過已知三點之正多邊形及稱引多邊形性質研究

過已知三點之正多邊形及稱引多邊形性質研究

高雄市立高雄高級中學 姚尚汶 指導老師 黃仁杰

Abstract

Inspired by the circumcircle, the project aims to study the regular polygon through three points and symmetry-induced polygon, which could generalize Fermat point and Napoleon’s theorem. In addition, Fermat point and Napoleon’s theorem are generalized not only the plotting method but the original properties.

中 中 中文 文 文摘 摘 摘要 要 要

靈感來源來自屬於國中範圍的「過三頂點的外接圓」, 本研究主要分成兩部分: 一是“過已知 三點之正 n 邊形”, 分別為過已知三點之正 n 邊形的作法, 面積最大值探討；二則是“稱引多邊 形”, 可分為過已知 n 點之正 n 邊形, 稱引多邊形的性質.

其中, 本作品的重點和最有價值的結果在於研究四中成功對費馬點以及拿破崙定理在稱引多 邊形的條件下推廣, 並且不只是把費馬點和拿破崙定理的作法推廣到稱引多邊形, 而是將其在三 角形中的部分相關性質也一併推廣.

1 簡 簡 簡介 介 介

1.1 研 研 研究 究 究動 動 動機 機 機

國中在學三角形的三心時有學到: “給定不共線三點可找到通過此三點的外接圓”. 此時, 我突然想到那麼是否也可以找到通過這三個頂點的正三角形呢? 以此類推, 正方形呢? 甚 至是正 n 邊形呢? 這個突然浮現的問題讓我開始了這一連串的探索.

1.2 研 研 研究 究 究目 目 目的 的 的

(1) 求作過已知三點之正 n 邊形.

(2) 過已知三點之正 n 邊形的面積和周長的最大值探討.

(3) 過已知 n 點之正 n 邊形性質探討.

(4) 推廣並探討費馬點和拿破崙定理與過已知點之正 n 邊形的關係及其性質.

(5) 外拿破崙多邊形一般性探討.

1.3 文 文 文獻 獻 獻探 探 探討 討 討

在全國科展第 51 屆高中數學組的一份作品你你你泥泥泥中中中有有有我我我, 我我我泥泥泥中中中有有有你你你中, 對過 n 點之正 n 邊形有與本研究類似的結果. 而兩篇作品的異同之處在於: 文獻探討的是過任意 n 點之正 n 邊形分別在無解, 只有一解, 無限多解的狀況; 而本研究則是由過三點之正 n 邊形得到 了稱引 n 邊形, 確認過稱引 n 邊形之等角 n 邊形為正多邊形後在稱引多邊形上推廣了費 馬點和拿破崙定理, 此推廣在文獻中是沒有提到的.

1.4 名 名 名詞 詞 詞定 定 定義 義 義

(1) 過已知點之正多邊形: 已知 A, B, C 三點為不共線三點, 若存在一正 n 邊形, 使得 A, B, C 三點都在其邊或邊的延長直線上, 則我們稱此正 n 邊形為過 ΔABC 之正 n 邊形, 符號記為 N1N2. . . Nn. 另外, 在本研究中再增加一項限制條件: 已知三點須分 別在正多邊形的三個相鄰邊上; n 個點以此類推.

(2) 過已知點之正多邊形的旋轉: 若過 ΔABC 之正三角形的頂點 N1 以 D 點為旋轉中 心, 順(逆)時針旋轉至 N₁^′(N₁^′′) , 則另外二個頂點也會分別旋轉至 N₂^′, N₃^′(N₂^′′, N₃^′′), 此為 ΔN1N2N3 的旋轉.

(3) 過已知點之最大正多邊形: 將正多邊形 N1N2. . . Nn 旋轉, 當其面積與周長為最大值 時, 稱此正多邊形為最大正多邊形.

(4) 稱引多邊形: 從外拿破崙多邊形(定理 6 )的證明中可得由定理 3 所得到的 n 個點可 由 P 點關於正 n 邊形 O1O2. . . On 之各邊對稱引出, 故我們稱多邊形為稱引多邊形, 符號記為 A1A2. . . An.

(5) 廣義費馬點: 我們將費馬點推廣到多邊形的情況, 但其只存在於稱引多邊形中, 我們 稱此點為廣義費馬點(定理 5 ), 符號記為 P .

(6) 拿破崙多邊形: 我們將拿破崙定理推廣到正多邊形的情況, 但其只存在於稱引多邊 形中, 我們稱此正多邊形為拿破崙多邊形(定理 6, 定理 7 ), 外拿破崙多邊形符號記 為 O1O2. . . On; 內拿破崙多邊形符號記為 I1I2. . . In. 另外, 拿破崙多邊形的頂點在 此簡稱為拿破崙頂點;拿破崙多邊形的外接圓簡稱為拿破崙外接圓, 以此類推.

1.5 預 預 預備 備 備定 定 定理 理 理

(1) 維維安妮定理. 正多邊形內任一點到各邊的距離之和等於定值.

(2) 費馬點. 若有一點 P , 使之到的 ΔABC 三個頂點之距離和為最小, 則 P 點稱為

△ABC 的費馬點;另外, 存在唯一的費馬點與三個頂點的連線形成三個 120^○的夾角.

(3) 拿破崙定理. 以三角形各邊分別向外(內)側作正三角形, 則這三個正三角形的外心會 構成一個正三角形, 並稱為外(內)拿破崙三角形;且內, 外拿破崙三角形有共同的外 心.

1.6 研 研 研究 究 究結 結 結果 果 果

1.6.1 求求求作作作過過過已已已知知知三三三點點點之之之正正正 n 邊邊邊形形形 定

定

定理理理 1. 若分別以 A1A2, A2A3 為底, 作出頂角為 (n − 2)π

n 的等腰三角形的外接圓 O1 及 圓 O2, 在圓 O1 上取一點 N1 連←→N1A1,←→N1A2 , 且←→N1A2 交圓 O2 於 N2, 再連←→N2A3, 以 N1A2 為邊長, ∠A1N1A2 為內角作通過 A1, A2, A3 三點的正 n 邊形 N1N2. . . Nn, 則正 n 邊形 N1N2. . . Nn 即為過 ΔABC 之正 n 邊形.

1.6.2 過過過已已已知知知三三三點點點之之之正正正多多多邊邊邊形形形的的的面面面積積積最最最大大大值值值探探探討討討 定

定

定理理理 2. 若 N1N2 ⊥ P A2, 則 N1N2. . . Nn≥ N₁^′N₂^′. . . N_n^′, 等號成立若且唯若 N₁^′N₂^′ ⊥ P A2

時.

性 性

性質質質 1. P, O1, N1 共線, P, O2, N2 共線.

性 性

性質質質 2. P A2⊥ N1N2, P A1⊥ NnN1, P A3 ⊥ N2N3 .

1.6.3 過過過已已已知知知 n 點點點之之之正正正 n 邊邊邊形形形性性性質質質探探探討討討 定

定

定理理理 3. 若同時作數個過 ΔA1A2A3 的正 n 邊形, 則這些正 n 邊形的邊都會交於另外 (n − 3) 個相同的點 A4A5. . . An.

定 定

定理理理 4. 若在圓 O1 取一點 N1 , 作→N1A2 交圓 O2 於 N2 , 再作 →N2A3 交圓 O3 於 N3 以 此類推, 最後連 NnA1N1 作出 N1N2. . . Nn後, 則 N1N2. . . Nn 為正 n 邊形.

性 性

性質質質 4. 圓 O1, O2, . . . , On 皆交於一點 P . 性

性

性質質質 5. 若 N1N2. . . Nn 為最大正 n 邊形, 則 P, Oi, Ni 共線, P Ai⊥ NiNi−1.

1.6.4 推推推廣廣廣並並並探探探討討討費費費馬馬馬點點點和和和拿拿拿破破破崙崙崙定定定理理理與與與過過過已已已知知知 n 點點點之之之正正正 n 邊邊邊形形形的的的關關關係係係及及及其其其性性性質質質 定

定

定理理理 5.(廣義費馬點)若在稱引多邊形各邊上作出圓 O1, O2, . . . , On , 則其共同交點 P 為 多邊形之費馬點

性 性

性質質質 6. ∠AiP Ai+1 = 2π n . 性

性

性質質質 7. 若已知稱引多邊形 A1A2. . . An 及其費馬點 P , 往 A1A2. . . An 每邊外側作頂角 為 (n − 2)π

n 的等腰三角形 ΔAiJiAi+1, 則

(1) 假如 n = 2k + 1, 則 A1J1+k= A2J2+k= ⋅ ⋅ ⋅ = AiJi+k, 且皆交於費馬點 P .

(2) 假如 n = 2k, 則 A1A1+k= A2A2+k= ⋅ ⋅ ⋅ = AiAi+k, J1J1+k = J2J2+k = ⋅ ⋅ ⋅ = JiJi+k, 且皆交於費馬點 P .

定 定

定理理理 6. 7.(拿破崙定理)

(1) 若 A1A2. . . An各邊向外作頂角為 (n − 2)π

n 的等腰三角形的外心 O1, O2, . . . , On, 則 O1O2. . . On 是正 n 邊形, 稱為外拿破崙 n 邊形.

(2) 若 Ii 為 AiAi+1 向內側作正 n 邊形之外心, 則

a. 假如 n = 2k + 1 , 則 I1I2. . . In 為正 n 邊形, 稱為奇內拿破崙 n 邊形.

b. 假如 n = 2k , 則因為 Ii= Ii+k, 故 I1I2. . . Ik 為正 k 邊形, 稱為偶內拿破崙 n 邊形.

性 性

性質質質 8. Ii 和 P 關於直線 OOi 對稱.

性 性

性質質質 9. A1A2. . . An 之內, 外拿破崙多邊形有共同外心 O.

性 性

性質質質 10. 稱引多邊形與其拿破崙多邊形有共同重心.

性 性

性質質質 11. 令過 A1A2. . . An 之正 n 邊形的各頂點為 Ni, 外心為 C, 和 A1A2. . . An 之內 拿破崙多邊形為 I1I2. . . In, 費馬點為 P , 則

(1) Ni, Ii, C 共線;

(2) P, C, I1I2. . . Ik 共圓 O ( n = 4 時, I1I2 為直徑).

性 性

性質質質 12. 令過已知 n 點之正多邊形 N1N2. . . Nn, N₁^′N₂^′. . . N_n^′ 的外心為 C, C^′, 其中 N1N2. . . Nn 為最大正 n 邊形, 則

(1) CP 為圓 O 直徑;

(2) N₁^′N₂^′. . . N_n^′ = N1N2. . . Nn× cos²∠CP C^′.

2 研 研 研究 究 究內 內 內容 容 容

2.1 求 求 求過 過 過已 已 已知 知 知三 三 三點 點 點之 之 之正 正 正 n 邊 邊 邊形 形 形

定 定

定理理理 1. 已已已知 ΔA1A2A3, 則過 ΔA1A2A3 之正 n 邊形作法如下:

1. 分別以 A1A2, A2A3 為底, 作出頂角為 (n − 2)π

n 的等腰三角形的外接圓 O1 及圓 O2.

2. 在圓 O1 上取一點 N1 連 ←→

N1A1,←→

N1A2 , 且 ←→

N1A2 交圓 O2 於 N2, 再連 ←→

N2A3. 3. 以 N1N2為邊長, ∠A1N1A2為內角作通過 A1, A2, A3 三點的正 n 邊形 N1N2. . . Nn,

則正 n 邊形 N1N2. . . Nn 即為所求.

▲ 圖 (1) 證

證

證明明明. 可知只須證明正多邊形邊長延長線會通過三角形各頂點即可, 以下以←→N1Nn

為例.

∵ { ∠A¹N1Nn+ ∠A2P A1= π , 如圖 (2a)

∠A1N1A2 = ∠A1P A2 , 如圖 (2b) ∴ N1, Nn, A1 三點共線.

以此類推, N1, N2, A2 三點共線, N2, N3, A3 三點共線, 故得證.

▲ 圖 (2a) ▲ 圖 (2b)

2.2 過 過 過已 已 已知 知 知三 三 三點 點 點之 之 之正 正 正多 多 多邊 邊 邊形 形 形的 的 的面 面 面積 積 積最 最 最大 大 大值 值 值探 探 探討 討 討

定 定

定理理理 2. 若 N1N2 ⊥ P A2, 則多邊形面積 N1N2. . . Nn≥ N₁^′N₂^′. . . N_n^′, 等號成立若且唯若 N₁^′N₂^′ ⊥ P A2 .

▲ 圖 (3a) ▲ 圖 (3b) 證

證

證明明明. 如圖 (4), 已知圓 O1, O2 兩交點分別為 A2, P , 先將 N1A2N2 水平平移至 GP H, 再將 N₁^′N₂^′ 水平平移至 GI.

∵ ∠GIH = ∠A2N₂^′H = ∠A2N2H = π

2 ∴ ΔGHI 為直角三角形 ⇒ GH > GI

⇒ N1N2 > N₁^′N₂^′, 得證.

▲ 圖 (4)

性 性

性質質質 1. P, O1, N1 三點共線, P, O2, N2 三點共線.

證 證

證明明明. ∵ ∠N1A2P = π

2 ∴ N1P 為直徑 ⇒ P, O1, N1 三點共線 同理, P, O2, N2 三點共線, 得證.

性 性

性質質質 2. P A2⊥ N1N2, P A1⊥ NnN1, P A3 ⊥ N2N3. 證

證 證明明明.

∵ N1A2P A1 為圓內接四邊形 ∴ ∠N1A1P = π − ∠N1A2P = π 同理, ∠N2A3P = π 2

2, 得證.

性 性

性質質質 3. 令 A1, A2, A3 之座標分別為 0, z2, z3, 則過 ΔA1A2A3 之最大正 n 邊形面積為 n cotπ

n∣ (z3

2 − z2) i cot2π n −z3

2 ∣²

證 證

證明明明. 可知 N1N2 = 2O1O2

O1= z2(1

2 + ti) = sz2(cos(n − 4)π

2n − i sin(n − 4)π

2n ) , t, s ∈ R

= sz2(sin2π

n − i cos2π n ) s sin2π

n = 1

2 ⇒ s = 1

2 sin^2π_n ⇒ t = −s cos2π n = −1

2cot2π n . 帶回原式, 可得

O1= z2(1 2 −1

2i cot2π n ) O2= s(z2− z3) (sin2π

n + i cos2π

n ) + z3= 1

2(z2+ z3) + ti(z2− z3), t, s ∈ R

⇒ s (sin2π

n + i cos2π n ) = 1

2+ ti ⇒ s sin 2π n = 1

2

⇒ s = 1

2 sin^2π_n ⇒ t = s cos2π n = 1

2cot2π n . 帶回原式, 可得

O2= 1

2(z2+ z3) + 1

2i(z2− z3) cot2π n O1O2 = ∣O1− O2∣ = ∣z2(1

2 −1

2i cot2π n ) −1

2(z2+ z3) + 1

2i(z2− z3) cot2π n ∣

= ∣ (3z3

2 − z2) i cot2π n − z3

2 ∣ N1N2= 2O1O2= 2∣ (z3

2 − z2) i cot2π n −z3

2∣ N1N2. . . Nn = n

2(2∣ (z3

2 − z2) i cot2π n − z3

2 ∣ ×csc^π_n 2 )

2

× sin2π n

= n cotπ n∣ (z3

2 − z2) i cot2π n −z3

2∣²

.

▲ 圖 (5)

2.3 過 過 過已 已 已知 知 知 n 點 點 點之 之 之正 正 正 n 邊 邊 邊形 形 形性 性 性質 質 質探 探 探討 討 討

定 定

定理理理 3. 若同時有好幾個個過 ΔA1A2A3 的正 n 邊形, 則這些正 n 邊形除了會通過點 A1, A2, A, 3 外, 也都會的交於點 A4, A5, . . . , An 這 (n − 3) 個點.

▲ 圖 (6a)

▲ 圖 (6b) 證

證

證明明明. 如圖 (7), 設 N1N2⊥ P A2, 連 P O2N2, P N₂^′, N2N₂^′.

∵ N1N2, N₁^′N₂^′ 以 P 點位似, 且 ΔN1N2N3∼ ΔN₁^′N₂^′N₃^′

∴ N2N3, N₂^′N₃^′ 以 P 點位似

⇒ ΔN2P N3∼ ΔN₂^′P N₃^′ ⇒ ∠P N₃^′N₂^′ = ∠P N3N2

⇒ { ∠P N^3′A3 = ∠P N3N2, 如圖 (7a);

∠P N₃^′A3+ ∠P N3N2= π, 如圖 (7b).

⇒ P, N3, N₃^′, A3 共圓 O3.

∵ ∠A3N3N4 = ∠A3N₃^′N₄^′ = (n − 2)π

n ∴←→N3N4 和←→

N₃^′N₄^′ 交圓 O3 於同一點 A4. 以此類推, 故得證.

▲ 圖 (7a)

▲ 圖 (7b)

逆定理亦成立:

定 定

定理理理 4. 若在圓 O1 取一點 N1, 作 →N1A2 交圓 O2 於 N2, 再作 →N2A3 交圓 O3 於 N3 以 此類推, 最後連 NnA1N1 作出 N1N2. . . Nn 後, 且已知 LNi = π(n − 2)

n 則 N1N2. . . Nn

為正 n 邊形.

證 證

證明明明. 連 NnA1, A1N1 , 得 N1N2. . . NnA1 為 (n + 1) 邊形.

可知 ∠N1+ ∠N2+ ⋅ ⋅ ⋅ + ∠Nn+ ∠N1A1Nn= π(n − 1).

因為 ∠N1+ ∠N2+ ⋅ ⋅ ⋅ + ∠Nn= π(n − 2), 所以 ∠N1A1Nn = π, 所以

Nn, A1, N1共線 (1)

由定理 3 的證明可知過 A1A2. . . An 的最大正 n 邊形 N₁^′N₂^′. . . N_n^′ 必成立,

∵ N_i^′N_i+1^′ , NiNi+1 以 P 點位似, 所以

N1N2= N2N3= ⋅ ⋅ ⋅ = NnN1 (2) 由 (1), (2) 得證.

在文獻“你泥中有我, 我泥中有你”中將可作出無限多組過 n 點之正 n 邊形的 n 邊形 視為特例, 而我們發現這種 n 邊形其實只要由三個相鄰頂點就可決定, 如定理 3, 已知點 A1, A2, A3 就可作出點 A4, A5, . . . , An .

性 性

性質質質 4. 圓 O1, O2, . . . , On 皆交於一點 P . 證

證

證明明明. 如圖 (8), 已知 ∠A2N2A3 = ∠A3N3A4 = (n − 2)π

n , ∠A1P A2= ∠A2P A3= 2π n 作 ΔP A3N3 之外接圓 O3, 並在圓 O3 上取一點 A4 使得 ∠A3N3A4= 3π

5 , 同理, 作 ΔP A4N4 之外接圓 O4, 再取 A5 等; 最後連接 NnN1,

證 P, An, Nn, A1 四點共圓.

∠Nn= (n − 2)π −ⁿ⁻¹∑

k=1∠Nk = (n − 2)π

n , ∠AnP A1= 2π −ⁿ⁻¹∑

k=1∠AkP Ak+1 = 2π n

∠Nn+ ∠AnP A1= (n − 2)π n + 2π

n = π, ∴ P, An, Nn, A1 共圓

⇒ P 為圓 O1, O2, . . . , On 之共同交點, 得證.

▲ 圖 (8)

性 性

性質質質 5. 若 N1N2. . . Nn 為最大正 n 邊形, 則 P, Oi, Ni 共線, P Ai ⊥ NiNi−1 . 證

證

證明明明. 同性質 1, 性質 2.

2.4 推 推 推廣 廣 廣並 並 並探 探 探討 討 討費 費 費馬 馬 馬點 點 點和 和 和拿 拿 拿破 破 破崙 崙 崙定 定 定理 理 理與 與 與過 過 過已 已 已知 知 知 n 點 點 點之 之 之正 正 正 n 邊 邊 邊形 形 形的 的 的關 關 關係 係 係 及 及 及其 其 其性 性 性質 質 質

2.4.1 費費費馬馬馬點點點和和和第第第二二二費費費馬馬馬點點點的的的推推推廣廣廣 定

定

定理理理 5 (費馬點). 若在稱引多邊形 A1A2. . . An 各邊上作出圓 O1, O2, . . . , On , 則其共同 交點 P 為多邊形 A1A2. . . An 之費馬點.

證 證

證明明明. 如圖 (9), 設已存在 A1A2. . . An 及圓 O1, O2 之交點 P , 由性質 5 可知過 A1A2. . . An 之最大正 n 邊形 N1N2. . . Nn 滿足 NiNi−1 ⊥ P Ai. 在 N1N2. . . Nn

中取任意一點 K 與 P 點不重合, 設 K 到各邊之長度依次為 h1, h2, . . . , hn , 並 連接 KA1, KA2, . . . , KAn .

由勾股定理可知 KAi> hi ⇒ ∑ⁿ

k=1KAk> ∑ⁿ

k=1hk. . . 1 而由維維安尼定理可知 ∑ⁿ

k=1hk= ∑ⁿ

k=1P Ak. . . 2 綜合 1 2 可得 ∑ⁿ

k=1P Ak< ∑ⁿ

k=1KAk, 得證.

▲ 圖 (9)

性 性

性質質質 6. ∠AiP Ai+1 = 2π n . 證

證

證明明明. 如圖 (10), 已知 AiNiAi+1P 為圓內接四邊形 ⇒ ∠AiNiAi+1+ ∠Ai+1P Ai= π 得證 ∠AiP Ai+1= π − ∠AiNiAi+1 = 2π

n .

▲ 圖 (10)

性 性

性質質質 7. 若已知稱引多邊形 A1A2. . . An 及其費馬點 P , 往 A1A2. . . An 每邊外側作頂角 為 (n − 2)π

n 的等腰三角形 ΔAiJiAi+1, 則

(1) 假如 n = 2k + 1, 則 A1J1+k = A2J2+k= ⋅ ⋅ ⋅ = AiJi+k, 且皆交於費馬點 P .

(2) 假如 n = 2k, 則 A1A1+k = A2A2+k = ⋅ ⋅ ⋅ = AiAi+k, J1J1+k = J2J2+k = ⋅ ⋅ ⋅ = JiJi+k, 且 皆交於費馬點 P .

▲ 圖 (11a) ▲ 圖 (11b)

證 證

證明明明. 1. n = 2k + 1.

(1) AiJi+k 皆交於費馬點 P . 此處須要先用到稱引多邊形的概念: 設已存在一正 n 邊形 O1O2. . . On, 並有任意一點 P , 則 A1A2. . . An 為 P 點關於 O1O2. . . On

各邊作對稱所得的圖形. 先將問題簡化, 以 n = 5 為例, 如圖 (12a), 由稱引多 邊形定義知 P 點以 O3O4 對稱於 A4, 意即等價於證 P J1 ⊥ O3O4, 且又因為 O3O4  O2O5, 所以只須證明 P J1 ⊥ O2O5. 令 ←→P J1 交 ←→O2O5 於 Y , ←→P A2 交

←→O1O2 於 Z, 再連 ←→O1O2 交 ←→P J1 於 X, 如圖 (12b).

∵ ∠A2P A1+ ∠A2J1A1= ∠A2P A1+ ∠O5O1O2 = π, ∴ P, A1, A2, J1 共圓.

∵ ∠A2P J1= ∠A2A1J1= ∠O1O2O5 , 且∠P XZ = ∠Y XO2

∴ ΔP XZ ∼ ΔO2XY (AA 相似) ⇒ ∠XY O2 = ∠XZP = π

2 ⇒ P J1 ⊥ O2O5, 得 證.

▲ 圖 (12a) ▲ 圖 (12b)

(2) A1J1+k = A2J2+k = ⋅ ⋅ ⋅ = AiJi+k. 以 n = 5 為例, 令 J1P 中點為 M1, O3O4 垂直 平分 P A4 於 K1, O1H1⊥ O3O4 於 H1. 可得知 M1K1= 1

2J1P . . . 1 ∵ J1P 為 圓 O1 之弦 ∴ O1M1⊥ J1P

又 ∵ O1M1 ⊥ J1P , P K1⊥ O3O4, O1H1⊥ O3O4, ∴ O1M1K1H1 為矩形

⇒ M1K1= O1H1. . . 2 由 1 2 , 得 A4J1= 2O1H1

以此類推, AiJi+k= 2Oi+kHi+k. . . 3 又知 O1H1= O2H2= ⋅ ⋅ ⋅ = OiHi. . . 4

由 3 4 , 得證 A1J1+k= A2J2+k = ⋅ ⋅ ⋅ = AiJi+k.

2. n = 2k 證明雷同, 其中可得 AiAi+k= 2OiOi+k+1, JiJi+k= 2OiOi+k 故得證.

▲ 圖 (13)

▲ 圖 (14)

當 P 點到 O1O2. . . On 外時, 若且唯若 A1A2. . . An 有至少一內角大於 (2n − 4)π

n ,

P 點到 A1A2. . . An 各頂點的距離和就不為最小值, 但性質 6, 性質 7 仍成立; 其中, 若 A1A2. . . An 為凹多邊形, 則此大於 (2n − 4)π

n 之內角的頂點與各頂點距離和最小, 如圖 (15a) ;若 A1A2. . . An 為折多邊形, 則到各頂點距離和最小的點無法作出, 在圖 (15b) 中 估計約為 K 點位置.

▲ 圖 (15a)

▲ 圖 (15b)

我們試著將這結論帶入到任意 n 邊形看是否會成立, 卻發現圓 O1, O2, . . . , On 不會 交於同一點, 利用程式也觀察出其費馬點可以不在圓的任何交點上, 故可知此處的廣義費 馬點的存在沒有一般性.

2.4.2 拿拿拿破破破崙崙崙定定定理理理之之之推推推廣廣廣 定

定

定理理理 6 (外拿破崙多邊形). 若 A1A2. . . An 各邊向外作頂角為 (n − 2)π

n 的等腰三角形的 外心 O1, O2, . . . , On, 則 O1O2. . . On 是正 n 邊形.

▲ 圖 (16) 證

證

證明明明. 如圖 (17) , 作過 A A . . . A 最大正 n 邊形 N N . . . N , 連 O O , 再由

性質 5 連 P OiNi ∵ P Oi= OiNi ⇒ OiOi+1= 1

2NiNi+1,

且 OiOi+1 NiNi+1 ⇒ N1N2. . . Nn∼ O1O2. . . On ∴ O1O2. . . On 為正 n 邊形, 得證.

▲ 圖 (17)

因為兩圓 Oi−1, Oi 之交點 P, Ai 以連心線對稱, 故可將 A1A2. . . An 考慮為以 P 點 關於正 n 邊形 O1O2. . . On 之各邊對稱後連線的多邊形, 並將其命名為稱引多邊形.

此處的外拿破崙多邊形的存在沒有一般性.

定 定

定理理理 7 (內拿破崙多邊形). 若 Ii 為 AiAi+1 向內側作正 n 邊形之外心, 則 (1) 假如 n = 2k + 1, 則 I1I2. . . In 為正 n 邊形.

(2) 假如 n = 2k, 則因為 Ii= Ii+k, 故 I1I2. . . Ik 為正 k 邊形(其中當 n = 4 時, 則只存在 I1I2, 無法形成正多邊形).

▲ 圖 (18a) ▲ 圖 (18b)

證 證

證明明明. 在證明 I1, I2, . . . , In 形成正 n 邊形前, 首先先證明下面這個性質:

性 性

性質質質 8. 設 O 為外拿破崙 n 邊形的中心, 將 Ai 視為 P 關於 Oi−1Oi 的對稱點(其中 On

= O0), I2 為 A2A3 向內作正 n 邊形的中心, 則 Ii 和 P 關於直線 OOi 對稱.

證 證

證明明明. 如圖 (19), 設 A2, A3 關於 OO2 的對稱點分別為 A^′₂, A^′₃, 則只需證 P 為 A^′₂A^′₃ 向

ΔP A^′₂A^′₃ 的外心, 又

∠P O2A^′₃= 2π − ∠A^′₃O2A3− ∠A3O2P = 2π − 2(π − ∠OO2A3) − 2∠A3O2O3

= 2(∠OO2A3− ∠A3O2O3) = 2∠OO2O3= π − 2π n . 同理可證得 ∠P O2A^′₂ = π −2π

n , 故 ∠A^′₃P A^′₂= 2π

n 且 P A^′₂= P A^′₃, 於是得證 I2 和 P 關於直線 OO2 對稱, 以此類推.

▲ 圖 (19) ▲ 圖 (20)

現在回到原題, 如圖 (20), 由上性質可推得 OP = OI1= OI2= ⋅ ⋅ ⋅ = OIn, 且

∠I1OI2= ∠I1OP − ∠I2OP = 2∠P OO1− 2∠P OO2= 2∠O1OO2= 4π

n , 同理可得

∠I2OI3= ∠I3OI4 = ⋅ ⋅ ⋅ = ∠InOI1 = 4π

n , 所以多邊形 I1I2. . . In 形成正 n 邊形得 證.(註: 當 n 為偶數時, 由 ←→OOi=←→OiOi+ⁿ₂ 可知 Ii 和 Ii+ⁿ₂ 重合, 故此時此圖形為正

n

2 邊形.)

此處的內拿破崙多邊形仍沒有一般性.

性 性

性質質質 9. A1A2. . . An 之內, 外拿破崙多邊形有共同外心 O.

▲ 圖 (21a) ▲ 圖 (21b)

證 證

證明明明. 由內拿破崙多邊形的證明中可知 OI1 = OI2= ⋅ ⋅ ⋅ = OIn, 即得證 O 為 I1I2. . . In 之 外心.

性 性

性質質質 10. 稱引多邊形與其拿破崙多邊形有共同重心.

證 證

證明明明. 利用複數解析, 以 O1O2. . . On 的中心 O 為原點, O1 的座標為 1, 記 ω = cos2kπ n + i sin2kπ

n , 則可知 Ok= ω^k−1, k = 1, 2, . . . , n . 我們先導出 P 關於任意兩點 A, B 的對稱點的座標公式. 設 P, A, B 的複數座標分別為 p, a, b, 設 P 到 AB 的垂足座 標為 z, 則 z 滿足:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩ z − a a − b ∈ R Re (p − z

z − b) = 0

⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩ z − a

a − b = z − a a − b p − z

a − b = −p + z a − b

⇒ { (b − a)z + a(a − b) = (b − a)z + a(a − b)(b − a)z + p(a − b) = (b − a)z + p(a − b) 將兩式相加, 得

2(b − a)z = p(b − a) + p(b − a) + (ab − ba) ⇒ z = b − a

2(b − a)p + 1

2p + ab − ab 2(b − a). 所以對稱點的座標為

2z − p = b − a

b − ap + ab − ba b − a . 回到原題, 所以可知 P 關於 OkOk+1 的對稱點為

ω^k− ω^k−1

ω^k− ω^k−1p + ω^k−1ω^k− ω^k−1ω^k

ω^k− ω^k−1 = ω^k− ω^k−1

ω^1−k− ω^2−kp + ω^k−1ω^1−k− ω^2−kω^k ω^1−k− ω^2−k

= ω^2k−1p + 1 − ω²

ω^1−k− ω^2−k = ω^2k−1p + ω^k−1− ω^k+1 1 − ω . 所以 n 個對稱點的重心座標為

1 n

∑n

k=1(ω^2k−1p + ω^k−1− ω^k+1 1 − ω ) = 1

n(p∑ⁿ

k=1ω^2k−1+ 1 1 − ω(∑ⁿ

k=1ω^k−1−∑ⁿ

k=1ω^k+1))

= 1

n(pω(1 − ωⁿ) 1 − ω² + 1

1 − ω(0 − 0)) = 0.

得證.

2.4.3 過過過 n 點點點之之之正正正 n 邊邊邊形形形, 廣廣廣義義義費費費馬馬馬點點點, 拿拿拿破破破崙崙崙多多多邊邊邊形形形之之之綜綜綜合合合性性性質質質 性

性

性質質質 11. 令過 A1A2. . . An 之正 n 邊形的各頂點為 Ni, 外心為 C , 和 A1A2. . . An 之 內拿破崙多邊形為 I1I2. . . In, 費馬點為 P , 則

(1) Ni, Ii, C 共線;

(2) P, C, I1I2. . . Ik 共圓 O (n = 4 時, I1I2 為直徑 ).

▲ 圖 (22a) ▲ 圖 (22b) 證

證

證明明明. 1. Ni, C, Ii 共線. ∵ AiIi= IiAi+1 ∴ ∠AiNiIi= ∠Ai+1NiIi

⇒→

NiIi 為 ∠AiNiAi+1 之角平分線 ⇒ C 在→

NiIi 上, 得證.

2. C 在 I1I2. . . In 之外接圓上.

已知 ∠N1CN2= 2π

n , 且 C 在 →NiIi 上 ⇒ ∠I1CI2 = ∠N1CN2= 2π n . 又 ∵ J1J2= 4π

n = 2∠I1CI2 ∴ C 在 I1I2. . . In 的外接圓上, 得證.

3. P 在圓 O 上.

由內拿破崙多邊形的證明可得 OP = OI1= OI2 = ⋅ ⋅ ⋅ = OIn, 得證.

性 性

性質質質 12. 令過已知 n 點之正多邊形 N1N2. . . Nn , N₁^′N₂^′. . . N_n^′ 的外心為 C, C^′, 其中 N1N2. . . Nn 為最大正 n 邊形, 則

(1) CP 為圓 O 直徑;

(2) N₁^′N₂^′. . . N_n^′ = N1N2. . . Nn× cos²∠CP C^′.

▲ 圖 (23)

證 證

證明明明. 1. CP 為圓 O 直徑.

考慮更強的命題: ∠P OC^′= ∠P OiN_i^′.

如圖 (24a) , 以正方形 ∠P O3N₃^′ 為例, 連 P I1, I1C^′N₃^′. 在圓 O 中, ∠P OC^′= 2∠P I1C^′.

在圓 O3 中, ∠P O3N3= 2∠P I1N₃^′. 故得 ∠P OC = ∠P O3N3.

以此類推, 可得 ∠P OC^′ = ∠P OiN_i^′;

其中由性質 5 可知 P, O, C 共線為最大正 n 邊形的特例, 得證.

2. N₁^′N₂^′. . . N_n^′ = N1N2. . . Nn× cos²∠CP C^′ 以性質 10 連 CI2N2, C^′I2N₂^′

⇒ ∠N1A2N₁^′ = ∠N2A2N₂^′ = ∠N2I2N₂^′ = ∠C^′I2C = ∠C^′P C

⇒ ∠N1A2N₁^′ = ∠C^′P C . . . 1

再由定理 2 之證明可得 N₁^′N₂^′ = N1N2× cos ∠N1A2N₁^′. . . 2 由 1 2 即可得證原題.

▲ 圖 (24a) ▲ 圖 (24b)

2.5 外 外 外拿 拿 拿破 破 破崙 崙 崙多 多 多邊 邊 邊形 形 形一 一 一般 般 般性 性 性猜 猜 猜測 測 測

猜 猜

猜測測測. 給定任意 n 邊形 B1B2. . . Bn 和任意一點 K, 作 KBi 中垂線, 令 KBi, KBi+1 之 中垂線交於 O^′_i , 則猜測 n 邊形 O^′₁O₂^′ . . . O_n^′ 為 n 邊形 B1B2. . . Bn 關於 K 點的外 拿破崙 n 邊形.

說 說

說明明明. 分別以 O_i^′ 為圓心, O^′_iP 為半徑畫圓, 並在圓 O^′₁ 上取一點 N1 , 同定理 1 方式作 出 n 邊形 N1N2. . . Nn , 會發現到 N1N2. . . Nn∼ O^′₁O₂^′ . . . O_n^′ ;且可推知: 當過 n 點之 n 邊形為正 n 邊形時, O^′₁O₂^′ . . . O_n^′ 即為外拿破崙 n 邊形的情況, 此也與 定理 6 的證明符合. 故也就合理猜測 O^′₁O₂^′ . . . O_n^′ 即為外拿破崙多邊形的一般性.

另外, B1B2. . . Bn 也可考慮為任意一點 K 以 O^′₁O₂^′ . . . O^′_n 每邊做對稱連線所 得的圖形.

▲ 圖 (25a)

▲ 圖 (25b)

應 應

應用用用. 可以直接作出任意多邊形的相似形, 並再用 ∠N1B2K 的大小即可控制其邊長比例.

3 未 未 未來 來 來展 展 展望 望 望

1. 證明拿破崙定理是否只存在於稱引多邊形中.

2. 將研究內容往三維空間發展: “任意不共面四點, 是否存在一正 n 面體使之每點皆在 正 n 面體的一面上”, 或“將費馬點, 拿破崙定理推廣到三維空間”等.

參

參 參考 考 考文 文 文獻 獻 獻

[1] 黃家禮(95), 幾何明珠, 九章出版社.

[2] H.S.M. 考克瑟特, S.L. 格雷策, 幾何學的新探索, 凡異出版社.

[3] 全國科展第 51 屆高中數學組, 你泥中有我, 我泥中有你.