 標，從 L 上 的 一 點₁ Q 偵 測 得 向 量₁ Q P₁  ( 7, 9)，再 從 L 上 的 點₂ Q₂ 偵 測 得 向 量 Q P₂   ( 6, 8)　 ， 則 P 點 的 坐 標 為 （

㉑

,

㉒

）。 F. 小 華 準 備 向 銀 行 貸 款 3 百 萬 元 當 做 創 業 基 金 ， 其 年 利 率 爲 3 %， 約 定 三 年 期 滿 一 次 還 清 貸 款 的 本 利 和 。 銀 行 貸 款 一 般 以 複 利（ 每 年 複 利 一 次 ）計 息 還 款 ， 但 給 小 華 創 業 優 惠 改 以 單 利 計 息 還 款 。 試 問 在 此 優 惠 下 ， 小 華 在 三 年 期 滿 還 款 時 可 以 比 一 般 複 利 計 息 少 繳

㉓ ㉔ ㉕ ㉖

元 。

G.

某 一 公 司 ， 有 A、 B、 C 三 個 營 業 據 點 ， 開 始 時 各 有 3 6 位 營 業 員 ， 為 了 讓 營 業 員 了 解 各 據 點 業 務 狀 況 ， 所 以 進 行 兩 次 調 動 。 每 次 調 動 都 是 ： 將 當 時 A 據 點 營 業 員 中 的 1 / 6 調 到 B 據 點 、 1 / 6 調 到 C 據 點 ； 將 當 時 B 據 點 營 業 員 中 的 1 / 6 調 到 A 據 點 、 1 / 3 調 到 C 據 點 ； 將 當 時 C 據 點 營 業 員 中 的 1 / 6 調 到 A 據 點 、 1 / 6 調 到 B 據 點 。 則 兩 次 的 調 動 後 ，C 據 點 有

㉗ ㉘

位 營 業 員 。

H . 有 一 底 面 為 正 方 形 的 四 角 錐 ， 其 展 開 圖 如 下 圖 所 示 ， 其 中 兩 側 面 的 三 角 形 邊 長 為 3 , 4 , 5， 則 此 角 錐 的 體 積 為

㉙ ㉚ ㉛

₃

。

（ 化 為 最 簡 根 式 ） I . 在 空 間 中 ， 一 個 斜 面 的 「 坡 度 」 定 義 為 斜 面 與 水 平 面 夾 角 的 正 切 值 tan 。 若 一 金 字 塔（ 底 部 為 一 正 方 形 ， 四 個 斜 面 為 等 腰 三 角 形 ）的 每 一 個 斜 面 的 坡 度 皆 為 2 5，如 圖。則 相 鄰 斜 面 的 夾 角 的 餘 弦 函 數 的 絕 對 值 為

㉜ ㉝

㉞ ㉟

。（ 化 為 最 簡 分 數 ） J . 下 圖 為 汽 車 迴 轉 示 意 圖 。 汽 車 迴 轉 時 ， 將 方 向 盤 轉 動 到 極 限 ， 以 低 速 讓 汽 車 進 行 轉 向 圓 周 運 動，汽 車 轉 向 時 所 形 成 的 圓 周 的 半 徑 就 是 迴 轉 半 徑，如 圖 中 的 BC 即 是 。 已 知 在 低 速 前 進 時 ， 圖 中 A 處 的 輪 胎 行 進 方 向 與 AC垂 直 ， B 處 的 輪 胎 行 進 方 向 與 BC垂 直 。 在 圖 中 ， 已 知 軸 距 AB 為 2 . 8 5 公 尺 ， 方 向 盤 轉 到 極 限 時 ， 輪 子 方 向 偏 了 2 8 度 ， 試 問 此 車 的 迴 轉 半 徑 BC為

㊱

.㊲

公 尺 。（ 小 數 點 後 第 一 位 以 下 四 捨 五 入 ， sin 28 0.4695, cos 28 0.8829） 2.85 公尺 A B C

參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值

1 . 首 項 為 a ， 公 差 為 d 的 等 差 數 列 前 n 項 之 和 為 (2 ( 1) ) 2 n a n d S    首 項 為 a ， 公 比 為 r r ¹( 1)的 等 比 數 列 前 n 項 之 和 為 (1 ) 1 n a r S r   

2 . 三 角 函 數 的 和 角 公 式 ： sin(AB) sin cos A Bcos sinA B

cos(AB) cos cos A Bsin sinA B

tan tan tan( ) 1 tan tan A B A B A B     3 . ABC的 正 弦 定 理 ： 2

sin sin sin

a b c R A B  C  （ R 為 ABC 外 接 圓 半 徑 ） ABC  的 餘 弦 定 理 ： 2 2 2 _{2 cos} c a b  ab C 4 . 一 維 數 據 X x x: , ,...,_{1 2} x ， 算 術 平 均 數_{n 1 2} 1 1 1 ( ) n X n i i x x x x n n        



標 準 差 2 2 2 1 1 1 1 ( ) (( ) ) n n X i X i X i i x x n n n            5 . 二 維 數 據 ( , ) : ( , ),( , ),...,( , )X Y x y_{1 1} x y_{2 2} x y_{n n} ， 相 關 係 數 1 , ( )( ) n i X i Y i X Y X Y x y r n        



迴 歸 直 線 （ 最 適 合 直 線 ） 方 程 式 _, Y ( ) Y X Y X X y  r  x      6. 參 考 數 值 ： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 ,     3.142

7 . 對 數 值 ： log 2 0.3010, log 3 0.4771, log 5 0.6990, log 7 0.8451₁₀  ₁₀  ₁₀  ₁₀ 

8 . 角 錐 體 積 =

1