熱能的量子起伏及其在宇宙學上的應用

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(1)The Quantum Fluctuation of Thermal Energy and its applications to cosmology I-Tai Ho National Taiwan Normal University Advisor: Wolung Lee June,2016.

(2) 摘要本論文探討如何利用電磁場計算「熱能的量子起伏」，並與傳統的光子數目計算法比較。我們分別考慮只包含單一頻率及包含所有頻率光子的黑體輻射熱系統，並利用場的方式建構熱起伏，以表現出局部空間中點的特性，討論熱起伏如何影響空間：一般量子化電磁場所產生的無限大問題，可經由直接去除真空能量項來解決；但我們保留將能量平方後所得出的一個電磁場和真空交互作用項，藉此得到完整形式的熱能量子起伏。以此法計算的結果與用光子數目所算出的熱能起伏比較，發現兩者無論在因次與各項係數上均相同，因此電磁場計算法與光子數目計算法完全等價。此外，我們還發現傳統上認為熱能的量子起伏和能量的數量級是一樣的，這個觀念只適用於單一頻率的熱系統；對黑體來說，其熱能的量子起伏並不等同於能量的數量級，而是與溫度的5/2次方成正比。若將熱能量子起伏代入愛因斯坦的場方程式，利用相關函數的計算就可以得到相應於此熱起伏所引發的空間曲率起伏的大小。最後，我們簡單地利用光子數的方式，討論了熵的起伏－因為量子特性而產生微小的負熵，可以用來探索熱力學第二定律的有效性。關鍵字:早期宇宙,量子起伏,熱能,彎曲空間. I.

(3) 致謝辭從簡單的一條式子開始，之後我翻閱了許多前人的思考，互相比對，產深了許多的疑惑及矛盾，和身旁的許多人討論，東挖西補，才在每次meeting的時候交出一點點像樣的結果，三年的時間集結成這本簡單的畢業論文。我首先要感謝我的指導老師，李沃龍老師。他教導我如何做研究以及做研究時的態度，因此我不再害怕未知的問題，就算做錯了也要知道錯在什麼地方。老師非常尊重我做出來的研究成果，每次的討論都仔細聆聽並且給予我適當的意見，此外老師也會指出他無法接受的理由，讓我回去修改或是想辦法說服他，他獨特的教導方式給予我很大的發揮空間，也讓我的研究更專業。除了研究的部分，老師每年都為我籌措在學期間的生活費，讓我更專心在我的學業上。我也要感謝我在東吳大學的指導老師，巫俊賢老師。他鼓勵我完成自己的夢想。老師總是支持我的想法，並在關鍵的時刻給予我最重要的幫助。因此，我總是不段的超越自己而變成了更好的人。特別要感謝老師在我碩班二年級的時候，帶我去美國的Tuftz 大學和Larry教授做研究，這段經歷讓體驗了在美國生活同時也明白自己還有很多的不足。另外我也要感謝師母，謝謝他在我被罵的時候安慰我，平常也都煮很好吃的菜餚照顧我。我也要感謝我的家人。謝謝他們有一顆永遠愛我的心，他們總是無條件的支持我，給予我最大的信任讓我有足夠的時間和空間去做我喜歡做的事情。我也要感謝我的學長學姊，宏彰和家君。謝謝他們常常有好康的就想到我，還有學校繁鎖的公事生活及上的大小事，都給我很多意見並且幫助我很多。感謝我的室友們，雅婷和沈媽。每天幫我打掃家裡還有一起吃飯一起分享生活及學校中的大小事。感謝我的朋友們，娟娟花花和敦浩。謝謝你們包容我沒有下限的腦子。感謝提早我畢業一年的同學戰友們，柏璋宇豐及浩宇。碩班的考試作業大作戰，還有當助教的辛酸血淚，謝謝有你們一起分享。感謝系上的吳文欽老師的幫助及施華強老師每次都很認真的回答我的問題一直到天黑。感謝系上的助教們，每次都用心的解決我遇到的奇怪狀況也很熱心的幫助我一些莫名其妙的要求。還要感謝班上的外國同學，被我教過的學弟學妹們，我都從你們身上學到很多東西。感謝師大提供的一切。生命有你們的參與才讓我生出這麼甜美的果實。最後，再次感謝我的兩位老師，很開心我的碩士學位有你們的參與。你們的確是深深的影響著我。也唯有你們兩位老師對我的指導方式才能成就今天這樣的我。. II.

(4) 目錄摘要. I. 致謝辭. II. 1 導論. 2. 2 由光子數目探討熱能起伏 2.1 單一頻率的熱系統 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 黑體 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 4 5. 3 由電磁場探討熱能起伏 3.1 建構熱量子態 . . . . . . . . 3.1.1 黑體的熱量子態 . . . 3.2 單一頻率的熱系統 . . . . . 3.2.1 場的二點函數 . . . . 3.2.2 真空中場的二點函數 3.2.3 熱能起伏 . . . . . . 3.2.4 結論 . . . . . . . . . 3.3 黑體 . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 場的二點函數 . . . . 3.3.2 真空中場的二點函數 3.3.3 熱能起伏 . . . . . . 3.3.4 結論 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 7 8 10 11 11 12 13 16 16 17 18 18 20. 4 熱能起伏的應用 4.1 彎曲時空熱能的量子起伏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 熵的量子起伏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22 22 23. 5 總結與討論 5.1 總結 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 討論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26 26 26. 附錄. 29. 參考文獻. 30. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 1. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ..

(5) Chapter 1 導論我們知道暴脹場(inflaton fields)的量子起伏(quantum fluctuations)在宇宙大尺度結構(large scale structures)的起源上，扮演非常重要的角色。現今觀測到宇宙微波背景(Cosmic Microwave Background, i.e. CMB)中微小的溫度異向性(anisotropies) [1]，就是暴脹場量子起伏所造成的產物。一般認為早期宇宙的暴脹 (Inflation) 會把宇宙原本包含的輻射及物質結構都快速稀釋掉，但暴脹結束後大規模的再熱化(reheating)機制，勢必重新建構太初大霹靂(the Big Bang)的極端溫壓系統。此外，對溫暴脹(warm inflation) [2]與軸子(axions) [3]暴脹模型的相關研究指出，在一定的耗散(dissipation)或反饋(back reaction)機制下，暴脹期間的熱起伏(thermal fluctuations)也能有效建構出大霹靂時高溫高壓的環境。因此，暴脹前後階段熱能的量子起伏是否會具體影響宇宙的演化，甚至在CMB裡留下可觀測的證據，就成了有趣且重要的研究課題。傳統上，物理學家以光子數起伏(photon number fluctuations)來描述物理系統所含熱能的量子起伏。此計算方式的歷史，最早可追朔到愛因斯坦應用普朗克分佈(Planckian distribution)於古典輻射理論，以探討系統的能量起伏。愛因斯坦發現，除了俱備波動性質的能量起伏外，還會得出額外一項具備粒子特性的能量起伏。為表彰愛因斯坦的貢獻，後來將此法稱作愛因斯坦的起伏算式(Einstein’s fluctuation formula) [6]。這是第一個同時具有波動性以及粒子性的物理公式。後來量子力學成型後，一般就直接利用光子數目的起伏來描述熱能的量子起伏。因此，波動性質項和粒子性質項自然就同時出現於熱能的量子起伏公式中。然而，在彎曲時空的環境下以光子數計算系統熱能的量子起伏，往往遭遇實際上的困難與限制。例如，描述大霹靂宇宙的基準模型(the benchmark model)所使用的佛里德曼-羅伯森-沃克(Friedmann-Robertson-Walker; FRW)度規具有保角對稱(conformal symmetry)的特性。由於普朗克分佈在保角轉換(conformal transformations)下維持不變，光子數目所呈現的性質和在平坦時空底下相比並無二致，因此光子數計算法無法適切地描述彎曲時空對熱能量子起伏的影響。另外，根據愛因斯坦的場方程式，能量的量子起伏也會造成空間曲率的量子起伏 [4]。若想應用能量的量子起伏得出空間曲率的量子起伏，則將能量用場來表示是必需的。在場方程式中，能動張量(Energy Momentum Tensor)是局域量(local quantity)，其零零分量即為能量密度。在電磁輻射的熱系統中，能量密度成正比於電場或磁場的平方。由於光子數明顯的並非局域量，因此用電磁場的方式來計算熱能的量子起伏是比較直接的，而場(fields)一般也被認為比光子數(particles)更為基本。. 2.

(6) 以電磁場計算系統熱能的量子起伏，存在著一般使用量子場論時會遭遇的困難－無限大的自由度造成物理量發散的問題。通常處理量子系統的能量是利用正常排序(normalordering)的方法拿掉真空能量，因而將任意量子態可測量的能量定義成該狀態能量的期望值扣掉真空態下的真空能量。但在討論能量起伏時，我們沒有辦法依慣例直接去除無限大的發散項：計算能量起伏(即能量平方的期望值減去能量期望值的平方)必須將能量平方，因此會出現兩項包含了不同性質的無限大物理量，其中一項是純粹真空場造成的，與狀態無關，可以拿掉；但另一項是電磁場與真空場的交互作用項(cross terms)，因與狀態相關，也就不該將其視而不見，直接扣除。為了克服此困難，我們採用巫(2002) [5] 的作法來計算，並做適當的正規化 (regularization)，求出熱能的量子起伏。本論文主要利用場的方式探討熱輻射系統之熱能的量子起伏。我們會先回顧如何以光子數目的方法計算熱能起伏(第二章)；之後再利用電磁場的方法計算同樣的物理量(第三章)，並比較用不同方法所得出的結果有何差異；最後以彎曲空間底下熱能的量子起伏值，與對熵起伏的探討，做為量子起伏應用的實際例子作收(第四章)。. 3.

(7) Chapter 2 由光子數目探討熱能起伏從光子數的起伏去探討熱系統能量的量子起伏是已經為人熟知的方法。我們首先考慮只有單一頻率光子的熱系統，其次再討論包含各種不同頻率光子的黑體輻射。藉由探討這兩個系統的熱起伏，可以熟悉計算過程及物理圖像，並得出熱能起伏的大小。. 2.1. 單一頻率的熱系統. 考慮一個由單一頻率 ω的光子所組成的熱平衡系統。若要計算此系統熱能的量子起伏，必須先寫下此系統的哈密爾頓算符(Hamiltonian operator)。若把光子視為簡諧振子 (simple harmonic oscillators) ，則其能量可以用湮滅算符(annihilation operator) a ˆ 及創生 † 算符(creation operator) a ˆ 來表示。因為光子數算符 (photon number operator)被定義為 † ˆ N =a â ˆ，哈密爾頓算符也可以用光子數算符來表示： 1 h ¯ ωk + 2 λ X ˆkλ + 1 . = h ¯ ωk N 2 λ. ˆω = H. . X. a ˆ†kλ a ˆkλ. . (2.1) (2.2). 其中下標 k 代表光的波數(wave number)，而 λ 指光子的自旋(spin)，即光子的偏振模式。由於能量是哈密爾頓算符的本徵值(eigenvalue)，以光子數的形式即可表示成我們所熟悉的愛因斯坦光量子能量公式 En = nkλ h ¯ ωk 。上述描述能量的算符方程式（2.2）可用來直接計算系統的熱能起伏： ˆ 2 i ≡ hH ˆ 2 i − hH ˆ ω i2 = h∆H ω ω. X. . ˆ 2 i − hN ˆkλ i2 h hN ¯ 2 ωk2 ≡ kλ. λ. 2 2 ˆ 2 i¯ h∆N kλ h ωk .. X. (2.3). λ. 值得注意的是，這個式子顯示系統的熱能起伏和零點能量 (Zero point energy) 並無關係。若想得到光子數算符的期望值，依照統計的概念，我們可以把所有光子數及其所對應發生機率的乘積互相加總，光子數算符的期望值可寫作 î = hN. ∞ X n=0. 4. nP (n) ,. (2.4).

(8) 其中機率分佈函數 P (n) 可由玻色子的統計 (Bosonic statistics) 帶入光子能量 En = n¯ hω 得到。他描述一個熱平衡的光子系統在溫度 T 底下，若考慮其某一小段頻率 [ω, ω + dω]，則此頻率的光子數是 n 顆的機率。 exp (−En /kB T ) P (n) = P n exp (−En /kB T ) . (2.5) . = e−n¯hω/kB T 1 − e−¯hω/kB T .. (2.6). 因此，系統所擁有的平均光子數是 î = n hN ¯=. ∞ X. −1. . nP (n) = e¯hω/kB T − 1. .. (2.7). n=0. 利用這個關係式，我們也可以把機率用平均光子數目表達出來 n ¯n , P (n) = (¯ n + 1)n+1. (2.8). 藉此可以很輕易的得出光子數算符平方的期望值 ˆ 2i = hN. ∞ X. n2 P (n) = 2¯ n2 + n ¯.. (2.9). n=0. 因此，系統的光子數起伏為 ˆ 2 i ≡ hN ˆ 2 i − hN ˆ i2 = 2¯ h∆N n2 + n ¯−n ¯2 = n ¯2 + n ¯.. (2.10). 將上式代入式 (2.3)，就可以求得僅含單一頻率光子之熱系統的熱能起伏為 ˆ 2i = h∆H ω. X. 2 2 ˆ 2 i¯ h∆N kλ h ω. (2.11). λ. =. Xh. i. n ¯ 2kλ + n ¯ kλ h ¯ 2ω2,. (2.12). λ. 此方程式有兩項 n ¯ 2 項及 n ¯ 項，根據愛因斯坦所導出的熱輻射能量起伏方程式(fluctuation formula) [6]，¯ n2 項具有波動的特性，而 n ¯ 項則有粒子的性質。古典物理有關光的理論只 2 會有 n ¯ 項，¯ n 項是量子物理才有的效應。此外，若把這個方程式開方後再除以熱能的期望值，可以發現當光子數大時， 1/¯ n 趨近於零，熱能起伏的大小恰與能量值相等，這是在量子光學的實驗中我們所熟悉的結果。. 2.2. 黑體. 現考慮一個包含各不同頻率光子的熱系統(即黑體)。如果要算這個系統的熱能起伏，我們同樣得先寫出系統的哈密爾頓函數，其算符就是各單一頻率哈密爾頓算符的總和。之所以能這麼做的原因是因為不同頻率的光子彼此互相獨立，並沒有偶合(coupling) [7]，所以總能量的算符就可以寫成 X 1 ˆ = H h ¯ ωk a ˆ†kλ a ˆkλ + (2.13) 2 kλ X 1 ˆ = h ¯ ωk Nkλ + . (2.14) 2 kλ 5.

(9) 利用熱能起伏的定義簡單計算發現，黑體的熱能起伏可以直接寫成單一頻率熱能起伏對所有頻率的光子與其偏振模式 (photon mode) 的加總: ˆ 2i = h∆H. ˆ 2 i¯h2 ω 2 . h∆N kλ k. X. (2.15). kλ. 由於光譜是連續的，想得到所有頻率光子的熱能起伏總和，必須以積分取代連加， P P L 3R 3 即 d k ，又因為光有兩種偏振模式，故直接把 λ 加總變成兩倍 λ → k → ( 2π ) 2 [8](以下同時列出熱能起伏對波數 k 積分及對頻率 ω 積分的不同形式)， V Z 3 2 ˆkλ i¯ h2 ω 2 d kh∆N 4π 3 i h V Z 2 + n ¯ ¯ 2ω4, = dω n ¯ kλ h kλ π 2 c3. ˆ 2i = h∆H. (2.16) (2.17). 結果與單頻系統的狀況相同，黑體的熱能起伏也可以分成波動性質項 n ¯ 2 （又稱為輻射性質項）以及粒子性質項 n ¯ 。利用式 (2.7) 將平均光子數用頻率及溫度表示，可分別得出輻射性質項 −2 Vh ¯ 2 c2 Z 4 c¯hk/kB T k − 1 dk π2 i Vh ¯ 2 c2 4(kb T )5 h 4 × π − 90ζ(5) = π2 15c5 h ¯5 5 i 4(kb T ) V h 4 π − 90ζ(5) . = 3 15π 2 c3 h ¯. ˆ2 i = h∆H rad. (2.18) (2.19) (2.20). 與粒子性質項 −1 Vh ¯ 2 c2 Z 4 c¯hk/kB T 2 ˆ dk h∆Hpar i = k − 1 π2 Vh ¯ 2 c2 24(kb T )5 = × ζ(5) π2 c5 h ¯5 24(kb T )5 V ζ(5). = π 2 c3 h ¯3. (2.21) (2.22) (2.23). 其中 π 4 − 90ζ(5) ≈ 4.08559，ζ(5) ≈ 1.03693。兩項都和溫度的五次方及體積的一次方成正比。. 6.

(10) Chapter 3 由電磁場探討熱能起伏如上一章，我們知道一個充滿輻射的系統，可以用光子數目來描述其能量。但我們也可以從電磁場的角度去探討這個系統的能量及其熱能的量子起伏。此想法就是把熱能的哈密爾頓算符用場的方式去表示，之後再考慮需要計算的物理量有哪些。本章也分別考慮單頻與黑體這兩種熱系統，希望用電磁場的方法所導出的熱能起伏能和用光子數目計算出的熱起伏結果一致。在古典物理中，電磁場的能量密度與場的平方成正比，即 ρEM ∝ (E 2 + B 2 )。故電磁場的總能量可表示成： 1Z 2 0 E 2 + µ−1 B dV (3.1) H= 0 2 cavity 其中 0 與 µ0 分別代表真空中的介電常數和磁導係數。由電磁場的色散關係（dispersion 2 relation） E = cB 可知 0 E 2 = µ−1 0 RB ，即電場能量密度等於磁場能量密度，故我們可將電磁場的哈密爾頓函數簡寫為H = 0 E 2 dV 。此外，在場論的計算中會包含零點場的貢獻，因此會有無限大的問題。但由於可觀測物理量的值應是明確有限的，所以我們會利用正常排序去定義一個適當的哈密爾頓算符 ˆ := H ˆ − hHiM :H. (3.2). ˆ 2 i 可以寫成：因此，熱能的量子起伏 h∆H ˆ 2 i = h: H ˆ :2 i − h: H ˆ :i2 h∆H = =. Z Z. ε20. (3.3). h: ρˆ(x) :: ρˆ(y) :idτ1 dτ2 −. Z Z. Z. h: ρˆ(x) :idτ . h: Eˆ 2 (x) :: Eˆ 2 (y) :idτ1 dτ2 − ε0. Z. 2. ˆ 2 :idτ h: E(x). (3.4) 2. ,. (3.5). 其中電場平方的關係函數 (correlation function) 其廣義的型式可以被寫成[9] h: E 2 (x) :: E 2 (y) :i = h: E 2 (x)E 2 (y) :i + 4h: E(x)E(y) :ihE(x)E(y)iM + 2hE(x)E(y)iM 2 , (3.6) 其下標 M 代表閔式真空 (Minkowski Vacuum)。此式描述系統空間中任兩點的關係來自於三個項的貢獻，第一項為電場在空間中的貢獻，第二項為電場和真空能量的交互作用項 (cross term) 及第三項的純真空能量項。純真空能量項 (pure vacuum term) 的值是無限大 7.

(11) 的，故在不同的量子態底下他都不會改變 (state independent)，在大部分的計算中通常也都直接忽略不計，而電場和真空能量的交互作用項 (cross term) 對不同的量子態則會有不同的值，但此值也是發散的 (divergence)。從這裡也可以看出雖然純真空能量是可以被忽略的，因為他本來就存在在那裡，但真空場的效應則會表現在和電場的交互作用項中。另外，在古典物理中我們所熟悉的，描述電場在空間中如何分佈的函數，就是來自於第一項的貢獻，又稱為 fully normal-ordered term。而這個電場平方的二點函數 (two-point function) 又可以再拆成兩項[10]，分別為單點的電場平方函數以及電場一次方的二點函數： h: E 2 (x)E 2 (y) :i = h: E 2 (x) :ih: E 2 (y) :i + 2h: E(x)E(y) :i2 . (3.7) ˆ 2 i，必須找出三個物理量由以上的分析可知，若想從場的方式求得熱能的量子起伏 h∆H ，電場一次方的二點函數 h: E(x)E(y) :i，單點的電場平方函數 h: E 2 (x) :i 以及真空中電場的二點函數hE(x)E(y)iM. 3.1. 建構熱量子態. 若想求得熱能的量子起伏，必須分別求出三個二點函數，而他們都是電場函數的期望值。在量子物理中，若想得到系統中某個物理量的數值大小，必須把此物理量算符的兩邊夾上這個系統的量子態。因此，建構一個熱系統其量子態是必要的。這個量子態包含了所有熱系統的資訊，在這裡我們稱他為熱量子態 (thermal state)。在電場算符的兩邊夾上熱量子態，即可求得此電場函數的期望值。. 若想知道如何建構熱量子態，可以從計算期望值的理論發想。在機率理論 (probability theory) 中，期望值是去加總個別數值和其機率的乘積，例如式 (2.4) 的算法。這樣的想法在量子統計力學中是用密度算符 (density operator) ρˆ 的概念來呈現[11][12]。舉例來 ˆ 的期望值等於兩算符乘積的 Trace 說，某個觀測算符 O . . ˆ = T r ρˆ O ˆ . hOi. (3.8). 對一個熱系統，其密度算符可以選擇用光子數態(photon number state)及其所對應的機率函數來表示 ρˆ =. ∞ X. P (n) |nihn|.. (3.9). n=0. 其中，機率函數P (n)就是第二章的式(2.6)所描述的，在某一頻段底下找到n顆光子數的機率 . . P (n) = e−n¯hω/κT 1 − e−¯hω/κT ,. (3.10). 且不同光子數其機率的總和為1 ∞ X. P (n) = 1.. n=0. 8. (3.11).

(12) 接著，若把熱量子態以光子數態當作基底(Basis)寫成 |βi =. ∞ X. cn |ni,. (3.12). n=0. 則熱量子態與熱量子態之間的內積表示成 ∞ X. hβ|βi =. c2n ,. (3.13). n=0. 並可根據歸一化條件(Normalization Condition)，寫為 hβ|βi = T r (ˆ ρ) =. ∞ X. ∞ X. hn|ˆ ρ|ni =. n=0. P (n). (3.14). n=0. 因此，由式(3.12)及式(3.13)可以得出熱量子態的機率 cn = P (n)1/2 ，故熱量子態 |βi = P∞ 1/2 |ni。另外，我們會把只含有單一頻率的光其熱量子態的下標標上 kλ ，這 n=0 P (n) 是為了要特別區分他以及包含所有頻率的熱量子態的不同 |βikλ =. ∞ X. P 1/2 (nkλ ) |nkλ i.. (3.15). n=0. 若想驗證所建構的熱量子態是否可行，可以選一個簡單的例子計算。例如，光子數的起伏。平均光子數為 ˆ i = hβ|N ˆ |βi = hN. ∞ X. ˆ |ni P (n) hn|N. (3.16). n=0. 將上式帶入機率函數，式(2.6)可得 î = hN. 1 e¯hω/κT. −1. .. (3.17). 同樣的，平均光子數的平方為 ˆ 2 i = hβ|Nˆ2 |βi = hN. ∞ X. hω/κT ¯ +1 ˆ 2 |ni = e P (n) hn|N . h ¯ ω/κT (e − 1)2 n=0. (3.18). 簡單的計算可以得到，其用平均光子數來表示的結果為 ˆ 2 i = 2hN ˆ i2 + hN î , hN. (3.19). ˆ 2 i − hN ˆ i2 = hN ˆ i2 + hN î h∆n2 i = hN. (3.20). 因此，光子數的起伏. 這的確是一個熱平衡系統其光子數的起伏，和式(2.10)相同，他們都是平均光子數的平方項和平均光子數一次方項的加總。 9.

(13) 3.1.1. 黑體的熱量子態. 按照建構熱量子態的想法，要建構黑體的熱量子態，必須先找出描述黑體輻射的密度算符。黑體輻射是由不同頻率的光所組成，且不同頻率的光之間沒有交互作用，彼此是互相獨立的，因此其密度算符可寫為個別單一頻率密度算符的乘積[13]。這裡可以直接用一個描述所有電磁場的總量子態[14][15]，當作其基底，寫作{nkλ }。這個基底是完備的(complete set)，他是所有不同頻率的光子數態|nkλ i的乘積。因此密度算符ˆ ρ可以寫為 ρˆ =. X. P ({nkλ })|{nkλ }ih{nkλ }|.. (3.21). {nkλ }. 而此機率函數則為所有個別頻率其機率，即式(3.9)的乘積 . . P ({nkλ }) = Πk Πλ e−n¯hω/κT 1 − e−¯hω/κT .. (3.22). 其總和也必須為1 ∞ X. P ({nkλ }) = 1.. (3.23). n=0. 根據式(3.12)到式(3.14)的做法，可以得出黑體的熱量子態寫為 |βiblk =. P ({nkλ })1/2 |{nkλ }i.. X. (3.24). {nkλ }. 更詳細的說，黑體輻射和單一頻率的熱系統之間的關係可以這樣分析。總光子數態寫成為個別不同頻率的光子數態的乘積，因為不同頻率的光子間沒有交互作用 |{nkλ }i = |nk1 ,1 i|nk1 ,2 i|nk2 ,1 i... = |nk1 ,1 , nk1 ,2 , nk2 ,1 ...i,. (3.25) (3.26). 若以總光子數態做為黑體輻射的基底，故黑體的熱量子態可以看成是個別頻率其熱量子態的乘積 |βiblk = |βk1 ,1 i|βk1 ,2 i|βk2 ,1 i... =. ∞ X. Pn1/2 |nk1 ,1 i k ,1. nk1 ,1 =0. =. X. 1. (3.27) ∞ X. Pn1/2 |nk1 ,2 i k ,2. nk1 ,2 =0. 1. ∞ X nk2 ,1 =0. Pn1/2 |nk2 ,1 i... k ,1 2. (3.28). (Πk Πλ Pnkλ )1/2 |{nkλ }i. (3.29). P ({nkλ })1/2 |{nkλ }i.. (3.30). {nkλ }. =. X {nkλ }. 因此，可以看出同式(3.22)，P ({nkλ }) = Πk Πλ Pnkλ 。此總機率和一般機率的概念相同，例如，若討論黑體的總平均光子數hni時，可以把不同的光子數目和其所對應的總機率相乘. 10.

(14) 後加總，然而也可以用不同頻率間的平均光子數互相加總的方法來表示： ∞ X. hni =. n=0 ∞ X. =. nP ({nkλ }). (3.31). n (Πk Πλ Pnkλ ). (3.32). n=0. XX. =. k. hnkλ i. (3.33). λ. 另外關於熱量子態，還可以探討一個特別的情形，即為當系統所有頻率的光子數皆為零時nkλ = 0，此時溫度為零T = 0，我們稱為這個系統的基態。此時熱量子態其所對應的機率為1，即為真空量子態|0i。. 3.2. 單一頻率的熱系統. 要用場的方式計算一個只包含單一頻率的熱系統其熱能的量子起伏，我們首先把能量用場的方式表示，並建構熱量子態。計算熱能的量子起伏的期望值需要三個二點函數，分別為電場二點函數 h: E(x)E(y) :i，單點的電場平方函數 h: E 2 (x) :i 以及真空中電場的二點函數 hE(x)E(y)iM 。因此這個章節將推導這三個二點函數的計算細節，並利用他們求得熱能的量子起伏。. 3.2.1. 場的二點函數. 計算場的二點函數，必須先把電場算符的形式寫下，做完 normal ordering 後，兩邊夾上單一頻率光子的熱量子態，經過計算後就可以得出 h: E(x)E(y) :iβ 。最後把其中的一點 x 趨近於另外一點 y ，相當於兩點重合，即可得出單點函數的期望值 h: E 2 (x) :iβ 。以下四個步驟條列出其計算過程。首先，寫出在點 ~r 及點 ~r0 其電場算符的形式： ˆ r) = E(~. XX k. ˆ r~0 ) = E(. λ. XX k0. eˆkλ eˆk0 λ0. λ0. h ¯ ωk 2ε0 V. !1/2. h ¯ ωk0 2ε0 V. h. !1/2. a ˆkλ e−iχk (~r,t) + a ˆ†kλ eiχk (~r,t) h. 0. i. (3.34) 0. i. a ˆk0 λ0 e−iχk0 (~r ,t) + a ˆ†k0 λ0 eiχk0 (~r ,t) .. (3.35). 其中，以電磁場的不同波長 k 及每個波長的偏振模式 λ 做為電場基底 eˆkλ ，而指數函數描述電磁波向左或向右行進。第二，將兩點的電場相乘且若我們考慮只對某一個頻率的電 h i 場取值，則不需要對k加總。並利用 a ˆ, a ˆ† = 1 將其乘積做 Normal-ordering: ˆ r)E(~ ˆ r0 ) : = : E(~. XX λ. eˆkλ eˆk0 λ0. λ0. h ¯ (ωk ωk0 )1/2 · 2ε0 V. [ˆ akλ a ˆk0 λ0 e−i(χk +χk0 ) + a ˆ†k0 λ0 a ˆkλ e−i(χk −χk0 ) +ˆ a†kλ a ˆk0 λ0 ei(χk −χk0 ) + a ˆ†kλ a ˆ†k0 λ0 ei(χk +χk0 ) ], 11. (3.36) (3.37) (3.38).

(15) 1/2 |nkλ i，至此，這個量第三，將其兩邊夾上單一頻率的熱量子態 |βikλ = ∞ n=0 P (nkλ ) † † 0 ˆ ˆ hβ| : E(~r)E(~r ) : |βi 會有四個項相加。但 a ˆkλ a ˆk0 λ0 項及 a ˆkλ a ˆk0 λ0 項沒有貢獻，因為不同光子數目的光子態是相互正交的(orthogonal)。相反的，對於 a ˆ†k0 λ0 a ˆkλ 項：. P. hnKΛ |. X. Pn1/2. n. XX λ. =. X. eˆkλ eˆk0 λ0. λ0. eˆkλ eˆk0 λ0. λλ0. X h ¯ (ωk ωk0 )1/2 a ˆ†k0 λ0 a ˆkλ e−i(χk −χk0 ) Pn1/2 |nKΛ i 2ε0 V n. X h ¯ (ωk ωk0 )1/2 e−i(χk −χk0 ) Pn nkλ δkk0 δλλ0 δkK δλΛ , 2ε0 V n. (3.39). (3.40). 另外，對 a ˆ†kλ a ˆk0 λ0 項也是一樣的做法。整理 δ 函數並利用 eˆkλ · eˆkλ = 1 的性質，可得場的二點函數為這兩項的相加 ˆ r)E(~ ˆ r0 ) : |βi = hβ| : E(~. X λ. h i h ¯ ωk X Pn nkλ e−iθ + eiθ , 2ε0 V n. (3.41). 其中 θ = χk (~r, t) − χk (r~0 , t)。第四，再進一步化簡。θ 函數可以寫為 ~k · (~r0 − ~r)，因為 −1 P χk (~r, t) = ωk t − ~k · ~r − π2 ，且hnkλ i = n Pn nkλ = e¯hω/kB T − 1 ，即式(2.7)。故場的二點函數寫成： h ~ 0 i 1 ~ 0 hnkλ i¯hωk e−ik·(~r −~r) + eik·(~r −~r) λ 2ε0 V i h X 1 = hnkλ i¯ hωk cos ~k · (~r0 − ~r) , λ ε0 V. ˆ r)E(~ ˆ r0 ) :iβ = h: E(~. X. (3.42) (3.43). 其中此外，將其中一點趨近另一點 ~r0 → ~r 可得到單點函數 h: Eˆ 2 (~r) :iβ =. X λ. 1 hnkλ i¯ hωk . ε0 V. (3.44). 由以上的計算可知，電場二點函數，式(3.43)的型式是 cos 函數，而單點函數，式(3.44)則和位置無關。. 3.2.2. 真空中場的二點函數. 如3.2.1二點函數的算法，討論真空中的二點函數，先寫下空間中任兩點的電場算符，並將兩邊夾著真空量子態|0i，經過計算後，即可得出。空間中兩點 ~r 及 ~r0 的電場算符 ˆ r) = E(~. XX. ˆ r0 ) = E(~. XX. k. k0. eˆkλ. λ. λ0. eˆk0 λ0. h ¯ ωk 2ε0 V. !1/2. h ¯ ωk0 2ε0 V. h. !1/2. a ˆkλ e−iχk (~r,t) + a ˆ†kλ eiχk (~r,t) h. 12. 0. i. (3.45) 0. i. a ˆk0 λ0 e−iχk0 (~r ,t) + a ˆ†k0 λ0 eiχk0 (~r ,t) ,. (3.46).

(16) 且若只考慮對某一個頻率的電場取值，將其相乘後兩邊夾上真空量子態|0i ，即當溫度為零時，此頻率的光子數為零 nkλ = 0 的狀態，因此真空中場的二點函數寫為 ˆ r)E(~ ˆ r0 )iM = h0| hE(~. XX λ. eˆkλ eˆk0 λ0. λ0. h ¯ (ωk ωk0 )1/2 ei(χk0 −χk ) a ˆkλ a ˆ†k0 λ0 |0i, 20 V. (3.47). 這個量原本會有四項相加，但其中三項會消失因為ˆ a|0kλ i = 0，只有 a ˆkλ a ˆ†k0 λ0 項會有 † 貢獻。且因為此項算符對真空態作用後只會產生δ函數 h0|ˆ akλ a ˆk0 λ0 |0i = δkk0 δλλ0 ，並利 π ~ 用χk (~r, t) = ωk t − k · ~r − 2 及 eˆkλ · eˆkλ = 1 的性質，可以得到真空中電場的二點函數是一個指數函數的型式： X h ¯ ~ 0 ˆ r)E(~ ˆ r0 )iM = ωk eik·(~r −~r) . (3.48) hE(~ λ 2ε0 V 這裡也可以看出，真空中場的二點函數和當光子數為零時場的二點函數是不相同的。因為場的二點函數需要做正常排序，但真空中場的二點函數並不需要。. 3.2.3. 熱能起伏. 得到二點函數後，根據式(3.5)，單一頻率的熱系統其熱能的量子起伏為： ˆ ω2 iβ = ε20 h∆H. . Z Z. h: Eˆ 2 (x) :: Eˆ 2 (y) :iβ dτ1 dτ2 − ε20. Z. h: Eˆ 2 (x) :iβ dτ. 2. .. (3.49). 這裡特別標示出下標 β 表示期望值兩邊夾著熱量子態。另外，由單點函數，式(3.44)可知，電場平方的值和空間位置無關 h: E 2 (x) :iβ = h: E 2 (y) :iβ ，因此式(3.7)寫為 h: E 2 (x)E 2 (y) :iβ = h: E 2 (x) :i2β + 2h: E(x)E(y) :i2β .. (3.50). 將其帶入場的關係函數，式(3.6)中，則關係函數含有四個項，故熱能的量子起伏式(3.49)變成 . Z. ˆ 2 iβ = ε2 ( h:E2 h∆H (x) :iβ dτ )2 + 2ε20 ω 0 Z Z. + 4ε20 + 2ε20. Z Z. Z Z. h: E(x)E(y) :i2β dτ1 dτ2. (3.51). h: E(x)E(y) :iβ hE(x)E(y)iM dτ1 dτ2. (3.52). hE(x)E(y)i2M dτ1 dτ2. (3.53). . Z. :i dτ )2 , − ε20 ( h:E2 (x) β. (3.54). . 此式特別標出 fully normal-ordered term 電場平方的二點函數其第一項和熱能期望值的平方互相抵消，因此熱能起伏共有三個項，分別為電場二點函數的平方項，交互作用項及純真空能量項。另外，也可以看出雖然一開始已經利用normal-ordering定義一個適當的能量算符，但其經過平方後還是會重新產生一個純真空能量項。但因為這一項是 state-independent，與熱量子態無關，可以忽略不計。因此，計算熱能的量子起伏只需考慮兩個項。第一項，電場二點函數的平方項，帶入二點函數，式(3.43)後 2ε20. Z Z. =. h: E(x)E(y) :i2β dτ1 dτ2. 2ε20. Z Z X λ. 1 ε0 V. 2. h. i. (hnkλ i¯hωk )2 cos2 ~k · (r~0 − ~r) d3 rd3 r0 . 13. (3.55).

(17) 以及第二項，交互作用項，分別帶入電場的二點函數，式(3.42)及真空中場的二點函數，式(3.48)後 4ε20. Z Z. =. h: E(x)E(y) :iβ hE(x)E(y)iM dτ1 dτ2. 4ε20. h ~ 0 i ~ 0 1 2 2 −ik·(~ r −~ r) i~k·(~ r0 −~ r) hn i¯ h ω e + e eik·(~r −~r) d3 rd3 r0 . kλ k 2 2 4V ε0. Z Z X λ. (3.56). 此式中場的二點函數特別以指數函數的形式表示，這是為了計算方便。接著，我們必須分別處理這兩個項中的積分最後才能得到熱能的量子起伏的形式。且因為第一項積分含有平均光子數的平方項hnkλ i2 而第二項積分含有平均光子數的一次方項hnkλ i，因此，我們分別稱他們為＂波性質項＂及＂粒性質項＂。波性質項根據式 (3.55)，且把和對體積積分無關的常數提出積分式外後，波性質項寫為 Z Z. 2ε20. =. h: E(x)E(y) :i2β d3 rd3 r0. X λ. Z Z i h 2 2 2 ~ 0 (hn i¯ h ω ) cos k · (~ r − ~ r ) d3 rd3 r0 , kλ k V2. (3.57). 利用cos平方函數的性質cos2 θ = 21 (1 + cos 2θ)，此積分可以分解成兩個項，第一項： 1Z Z 3 3 0 d rd r , 2. (3.58). 及第二項： 1Z Z cos 2~k · (~r0 − ~r)d3 rd3 r0 . (3.59) 2 第一項積分可直接看出，若使用球座標且令球體半徑為 a，則兩個體積積分的乘積為 Va2 。而第二項的處理比較複雜，首先，為了方便計算，我們可把 cos 函數用指數函數 e 的型式表示，即在複數平面上做計算，並取其實部 (real part)： Z Z. h. i. cos 2 ~k · (~r0 − ~r) d3 rd3 r0 = Re. Z Z Z. = Re. ~. 0. ei2[k·(~r −~r)] d3 rd3 r0 ~. 0. ei2(k·~r ) d3 r0. Z. ~. . (3.60) . e−i2(k·~r) d3 r .. (3.61). 由此可知，我們需要計算點 r0 和點 r 的兩個體積積分。若先考慮只對點 r0 的體積積分，這樣的積分型式和 Furiour integral 相同[16]。在球座標底下， ~k · ~r0 = kr cos α 並取一個任意的體積積分尺度 (scale) a，則此體積積分： Z. ~. 0. ei2(k·~r ) d3 r0 = =. Z. ei2kr cos α r2 drdΩ. Z a. r2 dr. Z 2π. 0. 0. 14. dφ. Z 1 −1. (3.62) d cos θei2kr cos α .. (3.63).

(18) 在這個積分中，如何處理對角度的積分，可以使用一個技巧，即選定向量 ~k 的方向為 polar axis，則兩向量 ~k 和 ~r 間的角度恆為 θ。因此，對角度的積分如下，且其與指數函數 e 的正負號無關： Z 1. d cos θe. i2kr cos θ. −1. sin 2kr Z 1 = = d cos θe−i2kr cos θ , kr −1. (3.64). 將其帶入式(3.63),並對參數 r 做積分，可以得到對點 r0 的體積積分為 Z. ~. 0. ei2(k·~r ) d3 r0 =. 2π k2. . Z 1 a ~ sin 2ka − cos 2ka = e−i2(k·~r) d3 r, 4k 2 . (3.65). 其中，也因點 r0 和點 r 的角度積分相同，故兩個點的體積積分也相同。因此第二項，式(3.60)變為： Z Z. h. i. cos 2 ~k · (~r0 − ~r) d3 rd3 r0. 2 2π 1 a = sin 2ka − cos 2ka k 2 4k 2 ! a a2 2π 1 2 2 sin 2ka − cos 2ka sin 2ka + cos 2ka . = k 2 16 4k 2. . . . (3.66) (3.67). 於是波性質項，式(3.57)可以寫成 1 a a2 sin2 2ka − cos 2ka sin 2ka + cos2 2ka 16 4k 2. ". !#. 8 2π 2 1 2 (hn i¯ h ω ) V + k k a V2 2 k2. (3.68). 對第一項來說，如果把積分的體積和系統的體積 (volume of box normalization) 大小視為 P 相同，則第一項為 λ (hnkλ i¯ hωk )2 。又若把第一項體積積分的大小 Va 的量綱視為 a3 ，和第二項最大的數量級相比a6 a2 ，在這裡我們可以忽略。因此，總個來說波性質項： 2ε20. Z Z. h: E(x)E(y) :i2 dτ1 dτ2 =. X. (hnkλ i¯ hωk )2. (3.69). λ. 粒性質項同樣的，根據式(3.56)，粒性質項為： 4ε20. Z Z. =. h: E(x)E(y) :iβ hE(x)E(y)iM dτ1 dτ2. X λ. Z Z h i ~ 0 1 2 2 −i~k·(~ r0 −~ r) i~k·(~ r0 −~ r) hn i¯ h ω e + e eik·(~r −~r) d3 rd3 r0 . kλ k 2 V. (3.70). 又根據積分函數的型式，其可以被分解成兩個項，第一 Z Z 1 2 2 hnkλ i¯h ωk d3 rd3 r0 , V2. (3.71). Z Z 1 ~ 0 2 2 hnkλ i¯h ωk e2ik·(~r −~r) d3 rd3 r0 , 2 V. (3.72). X λ. 以及第二 X λ. 15.

(19) 處理這兩項積分的方法和波性質項的狀況相同，若把積分的體積和系統的體積大小視為相 P 同，則第一項可以直接寫為 λ hnkλ i¯ h2 ωk2 ，而第二項的積分同樣也因為數量級太小可以被忽略，因此，粒性質項： 4ε20. Z Z. h: E(x)E(y) :ihE(x)E(y)iM dτ1 dτ2 =. hnkλ i¯h2 ωk2. X. (3.73). λ. 最後求得熱能的量子起伏為波性質項和粒性質項的加總： ˆ 2i = h∆H ω. Xh. i. (hnkλ i¯ hωk )2 + hnkλ i¯h2 ωk2 .. (3.74). λ. 3.2.4. 結論. 這小節主要在討論只包含單一頻率的熱系統其熱能的量子起伏，這樣的系統其利用單一頻率的熱量子態所求得的二點函數是以cos函數的型式表示 ˆ r)E(~ ˆ r0 ) :iβ = h: E(~. X λ. i h 1 hnkλ i¯ hωk cos ~k · (~r0 − ~r) , ε0 V. (3.75). 另外，若只考慮某一頻率的真空量子態，其二點函數是指數 e 的型式 ˆ r)E(~ ˆ r0 )iM = hE(~. X λ. h ¯ ~ 0 ωk eik·(~r −~r) . 2ε0 V. (3.76). 利用這些二點函數的性質，分別對空間中兩點的區域做體積積分可得出熱能起伏為，式(3.74) ˆ ω2 i = h∆H. Xh. (hnkλ i¯hωk )2 + hnkλ i¯h2 ωk2. i. (3.77). λ. =. Xh. i. n ¯ 2kλ + n ¯ kλ h ¯ 2ω2.. (3.78). λ. 其和第二章由光子數目的方式所得出熱能的量子起伏，式(2.12)是互相一致的， ˆ ω2 i = h∆H. Xh. i. n ¯ 2kλ + n ¯ kλ h ¯ 2ω2.. (3.79). λ. 波性質項會得出平均光子數的平方項 n ¯ 2 ，而粒性質項會得出平均光子數的一次方項 n ¯。因此在兩項的計算中，我們分別忽略了數量級較小的項的確是合理的。. 3.3. 黑體. 用場的方式探討黑體熱能的量子起伏，同樣的需要先計算三個黑體輻射的二點函數 h: E(x)E(y) :i，h: E 2 (x) :i 及 hE(x)E(y)iM ，將其帶入熱能的量子起伏的式子後即可得到結果。與單一頻率熱能的量子起伏不同的是，此系統所有的二點函數都需要加總每個不同頻率的貢獻。 16.

(20) 3.3.1. 場的二點函數. 計算黑體輻射其場的二點函數，步驟和計算單一頻率場的二點函數相同，不同的地方為此處算符兩邊夾上的是黑體的熱量子態。經過計算後就可以得出h: E(x)E(y) :iβ 。最後把其中的一點 x 趨近於另外一點 y ，即可得出單點函數的期望值 h: E 2 (x) :iβ 。首先，寫出在點 ~r 及點 ~r0 其電場算符的形式： ˆ r) = E(~. XX k. ˆ r~0 ) = E(. eˆkλ. λ. XX k0. h ¯ ωk 2ε0 V. eˆk0 λ0. λ0. h. !1/2. h ¯ ωk0 2ε0 V. h. !1/2. a ˆkλ e−iχk (~r,t) + a ˆ†kλ eiχk (~r,t). i. 0. h. (3.80) 0. i. a ˆk0 λ0 e−iχk0 (~r ,t) + a ˆ†k0 λ0 eiχk0 (~r ,t) .. (3.81). i. 第二，將兩點電場相乘並利用 a ˆ, a ˆ† = 1 將其乘積做 Normal-ordering: ˆ r)E(~ ˆ r0 ) : = : E(~. XX. eˆkλ eˆk0 λ0. kλ k0 λ0. h ¯ (ωk ωk0 )1/2 · 2ε0 V. ˆkλ e−i(χk −χk0 ) [ˆ akλ a ˆk0 λ0 e−i(χk +χk0 ) + a ˆ†k0 λ0 a ˆ†kλ a ˆ†k0 λ0 ei(χk +χk0 ) ], +ˆ a†kλ a ˆk0 λ0 ei(χk −χk0 ) + a. (3.82) (3.83) (3.84). 第三，將其兩邊夾上黑體的熱量子態 |βiblk = {nkλ } P ({nkλ })1/2 |{nkλ }i 。可看出雖然有 ˆkλ 項則有： ˆ†k0 λ0 a ˆ†k0 λ0 項沒有貢獻。相反的，對於 a 四個項相加，但 a ˆkλ a ˆk0 λ0 項及 a ˆ†kλ a P. 1/2. h{nKΛ }|P{nKΛ }. X XX. eˆkλ eˆk0 λ0. {nKΛ } kλ k0 λ0. =. XX kk0 λλ0. eˆkλ eˆk0 λ0. X h ¯ 1/2 P{nKΛ } |{nKΛ }i, ˆkλ (3.85) (ωk ωk0 )1/2 e−i(χk −χk0 ) a ˆ†k0 λ0 a 2ε0 V {nKΛ }. X h ¯ (ωk ωk0 )1/2 e−i(χk −χk0 ) Pn nkλ δkk0 δλλ0 δkK δλΛ , 2ε0 V n. (3.86). 根據式(3.28)可知，雖然算符作用在黑體的熱量子態上，但這相當於算符作用在單一頻率的熱量子態上後再對不同頻率產生的結果加總。這是因為某單一頻率的算符只會對該頻率的熱量子態做作用的結果。接著，對 a ˆ†kλ a ˆk0 λ0 項也是一樣的做法。整理 δ 函數並利用 eˆkλ · eˆkλ = 1 的性質，可得場的二點函數為這兩項的相加 ˆ r)E(~ ˆ r0 ) : |βi = hβ| : E(~. XX k. λ. h i h ¯ ωk X Pn nkλ e−iθ + eiθ , 2ε0 V n. (3.87). 其中 θ = χk (~r, t) − χk (r~0 , t)。第四，再進一步化簡。θ 函數可以寫為 ~k · (~r0 − ~r) 且 −1 P hnkλ i = n Pn nkλ = e¯hω/kB T − 1 ，即式(2.7)。故場的二點函數寫成： h ~ 0 i 1 ~ 0 hnkλ i¯hωk e−ik·(~r −~r) + eik·(~r −~r) k λ 2ε0 V h i XX 1 = hnkλ i¯hωk cos ~k · (~r0 − ~r) , k λ ε0 V. ˆ r)E(~ ˆ r0 ) :iβ = h: E(~. XX. 17. (3.88) (3.89).

(21) 此外，將其中一點趨近另一點 ~r0 → ~r 可得到單點函數 h: Eˆ 2 (~r) :iβ =. XX k. λ. 1 hnkλ i¯hωk . ε0 V. (3.90). 由以上的計算可知，對黑體熱系統，場的二點函數，式(3.89)的型式是 cos 函數，而單點函數，式(3.90)則和位置無關。這些性質都和單一頻率熱系統的二點函數相同，差別為黑體的函數需要對所有的頻率加總。. 3.3.2. 真空中場的二點函數. 計算黑體熱系統其真空中場的二點函數，同樣的寫下空間中任兩點的電場算符，將其相乘後兩邊夾上真空量子態|0i，經過計算後，即可得出。和單一頻率的熱系統其真空中場的二點函數不同的地方為，此處對所有頻率的真空量子態都有取值，而單一頻率的熱系統只對某一頻率的真空場取值。空間中兩點 ~r 及 ~r0 的電場算符 ˆ r) = E(~. XX k. ˆ r0 ) = E(~. λ. XX k0. eˆkλ eˆk0 λ0. λ0. h ¯ ωk 2ε0 V. !1/2. h ¯ ωk0 2ε0 V. h. !1/2. a ˆkλ e−iχk (~r,t) + a ˆ†kλ eiχk (~r,t). i. 0. 0. h. (3.91) i. a ˆk0 λ0 e−iχk0 (~r ,t) + a ˆ†k0 λ0 eiχk0 (~r ,t) ,. (3.92). 將其相乘後兩邊夾上真空量子態|0i。又因為ˆ akλ |0kλ i = 0，故四項中的三項會消失，只有 a ˆkλ a ˆ†k0 λ0 項會有貢獻。因此真空中場的二點函數寫為 ˆ r)E(~ ˆ r0 )iM = h0| hE(~. XX. eˆkλ eˆk0 λ0. kλ k0 λ0. h ¯ ˆkλ a ˆ†k0 λ0 |0i, (ωk ωk0 )1/2 ei(χk0 −χk ) a 20 V. (3.93). 且算符對此真空態作用後只會產生 δ 函數，也就是說作用過程並沒有任何光子會產生 h0|ˆ akλ a ˆ†k0 λ0 |0i = δkk0 δλλ0 。利用χk (~r, t) = ωk t − ~k · ~r − π2 及 eˆkλ · eˆkλ = 1 ，可以得到真空中電場的二點函數是一個指數函數的型式： ˆ r)E(~ ˆ r0 )iM = hE(~. XX k. 3.3.3. λ. h ¯ ~ 0 ωk eik·(~r −~r) . 2ε0 V. (3.94). 熱能起伏. 得到二點函數後，根據式(3.5)，黑體熱能的量子起伏為： ˆ 2 iβ = ε20 h∆H. Z Z. . h: Eˆ 2 (x) :: Eˆ 2 (y) :iβ dτ1 dτ2 − ε20. Z. h: Eˆ 2 (x) :iβ dτ. 2. .. (3.95). 且由黑體的單點函數，式(3.90)可知，電場平方的值和空間位置無關，故 h: E 2 (x) :iβ = h: E 2 (y) :iβ ，因此式(3.7)寫為 h: E 2 (x)E 2 (y) :iβ = h: E 2 (x) :i2β + 2h: E(x)E(y) :i2β . 18. (3.96).

(22) 將其帶入場的關係函數，式(3.6)中，則關係函數的第一項和熱能起伏式(3.95)的第二項相消變成 ˆ 2 iβ = 2ε2 h∆H 0. Z Z. + 4ε20. Z Z. + 2ε20. Z Z. h: E(x)E(y) :i2β dτ1 dτ2. (3.97). h: E(x)E(y) :iβ hE(x)E(y)iM dτ1 dτ2. (3.98). hE(x)E(y)i2M dτ1 dτ2 ,. (3.99). 如同3.2.3所述，純真空能量項本來就存在，且其與熱量子態無關，可以忽略不計。因此，計算熱能的量子起伏只需考慮兩個項。第一項，電場二點函數的平方項，帶入黑體的二點函數，式(3.89)後 2ε20. Z Z. h: E(x)E(y) :i2β dτ1 dτ2. = 2ε20. Z Z X kλ. 1 ε0 V. 2. h. i. (hnkλ i¯hωk )2 cos2 ~k · (r~0 − ~r) d3 rd3 r0 ,. (3.100). 以及第二項，交互作用項，分別帶入電場的二點函數，式(3.89)及真空中場的二點函數，式(3.94)後 4ε20. Z Z. h: E(x)E(y) :iβ hE(x)E(y)iM dτ1 dτ2. = 4ε20. Z Z X kλ. h ~ 0 i h ¯ 1 ~ 0 ~ 0 hnkλ i¯hωk e−ik·(~r −~r) + eik·(~r −~r) ωk eik·(~r −~r) d3 rd3 r0 . (3.101) 2ε0 V 2ε0 V. 接著，我們必須分別處理這兩個項中的積分最後才能得到熱能的量子起伏的形式。同樣的，因為第一項積分含有平均光子數的平方項hnkλ i2 ，而第二項積分含有平均光子數的一次方項hnkλ i，因此，我們分別稱他們為黑體的＂波性質項＂及＂粒性質項＂。波性質項波性質項根據式(3.100)為 2ε20. Z Z. h: E(x)E(y) :i2β dτ1 dτ2. = 2ε20. Z Z X kλ. 1 ε0 V. 2. 若先處理對不同k的積分和其積分函數 . −1. e¯hω/kB T − 1. h. i. (hnkλ i¯hωk )2 cos2 ~k · (r~0 − ~r) d3 rd3 r0 . P. λ. → 2，. P. k. →. V 8π 3. R. (3.102). d3 k ，ω = ck 及 hnkλ i =. 。故上式體積分內的積分函數可寫為 2V 8π 3. h ¯ ε0 V. !2 Z. −2. . c2 k 2 ec¯hk/kB T − 1. h. i. cos2 ~k · (r~0 − ~r) dk 3 .. (3.103). 且利用cos平方函數的性質 cos2 θ = 21 (1 + cos 2θ) 此積分可拆成兩項，但 12 cos 2θ 項可以忽略不處理，其原因和在處理單一頻率的熱系統的體積分時相同，體積積分後的值會遠小於 19.

(23) 第一項可忽略，因此不需處理其對 k 的積分。又 dk 3 = 4πk 2 dk，故第一項對k的積分為 −2 1 i 1 4(kb T )5 h 4 h ¯2 Z 2 4 c¯ hk/kB T (4π) c k e − 1 dk = π − 90ζ(5) 3 4π 3 ε20 V 2 2 15π 2 ε20 V c3 h ¯. (3.104). 由上式可知，對不同k積分完後的值內，沒有和位置r有關的性質，故波性質項對體積的積分為Va2 。因此，波性質項式(3.102)為： 2ε20. Z Z. h: E(x)E(y) :i2β d3 rd3 r0 =. i 4(kb T )5 Va2 h 4 π − 90ζ(5) 15π 2 c3 h ¯3 V. (3.105). 粒性質項同樣的，根據式(3.101)，粒性質項為： 4ε20. Z Z. h: E(x)E(y) :iβ hE(x)E(y)iM dτ1 dτ2. 4ε20. =. Z Z X kλ. h ~ 0 i h ¯ 1 ~ 0 ~ 0 hnkλ i¯hωk e−ik·(~r −~r) + eik·(~r −~r) ωk eik·(~r −~r) d3 rd3 r0 . (3.106) 2ε0 V 2ε0 V. 同樣先處理對不同k的積分和其積分函數. P. . −1. e¯hω/kB T − 1. λ. → 2，. P. k. →. V 8π 3. R. d3 k ，ω = ck 及 hnkλ i =. 。故上式體積分內的積分函數可寫為：. 2V 1 8π 3 4. h ¯ ε0 V. !2 Z. −1 h. . c2 k 2 ec¯hk/kB T − 1. ~. ~. 0. i. 1 + e2ik·(~r −~r) dk 3 ... (3.107). 0. 根據積分函數的型式，此積分可拆成兩項，但 e2ik·(~r −~r) 項可以忽略不處理，其原因和在處理單一頻率的熱系統的體積分時相同，體積積分後的值會遠小於第一項可忽略，因此不需處理其對 k 的積分。又 dk 3 = 4πk 2 dk，故第一項對k的積分為 −1 h ¯2 1 Z 1 24(kb T )5 2 4 c¯ hk/kB T (4π) c k ζ(5) e − 1 dk = 4π 3 ε20 V 4 4 π 2 ε20 V c3 h ¯3. (3.108). 由上式可知，對不同k積分完後的值內，沒有和位置r有關的性質，故粒性質項對體積的積分為Va2 。因此，粒性質項式(3.106)寫為： 4ε20. 3.3.4. Z Z. h: E(x)E(y) :iβ hE(x)E(y)iM dτ1 dτ2 =. 24(kb T )5 Va2 ζ(5), π 2 c3 h ¯ 3V. (3.109). 結論. 這小節主要在討論黑體熱系統其熱能的量子起伏，這樣的系統其利用黑體的熱量子態所求得的二點函數以及真空中場的二點函數都是對單一頻率的二點函數直接加總所有的頻率(波長)。黑體系統場的二點函數 ˆ r)E(~ ˆ r0 ) :iβ = h: E(~. XX k. λ. h i 1 hnkλ i¯hωk cos ~k · (~r0 − ~r) , ε0 V. 20. (3.110).

(24) 以及包含所有頻率的真空場的二點函數 ˆ r)E(~ ˆ r0 )iM = hE(~. XX k. λ. h ¯ ~ 0 ωk eik·(~r −~r) . 2ε0 V. (3.111). 因此，利用場的方式所求得黑體熱能的量子起伏為波性質項和粒性質項的加總 ˆ 2 i = 2ε20 h∆H. Z Z. h: E(x)E(y) :i2β dτ1 dτ2 + 4ε20. Z Z. h: E(x)E(y) :iβ hE(x)E(y)iM dτ1 dτ2. i 4(kb T )5 Va2 h 4 24(kb T )5 Va2 = ζ(5). π − 90ζ(5) + 15π 2 c3 h ¯3 V π 2 c3 h ¯ 3V. (3.112). 且若把積分的體積和系統的體積 (volume of box normalization) 大小視為相同，則其結果和從光子數目探討熱能的量子起伏的結果，式(2.20)及式(2.23)是相同的 ˆ 2 i = h∆H ˆ 2 i + h∆H ˆ2 i h∆H rad par 5. =. (3.113) 5. 4(kb T ) V 4 24(kb T ) V π − 90ζ(5) + ζ(5). 3 15π 2 c3 h ¯ π 2 c3 h ¯3 h. i. 21. (3.114).

(25) Chapter 4 熱能起伏的應用 4.1. 彎曲時空熱能的量子起伏. 從場的角度探討熱能的量子起伏在平空間底下的行為如第三章所述。若要探討彎曲空間底下黑體熱系統熱能的量子起伏，可以從了解電磁場在彎曲空間底下的行為開始，找出電場在此空間中的二點函數並對體積積分，即可得到熱能的量子起伏。此節以宇宙膨脹的模型，即具有平坦空間的FRW幾何為例，探討在此時空中黑體熱系統熱能的量子起伏。電磁場在彎曲空間底下的廣義形式在很多文獻上都有探討[17]，較常見的做法為寫下電磁場在彎曲空間底下的作用量(action) S=−. Z. √ 1 µν µ 4 Fµν F − Aµ J −gd x 16π. (4.1). 對其做變分(variation)後，即可得出四條描述彎曲空間電磁場的馬克斯威方程式(Maxwell equation)。此馬克斯威方程式是以電磁場張量F µν 的形式表示，必須再進一步化簡後才可得到用電場和磁場表示的方程式[18]。再將平坦空間的FRW時空的度規(metric)帶入方程式中， h i ds2 = −c2 dt2 + a2 (t) dx2 + dy 2 + dz 2 , (4.2) 其中a(t)為宇宙膨脹的尺度因子(scaling factor)，即可解出電磁場在平坦空間的FRW時空底下的形式。此處可以選擇用共動座標[19]，則其電磁場的形式和在閩考斯基時空底下電磁場的形式是相同的。或是使用局域平坦(locally flat)的座標系[20]，則其電磁場的形式為閩考斯基時空下電磁場形式的1/a2 倍， 1 EFRW (~r) = 2 EM (~r). a. (4.3). 再將此電磁場量子化，其過程即等同於量子化閩考斯基時空底下的電磁場，但須乘上一倍數。這樣等比例放大或縮小一個物理量的概念稱為保角變換 (conformally transformation)。得到在平坦空間的FRW時空底下電場算符的型式後，對他做正常排序後，再夾上黑體的熱量子態，就可以得到二點函數。但在此之前必須做一些假設。首先，普朗克分佈（Plank distribution）的機率函數，在空間平坦的FRW時空底下不會改變其型式。第二， 22.

(26) 熱量子態在空間平坦的FRW時空底下不會改變。故根據式 (4.3)，在空間平坦的FRW時空中的二點函數，其型式等同於閩考斯基時空中二點函數的1/a4 倍， h: E(x)E(y) :iFRW = 單點函數： h: E 2 (x) :iFRW =. 1 h: E(x)E(y) :iM , a4. (4.4). 1 h: E 2 (x) :iM , a4. (4.5). 以及真空中場的二點函數： 1 hE(x)E(y)iFRW = 4 hE(x)E(y)iM , a. (4.6). 因此，根據式(3.100)及(3.101)，平坦空間的FRW時空下熱能的量子起伏可寫為在閩考斯基時空中熱能的量子起伏的1/a8 倍 ˆ 2 iβ = 2ε2 h∆H 0 1 = 8 a. 4.2. Z Z. (. h: E(x)E(y) :i2β dτ1 dτ2 + 2. Z Z. . h: E(x)E(y) :iβ hE(x)E(y)iM dτ1 dτ(4.7) 2. i 24(kb T )5 V 4(kb T )5 V h 4 π − 90ζ(5) + ζ(5) 15π 2 c3 h ¯3 π 2 c3 h ¯3. ). (4.8). 熵的量子起伏. 在3.1章所建構的熱量子態，可以用來計算一些熱系統其物理量值的大小，並進一步計算此物理量值的量子起伏。此處以計算單一頻率的熱輻射系統其熵為例，但須先找出熵算符的型式，並利用光子數目的方法探討熵的量子起伏。最後說明這樣的方式的確是可行的。對一個觀測量的平均值(ensemble average)來說 . . ˆ = T r ρÂˆ hAi. (4.9). hSi = −kT r (ˆ ρ ln ρˆ). (4.10). Sˆ = −k ln ρˆ. (4.11). 且熵的期望值為可得 ˆ 表示即吉布斯熵（Gibbs entropy）。此密度算符 ρˆ 為式(3.9)，並將其用光子數算符N ρˆ =. X. Pn |nihn|. (4.12). n. =. . 1 − e−¯hω/kT. X. e−n¯hω/kT |nihn|. (4.13). n. =. . . ˆ. 1 − e−¯hω/kT e−N ¯hω/kT. 23. (4.14).

(27) 因此，利用上述統計物理的想法可以得出熵算符： Sˆ = −k ln ρˆ = −k ln. (4.15). h. ˆ¯ −N hω/kT. . 1 − e−¯hω/kT e. . . = −k ln 1 − e−¯hω/kT +. 由熵的量子起伏定義可知. (4.16). h ¯ω ˆ N T. (4.17). ˆ2 h∆Sˆ2 i = hSˆ2 i − hSi. (4.18). 並利用式(4.17)的熵算符及式(3.15)單一頻率的熱量子態 |βi = ˆ β = hn| hSi. i. ∞ X. " 1/2. P (n). . −k ln 1 − e. −¯ hω/kT. n=0. . . = −k ln 1 − e−¯hω/kT + . . P∞. n=0. P (n)1/2 |ni，可得. ∞ h ¯ω ˆ X + P (n)1/2 |ni N T n=0. #. h ¯ω n ¯, T. (4.19) (4.20). . 若定義第一項 −k ln 1 − e−¯hω/kT ≡ Θ 故期望值的平方為 ˆ2 hSi β. h ¯ω h ¯ω ¯+ = Θ − 2Θ n T T. ˆ+ 又熵算符平方為 Sˆ2 = Θ2 − 2Θ ¯hTω N hSˆ2 iβ. ∞ X. !2. n ¯2. 2. . ¯ω h T. 2. ˆ 2 ，故算符平方的期望值為 N. . h ¯ω ˆ h ¯ω P (n)1/2 Θ2 − 2Θ N = hn| + T T n=0 h ¯ω h ¯ω = Θ − 2Θ n ¯+ T T 2. !2. (4.21). !2. . ˆ 2 N. ∞ X. P (n)1/2 |ni. (4.22). n=0. n¯2. (4.23). 因此熵起伏為式(4.22)及式(4.21)的相減，且利用光子數起伏為式(2.10)可得： ˆ2 h∆Sˆ2 i = hSˆ2 i − hSi =. h ¯ω T. !2. !2. =. h ¯ω T. (4.24). h. n¯2 − n ¯2. i. (4.25). h. n ¯2 + n ¯ .. (4.26). i. 此外，由古典的熱力學第一定律亦可以驗證其正確與否。若假設此熱系統無外力對其做功，則 dU = dQ − dW = T dS, (4.27) 24.

(28) 故可得dS/dU = 1/T 。假設能量和溫度都有微小的擾動(Perturbation) U = hU i + δU ，T = hT i + δT ，則δS = δU/T ≈ δU/hT i。將其平方後取期望值，並將能量的擾動帶入第三章單一頻率的熱系統其熱能的量子起伏，式(3.78)可得： hδU 2 i = hδS i = hT i2 2. 其結果的確和式(4.26)一致。. 25. h ¯ω hT i. !2. h. i. n ¯2 + n ¯. (4.28).

(29) Chapter 5 總結與討論 5.1. 總結. 探討一個熱輻射系統其熱能的量子起伏可以使用兩種方法，第一：光子數目的方法及第二：電磁場的方法。本篇論文以只包含單一頻率的熱輻射系統及黑體輻射系統為例，分別計算其熱能的量子起伏。並得出用兩種不同的算法得到的熱能的量子起伏量值皆為相同。對單一頻率的熱輻射系統來說，其熱能的量子起伏皆為： ˆ 2i = h∆H ω. Xh. i. n ¯2 + n ¯ h ¯ 2ω2.. (5.1). λ. 對包含各種頻率的熱輻射系統，黑體來說，其熱能的量子起伏皆為： ˆ 2i = h∆H. i 24(kb T )5 V 4(kb T )5 V h 4 π − 90ζ(5) + ζ(5). 15π 2 c3 h ¯3 π 2 c3 h ¯3. (5.2). 此外，用電磁場的方法探討在平坦空間的FRW時空底下一黑體系統其熱能的量子起伏為： ˆ 2 iβ = 1 h∆H a8. (. i 4(kb T )5 V h 4 24(kb T )5 V π − 90ζ(5) + ζ(5) , 15π 2 c3 h ¯3 π 2 c3 h ¯3 ). (5.3). 最後，用光子數的方法探討只包含單一頻率的熱輻射系統其熵的量子起伏大小為： h∆Sˆ2 i =. 5.2. h ¯ω T. !2. h. i. n ¯2 + n ¯ .. (5.4). 討論. 探討一個量子熱系統的能量可以使用光子數來表示其能量，但也可以用電磁場來表示其能量。因此我們可以用這兩種不同的方法探討一個熱系統其熱能的量子起伏。而由量子場論也知道，電磁場量子化後的型式和簡諧振子(此處指光子)的型式是相同的，因此雖然是兩種不同的方法，但其核心的概念是一樣的。然而，使用電磁場的方法去計算則可以看出更多的細節，在以下討論之。 26.

(30) 在第二章討論單一頻率的熱輻射系統時我們有提到，熱能的量子起伏和零點能是沒關係的，因為他在計算中就因為定義中兩個量的相減而直接消失。 ˆ 2i = h∆H ω. X. 2 2 ˆ 2 i¯ h∆N kλ h ωk ,. (5.5). λ. 然而，從場的角度可以很清楚的發現，零點能的貢獻還是存在， ˆ 2 iβ = 2ε2 h∆H ω 0. Z Z. + 4ε20. Z Z. h: E(x)E(y) :i2β dτ1 dτ2. (5.6). h: E(x)E(y) :iβ hE(x)E(y)iM dτ1 dτ2 ,. (5.7). 存在於粒性質項，也就是交互作用項中[21]，故用粒子數的方法看不出真空場所扮演的角色。由此可知，用場的方式可以讓我們更清楚了解粒性質項是來自於真實的電場與真空場做交互作用的結果，故在古典物理中看不到這樣的效應。古典物理中只會有波性質項，即 n ¯ 2 項存在而已。在場的計算中需要特別注意的是，我們必須先考慮只針對對單一頻率且某個極化方向 P 的光，若有需要，再另外加總另外一個極化方向的光或是其他頻率的光。因此， λ 或 P k 都必須等所有的計算，例如平方或相乘，都做完後才能加總。從粒性質項的計算也可得知，雖然可以從真空場中提取所有頻率和極化方向的光，但是真實的場只能和同樣頻率同樣極化方向的真空場才可以做作用。另外，普朗克的機率函數只和波長或頻率有關，因此若要考慮另外一個極化方向的光，需要再乘以兩倍。我們也可以由單點函數中看出兩方法間的連結： ε0 h: Eˆ 2 (~r) :iβ =. X λ. 1 hnkλ i¯ hωk . V. (5.8). 故電場平方的量綱即能量密度 ρ，為單位體積 V 中所包含光子的平均能量。 1/2 |ni，或另外，建構系統的熱量子態，不論是單一頻率的熱量子態 |βi = ∞ n=0 P (n) P 1/2 是黑體的熱量子態 |βiblk = {nkλ } P ({nkλ }) |{nkλ }i 都讓我們更可以了解系統本身的性質，且正因為熱量子態不是系統的本徵態，因此所得出熱能的量子起伏並不為零。此外還可以探討一個特別的情形，即為當系統所有頻率的光子數皆為零時 nkλ = 0，溫度為零 T = 0，故此時的熱量子態即為真空量子態 |0i 。值得提醒的是，當光子數為零時場的二點函數和真空中場的二點函數是不相同的。因為場的二點函數需要做正常排序，但真空中場的二點函數並不需要。. P. 除了討論兩個方法間的不同之處外。還可以討論對於量子熱系統，若只包含單一頻率與包含所有不同的頻率，這兩種情形有何差別。在量子光學實驗中常討論只包含單一頻率的熱輻射系統，其熱能的量子起伏的值和系統其總能量的數量級在光子數很多時是相同的。即 1/2 n ¯h ¯ ω 1 + n1¯ h∆Hω i = = 1, (5.9) Hω n ¯h ¯ω 27.

(31) 但對黑體輻射來說，其熱能的量子起伏和系統總能量的數量級卻是不相同的。熱能的量子起伏和溫度的 5/2 次方成正比，但根據 Stefan-Boltzmann 的輻射定律，系統能量是和溫度的四次方成正比。因此當在討論熱能的量子起伏和能量的量值數量級的大小一樣時，指的是對單一頻率的熱系統而非包含所有頻率的黑體系統。在第四章我們以平坦空間的FRW時空為例，探討其黑體輻射系統的熱能起伏。發現他 F RW f lat 和閩考斯基空間下系統的能量有個簡單的倍數關係 Tµν (x) = a−4 Tµν (x)，即為保角變換的型式。而我們在計算中做了兩個假設，第一:機率函數，即普朗克分佈，在FRW空間底下不會改變其型式及第二，熱量子態在FRW空間底下不會改變。而事實也的確是如此。普朗克分佈在保角變換底下是不會改變的。其頻率和尺度因子 a(t) 的一次方成反比，且溫度也是如此，故總個膨脹的效應會抵消，普朗克分佈的型式不會改變。另外光子數在膨脹的宇宙中也不會有所增減，會改變只有光子的頻率，故熱量子態在FRW空間底下的確是不會改變的。另外一個有趣的地方在於，此膨脹的空間底下其真空中的二點函數也會跟著膨脹。另外，我們也討論熵的量子起伏。在古典物理中熵的變化永遠大於或等於零，即熱力 i = 0。但由熵的量子起伏不學第二定律 ∆S ≥ 0，故即使有擾動也應是如此，hδSi = hδU hT i 為零可看出，在熱系統的邊界上熵會有小於零的可能性值得探討。最後，用場的方式可以探討較小尺度的物理，故建構能量的局域量才能研究它和空間的交互作用。這也是為什麼我們需要用場而非光子數目來計算能量的量子起伏的主要原因。根據愛因斯坦的場方程式可知，熱能的量子起伏會造成空間曲率的起伏。故可以定義里奇張量(Ricci tensor)Rµν (x)和能動張量(stress tensor)Tµν (x)的關係函數(correlation function)寫成[4] Kµναβ (x, y) = (8π)2 Cµναβ (x, y) (5.10) 其中定義 Kµναβ (x, y) = hRµν (x) Rαβ (x)i − hRµν (x)ihRαβ (y)i，稱為里奇張量的二點函數。而能動張量的二點函數定義為 Cµναβ (x, y) = hTµν (x) Tαβ (y)i − hTµν (x)ihTαβ (y)i。當 µν = αβ 且點 x = y 時，此二點函數為能動張量的量子起伏，也就是平方的期望值減掉期望值的平方。若只考慮能動張量的 T 00 分量，即能量密度。在我們的熱系統底下他就是電磁場的能量密度，其和電磁場的平方成正比。T 00 = ρ ∝ 21 (E 2 + B 2 )。因此若想求得系統熱能的量子起伏，則需把這個 T 00 分量對體積做積分 Z Z. C0000 (x, y) τ1 τ2 = =. Z Z. ε20. h: ρˆ(x) :: ρˆ(y) :idτ1 dτ2 −. Z Z. Z. h: ρˆ(x) :idτ . h: Eˆ 2 (x) :: Eˆ 2 (y) :idτ1 dτ2 − ε0. Z. 2. ˆ 2 :idτ h: E(x). (5.11) 2. (. 5.12). 其中ρE + ρB = ε0 E 2 。因此，若想研究平坦空間的FRW時空底下，熱能的量子起伏所造成空間曲率的起伏，可以直接使用第四章所算得熱能的量子起伏的值。這對研究宇宙學中空間的起伏來說，是個很好的方法。. 28.

(32) 附錄計算積分式 Z. ~0. ~. keik·(~r−r ) d3 k,. (13). 可以直接用 Fourier integral 的結果 Z. d3 k. 4π e−αk i~k·R~ e = 2 . k R + α2. (14). ~ 並定義 g(R) ~ = R d3 k e−αk ei~k·R~ . 將其微分兩次並取極限後可得首先，令 ~r − r~0 ≡ R k Z ∂2 ~ ~ ~ lim 2 g(R) = lim d3 kke−αk eik·R α→0 α→0 ∂ α Z ~ ~ = keik·R d3 k. (15) (16). 此即為欲求得積分式。故將式(14)等號的右邊也做同樣的運算可得 ∂2 4π lim 2 α→0 ∂ α R2 + α2 . 8α2 2 − 2 = lim 4π 2 2 3 α→0 (R + α ) (R + α2 )2 8π = − 4 R 8π = − . |(~r − ~r0 )4 | ". . 因此 Z. ~. ~0. keik·(~r−r ) d3 k = −. 29. 8π . |(~r − ~r0 )4 |. #. (17) (18) (19). (20).

(33) 參考文獻 [1] Planck Collaboration: N. Aghanim et al., Astro. & Astrophys. accepted (2016), arXiv:1507.02704. [2] W. Lee & L.-Z. Fang, Int. J. Mod. Phys. D 6, 305 (1997); W. Lee & L-Z. Fang, Phys. Rev. D 59, 083503 (1999); W. Lee & L-Z. Fang, Class. & Quant. Grav. 17, 4467 (2000). [3] S. L. Cheng, W. Lee, & K. W. Ng, Phys. Rev. D 93, 063510 (2016). [4] C. H. Wu, K. W. Ng & L.H.Ford, Phys. Rev. D 75, 103502 (2007) [5] C. H. Wu, Quantum Fluctuations of the Stress Tensor (chap.1), Tufts University, (2002) [6] P. W. Milonni, The Quantum Vacuum: An Introduction to Quantum Electrodynamics (chap.1.7), Academic Press, Inc., (1993) [7] Tom lancaster & Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (chap.2.3), Oxford University, (2014) [8] P. W. Milonni, The Quantum Vacuum: An Introduction to Quantum Electrodynamics (chap.2.11), Academic Press, Inc., (1993) [9] C. H. Wu, Quantum Fluctuations of the Stress Tensor (chap.2.8), Tufts University, (2002) [10] C. H. Wu, Quantum Fluctuations of the Stress Tensor (chap.2.12), Tufts University, (2002) [11] J.J.Sakurai & J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics(2nd ed., chap.3.4), AddisonWesley, (2011) [12] R. Loudon, The Quantum theory of light (2nd ed., chap.4.12), Oxford University, (1983) [13] R. Loudon, The Quantum theory of light (3nd ed., chap.4.6), Oxford University, (1995) [14] R. Loudon, The Quantum theory of light (3nd ed., chap.4.3), Oxford University, (1995) [15] Tom lancaster & Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur (chap.2.3), Oxford University, (2014) [16] G.Barton, Elements of Green’s Functions and Propagation (Appendices F), Oxford University, (1991) 30.

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