多項式與 線性二階遞迴序列之行列式表示法

Chebyshev 多項式與

線性二階遞迴序列之行列式表示法

翁翠微 · 顏綺美 · 陳政宏

1. 引言

Chebyshev 多項式由 Chebyshev 於 1854 年提出, 它在數值分析上有重要的地位 [11], 本文的目的是介紹 Chebyshev 多項式及線性二階遞迴序列之行列式。 在第二節中, 我們先介 紹 Chebyshev 多項式(一、 二型), 然後討論它與其他二階遞迴序列的關係 (見第三節), 在第四 節則求 Chebyshev 多項式之行列式表示式, 並應用於其他二階遞迴序列及特定行列式之值。

2. Chebyshev 多項式

Chebyshev[11] 於1854年考慮多項式序列 {Tn(x)}n≥0 ={cos(n cos⁻¹x)}n≥0。 令 θ = cos⁻¹x,即 x = cos θ, 則 Tn(x) = cos(nθ)⇔ Tn(cos θ) = cos(nθ).

因為 cos(n + 1)θ + cos(n − 1)θ = 2 cos θ cos(nθ), 我們可以得到 T_n+1(x) + T_n−1(x) = cos((n + 1)θ) + cos((n− 1)θ)

= 2 cos(θ) cos(nθ)

= 2x cos(nθ)

= 2xT_n(x), 即有下列遞迴關係

T_n+1(x) = 2xT_n(x)− Tn−1(x), (n≥ 1).

因此我們有下列之定義。

定義 2.1 (第一型 Chebyshev 多項式[11]). 第一型 Chebyshev 多項式序列 {Tn(x)}n≥0 定 義為

T₀(x) = 1, T₁(x) = x, T_n+1(x) = 2xT_n(x)− Tn−1(x), n≥ 1.

38

例 2.1. 利用定義 2.1, 我們有

n T_n(x)

0 1

1 x

2 2x²− 1

3 4x³− 3x

4 8x⁴− 8x²+ 1 5 16x⁵− 20x³+ 5x 6 32x⁶ − 48x⁴+ 18x²− 1 7 64x⁷− 112x⁵ + 56x³− 7x

同樣地, Chebyshev[11] 也考慮多項式序列 {Sn(x)}n≥0 ={sin(n cos⁻¹x)}n≥0。 令 Un(x) = S_n+1(x)

√1− x², 則 Un(x) = sin((n + 1) cos⁻¹x)

√1− x² 。 令 θ = cos⁻¹x, 即 x = cos θ, 則√

1− x² = sin θ。 因此 Un(x) = sin((n + 1)θ)

sin θ 。

因為 sin(n + 1)θ + sin(n − 1)θ = 2 cos θ sin(nθ), 我們可以得到 sin(n + 1)θ = 2 cos θ sin(nθ)− sin(n − 1)θ, 同除以 sin θ 得到

sin(n + 1)θ

sin θ = 2 cos θsin(nθ)

sin θ − sin(n− 1)θ sin θ , 所以,

U_n(x) = 2xU_n−1(x)− Un−2(x), n≥ 2.

因此我們也有下列之定義。

定義 2.2 (第二型 Chebyshev 多項式 [11]). 第二型 Chebyshev 多項式序列 {Un(x)}n≥0

定義為

U₀(x) = 1, U₁(x) = 2x, U_n+1(x) = 2xU_n(x)− Un−1(x), n≥ 1.

例 2.2. 由定義 2.2, 可得

n Un(x)

0 1

1 2x

2 4x²− 1

3 8x³− 4x

4 16x⁴− 12x²+ 1 5 32x⁵− 32x³+ 6x 6 64x⁶− 80x⁴+ 24x²− 1 7 128x⁷− 192x⁵+ 80x³− 8x

為了找出 {Tn(x)}n≥0 及 {Un(x)}n≥0之一般式, 我們先定義生成函數。

定義 2.3 ([3]). 數列 {an}n≥0 的生成函數定義為 ∑

n≥0a_nxⁿ。 同理, 函數序列 {an(x)}n≥0

的生成函數定義為 ∑

n≥0a_n(x)zⁿ。

首先, 我們找出 {Tn(x)}n≥0 及 {Un(x)}n≥0 的生成函數。

定理 2.1 ([6]).

(a) {Tn(x)}n≥0 的生成函數 g(x, z) 為 g(x, z) = 1− xz 1− 2xz + z²。 (b) {Un(x)}n≥0 的生成函數 h(x, z) 為 h(x, z) = 1

1− 2xz + z²。 證明. (a) 令 g(x, z) 為 {Tn(x)}n≥0 的生成函數, 即 g(x, z) =∑

n≥0T_n(x)zⁿ。 g(x, z) = T₀(x) + T₁(x)z + T₂(x)z²+· · ·

−2xzg(x, z) = −2xT0(x)z− 2xT1(x)z²− 2xT2(x)z³− · · · + z²g(x, z) = T₀(x)z²+ T₁(x)z³+ T₂(x)z⁴+· · ·

(1− 2xz + z²)g(x, z) = 1− xz 因此

g(x, z) = 1− xz 1− 2xz + z². (b) 同理{Un(x)}n≥0 的生成函數證法相似。

引理 2.1.

(a) T_n(x) =

(x +√

x²− 1)n

+( x−√

x² − 1)n

2 。

(b) U_n(x) = (x +√

x²− 1)ⁿ⁺¹− (x −√

x² − 1)ⁿ⁺¹ 2√

x²− 1 。

證明. (a) 由定理 2.1 得知,

∑

n≥0

T_n(x)zⁿ= 1− xz 1− 2xz + z²

= 1 2

[

1 1−(

x +√

x²− 1)

z + 1

1−( x−√

x²− 1) z

]

= 1 2

{∑

n≥0

[(

x +√

x²− 1) z

]n

+∑

n≥0

[(

x−√

x²− 1) z

]n}

=∑

n≥0

1 2

[(

x +√

x²− 1)n

+ (

x−√

x²− 1)n] zⁿ 所以,

T_n(x) =

(x +√

x²− 1)n

+( x−√

x²− 1)n

2 .

(b) 同理{Un(x)}n≥0 的證法相似。

註 2.1. 引理 2.1(a) 有更簡潔的證法, 因為 θ = cos⁻¹x, 故有 x = cos θ。

又 w = x +√

x²− 1 = cos θ +√

cos²θ− 1 = cos θ + i sin θ = e^iθ T_n(x) = cos(nθ)

= 1

2(e^inθ+ e^−inθ)

= 1

2(wⁿ+ w⁻ⁿ)

=

(x +√

x²− 1)n

+( x−√

x²− 1)n

2 引理 2.2 (Girard-Wairing 公式 [7]).

aⁿ+ bⁿ= ∑

0≤k≤ⁿ₂

(−1)^k n n− k

(n− k k

)

(a + b)^n−2k(ab)^k (2.1) aⁿ⁺¹− bⁿ⁺¹

a− b = ∑

0≤k≤ⁿ₂

(−1)^k

(n− k k

)

(a + b)^n−2k(ab)^k (2.2)

利用引理 2.1 及 2.2, 我們可得序列 {Tn(x)}n≥0 及 {Un(x)}n≥0 的一般式。

定理 2.2.

(a) T_n(x) = 1 2

⌊ⁿ₂⌋

∑

k=0

(−1)^k n n− k

(n− k k

)

(2x)^n−2k。

(b) U_n(x) =

⌊ⁿ₂⌋

∑

k=0

(−1)^k

(n− k k

)

(2x)^n−2k。 證明. (a) 由引理 2.1 得知,

T_n(x) =

(x +√

x²− 1)n

+( x−√

x²− 1)n

2 。

在引理 2.2 (2.1) 中, 我們令 a = x +√

x²− 1, b = x −√

x²− 1, 即 a + b = 2x, ab = 1,可得

T_n(x) = 1 2

⌊ⁿ₂⌋

∑

k=0

(−1)^k n n− k

(n− k k

)

(2x)^n−2k. (b) 同理{Un(x)}n≥0 的證法相似, 在引理 2.2 (2.2) 中, 我們令 a = x +√

x²− 1, b = x−√

x² − 1, 即 a + b = 2x, ab = 1。

註 2.2 ([11]). 第三型 Chebyshev 多項式序列 {Vn(x)}n≥0 定義為

V₀(x) = 1, V₁(x) = 2x− 1, V_n+1(x) = 2xV_n(x)− Vn−1(x) n ≥ 1;

第四型 Chebyshev 多項式序列 {Wn(x)}n≥0 定義為

W₀(x) = 1, W₁(x) = 2x + 1, W_n+1(x) = 2xW_n(x)− Wn−1(x) n ≥ 1.

其與第二型 Chebyshev 多項式的關係如下 :

V_n(x) = U_n(x)− Un−1(x) Wn(x) = Un(x) + Un−1(x)

因本文著重於第一型和第二型 Chebyshev 多項式, 故不詳加論述, 如讀者有興趣, 請見 [4] 和 [11]。

3. Chebyshev 多項式與其他序列之關係

在本節中, 我們想利用第一型及第二型 Chebyshev 多項式 {Tn(x)}n≥0、 {Un(x)}n≥0 表 出其他序列。

3.1. _第一型 Chebyshev 多項式與其他序列之關係

定理 3.1. 線性遞迴序列 {bn(x)}n≥0 滿足遞迴關係式

bn(x) = A(x)· bn−1(x) + B· bn−2(x), b0 = 2, b1 = A(x).

其中 B ̸= 0, 則

b_n(x) = 2 (

−1 B

)⁻ⁿ

2

T_n (

A(x) 2

(

−1 B

)¹

2

)

. (3.1)

證明. 利用生成函數求得 bn(x)的一般式為 2(αⁿ⁺¹− βⁿ⁺¹)− A(x)(αⁿ− βⁿ)

α− β = αⁿ(2α− A(x)) + βⁿ(A(x)− 2β)

α− β .

再利用 α + β = A(x), 得到 2α − A(x) = α − β, A(x) − 2β = α − β。 代回得

b_n(x) = αⁿ+ βⁿ (3.2)

其中 α = A(x) +√

A²(x) + 4B

2 , β = A(x)−√

A²(x) + 4B

2 。

已知第一型 Chebyshev 多項式 Tn(y)滿足遞迴關係式 :

T_n(y) = 2yT_n−1(y)− Tn−2(y), T₀(y) = 1, T₁(y) = y.

而 Tn(y) 的一般式為

T_n(y) = rⁿ+ sⁿ

2 , r(y) = y +√

y²− 1, s(y) = y −√

y²− 1.

若令 r(y) = kα, s(y) = kβ, 得到 : y +√

y²− 1 = k · α (3.3)

y−√

y²− 1 = k · β (3.4)

將 (3.3)(3.4) 兩式相加得到

2y = k(α + β) = k· A(x) (3.5)

將 (3.3)(3.4) 兩式相減得到 2√

y²− 1 = k(α − β) = k ·√

A²(x) + 4B (3.6)

再將 (3.5) 代入 (3.6), 並將等式左右兩邊平方得到

k²A²(x)− 4 = k²A²(x) + 4k²B

→ −4 = 4k²B

→ k = ± (

−1 B

)¹₂

(3.7)

在這裡取 k = (

−1 B

)¹

2。 將 α = r

k, β = s

k 及 (3.7) 代回 (3.2) 中, 得到 b_n(x) = 1

kⁿ(rⁿ+ sⁿ)

= (

−1 B

)⁻ⁿ₂ 2T_n

(kA(x) 2

)

= 2 (

−1 B

)⁻ⁿ₂ T_n

( A(x)

2 (

−1 B

)¹₂)

註 3.1. 以上推導和[2]相似, 但將其結果推廣至多項式序列探討。

定義 3.1 (Lucas 多項式[8]). Lucas 多項式序列 {ℓn(x)}n≥0 的遞迴式定義為 ℓ0(x) = 2, ℓ1(x) = x, ℓn(x) = xℓn−1(x) + ℓn−2(x) (n≥ 2).

推論 3.1. Lucas 多項式序列 {ℓn(x)}n≥0 和 Chebyshev 多項式之間的關係 ℓ_n(x) = 2iⁿT_n

(−xi 2

) . 證明. 在 (3.1) 中 (A(x), B) = (x, 1), 則

ℓ_n(x) = 2i⁻ⁿT_n (xi

2 )

= 2(−i)⁻ⁿT_n (−xi

2 )

(因為Tn(−x) = (−1)ⁿT_n(x))

= 2iⁿT_n (−xi

2 )

.

註 3.2. 在推論 3.1 中, 若 x = 1, 我們可以得到 Lucas 數列 {Ln}n≥0, 即 L0 = 2, L1 = 1, Ln= Ln−1+ Ln−2(n≥ 2), 因此,

L_n = 2iⁿT_n (

−i 2

) .

定義 3.2 (第二型 Fermat 多項式[9]). 第二型 Fermat 多項式序列 {θn(x)}n≥0 的遞迴式定 義為

θ₀(x) = 2, θ₁(x) = x, θ_n(x) = xθ_n−1(x)− 2θn−2(x) (n≥ 2).

推論 3.2. 第二型 Fermat 多項式序列 {θn(x)}n≥0 和 Chebyshev 多項式的關係 θ_n(x) = (√

2)ⁿ⁺²T_n ( x

2√ 2

) . 證明. 在 (3.1) 中令 (A(x), B) = (x, −2), 則

θ_n(x) = 2 (1

2 )⁻ⁿ₂

T_n (

x 2

(1 2

)¹₂)

=√

2ⁿ⁺²T_n ( x

2√ 2

)

定義 3.3 (Pell-Lucas 多項式 [10]). Pell-Lucas 多項式序列 {Qn(x)}n≥0 的定義為 Q₀(x) = 2, Q₁(x) = 2x, Q_n(x) = 2xQ_n−1(x) + Q_n−2(x) (n≥ 2).

推論 3.3 ([10]). Pell-Lucas 多項式序列 {Qn(x)}n≥0 和 Chebyshev 多項式的關係 Q_n(x) = 2(−i)ⁿT_n(xi).

證明. 在 (3.1) 中令 (A(x), B) = (2x, 1), 則

Q_n(x) = 2(−i)ⁿT_n(xi)

3.2. _第二型 Chebyshev 多項式與其他序列之關係

定理 3.2. 線性遞迴序列 {an(x)}n≥0 滿足遞迴關係式

a_n(x) = A(x)a_n−1(x) + Ba_n−2(x), a₀(x) = 1, a₁(x) = A(x).

其中 B ̸= 0。 則

a_n(x) = (

−1 B

)⁻ⁿ

2

U_n (

A(x) 2

(

−1 B

)¹

2

)

. (3.8)

證明. 與定理 3.1 證明作法一樣, 令 r(y) = kα, s(y) = kβ 得到 (3.3)∼(3.7)。 而 an(x) 的 一般式 :

an(x) = αⁿ⁺¹− βⁿ⁺¹

α− β (3.9)

其中 α = A(x) +√

A²(x) + 4B

2 , β = A(x)−√

A²(x) + 4B

2 。

而 α = r

k, β = s

k 及 (3.7) 代回 (3.9) 中, 得到 a_n(x) =

(

−1 B

)⁻ⁿ

2

U_n (

A(x) 2

(

−1 B

)¹

2

)

定義 3.4 (Fibonacci 多項式[5]). Fibonacci 多項式序列 {fn(x)}n≥0 的遞迴式定義為 f₀(x) = 1, f₁(x) = x, f_n(x) = xf_n−1(x) + f_n−2(x) (n≥ 2).

推論 3.4. Fibonacci 多項式序列 {fn(x)}n≥0 和 Chebyshev 多項式的關係 f_n(x) = iⁿU_n

(−xi 2

) . 證明. 在 (3.8) 中令 (A(x), B) = (x, 1), 則

f_n(x) = i⁻ⁿU_n (xi

2 )

= iⁿU_n (−xi

2 )

(因為Un(−x) = (−1)ⁿU_n(x)) 註 3.3.

在推論 3.4 中, 若 x = 1, 我們可以得到 Fibonacci 數列 {Fn}n≥0 , 即 F₀ = 1, F₁ = 1, F_n = F_n−1+ F_n−2(n ≥ 2), 因此

F_n= iⁿU_n (−i

2 )

.

定義 3.5 (Morgan-Voyce 多項式[12]). Morgan-Voyce 多項式序列 {Bn(x)}n≥0 的遞迴 式定義為

B₀(x) = 1, B₁(x) = x + 2, B_n(x) = (x + 2)B_n−1(x)− Bn−2(x) (n≥ 2).

推論 3.5. Morgan-Voyce 多項式序列 {Bn(x)}n≥0 和 Chebyshev 多項式之間的關係 B_n(x) = U_n

(x + 2 2

)

證明. 在 (3.8) 中令 (A(x), B) = (x + 2, −1), 則 B_n(x) = U_n

(x + 2 2

)

定義 3.6 (第一型 Fermat 多項式[9]). 第一型 Fermat 多項式序列 {ϕn(x)}n≥0 的遞迴式 定義為

ϕ₀(x) = 1, ϕ₁(x) = x, ϕ_n(x) = xϕ_n−1(x)− 2ϕn−2(x) (n≥ 2).

推論 3.6. 第一型 Fermat 多項式序列 {ϕn(x)}n≥0 和 Chebyshev 多項式的關係 ϕ_n(x) = (√

2)ⁿU_n ( x

2√ 2

) . 證明. 在 (3.8) 中令 (A(x), B) = (x, −2), 則

ϕ_n(x) = ( 1

√2 )_−n

U_n ( x

2√ 2

)

=√ 2ⁿU_n

( x 2√

2 )

定義 3.7 (Pell 多項式 [10]). 已知 Pell 多項式序列 {Pn(x)}n≥0 的定義為 P₀(x) = 1, P₁(x) = 2x, P_n(x) = 2xP_n−1(x) + P_n−2(x) (n≥ 2).

推論 3.7. Pell 多項式序列 {Pn(x)}n≥0 和 Chebyshev 多項式的關係 P_n(x) = (−i)ⁿU_n(xi).

證明. 在 (3.8) 中令 (A(x), B) = (2x, 1), 則

P_n(x) = i⁻ⁿU_n(xi) = (−i)ⁿU_n(xi)

4. Chebyshev 多項式之行列式表示法

在本節, 我們找出第一型、 第二型 Chebyshev 多項式的行列式表示法, 並利用其得到其 他序列的行列式表示法。

4.1. _第一型 Chebyshev 多項式與其他序列之行列式表示法

定理 4.1 ([11]). 第一型Chebyshev 多項式序列 {Tn(x)}n≥0 的行列式表示法為

T_n(x) =     

2x −1 0 · · · 0 0 0

−1 2x − 1 · · · 0 0 0 0 −1 2x · · · 0 0 0 ... ... ... . .. ... ... ... 0 0 0 · · · 2x −1 0 0 0 0 · · · −1 2x − 1 0 0 0 · · · 0 −1 x

    n×n

證明. 令 Rn(x) =     

2x −1 0 · · · 0 0 0

−1 2x − 1 · · · 0 0 0 0 −1 2x · · · 0 0 0 ... ... ... . .. ... ... ... 0 0 0 · · · 2x −1 0 0 0 0 · · · −1 2x − 1

0 0 0 · · · 0 −1 x

    n×n

則

R_n(x) = 2x    

2x−1 · · · 0 0 0

−1 2x · · · 0 0 0 ... ... . .. ... ... ...

0 0 · · · 2x −1 0 0 0 · · · −1 2x −1 0 0 · · · 0 −1 x

(n−1)×(n−1)

+    

−1 −1 · · · 0 0 0 0 2x · · · 0 0 0 ... ... . .. ... ... ...

0 0 · · · 2x −1 0 0 0 · · · −1 2x −1 0 0 · · · 0 −1 x

(n−1)×(n−1)

= 2xR_n−1(x)−    

2x· · · 0 0 0 ... . .. ... ... ...

0 · · · 2x −1 0 0 · · · −1 2x −1 0 · · · 0 −1 x

(n−2)×(n−2)

+    

0· · · 0 0 0 ... . .. ... ... ...

0· · · 2x −1 0 0· · · −1 2x −1 0· · · 0 −1 x

(n−1)×(n−1)

= 2xR_n−1(x)− Rn−2(x) 且

R₁(x) =x = x = T¹(x), R₂(x) =  

2x−1

−1 x 

= 2x²− 1

當 n = 2 時, R2(x) = 2xR1(x)− R0(x),所以 R0(x) = 2x²− (2x²− 1) = 1 = T0(x)。 因 為 Rn(x)的遞迴關係及起始條件皆與 Tn(x) 相同, 故

T_n(x) =     

2x −1 0 · · · 0 0 0

−1 2x −1 · · · 0 0 0 0 −1 2x · · · 0 0 0 ... ... ... . .. ... ... ... 0 0 0 · · · 2x −1 0 0 0 0 · · · −1 2x − 1 0 0 0 · · · 0 −1 x

    n×n

註 4.1. 這個定理出現於 [11] 的習題, 但並未證明。

定理 4.2. 定理 3.1 中 {bn(x)}n≥0 的行列式表示法為

b_n(x) = 2     

A(x) −√

Bi 0 · · · 0 0 0

−√

Bi A(x) −√

Bi· · · 0 0 0 0 −√

Bi A(x) · · · 0 0 0 ... ... ... . .. ... ... ... 0 0 0 · · · A(x) −√

Bi 0 0 0 0 · · · −√

Bi A(x) −√ Bi

0 0 0 · · · 0 −√

Bi ^A(x)₂     n×n

(4.1)

證明. 由定理 3.1 得知,

b_n(x) = 2 (

−1 B

)⁻ⁿ

2

T_n (

A(x) 2

(

−1 B

)¹

2

)

再根據定理 4.1, 我們有 Tn(x) 的行列式表示法, 可得到 bn(x) = 2

(

−1 B

)⁻ⁿ₂ Tn

( A(x)

2 (

−1 B

)¹₂)

= 2(√

Bi)ⁿT_n

( A(x) 2√

Bi )

= 2(√ Bi)ⁿ

A(x)√

Bi −1 0 · · · 0 0 0

−1 ^A(x)√_Bi −1 · · · 0 0 0 0 −1 ^A(x)√_Bi · · · 0 0 0 ... ... ... . .. ... ... ... 0 0 0 · · · ^A(x)√_Bi −1 0 0 0 0 · · · −1 ^A(x)√_Bi −1 0 0 0 · · · 0 −1 ₂^A(x)√_Bi

    n×n

= 2     

A(x) −√

Bi 0 · · · 0 0 0

−√

Bi A(x) −√

Bi · · · 0 0 0

0 −√

Bi A(x) · · · 0 0 0

... ... ... . .. ... ... ...

0 0 0 · · · A(x) −√

Bi 0

0 0 0 · · · −√

Bi A(x) −√ Bi

0 0 0 · · · 0 −√

Bi ^A(x)₂     n×n

註 4.2. 由證明我們可得

b_n(x) = 2 (

−1 B

)⁻ⁿ₂ T_n

( A(x)

2 (

−1 B

)¹₂)

= 2     

A(x) −√

Bi 0 · · · 0 0 0

−√

Bi A(x) −√

Bi · · · 0 0 0

0 −√

Bi A(x) · · · 0 0 0

... ... ... . .. ... ... ...

0 0 0 · · · A(x) −√

Bi 0

0 0 0 · · · −√

Bi A(x) −√ Bi

0 0 0 · · · 0 −√

Bi ^A(x)₂     n×n

推論 4.1. Lucas 多項式序列 {ℓn(x)}n≥0 的行列式表示法為

ℓ_n(x) = 2     

x − i 0 · · · 0 0 0

− i x − i · · · 0 0 0

0 −i x · · · 0 0 0

... ... ... . .. ... ... ...

0 0 0 · · · x −i 0

0 0 0 · · · − i x −i 0 0 0 · · · 0 − i ^x₂

    n×n

證明. 在 (4.1) 中令 (A(x), B) = (x, 1)。

註 4.3. 根據推論 4.1, 令 x = 1, 則 Lucas 數列 {Ln}n≥0 的行列式表示法為

L_n = 2     

1 − i 0 · · · 0 0 0

− i 1 − i · · · 0 0 0

0 −i 1 · · · 0 0 0

... ... ... . .. ... ... ...

0 0 0 · · · 1 −i 0

0 0 0 · · · − i 1 −i 0 0 0 · · · 0 − i ¹₂

    n×n

推論 4.2. 第二型 Fermat 多項式序列 {θn(x)}n≥0 的行列式表示法為

θ_n(x) = 2     

x √

2 0 · · · 0 0 0

√2 x √

2 · · · 0 0 0

0 √

2 x · · · 0 0 0 ... ... ... . .. ... ... ... 0 0 0 · · · x √

2 0 0 0 0 · · · √

2 x √

2 0 0 0 · · · 0 √

2 ^x₂     n×n

證明. 在 (4.1) 中令 (A(x), B) = (x, −2)。

推論 4.3. Pell-Lucas 多項式序列 {Qn(x)}n≥0 的行列式表示法為

Q_n(x) = 2     

2x − i 0 · · · 0 0 0

− i 2x − i · · · 0 0 0

0 −i 2x · · · 0 0 0

... ... ... . .. ... ... ...

0 0 0 · · · 2x −i 0

0 0 0 · · · − i 2x − i

0 0 0 · · · 0 − i x

    n×n

證明. 在 (4.1) 中令 (A(x), B) = (2x, 1)。

4.2. _第二型 Chebyshev 多項式與其他序列之行列式表示法

定理 4.3. 第二型 Chebyshev 多項式序列 {Un(x)}n≥0 的行列式表示法為

U_n(x) =     

2x − 1 0 · · · 0 0 0

− 1 2x − 1 · · · 0 0 0

0 −1 2x · · · 0 0 0

... ... ... . .. ... ... ...

0 0 0 · · · 2x −1 0

0 0 0 · · · − 1 2x −1

0 0 0 · · · 0 − 1 2x

    n×n

證明. 與定理 4.1 證法類似。

定理 4.4. 定理 3.2 中 {an(x)}n≥0 的行列式表示法為

a_n(x) =     

A(x) −√

Bi 0 · · · 0 0 0

−√

Bi A(x) −√

Bi · · · 0 0 0

0 −√

Bi A(x) · · · 0 0 0

... ... ... . .. ... ... ...

0 0 0 · · · A(x) −√

Bi 0

0 0 0 · · · −√

Bi A(x) −√ Bi

0 0 0 · · · 0 −√

Bi A(x)     n×n

(4.2)

證明. 由定理 3.2 得知,

a_n(x) = (

−1 B

)⁻ⁿ₂ U_n

( A(x)

2 (

−1 B

)¹₂)

再根據定理 4.3, 我們有 Un(x)的行列式表示法, 可得到

a_n(x) = (

−1 B

)⁻ⁿ₂ U_n

( A(x)

2 (

−1 B

)¹₂)

= (√

Bi)ⁿU_n

(A(x) 2√

Bi )

= (√ Bi)ⁿ

A(x)√

Bi −1 0 · · · 0 0 0

−1 ^A(x)√_Bi −1 · · · 0 0 0 0 −1 ^A(x)√_Bi · · · 0 0 0 ... ... ... . .. ... ... ... 0 0 0 · · · ^A(x)√_Bi −1 0 0 0 0 · · · −1 ^A(x)√_Bi −1 0 0 0 · · · 0 −1 ^A(x)√_Bi

    n×n

=     

A(x) −√

Bi 0 · · · 0 0 0

−√

Bi A(x) −√

Bi · · · 0 0 0

0 −√

Bi A(x) · · · 0 0 0

... ... ... . .. ... ... ...

0 0 0 · · · A(x) −√

Bi 0

0 0 0 · · · −√

Bi A(x) −√ Bi

0 0 0 · · · 0 −√

Bi A(x)     n×n

註 4.4. 由證明我們可得

a_n(x) = (

−1 B

)⁻ⁿ₂ U_n

( A(x)

2 (

−1 B

)¹₂)

=     

A(x) −√

Bi 0 · · · 0 0 0

−√

Bi A(x) −√

Bi · · · 0 0 0

0 −√

Bi A(x) · · · 0 0 0

... ... ... . .. ... ... ...

0 0 0 · · · A(x) −√

Bi 0

0 0 0 · · · −√

Bi A(x) −√ Bi

0 0 0 · · · 0 −√

Bi A(x)     n×n

推論 4.4. Fibonacci 多項式序列 {fn(x)}n≥0 的行列式表示法為

f_n(x) =     

x − i 0 · · · 0 0 0

− i x − i · · · 0 0 0

0 −i x · · · 0 0 0

... ... ... . .. ... ... ...

0 0 0 · · · x −i 0

0 0 0 · · · − i x − i

0 0 0 · · · 0 − i x

    n×n

證明. 在 (4.2) 中令 (A(x), B) = (x, 1)。

註 4.5. 根據推論 4.4, 令 x = 1, 則 Fibonacci 數列 {Fn}n≥0 的行列式表示法為

F_n=     

1 − i 0 · · · 0 0 0

− i 1 − i · · · 0 0 0

0 −i 1 · · · 0 0 0

... ... ... . .. ... ... ...

0 0 0 · · · 1 −i 0

0 0 0 · · · − i 1 − i

0 0 0 · · · 0 − i 1

    n×n

推論 4.5. [13] Morgan-Voyce 多項式序列 {Bn(x)}n≥0 的行列式表示法為

B_n(x) =     

x + 2 1 0 · · · 0 0 0 1 x + 2 1 · · · 0 0 0 0 1 x + 2· · · 0 0 0 ... ... ... . .. ... ... ... 0 0 0 · · · x + 2 1 0 0 0 0 · · · 1 x + 2 1 0 0 0 · · · 0 1 x + 2

    n×n

證明. 在 (4.2) 中令 (A(x), B) = (x + 2, −1)。

推論 4.6. 第一型 Fermat 多項式序列 {ϕn(x)}n≥0 的行列式表示法為

ϕ_n(x) =     

x √

2 0 · · · 0 0 0

√2 x √

2 · · · 0 0 0

0 √

2 x · · · 0 0 0 ... ... ... . .. ... ... ... 0 0 0 · · · x √

2 0 0 0 0 · · · √

2 x √

2 0 0 0 · · · 0 √

2 x     n×n

證明. 在 (4.2) 中令 (A(x), B) = (x, −2)。

推論 4.7. Pell 多項式序列 {Pn(x)}n≥0 的行列式表示法為

P_n(x) =     

2x − i 0 · · · 0 0 0

−i 2x −i · · · 0 0 0 0 −i 2x · · · 0 0 0 ... ... ... . .. ... ... ... 0 0 0 · · · 2x −i 0 0 0 0 · · · −i 2x −i 0 0 0 · · · 0 − i 2x     n×n

證明. 在 (4.2) 中令 (A(x), B) = (2x, 1)。

我們特別地提出行列式型如     

a b 0 · · · 0 0 0 b a b · · · 0 0 0 0 b a · · · 0 0 0 ... ... ... . .. ... ... ...

0 0 0 · · · a b 0 0 0 0 · · · b a b 0 0 0 · · · 0 b a

之值可由定理 4.4 及其與 Un(x)

的關係式求得, 以下提供兩個例子。

例 4.3. 張福春和莊淨惠 [1] 考慮 n × n 行列式 Dn =     

b b 0 · · · 0 0 0 b b b · · · 0 0 0 0 b b · · · 0 0 0 ... ... ... . .. ... ... ...

0 0 0 · · · b b 0 0 0 0 · · · b b b 0 0 0 · · · 0 b b

(其中

b > 0) 之值, 我們也可以利用 (4.2) 得到相同的結果。 比較 Dn 和 an(x), 令 A(x) = b,

−√

Bi = b, 則 B = −b², 由註 4.4, 我們可得 D_n=

(1 b²

)⁻ⁿ₂ U_n

( b 2

(1 b²

)¹₂)

= bⁿU_n (1

2 )

= bⁿsin(

(n + 1) cos^{−1 1}₂)

√

3 4

= bⁿ 2

√3sin (

(n + 1)π 3

)

= bⁿ 2

√3sin (π

3 +nπ 3

)

= bⁿ 2

√3 (

sinπ

3 cosnπ

3 + cosπ

3sinnπ 3

)

= bⁿ (

cosnπ 3 + 1

√3sinnπ 3

)

例 4.4. 同樣地, [1] 中提出之習題4的第6題也可以用相同的方法得到答案。

我們令

E_n =     

6 3 0 · · · 0 0 0 3 6 3 · · · 0 0 0 0 3 6 · · · 0 0 0 ... ... ... . .. ... ... ...

0 0 0 · · · 6 3 0 0 0 0 · · · 3 6 3 0 0 0 · · · 0 3 6     n×n

比較 En 和 an(x), 令 A(x) = 6, −√

Bi = 3,則 B = −9。 由註 4.4 我們可得 E_n=

(1 9

)⁻ⁿ₂ U_n

( 3

(1 9

)¹₂)

= 3ⁿU_n(1) 再由 [11] 得 Un(1) = n + 1, 則 En = (n + 1)3ⁿ。

5. 致謝

感謝中研院數學所計畫暑期研習活動, 讓筆者能夠在美國內華達大學數學系薛昭雄教授的 指導下, 完成此文, 也衷心感謝薛昭雄教授適時給予建議和鼓勵。 最後也要感謝審稿人的細心與 指教。

參考資料

1. 張福春、 莊淨惠, 線性遞迴關係之求解(下)。 數學傳播, 34(1): 35–57。

2. 翁翠微, Chebyshev 和 Morgan-Voyce 多項式、Fibonacci 數、Pell 數、Lucas 數等的關係探討。

數學傳播, 34(4): 31–42。

3. R. A. Brualdi, Introductory Combinatorics, North-Holland, New York, 1992.

4. Y. C. William Chen, The combinatorial power of the companion matrix, Linear Algebra and its Applications, 232(1996), 261–278.

5. Hacl Civciv and Ramazan T¨urkmen, On the (s,t)-Fibonacci and Fibonacci matrix se- quences, ARS Combinatoria, 87(2008), 2182–2212.

6. Louis Comtet, Advanced Combinatorics, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht- holland/Boston-U.S.A., 1974.

7. H. W. Gould, The Girard-Waring power sum formulas for symmetric functions and Fibonacci sequences, Fibonacci Quarterly, 37(2)(1999): 135–140.

8. A. F. Horadam, A synthesis of certain polynomial sequence, Applications of Fibonacci Numbers, 6(1968): 215–229.

9. A. F. Horadam, Chebyshev and fermat polynomials for diagonal functions, The Fi- bonacci Quarterly, 19(4)(1979): 328–333.

10. A. F. Horadam and Mahon Br. J. M., Pell and Pell-Lucas Polynomials, The Fibonacci Quarterly, 23(2)(1985): 7–20.

11. J. C. Mason and D. C. Handscomb, Chebyshev Polynomials. Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, 2003.

12. M. N. S. Swamy, Properties of the polynomials defined by Morgan-Voyce, Fibonacci Quarterly, 4(1966): 75–81.

13. Koshy Thomas, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, A Wiley-Interscience Publication, 2001.

—本文作者翁翠微為台大電機系、 台大電信所畢業, 現在就讀麻省理工學院博士班; 顏綺美為政

大應數系畢業, 現在就讀交大應數系碩士班; 陳政宏為國立台灣師範大學數學研究所碩士班學 生^—

2014 Taipei Workshop on Analysis and Geometry in Several Complex Variables

日 期 : 2014 年 12 月 15 日 (星期一) ∼ 2014 年 12 月 19 日 (星期五)

地 點 : 台北市大安區羅斯福路四段1號 天文數學館6樓演講廳

詳見中研院數學所網頁 http://www.math.sinica.edu.tw