頂點、邊與區:著色
理學院數學研究所
兵森原李世文
摘要
STEPHEN B. MAURER
C
3
)會討論到圖形中頂點著色不具孤立點( verte恐 coloringwithout
isolates) 的性質。在本文中我們將此性質應用到圓形邊著色上稱為邊著色不具孤立邊 (edge"coloring
without isolates)'
並分別應用到平面地圖與球面圖上，稱為區著色不具孤立區(
region
~coloringwithout
isolates)' 且更深遠地討論到圖形 G 的每一階線圖形 Ln 紛上。 設闡形 G=(V ， E) 為有限單圖形，且 IVI=ν ，I
E
I
=μ 。說們定義 G 的最小價數 ò=
m
.i
n
{ρ(v)1
v
E
V
， ρ(吋表示入射於 ν 頂點的邊個數}。若 b,
wEN
,
b+w=ν ，我們稱一個圖形 G 的 (b,
w
)頂點著色((b
,
w)
vertex-coloring
)為將 V 中的 b 個頂點著黑色，其他 w 餌頂點著白色，老 r+ y=μ ， r ， yEN ，我們稱一個圓形 G 的(r
,
y
)邊著色((
r
,
y ) edge
-cùloring
)為將 E 中的 r 個邊著黑色，其他 y 個邊蒼白色。若一平面地園或球面 闡 H 有m 個區(region) (
m< ∞)且 b+w=m ， b ， wEN 我們稱一個平面 地圖或球面圖 H 的 (b,
w) 區著色((b
,
w ) region- colorin
g.
)為將其中 b 個區塗黑色，其他 w 個區塗白色。在圓形 G 中心理我們稱與一固定頂點 v 相瞬的所有頂點研成的集合為此頂點 v豆豆盤盤( neighbourhood ) 1; 與一固定過 e 相瞬的所
有邊研成的集合，稱為邊 e 的鄰域。將一圓形G 作頂點著色後若 v 與其相瞬的所有頂點都著不同的顏色，則稱頂點 v 為盟主璽監(
i sola ted ver tex
)。將一圓形G 作邊著色後若邊 e 與其相瞬的鐘都若不闊的顏色，則稱邊 e 為諷立邊(
isolated
-
edge) 。將一圓形 G 的頂點作黑白著色後由黑(自)色頂點集合研誘導 (induced)的子圖形( subgraph，)稱為頂點三ι黑(自)色于圓形(
vertex-black (
whi te ) subgraph
)。而其頂點黑(自)色子圖形的連過分量(connected
component
)稱為頂點黑(自)色分量(
ver tex- bla ck ( whi te) componelne
)。將一圖形 G 的邊作黑白著色後由黑(自)色邊集合所誘導的子圓形，稱為邊一F 黑(自)色于圖形(
edge-black (white ) s
1,lbgraph)
，而其邊一一黑(自)色子間形的連通分量稱為邊一一黑(自)色分量(
edge-black (white)
com-ponent
)。在本文中未加定義的符號典名詞請參閱 C1
)或 C2
)。師大學報 第二十七期 定理 1
( 3 ) :
設 G
= (
V.
,
E
)是一個連過圖形設 /V 1=ν ，
/
E /
=μ ，而且 õ~三 2 。
若 b ， WEN 一 {1} ， b+w=ν ，則 G 存在一種(
b
,
w
)頂點著色且不具孤
立頂點。 我們稱一圓形 G=(V ， E) 的邊圓形(li
ne graph
)用符號 L 紛表示為V ( L
(G))= E
(G) 且 E
( L
(G))= {
{μ1 ， μ2} Iμ1 ， μ2εE~ω 且 P.
1
， μ2 在 G
中相憐} ，依此我們可定義 L 的)圓形的邊圖形 L(L 但，)) ，以符號L.2的)表示，對
於
VnEN 定義 Ln
(G)
= L ( L
n-l 個，)) ，且定義 Ln 仰的最小價數 õ(n) = min {.
ρ(v)I
v
E V n
， ρ(v) 表示 En 中入射於頂點 v 的邊個數}。另外我們假設 Ln 的( V n
,
En
)且 /Vnl=vn ， IEnl=μn 。
定理 2 若 G 是連通間形且 õ ~三 2 則對於所有的 r ， yEN 一 {l} ， r+y=μ ，都 存在一種(r
,
y
)的邊著色不具孤立邊。 證明:因為 8 這 2 故 G 中的每一個頂點 v 至少有兩邊入射於 v 。若 õ(
1) 三 1 則存在xE 丸 ， p(x) =l ， x 為 G 中的邊 xEE ，令 x
= { V1
,
V2 }
，吭，
V2
EV 則 V
1
或利的價數為 1 ，矛盾。故 8 這 2 可得軒"這 2 ，叉 G 是連過聞形故 L 紛也是連 通圓形。由定理 1 ，得 L 制存在(r
, y
)頂點著色不具孤立頂點，所以 G 存在(r
,
ý) 邊著色不具孤立邊。
Q.E.D.
定理 2 之假設條件 8 這 2 可以用。 r的這 2 代替，故得: 定理 3 若 G 是連過圖形且 o (1) 三三 2 則對於所有的 r 而 y εN ....，， {l} ， r+y=μ ， 都存在一種(r
,
y
)的邊著色不具孤立邊。 為敘述方便計 f 令 G= LO~ω 司 V= 吭， E=E。 定理 4若 G 是連通圓形且。這 2 ，令 Ln 盼=(丸，
En )
,
I V I =
"'~，
I E
1=μa
VnENU{O}
，則對於恥，Wn
,
.r
阻，yn
EN 一{1 }
，且 Dn+W n
=川，r'n + yn
=μn ~則存在 Ln 制的(恥， Wn
)頂點著色不具孤立頂點，與 Ln~助的( r
n
,
Yn )
邊著色不具孤立邊。 證明:若 G 是連通間形且。這 2 則 Ln 但)是連過且 o(n)
~三 2,
Vn E
N 。我們對 n 作歸納法:當 n=
1 時因 G 是連過圖形故 L 約是連過圓形，且因 L 帥部是 L'的，) ，所 以若 s 注 2 則 0(1) ~三 2 。設 n=k 成立，即 Lk 約是連通圖形且軒的主 2 ，則當 n=k+l 時因為 'Lk (G) 是連過圖形故 L k+且但)也是連過圓形，且若 O<k+1) =
1 則存在 x 巴 Vk+
1
， ρ (x) =l ， x 為 Lk 紛中的邊，
x E Ek
，令 'x
{V1
,
V汁，
叭，V2
EVk
則Vl 或 V2 的價數為 1 ，矛盾。故 o(k
+1 )這 2 。再由定理 1 與定理 2 即可得知本定理成立。 Q.E.D. 設G 是一個連通圓形。若可將 V 份對應到球面上，使得任二邊除端點外均不相交，則稱 G 是可球面化圖形，或稱 G 可被嚴入於球面上。已經被嚴入於球面上之可
球面化圖形，種為球面圖形(sphere
graph) 。若 H 是平面圖形或球面圖形則 H-
556 一將平面或球面分成若干個區。稱 H 中的兩區相瞬之意為這兩區共有一段邊界;稱 H 的某一區的鄰域其意為與這區相瞬的所有區的聯集。將一有限區的平面地園或球面
圖作區著色後，稱一區為孤立區(
isolate
c1
region) 其意為此區與其相瞬的區都
著不同的顏色。設 H 是一個平面圓形，H
t,
H2
,
...H 因為耳的區則 H 的對偶圖監~ H* 表示，定義如下:
V(H發)={H
t,
H2
Hm}
E(H 咎)=
{{Hl
,
Hd
lE1t， HJ 在H 中為相瞬的區}。 依品定義，我們得到: 定理 5設 H 為連過圖形旦有 m 個區 ~m 這 4 ，則若φ=
min
{ρ(a) Iα 為H 的區，且 ρω 素與 α 相瞬的區個數} ~三 2 ?且 b ， WEN 一{1}
， b+w=rn ，則 H 有一( b
， _w) 區著色不具孤立區。 證明:令 H '.為 H 之對偶圓形則日，為通過且 H ‘中的極小價數>2
，由定理 1,
本定理即可得證。
Q.E.D.
定理 6 若 H 為一連過 m 個區的球面圓形， m 三三 4 ，且每一區都是單連通(simple
connected
)則若φ=min {
p(ctJ
1α 為狂的區， ρ (l)表與 α 相憐的區個數}三三 2 且 b ， WEN 一{ 1},
b 十 w=m ，貝UH 有一( b,
w
)區著色不具孤立區。 證明:設 S(J的為 H的球面寫像 (Stereographic Projection) ，文設 S 發(時為 S(H)的對偶圓形，則自定理 5 書本定理即可得證。 Q.E.D. 定理 7( 3
J :
若 G=(V ， E) 為 2 一通過圖形，I
V
1=ν ，且 b,
wE N
,
b
+ w
=ν 則可將頂點分成兩個集合，一含 b 個頂點，一含 w 個頂點，且此兩個頂點集合研誘 導的子圓形為連遇。 若 BcV ，令 <B> 表示自 B 所誘海出的子圓形。則可得下列兩個系理。 系理 8 若 G 為 2 一連過圓形，b
,
w
EN - '{
1}
，貝UG 有一(b
,
w
)頂點著色不 具孤立點，叉設 b 表黑色， w 表白色，則點一黑色子圓形與點一白色子圓形都是連 過圓形。 系理 9 令 G 為 2 一連過圓形，令 BCV ，且 <B> 與 <V-B> 為連過圓形，若 IBI'< b'
<ν 則存在一集合 B':::> B 滿足 IB' I
=
b' 且 <B'> 和 <V-B'>都是連 過圓形。、 Chart rand 與 Stewart(2 ，
p
.B
3
)瞥證朗通若 G 是 n 一連過(n-connected)
則(D L 份是 n 一連過圓形 ;@L 但)是:\(2n -2 )一遍鐘過國的 @L
2倍)是(2n-2 )
一連通圓形。由此可知若 G 是 2 一邊連通則 Lk 但)是 2 一連過也是 2 一通鐘詣，師大學報 第二十七期 定理 10
若 G=(V ， E) 是 2 一連過圖形，
I E I
=μ 且 r ， yEN ， r+y=μ 則
可將邊分成兩個集合，一台 r 個邊一台 y 個邊，且此兩個邊集合所誘導的于圓形為 連通圓形。莖盟 :G 是 2 一連過圓形，則 L 份是 2 一連通圖形。叉 r
,
y 巴 N ， r+y=μ 滿
足定理 7 之條件，由定理 7 可知 L(G) 可分成兩個頂點集合，一含 r 個頂點，一含 yil個頂點滿足所需條件，故可將扮成一含 r 個邊，一含 y 個邊的邊集合，且由此兩
個邊集合所誘導的子圖形為連過圖形。，Q.E.D. 定理 11 令 G 是 2 一連通圖形，若 Ln 制== (丸，En)
,
I Vn I
=ν 且， IEnl ==仙，Vn E N
U {
O}
，且對於如此的所有 n 若 b n
,
Wn
,
r血， Yn
EN
~
bn+wn
ν 且 rn
十 yn==μa 則耳將 Vn 分成兩個部分集合，一個含 bn
個頂點，一個合Wn
個頂點，且此兩個頂點集合所誘導的于圓形為連通圓形。同樣地，可將En 分成兩
個部分集合，一含 rn 個邊，一含 yn 個邊且此兩個邊集合所誘導的子圖形為連通 圓形。 證明:由前面討論知 G 是2 一連通圖形，則 L n(G) 是 2 一連插圖形與 2 一邊連過圓 形，Vn
EN 。由定理 7 與定理 10 即得證。 Q.E.D. 引理 12(
3 ) :
設 G=(V ， E) 為連過圖形，
I V
1=ν ， ð 三三 2 且 b ， wEN 一{
1 }
,
b+w=ν ，則存在 G 的(b
,
w
)頂點著色不具孤立頂點使得至少有一色的于圓 形是連通圖形。 定理 13 令 G=(V ， E) 連通圖形，I E I
=μ ， ð 三三 2 且 r,
y
EN 一{1} ;
r
+
y
=μ 則存在 G 的(
r , y
)邊著色不具孤立邊使得至少有一色的手圖形是連
通的。 證明:考慮 L~助，因 s 這 2 故 δ(1) ~三 2 0 G 是連通圓形，故 L(G) 是連通圖形。由引 理 12 知存在 L(G) 的( r,
Y )點著色不具孤立點且至少有一色的于圓形是連過圓 形，所以存在G 的(r ,
y
)邊著色不具孤立邊且至少有一色的子圓形是連過圖形Q.E.D.
若 H 表示平面圖形或球面圓形，且令<b
=
min
{ρ(的 |α 為 H 的區， ρω 表示
與 α 相瞬區的個數} ，則可得下列定理。 定理 14 若 H 為平面圖形或球面圖形，φ 這 2 ，;且為連過有限 m 個區?且每個區都是單連遍。若 b ， wEN 一{
1
}且 b 十 W 二 m ，則存在G 的(
b
,
w
)區著色不具孤立
區，且至少有一色的區是彼此連過的。
蓋盟:(1)若 H 是平面圖形，則仿照定理 5 的證明，考慮其對偶圓形再由引理 12 即 可得證。 (2)若 H 為球面圖形貝u仿照定理 6 的證明，考慮其球面射影至平面圖形，再 考慮其對偶圓形，由引理 12 即可得證。 Q.E.D. 558 一定理 15
