圓內接n 邊形之正弦方程式

圓內接

n 邊形之正弦方程式

李輝濱

嘉 義 縣 私 立 同 濟 高 級 中 學

壹、前言

三 角 函 數 的 領 域 裡 ， 有 個 著 名 的 三 角 形 正 弦 定 理 ； 而 現 在 ， 圓 內 接 奇 數 邊 多 邊 形 亦 擁 有 這 個 正 弦 定 理 。 但 詳 盡 研 究 圓 內 接 偶 數 邊 多 邊 形 的 各 性 質 ， 卻 發 現 其 並 沒 有 這 個 家 喻 戶 曉 的 定 理 ； 相 對 地 ， 找 到 了 圓 內 接 偶 數 邊 多 邊 形 有 一 個 由 分 式 型 正 弦 項 特 殊 組 合 成 的 四 項 型 方 程 式 。 顯 然 ， 奇 數 邊 形 與 偶 數 邊 形 的 各 種 數 學 性 質 差 異 很 大 ， 將 此 兩 種 方 程 式 類 型 相 比 較 ， 則 形 成 各 異 其 趣 的 絕 妙 規 律 性 ； 也 都 能 展 現 出 簡 潔 完 美 的 恒 等 式 特 質 。 以 下 正 文 的 推 證 敘 述 中 ， 將 從 較 簡 易 的 三 角 形 、 圓 內 接 四 邊 形 、 五 邊 形 、 六 邊 形 等 分 析 起 ， 逐 次 推 廣 至 一 般 化 的 圓 內 接n 邊形 。 以 嚴謹 論 證 ， 翔實 地 歸 納 演繹 出 一 系 列完 整 對 照 推 理 過 程 ， 並 將 全 文 綜 合 整 理 成 清 晰 順 暢 的 研 究 脈 絡 ， 鉅 細 靡 遺 地 呈 現 出 各 類 正 弦 方 程 式 的 性 質 來 。

貳、本文

考 慮 任 意 一 個 圓 內 接 n 邊 形 A A_{1 2}...A_n；令 R 為此 圓 半 徑，並 令各 邊 邊 長為 A A1 2V1, 2 3 2 A A V , A A3 4V3,…, A Ai i1 ,…,Vi A An3 n2Vn3, An2An1Vn2, A An1 n Vn1, A An 1Vn, 1 n n A A V , 1 i n  ，i 與 n 皆 為 自然 數 。 而 在 以 下 正 文 的 敘 述 推 論 驗 證 過 程 中 ,需要 應 用 到下 列 3 個 引理 ：

引理 1.

一 凸 四 邊 形 的 四 頂 點A，B，C，D 共 圓 時 ，如 下 圖 a，令 邊 長 AB V 1，BC V 2， 3 CD V ，DA V 4， 則 下 列 方 程 式(T−1)式 必定 恆 成 立 ， 4 2 4 1 1 2

sin(A B) sinA sinB V V V V V V

 _{ }

(T−1)

證 明：見 圖 a， 一 個 圓 內 接四 邊 形，現 在 建立 一 直角 坐 標 系，並 將 A 點 置於 此 坐 標 系的 原 點，再 將 直 線 段AB 疊 置於 坐 標 系 X 軸，使 兩 者相 重 合。四 邊 形 角 A 之 方 位角 為 A，角 B 方 位角 為 π−B， 角 C 方 位 角為 2π−B−C，角 D 方 位 角為 3π−B−C−D。 由 封 閉 四 邊 形 及 向 量 的 正 交 性 質 ， 則 此 圓 內 接 四 邊 形 必 有 下 列 的 四 個 相 鄰 邊 長 與 頂 角 相 關 聯 的 正 弦 關 係 式 ；





1sin 0 2sin 3sin(2 ) 4sin(3 ) 0

V V B V  B C V   B C D  V₂sinB V ₃sin(D C )V₄sinC 0

3 4 2 4 2 3

sin sin( ) sin

0 B D C C V V V V V V      3 4 2 4 2 3

sin sin( ) sin

0 D D C C V V V V V V      2 4 2 3 3 4 sin(C D) sinC sinD

V V V V V V    同 理，只 要 將C 點 置 於 直 角座 標 軸 原 點，直 線 段 CD 重 疊 於 座標 軸 X 軸，倣 效 上 述 過 程 ， 則 可 得 4 2 4 1 1 2 sin(A B) sinA sinB

V V V V V V  _{ } (T−1) 以 上（ T−1）式 證明 完 成，同 時，此 引 理 1.的 逆 敘 述也 必 然 成 立（ 用 歸 謬 法 可 證 ）。 接 下 來 之 後 的 許 多 推 演 證 明 過 程 都 會 重 複 應 用 此 性 質 。

引理

2.

圓 內 接 四 邊 形 A A A A_{1 2 3 4}， 如 圖 c， 連 接 對 角 線 長A A_{1 3}S， 令 邊 長 A A_{1 2}V₁， 2 3 2 A A V ， A A_{3 4}V₃， A A_{4 1}V₄且 頂 角 A₁₂₃， 對 此 圓 內 接 四 邊 形 ， 下 列 關 係 式 （T-2） 式 必定 恆 成 立 ； 2 3 1 4 sin sin SV V S    = 1 4 1 sin A V V （T-2） 圖 c 證 明 ： 見 圖c， 四 邊 形一 頂 角 A₁₂₃， 並 令 另 一 對 角 線A A_{2 4} p， 弦 長 A A_{1 2}， 所 對 應 之 圓 周 角 為 ，弦長₁ A A_{2 3}，所 對 應 之 圓 周 角 為 ，而弦長₂ A A_{3 4}所 對 應 之 圓 周 角 為 3  ，弦長A A_{4 1}所 對 應 之 圓 周 角 為 ，圓半徑為 R，則利用弦與圓周角性質，可得₄ 下 列 關 係 式；S2 sinR A₂2 sinR A₄且 p2 sinR A₁2 sinR A₃及A A_{2 3}V₂=2 sinR  與₂

3 4 3

由 2 3 1 4 sin sin SV V S   _ = 2 3 1 4 sin sin 2 sin 2 sin S R R S        = 1 2RS 3 2 1 4 sin sin sin sin            = 2 4 1 3 1 4 sin sin sin sin 1 2RS sin sin            = 2 4_{1 4}1 3

sin sin sin sin 1 2RS sin sin            2 2 2 2 R R R R    = 2 4 1 3 1 4 1 2 V V V V RS V V   再利 用 Ptolemy 定 理 ， 得= 1 4 1 2 S p RS V V   = 1 4 1 sin A V V 故 2 3 1 4 sin sin SV V S   _ = 1 4 1 sin A V V (T−2) 得證 ， 同 時，此 引 理2. 的 逆 敘 述也 必 然 成 立(用 歸 謬 法 即可 證 明 )。同 樣 地，接 下來 之 後 的 許 多 推 演 證 明 過 程 也 都 會 重 複 應 用 此 性 質 。

引理

3.

一 個 圓 內 接 n 邊 形 A A1 2A An1 n， 今 任 意 選 取 一 頂 點 ； 假 設 選 到 頂 點An， 如 圖 d ， 此 頂 點 處 的 頂 角 An 恰 是 由 (n−2) 個 不 同 圓 周 角 所 組 成 ， 即 n A = ₁ ₂₃  _n3_n2，並 令 邊 長 A A_{n 1}S_n ，V_n A A_{n 2} S₂，A A_{n 3}S₃， 4 4 n A A S ， … … ， A A_{n n}₃S_n₃， A An n2 Sn2， A An1 n Sn1Vn1， 則 下 列 相 關 的 邊 角 關 係 方 程 式 （ T−3 ） 式 必 定 恆 成 立 ； 1 2 2 2 3 sin sin n S S S S  _  ₃ 3 4 sin S S   … 3 2 3 2 2 1 sin _n sin _n n n n n S S S S  _  _      = 1 sin _n n n A V V_ （ T−3） 圖 d 證 明 ： 見 圖 d， (1) 先 觀 察 圓 內 接 四 邊 形 A A A A_{1 2 3 n} ， 則 利 用 引 理 2. 性 質 ， 可 得 下 式 ；

1 2 2 2 3 sin sin n S S S S    = 1 2 3 sin( ) n S S   (d−1) (2) 再 觀 察 圓 內 接 四 邊 形

A

₁

A

₃

A

₄

A

_n， 再 利 用 引 理 2.性 質 及 （ d−1）， 可 得 下 式 ； 1 2 3 sin( ) n S S   + 3 3 4 sin S S  = 1 2 3 4 sin( ) n S S     1 2 2 2 3 sin sin n S S S S  _  ₃ 3 4 sin S S   = 1 2 3 4 sin( ) n S S    (d−2) (3) 同 理 ， 繼 續 倣 效 上 述 (2)之 推 證 , 使 每 次 只 增 加 一 個 圓 周 角 ， 直 到 最 後 推 導 至 觀 察 圓 內 接 四 邊 形 A A_{1 n2}A A_{n1 n}， 再 利 用 引 理 2. 性 質 ， 即 可 得 下 式 ； 1 2 3 3 2 sin( _n ) n n S S     _     ₂ 2 1 sin _n n n S S  _    = 1 2 3 3 2 1 sin( _{n n} ) n n S S     _  _        1 2 2 2 3 sin sin n S S S S  _  ₃ 3 4 sin S S     3 2 3 2 2 1 sin _n sin _n n n n n S S S S  _  _      = 1 sin _n n n A S _S  1 2 2 2 3 sin sin n S S S S  _  ₃ 3 4 sin S S     3 2 3 2 2 1 sin _n sin _n n n n n S S S S  _  _      = 1 sin _n n n A V V_ （T−3） 以 上 ( T−3 )式 證明 完 成 。 同 樣 地 ， 此 引 理 3.的 逆 敘 述也 必 然 成 立(用 歸 謬 法 即可 證 明) 接 下 來 開 始 進 入 本 文 主 題 的 演 繹 證 明 ， 其 完 整 流 程 如 下 ；

A、三角形的邊角正弦方程式

圖(1) (A−1) 見圖(1)，令 三 角 形 的邊 長 各 為V₁A A_{1 2} ，V₂A A_{2 3}，V₃A A_{3 1}， 而 此 三 角 形 的 外 接 圓 半 徑 為 R， 由sin(A₁A₂)sinA₁cosA₂cosA₁sinA₂

 1 2 1 2 sin( ) sin sin A A A A  2 1 = cotA cotA 1 2 2 1 2 3 2

sin( ) cot cot

4

A A A A

V V R

 

  (1)

又 由sinA₁sin(A₂A₃) sin(A₂A₃) sin A₂cosA₃cosA₂sinA₃ 1 2 3 sin sin sin A A A  2 3 cotA cotA   1 2 3 sin sin sin A A A  cotA₂cotA₃ 1 3 1 sin A V V   2 3 2 cot cot 4 A A R  (2)

同 理 ， 再 得 2 1 2 sin A V V 1 3 2 cot cot 4 A A R   (3) 比 較 (1)、(2)、(3)式 ， 則 得 1 2 3 2 sin( ) = A A V V  ₁ 3 1 sin A V V

-2 1 2 sin A V V (4) (A−2) 仿照 上 段過 程 ， 再 得下 列 兩 式 2 3 1 3 sin( ) = A A V V  ₂ 1 2 sin A V V  3 2 3 sin A V V (5) 3 1 2 1 sin(A A) V V   3 2 3 sin A V V  1 3 1 sin A V V (6) 觀 察 (4)、(5)、(6)式 ， 則 證得 1 2 3 2 sin(A A ) V V   2 3 1 3 sin(A A) V V   3 1 2 1 sin( ) 0 A A V V   (7) 則 方 程 式(4)、(5)、(6)式 及 方程 式 (7) 即為 三 角 形 的邊 角 正 弦 方程 式 。

B、圓內接四邊形

圖 2 (B−1) 見 圖 2，一 個 圓 內接 四 邊 形，令A A1 2V1，A A1 2V1，A A2 3 ，V2 A A3 4 ，V3 A A4 1V4， 對 此 圓 內 接 四 邊 形 ， 有 下 列 關 係 ； 3 4 3 4 2 4 2 3 3 4 sin(A A) sinA sinA V V V V V V  _{ } (4−1) 方 程 式(4−1) 的幾 何 意 義 表 示出；一 多 邊形 的 任 三 個相 鄰 邊 的 四頂 點 共 圓 時，(4−1) 式 必 成 立 、 此(4−1)式 是 由 引 理 1.所 得 結果 之 直 接 應用 。 (B−2) 同 理 , 仿 照 上 述引 理 1.的 過程 , 可 得 下列 三 式 ; 4 1 4 1 3 1 3 4 4 1 sin(A A) sinA sinA V V V V V V



  （4−2）

1 2 1 2

4 2 4 1 1 2 sin(A A) sinA sinA V V V V V V



  （4−3）

2 3 2 3

1 3 1 2 2 3 sin(A A) sinA sinA V V V V V V

 _{ }

（4−4）

1 2 4 2 sin(A A ) V V   2 3 1 3 sin(A A) V V   3 4 2 4 sin(A A ) V V   4 1 3 1 sin( ) 0 A A V V   （4−5） 此 (4−5)式 與 上述 三 角 形 的 第 7 式 具 有相 同 類 型 的數 學 結 構 (B−4) 再 檢視 方 程 式 (4−1)，(4−3)， 由 於 兩 對角 相 互 補,可 得下 式 ；

)

sin(

)

sin(

A

₁



A

₂





A

₃



A

₄ 1 2 3 4 4 2 2 4 sin( ) sin(A A ) A A ₀ V V V V      （4−6） 1 2 4 1 1 2 sinA sinA V V V V   

sin

sin

0

4 3 4 3 2 3

_

_

V

V

A

V

V

A

_{1 3} 4 1 2 3 sin sinA A V V V V    4 3 4 2 1 2

sin

sin

V

V

A

V

V

A 

（4−7） (B−5) 綜 合 以 上 之 推 導 結 果 ； 方 程 式 (4-5)， (4-6)與 (4-7)三 式 即 為 圓 內 接 四 邊 形 的 三 組 相 異 邊 角 正 弦 方 程 式

C、圓內接五邊形

圖 3 (C−1) 見 圖 3， 先 考 慮 A A A A₁, ₂, ₃, ₄此 四 頂 點 、 由 於 三 個 相 鄰 邊 的 四 頂 點 共 圓 ， 故 由 引 理 1.下 式必 成 立 ； 2 3 2 3 1 3 1 2 2 3 sin(A A) sinA sinA V V V V V V  _{ } （5−1） 同 理 ， 再 考 慮 另 四 頂 點A A A A₂, ,_{3 4}, ₅則 下 式 亦 必 成 立 ； 3 4 3 4 2 4 2 3 3 4 sin(A A ) sinA sinA V V V V V V    （5−2） (C−2) 此 外 ， 另可 得 其 餘 的三 個 同 類 型方 程 式 ， 從而 得 到 下 式； 1 2 5 2 sin(A A ) V V   2 3 1 3 sin(A A) V V   3 4 2 4 sin(A A ) V V   4 5 3 5 sin(A A ) V V   5 1 4 1 sin( ) 0 A A V V   （5−3） (C−3) 圓 內接 五 邊 形 正弦 定 理 ， 其方 程 式 如 下； R 為 圓 內接 五 邊 形 之半 徑 1 3 5 sin( ) V A A  sin( ₄2 ₁) V A A  sin( ₅3 ₂) V A A  sin( ₁4 ₃) V A A  sin( ₂5 ₄) V A A  2R 此 (5−4)式 之 證明 請 見 本 篇參 考 文 獻 之 1 (C−4) 方 程 式 (5−3)，(5−4)即 為 圓 內 接五 邊 形 的 兩組 相 異 邊 角正 弦 方 程 式

D、圓內接六邊形

圖 4 圖 5

(D−1) 見 圖 4 的 圓 內接 六 邊形，考 慮 A A A A A₁, ₂, ₃, ₄, ₅頂 點，恰 形 成 圓 內 接 五 邊 形，則 利 用 其 正 弦 定 理 ， 可 得 下 列 關 係 式 ； 令 頂 點1 與 頂 點 5 的 連 線 長 為 d



2 4



4 2 1 5 3 2

sin sin( ) sin( )

V

d V

A A  A A x  A   A （6−1）

此 處d V ₅cosV₆cosx且V₅sinV₆sinx由 （6−1） 式 ， 可 得 2sin( 2 4) sin( 1 4 )

V A A d A A x =( cosV₅ V₆cos ) sin(x  A₁A₄x)

=V₅cos cos sin( x A₁A₄)−V₅cos sin cos( x A₁A₄)+V6cos2xsin(A1A4) −V₆cos sin cos(x x A₁A₄)

=V5cos cos sin( x A1A4)+V6(1 sin 2x) sin(A1A4)−V5(cos sin xsin cos ) cos( x A1A4) =V₅cos cos sin( x A₁A₄)+V₆sin(A₁A₄)− 2

6sin sin( 1 4)

V x A A −V₅sin(x) cos(A₁A₄)

=V₅cos cos sin( x A₁A₄)+V₆sin(A₁A₄)−V₅sin sin sin( x A₁A₄)−V₅sinA₆cos(A₁A₄)

=V₅cos(x)sin(A₁A₄)+V₆sin(A₁A₄)−V₅sinA₆cos(A₁A₄)

=−V₅cosA₆sin(A₁A₄)+V₆sin(A₁A₄)−V₅sinA₆cos(A₁A₄)

=−V₅sin(A₁A₄A₆)+V₆sin(A₁A₄)=V₆sin(A₁A₄)−V₅sin(A₁A₂)

2 4 1 4 1 2

5 6 2 5 6 2

sin(A A ) sin(A A ) sin(A A )

V V V V V V

  

   6 1 4 1 2

5 6 2 5 6 1 1 2 sinA sin(A A ) sinA sinA V V V V V V V V       6 1 4 1 2 2 5 6 1 1 2 5 6 sin

sin( ) sin sin

0 A A A A A V V V V V V V V       （6−2） (D−2) 同 理 ， 再由 (6−1)式 ，可 得 下 列 另一 組 關 係 式； 3sin( 2 4) sin( 2 5 )

V A A d A A  =( cosV₅ V₆cos ) sin(x  A₂A₅)

仿 照 (D−1)的 推導 過 程 ， 將上 式 展 開 ,變換 關 係 後， 再 化 簡 ，組 合 ， 可 得 3sin( 2 4) 5sin( 2 5) 6sin( 2 5 6)

V A A V A A V A A A =V₅sin(A₂A₅)V₆sin(A₄A₅)

2 5 4 5 6

3 6 3 4 4 5 5 6

sin( ) sin sin sin

0

A A A A A

V V V V V V V V



(D−3)

圖 5

見 圖 5 的圓 內 接六 邊 形, 再考 慮 A A A A A₂, ₃, ₄, ₅, ₆； 五 頂 點 ， 恰 形 成 圓 內 接 五 邊 形 ， 則 利 用 其 正 弦 定 理 ， 可 得 下 列 關 係 式 ； 令 頂 點2 與 頂 點 6 的 連線 長 為 w



3 5



4 2 6 5 3 2

sin sin( ) sin( )

V

w V

A A  A A   A A 

（6−4）

此 處w V ₆cosV₁cos 且V₁sin V₆sin由 （6−4） 式 ， 可 得 3sin( 3 5) sin( 2 5 )

V A A w A A  =( cosV₆ V₁cos ) sin(  A₂A₅)

再 仿 照 (D−1)的推 導 過 程 ，將 上 式 展 開， 變 換 關 係後 ， 再 化 簡， 組 合 ， 可得 3sin( 3 5) 1sin( 2 5) 6sin( 1 2 5)

V A A V A A V A A A = sin(V₁ A₂A₅)V₆sin(A₂A₃) 1sin( 2 5) 6sin( 2 3)

V A A V A A

    + sinV₃ A₁0 2 5 2 3 1

3 6 3 1 6 1

sin( ) sin( ) sin

0 A A A A A V V V V V V       2 5 2 3 1 3 6 1 2 2 3 6 1

sin( ) sin sin sin

0 A A A A A V V V V V V V V       （6−5） (D−4) 接 下 來 ，觀 察 方 程 式 (6−2)，(6−3)，(6−5)， 發 現 將 (6−2)與(6−5)兩 式相 加 ， 即 得 6 1 4 2 5 5 6 sin sin(A A ) A V V V V   2 5 3 3 6 2 3 sin( ) sin 0 A A A V V V V     1 4 2 5 sin(A A ) V V   2 5 3 6 3 6 2 3 5 6 sin(A A ) sinA sinA V V V V V V           （6−6） 再 觀 察 此 方 程 式 (6−6)， 其 內 涵 包 括 全 部 六 個 內 角 及 四 段 邊 長 ， 這 是 圓 內 接 六 邊 形 的 必 然 性 質 ； 也 是 平 面 凸 六 邊 形 在 六 段 邊 長 皆 固 定 情 況 下 ， 適 當 調 整 其 各 內 角 角 度 而 成 最 大 面 積 的 必 然 結 果 、 此 外,還 可得 另 外 兩個 同 類 型 方程 式 如 下 ； 2 5 3 6 sin(A A) V V  _{3 6 4 1} 4 1 3 4 6 1 sin(A A ) sinA sinA V V V V V V      _  _   （6−7） 3 6 4 1 sin(A A ) V V  _{4 1 5 2} 5 2 4 5 1 2 sin sin(A A) A sinA V V V V V V      _  _   （6−8）

(D−5) 再 由 方 程式 (6−3)減 去方 程 式 (6−5)， 即 得 下式 ； 5 6 4 3 4 4 5 5 6 sin sin sinA A A V V  V V  V V  3 2 1 1 2 2 3 6 1 sin sin sin 0 A A A V V  V V  V V  3 5 1 6 1 2 3 4 5 sin sin sinA A A V V V V V V    2 4 6 1 2 3 4 5 6 sin sin sin = A A A V V  V V  V V （6−9） (D−6) 再 仿 效 前述(C−1)與(C−2)的 推 導 過程 ， 可 得 另類 第 三 型 方程 式 ， 如 下； 1 2 6 2 sin( ) + A A V V  2 3 1 3 sin( ) + A A V V  _{3 4} 2 4 sin( ) + A A V V  _{4 5} 3 5 sin(A A) V V  5 6 6 1 4 6 5 1 sin( ) sin( ) 0 A A A A V V V V      （6−10） (D−7) 再 將(6−9)式 的 右 三 項移 到 左 側 ，再 變 換 成 下式 ； 3 4 5 6 1 2 6 2 2 4 4 6 sin( ) sin( ) sin( ) 0 A A A A A A V V V V V V    _{  } （6−11） (D−8) 綜 合 以 上分 析 ， 將 此圓 內 接 六 邊形 推 證 結 果歸 納 如 下 ; 第 一 組 方 程 式(6−6)，(6−7)，(6−8)；第 二組 方 程 式(6−9)；第 三 組 方 程 式 為 (6−10)； 第 四 組 方 程 式 為(6−11)： 得圓 內 接 六 邊形 共 計 有 四組 相 異 的 邊角 正 弦 方 程式 。 接 下 來 ， 比 較 對 照 上 述 由 三 角 形 至 六 邊 形 所 有 推 導 過 程 與 結 果 ， 將 此 分 析 論 證 作 一 個 歸 納 類 推 ， 並 推 廣 至 一 般 化 的 圓 內 接 n 邊 形 ；而 n 有 奇 數型 與 偶 數 型兩 種 類 型 且各 自 有 其 獨 特 的 邊 角 正 弦 方 程 式 組 。

G、圓內接奇數邊 n 邊形

下 圖11 是 任 一 圓內 接 奇 數 邊 n 邊 形，令 邊長 A A V ，n 1= n A A1 2V1，A A V2 3 ，2 A A3 4 , ……, V3 3 2= 3 n n n A A_{ } V_ ， A A_{n2 n1}V_n2， A A Vn₁ n= n₁ 圖 11

(G−1) 見 圖 11，同 理 ， 依 次仿 效 引 理 1.可 再 得 下 列方 程 式 ； 1 2 2 sin( ) + n A A V V  _{2 3} 1 3 sin( ) + A A V V  _{3 4} 2 4 sin( ) + A A V V  _{4 5} 3 5 sin( ) + A A V V  _{5 6} 4 6 sin( ) + A A V V  2 1 3 1 sin( n n ) n n A A V V        1 1 2 1 1 sin( ) sin( ) 0 n n n n n n A A A A V V V V         （g−1） (G−2) 圓 內 接 奇數 邊 n 邊 形的 正 弦 定 理， 其 敘 述 內容 如 下 ； 一 個 圓 內 接 奇 數 邊 n 邊 形，n 為 奇 數，令 R 為 此圓 半 徑，對任 一 自 然 數 t ，由 此 n 邊形 的 各 邊 長與 各 內 角 所組 成 的 下 述一 般 化 公 式 ( g−2 )式 恆成 立 ； 1 2 1 1 2( ) 1 ( 1) 2 1 ( 1) 4 4 2 1 ( 1) 2 1 1 ₂ ( 1) 2 sin t t t n t n t t t j j j j V _R A A                  _{ }                 





（g−2） 此 處 ，1 t n  ，t j N,  ， A At t₁=Vt是 第t 邊 邊 長 ，且 規 定 下 列關 係 式 ； 0 2 1 =0 t j j A 



， 0 2 1 =0 j j A 



， 0 2 1 1 0 j j A   



證 明 ： 略 ， 請 見 本 篇 參 考 文 獻 之 1 (G−3) 方 程 式 (g−1)，( g−2 ) 為 圓 內 接奇 數 邊 n 邊 形 的兩 組 相異 邊 角 正 弦方 程 式

H、圓內接偶數邊 n 邊形

圖 12 圖 13 (H−1) 見 圖 13 的 圓 內接 偶 數 邊 n 邊 形，考 慮 A A A A₁, ₂, ₃, ₄, , A_n2,A_n1等 n−1 個奇 數 頂 點， 恰 形 成 圓 內 接 奇 數 邊n−1 邊 形，則 利 用此 圓 內 接 奇數 邊 形 之 正弦 定 理，可 得 下 列 關 係 式 ； 令 頂 點 1 與 頂 點 n−1 的 連 線 長 為 p



2 4 2



4 6 2 2 1

sin _n sin( _n )

p V

A A   A_  A A   A_ A  ……（h−a）

此 處 p V n₁cosVncos且Vn1sinVnsin 由 h−a)式 並 仿 照 圓 內接 六 邊 形(D−1)

之 計 算 過 程 ， 可 得V₂sin(A₂A₄  A_n2) p sin(A₁A₄A₆  A_n2)經 代 換 ， 化 簡 運 算 後 ， 得 下 式 ；V₂sin(A₂A₄  A_n2) 1 4 6 2 1 1 4 6 2 sin( ) sin( ) n n n n n V A A A A_ V_ A A A A_ A            2 2sin( 2 4 2) 2sin[(₂ 1) ] ( 1) 2sin

n n n n n V A A A V  A V A          1 4 6 2 1 1 2 sin( ) sin[ ( 1) ] 2 n n n n V A A A A_ V _ A  A          2 1 4 6 2 1 1 2 2

sin( ) sin( ) cos[( 1) ] ( 1) sin 0

2 n n n n n n V A A A A_ V _ A A  V A            2 2 1 4 6 2 1 1 2 2

sin( ) ( 1) sin( ) ( 1) sin 0

n n n n n n V A A A A V A A V A           1 2 2 1 4 6 2 1 1 2 2

sin( ) ( 1) sin( ) ( 1) sin 0

n n n n n n V A A A A V A A V A           1 1 1 4 6 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1

sin( ) sin sin sin

( 1) ( 1) +( 1) 0 n n n n n n n n n A A A A A A A V V V V V V V V                     …（h−1） (H−2) 見 圖 12 的 圓內 接 偶 數 邊 n 邊 形 ，考 慮A A A₂, ₃, ₄, , A_n2,A_n1,A_n， 等 n−1 個奇 數 頂 點 ， 恰 形 成 圓 內 接 奇 數 邊n−1 邊 形，則 利 用此 圓 內接 奇 數 邊 形之 正 弦 定 理，可得 下 列 關 係 式 ； 令 頂 點2 與 頂 點 n 的 連 線長 為 y



3 5 1



5 7 3 1 2 sin _n sin( _n ) V y A A   A_  A A   A_ A  ……（h−b）

此 處 y V _ncosV₁cos且V_nsinV₁sin由(h−b)式 並 仿 照 圓 內 接 六 邊 形 (D−1) 之 計 算 過 程，可 得V₃sin(A₃A₅  A_n1) y sin(A₂A₅A₇  A_n1)經 代 換，化 簡 運 算 後 ， 得 下 式 ；V₃sin(A₃A₅  A_n1) 1sin( 2 5 7 n 1) nsin( 2 5 7 n 1 1) V A A A A_ V A A A A_ A            3sin( 3 5 n 1) V A A A_      2 3sin[(₂ 1) 1] ( 1) 3sin 1 n n V  A   V A 1sin( 2 5 7 n 1) nsin[ 2 (₂n 1) 3] V A A A A V A  A          2 3 1 ( 1) sin n V A   V₁sin(A₂A₅A₇  A_n₁) ( 1)2 sin( 2 3) n n V A A  

1

2 2

1sin( 2 5 7 1) ( 1) sin( 2 3)+( 1) 3sin 1 0

n n n n V A A A A_ V A A V A           2 5 7 1 3 sin( _n ) n A A A A V V         2 2 2 1 3 1 2 2 3 sin sin ( 1) ( 1) n n A A V V V V       2 1 1 1 sin +( 1) 0 n n A V V     …（h−2） (H−3) 由 方 程 式(h−1)與 (h−2)相 加 並 化 簡， 移 項 ， 得下 式 ； 1 4 6 2 2 1 sin( _n ) n A A A A V V         _{2 5 7 1} 3 sin( ) = n n A A A A V V      3 2 2 2 3 1 sin sin ( 1) +( 1) n n n n n A A V V V V_      （h−3−1） 同 理 ， 由 圓 內 接 偶 數 邊 n 邊 形 圖 形 的 對 稱 性 ， 又 可 獲 得 與 (h−3−1)同 類 型 的 下 列 n−1 個方 程 式 ； 2 5 7 3 1 3 sin( _{n n} ) n A A A A A V V          _{3 6 8 2} 4 1 sin(A A A A_n A_n) V V         4 1 2 2 3 4 1 sin sin ( 1) +( 1) n n n A A V V V V      （h−3−2） 3 6 8 2 4 1 sin(A A A A_n A_n) V V         _{4 7 9 3 1 1} 5 2 sin(A A A A_n A_n A) V V           5 2 2 2 4 5 1 2 sin sin ( 1) +( 1) n n A A V V V V      （h−3−3） 2 1 3 7 5 1 4 sin( _{n n n} ) n n A A A A A V V             _{1 2 4 6 4} 3 sin( _{n n n} ) n n A A A A A V V            3 2 2 1 4 3 sin sin ( 1) +( 1) n n n n n n n n A A V V V V          （h−3−（n−2）） 1 2 4 6 4 3 sin( n n n ) n n A A A A A V V            _{3 5 5 3} 1 2 sin( _{n n n} ) n A A A A A V V         2 1 2 2 1 3 2 sin sin ( 1) +( 1) n n n n n n A A V V V V         （h−3−（n−1）） 3 5 5 3 1 2 sin( _{n n n} ) n A A A A A V V           _{1 4 6 4 2} 2 1 sin( _{n n} ) n A A A A A V V         2 2 1 2 sin ( 1) n A V V    2 1 2 1 sin +( 1) n n n n A V V      （h−3−n） 現 在 將 上 述 由 (h−3−1)〜(h−3−n)的 n 個 方 程 式 統整 歸 納 成 下列 一 般 化 方程 式 ；

 

2 2 2 2 1 ₁ 2 ₁ 2 1 2 1 2 3 2 1 3 2 1 sin sin sin sin 1 n n t _j t j t _j t j _n t t t t t t t t t t A A A A A A V V V V V V V V    _  _                         _{ }  _  _{  }    





（h−3） 此 處1 t n  ， 而 n 為 n



6 的 偶 數 ， t 與 j 皆 為 自 然 數 ，A A_{t t1} 此處亦 規定V_t t n t A_ A，A_1A_n1，A_2  A_n2，A₀ A_n，V_{t n} V_t，V_1V_n1，V_2V_n2，V₀ V_n 當 n=4， 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 n n t j t j j A j A         





，(h−3)式 恰 能 滿 足 圓 內 接 四 邊 形 的 邊 角 關 係，因 此，方 程 式(h−3)式 恰涵 蓋 了 所 有圓 內 接 偶 數 邊 n 邊 形 一般 化 邊 角 正弦 關 係 方 程 式 的 結 果 。 (H−4) 同 理 ， 依次 仿 效 引 理 1.可 再 得 下列 方 程 式 ； 1 2 2 sin( ) n A A V V   2 3 1 3 sin(A A) V V   3 4 2 4 sin(A A ) V V   4 5 3 5 sin(A A) V V   5 6 4 6 sin(A A ) V V   2 1 3 1 sin( _{n n} ) n n A A V V        1 1 2 1 1 sin( ) sin( ) 0 n n n n n n A A A A V V V V         （h−4） (H−5) 現 在 要 證明 下 列 方 程式 (h−5)式 必定 成 立 ； 3 5 5 1 1 2 3 4 5 6 5

sin sin sin

sin _n n n n A A A A V V V V V V V V       3 1 4 3 2 1 sin _n sin _n n n n n A A V V V V          2 4 1 2 3 4 sinA sinA V V V V    6 5 6 sin A V V  4 5 4 sin _n n n A V V     2 3 2 1 sin _n sin _n n n n n A A V V V V       （h−5） 以 數 學 歸 納 法 證 明 之 ； (i) 當 n = 4 , n = 6 ， 前 述 之(4−7)與(6−9)式 皆 已 證 明 完成 ， (ii) 接 下來 ， 令 n=k≥8 時 ， k 為 偶 數， 下 式成 立 ； 3 5 5 1 1 2 3 4 5 6 5

sin sin sin

sin k k k k A A A A V V V V V V V V       3 1 4 3 2 1 sin _k sin _k k k k k A A V V V V         6 2 4 1 2 3 4 5 6 sin sinA sinA A V V V V V V     4 5 4 sin _k k k A V V     2 3 2 1 sin _k sin _k k k k k A A V V V V       （h−6） (iii) 則 n=k+2 時 ， 見下 圖 14， 令邊 長 A A1 kS， A Ak k1Vk， 1 2 1 k k k A A_{ } V _ ，A_{k2 1}A V_k2， 且 頂 角 A₁  ， A_k    ，

圖14 現 在 將 圖 14.中 的 圓內 接 偶 數邊 k+2 邊 形分 割 成 一 個四 邊 形A A A_{1 k k1}A_k2及 另 一 個 圓 內 接 偶 數 邊k 邊 形 A A_{1 2}A_k，而 對 此 圓 內 接 偶 數 邊k 邊形 A A_{1 2}A_k言，可 得 到 與 (h−6) 式 完 全 相 似 的 關 係 式 如 下 ； 3 5 5 1 2 3 4 5 6 5

sin sin sin

sin k ₊ k k A A A SV V V V V V V  _      3 1 4 3 2 1 sin _k sin _k k k k k A A V V V V        6 2 4 1 2 3 4 5 6 sin sinA sinA A V V V V V V     4 5 4 sin _k k k A V V     2 3 2 1 sin _k sin k k k A V V V S        （h−7） 接 下 來 ， 對 圓 內 接 四 邊 形 A A A_{1 k k}₁A_k₂言 ， 也 有 如 下 關 係 式 ； 1 2 1 sin sin _k k k k A V S V V       2 1 2 sin sin _k k k k A SV V V      （h−8） 再 接 著 ， 將(h−7)式 與(h−8)式兩 式 相 加 ，即 得 下 式(h−9)式 ； 1 2 1 sin sin k k k k A V S V V  _     3 5 5 1 2 3 4 5 6 5

sin sin sin

sin k k k A A A SV V V V V V V  _      3 1 4 3 2 1 sin _k sin _k k k k k A A V V V V         2 1 2 sin sin _k k k k A SV V V  _     2 4 6 4 1 2 3 4 5 6 5 4 sin sin sin sin + k k k A A A A V V V V V V V V       2 3 2 1 sin k sin k k k A V V V S        （h-9） 再 利 用 引 理 2.的 性質 及 圖 14.的 相 關 關係 ， 可 得 以下 兩 式 ； 1 2 1 2 1 sin sin sin k k A V S SV V V       （h−c）與 1 1 sin sin sin _k k k k k A SV V S V V       （h−d） 最 後 ， 將 (h−c)式 與 (h−d)式兩 式 一 起 代入 (h-9)式 中， 即 得 下 式； 3 5 5 1 2 1 2 3 4 5 6 5

sin sin sin

sin + k k k k A A A A V V V V V V V V        3 1 4 3 2 1 sin _k sin _k k k k k A A V V V V        1 1 sin _k k k A V V   

6 2 4 1 2 3 4 5 6 sin sinA sinA A V V V V V V    4 5 4 sin _k k k A V V     2 3 2 1 sin _k sin _k k k k k A A V V V V       2 1 2 sin k k k A V V     （h−5） 以 上 n = k + 2 時，也證 明 完成；即 對 所有 的 正 偶 數 n≥ 4，此 方程 式 (h-5)式 必定 成 立 、 故 對 任 意 圓 內 接 偶 數 邊 n 邊 形 ， 方程 式(h−5)式必 定 成 立 (H−6)再 利 用 (h−5)式 之 結 果 ，移 項 後 ， 組合 成 下 式 ； 1 2 2 sin( )₊ n A A V V  _{3 4} 2 4 sin(A A ) V V  _{ 5 6} 4 6 sin(A A) V V  _{ 7 8} 6 8 sin(A A)₊ V V  _{9 10} 8 10 sin(A A ) V V  5 4 6 4 sin( _{n n} ) n n A A V V       3 2 1 4 2 2 sin( _{n n} ) sin( _{n n}) ₀ n n n n A A A A V V V V            （h−11） (H−7) 綜 合 上 述推 理 結 果 ，得 第 一 組 方程 式 為 由(h−3−1)〜 (h−3−n)的 n 個方 程 式 組 合 成 的 一 般 化 方 程 式 (h−3)式 及 第 二 組 方程 式 (h−4)，第 三組 方 程式 為 (h−5)，第 四 組 方 程 式 為 (h−11)，因 此，任意 一 個 圓內 接 偶 數 邊 n 邊 形 共 計有 上 述 四 組相 異 的 邊 角 正 弦 方 程 式 。

K、現在，要根據以上本文內所有敘述證明結果歸納成下列的一個定理；

定理：

圓 內 接n 邊 形 邊角 正 弦 方 程式 定 理 考 慮 任 意 一 個 圓 內 接 n 邊 形 A A_{1 2}A_n； 令 R 為 此 圓 半 徑 ， 邊 長 A A_{1 2} V₁, 2 3 2 A A  ,V A A3 4 ,……,V3 A An3 n2Vn3,An2An1Vn2,A An1 nVn1,A A Vn 1 n (1) 如 圖 11， 當 n 為 奇數 ，n = 2k+1， 對 任一 自 然 數 k， 由 此 n 邊 形的 各 邊 長與 各 內 角 所 組 成 的 上 述 步 驟G.的 一般 化 公 式 （g−1） 式 與（g−2） 式恆 成 立 。 (2) 如 圖 12，當 n 為 偶 數，n = 2k+4，對 任 一自 然 數 k，由 此 n 邊 形的 各 邊 長 與各 內 角 所 組 成 的 上 述 步 驟H.的 一般 化 公 式：第 一 組 方 程式 (h−3−1) 〜 (h−3−n)的 n 個 方 程 式 及 (h−3)式 .第 二 組 方 程 式 (h−4)式 , 第 三 組 方 程 式 為 (h−5)式 ， 第 四 組 方 程 式 為 (h−11)式，此四 組 相異 的 邊 角 正弦 方 程 式 皆恆 成 立，而 n = 4 時，其為 圓 內 接 四 邊 形，則 方 程 式 (4−5)，(4−6)與(4−7)三 式 即 為圓 內 接 四 邊形 的 三 組 相異 邊 角 正 弦 方 程 式 。

參、結論

總 結 以 上 精 實 完 整 的 敘 述 證 明 後 ， 知 悉 ； 任 意 圓 內 接 多 邊 形 ， 無 論 是 奇 數 邊 形 或 是 偶 數 邊 形 都 能 找 到 本 文 定 理 內 所 提 出 的 各 組 邊 角 正 弦 一 般 化 方 程 式 。 觀 察 這 些 方 程 式 特 徵， 發 現每 一 個分 式 項 結 構的 分 母 都 只包 含 兩 段 邊長，而 此 兩邊 長 與 其 同分 式 項 分 子的 內 角 在 次 序 上 也 具 有 呈 現 某 種 規 律 分 佈 。 最 棒 的 是 所 有 方 程 式 都 呈 現 出 規 律 對 稱 性 ！ 這

樣 的 特 徵 使 得 在 證 明 及 敘 述 表 達 這 些 方 程 式 內 涵 時 即 能 體 驗 出 堅 定 明 確 的 認 同 感 。 本 文 研 究 內 容 中 所 尋 獲 的 引 理 與 定 理 內 各 類 不 同 數 學 型 態 的 邊 角 正 弦 方 程 式 ， 皆 能 完 美 地 描 述 出 圓 內 接 多 邊 形 的 性 質 ， 並 極 其 完 整 的 將 其 一 般 化 公 式 詮 釋 表 達 出 來 。 有 趣 的 是 比 較 奇 數 邊 形 與 偶 數 邊 形 所 得 之 方 程 式 的 結 果 ， 各 有 異 同 ； 偶 數 邊 形 公 式 較 多 且 兩 者 都 有 唯 一 完 全 相 同 的（g-1）式 與 （h-4）式，偶 數 邊 形與 奇 數 邊 形之 差 異 性 質在 本 文 的 理 論 推 證 過 程 中 至 為 明 顯 。 兩 者 中 完 全 相 異 的 方 程 式 ; 如 方 程 式（h-3） 式 與（g-2） 式 ， 皆 各 有 其 奧 妙 獨 特 之 處 。 內 心 裡 總 是 深 深 覺 得 ； 或 許 圓 內 接 n 邊 形 ，及 平 面 凸 n 邊 形 中還 有 許 多 不同 於 本 文 所 提 出 的 邊 角 正 弦 方 程 式 ， 以 及 邊 角 餘 弦 方 程 式 。 像 圓 內 接 n 邊形 的 面 積， 其 公 式 內容 必 與 被 選 定 的 邊 長 及 頂 角 有 關 。 無 論 如 何 那 些 未 知 的 關 係 式 皆 需 要 大 家 共 同 來 探 索 發 掘 。 希 望 本 文 的 提 出 ， 能 得 到 大 眾 熱 烈 的 迴 響 。

參考文獻

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