平板受橢圓激震器激震之振動研究

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(1)國立交通大學機械工程學系碩士論文. 平板受橢圓激震器激震之振動研究 Vibration of the Plane Excited by Elliptic Transducer. 研究生：戴建郎指導教授：金大仁. 教授. 中華民國九十四年九月.

(2) 平板受橢圓激震器激震之振動研究 Vibration of the Plane Excited by Elliptic Transducer. Student : Jian-Lang Dai. 研究生：戴建郎指導教授：金大仁. Advisor : Dr. Tai-Yan Kam. 教授. 國立交通大學機械工程學系碩士論文. A Thesis Submitted to Institute of Mechanical Engineering College of Engineering National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master of Science in Mechanical Engineering September 2005 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十四年九月.

(3) 平板受橢圓激震器激震之振動研究. 研究生：戴建郎. 指導教授：金大仁博士. 國立交通大學機械工程學系. 中文摘要. 本文使用多層一階剪變形理論及有限元素分析軟體 ANSYS 來模擬複合材料三明治振動板，並使用振動實驗來證明分析的正確性，來研究複合材料三明治振動板以不同橢圓形激振器激振的行為，並探討其聲傳行為。. 由分析中發現，在長寬比大於 1.5 的振動板，其聲壓頻譜在中頻部分可能會產生中音谷，中音谷都是由第一個彎曲模態所造成。藉由適當地選擇激振器的參數，就可有效改變中音谷。特別是當激振器的長軸愈長，產生的中音谷落差值會愈小，中音谷的出現頻率愈向高頻移動，同時因為磁鐵變大的影響，激振器的出力也會比較大。. 討論在振動板厚度、材料常數固定不變的情形下，藉由改變振動板長寛比及激振器尺寸，來找出第一個彎曲模態圖中節線到振動板中心距離與中音谷聲壓落差值、位置之間的關係。從這些關係中可以得到激振器長軸. i.

(4) 是在自由邊界條件下，節線到振動板中心距離的 2.5 倍時，中音谷會得到比較平緩的結果。. ii.

(5) Vibration of the Plane Excited by Elliptic Transducer. Student : Jian-Lang Dai. Advisor : Dr. Tai-Yan Kam. Institute of Mechanical Engineering National Chiao Tung University. ABSTRACT. In this thesis, the finite element constructed on the basis of the theory of Multi-layer First Order Shear Deformation Theory is applied to simulate the vibration behavior of composite sandwich plates. Experiments on vibration testing of composite sandwich plates are performed to verify the correctness of the analysis. Vibration and sound radiation of the composite sandwich plates excited by different elliptical transducers are studied using the finite element method. The parameters that can affect the sound radiation behavior of the composite sandwich plate are identified through the analysis. It has been found that the first bending mode of the plates with aspect ratio larger than 1.5 may cause the first dip in mid frequency range in the SPL spectrum of the plate. By choosing the proper diameter of the transducer, the depth of the first dip in mid frequency range of SPL spectrum can be greatly reduced. When the major axis of the elliptical transducer gets longer, the depth of the first dip in mid frequency iii.

(6) range of SPL spectrum gets smaller and may move to higher frequency. At the same time, the force exerted by transducer to the plate will become larger due to the increase in magnet size and the sensitivity of the sound radiated from the plate will become higher.. For plates with same thickness and material constants but different aspect ratios, we have studied how the distance from the nodal line of the first bending mode to plate center and the size of transducer affect the depths and locations of the first dips in mid frequency ranges of the plates’ SPL spectra. In the study, we have found that when the long axis of an elliptical transducer is 2.5 times of the distance between nodal line and the plate center under free boundary condition, the depth of the first dip in mid frequency range of SPL spectrum can be greatly reduced.. iv.

(7) 誌謝. 在這短短的兩年碩士求學過程，充滿許多難忘的回憶，對我的人生影響重大，要感謝我的老師、家人、同學及朋友對我求學的全力支持，讓我可以無憂無慮地完成我的學業。感謝指導教授金大仁博士的耐心指導，讓我能在完成學業及論文外，學習到正確的求學態度及做人處世的道理。感謝偉芬學姐、學長志明、清榮、昌毅、于昇、鎮隆、國晉、志鴻及巧鈴學姐的照顧，提供我許多學業上及生活上的協助，並在我遇到困難時，提供寶貴的意見。另外要感謝助理張馨櫻小姐，在我剛進實驗室時，提供生活上瑣事的協助和打點。感謝同窗好友崧任、維成和加融在這兩年來的互相勉勵，讓我在學習過程中不會感到孤單，感謝學弟欣翰、慶博、建勳和哲偉讓我的生活充滿歡樂，僅以此文獻給所有關心我的人. 建郎. v. 2005.9. 于交大.

(8) 目錄. 中文摘要…………………………………………………………………………i 英文摘要………………………………………………………………………iii 誌謝……………………………………………………………………………v 目錄……………………………………………………………………………vi 表目錄…………………………………………………………………………ix 圖目錄…………………………………………………………………………xi 第一章. 緒論…………………………………………………………………1. 1.1. 前言…………………………………………………………………1. 1.2. 文獻回顧……………………………………………………………3. 1.3. 研究方法……………………………………………………………4. 第二章. 複合材料三明治積層板的基本原理………………………………5. 2.1. 複合材料三明治積層板位移場與應變 ……………………………5. 2.2. 應力與應變關係……………………………………………………8. 2.3. 外力與變形的剛性矩陣……………………………………………10. 2.4. 複合材料板的邊界條件……………………………………………12. 2.5. 複合材料板的應變能與動能………………………………………13. 2.6. 瑞雷-黎次法(Rayleigh-Rize method) ……………………………14. vi.

(9) 第三章. 聲壓值計算…………………………………………………………16. 3.1. 聲壓公式推導………………………………………………………16 3.1.1 一維波動方程式的解………………………………………16 3.1.2 三維波動方程式……………………………………………17. 3.2. 中音谷的形成及討論………………………………………………20. 第四章. 有限元素法分析……………………………………………………22. 4.1. 有限元素法的理論…………………………………………………22. 4.2. 有限元素法板元素的選擇…………………………………………23. 4.3. 有限元素法分析中其他參數的選取………………………………27. 4.4. 有限元素法分析步驟………………………………………………29. 4.5. 聲壓分析 Fortran 程式部分………………………………………31. 第五章. 製作及實驗程序……………………………………………………33. 5.1 揚聲器製作…………………………………………………………33 5.2 實驗…………………………………………………………………34 5.2.1 自然頻率量測………………………………………………34 5.2.2 聲壓量測……………………………………………………36 第六章. 理論分析與實驗結果………………………………………………37. 6.1. 有限元素法分析與實驗的驗證……………………………………37. 6.2. 圓形激振器有限元素法分析………………………………………37. vii.

(10) 6.3. 圓形激振器有限元素法分析結果討論……………………………40. 6.4. 圓形激振器實際量測與分析的比較及討論………………………41. 6.5. 橢圓形激振器分析…………………………………………………43. 6.6. 6.5.1. 激振器尺寸為 40*25………………………………………43. 6.5.2. 激振器尺寸為 55*25………………………………………44. 橢圓形激振器參數對振動板的聲傳研究…………………………45 6.6.1. 激振器質量的影響…………………………………………45. 6.6.2. 激振器剛性及質量的影響…………………………………46. 第七章. 激振器尺寸與振動板尺寸間的關係………………………………47. 7.1. 自由邊界振動板長寬比和自然頻率及節線距離的關係…………47. 7.2. 附加音圈振動板長寬比和自然頻率及節線距離的關係…………49. 7.3. 音圈尺寸、振動板長寬比和中音谷落差值的關係………………50. 第八章. 結論與未來研究方向………………………………………………53. 8.1. 結論…………………………………………………………………53. 8.2. 未來研究方向………………………………………………………54. 參考文獻………………………………………………………………………55. viii.

(11) 表目錄. 表 4.1 材料常數………………………………………………………………57 表 4.2 瑞雷-黎次法與 SHELL99 分析………………………………………57 表 4.3 瑞雷-黎次法與 SHELL91 分析………………………………………58 表 6.1 自由邊界板實驗結果和有限元素法模擬分析之比較………………59 表 6.2 MLSSA 量測激振器的參數整理 ……………………………………59 表 6.3 音圈數據………………………………………………………………60 表 6.4 自然頻率有限元素法分析結果(25*25 激振器) ……………………61 表 6.5 有限元素法分析和實驗量測的比較…………………………………62 表 6.6 自然頻率有限元素法分析結果(40*25 激振器) ……………………63 表 6.7 不同尺寸的音圈的位置………………………………………………64 表 6.8 自然頻率有限元素法分析結果(55*25 激振器) ……………………65 表 6.9 第四個模態的自然頻率與中音谷頻率比較…………………………66 表 6.10 中音谷最低點的變形程度比較 ……………………………………66 表 7.1.1 三種揚聲器分析整理………………………………………………67 表 7.1.2 三種揚聲器實驗整理………………………………………………67 表 7.2 不同振動板長寬比的整理……………………………………………67. ix.

(12) 表 7.3 各種尺寸的音圈和揚聲器分析結果…………………………………68 表 7.4 附加音圈振動板和自然頻率的驗證…………………………………68 表 7.5 附加音圈振動板和節線距離的驗證…………………………………69. x.

(13) 圖目錄. 圖 2.1 多層一階剪變形位移場示意圖(三層)………………………………70 圖 2.2 座標逆時鐘旋轉θ角…………………………………………………70 圖 2.3 平板所受外力圖………………………………………………………71 圖 2.4 邊界條件………………………………………………………………71 圖 3.1 振動板之聲場示意圖…………………………………………………72 圖 3.2 聲壓圖的平滑處理……………………………………………………72 圖 3.3 剛體振動產生的波……………………………………………………73 圖 3.4 非剛體振動產生的波…………………………………………………73 圖 4.1 SHELL99 和 SHELL91 變形後的不同………………………………74 圖 4.2 Rayleigh-Ritz、Shell99、Shell91 前五個模態比較…………………75 圖 4.3 頻率響應圖……………………………………………………………76 圖 5.1 揚聲器主要結構………………………………………………………77 圖 5.1.1 振動板………………………………………………………………77 圖 5.1.2 懸邊…………………………………………………………………77 圖 5.2.1 音圈的結構…………………………………………………………78 圖 5.2.2 場磁鐵的結構………………………………………………………78 圖 5.3 Pulse 頻譜分析儀-敲擊………………………………………………78. xi.

(14) 圖 5.4 Pulse 頻譜分析儀-激振………………………………………………79 圖 5.5 Pulse 頻譜分析儀-雷射量測…………………………………………79 圖 6.1 實際的振動板尺寸……………………………………………………80 圖 6.2 量測的阻抗值(25*25 激振器) ………………………………………80 圖 6.3.1 雷射量測的自然頻率 20Hz~200Hz ………………………………81 圖 6.3.2 雷射量測的自然頻率 1600Hz~2400Hz……………………………81 圖 6.3.3 雷射量測的自然頻率 9000Hz~14000Hz …………………………82 圖 6.3.4 雷射量測的自然頻率 14000Hz~20000Hz…………………………82 圖 6.4 有限元素網格圖………………………………………………………83 圖 6.5 前 24 個模態分析結果(25*25 激振器)………………………………84 圖 6.6 加邊界條件與未加邊界條件模態比較(r≒2.58)……………………85 圖 6.7 分析聲壓結果(25*25 激振器) ………………………………………86 圖 6.8 聲壓分析前 10 個接近自然頻率的變形(25*25 激振器)……………87 圖 6.9. 頻率 20k Hz 以內的所有對稱模態(25*25 激振器)…………………88. 圖 6.10. 中音谷極大值處變形圖(25*25 激振器)…………………………89. 圖 6.11. 中音谷極小值處變形圖(25*25 激振器)…………………………89. 圖 6.12 實驗量測聲壓與分析比較(25*25 激振器)…………………………90 圖 6.13 量測環境的周邊聲壓 ………………………………………………90 圖 6.14 頻率 20k Hz 以內的所有對稱模態(40*25 激振器)…………………91. xii.

(15) 圖 6.15 實驗量測聲壓與分析比較(40*25 激振器)…………………………92 圖 6.16 音圈大小與節線位置的關係 ………………………………………92 圖 6.17 頻率 20k Hz 以內的所有對稱模態(55*25 激振器)…………………93 圖 6.18 實驗量測聲壓與分析比較(55*25 激振器)…………………………94 圖 6.19. 25*25 激振器加 55*25 肋條圖形……………………………………94. 圖 6.20 25*25 激振器加 55*25 肋條實驗比較(雙面膠)……………………95 圖 6.21 25*25 激振器加 55*25 肋條分析結果比較(只有質量)……………95 圖 6.22 25*25 激振器加 55*25 肋條實驗比較(瞬間膠)……………………96 圖 6.23. 25*25 激振器加 55*25 肋條 ANSYS 比較(beam)…………………96. 圖 7.1 振動板長寬比和自然頻率……………………………………………97 圖 7.2 振動板長寬比和自然頻率之間的關係………………………………97 圖 7.3.1 振動板長寬比和節線之間的關係…………………………………98 圖 7.3.2. 振動板長寬比、節線距離和板長的關係 …………………………98. 圖 7.4 音圈長軸與自然頻率的關係…………………………………………99 圖 7.5. 音圈長軸、自然頻率和板長的關係…………………………………99. 圖 7.6 音圈長軸、節線距離與板長的關係…………………………………100 圖 7.7 音圈長軸和中音谷落差的關係 ……………………………………100 圖 7.8 音圈長軸、中音谷落差值和節線的關係……………………………101. xiii.

(16) 第一章緒論. 1.1 前言複合材料是兩種或兩種以上的材料，以協同加工法結合在一起，集合各種材料本身的優點來滿足所需，一般複合材料分為纖維強化及微粒強化兩種。纖維強化的複合材料在纖維方向具有高勁度、高強度的特點，所以在應用上更為廣泛。複合材料三明治板有三層，依面層、心層、面層排列，面層使用高勁度的複合材料材質，心層使用低密度的材料。由面層承受彎曲外力，心層承受橫向剪力，並降低整體的密度。所以複合材料三明治板有極不易彎曲變形能力，同時質量也十分輕，所以振動板常使用複合材料三明治板。大部分的揚聲器所使用的都是圓形的激振器，圓形的振動板。雖然圓板具有幾何軸對稱的特性，但常因為空間的限制而不得不有所妥協。若在長和寬上各有限制，揚聲器尺寸就必須使用較小的尺寸，若為矩形板，則長寬可任意改變成所需要的比例。所以相對來說，矩形板在使用上更方便。使用矩形板為振動板，再配合使用圓形激振器，在激振器出力方面會比較弱，同時會產生較大的聲壓中音谷落差值。如果使用橢圓形激振器，一方面激振器磁鐵尺寸增加，產生較大的推力，平均聲壓值增加。另一方面因為橢圓形激振器的施力比圓形激振器還平均，所以聲壓頻譜的中音谷. 1.

(17) 落差會得到比較平緩的結果，而且激振器本身的剛性附加在振動板上，會使產生中音谷的頻率往高頻移動。物體在平衡位置附近做往返的週期性運動稱之為振動，對結構體來說，各種結構物都有其自然頻率，而當我們已知物體的自然頻率之後，當外界激振頻率接近物體之自然頻率時，即發生共振(resonance)。共振在揚聲器上所產生的影響是聲音的音量明顯上升，量測的聲壓會變大，同時在共振點附近，會出現和別的自然頻率的模態互相混合，形成反共振的現象，即音量下降的情況，聲壓變小，因此在共振頻率附近，聲音聽起來會忽大忽小，一個好的揚聲器應儘量避免在人耳所能聽到的頻率範圍內，出現反共振的現象。振動板振動時，不同的外力會造成不同的變形，這些不同的變形對聲傳方面是有影響的，振動板模態的節線是一條沒有位移的線，一旦有力量施在這條節線上，就必須要有大小相等方向相反的外力來抵消，如果沒有，這條節線就會有動，也就是這個模態會從振動板的變形中消失。本文使用驗證正確的模型，分析在振動板厚度、材料常數固定不變的情形下，藉由改變振動板長寛比、音圈尺寸，找出自由邊界條件的第一個彎曲模態圖中節線到振動板中心距離、中音谷出現頻率、激振器尺寸大小、振動板長寬比、中音谷聲壓落差值之間的關係，提供以後有需要選擇激振器的一些參考，節省分析的時間。. 2.

(18) 1.2 文獻回顧複合材料平板的理論方面，是由古典板理論[1]改進而成的古典積層板板理論[2]，對於複合材料薄板的力學分析已經可以得到很不錯的結果，但由於此理論忽略了側向剪應力的影響，而複合材料沿纖維方向的楊氏係數 (Young’s modulus)比側向的剪力模數(Shear modulus)高很多，側向因受剪力而變形就要考慮，所以古典板理論並不適合分析厚板。因此，Mindlin 提出了一階剪變形理論[3]，首先將側向剪力的影響加以考慮，但是因為假設側向剪力分布為常數，並不符合實際的情況；於是 Whitney 提出了剪力修正係數來校正。之後，學者又提出了各種高階剪變形的理論，以改進古典板理論的缺點並提高理論與實際的精確值，不過由於其計算上比較複雜又常適用於寬厚比小於 15 的平板上，所以暫時不考慮。. 對複合材料三明治板，一階剪變形理論已經不足以模擬，Reissner[4] 推導統御方程式應用在小變形、等向性的三明治板，文獻假設面層像薄膜，而且忽略了中心層平行面層的應力。Liaw and Little 根據 Reissner 理論解出多層三明治結構彎曲的問題。Azar 使用 Liaw and Little 的結果來討論非等向性面層。Kanematsu[5]用黎次法來分析矩型板的彎曲和振動。本文使用 Kanematsu 的理論，將每一層用一階剪變形理論模擬，並考慮每一層與層之間位移的連續性，使用瑞雷-黎次法進行振動及力學的分析。. 3.

(19) 計算聲壓方面，Morse[6]中推導出了聲壓方程式，Tan[7]中討論了藉由驅動器(actuator)的主動控制對平板的聲場所產生的影響，彭國晉[8]對加強複合材料結構板的聲傳做過討論，本文討論以不同的施力方式為主。. 1.3 研究方法本文主要是探討複合材料三明治板受橢圓激振器激振的振動研究，討論各種不同尺寸的激振器下平板的自然頻率分布狀況及聲壓中音谷，並嘗試尋找受到長短軸不同的橢圓激振器及不同長寬比的振動板，其對聲傳方面的影響。實驗部分，使用振動板作自然頻率測試實驗，量測出振動板及激振器的各種參數，並觀察聲壓的分佈狀態，作為與理論分析對照。. 在理論部份，在本文中使用多層一階剪變形理論及實驗室購買的有限元素分析軟體 ANSYS 建構與實體幾何外型相同之模型，經網目分割後由 ANSYS 進行後處理分析，取得各種分析上的數據，再使用聲壓理論計算聲壓，以圖表形式輸出，並與實驗作比較，並討論其中的差異。. 模型正確性得到驗證後，使用這個模型，在振動板厚度、材料常數固定不變下，改變振動板長寛比、音圈尺寸，找出自由邊界條件的第一個彎曲變形圖中節線到振動板中心距離、中音谷出現頻率、激振器尺寸大小、振動板長寬比、中音谷聲壓落差值之間的關係。 4.

(20) 第二章複合材料三明治積層板的基本原理. 由於複合材料三明治板的面層是由不同纖維方向的複合材料層板所組成，而且面層間的勁度會有很大的差異，所以複合材料板沿整個厚度方向的位移並不如一階剪變形位移場平板理論所假設的整個板厚度為一斜率相同的直線，故我們將整個複合材料三明治板的每一層當作一個一階剪變形的位移場，並考慮每一層與層之間位移的連續性(如圖 2.1)。之後將以此位移場為基礎，分析複合材料平板的自然頻率與模態。. 2.1 複合材料三明治積層板位移場與應變多層一階剪變形平板理論是將複合材料板的每一層當作一個一階剪變形的平板來分析。基本假設如下： 1.板的厚度遠小於板的長、寬。(1/15 以下)。 2.板的截面變形後仍保持平面。 3.厚度仍保持不變，即εz = 0。 4.板的變形量 u, v, w 很小。. 本文中將層數設為三層，如圖 2-1 所示，考量每一層於交界面上的位移必須連續，可得每一層的位移場為. 5.

(21) u (1) = u 0(1) ( x, y ) + z (1)Ψx(1) ( x, y ) v (1) = v0(1) ( x, y ) + z (1)Ψ y(1) ( x, y ). (2.1a). w (1) = w(1) ( x, y ) = w( x, y ). 1 1 u (2 ) = u0(2 ) + z (2 ) Ψx(2 ) = u 0(1) + t (1)Ψx(1) + t (2 ) Ψx(2 ) + z (2 )Ψx(2 ) 2 2 1 1 v (2 ) = v0(2 ) + z (2 )Ψ y(2 ) = v0(1) + t (1)Ψ y(1) + t (2 )Ψ y(2 ) + z (2 )Ψ y(2 ) 2 2. (2.1b). w (2 ) = w( x, y ) 1 1 u (3 ) = u 0(3) + z (3)Ψx(3 ) = u 0(1) − t (1)Ψx(1) − t (3 )Ψx(3 ) + z (3)Ψx(3 ) 2 2 1 1 v (3) = v0(3) + z (3)Ψ y(3 ) = v0(1) − t (1)Ψ y(1) − t (3)Ψ y(3 ) + z (3 )Ψ y(3 ) 2 2. (2.1c). w(3 ) = w(x, y ). 其中 t (i ) 為第 i 層厚度。. 中心層層板的位移場為 u ( x , y , z ) = u 0 ( x , y ) + zψ x ( x , y ) v ( x , y , z ) = v 0 ( x , y ) + zψ y ( x , y ). (2.1a). w(x, y, z ) = w0 ( x, y ) = w( x, y ). (i = 1,2,..., M ). 其中，u、v、w 分別為在平板參考座標中 x、y、z 上之位移分量，而 u0、v0 、 w0 分別代表層板中間面(meddle surface)在方向 x、y、z 上之位移量，ψ x 、ψ y 則分別代表為任一層垂直於 x、y 軸之截面的旋轉量，因為板的變形量很小，所以旋轉量、為下： ∂w ∂x ∂w ψy =− ∂y. ψx =−. (2.2). 6.

(22) 所以位移場可以寫為： ∂w ∂x ∂w v ( x, y , z ) = v0 ( x, y ) − z ∂y w(x, y, z ) = w( x, y ) (i = 1,2,..., M ). u ( x, y , z ) = u 0 ( x , y ) − z. (2.3). 因厚度方向應變保持不變εz = 0，應變可表示為： ε xx. ⎛ ∂ 2 w0 ⎞ ∂u ∂u 0 ⎟ = ε xx0 + zκ x = = + z ⎜⎜ − 2 ⎟ ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠. ε yy =. γ xy. ⎛ ∂ 2 w0 ⎞ ∂v ∂v0 ⎟ = ε xx0 + zκ y = + z ⎜⎜ − 2 ⎟ ∂y ∂y ⎝ ∂y ⎠. ⎛ ∂ 2 w0 ⎞ ∂v0 ⎛ ∂ 2 w0 ⎞ ∂v ∂u ∂u0 ⎟⎟ + ⎟⎟ = γ xy0 + zκ xy = + = + z ⎜⎜ − + z ⎜⎜ − ∂x ∂y ∂y ⎝ ∂x∂y ⎠ ⎝ ∂x∂y ⎠ ∂x. 其中 ε xx0 =. ∂u 0 ∂x. ε yy0 =. ∂v0 ∂y. γ xy0 =. ∂u 0 ∂v0 + ∂y ∂x. (2.4). 為中間面的應變， κx = −. ∂ 2 w0 ∂x 2. ∂ 2 w0 ∂ 2 w0 ∂ 2 w0 − 、κ y = − 2 、κ xy = − ∂x∂y ∂x∂y ∂y. (2.5). 為中間面的曲率，即 κ x 為中間面在 xz 平面的彎曲率(bending curvature)，κ y 為中間面在 yz 平面的彎曲率， κ xy 為中間面在 xy 平面的非平面扭轉率 (out-of-plane twisting)。寫成矩陣形式為： ⎧ε xx ⎫ ⎧ε xx0 ⎫ ⎧ κ x ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 0⎪ ⎪ ⎪ ⎨ε yy ⎬ = ⎨ε yy ⎬ + z ⎨ κ y ⎬ ⎪γ ⎪ ⎪γ 0 ⎪ ⎪κ ⎪ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭. (2.6). 7.

(23) 2.2 應力與應變關係就一層平面的應力與應變關係可以表示如下： ⎧σ 1 ⎫ ⎡Q11 Q12 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨σ 2 ⎬ = ⎢Q21 Q22 ⎪τ ⎪ ⎢Q ⎩ 12 ⎭ ⎣ 61 Q62. Q16 ⎤ ⎧ ε 1 ⎫ ⎪ ⎪ Q26 ⎥⎥ ⎨ ε 2 ⎬ Q66 ⎥⎦ ⎪⎩γ 12 ⎪⎭. ⎧σ 1 ⎫ ⎧ ε1 ⎫ ⎪ ⎪ 簡寫成 ⎨σ 2 ⎬ = [Q ]⎪⎨ ε 2 ⎪⎬ ⎪τ ⎪ ⎪γ ⎪ ⎩ 12 ⎭ ⎩ 12 ⎭. 在軸對稱(orthotropic)的平板及平面應力的例子而言， Q16 = Q26 = Q61 = Q62 = 0. Q11 =. E1 1 − ν 12ν 21. Q12 = Q21 = Q22 =. ν 12 E 2 1 −ν 12ν 21. E2. 1 −ν 12ν 21. Q66 = G12. 因為γ12 不是張量，全部改寫成張量形式為： ⎡ E1 ⎢ ⎧σ 1 ⎫ ⎢1 −ν 12ν 21 ⎪ ⎪ ⎢ ν 12 E2 ⎨σ 2 ⎬ = ⎢ ⎪τ ⎪ ⎢1 −ν 12ν 21 ⎩ 12 ⎭ ⎢ 0 ⎢⎣. ν 12 E2 1 −ν 12ν 21. 0. E2. 0. 0. 2G12. 1 −ν 12ν 21. ⎤ ⎥ ⎥⎧ ε1 ⎫ ⎥⎪ ε ⎪ ⎥⎨ 2 ⎬ ⎥ ⎪⎩γ 12 / 2⎪⎭ ⎥ ⎥⎦. (2.7). 若座標逆時鐘旋轉θ角，如圖 2.2，應力為： ⎧σ x ⎫ ⎡c 2 ⎪ ⎪ ⎢ 2 ⎨σ y ⎬ = ⎢ s ⎪τ ⎪ ⎢ cs ⎩ xy ⎭ ⎣. − 2cs ⎤ ⎧σ 1 ⎫ ⎧σ 1 ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎪ −1 ⎪ c 2cs ⎥ ⎨σ 2 ⎬ = [T ] ⎨σ 2 ⎬ ⎪τ ⎪ − cs c 2 − s 2 ⎥⎦ ⎪⎩τ 12 ⎪⎭ ⎩ 12 ⎭ s2. (2.8). 2. 此時 8.

(24) ⎡ c2 s2 2cs ⎤ ⎢ 2 [T ] = ⎢ s c 2 − 2cs ⎥⎥ ⎢− cs cs c 2 − s 2 ⎥ ⎣ ⎦. 其中 c = cosθ ， s = sin θ 另外應變張量可寫成： ⎧ εx ⎫ ⎧ ε1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ε 2 ⎬ = [T ]⎨ ε y ⎬ ⎪γ / 2⎪ ⎪γ / 2⎪ ⎩ 12 ⎭ ⎩ xy ⎭. (2.9). 將(2.8)和(2.9)代入(2.7)式 ⎡ E1 ⎢1 −ν ν 12 21 ⎧σ x ⎫ ⎢ ⎪ ⎪ −1 ⎢ ν 12 E 2 ⎨σ y ⎬ = [T ] ⎢1 −ν 12ν 21 ⎪τ ⎪ ⎢ ⎩ xy ⎭ 0 ⎢ ⎣. ν 12 E2 1 −ν 12ν 21 E2. 1 −ν 12ν 21 0. ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎧ ε x ⎫ ⎡Q11 ⎪ ⎪ ⎢ 0 ⎥[T ]⎨ ε y ⎬ = ⎢Q12 ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ 2G12 ⎥ ⎩γ xy / 2⎭ ⎣Q16 ⎥ ⎦. Q12 Q22 Q26. 其中 Q11 = Q11 cos 4 θ + Q22 sin 4 θ + 2(Q12 + 2Q66 )sin 2 θ cos 2 θ. (. Q12 = (Q11 + Q22 − 4Q66 )sin 2 θ cos 2 θ + Q12 cos 4 θ + sin 4 θ. ). Q22 = Q11 sin 4 θ + Q22 cos 4 θ + 2(Q12 + 2Q66 )sin 2 θ cos 2 θ Q16 = (Q11 − Q12 − 2Q66 )cos 3 θ sin θ − (Q22 − Q12 − 2Q66 )cosθ sin 3 θ Q26 = (Q11 − Q12 − 2Q66 )cosθ sin 3 θ − (Q22 − Q12 − 2Q66 )cos 3 θ sin θ. (. Q66 = (Q11 + Q22 − 2Q12 − 2Q66 )cos 2 θ sin 2 θ + Q66 cos 4 θ + sin 4 θ. 9. ). Q16 ⎤ ⎧ ε x ⎫ ⎥⎪ ⎪ Q26 ⎥ ⎨ ε y ⎬ Q66 ⎥⎦ ⎪⎩γ xy ⎪⎭. (2.10).

(25) 2.3 外力與變形的剛性矩陣由(2.10)式及圖 2.1 知，第 k 層的應力與應變關係為： ⎧σ x ⎫ ⎧ε x ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨σ y ⎬ = [Qk ]⎨ ε y ⎬ ⎪τ ⎪ ⎪γ ⎪ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭. 再將(2.6)式代入可得： ⎧σ x ⎫ ⎪ ⎪ ⎨σ y ⎬ = [Qk ] ⎪τ ⎪ ⎩ xy ⎭. ⎛ ⎧ε xx0 ⎫ ⎧ κ x ⎫ ⎞ ⎜ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎟ 0 ⎜ ⎨ε yy ⎬ + z⎨κ y ⎬⎟ ⎜⎜ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎟⎟ ⎝ ⎩γ xy ⎭ ⎩κ xy ⎭ ⎠. (2.11). 平板所受外力圖如圖 2.3，以矩陣表示如下： ⎧ Nx ⎫ ⎪ ⎪ 單位長度所受外力為 ⎨ N y ⎬ ⎪N ⎪ ⎩ xy ⎭ ⎧Mx ⎫ ⎪ ⎪ 單位長度所受外力矩為 ⎨ M y ⎬ ⎪M ⎪ ⎩ xy ⎭. 外力與應力關係如下： ⎧ Nx ⎫ h ⎪ ⎪ ⎨ N y ⎬ = ∫−2h {σ } dz 2 ⎪N ⎪ ⎩ xy ⎭. (2.12). ⎧Mx ⎫ h ⎪ ⎪ ⎨ M y ⎬ = ∫−2h {σ }⋅ z dz 2 ⎪M ⎪ ⎩ xy ⎭. (2.13). 將已知的應力(2.11)式代入(2.12)和(2.13)式：. 10.

(26) ⎛ ⎧ε xx0 ⎫ ⎧ κ x ⎫ ⎞ ⎧ε xx0 ⎫ ⎧κ x ⎫ h h ⎜ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 ⎜ ⎨ε yy ⎬ + z ⎨ κ y ⎬ ⎟ dz = ⎜⎜ ∫−2h [Qk ] dz ⎟⎟⎨ε yy ⎬ + ⎜⎜ ∫−2h [Qk ]⋅ z dz ⎟⎟⎨ κ y ⎬ ⎜⎜ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠⎪γ 0 ⎪ ⎝ 2 ⎠⎪κ ⎪ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎝ ⎩γ xy ⎭ ⎩κ xy ⎭ ⎠. ⎧ Nx ⎫ h ⎪ ⎪ ⎨ N y ⎬ = ∫−2h [Qk ] 2 ⎪N ⎪ ⎩ xy ⎭ h 2 h − 2. ∫ [Q ] dz = ∑ ∫ [Q ] dz = ∑ [Q ]⋅ (z h 2 h − 2. n. k. k =1. n. zk. k. z k −1. k =1. ∫ [Q ]⋅ z dz = ∑ [Q ]⋅ ∫ n. k. k. k =1. zk. z dz =. zk −1. k. k. − z k −1 ) = [ A]3×3. [ ](. (2.14). ). 1 n ∑ Qk ⋅ z k 2 − z k −12 = [B]3×3 2 k =1. (2.15). ⎧ε xx0 ⎫ ⎧κ x ⎫ ⎧ Nx ⎫ ⎪ 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 所以 ⎨ N y ⎬ = [A]⎨ε yy ⎬ + [B ]⎨ κ y ⎬ ⎪κ ⎪ ⎪γ 0 ⎪ ⎪N ⎪ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎛ ⎧ε xx0 ⎫ ⎧ κ x ⎫ ⎞ ⎧ε xx0 ⎫ ⎧κ x ⎫ h h ⎜ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎟ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 2 ⎜ ⎨ε yy ⎬ + z ⎨ κ y ⎬ ⎟ ⋅ z dz = ⎜⎜ ∫−2h [Qk ]⋅ z dz ⎟⎟⎨ε yy ⎬ + ⎜⎜ ∫−2h [Qk ]⋅ z dz ⎟⎟⎨ κ y ⎬ ⎜⎜ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠⎪γ 0 ⎪ ⎝ 2 ⎠⎪κ ⎪ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎝ ⎩γ xy ⎭ ⎩κ xy ⎭ ⎠. ⎧Mx ⎫ h ⎪ ⎪ ⎨ M y ⎬ = ∫−2h [Qk ] 2 ⎪M ⎪ ⎩ xy ⎭ h 2 h − 2. ∫ [Q ]⋅ z dz = ∑ [Q ]⋅ ∫ h 2 h − 2. n. k. ∫ [Q ]⋅ z k. k. k =1. 2. (2.16). n. zk. z dz =. zk −1. [ ]. dz = ∑ Qk ⋅ ∫ z 2 dz = k =1. zk. z k −1. [ ](. ). 1 n 2 2 Qk ⋅ z k − z k −1 = [B ]3×3 即為(2.15)式 ∑ 2 k =1. [ ](. ). 1 n ∑ Qk ⋅ z k 3 − z k −13 = [D]3×3 3 k =1. ⎧ε xx0 ⎫ ⎧κ x ⎫ ⎧Mx ⎫ ⎪ 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 所以 ⎨ M y ⎬ = [B ]⎨ε yy ⎬ + [D ]⎨ κ y ⎬ ⎪κ ⎪ ⎪γ 0 ⎪ ⎪M ⎪ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭. (2.17). (2.18). 將力與力矩的矩陣形式寫在一起，即為： ⎧ N x ⎫ ⎡ A11 ⎪N ⎪ ⎢ ⎪ y ⎪ ⎢ A12 ⎪⎪ N xy ⎪⎪ ⎢ A16 ⎬=⎢ ⎨ ⎪ M x ⎪ ⎢ B11 ⎪ M y ⎪ ⎢ B12 ⎪ ⎢ ⎪ ⎪⎩M xy ⎪⎭ ⎢⎣ B16. A12. A16. B11. B12. A22 A26 B12 B22 B26. A26 A66 B16 B26 B66. B12 B16 D11 D12 D16. B22 B26 D12 D22 D26. B16 ⎤ ⎧ε xx0 ⎫ ⎪ 0⎪ B26 ⎥⎥ ⎪ε yy ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎥ B66 ⎪γ xy ⎪ ⎥⎨ ⎬ D16 ⎥ ⎪ κ x ⎪ D26 ⎥ ⎪ κ y ⎪ ⎥⎪ ⎪ D66 ⎥⎦ ⎪⎩κ xy ⎪⎭. 11. (2.19).

(27) 或簡寫為： ⎧ N ⎫ ⎡ A B ⎤⎧ ε ⎫ ⎨ ⎬=⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎩ M ⎭ ⎣ B D ⎦ ⎩κ ⎭. 2.4 複合材料板的邊界條件對於在平板邊界上有彈性支承的情況，可模擬成如圖(2.4)所示，邊界之彈性支承以橫向(Translation)及旋轉(Rotation)彈簧加以表示，而其所引起的應變能為：. UT =. 1 ∫ Vn wdS 2 s. (2.20). 1 M n φ ( i ) dS ∫ S k =1 2. (2.21). 3. UR = ∑. 其中，UT為橫向彈簧所引起的應變能，UR為旋轉彈簧所引起的應變能， S為彈性支承的邊界， Vn 為橫向力， M n 為彎矩。橫向力 Vn 及彎矩 M n 可分別表示為：. Vn = K Ln w. (2.22). 3. M n = ∑ K Rn φ ( i ). (2.23). i =1. 將式(2.22)和(2.23)代入式(2.20)及(2.21)可將應變能表示為：. UT =. K L1 b 2 K L2 b 2 w dy + ∫ ∫ w x =a dy x =0 2 0 2 0 K a K a + L 3 ∫0 w 2 y=0 dx + L 4 ∫0 w 2 y = b dx 2 2. 3 K b 2 2 ⎡K b U R = ∑ ⎢ R1 ∫0 (φ(xi ) ) dy + R 2 ∫0 (φ(xi ) ) dy x =0 x =a 2 i =1 ⎣ 2 a K K a 2 2 ⎤ + R 3 0 ∫0 (φ(yi ) ) dx + R 4 ∫0 (φ(yi ) ) dx ⎥ y =0 y=b 2 2 ⎦. (2.24). (2.25). 其中，K Ln 為平板四邊的橫向剛性(Translational stiffness)，K Rn 為平板四邊的旋轉剛性(Rotational stiffness)。 12.

(28) 2.5 複合材料板的應變能與動能考慮任一個單層複合材料層板，應變能可表示為：. 1 (i) T [ ] [ε (i ) ]dV σ ∫ V 2. U (pi ) =. (2.26). i = 1,2,3. 應用上式與(2.1)、(2.7)式，可求得 U (p1) 、 U (p2 ) 及 U (p3) ，複合材料層板彎曲的應變能為： 3. U p = ∑ U (pk ). (2.27). k =1. 總應變能 U 為複合材料層板彎曲的應變能( U p )與彈性支承引起的應變能( U T 、 U R )之總和。. U = Up + UT + UR. (2.28). 每一單層板的動能 T ( i ) 為：. ρ(i ) T = 2 (i ). ⎡⎛ ∂u (0i ) ⎞ 2 ⎛ ∂v (0i ) ⎞ 2 ⎛ ∂w ⎞ 2 ⎤ ∫∫ ⎢⎜ ∂t ⎟ + ⎜ ∂t ⎟ + ⎜⎝ ∂t ⎟⎠ ⎥dxdy ⎠ ⎝ ⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ρ(i ) + 2. ⎡⎛ ∂φ ( i ) ⎞ 2 ⎛ ∂φ (yi ) ⎞ 2 ⎤ x ∫∫ ⎢⎜ ∂t ⎟ + ⎜⎜ ∂t ⎟⎟ ⎥dxdy ⎠ ⎝ ⎢⎣⎝ ⎠ ⎥⎦. ； i = 1,2,3. (2.29). 應用上式與(2.3)式，可求得 T (1) 、 T ( 2 ) 及 T ( 3) ，複合材料層板的最大動能為： 3. T = ∑ T (i ). (2.30). i =1. 複合材料層板的總能量泛函 Π 可表示為：. Π = U−T. (2.31). 13.

(29) 2.6 瑞雷-黎次法(Rayleigh-Rize method) 在本文中，利用Rayleigh-Ritz method ，假設位移函數(deflection function) 及橫切面轉角函數 (cross-sectional rotation function) 共有七個分別是 w 、 φ (x1) 、 φ (Y1) 、 φ (x2 ) 、 φ (Y2 ) 、 φ (x3) 及 φ (Y3) ，每一個函數以無因次化可表示為： I1. J1. w (ξ, η) = ∑∑ C i(1j) Φ xi (ξ)Ψyj (η) i1 =1 j1 =1 I2. 1 1. 1. (2.24a). 1. J2. φ (ξ, η) = ∑∑ C i( 2j) Φ xi (ξ)Ψyj (η) (1) x. i 2 =1 j2 =1 I3. 2 2. 2. (2.24b). 2. J3. φ (ξ, η) = ∑∑ C i( 3j) Φ xi (ξ)Ψyj (η) (1) y. i 3 =1 j3 =1 I4. 3 3. 3. (2.24c). 3. J4. φ (ξ, η) = ∑∑ C i( 4j) Φ xi (ξ)Ψyj (η) ( 2) x. i 4 =1 j4 =1 I5. 4 4. 4. (2.24d). 4. J5. φ (ξ, η) = ∑∑ C i( 5j) Φ xi (ξ)Ψyj (η) ( 2) y. i 5 =1 j5 =1 I6. 5 5. 5. (2.24e). 5. J6. φ (ξ, η) = ∑∑ C i( 6j) Φ xi (ξ)Ψyj (η) ( 3) x. i 6 =1 j6 =1 I7. 6 6. 6. (2.24f). 6. J7. φ (y3) (ξ, η) = ∑∑ C i( 7j) Φ xi (ξ)Ψyj (η) i 7 =1 j7 =1. 7 7. 7. (2.24g). 7. 其中 C i(1j) 、 C i( 2j) 、 C i( 3j) 、 C i( 4j) 、 C i( 5j) 、 C i( 6j) 、 C i( 7j) 為未定係數， ξ 、 η 為無 1 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 5. 6 6. 7 7. 因次參數，且 x = aξ ， y = bη ， Φ x 、 Ψy 係由Gram-Schmidt正交化法所產生的多項式函數(polynomial functions)，亦是所謂之形狀函數(shape function)。以 Φ x 為例：. Φ 1 (ξ ) = (ξ − B1 )Φ 0. Φ k (ξ ) = (ξ − B k )Φ k −1 − C k Φ k − 2 (ξ ). k≥2. (2.25). 其中 0.5. Bk. ∫ = ∫. ξΦ 2xk −1 (ξ)dξ − 0.5 0.5. Φ 2xk −1 (ξ)dξ − 0.5. Cn. ∫ =. 0.5. − 0.5. ξΦ xk −1 (ξ)Φ xk − 2 (ξ)dξ 0.5. 2 ∫−0.5 Φ xk −2 (ξ)dξ. 14. (2.26).

(30) 此多項式函數必符合：. ∫. 0.5. − 0.5. Φ xi (ξ)Φ xj (ξ)dξ = δ ij. (2.27). 其中 δ ij 是Kronecker，令 Φ x1 (ξ) = 1 及 Ψy1 (η) = 1 為求未定係數，令. ∂Π ∂C i(1j) = 0 ， ∂Π ∂C i( 2j) = 0 ， ∂Π ∂C i( 3j) = 0 ， ∂Π ∂C i( 4j) = 0 ， 1 1. 2 2. 3 3. ∂Π ∂C i( 5j) = 0 ， ∂Π ∂C i( 6j) = 0 ， ∂Π ∂C i( 7j) = 0 ， 5 5. 6 6. 7 7. 4 4. (2.28). 將(2.24)代入上式可得一典型的特徵值方程：. (K − ω M ){C} = {0}. (2.29). 2. 求解上式即可得到複合材料層板振動的自然頻率 ω 。. 15.

(31) 第三章聲壓值計算 3.1 聲壓公式推導 3.1.1 一維波動方程式的解對平面波而言，一維波動方程式為：. ∂ 2p 1 ∂ 2p = ∂x 2 c ∂t 2. (3.1). 其中，c 為聲音之速度，在室溫 24℃時，c=343 m/s。利用一維波動問題 D’Alembert 解，可求得：. p( x, t ) = f1 ( x − ct ) + f 2 ( x + ct ) f1，f2 為任意函數，其中 f1 的方向和 f2 的方向相反，對於諧波聲場，可直接求解： 2 ( d2p ⎛ ω ⎞ ~ +⎜ ⎟ p=0 dx 2 ⎝ c ⎠. (3.2). 令 k = ω / c ，為波數(wave number)，可求得：. ~ ~ ~ p ( x ) = Ae − jkx + Be jkx. (3.3). 還原成時間域的表示法：. ~ ~ p( x, t ) = Ae − j(ϖt −kx ) + Be j(ϖt −kx ). (3.4). ~ ~ 其中 A，B 為未定複數。. 16.

(32) 3.1.2 三維波動方程式. 對於點聲源而言，三維波動方程式在球面座標(Spherical coordinate)為：. ∂2p 1 ∂2p 1 ∂ 2 p 2 ∂p 1 ∂p 1 ∂ 2 p + + + + = ∂r 2 r 2 ∂θ 2 r 2 sin 2 θ ∂φ 2 r ∂r r 2 tan θ ∂θ c 2 ∂t 2. (3.5). 因為點聲源是一個完全對稱的聲源，所以我們可以預期它所產生的聲場應該不會有方向性，所以可忽略角度相關的項，式(3.5)可簡化成：. ∂ 2 p 2 ∂p 1 ∂ 2 p + = ∂r 2 r ∂r c 2 ∂t 2. (3.6). r 為點聲源距量量測的距離上式可改寫成. 1 ∂2 1 1 ∂2 (rp) = 2 2 (rp) r ∂r 2 r c ∂t. (3.7). ∂ 2 (rp) 1 ∂ 2 (rp) = 2 ∂r 2 c ∂t 2. (3.8). 故. 觀察(3.8)的型式和前面的一維波動方程式式一樣的，所以其解為：. rp=f1(r-ct)+f2(r+ct) 所以 1 1 p(r, t ) = f1 (r − ct ) + f 2 (r + ct ) r r. (3.9). 由於一個點聲源只會發出外傳波(Outgoing wave)，所以 1 p(r, t ) = f1 (r − ct ) r. (3.10) 17.

(33) 對於簡諧球面波(Harmonic spherical wave)而言. ~ A j(ϖt −kr ) p( r , t ) = e r. (3.11). 對微小的振動板 δs 而言，距離振動板 r 的聲壓 p(r,t)可由 Rayliegh’s first. integral 計算出來，積分型式如下： ⎛ jϖρ air u d δs ⎞ j(ϖt −kr ) p( r , t ) = ⎜ ⎟e 2πr ⎝ ⎠. (3.12). 其中 ud 為振動板元素表面之速度，r 為量測點至振動板元素之距離，. ρ air = 1.1614kg / m 3 為空氣密度，j= − 1 ，因此對一塊振動板而言，聲壓可寫為： jϖρ air jϖt u d ( x , y)e − jkr ds e ∫S p( r , t ) = 2πr r. (3.13). 設振動板表面元素之振幅大小 w (r, t ) = Ae j( wt -kr ) ，則 u d ( x , y) = jϖ Ae i ( ϖt − kr ) = jϖ w (r, t ). 所以. ϖ 2 ρ air jϖt w (r, t )e − jkr e ∫S p( r , t ) = − ds 2πr r. (3.14). 因以振動板之聲壓可改寫為 ΔS ⎛ − ρ air ϖ 2 ⎞ P=⎜ ⎟∑ || w (r, t ) ||e j( θ −kr ) ri ⎝ 2π ⎠ i i. i. 其中 θ i 為相角(Phase angle). 18. (3.15).

(34) θ = tan −1. ciϖ k i − miϖ 2. 如果把振動板分成許多微小的元素(elements)，則整個振動板之聲場可改寫成：. ϖ 2ρ air p(r, t ) = − 2π. ∑ A(r ) e (ϖ. j t +θi − kr ). i. i. δs i ri. (3.16). 其中 A(ri ) 為振動板上各點之振幅， θ i 為振動板上各點之相位， ri 為振動板上之元素與量測點之距離， δs i 為振動板元素之面積，如圖 3.1。在實務上，通常量測聲音使用的尺度主要原因是聲音的動態範圍非常之大，同時人耳對音量的感覺也是比較接近對數尺度。所以定義聲壓位準. (Sound Pressure Level) SPL = 20 log(. Prms ) Pref. (3.17). 其中 Prms 為量測點聲壓之均方根值為： Prms. ⎡ 1 T/2 ⎤ = ⎢ ∫−T / 2 | p(r, t ) |2 dt ⎥ ⎣T ⎦. 1/ 2. (3.18). 聲壓參考值 Pref=2×10-5 Pa. 一般在量測聲壓的儀器看到的聲壓曲線即為頻率響應曲線，縱軸為. SPL(dB)聲壓位準，橫軸為激振頻率。. 因為人耳無法很精準的聽到某個頻率下的聲壓，在某頻率下聽到的聲壓會和附近的聲壓混合，所以聲壓研究上對聲壓曲線都會作平滑處理，研 19.

(35) 究它的趨勢，圖 3.2 是一個實驗聲壓值在平滑處理前和平滑處理後的差別。. 3.2 中音谷的形成及討論. 一個振動板的振動可以使空氣產生縱波(疏密波)，如果這個振動板是一個剛體，如圖 3.3，產生的波動也是很整齊的縱波，振動板在平衡位置之間往復振動，由空氣密度的不同，傳遞到接收器如人耳或麥克風，即可聽到聲音。如果產生的縱波強度很強，也就是說空氣的疏密程度相差的愈大，聲音就會愈大聲，即聲壓值比較大，反之，如果空氣的疏密程度相差很小，聲壓值就愈小，如果空氣密度沒有任何變化，麥克風就接收不到沒有任何訊號。無論是什麼振動板，皆不是真實的剛體，所以振動板一定會變形，如圖 3.4，振動板仍在平衡位置附近作往復振動，但對聲壓量測點而言，中心產生的空氣疏密程度剛好和兩邊產生的疏密程度相反，使量測點的疏密程度變小了，聲壓值就會降低，這種聲壓值特別低的情況通常在中音的位置，所以就稱為中音谷。如果因中心產生的聲壓(p)定義為正的話，也兩邊產生的聲壓即為負，累加後正負相消，再代入 3.17 式計算聲壓位準。所以我們可以從振動板變形圖上即可粗略判斷聲壓的高低，即是變形圖以平衡位置，定義一方為正，正方的所有體積累加，負方的所有體積累加，比較正負方的體積，如果相差太小，這個頻率的聲壓值也會比較低。 20.

(36) 避免中音谷產生，大部分的方法都是加強振動板的剛度，使振動板儘量成為理想的剛體，本文提供另一個想法，即施力於其節線上。. 21.

(37) 第四章有限元素法分析. 4.1 有限元素法的理論. 有限單元法是以變分原理為基礎發展出來的理論，將模型分成有限數目的元素，跟據個別元素所受的外力等影響，配合形狀函數，列出其位移及變形的方程式，再組合聯立計算原本整體的位移及變形。. 以下是使用虛功法在有限元素模型的應用：對每個節點有五個自由度利用等參單元的形狀函數來表示位移場口 u 0 = N i ui v 0 = N i vi. (4.1). w = N i wi. θ x = N iθ xi θ y = N iθ yi. 對各元素而言，位移場可表示如下：. ⎡u ⎤ m ⎡Ni ⎢v ⎥ = ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎥ ∑ ⎢⎣ w⎥⎦ i =1 ⎢⎣ 0. 0 Ni 0. 0 0 Ni. zN i 0 0. ⎡ ui ⎤ ⎢ ⎥ 0 ⎤ ⎢ vi ⎥ zN i ⎥⎥ ⎢ wi ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎦ ⎢θ xi ⎥ ⎢θ yi ⎥ ⎣ ⎦. (4.2). 或寫成： m. u~ = ∑ N i I ∇ i. (4.3). i =1. ∂ ∂ ∂x ∂y. 將對(4.1)式的導數，，再代入應變-位移關係如下：. [ε ] = [B][∇ i ] 22.

(38) 由有限元素法得知元素勁度矩陣為：. [K e ] = ∫v[B]T [D][B]dV. (4.4). 再將平板的虛功方程式以 n 個元素的組合表示： ⎧. n. ∑ ⎨⎩∫. Ve. k =1. ∫. Ve. 1 2. ⎫ ⎭. δui ρu&&i dV + δ ∫ σ ij ε ij dV − ∫ δui Fi dA⎬ = 0 Ve. ( ). T. && δui ρu&&i dV = δ ∇ e M e ∇. Ve. (4.5). e. ( ) ∫ δu F dA = (δ ∇ ) F. T 1 && e δ ∫ σ ijε ij dV = δ ∇ e K eL ∇ 2 Ve. e T. Ve. i. e. i. 可得：. && + K L ∇ = F M∇ 其中 M ， K L ， F ， ∇ 分別代表廣義的質量矩陣、勁度矩陣、載荷矩陣和位移向量。. 對有限元素法分析，除了可以跟據上面的方法自己寫程式計算外，市面上也有許多有限元素法的套裝軟體，本文使用實驗室購買的有限元素軟體 ANSYS，計算分析本文所需要的振動變形，再使用 Fortran 程式語言寫的程式讀取結果，計算最後的聲壓解等。. 4.2 有限單元法板元素的選擇. 利用 ANSYS 來建立平板有限單元模型並分析，ANSYS 分析複合材料. 23.

(39) 可以用 2 種元素(element)，一種是 SHELL99，另一種是 SHELL91，兩種元素不同點如下所示。由 ANSYS Help 檔案中可找到 SHELL99 板及 SHELL91 板相關的資料，SHELL99 板為線性的疊層板結構，通常用在薄板上，其主要假設為：. 1.變形後截面仍然維持平面，但不一定要再和中間面(centerplane)垂直。 2.每對積分點上假設有相同的材料傾向性(material orientation)。. 每個單位元素的外力和外力矩表示如下： ⎧ {N }⎫ ⎡[E0 ] ⎨ ⎬=⎢ ⎩{M }⎭ ⎣ [E1 ]. [E1 ]⎤ ⎧{ε }⎫ [E2 ]⎥⎦ ⎨⎩{κ }⎬⎭. 其中： tp Nl rj. [E0 ] = ∑ ∫ [Tm ]Tj [D] j [Tm ] j dr j =1 r bt j. tp Nl rj. [E1 ] = ∑ ∫ r[Tm ]Tj [D] j [Tm ] j dr j =1 r bt j. tp Nl rj. [E2 ] = ∑ ∫ r 2 [Tm ]Tj [D] j [Tm ] j dr j =1 r bt j. N l =疊層數. [D] j =第 j 層的應力應變關係式 [Tm ] =元素轉疊層的旋轉矩陣 {N }=單位長度的外力 {M }=單位長度的外力矩 24.

(40) {ε }=應變 {κ }=曲率 ANSYS 中的 SHELL91 板為非線性的疊層板結構，通常用在厚板上，第 j 層的材料性質矩陣 [D] j 為： ⎡ BE x ⎢ Bν E ⎢ xy x ⎢ 0 ⎢ [D] = ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣. Bν xy E x BE y. 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 G xy. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 0 0 0 G yz f. 0. ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ G xz ⎥ f ⎥⎦. 0 0 0 0. 其中 B=. E y, j. E y , j − (ν xy , j ) E x , j 2. E x , j =第 j 層 x 方向的楊氏係數. ν xy , j =第 j 層 x-y 平面的波松比 G xy , j =第 j 層 x-y 平面的剪力係數 1.2 ⎧⎪ ⎫ A ⎪⎬ 取較大的值 f =⎨ 1.0 + 2 ⎪⎩ 25t 2 ⎪⎭. A = 元素面積 t = 總厚度. 如果使用三明治的選項分析，則：. 25.

(41) 1.中間的心層(core)的 f 設為 1.0 2.在上下兩層面層(faceplates)的剪力係數 G yz 和 G xz 設為 0 3.在不是心層的橫向剪應變和剪應力設為 0 即假設中心層承受所有的橫向剪力(transverse shear)，面層不承受任何的橫向剪力，同時面層承受所有的彎曲負載(bending load)。如圖 4.1，一端固定之板受外力的橫截面，變形後 SHELL99 和使用三明治選項的 SHELL91 是有差異性的。本文中提到的 SHELL91 皆為 SHELL91 三明治板。. 因為 SHELL91 三明治分析使用上面幾個設定，所以須加上一些特殊條件. 1.在中心層厚度方面建議最好佔三明治板厚度的 5/6 以上(一定要大於 5/7)。 2.在楊氏係數方面，面層的楊氏係數最好比中心層的楊氏係數大於 100 倍(一定要大於 4 倍 ) ；面層的楊氏係數最好比中心層的楊氏係數不能大於. 10000 倍(一定不能大於 1000000 倍)， 3.在板彎曲時，其曲率半徑要是總厚度的 10 倍以上(一定要大於 8 倍以上)。. 由以上可知，SHELL99 使用的是一階剪變形理論為主，SHELL91 使用多層一階剪變形理論。再以瑞雷 - 黎次法做為基準，討論 ANSYS 中的. SHELL99 和 SHELL91 所分析出來的自然頻率的不同。. 驗證：. 26.

(42) 矩形板 100.5 mm × 36 mm 疊層：[0°碳纖/ 0°巴沙木/ 0°碳纖] 材料常數：如表 4.1 邊界條件：自由邊界條件(Free) 自然頻率：SHELL99 分析的自然頻率及與瑞雷-黎次法的誤差在表 4.2. SHELL91 分析的自然頻率及與瑞雷-黎次法的誤差在表 4.3 模態：列出前五個模態於圖 4.2. 由上面分析可知，表 4.1 是本論文所有材料的常數，比較其與 ANSYS. SHELL91 的限制如下： 1.中心層厚 2.01 mm，占全部厚度的 0.885 倍，比其建議的 0.83 還好。 2.中心層和面層的楊氏係數相比為 40 倍，雖然沒有符合它建議的 100 倍，但符合最低需求 4 倍。. 3.在振動分析上，板變形的曲率半徑並不會小於厚度的 10 倍。所以 SHELL 91 來模擬會比較好的結果，本文皆以 SHELL91 元素來分析振動板。. 4.3 有限元素法分析中其他參數的選取. 量測三明治板的重量與音圈與彈波之重量，三明治板、音圈及彈波三者的重量總和即為振動系統之運動質量，再以 MLSSA 聲壓頻譜儀量測激振 27.

(43) 器參數，經由比較 MLSSA 量測的振動系統之運動質量 Mms 和秤重所得的運動質量，所得的結果應該要一致。將 MLSSA 量測的系統柔度 Cms 取其倒數，即為系統剛度 k。再分析激振器性質，彈波的剛度 kb 約為 395.35N/m，本文的懸邊剛度(k-kb)平均分布在振動板的四周，即橫向剛度 KL，而旋轉剛度 KR 經量測後因數值太小忽略。由振動時電阻值 Re，反求功率在 1 瓦時，流經音圈的電流值，電流和 BL 值之乘積即為量測聲壓時音圈之推力 F。阻尼值是使用雷射測速儀進行振動板之頻率-響應量測，並藉由. Bandwidth Method 來計算各激振頻率之系統阻尼比。如圖 4.3 所示為一振動板中心之頻率-響應圖，其中 Peak response 為某一共振頻率相對應之振幅，. f1 及 f 2 為曲線和. ξ=. peak 之交點。利用下式求得共振頻率之阻尼比： 2. f 2 − f1 f 2 + f1. 再利用 Rayleigh Damping 將頻率響應得到系統阻尼比利用下式可以求得系統α-damping 和β-damping：. ξ=. α βω + 2ω 2. 從上式可知阻尼比會隨著頻率的不同而改變，由α影響所造成之阻尼效應在愈低頻時效應愈大，但β影響所造成之阻尼效應則相反，在愈高頻時阻尼效應才愈顯著，而在低頻時阻尼效應卻逐漸趨於無。. ANSYS 所需的常數即為材料常數，幾何的尺寸大小，系統剛度 k，音. 28.

(44) 圈所施的外力 F，及系統的阻尼值α、β。. 4.4 有限元素法分析步驟. 前處理部分：. 1. Preprocessor → Element type：選擇振動板 shell91，彈簧元素 spring-damper 14，音圈強度 beam188 2. Preprocessor → Real constant：設定元素之參數，如彈簧常數等。 3. Preprocessor → Material Props → Material Models：設定振動板元素之各材料性質。. 4. Preprocessor → Modeling：由點、線、面建立振動板的模型外觀。 5. Preprocessor → MeshTool：選擇元素參數、材料性質、各元素之尺寸大小，並分割元素。. 6. Preprocessor → Modeling → Copy → Nodes：將必須建立懸邊(彈簧) 的地方偏移複製，偏移之距離即為彈簧之長度。. 7. Preprocessor → Modeling → Create → Elements → Auto Numbered → Thru Nodes：逐一點選以兩個節點為一組之節點來建立彈簧元素，亦可由迴圈程式輔助完成此重複性動作。. 8. Preprocessor → Modeling → Copy → Lines：將音圈部分所需的線再複製出來。. 9. Preprocessor → MeshTool：選擇音圈的元素參數、材料性質等，再切 29.

(45) 割元素。. 10. Preprocessor → Coupling/Ceqn → Coincident Nodes：將音圈元素與振動板模型上相同位置之節點設定成具有相同的自由度，來模擬振動板上附加音圈的真實狀況。到此前處理即算完成，接下來可以做模態分析或是聲聲分析部分。首先說明模態分析部分：. 11. Solution → Analysis Type → New Analysis：選擇分析型態，自然頻率模態分析點選“Modal”。. 12. Solution → Analysis Type →Analysis Options：No. of modes to extract 為要分析的模態個數，暫定前 100 個模態，即數字為 100。No. of. modes to expand 也為 100。頻率範圍設 1~20000 Hz。 13. Solution → Define Loads → Apply → Structural → Displace- ment → On Nodes：限制彈簧元素另一端節點的全部自由度。 14. Solution → Solve → Current Ls：求解。 15. General Postproc →Results Summary：列出所有的自然頻率。 16. General Postproc →Read Results →By Pick：選出想看 Mode Shapes 的自然頻率。. 17. General Postproc →Plot Results →Contour Plot →Nodal Solu：再選 Nodal Solution →Z-Component of displacement，列出 Z 方向的位移。. 30.

(46) 即可得到自然頻率及模態。如果要分析聲壓，在 ANSYS 部分如下：. 11.Solution → Analysis Type → New Analysis：選擇分析型態，簡諧頻率響應分析點選“Harmonic”。. 12. Solution → Define Loads → Apply → Structural → Displacement → On Nodes：限制彈簧元素另一端節點的全部自由度。 13. Solution →Define Loads → Apply → Structural → Force/Moment → On Nodes：在位於音圈位置上的節點施予 Z 方向且相角為零之推力。 14. Solution → Load Step Opts → Time/Frequenc → Damping：輸入系統阻尼 α 、 β 的值。. 15. Solution → Load Step Opts → Time/Frequenc → Freq and Substps：輸入欲分析頻率響應之頻寬。. 16. Solution → Solve → Current Ls：求解。 17. TimeHist Postpro → List Variables：輸出振動板模型全部節點的振幅及相角。由上面聲壓分析可得到以下資料：. 1.節點編號 NodeNo(i)及位置 x(i),y(i),z(i) 2.第 i 節點在第 j 頻率的振幅 Amplitude(i,j)及相角 phase(i,j). 4.5 聲壓分析 Fortran 程式部分 31.

(47) 由 ANSYS Harmonic 分析所得到的. 1.節點編號 NodeNo(i)及位置 x(i),y(i),z(i) 2.第 i 節點在第 j 頻率的振幅 Amplitude(i,j)及相角 phase(i,j) 以 Fortran 程式語言寫的程式讀入 ANSYS 分析的資料後，按照第三章聲壓分析的結果，計算聲壓。計算聲壓副程式部分為：. P=dcmplx(0.d0,0.d0). !. P=0. w=Hz*2.d0*pi. !. ω=2πf. k=w/c. !. k=ω/c. 第三章的(3.16)式中的 j(ωt+θ-kr)中，因為 t 在此為 0，所以改成下式：. jwt=dcmplx(0.d0,( phase(i,j)/180.D0*pi)-k*Ri) ! jωt= − 1 (相角-kri) p=dcmplx(Amplitude(i,j),0.d0)*cdexp(jwt)*dcmplx(Area,0.d0)/dcmplx(Ri,0.d0) ! p=A×e j t× ω. Δs ri. 將 p 累加，即 SumP= −. ϖ 2 ρ air 2π. ∑ p ，並取其均方根，即. SumP=dcmplx(-(w**2.d0)*density/2.d0/pi/dsqrt(2.D0),0.d0)*P 再將 SumP 代進. SPL = 20 log(. Prms ) Pref. 即. SPL(i)=20.d0*(dlog10(cdabs(sumP)/2.d-5)). 32.

(48) 第五章製作及實驗程序. 5.1 揚聲器製作. 揚聲器主要結構分為振動板、懸邊、音圈、彈波、場磁鐵、及外面的外殼，示意圖如圖 5.1。振動板為碳纖三明治複材板，中心層為巴沙木，面層為碳纖，皆為 0° 方向，製作方法為先熱壓面層的碳纖，再和心層以 AB 膠黏合，如圖 5.1.1。振動板的主要功能是推動空氣，形成疏密波，即聲壓產生源。懸邊為一已成型的塑膠片，如圖 5.1.2。懸邊的功能是固定振動板，避免振動板左右搖動，本身的質量、剛度愈小愈好。音圈部分先用碳纖放在模具中，中間打氣使碳纖和模具密合，再以熱壓機熱壓成型。成型好的音圈壓成圓形，放在繞線機上繞上線徑ψ為 0.04. mm 的漆包線，如圖 5.2.1，其中 d1 為內徑，d2 為外徑，t 為厚度，tv 為捲幅， h 為高度。音圈功能是依據電磁感應效應，配合場磁鐵，將電能轉換成動能，提供振動時所需的外力。彈波的功能是固定音圈，使音圈不會因振動板上不均勻的振動，撞擊場磁鐵。場磁鐵部分則先開好模具，製作外型，以 AB 膠黏好成型後再充磁，結構如圖 5.2.2。. 33.

(49) 整體組合是先以 AB 膠將振動板、懸邊及外殼黏在一起，再將音圈和彈波黏好，彈波黏於場磁鐵上，再黏接音圈和振動板，最後固定場磁鐵和外殼。. 5.2 實驗 5.2.1 自然頻率量測. 自然頻率以必凱 (B&K) 科技股份有限公司出的 Pulse 頻譜分析儀量測，量測方式可分為 3 種，衝擊槌敲擊，加速規接收信息(以下簡稱敲擊測試)、激振器激振，加速規接收信息(以下簡稱激振測試)、及激振器激振，雷射測速儀接收信息(以下簡稱雷射測試)三種方式，其中有加裝加速規的方式，因為加速規有額外的質量，所以量測出來的自然頻率會略低。設備介紹如下：. (1) PULSE 信號收集處理器及 Pulse 頻譜分析軟體。 (2)個人筆記型電腦 (3)衝擊槌 AU02。(敲擊測試需要) (4)必凱科技股份有限公司出廠的加速規(2250A-10)及信號線。(敲擊測試及激振測試需要). (5)Polytec OFV350 雷射測速儀(雷射測試需要) (6)Polytec OFV2500 測速儀控制器(雷射測試需要). 34.

(50) 量測步驟如下：. (1)將揚聲器放置妥當，敲擊測試的分析儀 Input 位置上分別接上衝擊槌及加速規，並將加速規固定於揚聲器任一量測點位置(如圖 5.3)。激振測試則需分析儀 Input 位置上接上加速規，Output 連接到揚聲器的激振器部分. (如圖 5.4)。雷射測試則需分析儀 Input 位置上接上雷射測速儀，Output 連接到揚聲器的激振器部分(如圖 5.5)，並將反光紙貼於所需量測的位置。. (2)將頻譜分析軟體的環境設定完成(如：測試頻寬、測試速度、解析度)。 (3) 敲擊測試用需用衝擊槌敲擊揚聲器，敲擊後電腦開始擷取速度振幅資料，經由頻譜分析儀以快速傅利葉轉換(Fast Fourier Transform)算出頻譜區域(Frequency Domain)中的頻譜。另外兩種則由電腦自行開始激振揚聲器，並擷取資料。. (4)過濾雜訊，讀取頻譜圖上峰值較高的振動頻率數值。 (5)把加速規或反光紙放置在試片其他量測點，並重複(2)至(4)。 (6)平均量測到的頻率數值，即為此試片的自然頻率。. 敲擊測試、激振測試都需要用到加速規，加速規本身質量為 0.4 公克，加上加速規後方的線材，對量測較輕物體的自然頻率將會有影響。激振測試及雷射測試都使用激振器激振，激振器對某些自然頻率會無法激振出來，如果需要量測所有的自然頻率，避免使用這兩種方式量測。. 35.

(51) 5.2.2 聲壓量測. 聲壓量測以 LINEARX 公司出的 LMS 聲壓測試系統。設備介紹如下：. (1)LMS 聲壓測式系統(內含寬頻雜訊產生器、聲壓頻譜分析) (2)桌上型電腦 (3)訊號放大器(Amplifier) (4)麥克風. 量測步驟如下：. (1)將揚聲器架設妥當。 (2)軟體內部校正及外部校正，並將環境設定完成(如：測試頻寬、測試速度、解析度)。. (3)麥克風放置在離揚聲器中心一公尺外之同一高度腳架上。 (4)待一切準備就緒，啟動電腦發出訊號，由麥克風接收聲壓訊號，傳回電腦。. (5)將曲線平滑處理，平滑的參數是 1/3(Octave Width to Smooth By 0.3333)，即可得出頻率響應之聲壓分貝圖。. 36.

(52) 第六章理論分析與實驗結果 6.1 有限元素法分析與實驗的驗證. 使用 ANSYS 的 SHELL91 元素進行分析，必須先驗證 ANSYS 有限元素分析結果的正確性，只有正確的 ANSYS 分析才能拿來和實驗的結果比較，並討論各種變數與聲壓等的影響。. 以 ANSYS 分析一塊自由邊界條件的振動板，材料常數如表 4.1，尺寸大小為圖 6.1，振動板的長寛比約 2.58，邊界條件為自由的邊界條件，分析自然頻率的值。再使用第五章的自然頻率量測法，使用敲擊測試，量測實際自由邊界條件的振動板，比較的結果如表 6.1，誤差皆在 6 %左右，其中. ANSYS 分析的第 5 個與第 6 個自然頻率，因為十分接近，所以實驗上只能量到一個。. 這部分的自然頻率量測以敲擊測試而不以其他方式量測的原因是因為其他量測方式都是使用激振器，使用激振器會造成部分模態無法出現，其自然頻率就無法量測到，這部分在下面有更詳細的說明。. 6.2 圓形激振器有限元素法分析. 前一節驗證了 ANSYS 所分析的振動板和實驗結果是一致的，以前一節的模型加上邊界條件，建立揚聲器的模型，探討振動板的行為及為何會造成這些行為的原因。 37.

(53) 由實際量測系統，三明治板的重量為 2.7 g，音圈與彈波之總重為 0.785. g，三明治板、音圈及彈波三者的重量總和 3.485 g，即為振動系統之運動質量，以 MLSSA 聲壓頻譜儀量測激振器參數並整理於表 6.2 ，經由比較. MLSSA 量測的振動系統之運動質量 Mms 和秤重所得的運動質量，可知 MLSSA 量測所得的結果是準確的。將 MLSSA 量測的系統柔度 Cms 取其倒數，其 k 值為 971.82 N/m。並由振動時電阻值 Re 為 8.196Ω，反求功率在 1 瓦時，流經音圈的電流值為 0.349 安培(A)，電流和 BL 值之乘積即為量測聲壓時音圈之推力，其推力大小為 1.186 N。. 三明治板的量測尺寸大小如圖 6.1，厚度 t = 2.27 mm，音圈尺寸為直徑. 25 mm，本文所提到 25*25 即為此種音圈的揚聲器。音圈其餘數據如表 6.3 所示。音圈隨頻率不同所量測的阻抗值如圖 6.2，阻抗圖在自然頻率附近，會因為板的共振，只要有小量的電流即可產生很大的位移，板的最大位移量是固定的，電流會驟減，阻抗隨之大增，阻抗圖就可以看出上升。由阻抗圖也可以看出在頻率 90 Hz 附近有一個共振頻率，約 1800 Hz 與 2400 Hz 附近也有共振頻率，可以和之後的 ANSYS 分析互相比較分析是否正確。. 材料常數表即為表 4.1，以第五章的自然頻率雷射量測可得到前幾個自然頻率，結果如圖 6.3.1 到圖 6.3.4，由第四章的 Bandwidth Method 及 Rayleigh. Damping 找出α及β，在求α和β時自然頻率至少要取超過 2000 Hz 以上才 38.

(54) 會得到比較好的值，所以取自然頻率為 81Hz 與 13090Hz：. ξ=. f 2 − f1 f 2 + f1. ξ81 =. 94 − 68 = 0.16049382716 94 + 68. ξ13090 =. 13470 − 12680 = 0.0302103250478 13470 + 12680. 代入 ξ =. α βω + 解聯立方程式 2ω 2. 求出α=25.97，β=4.46*10-6。. 以上面的參數依第四章 ANSYS 分析方法代入 ANSYS 分析，分割元素使用 ANSYS 的 free mesh，結果如圖 6.4，最後得到分析出來的自然頻率及其模態，20k Hz 內的自然頻率如表 6.4，前 24 個模態(即 10000Hz 內)分析結果如圖 6.5。比較第一個剛體自然頻率(1st mode)與第一個板彎曲(bending) 變形的自然頻率(4th mode)，與雷射測位移的值比較，如表 6.5。. 圖 6.6 為加邊界條件和音圈剛性與未加邊界條件之間的模態比較，可以很清楚看出前三個 Mode 為剛體運動，只有有加彈簧和音圈的分析會出現，未加這些邊界條件的分析不會出現這三個模態，所以前三個模態是邊界彈簧產生的模態。接下來後面的模態，因為有加音圈的分析，模態會受到音圈影響，不但自然頻率的值增加及模態出現的次序改變，模態也和只有振. 39.