第 2 章 多項式函數

第 2 章 多項式函數

2-1 簡單多項式函數及其圖形

基礎題

1.試畫出下列各函數圖形：

(1)f（x）＝－2x＋1。

(2)g（x）＝x²＋4x＋3。

(3)h（x）＝－x³。 解 (1)直接描點

x －1 0 1 2

f（x） 3 1 －1 －3

(2)配方：x²＋4x＋3＝（x＋2）²－1，圖形開口向上，頂點為（－2﹐－1），再描點 x －4 －3 －2 －1 0

g（x） 3 0 －1 0 3

(3)直接描點

x －2 －1 0 1 2

h（x） 8 1 0 －1 －8

2.設 f（x）為一次函數，若 x 值每增加 2 時，其對應之 y 值增加 3，且 f（0）＝－5，求 f（x）。 解 假設f（x）＝ax＋b，因為 f（0）＝－5b＝－5

x 值每增加 2 時，其對應之 y 值增加 3，

所以f（2）＝f（0）＋3＝－22a＋b＝－2，解得 a＝3

2 因此，f（x）＝3 2x－5

3.假設地面溫度為 20°C，上空 x 公里處的大氣溫度是 y°C，那麼 y 可以表示 x 的函數為 y＝f（x）。y＝f（x）的關係式為 f（x）＝



20－6x，0＜－x＜－11

－46，x＞－11 。 試問：(1)從地面向上升高，在 5 公里處及 12 公里處的大氣溫度。

(2)在地面上方 10 公里以下的高度，每升高 1 公里，氣溫降低多少溫度？

解 (1)f（5）＝20－6‧5＝－10 f（12）＝－46

故在 5 公里處及 12 公里處的大氣溫度分別為－10°C 及－46°C

(2)0＜－x＜－101＜－x＋1＜－11，故f（x）＝20－6x，f（x＋1）＝20－6（x＋1）

所以f（x＋1）－f（x）＝（20－6（x＋1））－（20－6x）＝－6 故每升高 1 公里，氣溫降低 6°C

4.已知 y＝f（x）為二次函數，

(1)若其圖形以（2﹐3）為頂點，且過點（3﹐1），求f（x）。

(2)若其圖形與 x 軸交於（－1﹐0），（3﹐0），且其頂點的 y 坐標為 4，求 f（x）。

解 (1)因為 f（x）為以（2﹐3）為頂點的二次函數，可設 f（x）＝a（x－2）²＋3 代入點（3﹐1），f（3）＝a（3－2）²＋3＝1a＝－2

故f（x）＝－2（x－2）²＋3＝－2x²＋8x－5

(2)圖形與 x 軸交於（－1﹐0），（3﹐0），可設 f（x）＝a（x＋1）（x－3）

配方f（x）＝a（x＋1）（x－3）＝a（x²－2x－3）＝a（x－1）²－4a 頂點的y 坐標為 4，故 4＝－4aa＝－1

故f（x）＝（－1）‧（x²－2x－3）＝－x²＋2x＋3

5.將 y＝x²＋3x 的圖形沿 x 軸向右平移 2 單位，沿 y 軸向下平移 5 單位得到函數 y＝f（x）的 圖形，求f（x）。

解 y＝x²＋3x ──────→y＝（x－2）^{向右平移2單位 2}＋3（x－2）

向下平移5單位

──────→y＝（x－2）²＋3（x－2）－5 整理得y＝x²－x－7

即f（x）＝x²－x－7

進階題

6.設 f（x）＝x²－2x－1，

(1)若 x ，求 f（x）的最小值。

(2)若－2＜－x＜－2，求f（x）的最大值與最小值。

(3)若 2＜－x＜－3，求f（x）的最大值與最小值。

(4)若－2＜－x＜－0，求f（x）的最大值與最小值。

解 (1)配方 x²－2x－1＝（x－1）²－2，故 f（x）的最小值為－2

(2)由圖 1 可知 若－2＜－x＜－2，則f（x）的最大值為 7，最小值為－2 (3)由圖 2 可知，若 2＜－x＜－3，則f（x）的最大值為 2，最小值為－1 (4)由圖 3 可知，若－2＜－x＜－0，則f（x）的最大值為 7，最小值為－1

圖(一) 圖(二) 圖(三) 7.若函數 f（x）＝ax²＋bx＋c 的點形如下圖，則下列各數哪些為負數？

(A)a (B)b (C)c (D)b²－4ac (E)a－b＋c

解 (A)×：圖形開口向上，故 a＞0 (B)×：頂點在 y 軸左側，故 －b

2a＜0b

2a＞0b＞0（a＞0）

(C)○：圖形與 y 軸的交點坐標為 f（0）＝c，c＜0 (D)×：圖形與 y 軸有兩個交點，故判別式 b²－4ac＞0 (E)○：圖形與直線 x＝－1 的交點坐標為（－1﹐f（－1））

又f（－1）＝a－b＋c，由圖形知 f（－1）＜0 故選(C)(E)

8.下圖為四個函數 y＝－x³，y＝－（x＋2）³－1，y＝x⁴，y＝（x－1）⁴－2 的圖形。試選出 Γ1， Γ2，Γ3及Γ4對應的函數。

解 Γ2，Γ4為三次函數的圖形；Γ1，Γ3為四次函數的圖形 Γ1及Γ2通過原點

故Γ1為y＝x⁴的圖形 Γ2為y＝－x³的圖形

Γ3為y＝（x－1）⁴－2 的圖形 Γ4為y＝－（x＋2）³－1 的圖形

9.已知 y＝x⁴的圖形對稱於y 軸，試問 y＝（x＋1）⁴－2 的圖形對稱於哪一直線？

解 y＝x⁴ ──────→y＝（x＋1）^{向左平移1單位 4} ──────→y＝（x＋2）^{向下平移2單位 4}－2 x＝0（y 軸）向左平移 1 單位再向下平移 2 單位為 x＋1＝0

因此，y＝（x＋2）－2 對稱於直線 x＋1＝0

10.若拋物線 y＝2x²－12x＋18＋5a 與 y＝－5x²＋10bx＋8－5b²有相同的頂點，求此頂點坐標。

解 配方：2x²－12x＋18＋5a＝2（x－3）²＋5a，頂點為（3﹐5a）

－5x²＋10bx＋8－5b²＝－5（x－b）²＋8，頂點為（b﹐8）

因此，5a＝8，b＝3，故此頂點坐標為（3﹐8）

11.某製造玩具工廠，每次接到訂單都需開模 5 萬元，製造每一千個玩具材料費需 2 萬元，由 此建立生產的基本成本函數f（x）＝5＋2x，其中 x 以千個為單位。依過去經驗，接到訂單 數量與報價總值有如下關係：

數量（千個） 報價總值（萬元）

5 37.5 10 70 15 97.5 以此資料建立一個二次函數的報價總值函數g（x），及獲利函數

h（x）＝g（x）－f（x）。

(1)若接到訂單為 20 千個，試問交貨時，每千個玩具的基本成本平均是多少？

(2)試求報價總值函數 g（x）。

(3)根據 h（x），試問訂單數量是多少時，獲利總值最高？

解 (1)f（20）＝5＋2×20＝45，故每千個玩具的基本成本平均是45 20＝9

4萬元

(2)假設 g（x）＝ax²＋bx＋c，故 g（5）＝37.5，g（10）＝70，g（15）＝97.5 25a＋5b＋c＝37.5，100a＋10b＋c＝70，225a＋15b＋c＝97.5，

相鄰兩式相減，得 75a＋5b＝32.5，125a＋5b＝27.5，再解得 50a＝－5a＝－1

10，b＝8，代回 25a＋5b＋c＝37.5，得 c＝0 所以，g（x）＝－1

10x²＋8x (3)h（x）＝－1

10x²＋8x－（5＋2x）＝－1

10x²＋6x－5＝－1

10（x－30）²＋85 故訂單數量是 30 千個時，獲利總值最高為 85 萬元

12.下圖為下列三個函數的圖形 y＝a1x³，y＝a2（x－3）³，y＝a3（x－h）⁴。試選出正確的選 項。

(A)Γ1為y＝a1x³的圖形 (B)a1＞0 (C)a2＞0 (D)a3＞0 (E)h＞0 解 Γ1為y＝a1x³的圖形，a1＜0（考慮 Γ1上的點（1﹐a1））

Γ2為y＝ax³，a＞0 圖形的平移，因此 a2＞0（也可以考慮 Γ2上一點（4﹐a2），得a2

＞0）

Γ3為y＝bx⁴，b＜0 圖形的向左平移 即形如y＝b（x＋t）⁴，b＜0，t＞0 因此a3＝b＜0，h＝－t＜0 故選(A)(C)

2-2 多項式的運算與應用 基礎題

1.設 f（x）＝ax⁶－bx⁴＋3x－ 2，其中a，b 為非零實數，求 f（5）－f（－5）之值。

〔96.學測改〕

解 f（5）－f（－5）＝（a‧5⁶－b‧5⁴＋3‧5－ 2）－（a（－5）⁶－b（－5）⁴＋3（－5）

－ 2）

＝a（5⁶－（－5）⁶）－b（5⁴－（－5）⁴）＋3（5－（－5））－ 2＋ 2

＝3‧10＝30 2.設 f（x）＝8x⁴＋6x²＋6x－2，試求：

(1)以 x＋1 除 f（x）之商式及餘式。

(2)以 2x＋1 除 f（x）之商式及餘式。

解 利用綜合除法，

(1) 8＋0＋6＋ 6 －2 －1

－8＋8－14 ＋8 8－8＋14－8 ＋6

故商式為 8x³－8x²＋14x－8， 餘式為 6 (2) 8＋0＋6＋6 －2 －1

2

－4＋2－4 －1 2）8－4＋8＋2 －3 4－2＋4＋1

故商式為 4x³－2x²＋4x＋1， 餘式為－3

3.試求 f（x）＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）……（x＋10）展開式中，試求：

(1)x¹⁰項的係數。(2)x⁹項的係數。

解 (1)（x＋1）（x＋2）（x＋3）……（x＋10）

x‧x‧x‧……‧x＝x¹⁰，x¹⁰項的係數為 1 (2)（x＋1）（x＋2）…（x＋10）

1‧x‧……‧x＝x⁹ x‧2‧x‧……‧x＝2x⁹

……

x‧……‧x‧10＝10x⁹

故x⁹項的係數為 1＋2＋3＋……＋10＝55

4.若多項式 f（x），g（x）滿足 f（x）－g（x）＝x³－5x²＋x＋1，且 x－1 為 g（x）的因式，

則f（x）除以 x－1 的餘式為何？

解 f（x）＝g（x）＋（x³－5x²＋x＋1）

f（x）除以 x－1 的餘式為 f（1）

f（1）＝g（1）＋（1－5＋1＋1）＝0＋（－2）＝－2

（因（x－1）整除 g（x），故 g（1）＝0）

故f（x）除以（x－1）的餘式為－2

5.若多項式 x³＋4x²＋5x－3 除以 f（x）的商式為 x＋2，餘式為 2x－1，求 f（x）。

解 依題意，

x³＋4x²＋5x－3＝f（x）‧（x＋2）＋（2x－1）

所以x³＋4x²＋3x－2＝f（x）‧（x＋2）

因此f（x）為 x³＋4x²＋3x－2 除以 x＋2 的商式 1＋4＋3 －2 －2

－2－4 ＋2 1＋2－1 ＋0 故f（x）＝x²＋2x－1

6.若多項式 x²＋x＋2 能整除 x⁵＋x⁴＋x³＋px²＋2x＋q，求數對（p﹐q）。〔94.學測〕

解 由分離係數法

1＋0－1＋（p＋1）

1＋1＋2） 1＋1＋1＋ p ＋ 2 ＋ q 1＋1＋2

－1＋ p ＋ 2 －1－ 1 － 2

（p＋1）＋ 4 ＋ q

（p＋1）＋（p＋1）＋ 2（p＋1）

（4－（p＋1））＋（q－2（p＋1））

故4－（p＋1）＝0

q－2（p＋1）＝0 得 p＝3，q＝8，即數對（p﹐q）＝（3﹐8）

7.若 x⁴－3ax²＋bx＋4 有因式（x＋1）及（x－2），求數對（a﹐b）。

解 由因式定理（－1）⁴－3a（－1）²＋b（－1）＋4＝03a＋b＝5………○¹ 2⁴－3a‧（2）²＋b‧2＋4＝06a－b＝10………○²

○¹ ＋○² 得 9a＝15a＝5

3 代入○¹ 得b＝0 即數對（a﹐b）＝_



5 3﹐0_





8.設 f（x）＝2x³－4x²－x＋1，

(1)f（x）＝a＋b（x－1）＋c（x－1）（x－2）＋d（x－1）（x－2）（x－3），求 a＋b＋c＋d。

(2)若 f（x）＝a（x－2）³＋b（x－2）²＋c（x－2）＋d，求 a＋b＋c＋d。

(3)求 f（1.99）至小數點以下第三位。

(4)求 f（2＋ 5 ）。

解 (1)f（1）＝2－4－1＋1＝－2＝a＋b‧0＋c‧0＋d‧0 得 a＝－2

f（2）＝2‧8－4‧4－2＋1＝－1＝a＋b（2－1）＋c‧0＋d‧0 得 b＝1

f（3）＝2．27－4．9－3＋1＝16＝a＋b（3－1）＋c（3－1）（3－2）＋d‧0 得 c＝

8

比較x³項係數即可知d＝2 故 a＋b＋c＋d＝－2＋1＋8＋2＝9 (2) 2－4－1 ＋1 2

＋4＋0 －2 2＋0－1 －1

＋4 ＋8 2 ＋4 ＋7

＋4 2 ＋8

f（x）＝2（x－2）³＋8（x－2）²＋7（x－2）－1 故a＋b＋c＋d＝2＋8＋7－1＝16

(3)f（1.99）＝2（1.99－2）³＋8（1.99－2）²＋7（1.99－2）－1

＝2（－0.01）³＋8（－0.01）²＋7（－0.01）－1

－1.07＋0.0008＝－1.0692－1.069

(4)f（2＋ 5 ）＝2（2＋ 5 －2）³＋8（2＋ 5 －2）²＋7（2＋ 5 －2）－1

＝2×（ 5 ）³＋8×（ 5 ）²＋7× 5 －1＝10 5 ＋40＋7 5 －1

＝39＋17 5

9.f（x）＝8x³－12x²＋8x＋1，求 f（1.501）之近似值至小數點後第三位。

解 2×1.501＝3.002

令f（x）＝a（2x－3）³＋b（2x－3）²＋c（2x－3）＋d 由綜合除法

8－12 ＋ 8 ＋1 3 2

＋12 ＋ 0 ＋12 2） 8 ＋ 0 ＋ 8 ＋13 4 ＋0 ＋ 4

＋6 ＋ 9

2） 4 ＋6 ＋13 2 ＋3

＋3

）2 ＋6 1

故f（x）＝（2x－3）³＋6（2x－3）²＋13（2x－3）＋13

f（1.501）＝（3.002－3）³＋6（3.002－3）²＋13（3.002－3）＋13

＝（0.002）³＋6（0.002）²＋13（0.002）＋130.026＋13＝13.026

進階題

10.若 a，b，c 為三相異實數，且 f（x）＝（x－a）（x－b）

（c－a）（c－b）＋

（x－b）（x－c）

（a－b）（a－c）＋

（x－c）（x－a）

（b－c）（b－a），試求：

(1)f（a），f（b），f（c）。

(2)f（2）。

解 (1)f（a）＝（a－b）（a－c）

（a－b）（a－c）＝1 f（b）＝（b－c）（b－a）

（b－c）（b－a）＝1 f（c）＝（c－a）（c－b）

（c－a）（c－b）＝1

(2)因為（x－a）（x－b），（x－b）（x－c），（x－c）（x－a）皆為 2 次多項式 故 deg（f（x））＜－2

且f（a）＝f（b）＝f（c）＝1 故 f（x）＝1 因此，f（2）＝1

11.設 a，b 為正整數，且（13x＋a）²＝（12x＋b）²＋（5x＋10）²對任意實數x 恆成立，求 a，

b 之值。

解 169x²＋2‧13‧ax＋a²＝144x²＋2‧12‧bx＋b²＋25x²＋100x＋100

＝169x²＋（24b＋100）x＋b²＋100

∴26a＝24b＋10013a＝12b＋50

a＝12 13b＋50

13………○¹ a²＝b²＋100………○²

○¹ 代入○² 得_



12 13b＋50

13^_

²

＝b²＋100

144

169b²＋1200

169b＋2500

169＝b²＋100

25

169b²－1200

169b＋14400 169 ＝0

25b²－1200b＋14400＝0（5b－120）²＝0

∴b＝24，故 a＝12 13b＋50

13＝26

12.設 f（x）為一多項式。若（x＋1）f（x）除以 x²＋x＋1 的餘式為 5x＋3，求 f（x）除以 x²＋x＋1 的餘式。

解 設f（x）＝（x²＋x＋1）q（x）＋ax＋b，q（x）是一多項式

則（x＋1）f（x）＝（x＋1）（x²＋x＋1）q（x）＋（ax＋b）（x＋1）

＝（x＋1）（x²＋x＋1）q（x）＋ax²＋（a＋b）x＋b

（x＋1）f（x）除以 x²＋x＋1 的餘式等於 ax²＋（a＋b）x＋b 除以 x²＋x＋1 的餘式 a

1＋1＋1） a＋（a＋b）＋ b a＋ a ＋ a b ＋（b－a）

故bx＋（b－a）＝5x＋3，即 b＝5，a＝2 即f（x）除以 x²＋x＋1 的餘式為 2x＋5

13.學生練習計算三次多項式 f（x）＝（x－1）g（x）其中 g（x）為二次多項式。已知 f（2011）

＝4020，f（2012）＝2011，f（2013）＝6036，求 f（2015）。

解 f（2011）＝2010‧g（2011）g（2011）＝2 f（2012）＝2011‧g（2012）g（2012）＝1 f（2013）＝2012‧g（2013）g（2013）＝3

令g（x）＝A（x－2011）（x－2012）＋B（x－2012）（x－2013）＋C（x－2013）（x

－2011）

由g（2011）＝2 得 B（－1）（－2）＝2B＝1 由g（2012）＝1 得 C（－1）（1）＝1C＝－1 由g（2013）＝3 得 A×2×1＝3A＝3

2

∴g（2015）＝3

2（2015－2011）（2015－2012）＋（2015－2012）（2015－2013）

－（2015－2013）（2015－2011）

＝3

2×4×3＋3×2－2×4＝16 故f（2015）＝2014×16＝32224

2-3 多項式方程式

基礎題

1.化簡下列各式：

(1)（  ）（5  ）（6 2）。

(2)（3i）（－5i）_



2 3i_



。

(3)_



 i 2 







2i 4 







 －3

8 







 5

2 



。

解 (1)（  ）（5  ）（6 2）＝（ 5 i）（ 6 i）（ 2i）

＝（ 5 ． 6 ． 2）i³

＝（2 15 ）（－i）＝－2 15 i

(2)（3i）（－5i）_



2 3i_



＝（3）（－5）_



2 3 ^_

．i³＝（－10）（－i）＝10i

(3)_



 i 2^_





2i 4 ^_





 －3

8 ^_





 5

2 



＝_



 i 2^_





2i 4 ^_





 3 i 8 ^_





 5

2i^_



＝5 3

32 2i²＝－5 3 32 2× ²

2＝－5 6

64

2.求（1＋i）¹⁰之值。

解 先計算（1＋i）²＝1＋2i＋i²＝2i，所以（1＋i）¹⁰＝（（1＋i）²）⁵＝（2i）⁵＝32i

3.a，b 為實數，3－i

a＋bi＝1＋i，求 a＋bi 之值。

解 3－i

a＋bi＝1＋i3－i＝（a＋bi）（1＋i）a＋bi＝

3－i 1＋i×1－i

1－i＝2－4i

2 ＝1－2i

4.k 為實數，試判定方程式 x²＋kx＋k＋1＝0 之根的性質。

解 D＝k²－4（k＋1）＝k²－4k－4＝（k－（2＋2 2））（k－（2－2 2））

(1)當 D＞0 時，即（k－（2＋2 2））（k－（2－2 2））＞0，

得k＞2＋2 2或k＜2－2 2時，原方程式的解為兩相異實根 (2)當 D＝0，即 k＝2＋2 2或k＝2－2 2時，原方程式的解為重根 (3)當 D＜0，即 2－2 2＜k＜2＋2 2時，原方程式的解為兩共軛虛根

5.設 1＋i 為 x²＋x－k＝0 之一根，求 k 之值。

解

（1＋i）²＋（1＋i）－k＝0 得 2i＋（1＋i）－k＝0 即 k＝1＋3i

6.α，β 為 x²＋3x＋4＝0 的兩根，試求：

(1)α＋β。(2)α²＋β²。(3)α³＋β³。(4)β α²＋α

β²。 解 由根與係數的關係知α＋β＝－3，αβ＝4，

(1)α＋β＝－3

(2)α²＋β²＝（α＋β）²－2αβ＝（－3）²－2．4＝1

(3)α³＋β³＝（α＋β）（α²＋β²－αβ）＝（－3）（1－4）＝9 (4)β

α²＋α

β²＝β³＋α³ α²β² ＝9

4²＝9 16

7.給定三次多項式 f（x）＝（x－4）（x－6）（x－8）＋（x－5）（x－7）（x－9），

(1)試求 f（4），f（5）。

(2)試證明 f（x）＝0 在 4 與 5 之間至少有一實根。

解 (1)f（4）＝0＋（4－5）（4－7）（4－9）＝（－1）（－3）（－5）＝－15 f（5）＝（5－4）（5－6）（5－8）＋0＝1．（－1）（－3）＝3

(2)因為 f（4）．f（5）＜0，故由勘根定理知 f（x）＝0 在 4 與 5 之間至少有一實根 8.設 a，b 為實數，且多項方程式 x³＋ax²＋bx＋10＝0 有一根為 1＋2i，求此方程式的實根。

解 由虛根成對定理知另有一根 1－2i

多項式x³＋ax²＋bx＋10＝（x＋c）（x－（1＋2i））（x－（1－2i））

＝（x＋c）（x²－2x＋5）

比較係數即知 5c＝10c＝2 故此方程式有一實根－2 9.解方程式 x³＋3x²＋4x＋4＝0。

解 由一次因式檢驗法，設ax－b 為一次因式 a＝±1，b＝±1，±2，±4 故b

a＝±1，±2，±4 令f（x）＝x³＋3x²＋4x＋4，f（－2）＝－8＋12－8＋4＝0

故（x＋2）為 f（x）的一次因式 1＋3＋4 ＋4 －2

－2－2 －4 1＋1＋2 ＋0

f（x）＝（x＋2）（x²＋x＋2）

x²＋x＋2＝0 的兩根為 x＝－1± 1－4．1．2

2 ＝－1± 7 i 2 故f（x）＝0 的三根為 x＝－2，－1＋ 7 i

2 ，－1－ 7 i 2

進階題

10.假設 a 是正實數，且實係數一元二次方程式 x²＋kx＋1＝0 有一根a 3－2 2

3 i。試求：

(1)a 之值。 (2)k 之值。

解 (1)因為實係數多項式方程式虛根成對，故知另一根為a 3＋2 2

3 i 由根與係數的關係知，_



a

3＋2 2 3 i_







a

3－2 2 3 i_



＝1，得a² 9＋8

9＝1，故得 a＝1

(2)－k＝_



a

3＋2 2 3 i _



＋_



a

3－2 2 3 i _



＝2a 3＝2

3 得 k＝－2 3

11.二次方程式 ax²－（a－1）x－6＝0 有一根在 1 與 2 之間，另一根在－1 與－2 之間，求實 數a 之範圍。

解 令f（x）＝ax²－（a－1）x－6

由題意知f（1）f（2）＜0 且 f（－1）f（－2）＜0

而且由下圖知，f（2），f（－2）同號，即 f（2）f（－2）＞0

所以（2a－4）（6a－8）＞0，－5（2a－4）＜0 且（2a－7）（6a－8）＜0

整理可得

  

a＞2，

4

3＜a＜7 2，

故 2＜a＜7 2

12.設整係數方程式 x⁴＋3x³＋bx²＋cx＋10＝0 有四相異有理根，求此四根。

解 由一次因式檢驗法知，若ax－b 為 x⁴＋3x³＋bx²＋cx＋10 之因式 則a 整除 1，且 b 整除 10，故因式 ax－b 對應的根b

a為一整數

故可令原方程式之有理根為p，q，r，s，其中 p，q，r，s 為相異整數 x⁴＋3x³＋bx²＋cx＋10＝（x－p）（x－q）（x－r）（x－s）

比較係數知p＋q＋r＋s＝－3 p．q．r．s＝10＝2×5

故知p，q，r，s 必為±1，±2，±5，±10 其中一部分 經窮舉知p，q，r，s 為 1，－1，2，－5

2-4 多項式函數的圖形與多項式不等式 基礎題

1.解下列不等式：(1)x²＋5x－6＜0。 (2)x²－2x－1＞－0。 解 (1)x²＋5x－6＜0（x－1）（x＋6）＜0－6＜x＜1

(2)x²－2x－1＝0 之兩根為－（－2）± （－2）²－4．1．（－1）

2 ＝1± 2

故x²－2x－1＞－0（x－（1＋ 2））（x－（1－ 2））＞－0

故x＜－1－ 2或x＞－1＋ 2

2.若 f（x）是二次函數且 f（x）＜－0的解為「x＜－1或x＞－9」，則f（x）可能是下列何者？

(A)f（x）＝（x－1）（x－9） (B)f（x）＝2（x－1）（x－9）

(C)f（x）＝（1－x）（9－x） (D)f（x）＝（1－x）（x－9）

解 (A)(B)(C)的解皆為（x－1）（x－9）＜－01＜－x＜－9

(D)的解為－（x－1）（x－9）＜－0（x－1）（x－9）＞－0x＜－1或x＞－9 故選(D)

3.解下列不等式：

(1)（2－x）（x＋3）（x＋4）＜0。 (2)（x＋2）（x＋3）（x＋4）²＜0。

解 (1)（2－x）（x＋3）（x＋4）＜0（x－2）（x＋3）（x＋4）＞0

故得－4＜x＜－3 或 x＞2

(2)（x＋4）²恆不為負，故原式（x＋2）（x＋3）＜0

故－3＜x＜－2

4.若 f（x）＝（x－1）（x－3）²的圖形如下：則下列何者是不等式f（x）＋1＞0 的解？

(A)0 (B)3 (C)1.001 (D)2.999 解 (A)×：考慮 f（0）＝（－1）（－3）²＝－9＜0

(B)(C)(D)○：y＝f（x）＋1 的圖形是 y＝f（x）上移 1 單位，故 f（x）＋1＞0 的解包含 區間（1﹐∞）

故選(B)(C)(D)

5.若對所有的實數 x，3x²＋2ax－a＞－0均成立，求a 的範圍。

解 判別式D＝（2a）²－4．3．（－a）＜－0 故 4a²＋12a＜－0a

2＋3a＜－0a（a＋3）＜－0

得 3＜－a＜－0

6.解下列分式不等式：

(1) x²－3x

（x－1）（x－2）＞0。(2) 1 x－

1

x＋2＜0。

解 (1) x²－3x

（x－1）（x－2）＞0 與（x²－3x）（x－1）（x－2）＞0 有相同解 x（x－3）（x－1）（x－2）＞0

故x＜0 或 1＜x＜2 或 x＞3 (2)通分得（x＋2）－x

x（x＋2） ＜0，故 2

x（x＋2）＜0 即 x（x＋2）＜0

故－2＜x＜0

7.解不等式（x²－x）²－5（x²－x）－6＜－0。 解 令t＝x²－x

原式為t²－5t－6＜－0

（t＋1）（t－6）＜－0（x²－x＋1）（x²－x－6）＜－0

（x²－x＋1）（x＋2）（x－3）＜－0

由x²－x＋1 之判別式 D＝（－1）²－4．1．1＜0 知x²－x＋1 恆為正 故（x＋2）（x－3）＜－0

得－2＜－x＜－3

8.求不等式x²－7x＋12

x²－2x＋3＞－1的解。

解 移項通分得

（x²－7x＋12）－（x²－2x＋3）

x²－2x＋3 ＞－0

－5x＋9 x²－2x＋3＞－0

（－5x＋9）（x²－2x＋3）＞－0（因為x²－2x＋3 恆正，由（－2）²－4．1．3＜0 知）

－5x＋9＞－05x－9＜－0x＜－ 9 5

進階題

9.若不等式 ax²－x＋b＞0 的解為－2

3＜x＜1

2，求實數數對（a﹐b）。

解 －2

3＜x＜1

2對應的二次不等式為_



x＋2 3^_





x－1 2 ^_

＜0 即 x²＋1 6x－1

3＜0

－x²－1 6x＋1

3＞0－6x²－x＋2＞0 比較原不等式係數可得a＝－6，b＝2 故實數數對（a﹐b）＝（－6﹐2）

10.設 f（x）為二次函數，且不等式 f（x）＞0 之解為－2＜x＜4，求 f（3x）＜0 之解。

解

f（x）＝a（x＋2）（x－4），a＜0

故f（3x）＜0a（3x＋2）（3x－4）＜0 故f（3x）＜0（3x＋2）（3x－4）＞0

解得x＜－2

3或x＞4 3

11.試問不等式（x²＋x＋2）（x－5）（2x－25）＜－0有多少個整數解？

解 x²＋x＋2 的判別式 1²－4．1．2＜0 故 x²＋x＋2 恆正 故原不等式（x－5）（2x－25）＜－0 得 5＜－x＜－

25 2

故整數解為 5，6，7，8，9，10，11，12，共 8 個

12.若已知一實係數方程式 f（x）＝x³＋ax＋b＝0 之一複數根為 1－2i，試求：

(1)數對（a﹐b）。 (2)滿足 f（x）＜0 的解。

解 (1)虛根成對知 f（x）＝（x－（1－2i））（x－（1＋2i））（x＋c）＝（x²－2x＋5）（x＋c）

比較係數可得c－2＝0，5－2c＝a，5c＝b

因此c＝2，b＝10，a＝1 得數對（a﹐b）＝（1﹐10）

(2)f（x）＝（x²－2x＋5）（x＋2）＜0x＋2＜0 即 x＜－2

第 2 章 綜合演練

一、多選題（每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分，其餘不給分，共 32 分）

（(C)(D)）1.下列敘述何者正確？

(A)5＋4i＞3＋4i (B)a，b ，a²＋b²＝0，則 a＝b＝0 (C)a，b ，ab＝0，則 a＝0 或 b＝0

(D)若 z 為複數，且 z＝¯z ，則 z 必為實數 解 (A)×：複數不能比大小

(B)×：1²＋i²＝0

(C)○：若 a＝^﹨0，則 b＝0

a＝0；若 b＝^﹨0，則 a＝0 b＝0 (D)○：若 z 不為實數，則 z 與¯z 的虛部不同

故選(C)(D)

（(A)(B)）2.設 f（x）為三次實係數多項式，且知複數 1＋i 為 f（x）＝0 之一解。試問下列哪 些敘述是正確的？

(A)f（1－i）＝0 (B)f（2＋i）＝^﹨0 (C)沒有實數 x 滿足 f（x）＝x (D)沒有實數 x 滿足 f（x³）＝0

解 (A)○：因為實係數多項式方程式虛根成對

(B)○：若 f（2＋i）＝0，則 f（x）＝0 有四相異根，

但f（x）為三次實係數多項式，f（x）＝0 只有三個根 (C)×：考慮 f（x）－x＝0 為三次實係數方程式，至少有一實根 (D)×：f（x³）＝0 為九次實係數方程式，至少有一實根

故選(A)(B)

（(B)(C)）3.設 f（x）＝x³－2x＋1

2，則f（x）＝0 在下列哪些連續整數之間可以找到實根？

(A)－1 與 0 之間 (B)0 與 1 之間 (C)1 與 2 之間 (D)2 與 3 之間

解 x －2 －1 0 1 2

f（x） －7 2

3 2

1

2 －1

2

9 2 f（x）為三次實係數多項式，f（x）＝0 只有三個根

由勘根定理f（x）＝0 在－2 與－1 間、0 與 1 間與 1 與 2 之間都至少有一根 故f（x）＝0 三根在上述三個區間各一個 因此，(B)(C)正確

（(A)(B)）4.若 f（x）＝（x－8）（x－2）（x－7）

（1－8）（1－2）（1－7）＋4．（x－1）（x－7）（x－8）

（2－1）（2－7）（2－8）＋49．

（x－1）（x－2）（x－8）

（7－1）（7－2）（7－8）＋64．（x－1）（x－2）（x－7）

（8－1）（8－2）（8－7），則下列何正確？

(A)f（1）＝1 (B)f（2）＝4 (C)f（13）＝28 (D)f（x）是一 3 次多項式

解 (A)○：f（1）＝（1－8）（1－2）（1－7）

（1－8）（1－2）（1－7）＋4．（1－1）（1－7）（1－8）

（2－1）（2－7）（2－8）

＋49．（1－1）（1－2）（1－8）

（7－1）（7－2）（7－8）＋64．（1－1）（1－2）（1－7）

（8－1）（8－2）（8－7）＝1 (B)○：f（2）＝（2－8）（2－2）（2－7）

（1－8）（1－2）（1－7）＋4．（2－1）（2－7）（2－8）

（2－1）（2－7）（2－8）

＋49．（2－1）（2－2）（2－8）

（7－1）（7－2）（7－8）＋64．（2－1）（2－2）（2－7）

（8－1）（8－2）（8－7）＝4 (C)(D)×：考慮 f（1）＝1，f（2）＝2²＝4，f（7）＝7²，f（8）＝8²， 又 deg（f（x））＜－3，故f（x）＝x²，因此f（13）＝169

故選(A)(B)

二、填充題（除第 14.題，其餘每格 6 分，共 68 分）

5.求（－1＋i）¹⁰＋（－1－i）¹⁰＝ 0 。

解 （－1＋i）²＝1－2i＋i²＝－2i，（－1－i）²＝1＋2i＋i²＝2i

因此，（－1＋i）¹⁰＋（－1－i）¹⁰＝（－2i）⁵＋（2i）⁵＝－32i＋32i＝0 6.求 f（x）＝7x¹⁸－5x¹³＋6x⁹－13x²＋5，求 f（x）÷（x＋1）的餘式為 －2 。

解 由餘式定理知f（x）÷（x＋1）的餘式為

f（－1）＝7（－1）¹⁸－5（－1）¹³＋6（－1）⁹－13（－1）²＋5

＝7＋5－6－13＋5＝－2

7.若 y＝x³的圖形向右平移a 單位，再向上平移 2 單位後變成 y＝x³－3x²＋bx＋c 的圖形，求 a

＋b＋c＝ 5 。

解 y＝x³ 右移a單位，上移2單位

─────────→y＝（x－a）³＋2

比較y＝x³－3x²＋bx＋c＝（x－1）³＋（b－3）x＋（c＋1）的係數知 a＝1，b－3＝0b＝3，c＋1＝2 故 a＋b＋c＝5

8.設 x，y ，且 2x＋y＝4，求 x²＋y²之最小值為 16 5 。 解 y＝4－2x，所以 x²＋y²＝x²＋（4－2x）²＝5x²－16x＋16

配方可得 5x²－16x＋16＝5_



x－8 5 ^_

²

＋16

5 故最小值為16 5

9.設函數 f（x）＝x²＋ax＋b，對任意實數 t，都有 f（2＋t）＝f（2－t），且 f（3）＝0，求數 對（a﹐b）＝ （－4﹐3） 。

解 因為f（2＋t）＝f（2－t），所以 y＝f（x）的對稱軸為 x＝2

故f（x）＝x²＋ax＋b＝（x－2）²＋k

又因為f（3）＝0，所以（3－2）²＋k＝0k＝－1

比較x²＋ax＋b＝（x－2）²－1 係數得 a＝－4，b＝3 故數對（a﹐b）＝（－4﹐3）

10.以 x²＋x－2 除 5x⁵－5x⁴＋7x³－6x²＋ax＋b 所得餘式為 x－3，求 數對（a﹐b）＝（－106﹐103）。

解 5－10＋ 27 － 53 1＋1－2） 5－ 5＋ 7－ 6＋ a ＋ b

5＋ 5－10 －10＋17－ 6

－10－10＋20 27－26＋ a

27＋27－54

－53＋（a＋54）＋ b －53－ 53 ＋ 106

（a＋107）＋（b－106）

因此a＋107＝1，b－106＝－3，得 a＝－106，b＝103 故數對（a﹐b）＝（－106﹐103）

11.求 11⁵－4．11⁴－72．11³－56．11²＋15．11＋7＝ 51 。 解 令f（x）＝x⁵－4x⁴－72x³－56x²＋15x＋7，原式＝f（11）

由餘式定理知，f（11）為 f（x）被 x－11 除所得的餘數 1－14－72－56＋15＋ 7 11

11＋77＋55－11＋44 1＋ 7＋ 5－ 1＋4 ＋51 因此，f（11）＝51

12.設 a 為實數，令 α、β 為二次方程式 x²＋ax＋（2a－3）＝0 的兩個實根。試求 α²＋β²的最 小值為 2 。

解 由根與係數的關係知



α＋β＝－a αβ＝2a－3，

D＝a²－4．1．（2a－3）＞－0a²－8a＋12＞－0（a－2）（a－6）＞－0a＞－6或a＜－2 因此α²＋β²＝（α＋β）²－2αβ＝a²－4a＋6＝（a－2）²＋2 因 a＞－6或a＜－2，最小值 2

13.多項式 f（x）以 x－1 除之餘式為 2，以 x＋2 除之餘式為－4，則 f（x）以 x²＋x－2 除之餘 式為 2x 。

解 令f（x）＝（x²＋x－2）q（x）＋ax＋b

＝（x－1）（x＋2）q（x）＋ax＋b

依題意由餘式定理知，f（1）＝2，f（－2）＝－4

故a＋b＝2，－2a＋b＝－4，得 a＝2，b＝0 故所求為 2x 14.若 f（x）的圖形如下：

(1)求 f（－1）＝ 0 ，f（0）＝ 4 ，f（1）＝ 0 ，f（2）＝ －6 。（每格 1 分）

(2)f（x）＝ax（x－1）（x＋1）＋b（x＋1）x（x－2）＋c（x＋1）（x－1）（x－2）＋dx（x

－1）（x－2），求序組（a﹐b﹐c﹐d）＝ （－1﹐0﹐2﹐0） 。（5 分）

(3)若 f（x）為一三次多項式，試求 f（x）＞0 之解為 －1＜x＜1 或 x＞4 。（5 分）

解 (1)圖形通過點（－1﹐0），（0﹐4），（1﹐0），（2﹐－6），故 f（－1）＝0，f（0）＝4，f（1）＝0，f（2）＝－6 (2)f（－1）＝d（－1）（－1－1）（－1－2）＝0d＝0

f（0）＝c（1）（－1）（－2）＝4c＝2 f（1）＝b（1＋1）（1）（1－2）＝0b＝0 f（2）＝a．2（2－1）（2＋1）＝－6a＝－1 故序組（a﹐b﹐c﹐d）＝（－1﹐0﹐2﹐0）

(3)解 f（x）＝－x（x－1）（x＋1）＋2（x＋1）（x－1）（x－2）＞0，化簡得

（x＋1）（x－1）（－x＋2（x－2））＞0

（x＋1）（x－1）（x－4）＞0 故解為－1＜x＜1 或 x＞4