Ø 圓方程式

3

Ø 圓方程式

Ø 圓與直線之關係 Ø 圓之切線方程式 Ø 重點回顧

Ø

歷屆試題

主題一 圓方程式

1. 定義：在同一平面上，到定點的距離為定值得所有點所成的集 合稱為圓，此定點稱為圓心，定長稱為半徑。

2. 圓方程式：

(1) 標準式：圓心為(  k h,  )，半徑為ｒ，圓方程式為

)

( 

x - h ² + ( y - k ) ² = r ² 

(2) 一般式： x ² + y ² + Dx + Ey + F = 0 

a. 當 D ² + E ² - 4 F > 0 時為一實圓，圓心為

÷ ø - ö ç è æ - 

2  2 

E 

D ， ，半徑 

2 

2  4 

2  E  F 

r D  + -

=

b. 當 D ² + E ² - 4 F = 0 時為一點圓或稱退化圓(一

點)，點座標為 ÷

ø - ö ç è æ - 

2  2 

E  D ，

c. 當 D ² + E ² - 4 F < 0 時為一虛圓(無圖形)

(3) 直徑式：直徑兩端點座標為 A ( x ₁ , y ₁ ) 與 B ( x ₂ , y ₂ ) ，圓方 程式為 ( x , x ₁ )( x , x ₂ ) + ( y , y ₁ )( y , y ₂ ) = 0 

(4) 參數式：圓心為(  k h,  )，半徑為 r ，圓方程式為

î í ì

+

= +

= 

t  r  k  y 

t  r  h  x 

sin 

cos ，0 £ t < 2 p 

教師解析

試求過點 (- 1 , 3 ) 且圓心為 ( - 之 2 ,  1 )  圓方程式。

解：

自我挑戰

1. 試求圓心為 ( - 1 , - 2 ) ，半徑 為 4 之圓方程式。

2. 試求以 (- 1 , 2 ) ， ( - 為直 3 ,  4 )  徑兩端點之圓方程式。

試求通過 ( - 1 , 2 ), ( 0 , 0 ), ( 3 , - 2 )  之圓 方程式。

解：

3. 試求通過  )  2  ,  2  (  ),  1  ,  1  (  ),  0  ,  2 

( - - - 之圓方程 式。

4. 試求通過 ( 0 , 0 ), ( 2 , 0 ), ( 0 , 4 )  之圓方程式。

試求圓 3 x ² + 3 y ² - 6 x + 6 y - 2 = 0 之 圓心座標及半徑。

解：

5. 已知圓 

0  6 

4  2 

2 x ² +  y ² + x + y + k = 之半徑為 

2 

3 ，試求 k 之值。

6. 已知圓 

0  4 

6  2 

2 x ² +  y ² + x - y - k = 之半徑為2，試求 k 之值。

已知方程式 

0  1 

2  2 

2 + y  + kx + y + k + =

x  之圓形

為一實圓，試求實數 k 之範圍。

解：

7. 已知方程式 

0  5  2 

2  2 

2 + y  + kx - y + =

x  之

圓形為一點圓，試求實數 k 之範圍。

8. 已知方程式 

0  4 

2  2 

2 + y  - x + y + k =

x  之

圓形為一虛圓，試求實數 k 之範圍。

試求圓 x ² + y ² - 4 x - 6 y - 12 = 0  之參數方程式。

解：

9. 已知圓之參數方程式為

î í ì

+

= + -

= 

t  y 

t  x 

sin  3  2 

cos  3 

1  ，0 £ t < 2 p ， 試求此圓之直角座標方程式。

10. 已知動點 P (  y x ,  ) 的參 數方程式為

î í ì

+ -

=

- +

= 

1  cos  sin 

2  cos  sin 

t  t  y 

t  t 

x  ， t Î R ，

試求動點 P 之軌跡的直角座 標方程式。

求過 

(  1  ,  3  ) 

、 

(- 1  ,  1  ) 

且圓心在 x 軸上 之圓？

解：

11. 一圓過 

(  2  ,  3  ) 

、 

(- 1  ,  2  ) 

且圓 心在 y 軸上，求其方程式？

12. 求過 

(- 2  ,  2  ) 

、 

( - 1  ,  1  ) 

且圓 心在 x 

-  y  2 = 0 

上之圓？

作業研究

1. 已知一圓過點 

(  2  ,  3  ) 

，圓心為 x + y - 2 = 0 與 2 x - y - 10 = 0 的 交點，則此圓的半徑等於○ A  29 ○ B 2  29 ○ C  37 ○ D 2  37 。 2. 圓方程式 x ² + y ² + dx + ey + f = 0 通過三點 (- 1 , 2 ) ， ( 0 , 0 ) ， 

)  2  ,  3 

( - ，則○ A _d = 9 ， e = 7 ○ B _{d = - 9} ， e = 7 ○ C _d = 9 ， e = - 7 ○ D  9

-

= 

d  ， e = - 7 。

3. 下述答案中，何者不是圓？○ A ( x - 1 ) ² + ( y + 1 ) ² = 13  ○ B  0 

2  5 

2 + y  - =

x  ○ C

î í ì

+

= +

=

q q

  sin  2  3 

cos  2  3  y 

x 0 £ q £ 2 p ○ D

î í ì

+

= +

=

q q

  sin  2  2 

cos  3  3  Y 

x 0 £ q £ 2 p 。

4. 圓 x ² + y ² - 4 x + 6 y - 23 = 0 的圓心與點 ( 8 , 5 ) 的距離等於○ A  10 

2  ○ B ₈○ C ₁₀○ D 2  26 。

5. 圓 4 x ² + 4 y ² + 8 x - 16 y - 5 = 0 的圓心為○ A ( - ○ 1 , 2 ) B  ) 

2  ,  1 

( - - ○ C (- 1 , 2 ) ○ D ( 1 , 2 ) ○ E ( - 。 2 ,  4 ) 

6. 在平面上有三直線 ： L ₁  3 x -  y 2  = 7 ， ： L ₂  6 x + y = 4 ，

： ₃ 

L  x + y = 4 圍成一個三角形，則此三角形的外接圓方程式 為○ A x ² + y ² + x - 9 y - 44 = 0 ○ B 

0  44  9  5 

5 x ² +  y ² + x - y - = ○ C x ² + y ² + 5 x - 9 y + 44 = 0 ○ D  0 

44  9  5 

5 x ² +  y ² - x + y - = 。

7. 設 k 為實數，若方程式 x ² + y ² + 2 kx - 2 y + 5 = 0 的圖形表一 圓，則ｋ的範圍在○ A _k > 2 或 k < - 2 ○ B _{- 2 < k < 2} ○ C 

2 -

< 

k  ○ D _{k > - 2}

8. 圓 x ² + y ² - 2 x + 6 y - 15 = 0 的半徑等於○ A 4○ B 5○ C 6○ D 7○ E 8 9. 動點 P (  y x ,  ) 的參數方程式為 x = sin t + cos t - 2 ， 

1  cos  sin - +

=  t  t 

y  ， t Î R ，則動點 P 之軌跡方程式是○ A  2 

)  1  (  )  2 

( x +  ² + y - ² = ○ B ( x + 2 ) ² + ( y - 1 ) ² = 1 ○ C  0 

)  1  (  )  2 

( x -  ² + y - ² = ○ D ( x - 2 ) ² + ( y + 1 ) ² = 2 

10. 若一圓之方程式為 x ² + y ² - 6 x + 4 y + 5 = 0 ，則該圓之半徑

為○ A 8○ B 2  2 ○ C 3○ D 2○ E  6 

11. 若 x ² + y ² + 4x + ky + 1 ­ 2k = 0 為一點，求 k？

12. 若 2x ² + 2 y ² - 4x + 6 y + k = 0 之半徑為 1，求 k？

13. 以 ( 5 , 3 ) 為圓心，5 為半徑之圓為 x ² + y ² + dx + ey + f = 0 ， 求 d + e + f ＝？

14. 求 x ² + y ² - 6 x + 10 y + 3 = 0 之圓心、半徑與圓面積？

15.  x ² + y ² + 2 kx - 6 y + ( k ² + k + 1 ) = 0 為一點，則此點為？

16. 求 

2+ 3 cosθ  y 5+ 3sinθ  ì

x

í î

＝－

＝

0£θ＜2π之圓心與半徑？

17. 化 x ² + y ² - 6 x + 2 y + 1 = 0 為參數式。

18. P (  y x ,  ) 為 x ² + y ² = 4 上一點，求 2 + x  3 y 之極值？

19.  Q (  y x ,  ) 為 x ² + y ² + 2 x - 2 y - 2 = 0 上一動點，求 x  2 + y 之極 值？

20. 求與 x ² + y ² + 2 x - 4 y + 1 = 0 同圓心且過 ( 3 , 5 ) 之圓方程 式？

～解答～

自我挑戰：

1.  ( x + 1 ) ² + ( y + 2 ) ² = 16 

2.  ( x + 1 )( x - 3 ) + ( y - 2 )( y + 4 ) = 0  3.  x ² + y ² + 4 x - 2 y + 4 = 0 

4.  x ² + y ² - 2 x - 4 y = 0  5.  2 

6.  2  3 

7.  ± 2 8.  k > 5

9.  ( x + 1 ) ² + ( y - 2 ) ² = 9  10.  ( x + 2 ) ² + ( y - 1 ) ² = 2  11.  x ² +  y (  - 4 ) ² = 5  12.  ( x + 2 ) ² + ( y + 1 ) ² = 9 

作業研究：1.○ A 2.○ D 3.○ D 4.○ C 5○ C 6.○ B 7.○ A 8.○ B 9.○ A 10.○ B 11.K=-2，-6 12.K= 

2 

9  13.-7

14.圓心(3，-5)，r=  31  ，面積 31π 15.(-8，3)

16.圓心(-2，5)，r=3 17.

î í ì

+ -

= +

=

q q

  sin  3  1 

cos  3  3  Y 

x 0 £ q £ 2 p

18.max 2  13  ，min -2  13  19.max 1+  20 ，min 1-  20  20. x² + y ² + 2 x - 4 y - 20 = 0 

主題二 圓與直線之關係

1. 圓與點之關係

圓內一點 圓上一點 圓外一點

平面上一點 P ( x ₀ , y ₀ ) 及圓 C : x ² + y ² + Dx + Ey + F = 0 ，  F 

Ey  Dx  y  x  y  x 

f ( ,  ) =  ² + ² + + +

2. 圓與直線之關係

相離 相切 相割

(1) 圓 C : ( x - h ) ² + ( y - k ) ² = r ² 之圓心與直線  0 

: ax + by + c =

L  之距離 

2 

2  b 

a  c  by  d ah 

+ +

= +

a. 相離 Û d > r Û 圓與直線不相交

b. 相切 Û d = r Û 圓與直線不相交於一點 c. 相割 Û d < r Û 圓與直線相交於兩點

(2) 化簡消去 y，得 x 之ㄧ元二次方程式 Ax ² + Bx + C = 0 (或  ) 

,  ( x ₀  y ₀ 

f  _{< 0 = 0 > 0}

)  ,  ( x ₀  y ₀ 

P  在圓內 在圓上 在圓外

化簡消去 x，得 y 之ㄧ元二次方程式 Ay ² By + C = 0 )，判 別式 

d

=B ² - 4 AC 

a. 相離 Û d < 0Û 圓與直線不相交

b. 相切 Û d = 0Û 圓與直線不相交於一點 c. 相割 Û d > 0Û 圓與直線相交於兩點 3. 點、直線與圓之距離

(1) 圓外一點 P ( x ₀ , y ₀ ) 與圓 C : ( x - h ) ² + ( y - k ) ² = r ² ，圓心

與 P 之距離 d = ( x ₀ - h ) ² + ( y ₀ - k ) ²  a. 最長距離 M = d + r 

b. 最短距離 m = d - r  c.  M + m = 2 d 

d.  M - m = 2 r 

(2) 圓外一直線 L : ax + by + c = 0 與圓 

2  2 

2  (  ) 

)  ( 

: x  h  y  k  r 

C - + - = ，圓心到直線之距離 

2 

2  b 

a  c  by  d ah 

+ +

= +

a. 最長距離 M = d + r  b. 最短距離 m = d - r  c.  M + m = 2 d 

d.  M - m = 2 r  (3) 弦心距與弦長

圓 C : ( x - h ) ² + ( y - k ) ² = r ² 與直線 L : ax + by + c = 0  相交於 A、B

兩點 a. 弦心距 

2 

2  b 

a 

c  by  d  ah 

OM

+ +

= +

=

b. 弦 AB = 2 r  r ² - d ² 

M 

m 

)  ,  ( x ₀  y ₀  P  (h,k) 

r 

M 

(h,k)  m  r 

r  r

(h,k)  r  d 

A  B

4. 已知兩圓的圓心與半徑分別為 O  、 ₁  O  與 ₂  r  、 ₁  r ₂  (1) 兩圓相切：

○ 1 當 O ₁ O ₂  = r ₁ + r ₂ 時，表示兩圓外 切兩圓有一條公切線。

○ 2 當 O 1 O 2 = r 1 - r 2 時，表示兩圓 兩圓有一條公切線。

(2) 兩圓相離：

○ 1 當 O ₁ O ₂ > r ₁ + r ₂ 時，表示兩圓外離兩 圓有四條公切線。

○ 2 當 0 < O ₁ O ₂ < r ₁ - r ₂ 時，表示兩圓 內離兩圓沒有公切線。

(3) 兩圓相割：

○ 1 當 r 1 + r 2  < O 1 O 2 < r 1 + r 2 時，表示兩圓相割，兩圓有兩條公切線。

【外切】 【內切】

【外離】

【內離】

【相割】

教師解析

設圓方程式： 

18  ) 

1  (  )  4 

( x -  ² + y + ²  = ，試判別 點 ( - 2 , - 4 ) 在圓之外部、內部或圓 上？

解：

自我挑戰

1. 設圓方程式： 

2  17 

2 + y  =

x  ，試判別點 ( - 1 , 4 )  在圓之外部、內部或圓上？

2. 設圓方程式： 

1  )  1  (  )  4 

( x +  ² + y - ² = ，試判別 點 (- 4 , 1 ) 在圓之外部、內部或 圓上？

若點 (- 1 , 3 ) 在圓 

0  4 

2  2 

2 + y  + x - y + a =

x  之外部，

求 a 之範圍？

解：

3. 若點 (  a  在圓 1 ,  )  8  )  2  (  )  1 

( x +  ² + y - ² = 之內 部，求 a 之範圍？

4. 若點 (k  在 , 1 ) 

0  2  6 

2  2 

2 + y  - x - y + =

x  之

上，求 k？

試判別直線 L : x +  y 2 + 9 = 0 與 圓 x ² + y ² + 2 x + 3 y + 1 = 0 之相 交情形。

解：

5. 試判別直線 L : x - y - 1 = 0  與圓 x ² + y ² - 2 x - 4 y - 4 = 0 之 相交情形。

6. 試判別直線  : 

L  3 x + 4 y + k = 0 與圓  0  4  4 

2  2 

2 + y  + x - y - =

x  之相交

情形。

試求圓心為原點，且與直線  4 

3 = -  y 

x  相切的圓方程式。

解：

7. 試求圓心為 ( 1 , 1 ) ，且與直線  0 

4 = - + y 

x  相切的圓方程式。

8. 試求圓心為原點，且與直線  0 

2 = + - y 

x  相切的圓方程式。

直線 x + y - 3 = 0 裁圓  1  )  1  (  )  1 

( x -  ² + y - ² = 於 A、B 兩點，

試求弦 AB 之長。

解：

9. 圓 x ² + y ² - 2 x + 4 y - 4 = 0  與直線 3 x +  y 4  - 5 = 0 相交於 A、B 兩點，試求弦 AB 之長。

10. 圓 x ² + y ² = 25 與直線  0 

5 = + + y 

x  相交於 A、B 兩點，

試求弦 AB 之長。

試求點 ( - 至圓 3 ,  1 )  0  1  4 

2  4 

2 + y  + x - y - =

x  之最遠距

離與最近距離。

解：

11. 試求點 ( 4 , 3 ) 至圓 

2  3 

2 + y  =

x  之最遠距離與最近

距離。

12. 試求點 ( 4 , 2 ) 至圓 

2  4 

2 + y  =

x  之最遠距離與最近

距離。

試求圓 x ² + y ² - 4 x - 6 y - 3 = 0 上 之動點 P (  y x ,  ) 到直線 

0  7  4 

3 x +  y + = 之最長距離與最短 距離。

解：

13. 試求圓 

25  )  2  (  )  1 

( x -  ² + y - ² = 上之動 點 P (  y x ,  ) 到直線 

0  14  4 

3 x +  y + = 之最長距離 與最短距離。

14. 試求圓 x ² + y ² = 5 上之 動點 P (  y x ,  ) 到直線 

0  15  4 

3 x +  y + = 之最長距離 與最短距離。

試求兩圓 

0  95  4 

2  2 

2 + y  - x - y - =

x  及 

0  48  12 

2  8 

2 + y  - x - y + =

x  之關

係.。

解：

15. 兩圓同心， x ² + y ² = 1 與 

2  2 

2 + y  =

x  所圍區域面積？

16. 求兩圓 

0  1  2 

2  6 

2 + y  - x - y + =

x  與 

0  3 

2  4 

2 + y  + x + =

x  之內功切

線段長與外公切線段長？

作業研究

1. 平面上圓 C 

:  ( 

x 

-  2  ) 

²

+ ( 

y 

- 1  ) 

² 

= 25 

與直線 

: 

L 

3

x 

+  y  4  + 5  = 0 

的交點為 A 和 B，設圓 C 的圓心為Ｏ，則 三角形ＯＡＢ之面積為○ A ₈○ B 12○ C ₁₆○ D ₂₀○ E 24。

2. 設圓 x ² + y ² = 25 與直線 x + y + 5 = 0 ，交於Ａ、Ｂ兩點，則 A 與 B 之間的距離為○ A 5  2 ○ B 2  5 ○ C ₅○ D ₁₀。

3. 假設直線 L : 3 x +  y 4  + 10 = 0 ，若點 P 在單位圓上移動，假 設點 P 與 L 的最長距離為 a，最短距離為 b，則 a - b 等於○ A  1  ○ B 2○ C ₃○ D 4○ E ₅。

4. 設直線 3 x + 4 y + k = 0 ( > k  0 ) 與圓  : 

C  x ² + y ² + 2 x - 4 y - 4 = 0 相切，則 k 之值為○ A ₄○ B ₁₀○ C  20○ D ₂₆。

5. 茲有一圓 C : x ² + y ² + 2 x - 4 y - 4 = 0 ，其一弦 AB 之中點座

標為 ( 1 , 1 ) ，則弦 AB 之長為○ A 2○ B ₃○ C 4○ D ₈。

6. 點 ( 3 , 1 ) 至圓 x ² + y ² + 2 x + 4 y - 11 = 0 的最短距離等於○ A ₁○ B  4○ C ₅○ D ₉ 

7.  3 x + 4 y + k = 0 與 x ² + y ² + 2 x - 4 y - 4 = 0 恰有兩交點，求 k 之範圍？

8.  x - y + k = 0 為 x ² + y ² = 2 之切線，則 k＝？

9. 圓 2 x ² + 2 y ² - 8 x - 5 y + k = 0 與 x 軸相切，求 k＝？

～解答～

自我挑戰：

1. 圓上 2. 圓內 3.  0 < a < 4  4. K=3，-1 5.相割，有兩交點 6. - 20 < k < 10 

7. ( x - 1 ) ² + ( y - 1 ) ² = 2  8. x ² + y ² = 2 

9. 2  5  10. 5  2 

11.最長距離 5 + 3 ，最短距離 5 - 3  12 最長距離 2 5 + ，最短距離 2  2 5 - 2 

13.最長距離 10，最短距離 0

14.最長距離 3 + 5 ，最短距離 3 - 5  15.π

16.外公切線長=  30 ，內公切線長=  42 

作業研究：1.○ B 2.○ A 3.○ B 4.○ B 5○ C 6.○ A 7. - 10 < k < 20 

8.K=±2 9. K=4

主題三 圓之切線方程式

3. 圓之切線方程式

(1) 已知切點 ( x ₀ , y ₀ ) 時…..切線恰有一條

a. 圓 C : ( x - h ) ² + ( y - k ) ² = r ² ，則切線方程式為 

2  0 

0  )(  )  (  )(  ) 

( x - h  x - h  + y  - k  y - k  = r 

b. 圓 C : x ² + y ² + Dx + Ey + F = 0 ，則切線方程式為  2  0 

2 

0  0 

0 

0 + + =

´ + +

´ +

+  y  y  F 

x  E  D  x 

y  y  x  x 

(2) 已知圓外一點 ( x ₀ , y ₀ ) 時…..切線有兩條 a. 設切線方程式為 y - y ₀ = m ( x - x ₀ )  b. 利用 d = r 或 d =0 求ｍ之值

F若ｍ只有一解，則另一切線為 x = x ₀  (3) 已知切線率為ｍ時…..切線有兩條

a. 設切線方程式為 y = mx + b  4. 切線段長

圓外一點 P ( x ₀ , y ₀ ) 對圓作切線之切線段長l  (1) 圓 C : ( x - h ) ² + ( y - k ) ² = r ² ， 

2  2  0  2 

0  )  (  ) 

( x  h  y  k  r 

l = - + - -

(2) 圓 C : x ² + y ² + Dx + Ey + F = 0 ，  F  Ey  Dx  y 

x 

l =  ₀ ² + ₀ ² + ₀ + ₀ + (h,k) 

l  T 

r 

)  ,  ( x ₀  y ₀  P

教師解析

試求過圓 x ² + y ² + 4 x - 3 y + 5 = 0  上一點 (- 1 , 2 ) 之切線方程式。

解：

自我挑戰

1. 試求過圓 

34  )  3  (  )  2 

( x -  ² + y - ² = 上一點  ) 

2  ,  1 

( - - 之切線方程式。

2. 試求過圓 

25  )  2  (  )  3 

( x -  ² + y + ² = 上一點  ) 

1  ,  1 

(- 之切線方程式。

試求過點 ( - 且與圓 7 ,  1 ) 

2  25 

2 + y  =

x  相切之直線方程式。

解：

3. 試求過原點且與圓  0  8  6 

2  2 

2 + y  - x - y + =

x  之直

線方程式。

4. 試求過點 ( 2 , 1 ) 且於圓 

2  1 

2 + y  =

x  相切之直線方程

式。

試求斜率為2且與圓 x ² + y ² = 5  相切之直線方程式。

解：

5. 試求斜率為2且與圓 

2  4 

2 + y  =

x  相切之直線方程

式。

6. 試求斜率為 - 2 且與圓 

2  1 

2 + y  =

x  相切之直線方程式。

試求自點 ( 5 , 2 ) 到圓  0  5  4 

2  4 

2 + y  - x + y - =

x  所作之

線段長。

解：

7. 試求自點 ( 2 , 1 ) 到圓 4  )  2  (  )  1 

( x +  ² + y - ² = 所作之線 段長。

8. 試求自點 ( - 到圓 1 , 3 )  0  1  4 

2  2 

2 + y  + x - y + =

x  所作之

線段長。

作業研究

1. 通過點 A ( 4 , 2 ) 且與圓 x ² + y ² - 2 x + 4 y - 20 = 0 相切的直線

○ A 有相異兩條○ B 方程式為 4 x -  y 3  = 20 ○ C 方程式為  20 

4 

3 x +  y = ○ D 方程式為 3 x -  y 4  = 20 ○ E 方程式為  20 

3 

4 x +  y = 。

2. 設直線 L : y = mx + 2 與圓 C : x ² + y ² = 1 相切，則 m 值為○ A  3

-

< 

m  或 m >  3 ○ B -  3 < m < 3 ○ C m =  3 ○ D  3

±

= 

m  。

3.  P ( 2 , 0 ) 為圓 x ² + y ² - 2 x + 6 y = 0 上一點，則過 p點的切線 方程式為○ A x -  y 3 - 2 = 0 ○ B x +  y 3 - 2 = 0 ○ C 

0  4  3 

2 x -  y - = ○ D 2 x +  y 3  - 4 = 0 。

4. 圓 x ² + y ² = 10 上一點 ( 1 , 3 ) 的切線斜率等於○ A _{- 3} ○ B  3  - 1 ○ C  1○ D ₃。

5. 若 L : mx - y + 2 = 0 與圓 C : x ² + y ² = 1 相切，則 = m  ○ A  6

± ○ B _{± 3} ○ C ± 3 ○ D _{± 1} 。

6. 點 P ( - 2 , 4 ) 到圓 C : x ² + y ² - 4 x + 2 y + 4 = 0 之切線段長為

○ A  2 ○ B 2  2 ○ C ₄○ D 3  2 。

～解答～

自我挑戰：

1.  3 x +  y 5  + 13 = 0  2.  4 x -  y 3  + 7 = 0 

3.  7 x + y = 0 ， x - y = 0 4.  y - 1 = 0 ， 4 x -  y 3  - 5 = 0  5.  y =  x 2 ± 2  5 

6.  y = - 2 ± x  5  7.  6 

8.  5 

作業研究：1.○ C 2.○ D 3.○ B 4.○ B 5○ C 6.○ B

重點回顧

q 圓方程式：

² 標準式：

( 

x - h 

)

² + ( y - k ) ² = r ² 

² 一般式： x ² + y ² + Dx + Ey + F = 0 

Ø 當 D ² + E ² - 4 F > 0 時，圖形為一圓(實圓)，圓心為

÷ ø - ö ç è æ - 

2  2 

E 

D ， ，半徑 

2 

2  4 

2  E  F 

r D  + -

=

Ø 當 D ² + E ² - 4 F = 0 時為一點圓或稱退化圓(一點)，

點座標為 ÷

ø - ö ç è æ - 

2  2 

E  D ，

Ø 當 D ² + E ² - 4 F < 0 時為一虛圓(無圖形)

² 直徑式： ( x , x ₁ )( x , x ₂ ) + ( y , y ₁ )( y , y ₂ ) = 0 

² 參數式：

î í ì

+

= +

=

q q

  sin  cos  r  k  y 

r  h 

x 0 £ q < 2 p q 圓與直線之關係：

圓 C : ( x - h ) ² + ( y - k ) ² = r ² 之圓心與直線 L : ax + by + c = 0  之距離  2  2 

b  a 

c  by  d ah 

+ +

= +

² Û d > r Û 圓C與直線L相離(無交點)

² Û d = r Û 圓C與直線L相切(交於一點)

² Û d < r Û 圓C與直線L相割(交於二點) F若圓C與直線L交於 A、B 兩點，則弦長 

2 

2 r  r 2  d 

AB = -

q 圓之切線方程式：切點 ( x ₀ , y ₀ ) ，切線之求法 q  x ² ® x ₀ x  y ² ® y ₀ y 

2  x 0 

x x +

®  2 

y 0 

y y +

® 

)  )( 

(  ) 

( x - h ² ® x ₀ - h  x - h 

)  )( 

(  ) 

( y - k ² ® y ₀ - k  y - k 

q 切線段長：圓外一點 ( x ₀ , y ₀ ) 

²  l = ( x ₀ - h ) ² + ( y ₀ - k ) ² - r ² 

²  l =  x ₀² + y ₀ ² + Dx ₀ + Ey ₀ + F 

歷屆試題

1. 在座標平面上 ( x ² + y ² - 4 )( x ² + y ² - 9 ) £ 0 所圍的區域面積 等於○ A

p

○ B 2 p ○ C 3 p ○ D 5 p 。

【85 保甄】

2. 設平面上三點 P ( 0 , 0 ) ， Q ( 2 , 0 ) ， R ( 0 , 4 ) ，則通過P，Q，R  三點的圓方程式為○ A ( x + 1 ) ² + ( y + 2 ) ² = 5 ○ B 

5  ) 

1 

( x -  ² + y ² = ○ C x ² +  y (  - 2 ) ² = 5 ○ D ( x - 1 ) ² + ( y - 2 ) ² = 5 。

【85 日商】

3. 圓 x ² + y ² - 2 x + 4 y + 1 = 0 之圓心到點 ( 4 , 2 ) 之距離為○ A 1○ B  2○ C ₃○ D ₄○ E ₅。

【85 日工】

4. 下列圓方程式何者與直線 x +  y 2 - 5 = 0 相切於點 P ( 3 , 1 ) ？

○ A x ² + y ² - 2 x - 4 y = 0 ○ B x ² + y ² + 4 x - 2 y = 20 ○ C  8 

4 

2  2 

2 + y  - x + y =

x  ○ D x ² + y ² - 4 x + 2 y = 0 。

【85 日商】

5. 通過二圓 x ² + y ² = 9 ， ( x -  2 ) ² + ( y - 2 ) ² = 4 之交點之直

線方程式為○ A  0 

2  2 

9 = -

+ y 

x  ○ B  0 

2  2 

9 = +

+ y 

x  ○ C 

0  2  2 

4 = -

+ y 

x  ○ D  0 

2  2 

4 = -

+ y 

x  。

【85 二夜】

6. 從點 ( 2 , 1 ) 至一圓 x ² + y ² = 1 之切線方程式的斜率為○ A ₀或 

3 

4 ○ B 1或  4  3 ○ C 

5 

4 或2○ D 1或2。

【86 保甄】

7. 設圓方程式為 x ² + y ² - 4 x + 6 y + 11 = 0 且點 P ( - 2 ,  1 ) ，則下 列何者正確？○ A 圓心為 ( 2 , 3 ) ○ B 半徑為2○ C _P點在圓內○ D _P點 在圓外○ E 以上皆非。

【86 日工】

8. 已知斜率為3且與圓 x ² + y ² = 25 相切之直線方程式○ A

10  5  3 ±

=  x 

y  ○ B _{y =  x 3 ± 10  5} ○ C y =  x 3 ± 5 ○ D y =  x 3 ± 10 。

【86 日商】

9. 設直線 3 x -  y 4  + 5 = 0 與圓 x ² + y ² - 6 x + 8 y = a 相切，則

= 

a  ○ A ₉○ B ₁₁○ C ₂₄○ D ₃₉。

【87 保甄工】

10. 圓： 2 x ² + 2 y ² - 8 x - 5 y + k = 0 與 x 軸相切，則 k = ○ A ₈○ B  8

- ○ C  8  25 ○ D 

8  - 25 。

【87 保甄商】

11. 設直線 L : 2 x - y + 2 = 0 與圓 C : ( x - 2 ) ² + ( y + 1 ) ² = 4 ，則下 列何者正確？○ A 圓C之半徑為4○ B 直線L與圓C相交於二點

○ C 直線L與圓C相切○ D 直線L與圓C不相交。

【87 日工】

12. 圓 x ² + y ² + 4 x - 6 y + 3 = 0 ，則過圓上一點 P ( 1 , 2 ) 之切線L  之方程式為○ A x +  y 3 - 1 = 0 ○ B 3 x + y - 1 = 0 ○ C x -  y 3 - 1 = 0 ○ D 

0  1 

3 x - y - = 。

【87 日商】

13. 已知圓 C : x ² + y ² - 16 = 0 ，直線 L : 3 x -  y 4  - 10 = 0 ，設圓C  與直線L相交於P、 Q 兩點，則PQ之長為○ A 2  3 ○ B 3  2 ○ C 

3 

4  ○ D 6  2 。

【87 日商】

14. 參術方程式 ï ï î ï ï í ì

= + +

=  -

1  2 

1  1 

2  2  2 

t  y  t 

t  x  t 

， t Î [- 1 , 1 ] ，為下列何者圖形之ㄧ部

分？○ A 圓○ B 拋物線○ C 橢圓○ D 雙曲線。

【85 日工】

15. 在座標平面上，直線 x - y = 1 與圓 x ² + y ² - 4 x + 8 y + 4 = 0  之關係為○ A 相交於一點○ B 相交於相異兩點○ C 相交於相異三點

○ D 不相交。

【87 北夜】

16. 設C表以 ( 1 , 2 ) 為圓心，半徑為2之圓，直線  : 

L  12 x -  y 5  = 28 ，則下列敘述何者正確？○ A 向量 ( 5 , 12 ) 為直線  L之ㄧ個法向量○ B 圓C的圓心在直線L上○ C 圓C與直線L相 切○ D 圓C與直線L相交於兩點。

【87 中夜】

17. 空間一點 ( 3 , 5 , 4 ) 到球面 x ² + y ² + z ² - 2 x - 4 y + 4 z = 0 的最 短距離為○ A ₁○ B ₂○ C ₃○ D ₄。

【88 推甄】

18. 過點 A ( 1 , 2 ) 像圓 x ² + y ² = 4 作二切線，令二切點為P、Q ， 圓心為O，則四邊形 APOQ 的面積為○ A ₈○ B 2  5 ○ C ₄○ D ₂。

【88 保甄工】

19. 設點 A ( - 3 ,  1 ) 到圓 x ² + y ² + 4 x - 4 y - 1 = 0 之最遠距離為  M ，最近距離為 m ，則 M ´ m = ○ A 3  34 ○ B ₄₃○ C 25  3 ○ D ₂₅。

【88 保甄商】

20. 圓 x ² + y ² - 4 x + 6 y - 12 = 0 之圓心與點 ( 4 , 5 ) 所連成之直線 的斜率等於○ A ₂○ B ₄○ C ₆○ D ₈。

【88 日工】

21. 下列圓方程式何者與直線 x +  y 2 - 5 = 0 相切與點 P ( 3 , 1 ) ？

○ A x ² + y ² - 2 x - 4 y = 0 ○ B x ² + y ² + 4 x - 2 y = 20 ○ C  8 

4 

2  2 

2 + y  - x + y =

x  ○ D x ² + y ² - 4 x + 2 y = 0 。

【88 日商】

22. 過圓外一點 ( 5 , 2 ) 與圓 x ² + y ² - 2 x - 4 y + 1 = 0 相切之直線 方程式的斜率為○ A ± 2 ○ B 

2 

± 2 ○ C ± 3 ○ D  3 

± 3 。

【88 日商】

23. 設平面上有兩圓 C ₁ : x ² + y ² + 2 x - 4 y - 5 = 0 ，及 

2 : 

C  x ² + y ² - 6 x + 2 y - 11 = 0 ，則其連心線段長為○ A ₈○ B ₇○ C  6○ D ₅。

【88 嘉南夜】

24. 若圓的方程式為 x ² + y ² - 6 x + 5 = 0 則下列敘述何者正確？

○ A 圓心為 ( 0 , 0 ) ○ B 半徑為3○ C 點 ( 0 , 0 ) 在圓內○ D 點 ( 2 , 3 ) 在圓上

○ E 點 ( 3 , 2 ) 在圓上。

【88 推甄工】

25. 若方程式 x ² + y ² + 6 x - 4 y + c = 0 之圖形為一點 (  b a ,  ) ，則  c 

b 

a + + 之值為○ A ₁₆○ B ₁₅○ C ₁₄○ D ₁₃○ E ₁₂。

【89 推甄工】

26. 若圓的方程式為 x ² + y ² - 6 x + 5 = 0 則下列敘述何者正確？

○ A 圓心為 ( 0 , 3 ) ○ B 半徑為3○ C 點 ( 3 , 2 ) 在圓上○ D 點 ( 2 , 3 ) 在圓上○ E 點 ( 0 , 0 ) 在圓內。

【89 推甄商】

27. 直線 L : 2 x + y + 4 = 0 圓 C : x ² + y ² - 2 x - 4 y + 1 = 0 ，則直線  L與圓C有幾個交點？○ A ₃○ B ₀○ C ₄○ D ₁○ E ₂。

【89 保甄】

28. 由圓 ( x + 2 ) ² + ( y - 6 ) ² = 16 所圍成之面積等於○ A 4 p ○ B p 

8  ○ C 12 p ○ D16 p 。

【89 日工】

29. 如右圖，已知圓O的直徑為 a，則圓O的內接正 D ABC 之面 積為

○ A  ²  8 

3 a  ○ B  ²  16 

3  3  a 

○ C  ²  16 

3 a  ○ D  ²  8 

3 a  。

【89 日商】

30. 圓 C : x ² + y ² = 1 外一點 P ( - 2 ,  2 ) 到圓C的切線方程式為○ A  ) 

2  )( 

7  4  (  6 

3 y +  = - ± x - ○ B _{3 y - 6 = ( 4 ± 7 )( x - 2 )} ○ C  ) 

2  )( 

7  4  (  3 

6 y +  = - ± x - ○ D _{6 y + 3 = ( 4 ± 7 )( x - 2 )} 。

【89 日商】

31. 設過 A (- 1 , 2 ) ， B ( - 3 ,  4 ) 兩點之直線為L，則下列敘述何者正

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｏ

確？○ A 原點到L之距離為  13 ○ B _L與平面座標軸相交的兩截 距和是5○ C L與圓： ( x + 2 ) ² + ( y - 2 ) ² = 4 相切○ D 垂直於L且過 點 ( 1 , 1 ) 之直線方程式為 2 x -  y 3  + 1 = 0 。

【89 中夜】

32. 設圓心為 (- 2 , 3 ) 之ㄧ圓與直線 L : 3 x +  y 4  - 16 = 0 相切，則此 圓之面積為○ A10 p ○ B 8 p ○ C 6 p ○ D 4 p 。

【89 南夜】

33. 設一圓 x ² + y ² + 2 x - 4 y - 20 = 0 ，求過圓上一點 ( 3 , 5 ) 的切 線方程式？○ A 4 x +  y 3  - 27 = 0 ○ B 3 x +  y 4  - 29 = 0 ○ C 

0  3  3 

4 x -  y + = ○ D 3 x -  y 4  + 11 = 0 。

【90 學測工】

34. 若圓 C : x ² + 6 ax + y ² = 64 的面積為100 p ，則 a 可以是下列 中的哪一個？○ A _{- 2} ○ B _{- 1} ○ C ₁○ D ₄。

【90 學測商】

35. 已知圓過點 ( 4 , 0 ) 、 (- 4 , 0 ) 、 ( 0 , 3 ) ，若此圓半徑為 r，則 = r  ？

○ A 4○ B  6 

25 ○ C ₅○ D  5  26 。

【91 學測工】

36. 試求平面上通過 A ( 0 , 0 ) ， B ( 6 , 6 ) 兩點，且圓心在y軸上的圓 方程式為何？○ A x ² + y ² - 12 y = 0 ○ B x ² + y ² - 6 x - 6 y = 0 ○ C 

0  8 

2  4 

2 + y  - x - y =

x  ○ D x ² + y ² - 8 x - 4 y = 0 。

【91 學測商】

37. 圓 x ² + y ² + 4 x + 8 y = 0 所圍成的面積為何？○ A p  4 

5  ○ B 5 p ○ C p 

10  ○ D 20 p 。

【91 學測商】

38. 三個半徑為2的圓，兩兩外切且內切於正三角形，如右圖，

則此正三角形之邊長為

○ A ₆ 

○ B 4 +2  3 

○ C ₈ 

○ D 4 + 4  3 。

【91 學測工】

39. 已知直線 3 x +  y 4  + 1 = 0 與圓 x ² + y ² - 6 y - 5 = 0 交於A、B  兩點，則 AB  ○ = A 2○ B 2  2 ○ C 2 11 ○ D 4  11 。

【91 學測工】

40. 設 a > 0 ，若圓 x ² + y ² + 2 ax - 1 = 0 與直線 x + y = 3 相切，

則 = a  ？○ A ₁○ B ₃○ C ₅○ D ₇。

【92 統一入學】

41. 圓 x ² + y ² + 2 x - 4 y - 4 = 0 上的點到直線 x - y = 5 之最短距 離為何？○ A 3 2 - ○ 3 B 4 2 - ○ 3 C ₃○ D ₅。

【92 統一入學】

42. 若一正方形的外接圓為 x ² + y ² - 4 x - 4 y + 4 = 0 ，則此正方 形的面積為○ A ₂○ B ₄○ C ₈○ D ₁₆。

【93 統一入學】

43. 在坐標平面上，若不計單位，一圓之面積為圓周長的2倍，

則此圓半徑為何？○ A ₂○ B ₄○ C ₆○ D ₈。

【94 統一入學】

44. 在坐標平面上，設k為整數，若點 ( k -  k 4 ,  - 2 ) 在圓  13 

)  2  (  )  1 

( x +  ² + y - ² = 的內部，(不在圓上)，則k共有幾個？○ A  1○ B ₂○ C ₃○ D ₄。

【95 統一入學】

45. 設 m 、b為實數，若直線 y = mx + b 經過點 (- 1 , 1 ) 且與圓  0 

10  2 

2  6 

2 + y  - x + y - =

x  相切，則 m + b = ？○ A 4○ B ₅○ C ₆○ D ₇。

【96 統一入學】

46. 下列何者為方程式  )  2  0 

2  (  3  2  ) 

( x + y ² - xy - x + y  + = 之圖 形？○ A 一點○ B 一直線○ C 圓心為  ,2 ) 

2 

(- 3  ○ D 半徑為  2 

5 之圓。

【96 統一入學】

47. 試問在坐標平面上，斜率為  2 

1 且通過 

0  4  4 

2  2 

2 + y  + x - y - =

x  之圓心的直線方程式為何？○ A 

0  5  2 + = -  y 

x  ○ B 2 x - y + 5 = 0 ○ C x +  y 2 + 5 = 0 ○ D  0 

5 

2 x + y + = 。

【96 統一入學】

～解答～

歷屆試題：

1.○ D 2.○ D 3.○ E 4.○ D 5○ A 6.○ A 7.○ D 8.○ A 9.○ B 10.○ A 11.○ D 12.○ D 13.○ C 14.○ A 15.○ B 16.○ C 17.○ D 18.○ D 19.○ D 20.○ B 21.○ D 22.○ D 23.○ D 24.○ E 25.○ E 26.○ C 27.○ B 28.○ D 29.○ B 30.○ A 31.○ D 32.○ D 33.○ A 34.○ A 35.○ B 36.○ A 37.○ D 38.○ D 39.○ C 40.○ D 41.○ B 42.○ C 43.○ B 44.○ D 45.○ B 46.○ D 47.○ A