Unit 10 多項式

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Unit 10 多項式 能力指標:◎(A-4-02)能認識多項式及相關名詞。 ◎(A-4-02)能熟練多項式的加法和減法。 ◎(A-4-02)能熟練多項式的乘法(利用分配律及直式算法來計算)。 ◎(A-4-02)能熟練多項式的除法(如長除法、分離係數法等)。 能力一:多項式的意義與化簡 一、多項式的意義:多項式係指『數字』和『文字符號 x』,藉由『加法』和『乘 法』所連結的數學式,稱為 x 的多項式。通常以文字符號的『最高次方數』 為此多項式的次數名稱。 二、多項式的判別 多項式中的文字 x 不可出現在『分母中』、『根號內』、『絕對值內』。 eg:以下皆非多項式: 1 -x, x+3 , x-7 x+3 …等 三、常數多項式 (一)常數多項式係指不含文字符號的多項式,有兩種類型(1)零次多項式、(2) 零多項式。 (二)零次多項式:若多項式 2 , 0, 0 , 0 ax +bx+c a= b= c 。 (三)零多項式:若多項式 2 , 0, 0 , =0 ax +bx+c a= b= c 。 四、同類項和升、降冪式 (一)同類項:在一多項式中,文字部分(含次數)相同的項,稱為同類項。同 類項的係數可以加減而整理為一項(合併),此過程稱為化簡。 (二)升、降冪式:在多項式中,依特定文字的次數由高至低順序排列,稱為降

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( )

( )

0 -d :稱為常數項 或零次項( ) -d = -dx

( )

-cx :由 "+" 所間隔的稱為 項" " 2 " b " : 稱為"x 的係數" 2 " x " : 稱為"變數" 3 x : 3為此多項式的名稱x的三次多項式

( ) ( )

3

2

-

-3

2

-

-ax

bx

cx d

ax

bx

cx

d

+

=

+

+

+

(2)

3 2 3 2 a =0, b-1 =0, c-2 =1 a=0, b-1=0, c-2= 1 a=0, b=1, c=3 a=0, b=1, c=1 x +3x +dx+e x +x +dx+e          或 原多項式可為 或 均為三次多項式 a=2 a=2 a+b=3 b=1 a+b+c+d=2 b+c=0 c=-1 c+d=-1 d=0             冪式(常用)。而依特定文字的次數由低至高順序排列,稱為升冪式。 eg:

( )

( )

3 2 2 3 1 3x -4x +2x-5 x 2 2+3y-4y +5y y   的降冪式 的升冪式 (三)多項式的相等:若兩多項式相等,則其對應項係數相等。 eg: 2 2 ax +bx-c=dx -ex+f a=d, b=-e, -c=f  【多項式的意義】 講解一: (1)右邊各項數學式,何者非多項式呢?(A) 3 x+2(B) 3 x +3x+3(C)x +2x-12 (D) 2 3x - 2x(E) 2x -x+1 (2)若

(

)

2 1 3 -k+ x + x m為一次多項式,請問 k 值為何呢? Sol) (1)非多項式的有:(A) 在分母x 、(C) 在絕對值中x 、(E) 在根號中x 。 (2)

(

)

2

( )

1 3 - k+1 =0, k=-1 k+ x + x m  Q 為一次多項式 練習一: (1)設 a、b、c、d、e 均為整數,且 2 a +3 b-1 + c-2 =1 ,則多項式 4 3 2 ax +bx +cx +dx+e的次數為何呢? (2)若 3 2 3

(

)

2

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) (

)

2x +3x -1=ax + a+b x + b+c x+ c+d ,請問 a+b+c+d 的值為何呢? Sol)

(1)

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【十分鐘即時練習】 (A)1.若一多項式 2 ax +bx+c,a、b、c 均為整數,且 2 a + b+1 +3 c+2 =1,請問 該多項式的次數為何呢?(A)零次或一次(B)零次或二次(C)一次或 二次(D)三次。 Sol)a =0, b+1 =1, c+2 =0 a=0, b=0 -2, c=-2 =-2 =-2x-2    或 多項式 或 多項式 多項式為零次或二次多項式 (B)2.若有一多項式為

(

3 2

) (

3

)

2 a x -x +b x -x+2 +x +ax+2為一次多項式,請問 a+b 為何呢?(A)-1(B)0(C)1(D)2。 Sol)

( )

( )

( )

3 2 3 2

a+b x + 1-a x + a-b x+2b-2

x x =0, a+b=0, 1-a=0 a=1, b=-1 a+b=0

   將式子做降冪排列 令 及 得 (C)3.假設有兩多項式分別相等 2

(

) (

)

2 ax + b-4a x+ 4a-2b-5 =3x -14x+c ,請問 a+b+c=?(A)9(B)10(C)11(D)12。

Sol) a=3, b-4a=-14, 4a-2b-5=c

a=3, b=-2, c=11 a+b+c=12   比較係數後 (A)4.請問右列的數學式中有多少個非多項式呢?(a)1-2 x (b) x +2(c) 2 x + x +1(d) 2 x x + -1 2 3 (e) 3 4 x - 2 x(f) 3 3x - 2x+1(g)2x +x-1。-3 (A)4(B)3(C)2(D)1(個)。 Sol)(a)x 在分母、(b)x 在根號、(c)x 在絕對值(g) -3 3 1 x = x x  在分母 。 (B)5.請問下列多項式中何者按升冪排列呢?(A) 4 2 x +x -2 (B)2 x+x -3 x2 2 3 3 (C) 3 2 x 2x -x + -1 2 (D) 3 5 2 4y -5y +y-3。 Sol) 2 x+x -3 x =4x+x -9x  升冪排列 2 2 3 3 2 3 能力二:多項式的加減運算 一、同類項才可以相加減。 二、假設 A、B 為兩多項式,其次數分別是 m、n,則: (一)若 m=n,則 A B 的次數不大於 m 次。 (二)若 m>n,則 A B 的次數是 m 次。 eg:有三個多項式A=3x +2x +x+1, B=4x +3x , C=2x +3x-1 3 2 3 2

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( )

(

) (

) (

) (

)

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)

(

) (

)

( )

(

) (

) (

) (

)

( )

(

) (

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2A+3B=2 2x -3x-4 +3 3x -2x+5 = 4x -6x-8 + 9x -6x+15 = 4+9 x + -6-6 x+ -8+15 =13x -12x+7 2 3A-2B=3 2x -3x-4 -2 3x -2x+5 = 6x -9x-12 - 6x -4x+10 = 6-6 x + -9+4 x+ -12-10 =-5x-22 則 A+B=7x +2x +4x+13 2  最高次不大於 次3 A+C=3x +4x +4x3 2  最高次是 次3 【多項式的加減】 講解一: 假設 2 2

A=2x -3x-4, B=3x -2x+5試求 2A+3B 及 3A-2B 為何呢? Sol) 練習一: (1)化簡(4x2-x-1)+(6x2+8x+4)後得 ax2+bx+c,則 a+b+c=? (2)已知多項式 A=ax3+(b+3)x2+(c-1)x-1,B=2x2+(a-3)x+(b -c+d),若 A=B,則 a-b-c-d=? sol) (1)化簡得 10x2+7x+3a+b+c=20 (2)a=0,b+3=2b=-1,c-1=a-3c=-2,b-c+d=-1,d=-2, a-b-c-d=0-(-1)-(-2)-(-2)=0+1+2+2=5 【十分鐘即時練習】 (C)1.化簡(4x2-6)+(-3x2+4+5x)=ax2+bx+c,則 a-b+c=?(A) -5 (B) 5 (C)-6 (D) 6 Sol)化簡結果為 x2+5x-2,則 a-b+c=1-5-2=-6

(A)2.鼎翔算數學題,題目是「兩多項式 A、B,B=-3x2-4x+5,求 A+3B

=?」,但鼎翔將 3B 誤看成 5B,結果求出的答案是-2x2-9x+16,請 你幫她算出正確的答案? (A) 4x2-x+6 (B)-4x2-x+6 (C) 4x2+x-6 (D)-4x2-x-6。 Sol)A+3B=A+5B-3B (-2x2-9x+16)-2B=-2x2-9x+16-2(-3x2-4x +5)=-2x2-9x+16+6x2+8x-10=4x2-x+6 (C)3.已知某一多項式與 3x2+6x-2 的和為 2x+1,則此一多項式的常數項為 多少? (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2。 Sol) 1-(-2)=3

(A)4.若 A=(a-3)x3+(b-2)x2+(a+b-7)x+5 為 x 的一次多項式,

求 A=? (A)-2x+5 (B)-4x+5 (C)-6x+5 (D)-8x+5。

(5)

A R A=BQ+R =Q+ B B  (B)5.有一多項式減去 4x2-7x-4 的差為 x2+8x+3,則此多項式為下列何者? (A) 5x2+x+1 (B) 5x2+x-1 (C) 3x2+x+7 (D) 3x2+x-7。

Sol) 設此多項式為 A,則 A=4x2-7x-4+x2+8x+3=5x2+x-1

能力三:多項式的乘除運算 一、多項式的乘法 (一)設 A、B 為 x 的多項式,其次數分別為 m、n,則 A×B 的次數為

(

m+n 次。

)

(二)多項式乘法的係數總和:有兩多項式相乘

(

2

)(

3 2

)

3x +2x-6 2x +3x -7 其乘積 之多項式係數總和為

(

3+2-6 2+3-7 =2

)(

)

。 (三)多項式乘法中單項係數求法:有兩多項式相乘

(

2

)(

2

)

x-7+5x -4x +3+9x 其乘 積中 2 x 項的係數為 1 9+ -7

( ) ( )

 -4 +5 3=52 二、多項式的除法 設兩多項式 A、B,A 除以 B 的商為 Q,餘式為 R,則: (1)kA除以B, 商式為kQ, 餘式為kR。 (2)A kB, Q, R k 除以 商式為 餘式為 。 (3)設 A、B 兩多項式之次數分別為 m、n,若 m>n,A÷B 的商式為

(

m-n

)

次。 三、多項式的乘除與係數的關係 設兩多項式 A、B 的係數總和分別為 a、b,則: (1)A×B 的係數總和為 a×b。 (2)A÷B 的商式 Q,餘式 R 的係數總和分別是 q 與 r,則 a=bq+r 。 【多項式的乘法】 講解一: (1)若 16x2+kx-6 與(2x+3)(ax+b)相等,其中 a、b、k 均為常數,則 k=? (2)已知 x2+2x-17=0,則(x+7)(x+3)(x-1)(x-5)=? Sol)

(6)

(1)(2x+3)(ax+b)=2ax2+3ax+2bx+3b=2ax2+(3a+2b)x+3b 與 16x2 +kx-6 比較係數得 a=8,b=-2 故 k=(3×8-4)=20 (2)x2+2x=17,(x+7)(x-5)(x+3)(x-1) =(x2+2x-35).(x2+2x-3) =(17-35).(17-3)=-252 練習一: (1)如圖,求此圖形的面積為何呢? (2)如圖,A、B、C、D 代表四個矩形的面積,則 A=? Sol) (1)

( ) (

) (

)

2 2 2 4x x + 4x-2  8x+6-x =4x +28x +10x-12=32x +10x-12

(2)A=(2a+b)2=4a2+4ab+b2=4C+4D+B

【多項式的除法】 講解二: (1)請問〔(2x2+x-3)-(-x2-3x+4)〕÷(x-1)的商式為何? (2)假若 6x4-11x3+Px2+2x+Q 可以被(2x2-x-1)整除,則 P+Q=? Sol) (1)原式=(2x2+x-3+x2+3x-4)÷(x-1)=(3x2+4x-7)÷(x-1) 商式=3x+7 (2) 2 1 P- =2,P-1=4,P=5,Q=- 2 1 P- =-2,P+Q=3

(7)

練習二: (1)求多項式 6x3+x2-3x-1 除以 2x+1 的商式為何呢? (2)求(x3-3x+5)÷(x-1)的商式與餘式之和=? Sol) (1)商式=3x2-x-1 (2)商式加餘式=x2+x+1 【十分鐘即時練習】 (C)1.若(3x4-5x2+4x)÷3x 的商式為 x3+ax+b,則 b+a=? (A)-3 (B) 3 (C) 3 1 - (D) 3 1 。 Sol)(3x4-5x2+4x)÷3x=x3 3 5 x+ 3 4 a=- 3 5 ,b= 3 4 ,b+a=4-5 3 = 3 1 - (A)2.已知多項式 B 除以 x-1 得商式為 x+5,餘式為 8,如果改將多項式 B 除 以 x+1,則餘式=? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3。 Sol) B=(x-1)(x+5)+8=x2+4x+3 (C)3.假設 2x4-x3+mx2+x+n 可被 2x2+x+1 整除,則 2m+n2=? (A)10 (B)12 (C) 14(D)16。 Sol)  2 m =2,m=4;n= 2 4=2,則 2m+22=2×4+4=14 (A)4.多項式 a(x+1)(x-2)+b(x+2)(x-1)+(x-2)(x+1)化簡

(8)

為 2x2+3x+c,則( a+b+c)2=? (A) 9 (B) 16 (C)25 (D)36。 Sol) a(x2-x-2)+b(x2+x-2)+(x2-x-2)=2x2+3x+c (a+b+1)x2+(-a+b-1)x+(-2a-2b-2)   a+b=1 b-a=4

a=-3 2 b=5 2,c=-4 ,則(a+b+c)2=(-3) 2=9 (B)5.多項式(13x+a)(bx+c)=221x2+2x-3,其中 b=? (A) 7 (B) 17 (C) 27 (D) 37。 Sol) 13bx2+abx+13cx+ac=221x2+2x-3,b=221÷13=17 【基本觀念題】 (A)1.若(x-1)(58x+7)+(8x-7)2+(101x-100)2=ax2+bx+c,則 a +b+c=? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3。 Sol)令 x=1 代入0+1+1=2 (C)2.已知 C、D 為兩多項式,若 2C+3D=4x2+6x-3,C-2D=2x2-4x+2, 則求 C÷D 的商式和餘式之差為何呢?(A)2x(B)3x 2 (C)x(D) x 2。 Sol)   2C+3D=4x2+6x-3……○ C-2D=2x2-4x+2 ……○2,○1-2×○2得 7D=14x-7D=2x-1, 代入○2得 C-2.(2x-1)=2x2-4x+2C=2x2則商式為 x+ 2 1 ,餘式為 2 1 , 其差為 x。 (C)3.若(3x+1)(x2-ax+1)=bx3+2x2+cx+d,求 a+b+c+d=?(A)5(B) 6(C)7(D)8。

Sol) 展開後得 3x3-3ax2+3x+x2-ax+1=3x3+(1-3a)x2+(3-a)x+1

比較係數得 b=3,1-3a=2,a=- 3 1 ,c=3-a,c= 3 10 ,d=1;a+b+c+d=7。 (D)4.若(x+1) 2-x(x2+2) x+1 =A+ 3 x+1,則 A=?(A)x 2-2x-2(B)x2 +2x-2(C)-x2-2x-2(D)-x2+2x-2。 Sol)原式(x2+2x+1)-(x3+2x)=A.(x+1)+3 x2+2x+1-x3-2x-3=A.(x+1) -x3+x2-2=A.(x+1) A=(-x3+x2-2)÷(x+1)=-x2+2x-2 (B)5.假設二多項式相等 3 2

( )

3

( )

2

( )

2x -3x +4x-5=a x-1 +b x-1 +c x-1 +d,則下列何 者為正確的敘述呢?(A)a+b+c+d=6(B)a-b-c+d=-7(C)2a-b+c-3d=5

(9)

5 25 20 11 5 20 25 11 原式 - - - - -3 6 3 12 3 3 6 12 -15 50 11 - -3 12 12 x y x y x x y y x y y     = + =          =   (D) -a-b+c+d=3。 Sol)a=2,b=3,c=4,d=-2a-b-c+d=-7

(B)6.假設有三個多項式分別為 2 3 2 2 A=x +x+1, B=x -2x -x+4, C=2x -x+3 ,請問多 項式 A B C  之積 4 x 項的係數為何呢?(A)-3(B)1(C)0(D)8。 Sol)

(

)

(

)(

)

( )

( )

4 3 2 3 2 A B C= 2x +x +4x +2x+3 x -2x -x+4 2 4+1 -1 +4 -2 +2 1=1        所求 (A)7.若 x 是實數,且 x2+2x-5=0,則(x+7)(x+3)(x-1)(x-5)=? (A)-60(B)60(C)-30(D)30。 Sol)原式=(x+7)(x-5)(x+3)(x-1)=(x2+2x-35)(x2+2x-3) =(5-35)(5-3)=(-30)×2=-60 (D)8.已知 B 為一多項式,且 B.(-4x+5)=(-8x2+14x-5),則 A=? (A)-2x-1 (B)-2x+1 (C) 2x+1 (D) 2x-1。 Sol) (C)9.若(3x4-6x3+2x+6)÷3x2 的商式為 p,餘式為 q,則 p+q=? (A) x2 -6 (B) x2+4x+6 (C) x2+6 (D) 4x+6。 Sol)商式為 x2-2x=p,q=2x+6,p+q=x2-2x+2x+6=x2+6 (D)10 設 A 為-x 的多項式,且 3 4 3 1 A x+ -x =2x+1- 3 A,則 A 為下列何者? (A) 2x2-2x+4 (B) 2x2-2x+2 (C) 2x2+x+2 (D) 2x2-x+2。

Sol)同乘 A4x3+3x-1=(2x+1).A-34x3+3x+2=(2x+1).A

A=4x3+3x+2÷(2x+1)=2x2-x+2 【溫故歷屆基測試題】 (A)1.化簡( 3 5 x- 6 25 y)-( 3 20 x- 12 11 y)之後,可得下列哪一個結果? (A) -5x- 4 13 y (B)-60x-39y (C)-70x-14y (D)- 3 25 x- 12 61 y。【95. 基測一】 Sol)

(10)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

2 2 2 原式 2 - 3 3 - 4 -1 3 4 - 7 -1 3 7 -1 x x x x x x x x x x   = + + +  = +  = + 

(

)(

)

(

) (

)

2 2 3 - -10 3 5 - 2 3 - -10是 3 5 與 - 2 的倍式 x x x x x x x x = +  +

(

)(

)

2 2 2 1 3 - 4 5 6 - 8 3 - 4 5 6 - 5 1 A x x x x x x x = + + = + + = + 2 2 2 2 2 6 , 3, 6, -15 -2, 13, 3 , 3 3 9, -10 9, 19, 19 3 13 9 44 x bx bx x cx b c d d b e e a e a a b c d  = = =  = = = = =  = =  = = = + + + = + + + = (B)2.下列哪一個選項為〔(2x2+x-3)-(-x2-3x+4)〕÷(x-1)的商式? (A) 3x-7 (B) 3x+7 (C) x-1 (D) x+1。【92.基測二】 Sol) (B)3.已知有一多項式除以(x-2)得商式為(2x-3),餘式為 3,若此多項式 除以(2x+3),得商式為何? (A) x+5 (B) x-5 (C) x+2 (D) x -2。【93.基測一】 Sol)

(

)(

)

2 2 2 2 原式 - 2 2 - 3 3 2 - 7 6 3 2 - 7 9 - 5 2 3 2 - 7 9 2 3 -10 9 -10 -15 24 x x x x x x x x x x x x x x = + = + + = + + + + + (A)4.已知 3x2-x-10=(3x+5)(x-2),請問下列哪一個敘述是正確的? (A) 3x2-x-10 為 x-2 的倍式(B) x-2 為 3x2-x-10 的倍式(C) 3x+5 為 3x2-x-10 的倍式(D) 3x2-x-10 為 3x+5 的因式。【93.基測二】 Sol) (D)5.若多項式 A 除以 2x+1 得商式為 3x-4,餘式為 5,則 A=? (A) 6x2 -5x-4 (B) 6x2-5x-9 (C) 6x2+5x+1 (D) 6x2-5x+1。【93.基測 二】 Sol) (D)6.章老師作一個多項式除法示範後,擦掉計算過程中的六個係數,並以 a、 b、c、d、e、f 表示,求 a+b+d+e=? (A) 18 (B) 26 (C) 38 (D) 44。【91.基測一】 Sol) 2 2 2 +3 +5 6 + + + 10     +     + 15      - 2

x

bx

x

ax d

cx

x

ex d

fx

(11)

2 ㄅ: 6 1 6 , ㄆ: 3 2 6 , ㄇ: 6 6 , ㄈ: 3 2 6 x x x x x x x x x  =  =  =  =

( )

( )

( )

( )

2 2 3 表示3 表示 3 表示3 3 5表示 5 A x x B x x x C x x x D x x x x     + + + +

(

)(

) (

)( )

(

)

(

) ( )

(

2

)

2

(

)

2 2 2 2x+1 x-2 6 2x+2 x+ x+1 x-2+6 3x+2 - - - x+4 2 2 2 2x -5x+2 4x+9 6x +28x+16-2x +5x-2-12x-12-4x-9 = 3x +14x+8 - - 6x+6 - = 2 2 2 4x +17x-7 = 2                              (D)7.如圖,ㄅ、ㄆ、ㄇ、ㄈ是四個長方形。若用 x 的多項式來表示它們的面 積,則下列哪一個長方形的面積不是 6x? (A)ㄅ(B)ㄆ(C)ㄇ(D) ㄈ。【91.基測二】 Sol) (D)8.下列四個敘述,哪一個是正確的? (A) 3x 表示 3+x (B) x2 表示 x+x (C) 3x2 表示 3x.3x (D) 3x+5 表示 x+x+x+5。【92.基測一】 Sol) (A)9. 化簡 2(3x-1)-3(x+2)之後,可得下列哪一個結果? (A) 3x- 8 (B) 3x+4 (C) 3x+5 (D) 9x+4。【92.基測一】 Sol)原式=6 - 2 - 3 - 6x x =3 - 8x 【模擬學力基測試題】 (A)1.如圖,四邊形 ABCD 為長方形,則灰色部分的面積可以如何表示? (A) 2 4x +17x-7 2 (B) 2 4x +17x+7 2 (C) 2 4x +17x-7 (D) 2 4x +17x+7。 Sol)

(12)

(D)2.如圖(一),四邊形 ABCD、EFGH 均是長為 3x,寬為 3 的矩形。今將兩 個矩形做部分疊合,使得 E 點落在 AD 上,B 點在FG上,如圖(二)所 示。若連接CH,則五邊形 AGHCD 的面積為何? (A) 4x2 2 9 (B) 4x2+ 2 9 (C) 2x2+6x- 2 9 (D) 2 9 x2+9x- 2 9 。 Sol)

(

)

2 3x-3 2 +(18x-9)= 2 9x -18x+9 2 +(18x-9) = 2 2 2 9x -18x+9+36x-18 9x +18x-9 9 9 = = x +9x-2 2 2 2 (B)3.假設 2 2 2 2 2 2

A=x +xy-3y , B=x -2xy+3y , C=-3x +5y ,請問計算 A-2B+3C =?

(A) 2 2

-6x +3xy+5y (B)-10x +5xy+7y (C)2 2 -9x -6xy+25y (D)2 2

2 2 9x +6xy+25y 。 Sol)

(

) (

) (

)

(

)

( )

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

A-2B+3C= x +xy-2y -2 x -2xy+3y +3 -3x +5y

= 1-2-9 x + 1-4 xy+ -2-6+15 y =-10x +5xy+7y

(A)4.將一塊邊長為 b 公分的正方形 ABCD,與四塊邊長為 a 公分的正方形 拼成如附圖所示,其中 a>b。今將 E、F、G、H 四點連接起來成為一個

四邊形,則四邊形 EFGH 的面積為多少平方公分?(A)2a2– 2ab + b2

(B) 2 2 a -2ab+b (C) 2 2 2a +2ab+b (D) 2 2 a -2ab-b sol)(1) AE = a – b ( 公分 ),四塊斜線直角三角形面積 [ a × ( a – b ) ÷ 2 ] × 4= ( a2 – ab ) 2 × 4= 2a

2 – 2ab ( 平方公分 ),四邊形 EFGH 面積 ( 2a2 – 2ab )

+ b2 = 2a2 – 2ab + b2 ( 平方公分 ) (B)5.多項式 5x3 – 2x2 + 4x – 3 與 3x2 – 6x + 2 的和加上何式等於零次多項式?(A) 5x3 + x2 – 2x + 1(B) – 5x3 – x2 + 2x + 2(C) 5x3 + x2 – 2x – 1(D) – x2 + 4x – 2 Sol)

(

) (

)

( )

3 2 2 3 2 3 2 5x -2x +4x-3 + 3x -6x+2 =5x +x -2x-1 -5x -x +2x+n n>1  加上

(A)6.設 a、b 為整數,若 A =│a - 2│x3 +│b + 3│x2 + ax – b 為一次多項式,

求 a + b =?(A)-1(B)0(C)1(D)2 Sol)∵A 為一次多項式,∴a - 2 = 0 b + 3 = 0 ⇒ a = 2 b = - 3 ,∴ a + b = 2 -3 = -1 (C)6.假設 x, y 皆為非零的實數,且滿足 xy=x-y ,則y+x-xy x y =?(A)0(B) 1(C)2(D)3。 3x 3x 圖(一) 圖(二)

(13)

( ) (

) ( ) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

a+1 + b+2 + c+3 + d+4 =4 a+b+c+d+5 a+b+c+d +10=4 a+b+c+d +20 -10 a+b+c+d = 3  

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 =a, =b, =x a+b=50, a +b =x , 1 1 x =ab= a+b - a +b = 50 -x =1250-2 2 2      設長 寬 對角線長 面積 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3

a b- a b-3abc+a c-4a c -3abc

2 2

1 3

a b- a b+3abc+3a c-3abc=-a b+3a c

2 2        Sol)

(

)

( )

2 2 2 2 2 2 2 x +y - x-y y x x +y x y 2xy + -xy= - = = =2 x y xy xy xy xy

(D)7.假設 a+1=b+2=c+3=d+4=a+b+c+d+5,請問 a+b+c+d =?(A) 3

10(B) -3 10 (C)10 3 (D) -10 3 。 Sol) (A)8.已知一矩形周長為 100,且其對角線長為 x,請問此矩形面積為何呢?(A) 2 x 1250-2 (B) 2 x 1250-3 (C) 2 x -1250 2 (D) 2 x -1250 3 Sol) (B)9.試化簡1 2 3 2 2 2

a b- a b-3abc+a c-4a c -3abc

2 2       =?(A) 2 2 a b+3a c(B) 2 2 -a b+3a c (C) 2 2 a b-3a c(D) 2 2 -a b-3a c Sol) (D)10.若多項式 A、B 皆為 x 的三次多項式,則下列三人的敘述何者正確?甲 生:A-B 可能只有一項常數項;乙生:A-B 可能是 x 的三次多項式; 丙生:A-B 可能是 x 的二次多項式。(A)甲對(B)乙對(C)丙對(D) 全部說的都對。 Sol) 假設 A、B 為兩多項式,其次數分別是 m、n,則○1 若 m=n,則 A B 的次數 不大於 m 次。○2 若 m>n,則 A B 的次數是 m 次。 【進階練習題】 (D)1.設 6 5 4 3 2

(

2

)

3 x +3x +6x +7x +6x +3x+1= ax +bx+c ,請問 a+b+c=?(A)6(B) 5(C)4(D)3。

Sol)令x=127= a+b+c

(

)

3 a+b+c=3

(B)2.有一多項式為

(

5 4 2

) (

4

)

(14)

(

) (

)

( )

( )

( )

( )

5 4 3 2 5 4 2 5 4 3 2 ax +3x +x -2x +1 + 2x -bx +x -3x-2 = a+2 x + 3-b x +x -x -3x-1 a+2 =0 a=-2 a-b=-2-3=-5 3-b =0 b=3       

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

199 199 199 199 x 1 -4+3-2+2 = -1 = -1 =a x -1 4-3-2+2 =1 =1 -1 -1 -2 b= = =-1 a+b=-1-1=-2 2 2    將 以 代入 將 以 代入 3+2 1-2+3 3-4+5-6 3-6+9 2-4-6 2-4+6 -12 問 a+b=?(A)0(B)1(C)2(D)3。 Sol)

( )

5 4 2 ax + b-1 x +x -3x+6 a=0, b-1=0, b=1 a+b=1   為二次多項式 (A)3.有一多項式 a(x+1)(x-2)+b(x+2)(x-1)+(x-2)(x+1) 化簡為 2x2+6x+c,則 a+b+c=? (A)-3 (B)-4 (C)-5 (D) -6。 Sol) a(x2-x-2)+b(x2+x-2)+(x2-x-2)=2x2+3x+c (a+b+1)x2+(-a+b-1)x+(-2a-2b-2)=2x2+6x+c   a+b=1 b-a=7  a=-3 b=4,c=-4 ,則 a+b+c=-3 (B)4.假設有兩多項式 5 4 3 2 5 4 2 ax +3x +x -2x +1與2x -bx +x -3x-2相加後,次數變為 三次,請問 a-b=?(A)5(B)-5(C)13(D)-13。 Sol) (C)5.將 x 的多項式

(

51 33 28

)

199 -4x -3x -2x +2 展開後,各項係數和為 a,各奇數次 項係數和為 b,請問 a+b=?(A)-1(B)1(C)-2(D)2。 Sol) (D)6.假設 3 2

(

2

)

(

)

3x -4x +5x-6= x -2x+3 px+q +r,請問 p、q、r 的大小為何呢? (A) q>r>p (B) r<p<q (C) p<q<r (D) p>q>r 。 Sol) px+q=3x+2 , r=-12p>q>r (B)7.若多項式 3 2 x +4x +5x-5除以A,得商式 x+2,餘式 2x-3,請問 A=?(A) 2 x -2x-1 (B)x +2x-1 (C)2 2x +2x-1 (D)2 2x +2x-2 。 2

(15)

( )( ) (

)

3 2 x +ax +bx+3a= x-1 x-2 + 3x-7 x 1 1+a+b+3a=3-7 x 2 8+4a+2b+3a=b-7 4a+b=-5 -b=-35+36, b=-1 7a+2b=-9        商式 將 以 代入 將 以 代入 Sol)

(

) (

)

3 2 2 x +4x +5x-5=A x+2 + 2x-3 A=x +2x-1  (A)8.若 a、b 皆為實數,且多項式 3 2

( )( )

x +ax +bx+3a除以 x-1 x-2 的餘式3x-7, 則=?(A)-1(B)0(C)1(D)2。 Sol) (C)9.有一多項式 8 6 5 4 2 4x -7x +9x -7x +3x -2x-1被 5x+5 除時,請問其餘式為何呢? (A)-5(B)-10(C)-15(D)-20。 Sol) 可令 5x+5=0 得 x=-1,代入4x -7x +9x -7x +3x -2x-18 6 5 4 2 =4-7-9-7+3+2-1=-15 (B)10.已知一多項式 A 被 2 2x -4x+2 除的餘式為 3x+8,請問 A 被 x-1 除時,餘 式為何呢?(A)-11(B)11(C)-9(D)9。 Sol)

(

)

(

) ( )

(

)

( )

2 2 A= 2x -4x+2 + 3x+8 =2 x-1 + 3x+8 A x-1 x 1 =0+3+8=11     商式 商式 除以 的餘式 將 以 代入 餘式

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