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第十一屆“走進美妙的數學花園”全國青少年數學論壇
數學解題技能展示
七年級初賽 A 卷
1.方程1
1
1
1
2013
x
2012
2012
x
2013
的解是 . 【答案】x 1. 【解析】因該方程是一元一次方程，故解是唯一的.顯然x 1是方程的解，故方程的解是x 1. 2.如果△ABC 的三邊長a b c
, ,
滿足 2 2 2a
b
c
ab bc ca
，那麼△ABC 的形狀是 三角形. 【答案】等邊. 【解析】由已知條件得
a b
2
b c
2
c a
2
0
，又
a b
2
b c
2
c a
2
0
， 所以
a b
2
b c
2
c a
2
0
，a b c，△ABC 是等邊三角形. 3.某商店失竊，趙、錢、孫、李四人涉案被拘審，四人口供如下：趙說“孫是竊賊”；錢說“李是竊 賊”；孫說“如果我作案，那麼李是主犯”；李說“我沒有行竊”．已知四人口供中只有一個是假的， 由此可以斷定：說假話的是 ；作案者是 . 【答案】李；李和孫． 【解析】略. 4.已知5x 3 5x 4 7，則實數x的取值範圍是 . 【答案】3
4
5
x
5
. 【解析】根據5x 3 5x 4 7的幾何意義：數軸上5x到3和 4 的距離之和為 7，則5x位於3和 4 之間，故 3 5x4，3
4
5
x
5
. 5.方程組 3 1, 3 2, 3 3 x y z y z x z x y 的解是 . 【答案】2,
9
,
7
.
4
4
x
y
z
【解析】三個方程左右兩邊對應相加，得x
y
z
6
. 再分別用原三個方程與x
y
z
6
左右兩邊對應相減，得2,
9
,
7
.
4
4
x
y
z
6.計算： 1 1 1 1 1 1 ( )(1 ) 2 3 2013 2 3 20121
1
1
1
1
(1
)(
)
2
2013 2
3
2012
. 【答案】1
2013
. 【解析】設1
1
1
2
3
2013
a
，1
1
1
2
3
2012
b
，則1
2013
a b
. 原式(1
) (1
)
1
2013
a
b
a b
a b
.2 7.如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為1，點 E 在邊 AB 上，點 F 在邊 BC 上，且
1
3
AE
BF
，動點 P 從點 E 出發沿線段 EF 向點 F 運動，當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等於入射角，當點 P 第 一次回到點 E 時，點 P 與正方形的邊碰撞的次數（包括最後撞 E 的一次）為 . F D C A E B 【答案】6. 【解析】如圖，作相關直線的平行線，易知當點 P 第一次回到點 E 時，點 P 與正方形的邊碰撞的次 數為 6 次. F D C A E B 8.觀察下列不等式： 21
3
1
2
2
； 2 21
1
5
1
2
3
3
； 2 2 21
1
1
7
1
2
3
4
4
； …… 則第 5 個不等式是 ． 【解析】第 4 個不等式是1
1
21
21
21
29
2
3
4
5
5
， 第 5 個不等式是1
1
21
21
21
21
211
2
3
4
5
6
6
. 【說明】明年可改為解答題，證明雙向不等式. 9.已知雞兔同籠，共有 a 只頭和 b 只腳(a b
,
均是正整數)，則a b
,
應滿足的條件是 . 【答案】b 是偶數且2a b 4a. 【解析】設籠子裏有 x 只雞和 y 只兔子，則,
2
4
.
x
y
a
x
y
b
解得4
2
,
2
2
a b
b
a
x
y
. 由x y
,
都必須是正整數，可知 b 是偶數且2a b 4a. 10.設a b
,
是常數，當a b
,
滿足條件 時，二元一次方程組1,
2
ax by
x
y
a b
無解. 【答案】2a b 0且a 1. 【解析】消去x，得
2 2a b y a ab1. 該方程無解的條件是2a b 0且 21
0
a
ab
，即b 2a且a 1.3 11.已知在△ABC 中， ABBCCA，若 B 4 C，則
A
的取值範圍是 . 【答案】30 A 80 . 【解析】由 B 4 C， A B C 180，得 A 5 C 180. 解得36
1
5
C
A
，從而144
4
5
B
A
. 由ABBCCA，知 C A B，即36
1
144
4
5
A
A
5
A
. 解得30 A 80 . 12.已知a
0,
b
0,
a b
2
，則 2 2a
b
a b
的最小值是 . 【答案】1. 【解析 1】 2 21
2
21
22
2
2
a
b
a b
a b
a b
， 當且僅當a b 1時， 2 2a
b
的最小值是 2， 2 2a
b
a b
的最小值是 1. 【解析 2】設a
1
t b
,
1
t
. 則
2 2 2 2 21
1
1 1
2
t
t
a
b
t
a b
. 當且僅當t
0,
a
b
1
時， 2 2a
b
a b
的最小值是 1. 13.三邊長為整數，且周長等於24 的不全等三角形的個數是 . 【答案】12. 【解析】設三角形的三邊長為a b c
, ,
，且a b c. 由2c a b c 243c，得8 c 12，c
8,9,10,11
. 當c8時，a b 162b，b8，由b c 8知b
8,
a
8
，滿足條件的三角形有 1 個. 類似地，當c
9,10,11
時，分別有 2,4,5 個滿足條件的三角形. 因此，滿足條件的三角形一共有 1+2+4+5=12 個. 14.如圖，建造一個花圃，花圃分為6 個部分，現要栽種 4 種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部 分不能栽種同樣顏色的花，則一共有 種不同的栽種方法. 【解析 1】按區域 1→2→3→4→5→6 的順序栽花，顯然 1 區有 4 種，2 區 3 種，3 區 2 種. 如果 4 區與 2 區同色，則 4 區 1 種，5 區 2 種，6 區 1 種，這樣全部栽種方法數是 4×3×2×1×2×1=48 種. 如果 4 區與 2 區異色，則 4 區有 1 種，當 5 區與 2 區同色時，5 區 1 種，6 區 2 種；當 5 區與 2 區異 色時，5 區 1 種，6 區 1 種，這樣全部栽種方法數是 4×3×2×1×1×2+4×3×2×1×1×1=72 種. 由分類計數原理知，共有 48+72=120 種栽種方法. 本題也可按其他區域順序塗色. 【解析 2】先將 6 個區域分成 4 組，通過列舉，6 個區域分成 4 組的方案有 5 種，如下表： 第一組 第二組 第三組 第四組 分組方案 1 1 區 2 區 3 區、5 區 4 區、6 區 分組方案 2 1 區 2 區、5 區 3 區、6 區 4 區 分組方案 3 1 區 2 區、5 區 3 區 4 區、6 區 分組方案 4 1 區 2 區、4 區 3 區、5 區 6 區 分組方案 5 1 區 2 區、4 區 3 區、6 區 5 區4 再將每一組栽一種顏色的花，有 4 4
