一、中文摘要
本計畫為首度應用門檻接受法（Threshold Accepting, TA）與大洪水法（Great Deluge Algorithm, GDA），並 結合傳統交換法，設計多套解題程序以求解「時間窗車 輛 路 線 問 題 （ Vehicle Routing Problem with Time Windows, VRPTW）」之研究。本研究選擇Solomon之56 個標竿測試例題，以ANSI C語言撰寫程式，並在586 PC 個人電腦之LINUX環境下進行測試與績效比較。除對TA 及GDA之參數進行敏感度測試外，亦設計兩階段模組進 行測試。測試結果發現：在解題精確度方面，GDA的表 現比TA佳，但執行時間相對較長；與文獻最佳結果比 較，56個測試例題當中，本研究突破1題另有8題平手， 平均車輛總數誤差為0.20輛，平均總距離誤差為2.10%。 與其他國際文獻比較，本研究之方法僅略遜於文獻紀 錄，顯示GDA與TA兩種方法皆可做為VRPTW實務應用 上的有效解題工具，值得後續深入研究。 關鍵詞：時間窗車輛路線問題、巨集啟發式解法、門檻接 受法、大洪水法。 Abstr act
The Threshold Accepting (TA) and the Great Deluge Algorithm (GDA) metaheuristics which were developed in early 90's have not been applied to the Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW). This research integrated the implementation techniques of traditional local search algorithms with the search strategies of TA and GDA to solve the VRPTW. A bank of Solomon's 56 benchmark instances was utilized for analyzing the efficiency and the accuracy of our developed methods. Computational results showed that GDA seems to yield better average performance than TA on the 56 instances. We have also updated the best solution of one of the 56 instances. The average deviation of vehicles required is 0.20, and the average deviation of traveling distance is 2.10%. This implies that TA and GDA could provide useful tools for solving VRPTW and related problems.
Keywor ds: VRPTW, Meta-heuristics, Threshold Accepting, Great Deluge Algorithm.
二、緣由與目的
時間窗車輛路線問題（VRPTW）為基本車輛路線問 題(Vehicle Routing Problem, VRP)加上時間窗限制，其 問題描述如下 [Solomon (1984)]：考慮單一場站，同質 性的車隊，每輛車皆由場站出發再回到場站；假設每個 顧客之需求已知且皆小於車輛容量，每位顧客僅能被一 輛車服務。在不違反車輛容量限制、路線最大時限及時 間窗限制的情況下，求以最少車輛數及最短路線距離來 服務所有顧客。其中，時間窗限制意指必須在顧客要求 之時間上下界[T1, T2]之內開始服務該顧客，否則不為可 行解，但是允許車輛可在時間窗下界T1之前到達該顧客 點，惟須等到T1時刻始可進行服務。 由於VRPTW之計算複雜度屬於NP-hard，當問題規 模龐大時很難保證在有效時間內求得最佳解，因此除少 數學者致力於最佳解方法之研究外 [Desrochers et al.(19 92)、Fisher et al.(1997)及Kohi and Madsen (1997)]，大 多數學者仍著重於啟發式解法的發展，1995年以前VRP TW之求解多屬傳統性之啟發式方法，簡要描述如表1。 表1 應用於VRPTW之傳統啟發式解法 解法 代表方法描述 構建法 節省法、時間導向最近鄰點法、插入法、時間 導 向 掃 瞄 法 、 平 行 路 線 插 入 法 。 [Solomon (1984, 1987)、Potvin and Rousseau (1993)] 改善法 將傳統VRP改善法應用於VRPTW，如：K-Opt
節 線 交 換 、 Or-Opt 節 線 交 換 、λ-interchange 節點交換。[Potvin and Rousseau (1993)] 綜合法 不同於改善法先構建路線再進行路線改善。綜 合法於構建一部份路線後立刻進行路線改善， 逐次將路線擴大後，再逐次進行路線改善。 [Russell (1995)] 新近發展之巨集啟發式解法（Meta-Heuristics）主要 著重於跳脫局部最佳解以獲得更深度的搜尋，或者擴大 解空間的搜尋範圍以達到廣度搜尋的效果。此類解法最 具代表性的為「禁制搜尋法(Tabu Search, TS)」，表2列 出近年來求解VRPTW問題之巨集啟發式解法。 表2 應用於VRPTW之巨集啟發式解法 作者/年代 巨集策略 鄰域搜尋 總車輛數 Potvin et al. (1996) 禁制搜尋 2-opt Or-opt 426 Chiang and Russell (1996) 模擬鍛鍊 λ-interchange k-node interchange 422 Chiang and Russell (1997) 禁制搜尋 λ-interchange 411 (7題突破) Taillard et al. (1997) 禁制搜尋 CROSS-interchange Or-opt GENIUS 416 (17題突破)
門檻接受法(TA)[Dueck and Scheuer (1990)]與大洪 水法(GDA)[Dueck (1993)]為新近發展之兩種巨集啟發式 方法，皆具有跳離局部最佳解（Local Optimum）之機 制。本期計畫之研究目的在於應用TA及GDA，結合傳
行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告
包容性啟發式解法在時間窗車輛路線問題上之應用
Applications of Generic Heuristics Methods to Vehicle Routing Problem with Time Windows
計畫編號： NSC - 89 - 2211 - E - 009 - 027 執行期限： 88年 8月 1日 至 89年 7月31日
統交換法設計多套解題模組，以發展可求解VRPTW的 有效工具；並經由撰寫電腦程式執行題庫測試，與國內 外文獻最佳已知結果比較，以檢視TA與GDA在VRPTW 實際應用上的發展潛力與適用性。 目前國際文獻在分析VRPTW求解方法績效時，大多 採用Solomon (1984)所提出之標竿題庫進行測試。該題 庫共包含56個例題，題目規模皆為100個顧客點、平面 座標，可分為6組：R1 (12題)、R2 (11題)、C1 (9題)、C2 (8題)、RC1 (8題) 及RC2 (8題)。其中，R為均勻分配隨 機產生顧客位置、C為群聚方式產生顧客位置、RC為R 與C之混合方式產生顧客位置。分組代號末碼數字1表示 路線最大時限短、車輛容量小；2表示路線最大時限 長、車輛容量大之例題組別。 本研究之所有執行模組皆以ANSI C語言撰寫程式﹐ 並在LINUX系統環境之586 pro個人電腦執行測試所有例 題。解題績效之分析包括兩個項目：(1) 解題精度：第 一目標為車輛總數、第二目標為路線總距離，用以衡量 啟發式方法所得之近似解與「已知最佳解」之間的誤差 (百分比)；(2) 解題速度：用以評估啟發式方法之執行效 率﹐一般使用CPU時間。 三、研究方法及成果 3.1 TA與GDA在VRPTW上之基本應用 TA與GDA之基本觀念乃是在鄰域搜尋陷入局部最佳 解時，採取較鬆的接受法則接受劣於現解之可行解，以 便脫離局部最佳解的束縛而繼續搜尋下去，詳細內容可 參考[韓復華等人 (1999)]。 TA與GDA的執行架構與鄰域搜尋法之架構相似，差 異之處僅在於使用的接受法則與重複執行次數之設計機 制上有所差異。圖1以極小化問題之求解來說明TA與 GDA之接受法則異同。TA法係事先產生一組固定的門 檻 值 數 列 （ 通 常 為 遞 減 ） ， 依 次 使 用 數 列 中 的 數 值 （Tk）做為接受門檻，其接受法則為C(X new) < C(Xcurrent) + Tk；GDA法首先設定一個起始水位（L）做為接受門 檻，其接受法則為C(Xnew) < L，只要有移動就降低水位 （固定的下降速度）。 Xcurrent Xnew 目 標 函 數 C(X) 解 Tk Xcurrent Xnew 目 標 函 數 C(X) 解 L (a) TA (b) GDA 移動 移動 圖1 TA與GDA接受法則示意圖 TA法之控制參數包括：起始門檻比率(T0)及門檻值 數列長度(K)。此外，為避免TA發生無法收斂的情形， 門檻值數列通常為遞減型態。GDA法之控制參數包括： 起始水位(L0)與下降速度(d)。雖然GDA法之執行方式會 自動停止，但是為避免搜尋時間過久，也可以設定移動 次數上限來控制其執行時間。 TA與GDA應用於VRPTW之解題架構可分為兩個程 序：(1) 局部解構建程序，(2) 巨集改善程序。局部解構 建程序應用傳統啟發式方法，構建一個局部最佳解，此 程序包含起始解構建模組與鄰域搜尋模組，其中起始解 構建模組包含兩種起始解法，分別為「循序節省插入法 (SSI)」與「循序構建法(SC)」。鄰域搜尋模組則包括車 輛減少(Reduction)模組（如圖2）及交換改善模組。巨集 改善程序針對局部解構建程序的結果，進行巨集搜尋以 跳脫局部最佳解的束縛；本研究使用GDA及TA，並設 計兩種搜尋架構：G1及G2。G1與G2架構之執行流程簡 要說明如圖3；G1架構之設計概念在於增強鄰域搜尋的 深度，G2架構之概念在於增加鄰域搜尋的廣度。 k = 1 將點m插入其 他路線k1中 符合容量及 時間窗限制 開始 記錄插入成本 與插入位置 是 k = k + 1 k > |K| 是 K = K \ {k} 有可行解? 採用成本最 小之可行解 是 k = 1 將點i插入k1， k1之點j插入k2 符合容量及 時間窗限制 k = k + 1 k > |K| 是 否 是 執行插入動作 停止 否 否 m = 1 m > |Mk| 是 m = m + 1 i = 1 i > |Ik| 是 i = i + 1 否 復原插入動作 否 否 復原插入動作 K : 所有路線之集合 Mk: 路線k中所有節點之集合 Ik : 路線k中第一階段不可行節點之集合 否 有可行解? 記錄插入成本 與插入位置 否 是 圖2 Reduction模組之執行流程
開始 輸入現解與暫優解 設定控制參數 巨集搜尋（2-exch） 鄰域搜尋 (Reduction) 鄰域搜尋（2-exch） 結束 停止法則 是 否 巨集搜尋（1-0） 鄰域搜尋（1-0） 巨集搜尋（1-1） 鄰域搜尋（1-1） 網路結構變動 是 否 開始 輸入現解與暫優解 設定控制參數 巨集搜尋（2-exch） 鄰域搜尋(Reduction) 結束 停止法則 鄰域搜尋（2-exch） 是 巨集搜尋（1-0） 巨集搜尋（1-1） 網路結構變動 鄰域搜尋（1-0） 鄰域搜尋（1-1） 是 否 否 (a) (b) 圖3 G1及G2搜尋架構之執行流程 本研究將GDA及TA與搜尋架構G1及G2組合成為四 套 巨 集 搜 尋 模 組 ： G1(GDA) 、 G2(GDA) 、 G1(TA) 及 G2(TA)，然後進行解題績效測試。參數設定方面：TA 之控制參數，起始門檻T0=1.3%、門檻數列長度K=30， 門檻數列收斂型態採用梯狀遞減型門檻數列；GDA之控 制參數，起始水位L0 為局部解構建程序之起始解成本、 水位下降速度d=0.055。 測試結果顯示：四套巨集搜尋模組中，車輛總數誤 差最低為0.53、最高為0.60；總距離誤差最低為8.15%、 最高為10.03%。在執行架構方面：G2(GDA)之解題精度 較G1(GDA)為佳，G1(TA)之解題精度較G2(TA)佳，惟 G1與G2之差異並不顯著。此外，兩種起始解法SSI及SC 對巨集搜尋模組之影響亦不顯著。整體而言，GDA之解 題精確度較TA為高，其中以SC起始解法配合G2(GDA) 模組之解題精確度最佳。CPU執行時間方面，GDA之執 行時間明顯比TA長，G1與G2架構以及SSI與SC起始解法 之間則無顯著差異。詳細結果請參見[韓與林 (1999)]。 3.2 TA及GDA之參數敏感度測試 本節針對TA及GDA兩種演算法之控制參數進行敏感 度 測 試 與 分 析 。 根 據 3.1 節 之 測 試 結 果 ， G1(TA) 與 G2(GDA)具有較佳的解題精確度，限於時間，本研究遂 以G1(TA)及G2(GDA)模組進行參數敏感度測試。 (1) G1(TA)之參數測試 本研究設定：T0=0.3%、0.7%、1.0%、1.3%、1.6% 及1.9%，K=30、60及90，共18組參數組合進行測試。上 述參數設定對56個測試例題進行測試之結果如下：車輛 總 數 誤 差 為 0.34 至 0.71 輛 ， 總 距 離 誤 差 為 8.49% 至 19.40%，CPU執行時間13.91至42.22秒。 在敏感度分析方面，當K為30時，T0=1.3%之車輛總 數誤差最低，K為60及90時，T0=1.6%之車輛總數誤差最 低；三種門檻數列長度之間，以K=60及90時車輛總數誤 差較小。總距離誤差在T0=1.6%及1.9%時最低；門檻數 列長度對總距離誤差則無顯著影響。CPU執行時間大致 隨K增加而成倍數成長，T0增加對執行時間影響不大。 綜合上述測試結果，較適之參數範圍：T0值為1.3%至 1.9%，K值為60至90，此範圍之解題績效較佳且穩定。 (2) G2(GDA)之參數測試 本 研 究 設 定 ： d = 0.005 、 0.006 、 0.007 、 0.008 、 0.009、0.01、0.02、0.03、0.055、0.08共10組參數，至 於起始水位L0 則固定採用起始解成本。上述參數設定對 56個測試例題進行測試之結果如下：車輛總數誤差為 0.29至0.41輛，總距離誤差為6.51%至9.44%，CPU執行 時間為45.73至757.26秒。 在敏感度分析方面，車輛總數誤差、總距離誤差與 CPU執行時間皆受水位下降速度(d)之影響。大致而言， 下降速度越小，其解題精確度越佳，解題時間越久；當 d值在0.005~0.01之間，其趨勢較為緩和且呈水平震盪。 綜合上述測試結果，較適之d值範圍為0.006至0.01。 3.3 兩階段模組之設計與測試 本研究進一步將G1(TA)及G2(GDA)加以組合，其組 合方式為：G1(TA)+G2(GDA)及G2(GDA)+G1(TA)；以 循序構建法(SC)為起始解法[Soloman (1984)]，節省值參 數 為 (α, β, λ) = (0.4, 0.4, 0.2) 。 如 圖 4 所 示 ， G1(TA)+G2(GDA) 係 先 對 局 部 解 構 建 程 序 之 解 X0執 行 G1(TA)模組得到解X1，然後以X1為起點執行G2(GDA)。 本研究發現：若以C(X1)為初始水位之解題績效不彰，因 此需將L0調高。至於G2(GDA)+G1(TA)，則先對局部解 構建程序之解X0執行G2(GDA)模組得到解X1，接著執行 G1(TA)模組。 X0 G1(TA) X1 X1 G2(GDA) X2 G1(TA) + G2(GDA) X0 G2(GDA) X1 X1 G1(TA) X2 G2(GDA) + G1(TA) 圖4 兩階段模組執行架構之概念圖 (1) G1(TA)+G2(GDA)之測試結果 根據前述測試結果，第一階段G1(TA)之參數T0設定 為1.6%，K為90；第二階段G2(GDA)之d值設定為0.01， L0設定為C(X1)*1.05。 56題測試例題之平均車輛總數誤差為0.30輛，較相 同參數單階段G1(TA)模組之0.34輛誤差，減少0.04輛； 平均總距離誤差為6.52%，較G1(TA)模組之8.49%，減少 1.97%；平均CPU執行時間為230.48秒，較G1(TA)模組 之 42.22 秒 多 出 188.26 秒 。 以 上 結 果 顯 示 ， G1(TA)+G2(GDA)兩階段模組能有效改善G1(TA)單階段
模組之總距離誤差，車輛總數則無明顯改善，所需執行 時間則大幅增加。 (2) G2(GDA)+G1(TA)之測試結果 第 一 階 段 G2(GDA) 之 d 值 設 定 為 0.01 ， L0設 定 為 C(X1)；第二階段G1(TA)之參數T0設定為1.6%，K為90。 56題測試例題之平均車輛總數誤差為0.27輛，較相 同 參 數 單 階 段 G2(GDA) 模 組 之 0.29 輛 誤 差 ， 減 少 0.02 輛 ； 平 均 總 距 離 誤 差 為 7.11% ， 較 G2(GDA) 模 組 之 7.66%，減少0.55%；平均CPU執行時間為374.28秒，較 G2(GDA) 模 組 之 366.59 秒 多 出 7.69 秒 。 由 上 述 結 果 可 知 ， 在 車 輛 總 數 誤 差 及 總 距 離 誤 差 方 面 ， G2(GDA)+G1(TA)兩階段模組之改善效果均不明顯，惟 CPU執行時間亦未顯著增加。此乃因G2(GDA)之效果原 本就較G1(TA)強，因此先執行G2(GDA)之後，G1(TA) 能夠改善的空間不大。 3.4 最佳結果比較分析 (1) 本研究最佳結果與文獻已知最佳解之比較 本研究在所有參數測試過程中得到之最佳結果及其 與文獻已知最佳解比較彙整如表3。該表第一欄為各例 題 代 號 ； 第 二 大 欄 為 文 獻 已 知 最 佳 解 ， 包 含 車 輛 數 (Fleet)，距離成本(Cost)以及最佳解之文獻；第三大欄為 本研究最佳結果，包含車輛數(Fleet)、距離成本(Cost)、 車輛數誤差(△F)及距離誤差%(△C%)。表中字體加粗者 表示本研究結果至少與已知最佳解相同，其中例題 r210 更突破文獻已知最佳解，其車輛總數誤差為0、總距離 誤差為-1.59%；其他8題與文獻已知最佳解相同，分別為 c105、c108、c109、c201、c205、c206、c207與c208， 皆為群聚類型之問題。若以VRPTW之第一目標車輛數 來看，本研究在56題測試例題中，有45題與已知最佳解 之車輛數相同。 表3：VRPTW測試題庫之最佳結果 文獻已知最佳解 本研究最佳結果 文獻已知最佳解 本研究最佳結果 題號
Fleet Cost 文獻* Fleet Cost △F △C% 題號 Fleet Cost 文獻* Fleet Cost △F △C%
r101 18 1607.7 b 19 1696.2 1 5.50 r201 4 1253.2 c 4 1260.9 0 0.61 r102 17 1434.0 b 17 1545.5 0 7.78 r202 3 1207.2 c 3 1229.9 0 1.88 r103 13 1207.0 f 13 1347.2 0 11.62 r203 3 948.7 d 3 975.8 0 2.85 r104 10 982.0 d 10 1018.7 0 3.74 r204 2 855.2 a 3 768.0 1 -10.20 r105 14 1377.1 d 14 1453.3 0 5.53 r205 3 1004.3 c 3 1026.3 0 2.19 r106 12 1252.0 d 12 1300.5 0 3.87 r206 3 833.0 f 3 941.1 0 12.98 r107 10 1124.7 a 10 1169.0 0 3.93 r207 2 914.4 a 3 833.8 1 -8.81 r108 9 968.6 e 9 1005.4 0 3.80 r208 2 738.6 d 2 739.7 0 0.14 r109 11 1214.5 e 12 1201.5 1 -1.08 r209 3 855.0 f 3 943.7 0 10.38 r110 10 1174.5 a 11 1118.2 1 -4.79 r 210 3 966.3 c 3 950.9 0 -1.59 r111 10 1104.8 e 11 1111.4 1 0.59 r211 2 923.8 e 3 791.2 1 -14.36 r112 10 953.6 d 10 1016.1 0 3.39 R1平均 12.00 1200.1 12.33 1246.1 0.33 3.66 R2平均 2.73 954.51 3.00 950.6 0.27 -0.39 c101 10 828.9 b 10 849.6 0 2.50 c201 3 591.6 d 3 591.6 0 0 c102 10 828.9 b 10 957.5 0 15.51 c202 3 591.6 d 3 625.8 0 5.78 c103 10 828.1 d 10 870.3 0 5.10 c203 3 591.2 d 3 611.2 0 3.38 c104 10 824.8 d 10 850.4 0 3.11 c204 3 590.6 d 3 608.4 0 3.01 c105 10 828.9 d 10 828.9 0 0 c205 3 588.9 d 3 588.9 0 0 c106 10 828.9 b 10 838.1 0 1.10 c206 3 588.5 d 3 588.5 0 0 c107 10 828.9 b 10 841.2 0 1.48 c207 3 588.3 d 3 588.3 0 0 c108 10 828.9 b 10 828.9 0 0 c208 3 588.3 d 3 588.3 0 0 c109 10 828.9 d 10 828.9 0 0 C1平均 10.00 828.4 10.00 854.9 0.00 1.52 C2平均 3.00 589.9 3.00 598.9 0.00 1.52 rc101 14 1669.0 f 15 1671.0 1 0.12 rc201 4 1294.0 f 4 1457.0 0 12.6 rc102 12 1554.8 e 13 1544.5 1 -0.66 rc202 3 1432.9 c 4 1236.6 1 -13.7 rc103 11 1110.0 f 11 1302.4 0 17.33 rc203 3 1078.7 a 3 1130.5 0 2.85 rc104 10 1135.8 d 10 1158.5 0 2.00 rc204 3 806.8 d 3 833.0 0 3.26 rc105 13 1643.4 e 13 1698.2 0 3.34 rc205 4 1306.0 c 4 1346.3 0 3.08 Rc106 11 1448.3 e 12 1414.8 1 -2.31 rc206 3 1158.8 e 3 1189.2 0 2.62 rc107 11 1230.5 e 11 1261.9 0 2.55 rc207 3 1082.3 e 3 1096.4 0 1.30 Rc108 10 1139.8 e 10 1174.4 0 3.03 rc208 3 834.0 d 3 838.0 0 0.48 RC1平均 11.50 1366.5 11.88 1406.0 0.37 3.34 RC2平均 3.25 1124.2 3.38 1135.4 0.12 1.30 總平均 7.25 1017.9 7.45 1039.7 0.20 2.10 總平均 7.25 1017.9 7.45 1039.7 0.20 2.10 總數 406 417 總數 406 417 * 文獻來源：
a. Chiang and Russell (1997) b. Desrochers et al. (1992) c. Liu and Shen (1999) d. Rochat and Taillard (1995) e. Taillard et al. (1997) f. Thangiah et al. (1994)
在六類例題中，車輛總數誤差均在0.37輛以下，平 均為0.20輛；其中以C1及C2類表現最好，誤差均達到0 輛，RC1類表現較差，誤差為0.37輛。總距離誤差均在 3.66%以下，平均為2.10%；其中以R2類表現最好，誤差 達到-0.36%，R1類表現較差，誤差為3.66%。各題最佳 結 果 之 路 線 圖 ， 詳 見 本 研 究 網 站 ： http://www.tem.nctu.edu.tw/~network/。 (2) 本研究最佳結果與其他文獻方法之比較 表4比較數篇發表於國際文獻上之最佳結果與本研究 之最佳結果，表中第一欄為各類例題代號、車輛總數及 路線總距離，二至六欄分別為五篇文獻之結果，PB為 Potvin and Bengo (1996) ， CR-sa 為 Chiang and Russell (1996)，TAI為Taillard et. al. (1997)，CR-ts為Chiang and Russell (1997)，RNETS為Liu and Shen (1998)所用之方 法，第七欄為本研究之最佳結果，表中每個欄位所包含 的三個數字分別表示車輛總數(Fleet)，總距離(Cost)以及 CPU執行時間(單位為分鐘)。表4下之附註為各方法之執 行環境。
表4 本研究最佳結果與其他文獻方法之比較 Problem Set PBa CR-sab TAIc CR-tsd RNETSe 本研究f
R1 Fleet 12.6 12.50 12.17 12.17 12.17 12.33 Cost 1296.8 1308.82 1209.35 1204.19 1249.57 1246.36 CPU 11.32 2.86 229.56 89.91 44.28 0.93 R2 Fleet 3.00 2.91 2.82 2.73 2.82 3.00 Cost 1117.7 1166.42 980.27 986.32 1016.58 951.01 CPU 39.44 3.93 337.2 101.92 6.64 1.34 C1 Fleet 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 Cost 838.8 909.8 828.38 828.38 830.06 854.89 CPU 10.02 2.19 243.83 10.74 22.01 0.66 C2 Fleet 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 Cost 589.9 666.3 589.86 591.42 591.03 598.85 CPU 41.37 2.46 272.92 24.01 3.59 1.79 RC1 Fleet 12.1 12.38 11.50 11.88 11.88 11.88 Cost 1446.2 1473.9 1389.22 1397.44 1412.87 1405.95 CPU 11.22 2.57 187.73 47.37 30.46 0.86 RC2 Fleet 3.4 3.38 3.38 3.25 3.25 3.38 Cost 1360.6 1393.7 1117.44 1229.54 1204.87 1135.37 CPU 35.57 3.58 193.27 64.43 7.12 2.26 車輛總數 422 422 416 411 412 417 總距離 62579.1 64995.9 57522.8 58502.4 59317.9 58232.8
a. SUN SPARC10 workstation；b. 486DX2/66 PC； c. SUN SPARC10 workstation；d. Pentium-166 PC； e. HP-9000/720 workstation；f. Pentium pro-180 PC。
表4顯示車輛總數方面，本研究為417輛，次於CR-ts、RNETS及TAI，優於PB及CR-sa；總距離方面，本研 究為58232.8，僅次於TAI之57522.8，優於PB、CR-sa、 CR-ts及RNETS。R1類問題中，本研究之平均車輛數優 於PB及CR-sa，距離成本優於PB，CR-sa及RENT；R2類 本研究之平均車輛數與PB相同，距離成本則優於所有其 他方法；C1及C2類問題中，本研究之平均車輛數與其他 方法相同，距離成本優於CR-sa；RC1類問題，本研究之 平均車輛數僅次於TAI，與CR-ts及RENT相同，距離誤 差%僅次於CR-ts與TAI；RC2類問題，本研究之平均車 輛數次於CR-ts及RENT，距離成本僅次於TAI。就執行 時間來看，本研究在六類問題之平均執行時間皆明顯少 於所有其他方法，雖然影響執行時間之因素包括測試環 境、資料結構等等眾多因素，但仍然可以感受到本研究 相較於其他方法在執行速度上的優越性。 以總車輛數與總距離兩績效目標為XY軸，將各文獻 方法之結果與本研究最佳結果繪製成績效比較圖5，越 接近左下角表示解題績效越好。由圖中可看出，TAI與 CR-ts兩文獻之解題績效優於其他文獻，其中CR-ts之總 車輛數目標優於TAI，而TAI之總距離目標優於CR-ts， 兩 者 互 有 優 劣 。 其 次 為 RNETS 與 本 研 究 最 佳 結 果 ， RNETS在總車輛數目標上優於本研究最佳結果，但在總 距離目標上，則本研究最佳結果優於RNETS，兩者互有 領先。再其次為PB，而離左下角最遠者為CR-sa。 57000 58000 59000 60000 61000 62000 63000 64000 65000 66000 410 415 420 425
Total Number of Vehicles
Total Distance PB CR-sa TAI CR-tabu RNETS Our best solution 圖5 各文獻方法之績效比較圖 四、結論與討論 TA與GDA為新近發展之巨集啟發式方法，本研究首 次將其應用於求解VRPTW問題，包括對TA與GDA控制 參數進行敏感度分析，及兩階段模組的設計與測試，最 後並比較本研究最佳結果與國際文獻結果。本研究之主 要成果與發現如下： (1) 在本研究設定之參數範圍內，GDA法之解題績效優 於TA法；與G1及G2兩種巨集模組結合，則分別以 G1(TA)與G2(GDA)之績效較佳。 (2) 參數敏感度測試結果顯示，較適之參數範圍如下： G1(TA)之起始門檻比率(T0)為1.3%至1.9%、門檻數 列長 度 (K) 為 60 至 90 ； G2(GDA) 之 下降 速 度 d 值 為 0.006至0.01。 (3) 兩階段模組測試結果顯示，兩階段模組能夠改善單 一階段模組之總距離誤差，但車輛總數誤差則無顯 著改善。 (4) 本研究之最佳結果：56個例題之平均車輛總數誤差 為0.20輛，平均總距離誤差為2.10%。其中，有一題 (r210)優於文獻已知最佳結果，有八題與文獻已知最 佳結果相同，另有八題之車輛數誤差多一輛，但路 線距離低於已知最佳解。 (5) 與其他五種文獻方法比較：解題精確度（車輛總數 與總距離）方面，以CR-ts與TAI為最佳、其次為本 研究與RNETS、再其次為PB、最後為CR-sa。 在後續研究方向與建議方面，本研究發現TA與GDA 應用於有時間窗限制之問題時，不如其在無時間窗車輛
路線問題的效果佳[陳國清 (1998)、Han & Cho (1999)]， 尤其在車輛總數方面，無法有突破性的發展。後續研究 應加強減少車輛數的機制設計，並著重其他鄰域搜尋模 組之應用；在廣度化搜尋方面亦可參考其他巨集啟發式 方法，例如[韓與卓 (1999)]。 五、重要參考文獻 申生元 (1999)，時窗限制車輛途程問題，交通大學工業 工程與管理系博士論文。 林修竹 (1999)，包容性啟發式解法在VRPTW問題之應 用，交通大學運輸工程與管理學系碩士班碩士論文。 陳國清 (1998)，GDA與RRT啟發式解法在VRP問題上之 應用，交通大學交通運輸研究所碩士論文。 韓復華、卓裕仁 (1999)，混合型AI啟發式解法在週期性 車輛路線問題(PVRP)之應用，行政院國家科學委員 會委託研究報告(NSC-88-2218-E-009-036)。 韓復華、林修竹 (1999)，「TA與GDA巨集啟發式解法 在VRPTW問題上之應用」，中華民國第四屆運輸網 路研討會論文集，83-93頁。 韓復華、卓裕仁、陳國清 (1999)，「五種巨集啟發式方 法在VRP問題上的應用與比較」，中華民國第四屆運 輸網路研討會論文集，72-82頁。
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