• 沒有找到結果。

第 2 章 多項式函數

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "第 2 章 多項式函數"

Copied!
22
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)

第 2 章 多項式函數

2-1 簡單多項式函數及其圖形

基礎題

1.試畫出下列各函數圖形:

(1)f(x)=-2x+1。

(2)g(x)=x2+4x+3。

(3)h(x)=-x3。 解 (1)直接描點

x -1 0 1 2

f(x) 3 1 -1 -3

(2)配方:x2+4x+3=(x+2)2-1,圖形開口向上,頂點為(-2﹐-1),再描點 x -4 -3 -2 -1 0

g(x) 3 0 -1 0 3

(3)直接描點

x -2 -1 0 1 2

h(x) 8 1 0 -1 -8

(2)

2.設 f(x)為一次函數,若 x 值每增加 2 時,其對應之 y 值增加 3,且 f(0)=-5,求 f(x)。 解 假設f(x)=ax+b,因為 f(0)=-5b=-5

x 值每增加 2 時,其對應之 y 值增加 3,

所以f(2)=f(0)+3=-22a+b=-2,解得 a=3

2 因此,f(x)=3 2x-5

3.假設地面溫度為 20°C,上空 x 公里處的大氣溫度是 y°C,那麼 y 可以表示 x 的函數為 y=f(x)。y=f(x)的關係式為 f(x)=



20-6x,0<-x<-11

-46,x>-11 。 試問:(1)從地面向上升高,在 5 公里處及 12 公里處的大氣溫度。

(2)在地面上方 10 公里以下的高度,每升高 1 公里,氣溫降低多少溫度?

解 (1)f(5)=20-6‧5=-10 f(12)=-46

故在 5 公里處及 12 公里處的大氣溫度分別為-10°C 及-46°C

(2)0<-x<-101<-x+1<-11,故f(x)=20-6x,f(x+1)=20-6(x+1)

所以f(x+1)-f(x)=(20-6(x+1))-(20-6x)=-6 故每升高 1 公里,氣溫降低 6°C

4.已知 y=f(x)為二次函數,

(1)若其圖形以(2﹐3)為頂點,且過點(3﹐1),求f(x)。

(2)若其圖形與 x 軸交於(-1﹐0)(3﹐0),且其頂點的 y 坐標為 4,求 f(x)。

解 (1)因為 f(x)為以(2﹐3)為頂點的二次函數,可設 f(x)=a(x-2)2+3 代入點(3﹐1),f(3)=a(3-2)2+3=1a=-2

f(x)=-2(x-2)2+3=-2x2+8x-5

(2)圖形與 x 軸交於(-1﹐0)(3﹐0),可設 f(x)=a(x+1)(x-3)

配方f(x)=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a 頂點的y 坐標為 4,故 4=-4aa=-1

f(x)=(-1)‧(x2-2x-3)=-x2+2x+3

5.將 y=x2+3x 的圖形沿 x 軸向右平移 2 單位,沿 y 軸向下平移 5 單位得到函數 y=f(x)的 圖形,求f(x)。

y=x2+3x ──────→y=(x-2)向右平移2單位 2+3(x-2)

向下平移5單位

──────→y=(x-2)2+3(x-2)-5 整理得y=x2-x-7

f(x)=x2-x-7

(3)

進階題

6.設 f(x)=x2-2x-1,

(1)若 x ,求 f(x)的最小值。

(2)若-2<-x<-2,求f(x)的最大值與最小值。

(3)若 2<-x<-3,求f(x)的最大值與最小值。

(4)若-2<-x<-0,求f(x)的最大值與最小值。

解 (1)配方 x2-2x-1=(x-1)2-2,故 f(x)的最小值為-2

(2)由圖 1 可知 若-2<-x<-2,則f(x)的最大值為 7,最小值為-2 (3)由圖 2 可知,若 2<-x<-3,則f(x)的最大值為 2,最小值為-1 (4)由圖 3 可知,若-2<-x<-0,則f(x)的最大值為 7,最小值為-1

圖(一) 圖(二) 圖(三) 7.若函數 f(x)=ax2+bx+c 的點形如下圖,則下列各數哪些為負數?

(A)a (B)b (C)c (D)b2-4ac (E)a-b+c

解 (A)×:圖形開口向上,故 a>0 (B)×:頂點在 y 軸左側,故 -b

2a<0b

2a>0b>0(a>0)

(C)○:圖形與 y 軸的交點坐標為 f(0)=c,c<0 (D)×:圖形與 y 軸有兩個交點,故判別式 b2-4ac>0 (E)○:圖形與直線 x=-1 的交點坐標為(-1﹐f(-1)

f(-1)=a-b+c,由圖形知 f(-1)<0 故選(C)(E)

(4)

8.下圖為四個函數 y=-x3,y=-(x+2)3-1,y=x4y=(x-1)4-2 的圖形。試選出 Γ1Γ2,Γ3Γ4對應的函數。

Γ2,Γ4為三次函數的圖形;Γ1,Γ3為四次函數的圖形 Γ1Γ2通過原點

Γ1y=x4的圖形 Γ2y=-x3的圖形

Γ3y=(x-1)4-2 的圖形 Γ4y=-(x+2)3-1 的圖形

9.已知 y=x4的圖形對稱於y 軸,試問 y=(x+1)4-2 的圖形對稱於哪一直線?

y=x4 ──────→y=(x+1)向左平移1單位 4 ──────→y=(x+2)向下平移2單位 4-2 x=0(y 軸)向左平移 1 單位再向下平移 2 單位為 x+1=0

因此,y=(x+2)-2 對稱於直線 x+1=0

10.若拋物線 y=2x2-12x+18+5a 與 y=-5x2+10bx+8-5b2有相同的頂點,求此頂點坐標。

解 配方:2x2-12x+18+5a=2(x-3)2+5a,頂點為(3﹐5a)

-5x2+10bx+8-5b2=-5(x-b)2+8,頂點為(b﹐8)

因此,5a=8,b=3,故此頂點坐標為(3﹐8)

11.某製造玩具工廠,每次接到訂單都需開模 5 萬元,製造每一千個玩具材料費需 2 萬元,由 此建立生產的基本成本函數f(x)=5+2x,其中 x 以千個為單位。依過去經驗,接到訂單 數量與報價總值有如下關係:

數量(千個) 報價總值(萬元)

5 37.5 10 70 15 97.5 以此資料建立一個二次函數的報價總值函數g(x),及獲利函數

h(x)=g(x)-f(x)。

(1)若接到訂單為 20 千個,試問交貨時,每千個玩具的基本成本平均是多少?

(2)試求報價總值函數 g(x)

(3)根據 h(x),試問訂單數量是多少時,獲利總值最高?

(5)

解 (1)f(20)=5+2×20=45,故每千個玩具的基本成本平均是45 20=9

4萬元

(2)假設 g(x)=ax2+bx+c,故 g(5)=37.5,g(10)=70,g(15)=97.5 25a+5b+c=37.5,100a+10b+c=70,225a+15b+c=97.5,

相鄰兩式相減,得 75a+5b=32.5,125a+5b=27.5,再解得 50a=-5a=-1

10,b=8,代回 25a+5b+c=37.5,得 c=0 所以,g(x)=-1

10x2+8x (3)h(x)=-1

10x2+8x-(5+2x)=-1

10x2+6x-5=-1

10(x-30)2+85 故訂單數量是 30 千個時,獲利總值最高為 85 萬元

12.下圖為下列三個函數的圖形 y=a1x3,y=a2(x-3)3,y=a3(x-h)4。試選出正確的選 項。

(A)Γ1y=a1x3的圖形 (B)a1>0 (C)a2>0 (D)a3>0 (E)h>0 Γ1y=a1x3的圖形,a1<0(考慮 Γ1上的點(1﹐a1))

Γ2y=ax3,a>0 圖形的平移,因此 a2>0(也可以考慮 Γ2上一點(4﹐a2),得a2

>0)

Γ3y=bx4,b<0 圖形的向左平移 即形如y=b(x+t)4,b<0,t>0 因此a3=b<0,h=-t<0 故選(A)(C)

(6)

2-2 多項式的運算與應用 基礎題

1.設 f(x)=ax6-bx4+3x- 2,其中a,b 為非零實數,求 f(5)-f(-5)之值。

〔96.學測改〕

f(5)-f(-5)=(a‧56-b‧54+3‧5- 2)-(a(-5)6-b(-5)4+3(-5)

- 2)

=a(56-(-5)6)-b(54-(-5)4)+3(5-(-5))- 2+ 2

=3‧10=30 2.設 f(x)=8x4+6x2+6x-2,試求:

(1)以 x+1 除 f(x)之商式及餘式。

(2)以 2x+1 除 f(x)之商式及餘式。

解 利用綜合除法,

(1) 8+0+6+ 6 -2 -1

-8+8-14 +8 8-8+14-8 +6

故商式為 8x3-8x2+14x-8, 餘式為 6 (2) 8+0+6+6 -2 -1

2

-4+2-4 -1 2)8-4+8+2 -3 4-2+4+1

故商式為 4x3-2x2+4x+1, 餘式為-3

3.試求 f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)……(x+10)展開式中,試求:

(1)x10項的係數。(2)x9項的係數。

解 (1)(x+1)(x+2)(x+3)……(x+10)

x‧x‧x‧……‧x=x10,x10項的係數為 1 (2)(x+1)(x+2)…(x+10)

1‧x‧……‧x=x9 x‧2‧x‧……‧x=2x9

……

x‧……‧x‧10=10x9

x9項的係數為 1+2+3+……+10=55

(7)

4.若多項式 f(x),g(x)滿足 f(x)-g(x)=x3-5x2+x+1,且 x-1 為 g(x)的因式,

f(x)除以 x-1 的餘式為何?

f(x)=g(x)+(x3-5x2+x+1)

f(x)除以 x-1 的餘式為 f(1)

f(1)=g(1)+(1-5+1+1)=0+(-2)=-2

(因(x-1)整除 g(x),故 g(1)=0)

f(x)除以(x-1)的餘式為-2

5.若多項式 x3+4x2+5x-3 除以 f(x)的商式為 x+2,餘式為 2x-1,求 f(x)。

解 依題意,

x3+4x2+5x-3=f(x)‧(x+2)+(2x-1)

所以x3+4x2+3x-2=f(x)‧(x+2)

因此f(x)為 x3+4x2+3x-2 除以 x+2 的商式 1+4+3 -2 -2

-2-4 +2 1+2-1 +0 故f(x)=x2+2x-1

6.若多項式 x2+x+2 能整除 x5+x4+x3+px2+2x+q,求數對(p﹐q)。〔94.學測〕

解 由分離係數法

1+0-1+(p+1)

1+1+2) 1+1+1+ p + 2 + q 1+1+2

-1+ p + 2 -1- 1 - 2

(p+1)+ 4 + q

(p+1)+(p+1)+ 2(p+1)

(4-(p+1))+(q-2(p+1))

4-(p+1)=0

q-2(p+1)=0 得 p=3,q=8,即數對(p﹐q)=(3﹐8)

7.若 x4-3ax2+bx+4 有因式(x+1)及(x-2),求數對(a﹐b)。

解 由因式定理(-1)4-3a(-1)2+b(-1)+4=03a+b=5………○1 24-3a‧(2)2+b‧2+4=06a-b=10………○2

1 +○2 得 9a=15a=5

3 代入○1b=0 即數對(a﹐b)=

5 3﹐0

(8)

8.設 f(x)=2x3-4x2-x+1,

(1)f(x)=a+b(x-1)+c(x-1)(x-2)+d(x-1)(x-2)(x-3),求 a+b+c+d。

(2)若 f(x)=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d,求 a+b+c+d。

(3)求 f(1.99)至小數點以下第三位。

(4)求 f(2+ 5 )

解 (1)f(1)=2-4-1+1=-2=a+b‧0+c‧0+d‧0 得 a=-2

f(2)=2‧8-4‧4-2+1=-1=a+b(2-1)+c‧0+d‧0 得 b=1

f(3)=2.27-4.9-3+1=16=a+b(3-1)+c(3-1)(3-2)+d‧0 得 c=

8

比較x3項係數即可知d=2 故 a+b+c+d=-2+1+8+2=9 (2) 2-4-1 +1 2

+4+0 -2 2+0-1 -1

+4 +8 2 +4 +7

+4 2 +8

f(x)=2(x-2)3+8(x-2)2+7(x-2)-1 a+b+c+d=2+8+7-1=16

(3)f(1.99)=2(1.99-2)3+8(1.99-2)2+7(1.99-2)-1

=2(-0.01)3+8(-0.01)2+7(-0.01)-1

-1.07+0.0008=-1.0692-1.069

(4)f(2+ 5 )=2(2+ 5 -2)3+8(2+ 5 -2)2+7(2+ 5 -2)-1

=2×( 5 )3+8×( 5 )2+7× 5 -1=10 5 +40+7 5 -1

=39+17 5

9.f(x)=8x3-12x2+8x+1,求 f(1.501)之近似值至小數點後第三位。

解 2×1.501=3.002

f(x)=a(2x-3)3+b(2x-3)2+c(2x-3)+d 由綜合除法

8-12 + 8 +1 3 2

+12 + 0 +12 2) 8 + 0 + 8 +13 4 +0 + 4

+6 + 9

(9)

2) 4 +6 +13 2 +3

+3

)2 +6 1

f(x)=(2x-3)3+6(2x-3)2+13(2x-3)+13

f(1.501)=(3.002-3)3+6(3.002-3)2+13(3.002-3)+13

=(0.002)3+6(0.002)2+13(0.002)+130.026+13=13.026

進階題

10.若 a,b,c 為三相異實數,且 f(x)=(x-a)(x-b)

(c-a)(c-b)+

(x-b)(x-c)

(a-b)(a-c)+

(x-c)(x-a)

(b-c)(b-a),試求:

(1)f(a),f(b),f(c)。

(2)f(2)

解 (1)f(a)=(a-b)(a-c)

(a-b)(a-c)=1 f(b)=(b-c)(b-a)

(b-c)(b-a)=1 f(c)=(c-a)(c-b)

(c-a)(c-b)=1

(2)因為(x-a)(x-b),(x-b)(x-c),(x-c)(x-a)皆為 2 次多項式 故 deg(f(x))<-2

f(a)=f(b)=f(c)=1 故 f(x)=1 因此,f(2)=1

11.設 a,b 為正整數,且(13x+a)2=(12x+b)2+(5x+10)2對任意實數x 恆成立,求 a,

b 之值。

解 169x2+2‧13‧ax+a2=144x2+2‧12‧bx+b2+25x2+100x+100

=169x2+(24b+100)x+b2+100

∴26a=24b+10013a=12b+50

a=12 13b+50

13………○1 a2=b2+100………○2

1 代入○2

12 13b+50

13

2

=b2+100

(10)

144

169b2+1200

169b+2500

169=b2+100

25

169b2-1200

169b+14400 169 =0

25b2-1200b+14400=0(5b-120)2=0

∴b=24,故 a=12 13b+50

13=26

12.設 f(x)為一多項式。若(x+1)f(x)除以 x2+x+1 的餘式為 5x+3,求 f(x)除以 x2+x+1 的餘式。

解 設f(x)=(x2+x+1)q(x)+ax+b,q(x)是一多項式

則(x+1)f(x)=(x+1)(x2+x+1)q(x)+(ax+b)(x+1)

=(x+1)(x2+x+1)q(x)+ax2+(a+b)x+b

(x+1)f(x)除以 x2+x+1 的餘式等於 ax2+(a+b)x+b 除以 x2+x+1 的餘式 a

1+1+1) a+(a+b)+ b a+ a + a b +(b-a)

bx+(b-a)=5x+3,即 b=5,a=2 f(x)除以 x2+x+1 的餘式為 2x+5

13.學生練習計算三次多項式 f(x)=(x-1)g(x)其中 g(x)為二次多項式。已知 f(2011)

=4020,f(2012)=2011,f(2013)=6036,求 f(2015)。

f(2011)=2010‧g(2011)g(2011)=2 f(2012)=2011‧g(2012)g(2012)=1 f(2013)=2012‧g(2013)g(2013)=3

g(x)=A(x-2011)(x-2012)+B(x-2012)(x-2013)+C(x-2013)(x

-2011)

g(2011)=2 得 B(-1)(-2)=2B=1 g(2012)=1 得 C(-1)(1)=1C=-1 g(2013)=3 得 A×2×1=3A=3

2

∴g(2015)=3

2(2015-2011)(2015-2012)+(2015-2012)(2015-2013)

-(2015-2013)(2015-2011)

=3

2×4×3+3×2-2×4=16 故f(2015)=2014×16=32224

(11)

2-3 多項式方程式

基礎題

1.化簡下列各式:

(1)(  )(5  )(6 2)。

(2)(3i)(-5i)

2 3i

。

(3)

i 2 



2i 4 



 -3

8 



 5

2 

。

解 (1)(  )(5  )(6 2)=( 5 i)( 6 i)( 2i)

=( 5 . 6 . 2)i3

=(2 15 )(-i)=-2 15 i

(2)(3i)(-5i)

2 3i

=(3)(-5)

2 3 

.i3=(-10)(-i)=10i

(3)

i 2



2i 4 



 -3

8 



 5

2 

=

i 2



2i 4 



3 i 8 



 5

2i

=5 3

32 2i2=-5 3 32 2× 2

2=-5 6

64

2.求(1+i)10之值。

解 先計算(1+i)2=1+2i+i2=2i,所以(1+i)10=((1+i)25=(2i)5=32i

3.a,b 為實數,3-i

a+bi=1+i,求 a+bi 之值。

3-i

a+bi=1+i3-i=(a+bi)(1+i)a+bi=

3-i 1+i×1-i

1-i2-4i

2 =1-2i

4.k 為實數,試判定方程式 x2+kx+k+1=0 之根的性質。

D=k2-4(k+1)=k2-4k-4=(k-(2+2 2))(k-(2-2 2))

(12)

(1)當 D>0 時,即(k-(2+2 2))(k-(2-2 2))>0,

k>2+2 2或k<2-2 2時,原方程式的解為兩相異實根 (2)當 D=0,即 k=2+2 2或k=2-2 2時,原方程式的解為重根 (3)當 D<0,即 2-2 2<k<2+2 2時,原方程式的解為兩共軛虛根

5.設 1+i 為 x2+x-k=0 之一根,求 k 之值。

(1+i)2+(1+i)-k=0 得 2i+(1+i)-k=0 即 k=1+3i

6.α,β 為 x2+3x+4=0 的兩根,試求:

(1)α+β。(2)α2+β2。(3)α3+β3。(4)β α2α

β2。 解 由根與係數的關係知α+β=-3,αβ=4,

(1)α+β=-3

(2)α2+β2=(α+β)2-2αβ=(-3)2-2.4=1

(3)α3+β3=(α+β)(α2+β2-αβ)=(-3)(1-4)=9 (4)β

α2α

β2β3+α3 α2β2 =9

42=9 16

7.給定三次多項式 f(x)=(x-4)(x-6)(x-8)+(x-5)(x-7)(x-9),

(1)試求 f(4),f(5)。

(2)試證明 f(x)=0 在 4 與 5 之間至少有一實根。

解 (1)f(4)=0+(4-5)(4-7)(4-9)=(-1)(-3)(-5)=-15 f(5)=(5-4)(5-6)(5-8)+0=1.(-1)(-3)=3

(2)因為 f(4).f(5)<0,故由勘根定理知 f(x)=0 在 4 與 5 之間至少有一實根 8.設 a,b 為實數,且多項方程式 x3+ax2+bx+10=0 有一根為 1+2i,求此方程式的實根。

解 由虛根成對定理知另有一根 1-2i

多項式x3+ax2+bx+10=(x+c)(x-(1+2i))(x-(1-2i))

=(x+c)(x2-2x+5)

比較係數即知 5c=10c=2 故此方程式有一實根-2 9.解方程式 x3+3x2+4x+4=0。

解 由一次因式檢驗法,設ax-b 為一次因式 a=±1,b=±1,±2,±4 故b

a=±1,±2,±4 f(x)=x3+3x2+4x+4,f(-2)=-8+12-8+4=0

(13)

故(x+2)為 f(x)的一次因式 1+3+4 +4 -2

-2-2 -4 1+1+2 +0

f(x)=(x+2)(x2+x+2)

x2+x+2=0 的兩根為 x=-1± 1-4.1.2

2 =-1± 7 i 2 故f(x)=0 的三根為 x=-2,-1+ 7 i

2 ,-1- 7 i 2

進階題

10.假設 a 是正實數,且實係數一元二次方程式 x2+kx+1=0 有一根a 3-2 2

3 i。試求:

(1)a 之值。 (2)k 之值。

解 (1)因為實係數多項式方程式虛根成對,故知另一根為a 3+2 2

3 i 由根與係數的關係知,

a

3+2 2 3 i



a

3-2 2 3 i

=1,得a2 9+8

9=1,故得 a=1

(2)-k=

a

3+2 2 3 i 

+

a

3-2 2 3 i 

=2a 3=2

3 得 k=-2 3

11.二次方程式 ax2-(a-1)x-6=0 有一根在 1 與 2 之間,另一根在-1 與-2 之間,求實 數a 之範圍。

解 令f(x)=ax2-(a-1)x-6

由題意知f(1)f(2)<0 且 f(-1)f(-2)<0

而且由下圖知,f(2),f(-2)同號,即 f(2)f(-2)>0

所以(2a-4)(6a-8)>0,-5(2a-4)<0 且(2a-7)(6a-8)<0

整理可得

  

a>2或a<43

a>2,

4

3<a<7 2,

故 2<a<7 2

12.設整係數方程式 x4+3x3+bx2+cx+10=0 有四相異有理根,求此四根。

(14)

解 由一次因式檢驗法知,若ax-b 為 x4+3x3+bx2+cx+10 之因式 則a 整除 1,且 b 整除 10,故因式 ax-b 對應的根b

a為一整數

故可令原方程式之有理根為p,q,r,s,其中 p,q,r,s 為相異整數 x4+3x3+bx2+cx+10=(x-p)(x-q)(x-r)(x-s)

比較係數知p+q+r+s=-3 p.q.r.s=10=2×5

故知p,q,r,s 必為±1,±2,±5,±10 其中一部分 經窮舉知p,q,r,s 為 1,-1,2,-5

(15)

2-4 多項式函數的圖形與多項式不等式 基礎題

1.解下列不等式:(1)x2+5x-6<0。 (2)x2-2x-1>-0。 解 (1)x2+5x-6<0(x-1)(x+6)<0-6<x<1

(2)x2-2x-1=0 之兩根為-(-2)± (-2)2-4.1.(-1)

2 =1± 2

x2-2x-1>-0(x-(1+ 2))(x-(1- 2))>-0

x<-1- 2或x>-1+ 2

2.若 f(x)是二次函數且 f(x)<-0的解為「x<-1或x>-9」,則f(x)可能是下列何者?

(A)f(x)=(x-1)(x-9) (B)f(x)=2(x-1)(x-9)

(C)f(x)=(1-x)(9-x) (D)f(x)=(1-x)(x-9)

解 (A)(B)(C)的解皆為(x-1)(x-9)<-01<-x<-9

(D)的解為-(x-1)(x-9)<-0(x-1)(x-9)>-0x<-1或x>-9 故選(D)

3.解下列不等式:

(1)(2-x)(x+3)(x+4)<0。 (2)(x+2)(x+3)(x+4)2<0。

解 (1)(2-x)(x+3)(x+4)<0(x-2)(x+3)(x+4)>0

故得-4<x<-3 或 x>2

(2)(x+4)2恆不為負,故原式(x+2)(x+3)<0

故-3<x<-2

4.若 f(x)=(x-1)(x-3)2的圖形如下:則下列何者是不等式f(x)+1>0 的解?

(16)

(A)0 (B)3 (C)1.001 (D)2.999 解 (A)×:考慮 f(0)=(-1)(-3)2=-9<0

(B)(C)(D)○:y=f(x)+1 的圖形是 y=f(x)上移 1 單位,故 f(x)+1>0 的解包含 區間(1﹐∞)

故選(B)(C)(D)

5.若對所有的實數 x,3x2+2ax-a>-0均成立,求a 的範圍。

解 判別式D=(2a)2-4.3.(-a)<-0 故 4a2+12a<-0a

2+3a<-0a(a+3)<-0

得 3<-a<-0

6.解下列分式不等式:

(1) x2-3x

(x-1)(x-2)>0。(2) 1 x-

1

x+2<0。

解 (1) x2-3x

(x-1)(x-2)>0 與(x2-3x)(x-1)(x-2)>0 有相同解 x(x-3)(x-1)(x-2)>0

x<0 或 1<x<2 或 x>3 (2)通分得(x+2)-x

x(x+2) <0,故 2

x(x+2)<0 即 x(x+2)<0

故-2<x<0

7.解不等式(x2-x)2-5(x2-x)-6<-0。 解 令t=x2-x

(17)

原式為t2-5t-6<-0

(t+1)(t-6)<-0(x2-x+1)(x2-x-6)<-0

(x2-x+1)(x+2)(x-3)<-0

x2-x+1 之判別式 D=(-1)2-4.1.1<0 知x2-x+1 恆為正 故(x+2)(x-3)<-0

得-2<-x<-3

8.求不等式x2-7x+12

x2-2x+3>-1的解。

解 移項通分得

(x2-7x+12)-(x2-2x+3)

x2-2x+3 >-0

-5x+9 x2-2x+3>-0

(-5x+9)(x2-2x+3)>-0(因為x2-2x+3 恆正,由(-2)2-4.1.3<0 知)

-5x+9>-05x-9<-0x<- 9 5

進階題

9.若不等式 ax2-x+b>0 的解為-2

3<x<1

2,求實數數對(a﹐b)。

解 -2

3<x<1

2對應的二次不等式為

x+2 3



x-1 2 

<0 即 x2+1 6x-1

3<0

-x2-1 6x+1

3>0-6x2-x+2>0 比較原不等式係數可得a=-6,b=2 故實數數對(a﹐b)=(-6﹐2)

10.設 f(x)為二次函數,且不等式 f(x)>0 之解為-2<x<4,求 f(3x)<0 之解。

(18)

f(x)=a(x+2)(x-4),a<0

f(3x)<0a(3x+2)(3x-4)<0 f(3x)<0(3x+2)(3x-4)>0

解得x<-2

3或x>4 3

11.試問不等式(x2+x+2)(x-5)(2x-25)<-0有多少個整數解?

x2+x+2 的判別式 12-4.1.2<0 故 x2+x+2 恆正 故原不等式(x-5)(2x-25)<-0 得 5<-x<-

25 2

故整數解為 5,6,7,8,9,10,11,12,共 8 個

12.若已知一實係數方程式 f(x)=x3+ax+b=0 之一複數根為 1-2i,試求:

(1)數對(a﹐b)。 (2)滿足 f(x)<0 的解。

解 (1)虛根成對知 f(x)=(x-(1-2i))(x-(1+2i))(x+c)=(x2-2x+5)(x+c)

比較係數可得c-2=0,5-2c=a,5c=b

因此c=2,b=10,a=1 得數對(a﹐b)=(1﹐10)

(2)f(x)=(x2-2x+5)(x+2)<0x+2<0 即 x<-2

(19)

第 2 章 綜合演練

一、多選題(每題 8 分,錯一個選項得 5 分,錯兩個選項得 2 分,其餘不給分,共 32 分)

((C)(D))1.下列敘述何者正確?

(A)5+4i>3+4i (B)a,b ,a2+b2=0,則 a=b=0 (C)a,b ,ab=0,則 a=0 或 b=0

(D)若 z 為複數,且 z=¯z ,則 z 必為實數 解 (A)×:複數不能比大小

(B)×:12+i2=0

(C)○:若 a=0,則 b=0

a=0;若 b=0,則 a=0 b=0 (D)○:若 z 不為實數,則 z 與¯z 的虛部不同

故選(C)(D)

((A)(B))2.設 f(x)為三次實係數多項式,且知複數 1+i 為 f(x)=0 之一解。試問下列哪 些敘述是正確的?

(A)f(1-i)=0 (B)f(2+i)=0 (C)沒有實數 x 滿足 f(x)=x (D)沒有實數 x 滿足 f(x3)=0

解 (A)○:因為實係數多項式方程式虛根成對

(B)○:若 f(2+i)=0,則 f(x)=0 有四相異根,

f(x)為三次實係數多項式,f(x)=0 只有三個根 (C)×:考慮 f(x)-x=0 為三次實係數方程式,至少有一實根 (D)×:f(x3)=0 為九次實係數方程式,至少有一實根

故選(A)(B)

((B)(C))3.設 f(x)=x3-2x+1

2,則f(x)=0 在下列哪些連續整數之間可以找到實根?

(A)-1 與 0 之間 (B)0 與 1 之間 (C)1 與 2 之間 (D)2 與 3 之間

x -2 -1 0 1 2

f(x) -7 2

3 2

1

2 -1

2

9 2 f(x)為三次實係數多項式,f(x)=0 只有三個根

由勘根定理f(x)=0 在-2 與-1 間、0 與 1 間與 1 與 2 之間都至少有一根 f(x)=0 三根在上述三個區間各一個 因此,(B)(C)正確

((A)(B))4.若 f(x)=(x-8)(x-2)(x-7)

(1-8)(1-2)(1-7)+4.(x-1)(x-7)(x-8)

(2-1)(2-7)(2-8)+49.

(x-1)(x-2)(x-8)

(7-1)(7-2)(7-8)+64.(x-1)(x-2)(x-7)

(8-1)(8-2)(8-7),則下列何正確?

(A)f(1)=1 (B)f(2)=4 (C)f(13)=28 (D)f(x)是一 3 次多項式

(20)

解 (A)○:f(1)=(1-8)(1-2)(1-7)

(1-8)(1-2)(1-7)+4.(1-1)(1-7)(1-8)

(2-1)(2-7)(2-8)

+49.(1-1)(1-2)(1-8)

(7-1)(7-2)(7-8)+64.(1-1)(1-2)(1-7)

(8-1)(8-2)(8-7)=1 (B)○:f(2)=(2-8)(2-2)(2-7)

(1-8)(1-2)(1-7)+4.(2-1)(2-7)(2-8)

(2-1)(2-7)(2-8)

+49.(2-1)(2-2)(2-8)

(7-1)(7-2)(7-8)+64.(2-1)(2-2)(2-7)

(8-1)(8-2)(8-7)=4 (C)(D)×:考慮 f(1)=1,f(2)=22=4,f(7)=72,f(8)=82又 deg(f(x))<-3,故f(x)=x2,因此f(13)=169

故選(A)(B)

二、填充題(除第 14.題,其餘每格 6 分,共 68 分)

5.求(-1+i)10+(-1-i)10= 0 。

解 (-1+i)2=1-2i+i2=-2i,(-1-i)2=1+2i+i2=2i

因此,(-1+i)10+(-1-i)10=(-2i)5+(2i)5=-32i+32i=0 6.求 f(x)=7x18-5x13+6x9-13x2+5,求 f(x)÷(x+1)的餘式為 -2 。

解 由餘式定理知f(x)÷(x+1)的餘式為

f(-1)=7(-1)18-5(-1)13+6(-1)9-13(-1)2+5

=7+5-6-13+5=-2

7.若 y=x3的圖形向右平移a 單位,再向上平移 2 單位後變成 y=x3-3x2+bx+c 的圖形,求 a

+b+c= 5 。

y=x3 右移a單位,上移2單位

─────────→y=(x-a)3+2

比較y=x3-3x2+bx+c=(x-1)3+(b-3)x+(c+1)的係數知 a=1,b-3=0b=3,c+1=2 故 a+b+c=5

8.設 x,y ,且 2x+y=4,求 x2+y2之最小值為 16 5 。 解 y=4-2x,所以 x2+y2=x2+(4-2x)2=5x2-16x+16

配方可得 5x2-16x+16=5

x-8 5 

2

+16

5 故最小值為16 5

9.設函數 f(x)=x2+ax+b,對任意實數 t,都有 f(2+t)=f(2-t),且 f(3)=0,求數 對(a﹐b)= (-4﹐3) 。

解 因為f(2+t)=f(2-t),所以 y=f(x)的對稱軸為 x=2

(21)

f(x)=x2+ax+b=(x-2)2+k

又因為f(3)=0,所以(3-2)2+k=0k=-1

比較x2+ax+b=(x-2)2-1 係數得 a=-4,b=3 故數對(a﹐b)=(-4﹐3)

10.以 x2+x-2 除 5x5-5x4+7x3-6x2+ax+b 所得餘式為 x-3,求 數對(a﹐b)=(-106﹐103)。

5-10+ 27 - 53 1+1-2) 5- 5+ 7- 6+ ab

5+ 5-10 -10+17- 6

-10-10+20 27-26+ a

27+27-54

-53+(a+54)+ b -53- 53 + 106

(a+107)+(b-106)

因此a+107=1,b-106=-3,得 a=-106,b=103 故數對(a﹐b)=(-106﹐103)

11.求 115-4.114-72.113-56.112+15.11+7= 51 。 解 令f(x)=x5-4x4-72x3-56x2+15x+7,原式=f(11)

由餘式定理知,f(11)為 f(x)被 x-11 除所得的餘數 1-14-72-56+15+ 7 11

11+77+55-11+44 1+ 7+ 5- 1+4 +51 因此,f(11)=51

12.設 a 為實數,令 α、β 為二次方程式 x2+ax+(2a-3)=0 的兩個實根。試求 α2+β2的最 小值為 2 。

解 由根與係數的關係知



α+β=-a αβ=2a-3,

D=a2-4.1.(2a-3)>-0a2-8a+12>-0(a-2)(a-6)>-0a>-6或a<-2 因此α2+β2=(α+β)2-2αβ=a2-4a+6=(a-2)2+2 因 a>-6或a<-2,最小值 2

13.多項式 f(x)以 x-1 除之餘式為 2,以 x+2 除之餘式為-4,則 f(x)以 x2+x-2 除之餘 式為 2x 。

解 令f(x)=(x2+x-2)q(x)+ax+b

=(x-1)(x+2)q(x)+ax+b

(22)

依題意由餘式定理知,f(1)=2,f(-2)=-4

a+b=2,-2a+b=-4,得 a=2,b=0 故所求為 2x 14.若 f(x)的圖形如下:

(1)求 f(-1)= 0 ,f(0)= 4 ,f(1)= 0 ,f(2)= -6 。(每格 1 分)

(2)f(x)=ax(x-1)(x+1)+b(x+1)x(x-2)+c(x+1)(x-1)(x-2)+dx(x

-1)(x-2),求序組(a﹐b﹐c﹐d)= (-1﹐0﹐2﹐0) 。(5 分)

(3)若 f(x)為一三次多項式,試求 f(x)>0 之解為 -1<x<1 或 x>4 。(5 分)

解 (1)圖形通過點(-1﹐0),(0﹐4),(1﹐0),(2﹐-6),故 f(-1)=0,f(0)=4,f(1)=0,f(2)=-6 (2)f(-1)=d(-1)(-1-1)(-1-2)=0d=0

f(0)=c(1)(-1)(-2)=4c=2 f(1)=b(1+1)(1)(1-2)=0b=0 f(2)=a.2(2-1)(2+1)=-6a=-1 故序組(a﹐b﹐c﹐d)=(-1﹐0﹐2﹐0)

(3)解 f(x)=-x(x-1)(x+1)+2(x+1)(x-1)(x-2)>0,化簡得

(x+1)(x-1)(-x+2(x-2))>0

(x+1)(x-1)(x-4)>0 故解為-1<x<1 或 x>4

參考文獻

相關文件

Chebyshev 多項式由 Chebyshev 於 1854 年提出, 它在數值分析上有重要的地位 [11], 本文的目的是介紹 Chebyshev 多項式及線性二階遞迴序列之行列式。 在第二節中, 我們先介

第五章 多項式.

第五章 多項式.

第六章

前一章我們學過了一次函數,本章將繼續延伸到二次函數。二次函數的函數圖形為拋

前一章我們學過了一次函數,本章將繼續延伸到二次函數。二次函數的函數圖形為拋

Caption 出現的文字 Enabled 是否有致能 Value

对于二元函数的自变量,我