司乃耳折射定律的推廣與應用

（投稿日期：民國96 年 5 月 2 日，修訂日期：96 年 8 月 30 日，接受日期：96 年 9 月 13 日） 摘要：經過深入的探討，我們可以將彩虹形成的原因解釋得更為清楚，並利用司乃耳 折射定律發展出更為精確的一種測量折射率的新方法。另外，我們也利用司乃耳折射 定律避開變分法複雜的數學技巧，成功的解決積分的極值問題。在這篇論文中作者透 過新的看法與思路，將這些發生在日常生活中的物理現象看得更為透徹，而且其原理 分析起來也更為簡單。作者希望藉由這些分析方法的介紹，讓學生對於物理的學習變 為一件好玩又有趣的事情。 關鍵詞：司乃耳定律、彩虹成因、折射率

壹、前言

談到有關於彩虹形成的原因，在一般的 教科書上都會寫著：在給定折射率 n 值的情 況下，取從水珠射出的光線與地平線夾角α 的極大值即是彩虹形成的角度[1]，不過卻沒 有說明取極大值的意義何在？在本文中作者 詳加說明了取極大值的有極重要的意義，當 α為極大值時，則從水珠射出的光線的強度 必定為極大值，於是在α = 42°處形成了彩 虹。此外，利用司乃耳折射定律我們可以發 展出更為精確的一種測量折射率的新方法。 其次，關於光在變折射率介質中的行進 軌跡 [2]，我們如果想要完整的解出這個問 題，則必須學習數學的變分法，但是其中的 數學技巧過於艱深，很難讓一般的中學生甚 至大一的學生理解。有鑑於此，作者建議可 以運用司乃耳折射定律來取代變分法複雜的 數學技巧，使得學過基礎微積分的學生都可 以輕易的處理積分極值的問題，於是就可以 用這個簡單的方法解決最速落徑以及懸鏈線 等歷史上物理數學的難題。最後，我們可以 將這個方法推廣到求解任意函數 f = f(x)之積 分極值問題。

貳、彩虹形成的原因與數學的極大

(小)值之間的關係

這一節的主要內容是將數學上極大(小) 值的概念引入光的折射現象中，進而解釋彩

圖1：光線在一小水珠中經過兩次折射與一次反射的情形

圖

2

：

α

與 d 的函數關係圖

從圖 1 知

sin

θ

=

d

R

=

d

，R 為水珠之半 徑。於是從水珠射出的光線與地平線的夾角 為 虹形成的原因。此外也可以利用射入水珠的 光線與從水珠射出的光線之間的夾角與折射 率之間的關係，得到一種新的測量折射率的 方法。

( )

d

n

1

( )

d

1

_/

₂

_sin

sin

4

−

−

−

=

−

=

π

φ

α

(2)

圖1 為光線在一小水珠中經過兩次折射 與一次反射的情形，如果太陽光照射在像這 樣的許多小水珠上，則會形成彩虹。從圖一 中我們可以計算出射入水珠的光線與從水珠 射出的光線之間的夾角滿足以下關係式[1] 其中 n 為水珠之折射率。 在一般的教科書上都會寫著：在給定折 射率 n 值的情況下，取α的極大值，即可得 到彩虹與地平線形成的 42°夾角[1]，不過卻 沒有說明取α的極大值的意義何在？以下我

(

sin

/

n

)

sin

4

2

1 ₁ 1

θ

θ

π

φ

₌

₊

₋

−

₍₁₎

圖3：αmax與折射率 n 的函數關係圖 表1：α max與其相對應的折射率 n 值 α max 20 22 24 26 28 30 32 34 折射率 n 1.5328 1.5094 1.4874 1.4666 1.4470 1.4283 1.4106 1.3938 α max 36 38 40 42 44 46 48 50 折射率 n 1.3777 1.3623 1.3476 1.3335 1.3200 1.3071 1.2947 1.2827 就針對這個問題詳加說明。令 n = 4/3，將(2) 式中α與

d

的關係畫成圖 2。現在假設入射光 束的寬度為δ，由圖 2 知其所對應的α值必定 有一寬度Δ，但是如果入射光束的位置恰好 在α的極大值，即當

d

=

0

.

86

對應於 時，則α值的寬度Δ必定變得極為狹窄，換言 之，此時從水珠射出的光線的強度必定為極 大值，於是形成了彩虹，因此 即為 圖2 中彩虹形成的角度。 o

42

=

α

o

42

=

α

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = − − 3 4 sin 2 3 4 sin 4 2 1 2 2 1 max n n n α (4) 圖 3 為αmax與折射率 n 的函數圖。如果 光束照射過某一液體的αmax 可以被精確測 量，那麼由(4)式的關係式可推得出此液體的 折射率 n。由於圖 3 應用在實際的測量上很 不方便，於是為了方便由α max的量測查出與 其相對應的折射率 n 之值，我們利用圖 3 的 結果製作了表一。只要測量出某一液體的 αmax，我們即可以利用表一查出此液體相對 應的折射率 n 值，這可以用來做為一種新的 測量折射率的方法，而且實驗的誤差可小於 1%。 此外，由(2)式中取α的極大值得出

3

)

4

(

2

n

d

=

−

(3) 將(3)式代入(2)式中，可得出α的極大值 α max與折射率 n 的函數關係式， 在實驗上我們將一個圓柱桶狀的容器注 入待測的液體(如圖 4 利用裝 CD 的塑膠圓柱 桶即可)，並使用雷射筆射出的光束當光源並 仔細地觀察α 值之變化情形，當α為極大值的

圖4：以綠光雷射光束射入注入待測液體的圓柱桶狀容器 (a) (b) 圖5：(a)當α不是極大值時，從圓柱桶射出的光束較寬而亮度也較暗。 (b)當α為極大值時，從圓柱桶射出的光束會形成一條極明亮的細光束。 時，從圓柱桶射出的光會形成一條極細的光 束(如圖 5)，於是此時α max之值可以很精確測 量出來，然後再將所量出的α max值利用表一 查出此液體所相對應的折射率之值。 從實驗的測量中我們可以得到綠光雷射 (λ = 531Å)相對於水的α max值為42°，所對應 的折射率值為1.333，而綠光雷射相對於飽和 食鹽水的α max 值為35°，所對應的折射率為 1.386，這比一般用司乃耳折射定律直接測量 折射率的方法其精確度至少約提高一個數量 級左右。

參、利用司乃耳折射定律解決變分

法的問題

這一節的主要內容是利用司乃耳折射定

所花費的時間為

c

dT

=

=

v

(6)

∫

∫

=

=

dl

c

z

y

x

n

dl

T

(

,

,

)

v

(5) 眾所皆知 Snell’s 定律可以由費馬原理 推導出，應用Snell’s 定律我們可以得知 C x n n n

n₀sinθ₀ = ₁sinθ₁= ₂sinθ₂ = ( )sinθ = (7)

其中v為光在介質中行進的速度，而 c為光 在真空中行進的速度。若想要求出光在此一 緩變折射率介質中的行進軌跡，則正規的作 法是必須對(5)式作變分取時間 T 的極小值 [2]，但是其中的數學技巧過於艱深，很難讓 一般的中學生甚至大一的學生理解。基於上 述的理由，我們建議利用司乃耳折射定律來 避開變分法複雜的數學技巧，使得只要學過 基礎微積分的學生都可以輕易的處理積分極 值的問題。 其中 n0 為空氣的折射率，θ0為光線由空 氣剛進入水中的入射角，n(x)為介質在深度 為 x 處的折射率，θ 為介質在深度為 x 處的 折射角，C 為一常數。由圖 6 可知

θ

θ

θ

θ

θ

2 sin 1 sin cos sin tan − = = = dx dy (8) x Δ Δx 變折射 率介質 y x x Δ Δx θ 2 x Δ θ1 空氣 圖6：光由空氣進入緩變折射率介質中的軌跡示意圖

將公式(7)帶入公式(8)可得到光的軌跡方程 式

∫

₋

=

dx

C

x

n

C

x

y

2 2

₍

₎

)

(

(9) 圖7：雷射光在甘油混入水中擴散後的混合液之軌跡。 因此，我們可以知道光束在進入緩變折射率 介質後為了滿足費馬原理，所以會造成折射 而產生彎曲，藉由(9)式我們可以清楚得知光 在介質中行進時的軌跡。 在實驗上我們將甘油緩緩注入裝水的水 槽中，靜置一段時間後，讓甘油慢慢在水中 擴散以形成緩變折射率介質液體，再讓一束 雷射光通過此液體，如圖7 所示。由圖 7 中 我們可以看出，雷射光在此甘油與水的混合 液體中的軌跡為一正弦曲線。 依據擴散方程式可得甘油的濃度分佈為 [3]： kt x

e

kt

t

x

N

2/4

4

1

)

,

(

₌

−

π

(10) 此處 k 為擴散係數。再者，我們又知道 在甘油和水的混合液中，甘油的濃度和此液 體的折射率呈線性關係，故混合液之折射率 分佈隨時間的變化關係可表示為： kt x

e

kt

A

t

x

n

(

,

)

=

− 2/4 (11) 此處 A 為一常數。若 ，則(11) 式經泰勒展開式之結果為： 1 4 / 2 << kt x

(

₁

₍

₎

2

)

)

(

t

a

t

x

n

n

=

_b

−

(12) 此處n_b(t)=A/ kt， 。將 (12)式代入(9)式中，經由積分計算的結果， 可得光在甘油和水的混合液中的軌跡方程式 為：

kt

t

a

(

)

=

1

/

4

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

a

y

a

x

α

α

2

sin

2

1

2 b

n

C /

(13) 。

=

α

此處

圖8：將一條鏈子自然懸吊所形成的懸鏈線 得整個系統的位能為極小值；換言之，只要 懸鏈線的軌跡遵守Snell’s 折射定律，自動就 能讓(14)式的積分值為極小值。於是將(14) 式與(5)式做比較，我們可以做出以下的類 比：時間 T → 位能 U，折射率 n(x) → 高度 x。我們可以想像懸鏈線上每一小段的彎曲程 度就有如圖6 光線的彎曲一樣，它們都遵守 Snell’s 折射定律，因此可以將懸鏈線的軌跡 方程式寫為[4] 間 T 滿足以下方程式

∫

∫

=

=

gx

dl

dl

T

2

v

(17) 此處重力加速度為 g 而落下的高度為 x。同 樣的將(17)式與(5)式做比較，我們可以做出 以下的類比：折射率 n(x) →

1

x

。於是， 最速落徑的軌跡方程式為 dx 2 C x C x y

∫

− = 2 ) ( dx C x C x y

∫

− = 2 / 1 ) ( (18) (15) 將(15)式積分後得

將(18)式積分後可得軌跡為一擺線[5]。

參考文獻

因此根據以上的論述，我們可以得到一 個結論：今後如果要處理積分的極值問題 時，我們可以依以下步驟進行：例如有某一 個物理量 G 滿足下列方程式

∫

=

f

x

dl

G

(

)

(19)

1. J. B. Marion &. S. T. Thornton, “Classical Dynamics” 4th ed. Harcourt Brace & Company, 1995, p.217.

2. John. David. Jackson, “Classical Electrodynamics 3rd ed.” Chap.8, John Wiley & Sons. 1999.

這時我們可以根據司乃耳折射定律將(19)式 與(5)式做比較並且做出以下的類比：時間 T → 物理量 G，折射率 n(x) → 函數 f(x)。於是 讓物理量 G 為極值的軌跡方程式即為

3. Jon Mathews &. R. L. Walker, “Mathematical Methods of Physics”2nd ed. Addison-Wesley, p. 243.

4. M. L. Boas, “Mathematical Methods in the Physical Sciences” 2nd ed.. John Wiley & Sons, p.391.

dx

C

x

f

C

x

y

∫

−

=

2 2

₍

₎

)

(

(20)

5. R. Larson, R. P. Hostetler, & B. H. Edwards “Calculus 7th ed.” Houghton Mifflin Comp. 2002. 此處(20)式為處理積分的極值問題時的一般 通解，但這個方法只能用在函數 f = f(x)的情 形，若函數 f = f (x, y, z)的情形則不適用。

肆、結語

在前面的幾個小節中我們利用司乃耳折 射定律解釋彩虹形成的原因以及發展出更為 精確的一種測量折射率的新方法。另外，我 們也利用司乃耳折射定律避開變分法複雜的 數學技巧，成功的解決積分的極值問題。以 上這些例子雖然在一些物理的專業參考書中 都曾論及，但是這些書籍所闡述的內容都過 於艱深晦澀，很難讓學生了解其中非常深刻 的物理內涵。現在這些物理現象經由作者重 新透過新的看法與思路，將這些發生在日常 生活中的物理現象看得更為透徹，而且其原 理分析起來也更為簡單了，作者希望藉由這 些分析方法的介紹，讓學生對於物理產生學 習興趣，使得學習物理變得簡單容易多了。