基於碎形表面模型和熱彈性分析的接觸溫度研究

1

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

基於碎形表面模型和熱彈性分析的接觸溫度研究

Ther moelastic Analysis of Contact Temper atur e Based on a

Fr actal Sur face Model

計畫編號：NSC 89-2212-E-002-027

執行期限：88 年 8 月 1 日至 89 年 7 月 31 日

主持人：盧中仁 台灣大學機械系

計畫參與人員：莊家慶 台灣大學機械系

中文摘要

兩相互滑動面間因摩擦生熱而造 成的溫度增加，會影響到接觸面的磨 潤性質。近來的研究顯示接觸面的表 面形態具有碎形的特性；同時熱變形 對 接 觸面 間 的壓 力 分 佈 有 顯 著 的 影 響。本計畫採用具有碎形特性的表面 模型並考慮熱變形的效應，來探討滑 動面間的接觸溫度。首先利用 Cantor 集建立碎形表面模型；接著研究碎形 表面凸起的位移和受力以及摩擦所產 生的熱量之間的關係；由力平衡和位 移的一致性求得接觸面間的溫度和壓 力分佈；並以此研究材料性質、碎形 尺度對接觸溫度的影響。 關鍵詞：快閃溫度、碎形表面、熱彈性

Abstr act

The temperature rises resulting from frictional heating at the sliding contact surfaces strongly influence the

interfacial tribological phenomena.

Recent experiments have shown that real surface topography exhibits fractal properties. Besides, it is found that thermal deformation can significantly change the distribution of contact pressure. In this project, we study the contact temperature at sliding surfaces by employing a fractal surface model and considering the effects of thermal deformation. First of all, we construct a fractal surface model based on the Cantor set. The displacements of asperi-ties resulting from the applied load and

frictional heat are determined. Then the equilibrium and compatibility conditions are employed to find the contact pres-sure and temperature. The effects of material properties and fractal dimen-sions on the contact temperature are investigated.

Keywords: flash temperature, fractal

surface, thermoelasticity

緣由與目的

當 相 接 觸 的 兩 物 體 有 相 對 運 動 時，摩擦力作功產生的熱能使得接觸 面的溫度上升，進而改變表面磨潤性 質和材料特性。所有的物體表面都是 粗糙的。當兩粗糙表面相接觸時，實 際上只在一些局部的凸起（asperity） 相接觸。換言之，實際的接觸面積遠 小於公稱接觸面積（nominal contact area），因此在這些凸起間存在相當大 的正向應力及伴隨的摩擦力。作用在 這些凸起上的摩擦力所產生的熱會使 得這些凸起在接觸的瞬間達到相當高 的 溫 度 ， 稱 之 為 快 閃 溫 度 （ flash temperature）。 很多學者提出不同的方法來分析 幾何形狀簡單的物體接觸時的表面溫 度，以及伴隨的應力分佈。然而要把 這樣基於簡單的幾何形狀的凸起而得 到的結果應用到真實的表面上，首先 必需能正確的描述物體的表面形態。 許多利用隨機變數來描述表面形態的 模型被提出，這些模型主要被用來研 究兩接觸面間的摩擦力和黏著力〔1-4〕。然而這些模型有著相同的問題：

2 描述表面的參數和量測時所用的尺度 有關。這個現像表示物體表面有著碎 形的特性，要正確的描述接觸面間的 現像必需使用碎形的表面模型。 碎形的觀念最早是由 Mandelbrot 在 1967 提出〔5〕，隨後的實驗顯示許 多物體後表面都有碎形的特性。於是 研究人員開始注意到碎形表面模型對 處 理 接 觸 面 間 界 面 問 題 的 重 要 性 〔6〕，並開始將碎形模型應用於探討 兩粗糙面間的彈塑性接觸力學〔7， 8〕。Wang 和 Komvopoulos 應用這些結 果來探討基於碎形表面模型之下相互 滑動面間的溫度分佈函數〔9〕。然而 他 們 忽略 了 熱變 形 對 壓 力 分 佈 的 影 響。許多學者曾提出有關摩擦熱產生 的表面形態變化而導致的熱彈性不穩 性的報告〔10〕。他們發現熱變形會影 響表面凸起上的壓力。我們以往的研 究顯示，忽略熱變形會低估快閃溫度 並造成相當的誤差〔11〕。 前人的研究大多忽略了熱變形對 相對滑動的物體的表面溫度的影響。 本計劃應用碎形表面模型，加入熱變 形的效應，在彈性變形的範圍內，探 討相接觸滑動面的溫度分佈和各重要 參數的關係。

單一柱體

考慮長為 l，截面積為 A 的均勻柱 體。柱體的一端固定，另一端和以等 速 v 向右移動的剛體平面接觸。固定 端的溫度為T0，滑動接觸面間的正向 壓力為 P，摩擦係數為µ 。假設剛體為 絕緣，在滑動面間因摩擦而產生的熱 量µPv 完全流入柱體，因此穩態時柱 體的溫度分佈為： T x Pv kA x T ( )= µ + ₀ (1) 其中k 為熱傳導係數。

兩獨立柱體

接著考慮兩根獨立柱體和滑動剛 體平面接觸的情形。柱體的長度、截 面積、位移分別為 li、 Ai和 ui。由單一 柱體的結果可知，每根柱體的溫度分 佈為：

( )

x T0 kA v P x T i i i = + µ (2) 其中 Pi為柱體 i 所受的力。假設剛體達 成力平衡時和固定面的距離為δ，則柱 體的壓縮變形量為 δ αµ _{= −} − = i i i i i i i i l kA vl P E A l P u 2 2 (3) 其中α 為熱膨脹係數。由上式可得各 柱體的受力和剛體位移間的關係為 2 2 2 ) ( i i i i i vEl kl E kA l P αµ δ − − = (4) 最後由剛體的力平衡 P1+P2 = P 可以 得到外力和剛體的位移間的關係 P vEl kl E kA l vEl kl E kA l_i = − − + − − ₂ 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 ) ( 2 2 ) ( αµ δ αµ δ 為了便於分析比較，引入無因次化參 數如下： l x x*= ； 0 * T T T = ； 0 * EA P P = ； 0 * EA P P i i = ； 0 * A A A i i = ； l l l i i*= ； l δ δ*= 則式(2)和式(4)可表為 T x T P A x i i * * * * * ( )= β

F

H

G IKJ

+ α 0 1 (5) P l A l i i i i * * * * * = −

L

F

_H

G IKJ

N

M O

1

_Q

P

L

_N

M O

₋

_Q

P

1 δ β (6) 其中β 為無因次化參數 β αµ= Evl k 2 (7) 由上述結果可得在剛體平面所受 總外力 P 固定的情形下，兩獨立柱體 的受力隨剛體滑動速度變化的情形， 結果如圖一所示。這裏假設 l1>l2，當 剛體靜止時，較高的柱體受到較大的 力。隨著滑動速度的增加，原來較高

3 的柱體有較大的熱變形因而承受更大 的力，所以 P1隨著β 的增加而增加， 相反的 P2隨著β 的增加而減少。當 β 大於一臨界值時，剛體平面和第二根 柱體分離，此時所有的力由原來較高 的柱體承受。由此可知熱變形會改變 力在各柱體間分佈的情形，原來較高 的柱體會承受較大的應力。

Cantor Set 表面模型

Cantor 集表面模型如圖二所示， 其表面形狀是由參數 fx、 fz以及基準 高 H* ，由遞迴的方式所定義：下一層 的長度為這一層長度的1/ f_x倍；深度 為1/ fz倍。以此類推，第 n+1 層的長 度為： 1 0 1 / / + + = n x = xn n L f L f L ；而深 度為： 1 0 1 / / + + = n x = xn n h f h f h 。 在討論 Cantor set 表面模型時，式 （3）中的l =h₀代表最大深度， A0 =L0為所有柱體的總接觸面積。由 A0 = L0為所有柱體的總接觸面積。由 力平衡和式(6)可得 P f f H f f f H f H f x i x i z i i n x i x i z i z i i n * ( / ) ( / ) * ( / ) * ( / ) ( / ) * ( / ) * ( / ) = − − − − − − − − − − = ∞ − − − = ∞

∑

∑

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 β δ β

o

t

首先令β =0 ，求出剛體不滑動時 壓至第 N 層時所需的力 PN以及各層所 受的力。然後固定總力為 P_N，增加β 直至第 N+1層分離，計算此時各層所 受的力。由此可得各層受力、接觸溫 度隨滑動速度及表面型態參數變化的 情形。

結 果 與 討 論

圖三所示為各層受力隨速度變化 的情形。當β =0 時剛體和第 10 層相接 觸，此時受力最大的為第 14 層，高層 的柱體雖然有較大的變形，但因為表 面積較小所以承受的總力較小。定義 受力最大的層數為 n_fmax，則 n_fmax和所 受的力隨著速度的增加增加。相反的 原來低於 n_fmax的柱體的受力隨著β 的 增加而減小。這是因為較高的柱體有 較多的熱變形進而將剛體平面向上頂 起使其逐漸和較低的柱體失去接觸， 所以整個力分佈曲線隨著β 的增加向 右移動。 知道各層所受的力後可由式(5)求 H * h1 h 0 h2 L 0 L1/ 2 L2/4 L3/8 圖二、Cantor 集表面模型 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 β 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Pi */ P * P1* P₂* 圖一、兩獨立柱體受力與速度的關係 10 20 30 40 50 0.00 0.05 0.10 0.15 Pi */ P * n β=0.005 β=0.01 β=0.03 β=0.05 fx=1.2 fz=1.6 H=10h0 圖三、各層受力圖

4 出各柱體和剛體接觸面上的溫度。整 個接觸面上的溫度分佈隨著滑動速度 變化的情形如圖四所示。由第 10 層開 始溫度隨著的層數的增加急劇增加， 但增加的速度隨著層數而減少，到第 20 層以上基本上溫度不隨著層數變 化。另外各層的接觸溫度隨著速度的 增加而增加。 圖五所示為最大接觸溫度隨速度 和碎形參數變化的情形。由 Cantor 集 的定義可知， f_z增加代表柱體的高度 差減少，意即表面較平滑，此時各柱 體的受力平均，熱量不會集中在少數 凸起。因此最大溫度隨著 f_z的增加而 降低。

參考文獻

〔1〕 Bowden, F. P. and Tabor, D, 1964,

Friction and Lubrication of Solids: Part II, Oxford University Press, London, U.K.

〔2〕 Greenwood, J. A. and Williamson, J.B.P., 1966, “Contact of Nominally Flat Surfaces, “Proc. Roy. Soc. Lond., Vol. A295, pp. 300-319. 〔3〕 Whitehouse, D. J. and Archard, J. F.,

1970, “The Properties of Random Surfaces of Significance in Their Contact,” Proc. Roy. Soc. Lond., Vol. A316, pp. 97-121.

〔4〕 Chang, W. R., Etsion, I. And Bogy, D. B., 1987, “An Elastic-Plastic Model for the Contact of Rough Surfaces,”ASME Journal of Tri-bology, Vol. 109, pp. 257-263. 〔5〕 Mandelbrot, B. B., 1967, “How

Long is the Coast of Britain? Statis-tical Self-Similarity and Fractional Dimension,”Science, Vol. 156, pp. 636-638.

〔6〕 Majumdar, A. and Bhushan, B., 1990, “ Role of Fractal Geometry in Roughness Characterization and Contact Mechanics of Surfaces,”

ASME Journal of Tribology, Vol. 112., pp. 205-216.

〔7〕 Majumdar, A. and Bhushan, B., 1991, “Fractal Model of Elastic-Plastic Contact Between Rough Sur-faces,”ASME Journal of Tribology, Vol. 113, pp. 1-11.

〔8〕 Warren, T. L., Majumdar, A. and Krajcinovic, D., 1996, “A Fractal Model for the Rigid-Perfectly Plas-tic Contact of Rough Surfaces,”

ASME Journal of Tribology, Vol. 63, pp. 47-54.

〔9〕 Wang, S. and Komvopoulos, K., 1994, “A Fractal Theory of the In-terfacial Temperature Distribution in the Slow Sliding Regime: Part I-Elastic Contact and Heat Transfer Analysis, “ ASME Journal of Tri-bology, Vol. 116, pp. 812-823. 〔10〕Barber, J. R., 1969, “Thermoelastic

Instabilities in the Sliding of Con-forming Solids,”Proceedings of the Royal Society of London, Vol. A312, pp. 381-394.

〔11〕Lu, C. J. and Bogy, D. B., 1992, “The Influence of Thermal Defor-mation on the Contact Temperature of Sliding Asperities,”ASME Jour-nal of Applied Mechanics, Vol. 59, pp. S102-S106. 10 20 30 40 50 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 T_i* n β=0.005 β=0.01 β=0.03 β=0.05 fx=1.2 fz=1.6 H=h₀ 圖四、接觸面溫度分佈圖 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 β 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 T *ma x fz=1.2 fz=1.25 fz=1.3 fz=1.35 fz=1.4 fx=1.6 H=10h0 圖五、最大接觸溫隨碎形參數變化情形