注意：
允許學生個人、非營利性的圖書館或公立學校合理使用
本基金會網站所提供之各項試題及其解答。可直接下載
而不須申請。
重版、系統地複製或大量重製這些資料的任何部分，必
須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許
可。
申請此項授權請電郵
ccmp@seed.net.tw
Notice:
Individual students, nonprofit libraries, or schools are
permitted to make fair use of the papers and its
solutions. Republication, systematic copying, or
multiple reproduction of any part of this material is
permitted only under license from the Chiuchang
Mathematics Foundation.
Requests for such permission should be made by
e-mailing Mr. Wen-Hsien SUN
ccmp@seed.net.tw
2019 小學數學競賽選拔賽決賽試題
第 二 試: 綜合能力測驗 (考試時間 60 分鐘)
請將答案填入考卷中對應題號的空位內，每一題都必須詳細寫下想法或理由。 每題 20 分，共 60 分。 1. 已知正整數 a、b 滿足1≤ < ≤a b 60且a b× 能被 5 整除，請問符合此條件的不 同正整數對(a, b)總共有多少對？ 【參考解法1】 從1 到60的 60個數之中，有 12個數能被5 整除，有48個數不能被 5 整除。（5分） 若 a、b 都能被 5 整除，則可從能被 5 整除的 12 個數中選取二個，將較小的數 當作a，將較大的數當作b，此情況的數對有12 11 66 2 × = 對；（5 分） 若 a、b 中只有一個能被 5 整除，則可從能被 5 整除的 12 個數中選取一個，從 不能被 5 整除的 48 個數中選取一個，將較小的數當作 a，將較大的數當作 b， 此情況的數對有12 48 576× = 對。（5 分） 故符合此條件的不同正整數對(a, b)總共有 66+576=642對。（5 分） 【參考解法 2】 從 1 到 60 的 60 個數之中，有 12 個數能被 5 整除，有 48 個數不能被 5 整除。（5 分） 全部的正整數對共60 59=1770 2 × 對（5 分），其中兩數都不為 5 的倍數之正整數對共 48 47 =1128 2 × 對（5 分），因此符合條件的不同正整數對(a, b)總共有1770 1128− =642 對。（5 分） 【參考解法 3】 當a 為 5 的倍數時，b 可為a+1、a+2、…、60，共60−a個可能的取值，所以此 情況共有 (60 5) (60 10) (60 15) ... (60 55) 330− + − + − + + − = 個不同正整數對；（5 分） 當 b 為 5 的倍數時，a 可為 1、2、…、b−1，共b−1個可能的取值，所以此情 況共有 (5 1) (10 1) (15 1) ... (60 1) 378− + − + − + + − = 個不同正整數對；（5 分） 若 a、b 都能被 5 整除，則可從能被 5 整除的 12 個數中選取二個，將較小的數 當作a，將較大的數當作b，此情況的數對有12 11 66 2 × = 對；（5 分） 因此符合條件的不同正整數對(a, b)總共有330+378 66− =642對。（5 分） 答案：642 對 2. 有一個機器人可以根據使用者的合理指令生成一組數位編碼。小偉提出的指 令如下： （1）生成的每個編碼均為三位數（最左側的數碼不為 0）； （2）任意兩個編碼至多在一個數位上的數碼是對應相同的。 請問這個機器人至多可以生成多少個符合以上指令的編碼？【參考解法 1】 由題意可知，任兩個編碼至少在兩個數位的數碼是對應不同的。因此，編碼數 量不能超過 90 個。因為百位數只能為 1 至 9 這九個數碼，十位數可以為 0 至 9 這十個數碼，從而前面兩位數碼總共可以構成9 10× =90個不同的兩位數。若編 碼數量大於或等於91，由抽屜原理，至少有兩個編碼的前面兩位數碼對應相同， 矛盾。（5分） 現在構造 90 個編碼：前面兩位數碼取遍 10 至 99 這個 90 個號碼，第三位數碼 取前面兩位數碼之和的個位數。（5分） 下面說明這90 個編碼符合指令。對於任意兩個編碼，若前面兩位數碼已經對應 不同，則它們已經滿足要求；若前面兩位數碼只有一個對應不同，另外一個對 應相同，則第三位數碼肯定不同。假設後面一種情況第三位數碼相同，不妨設 這兩個編碼分別為abd、acd，其中0≤ < ≤c b 9，由構造的方法可知，只能是 10 a+ = + +b a c ，因此b− =c 10，不可能。所以第三位數碼不同。（10分） 【參考解法2】 正確列出所有 90 個符合指令的編碼。（10 分，如有任何一個缺漏或不符合指令 一律給0 分） 證明至多有90 個符合指令的編碼。（10分） 答案：90個 【評註】 這90 個編碼也可以這樣構造：前面兩位數碼取遍10至99這個 90個號碼，第 三位數碼取法為使得所有三個數碼之和為10的倍數。若前面兩位數碼只有一個 對應不同，另外一個對應相同，則第三位數碼肯定不同。 3. 已知 ABCD 為梯形，邊 AD 平行於 BC，對角線 AC 與 BD 交於點 O，過 O 作 OE 平行於 BC 交 CD 於點 E，且延長 OE 至點 F，使得OE =EF，如圖所 示。若AD=6cm、BC =10cm，梯形 ABCD 的面積為 64 cm2，請問三角形 ABF 的面積為多少cm2？ 【參考解法1】 連接 DF 與 CF，由平行線的性質可知三角形 AOF 與三角形 DOF 的面積相等、 三角形 BOF 與三角形 COF 的面積相等，所以四邊形 AOBF 與四邊形 DOCF 的 面積相等。由題意可知點 E 是線段 OF 的中點，所以三角形 DOC 與三角形 DCF 的面積相等，因此四邊形 DOCF 面積為三角形 DOC 面積的2倍。（5 分） A C B E F D O
因為 6 3 10 5 ACD ABD AD ABC = BCD = BC = = 三角形 的面積 三角形 的面積 三角形 的面積 三角形 的面積 ，所以三角形 ABD 面積為梯形ABCD面積的 3 3 5 3+ =8倍，即 3 64 24 8 × = cm2。（5分） 由三角形DOA 與三角形BOC相似可知 6 3 10 5 DO AD OB = BC = = . (或由共邊定理可知 3 5 DO ACD OB = ABC = 三角形 的面積 三角形 的面積 ) 從而 3 5 ADO DO ABO = OB = 三角形 的面積 三角形 的面積 。因此 三角形ABO面積為三角形 ABD面積的 5 5 5 3+ =8倍，即 5 24 15 8 × = cm2。（5分）
由題意可知 AD//BC，因此三角形 ABD與三角形 ACD的面積相等，兩邊同時減
去三角形AOD 的面積後可得知三角形ABO與三角形DOC 的面積相等。
綜上可得，因三角形ABF 的面積為三角形ABO與四邊形AOBF的面積和，而四
邊形AOBF與四邊形 DOCF的面積相等，且四邊形DOCF的面積為三角形DOC
面積的 2倍，再因三角形 ABO與三角形DOC 的面積相等，故三角形ABF 的面
積為三角形ABO面積的 3倍，即15 3× =45 cm2。（5分）
【參考解法2】
由題意可知AD//BC，因此三角形AOD與三角形 COB相似，即
6 3 10 5 DO AO AD OB =OC = BC = = 且 2 2 2 6 9 ( ) 10 25 AOD AD COB = BC = = 三角形 的面積 三角形 的面積 。（5 分）
令三角形 AOD 的面積為 9x，則三角形 COB 的面積為 25x。而三角形 AOD 與三
角形 COD 的面積都是9 5 15 3 x× = x。 故梯形 ABCD 的面積為9x+25x+15x+15x =64x，即x=1。因此三角形 AOB、 DOC 的面積都為 15 cm2（5 分） 連接 AE 與 BE。由平行線的性質以及OE=EF可知三角形 DOE、AOE、AEF 的 面積都相等，即三角形 AOF 面積為三角形 DOE 面積的 2 倍。同樣地，也可以 得知三角形 COE、BOE、BEF 的面積都相等，即三角形 BOF 面積為三角形 COE
面積的 2 倍。（5 分） A C B E F D O
而三角形 ABF 的面積是三角形 ABO、AOF、BOF 的面積總和，即為
15 2 15
15+ ×2 (三角形DOE面積 三角形+ COE面積)= + × =45cm2。（5 分）
【參考解法 3】
由題意可知 AD//BC，因此三角形 AOD 與三角形 COB 相似，即
6 3 10 5 DO AO AD OB = OC = BC = = （5 分） 因 AD=6cm、 BC =10cm、 梯 形 ABCD 的 面 積 為 64 cm2， 故 梯形的高 為 64 2 8 6 10+× = cm。接著延長 OF 交 AB 於點 G。 因 OE//AD，故 5 8 OE OC AD = AC = ，即可得知 5 5 15 6 8 8 4 OE= ×AD= × = cm； 因OE=EF，故 15 4 EF = cm；（5分） 因OG//BC，故 3 8 OG AO BC = AC = ，即可得知 3 3 15 10 8 8 4 OG= ×BC = × = cm；（5分） 故 45 4 GF =OG+OE+EF = 。因三角形 ABF 的面積為1 8 4 2× ×GF = GF，故可知 三角形ABF 的面積為4 45 45 4 × = cm2（5分）。 答案： 45 cm2 A C B E F D O G
