Unit 10 多項式

Unit 10 多項式 能力指標：◎（A-4-02）能認識多項式及相關名詞。 ◎（A-4-02）能熟練多項式的加法和減法。 ◎（A-4-02）能熟練多項式的乘法（利用分配律及直式算法來計算）。 ◎（A-4-02）能熟練多項式的除法（如長除法、分離係數法等）。 能力一：多項式的意義與化簡 一、多項式的意義：多項式係指『數字』和『文字符號 x』，藉由『加法』和『乘 法』所連結的數學式，稱為 x 的多項式。通常以文字符號的『最高次方數』 為此多項式的次數名稱。 二、多項式的判別 多項式中的文字 x 不可出現在『分母中』、『根號內』、『絕對值內』。 eg:以下皆非多項式： 1 -x, x+3 , x-7 x+3 …等 三、常數多項式 （一）常數多項式係指不含文字符號的多項式，有兩種類型（1）零次多項式、（2） 零多項式。 （二）零次多項式：若多項式 2 , 0, 0 , 0 ax +bx+c a= b= c 。 （三）零多項式：若多項式 2 , 0, 0 , =0 ax +bx+c a= b= c 。 四、同類項和升、降冪式 （一）同類項：在一多項式中，文字部分（含次數）相同的項，稱為同類項。同 類項的係數可以加減而整理為一項（合併），此過程稱為化簡。 （二）升、降冪式：在多項式中，依特定文字的次數由高至低順序排列，稱為降

( )

( )

( )

0 -d :稱為常數項 或零次項( ) -d = -dx

( )

-cx :由 "+" 所間隔的稱為 項" " 2 " b " : 稱為"x 的係數" 2 " x " : 稱為"變數" 3 x : 3為此多項式的名稱x的三次多項式

( ) ( )

3

2

-

-3

2

_-

-ax

bx

cx d

ax

bx

cx

d

+

=

+

+

+

3 2 3 2 a =0, b-1 =0, c-2 =1 a=0, b-1=0, c-2= 1 a=0, b=1, c=3 a=0, b=1, c=1 x +3x +dx+e x +x +dx+e       _    或 原多項式可為 或 均為三次多項式 a=2 a=2 a+b=3 b=1 a+b+c+d=2 b+c=0 c=-1 c+d=-1 d=0      _ _      _  冪式（常用）。而依特定文字的次數由低至高順序排列，稱為升冪式。 eg:

( )

( )

3 2 2 3 1 3x -4x +2x-5 x 2 2+3y-4y +5y y   的降冪式 的升冪式 （三）多項式的相等：若兩多項式相等，則其對應項係數相等。 eg: 2 2 ax +bx-c=dx -ex+f a=d, b=-e, -c=f  【多項式的意義】 講解一： （1）右邊各項數學式，何者非多項式呢？（A） 3 x+2（B） 3 x +3x+3（C）x +2x-12 （D） 2 3x - 2x（E） 2x -x+1 （2）若

(

)

2 1 3 -k+ x + x m為一次多項式，請問 k 值為何呢？ Sol) （1）非多項式的有：（A） 在分母x 、（C） 在絕對值中x 、（E） 在根號中x 。 （2）

(

)

2

( )

1 3 - k+1 =0, k=-1 k+ x + x m  Q 為一次多項式 練習一： （1）設 a、b、c、d、e 均為整數，且 2 a +3 b-1 + c-2 =1 ，則多項式 4 3 2 ax +bx +cx +dx+e的次數為何呢？ （2）若 3 2 3

(

)

2

(

) (

)

2x +3x -1=ax + a+b x + b+c x+ c+d ，請問 a+b+c+d 的值為何呢？ Sol)

（1）

【十分鐘即時練習】 （A）1.若一多項式 2 ax +bx+c，a、b、c 均為整數，且 2 a + b+1 +3 c+2 =1，請問 該多項式的次數為何呢？（A）零次或一次（B）零次或二次（C）一次或 二次（D）三次。 Sol)a =0, b+1 =1, c+2 =0 a=0, b=0 -2, c=-2 =-2 =-2x-2    或 多項式 或 多項式 多項式為零次或二次多項式 （B）2.若有一多項式為

(

3 2

) (

3

)

2 a x -x +b x -x+2 +x +ax+2為一次多項式，請問 a+b 為何呢？（A）-1（B）0（C）1（D）2。 Sol)

( )

( )

( )

3 2 3 2

a+b x + 1-a x + a-b x+2b-2

x x =0, a+b=0, 1-a=0 a=1, b=-1 a+b=0

   將式子做降冪排列 令 及 得 （C）3.假設有兩多項式分別相等 2

(

) (

)

2 ax + b-4a x+ 4a-2b-5 =3x -14x+c ，請問 a+b+c=？（A）9（B）10（C）11（D）12。

Sol) a=3, b-4a=-14, 4a-2b-5=c

a=3, b=-2, c=11 a+b+c=12   比較係數後 （A）4.請問右列的數學式中有多少個非多項式呢？（a）1-2 x （b） x +2（c） 2 x + x +1（d） 2 x x + -1 2 3 （e） 3 4 x - 2 x（f） 3 3x - 2x+1（g）2x +x-1。-3 （A）4（B）3（C）2（D）1（個）。 Sol)（a）x 在分母、（b）x 在根號、（c）x 在絕對值（g） -3 3 1 x = x x  在分母 。 （B）5.請問下列多項式中何者按升冪排列呢？（A） 4 2 x +x -2 （B）2 x+x -3 x2 2 3 3 （C） 3 2 x 2x -x + -1 2 （D） 3 5 2 4y -5y +y-3。 Sol) 2 x+x -3 x =4x+x -9x  升冪排列 2 2 3 3 2 3 能力二：多項式的加減運算 一、同類項才可以相加減。 二、假設 A、B 為兩多項式，其次數分別是 m、n，則： （一）若 m=n，則 A B 的次數不大於 m 次。 （二）若 m＞n，則 A B 的次數是 m 次。 eg:有三個多項式A=3x +2x +x+1, B=4x +3x , C=2x +3x-1 3 2 3 2

( )

(

) (

) (

) (

)

(

)

(

) (

)

( )

(

) (

) (

) (

)

( )

(

) (

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2A+3B=2 2x -3x-4 +3 3x -2x+5 = 4x -6x-8 + 9x -6x+15 = 4+9 x + -6-6 x+ -8+15 =13x -12x+7 2 3A-2B=3 2x -3x-4 -2 3x -2x+5 = 6x -9x-12 - 6x -4x+10 = 6-6 x + -9+4 x+ -12-10 =-5x-22 則 A+B=7x +2x +4x+13 2  最高次不大於 次3 A+C=3x +4x +4x3 2  最高次是 次3 【多項式的加減】 講解一： 假設 2 2

A=2x -3x-4, B=3x -2x+5試求 2A+3B 及 3A-2B 為何呢？ Sol) 練習一： （1）化簡（4x2_{－x－1）＋（6x}2_{＋8x＋4）後得 ax}2_{＋bx＋c，則 a＋b＋c＝？} （2）已知多項式 A＝ax3_{＋（b＋3）x}2_{＋（c－1）x－1，B＝2x}2_{＋（a－3）x＋（b} －c＋d），若 A＝B，則 a-b-c-d=？ sol) （1）化簡得 10x2_{＋7x＋3a＋b＋c＝20} （2）a＝0，b＋3＝2b＝－1，c－1＝a－3c＝－2，b－c＋d＝－1，d＝－2， a-b-c-d=0-(-1)-(-2)-(-2)=0+1+2+2=5 【十分鐘即時練習】 （C）1.化簡（4x2_{－6）＋（－3x}2_{＋4＋5x）＝ax}2_{＋bx＋c，則 a－b＋c＝？(Ａ)} －5 (Ｂ) 5 (Ｃ)－6 (Ｄ) 6 Sol)化簡結果為 x2＋5x－2，則 a－b＋c＝1－5－2＝－6

（A）2.鼎翔算數學題，題目是「兩多項式 A、B，B＝－3x2_{－4x＋5，求 A＋3B}

＝？」，但鼎翔將 3B 誤看成 5B，結果求出的答案是－2x2_{－9x＋16，請} 你幫她算出正確的答案？ (Ａ) 4x2_{－x＋6 (Ｂ)－4x}2_{－x＋6 (Ｃ)} 4x2＋x－6 (Ｄ)－4x2_－x－6。 Sol)A＋3B＝A＋5B－3B (－2x2－9x＋16)－2B＝－2x2_{－9x＋16－2（－3x}2_－4x ＋5）＝－2x2_{－9x＋16＋6x}2_{＋8x－10＝4x}2_－x＋6 （C）3.已知某一多項式與 3x2_{＋6x－2 的和為 2x＋1，則此一多項式的常數項為} 多少？ (Ａ) 5 (Ｂ) 4 (Ｃ) 3 (Ｄ) 2。 Sol) 1－（－2）＝3

（A）4.若 A＝（a－3）x3_{＋（b－2）x}2_{＋（a＋b－7）x＋5 為 x 的一次多項式，}

求 A＝？ (Ａ)－2x＋5 (Ｂ)－4x＋5 (Ｃ)－6x＋5 (Ｄ)－8x＋5。

A R A=BQ+R =Q+ B B  （B）5.有一多項式減去 4x2_{－7x－4 的差為 x}2_{＋8x＋3，則此多項式為下列何者？} (Ａ) 5x2＋x＋1 (Ｂ) 5x2_{＋x－1 (Ｃ) 3x}2_{＋x＋7 (Ｄ) 3x}2_＋x－7。

Sol) 設此多項式為 A，則 A＝4x2－7x－4＋x2_{＋8x＋3＝5x}2_＋x－1

能力三：多項式的乘除運算 一、多項式的乘法 （一）設 A、B 為 x 的多項式，其次數分別為 m、n，則 A×B 的次數為

(

m+n 次。

)

（二）多項式乘法的係數總和：有兩多項式相乘

(

2

)(

3 2

)

3x +2x-6 2x +3x -7 其乘積 之多項式係數總和為

(

3+2-6 2+3-7 =2

)(

)

。 （三）多項式乘法中單項係數求法：有兩多項式相乘

(

2

)(

2

)

x-7+5x -4x +3+9x 其乘 積中 2 x 項的係數為 1 9+ -7

( ) ( )

 -4 +5 3=52 二、多項式的除法 設兩多項式 A、B，A 除以 B 的商為 Q，餘式為 R，則： （1）kA除以B, 商式為kQ, 餘式為kR。 （2）A kB, Q, R k 除以 商式為 餘式為 。 （3）設 A、B 兩多項式之次數分別為 m、n，若 m＞n，A÷B 的商式為

(

m-n

)

次。 三、多項式的乘除與係數的關係 設兩多項式 A、B 的係數總和分別為 a、b，則： （1）A×B 的係數總和為 a×b。 （2）A÷B 的商式 Q，餘式 R 的係數總和分別是 q 與 r，則 a=bq+r 。 【多項式的乘法】 講解一： （1）若 16x2_{＋kx－6 與(2x＋3)(ax＋b)相等，其中 a、b、k 均為常數，則 k＝？} （2）已知 x2_{＋2x－17＝0，則（x＋7）（x＋3）（x－1）（x－5）＝？} Sol)

（1）（2x＋3）（ax＋b）＝2ax2_{＋3ax＋2bx＋3b＝2ax}2_{＋（3a＋2b）x＋3b 與 16x}2 ＋kx－6 比較係數得 a＝8，b＝－2 故 k＝（3×8－4）＝20 （2）x2_{＋2x＝17，（x＋7）（x－5）（x＋3）（x－1）} ＝（x2＋2x－35）．（x2_＋2x－3） ＝（17－35）．（17－3）＝－252 練習一： （1）如圖，求此圖形的面積為何呢？ （2）如圖，A、B、C、D 代表四個矩形的面積，則 A＝？ Sol) （1）

( ) (

) (

)

2 2 2 4x x +_ 4x-2  8x+6-x _=4x +28x +10x-12=32x +10x-12

（2）A＝（2a＋b）2_＝4a2_＋4ab＋b2_{＝4C＋4D＋B}

【多項式的除法】 講解二： （1）請問〔（2x2_{＋x－3）－（－x}2_{－3x＋4）〕÷（x－1）的商式為何？} （2）假若 6x4_－11x3_＋Px2_{＋2x＋Q 可以被（2x}2_{－x－1）整除，則 P＋Q＝？} Sol) （1）原式＝（2x2_＋x－3＋x2_{＋3x－4）÷（x－1）＝（3x}2_{＋4x－7）÷（x－1）} 商式=3x＋7 （2） 2 1 P－ _{＝2，P－1＝4，P＝5，Q＝－} 2 1 P－ _{＝－2，P+Q=3}

練習二： （1）求多項式 6x3_＋x2_{－3x－1 除以 2x＋1 的商式為何呢？} （2）求（x3_{－3x＋5）÷（x－1）的商式與餘式之和＝？} Sol) （1）商式=3x2_{－x－1 （2）商式加餘式=x}2_＋x＋1 【十分鐘即時練習】 （C）1.若（3x4_－5x2_{＋4x）÷3x 的商式為 x}3_{＋ax＋b，則 b＋a＝？ (Ａ)－3 (Ｂ)} 3 (Ｃ) 3 1 － (Ｄ) 3 1 。 Sol)（3x4－5x2_{＋4x）÷3x＝x}3_－ 3 5 x＋ 3 4 a＝－ 3 5 ，b＝ 3 4 ，b＋a＝4-5 3 ＝ 3 1 － （A）2.已知多項式 B 除以 x－1 得商式為 x＋5，餘式為 8，如果改將多項式 B 除 以 x＋1，則餘式＝？ (Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 2 (Ｄ) 3。 Sol) B＝（x－1）（x＋5）＋8＝x2_＋4x＋3 （C）3.假設 2x4_－x3_＋mx2_{＋x＋n 可被 2x}2_{＋x＋1 整除，則 2m＋n}2_{＝？ (Ａ)10} (Ｂ)12 (Ｃ) 14(Ｄ)16。 Sol)  2 m _{＝2，m＝4；n＝} 2 4_{＝2，則 2m＋2}2_{＝2×4＋4＝14} （A）4.多項式 a（x＋1）（x－2）＋b（x＋2）（x－1）＋（x－2）（x＋1）化簡

為 2x2_{＋3x＋c，則( a＋b＋c)}2_{＝？ (Ａ) 9 (Ｂ) 16 (Ｃ)25 (Ｄ)36。} Sol) a（x2－x－2）＋b（x2_{＋x－2）＋（x}2_{－x－2）＝2x}2_＋3x＋c （a＋b＋1）x2_{＋（－a＋b－1）x＋（－2a－2b－2）}   a＋b＝1 b－a＝4







a＝－3 2 b＝5 2，c＝－4 ，則(a＋b＋c)2_＝(-3) 2₌₉ （B）5.多項式（13x＋a）（bx＋c）＝221x2_{＋2x－3，其中 b＝？ (Ａ) 7 (Ｂ) 17 (Ｃ)} 27 (Ｄ) 37。 Sol) 13bx2＋abx＋13cx＋ac＝221x2_{＋2x－3，b＝221÷13＝17} 【基本觀念題】 （A）1.若（x－1）（58x＋7）＋（8x－7）2_{＋（101x－100）}2_＝ax2_{＋bx＋c，則 a} ＋b＋c＝？ (Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 2 (Ｄ) 3。 Sol)令 x＝1 代入0＋1＋1＝2 （C）2.已知 C、D 為兩多項式，若 2C＋3D＝4x2_{＋6x－3，C－2D＝2x}2_－4x＋2， 則求 C÷D 的商式和餘式之差為何呢？（A）2x（B）3x 2 （C）x（D） x 2。 Sol)   2C＋3D＝4x2_{＋6x－3……○１} C－2D＝2x2－4x＋2 ……○２，○１－2×○２得 7D＝14x－7D＝2x－1， 代入○２得 C－2．（2x－1）＝2x2_－4x＋2_C＝2x2_{則商式為 x＋} 2 1 ，餘式為 2 1 ， 其差為 x。 （C）3.若（3x＋1）（x2_{－ax＋1）＝bx}3_＋2x2_{＋cx＋d，求 a+b+c+d=？（A）5（B）} 6（C）7（D）8。

Sol) 展開後得 3x3－3ax2_＋3x＋x2_{－ax＋1＝3x}3_{＋（1－3a）x}2_{＋（3－a）x＋1}

比較係數得 b＝3，1－3a＝2，a＝－ 3 1 ，c＝3－a，c＝ 3 10 ，d＝1；a+b+c+d=7。 （D）4.若（x＋1） 2_－x（x2_＋2） x＋1 ＝A＋ 3 x＋1，則 A＝？（A）x 2_{－2x－2（B）x}2 ＋2x－2（C）－x2_{－2x－2（D）－x}2_＋2x－2。 Sol)原式（x2_{＋2x＋1）－（x}3_{＋2x）＝A．（x＋1）＋3} x2＋2x＋1－x3_{－2x－3＝A．（x＋1）} －x3_＋x2_{－2＝A．（x＋1）} A＝（－x3＋x2_{－2）÷（x＋1）＝－x}2_＋2x－2 （B）5.假設二多項式相等 3 2

( )

3

( )

2

( )

2x -3x +4x-5=a x-1 +b x-1 +c x-1 +d，則下列何 者為正確的敘述呢？（A）a+b+c+d=6（B）a-b-c+d=-7（C）2a-b+c-3d=5

5 25 20 11 5 20 25 11 原式 - - - - -3 6 3 12 3 3 6 12 -15 50 11 - -3 12 12 x y x y x x y y x y y     = + _{=    }       = _{ }   （D） -a-b+c+d=3。 Sol)a=2,b=3,c=4,d=-2a-b-c+d=-7

（B）6.假設有三個多項式分別為 2 3 2 2 A=x +x+1, B=x -2x -x+4, C=2x -x+3 ，請問多 項式 A B C  之積 4 x 項的係數為何呢？（A）-3（B）1（C）0（D）8。 Sol)

(

)

(

)(

)

( )

( )

4 3 2 3 2 A B C= 2x +x +4x +2x+3 x -2x -x+4 2 4+1 -1 +4 -2 +2 1=1        所求 （A）7.若 x 是實數，且 x2_{＋2x－5＝0，則（x＋7）（x＋3）（x－1）（x－5）＝？} （A）－60（B）60（C）－30（D）30。 Sol)原式＝（x＋7）（x－5）（x＋3）（x－1）＝（x2_{＋2x－35）（x}2_＋2x－3） ＝（5－35）（5－3）＝（－30）×2＝－60 （D）8.已知 B 為一多項式，且 B．（－4x＋5）＝（－8x2_{＋14x－5），則 A＝？} (Ａ)－2x－1 (Ｂ)－2x＋1 (Ｃ) 2x＋1 (Ｄ) 2x－1。 Sol) （C）9.若（3x4_－6x3_{＋2x＋6）÷3x}2 _{的商式為 p，餘式為 q，則 p＋q＝？ (Ａ) x}2 －6 (Ｂ) x2_{＋4x＋6 (Ｃ) x}2_{＋6 (Ｄ) 4x＋6。} Sol)商式為 x2_{－2x＝p，q＝2x＋6，p＋q＝x}2_{－2x＋2x＋6＝x}2_＋6 （D）10 設 A 為－x 的多項式，且 3 4 3 1 A x＋ －x ＝2x＋1－ 3 A，則 A 為下列何者？ (Ａ) 2x2_{－2x＋4 (Ｂ) 2x}2_{－2x＋2 (Ｃ) 2x}2_{＋x＋2 (Ｄ) 2x}2_－x＋2。

Sol)同乘 A4x3＋3x－1＝（2x＋1）．A－34x3＋3x＋2＝（2x＋1）．A

A＝4x3＋3x＋2÷（2x＋1）＝2x2_－x＋2 【溫故歷屆基測試題】 （A）1.化簡（ 3 5 x－ 6 25 y）－（ 3 20 x－ 12 11 y）之後，可得下列哪一個結果？ (Ａ) －5x－ 4 13 y (Ｂ)－60x－39y (Ｃ)－70x－14y (Ｄ)－ 3 25 x－ 12 61 y。【95. 基測一】 Sol)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

2 2 2 原式 2 - 3 3 - 4 -1 3 4 - 7 -1 3 7 -1 x x x x x x x x x x   =_ + + + _ = +  = + 

(

)(

)

(

) (

)

2 2 3 - -10 3 5 - 2 3 - -10是 3 5 與 - 2 的倍式 x x x x x x x x = +  +

(

)(

)

2 2 2 1 3 - 4 5 6 - 8 3 - 4 5 6 - 5 1 A x x x x x x x = + + = + + = + 2 2 2 2 2 6 , 3, 6, -15 -2, 13, 3 , 3 3 9, -10 9, 19, 19 3 13 9 44 x bx bx x cx b c d d b e e a e a a b c d  = = =  = = = = =  = =  = = = + + + = + + + = （B）2.下列哪一個選項為〔（2x2_{＋x－3）－（－x}2_{－3x＋4）〕÷（x－1）的商式？} (Ａ) 3x－7 (Ｂ) 3x＋7 (Ｃ) x－1 (Ｄ) x＋1。【92.基測二】 Sol) （B）3.已知有一多項式除以（x－2）得商式為（2x－3），餘式為 3，若此多項式 除以（2x＋3），得商式為何？ (Ａ) x＋5 (Ｂ) x－5 (Ｃ) x＋2 (Ｄ) x －2。【93.基測一】 Sol)

(

)(

)

2 2 2 2 原式 - 2 2 - 3 3 2 - 7 6 3 2 - 7 9 - 5 2 3 2 - 7 9 2 3 -10 9 -10 -15 24 x x x x x x x x x x x x x x = + = + + = + + + + + （A）4.已知 3x2_{－x－10＝（3x＋5）（x－2），請問下列哪一個敘述是正確的？ (Ａ)} 3x2－x－10 為 x－2 的倍式(Ｂ) x－2 為 3x2_{－x－10 的倍式(Ｃ) 3x＋5} 為 3x2_{－x－10 的倍式(Ｄ) 3x}2_{－x－10 為 3x＋5 的因式。【93.基測二】} Sol) （D）5.若多項式 A 除以 2x＋1 得商式為 3x－4，餘式為 5，則 A＝？ (Ａ) 6x2 －5x－4 (Ｂ) 6x2_{－5x－9 (Ｃ) 6x}2_{＋5x＋1 (Ｄ) 6x}2_{－5x＋1。【93.基測} 二】 Sol) （D）6.章老師作一個多項式除法示範後，擦掉計算過程中的六個係數，並以 a、 b、c、d、e、f 表示，求 a＋b＋d＋e＝？ (Ａ) 18 (Ｂ) 26 (Ｃ) 38 (Ｄ) 44。【91.基測一】 Sol) 2 2 2 ＋3 ＋5 6 ＋ ＋ ＋ 10 　　　 ＋ 　　　 ＋ 15 　　　　 － 2

x

bx

x

ax d

cx

x

ex d

fx

2 ㄅ: 6 1 6 , ㄆ: 3 2 6 , ㄇ: 6 6 , ㄈ: 3 2 6 x x x x x x x x x  =  =  =  =

( )

( )

( )

( )

2 2 3 表示3 表示 3 表示3 3 5表示 5 A x x B x x x C x x x D x x x x     + + + +

(

)(

) (

)( )

(

)

(

) ( )

(

2

)

2

(

)

2 2 2 2x+1 x-2 6 2x+2 x+ x+1 x-2+6 3x+2 - - - x+4 2 2 2 2x -5x+2 4x+9 6x +28x+16-2x +5x-2-12x-12-4x-9 = 3x +14x+8 - - 6x+6 - = 2 2 2 4x +17x-7 = 2         _{    }  _               _ _   （D）7.如圖，ㄅ、ㄆ、ㄇ、ㄈ是四個長方形。若用 x 的多項式來表示它們的面 積，則下列哪一個長方形的面積不是 6x？ (Ａ)ㄅ(Ｂ)ㄆ(Ｃ)ㄇ(Ｄ) ㄈ。【91.基測二】 Sol) （D）8.下列四個敘述，哪一個是正確的？ (Ａ) 3x 表示 3＋x (Ｂ) x2 _{表示 x＋x} (Ｃ) 3x2 _{表示 3x．3x (Ｄ) 3x＋5 表示 x＋x＋x＋5。【92.基測一】} Sol) （A）9. 化簡 2（3x－1）－3（x＋2）之後，可得下列哪一個結果？ (Ａ) 3x－ 8 (Ｂ) 3x＋4 (Ｃ) 3x＋5 (Ｄ) 9x＋4。【92.基測一】 Sol)原式=6 - 2 - 3 - 6x x =3 - 8x 【模擬學力基測試題】 （A）1.如圖，四邊形 ABCD 為長方形，則灰色部分的面積可以如何表示？ (Ａ) 2 4x +17x-7 2 (Ｂ) 2 4x +17x+7 2 (Ｃ) 2 4x +17x-7 (Ｄ) 2 4x +17x+7。 Sol)

（D）2.如圖(一)，四邊形 ABCD、EFGH 均是長為 3x，寬為 3 的矩形。今將兩 個矩形做部分疊合，使得 E 點落在 AD 上，B 點在FG上，如圖(二)所 示。若連接CH，則五邊形 AGHCD 的面積為何？ (Ａ) 4x2_－ 2 9 (Ｂ) 4x2＋ 2 9 (Ｃ) 2x2_＋6x－ 2 9 (Ｄ) 2 9 x2＋9x－ 2 9 。 Sol)

(

)

2 3x-3 2 ＋（18x－9）＝ 2 9x -18x+9 2 ＋（18x－9） = 2 2 2 9x -18x+9+36x-18 9x +18x-9 9 9 = = x +9x-2 2 2 2 （B）3.假設 2 2 2 2 2 2

A=x +xy-3y , B=x -2xy+3y , C=-3x +5y ，請問計算 A-2B+3C =？

（A） 2 2

-6x +3xy+5y （B）-10x +5xy+7y （C）2 2 -9x -6xy+25y （D）2 2

2 2 9x +6xy+25y 。 Sol)

(

) (

) (

)

(

)

( )

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

A-2B+3C= x +xy-2y -2 x -2xy+3y +3 -3x +5y

= 1-2-9 x + 1-4 xy+ -2-6+15 y =-10x +5xy+7y

（A）4.將一塊邊長為 b 公分的正方形 ABCD，與四塊邊長為 a 公分的正方形 拼成如附圖所示，其中 a＞b。今將 E、F、G、H 四點連接起來成為一個

四邊形，則四邊形 EFGH 的面積為多少平方公分？（A）2a2_{– 2ab + b}2

（B） 2 2 a -2ab+b （C） 2 2 2a +2ab+b （D） 2 2 a -2ab-b sol)(1) AE = a – b ( 公分 )，四塊斜線直角三角形面積 [ a × ( a – b ) ÷ 2 ] × 4= ( a2 – ab ) 2 × 4= 2a

2 _{– 2ab ( 平方公分 )，四邊形 EFGH 面積 ( 2a}2 _{– 2ab )}

+ b2 = 2a2 – 2ab + b2 ( 平方公分 ) （B）5.多項式 5x3 _{– 2x}2 _{+ 4x – 3 與 3x}2 _{– 6x + 2 的和加上何式等於零次多項式？(A)} 5x3 + x2 – 2x + 1(B) – 5x3 – x2 + 2x + 2(C) 5x3 + x2 – 2x – 1(D) – x2 + 4x – 2 Sol)

(

) (

)

( )

3 2 2 3 2 3 2 5x -2x +4x-3 + 3x -6x+2 =5x +x -2x-1 -5x -x +2x+n n>1  加上

（A）6.設 a、b 為整數，若 A =│a - 2│x3 _{+│b + 3│x}2 _{+ ax – b 為一次多項式，}

求 a + b =？（A）-1（B）0（C）1（D）2 Sol)∵A 為一次多項式，∴_a - 2 = 0 b + 3 = 0 ⇒ a = 2 b = - 3 ，∴ a + b = 2 -3 = -1 （C）6.假設 x, y 皆為非零的實數，且滿足 xy=x-y ，則y+x-xy x y =？（A）0（B） 1（C）2（D）3。 3x 3x 圖(一) 圖(二)

( ) (

) ( ) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

a+1 + b+2 + c+3 + d+4 =4 a+b+c+d+5 a+b+c+d +10=4 a+b+c+d +20 -10 a+b+c+d = 3  

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 _{2 2 2 2} =a, =b, =x a+b=50, a +b =x , 1 1 x =ab= a+b - a +b = 50 -x =1250-2 2 2      設長 寬 對角線長 面積 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3

a b- a b-3abc+a c-4a c -3abc

2 2

1 3

a b- a b+3abc+3a c-3abc=-a b+3a c

2 2        Sol)

(

)

( )

2 2 2 2 2 2 2 _{x +y - x-y} y x x +y x y 2xy + -xy= - = = =2 x y xy xy xy xy

（D）7.假設 a+1=b+2=c+3=d+4=a+b+c+d+5，請問 a+b+c+d =？（A） 3

10（B） -3 10 （C）10 3 （D） -10 3 。 Sol) （A）8.已知一矩形周長為 100，且其對角線長為 x，請問此矩形面積為何呢？（A） 2 x 1250-2 （B） 2 x 1250-3 （C） 2 x -1250 2 （D） 2 x -1250 3 Sol) （B）9.試化簡1 2 3 2 2 2

a b- a b-3abc+a c-4a c -3abc

2 2       =？（A） 2 2 a b+3a c（B） 2 2 -a b+3a c （C） 2 2 a b-3a c（D） 2 2 -a b-3a c Sol) （D）10.若多項式 A、B 皆為 x 的三次多項式，則下列三人的敘述何者正確？甲 生：A－B 可能只有一項常數項；乙生：A－B 可能是 x 的三次多項式； 丙生：A－B 可能是 x 的二次多項式。（A）甲對（B）乙對（C）丙對（D） 全部說的都對。 Sol) 假設 A、B 為兩多項式，其次數分別是 m、n，則○1 若 m=n，則 A B 的次數 不大於 m 次。○2 若 m＞n，則 A B 的次數是 m 次。 【進階練習題】 （D）1.設 6 5 4 3 2

(

2

)

3 x +3x +6x +7x +6x +3x+1= ax +bx+c ，請問 a+b+c=？（A）6（B） 5（C）4（D）3。

Sol)令x=127= a+b+c

(

)

3 a+b+c=3

（B）2.有一多項式為

(

5 4 2

) (

4

)

(

) (

)

( )

( )

( )

( )

5 4 3 2 5 4 2 5 4 3 2 ax +3x +x -2x +1 + 2x -bx +x -3x-2 = a+2 x + 3-b x +x -x -3x-1 a+2 =0 a=-2 a-b=-2-3=-5 3-b =0 b=3    _   

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

199 199 199 ₁₉₉ x 1 -4+3-2+2 = -1 = -1 =a x -1 4-3-2+2 =1 =1 -1 -1 _-2 b= = =-1 a+b=-1-1=-2 2 2    將 以 代入 將 以 代入 3+2 1-2+3 3-4+5-6 3-6+9 2-4-6 2-4+6 -12 問 a+b=？（A）0（B）1（C）2（D）3。 Sol)

( )

5 4 2 ax + b-1 x +x -3x+6 a=0, b-1=0, b=1 a+b=1   為二次多項式 （A）3.有一多項式 a（x＋1）（x－2）＋b（x＋2）（x－1）＋（x－2）（x＋1） 化簡為 2x2_{＋6x＋c，則 a＋b＋c＝？ (Ａ)－3 (Ｂ)－4 (Ｃ)－5 (Ｄ)} －6。 Sol) a(x2－x－2)＋b（x2_{＋x－2）＋（x}2_{－x－2）＝2x}2_＋3x＋c （a＋b＋1）x2＋（－a＋b－1）x＋（－2a－2b－2）＝2x2_＋6x＋c   a＋b＝1 b－a＝7  a＝－3 b＝4，c＝－4 ，則 a＋b＋c＝－3 （B）4.假設有兩多項式 5 4 3 2 5 4 2 ax +3x +x -2x +1與2x -bx +x -3x-2相加後，次數變為 三次，請問 a-b=？（A）5（B）-5（C）13（D）-13。 Sol) （C）5.將 x 的多項式

(

51 33 28

)

199 -4x -3x -2x +2 展開後，各項係數和為 a，各奇數次 項係數和為 b，請問 a+b=？（A）-1（B）1（C）-2（D）2。 Sol) （D）6.假設 3 2

(

2

)

(

)

3x -4x +5x-6= x -2x+3 px+q +r，請問 p、q、r 的大小為何呢？ （A） q>r>p （B） r<p<q （C） p<q<r （D） p>q>r 。 Sol) px+q=3x+2 , r=-12p>q>r （B）7.若多項式 3 2 x +4x +5x-5除以A，得商式 x+2，餘式 2x-3，請問 A=？（A） 2 x -2x-1 （B）x +2x-1 （C）2 2x +2x-1 （D）2 2x +2x-2 。 2

( )( ) (

)

3 2 x +ax +bx+3a= x-1 x-2 + 3x-7 x 1 1+a+b+3a=3-7 x 2 8+4a+2b+3a=b-7 4a+b=-5 -b=-35+36, b=-1 7a+2b=-9     _   商式 將 以 代入 將 以 代入 Sol)

(

) (

)

3 2 2 x +4x +5x-5=A x+2 + 2x-3 A=x +2x-1  （A）8.若 a、b 皆為實數，且多項式 3 2

( )( )

x +ax +bx+3a除以 x-1 x-2 的餘式3x-7， 則=？（A）-1（B）0（C）1（D）2。 Sol) （C）9.有一多項式 8 6 5 4 2 4x -7x +9x -7x +3x -2x-1被 5x+5 除時，請問其餘式為何呢？ （A）-5（B）-10（C）-15（D）-20。 Sol) 可令 5x+5=0 得 x=-1，代入4x -7x +9x -7x +3x -2x-18 6 5 4 2 =4-7-9-7+3+2-1=-15 （B）10.已知一多項式 A 被 2 2x -4x+2 除的餘式為 3x+8，請問 A 被 x-1 除時，餘 式為何呢？（A）-11（B）11（C）-9（D）9。 Sol)

(

)

(

) ( )

(

)

( )

2 2 A= 2x -4x+2 + 3x+8 =2 x-1 + 3x+8 A x-1 x 1 =0+3+8=11     商式 商式 除以 的餘式 將 以 代入 餘式