一位國中學生解比例問題之個案研究

一位國中學生解比例問題之個案研究

陳建州1 劉祥通 2 1 嘉義市北興國中 2國立嘉義大學數學教育所

摘 要

本文旨在探討剛升上國一的學生，在只接受過國小簡單的比例課程，且尚未 學習文字符號的代數運算前，對於比例問題的解題表現。本研究採個案研究法， 工作單共有三題，是採用結構式工作單，內容涵蓋了比例與連比問題，而訪談的 問題是依照學生的回答適時調整。經由研究者的分析，個案解題成功的關鍵有以 下幾項因素：(一)以適當的圖形表徵題意。(二)正確的選擇基準量。(三)能以相同 的倍率(放大或縮小)表徵成比例的數。(四)適時的教學介入引發個案的再思考。 關鍵字：比例、連比、比例推理。

壹、 緒論

一、 研究背景

與比(ratio)相關的問題對中小學生來說是比較困難的，除了需具備完整的分 數概念之外，對於比(ratio)、比率(rate)及比例(proportion) 相關性質也要有所認 識。在中學數學課程裡，比及比例是重要的單元，對於往後數學的學習有關鍵性 的影響。事實上許多學者(Lamon, 1994；Lesh, Post, and Behr, 1988)也指出比例概 念的建立是學習高等數學的重要基石。缺乏對於比例概念的理解，不僅造成數學 概念基礎的不穩固，也關係到高等數學的學習。 對國中學生而言，通常只有明確的比例類型問題，才會想到用比例的方法求 解。例如「15：10＝5： ，求 ＝？」x x ，至於沒有在題目中看到「：(比) 」的符 12 通訊作者：劉祥通 liust@mail.ncyu.edu.tw

號，往往不會想到用比例推理來解題，例如「某一天夜長是晝長的 5 3 ，請問這一 天夜長與晝長各有幾小時？」，處理這個問題，國中生習慣把晝長假設為 小時， 那麼夜長就是 x x 5 3 小時，依據題意列出 24 5 3 = + x x ，再求得 =15，所以晝長 15 小 時 ， 夜 長 9 小 時 。 小 學 生 則 把 晝 長 當 成 1 ，再 利 用 當量 除 的 方 法 ， 以 x 15 ) 5 3 1 ( 24÷ + = 來解題。然而有部分的小學生，會從夜長是晝長的 5 3 ，得出夜長： 晝長=3：5，再以分配的方式 9 5 3 3 24 = + × (小時)， 15 5 3 5 24 = + × (小時)，分別求 出夜長與晝長的時數。如此，利用比例推理來解題，有時常常會有意想不到的效 果。 連比的問題也是探討比例推理能力不可或缺的，例如：如何把兩個比例式 ， 結合在一起，而得到 等於多少？課本的作法是 將 兩 個 比 例 式 化 為 與 1 1: :b x y a = b:c =x₂ : y₂ a:b:c 2 1 2 1 : :b xx yx a = b:c = y₁x₂ :y₁y₂ ， 接 下 來 就 可 以 得 出 。然而，對於初學比例的學生來說，卻不是件容易的事。 2 1 2 1 2 1 : : : :b c xx yx y y a = 一般認為學習比例相關課程應在國小高年級之後，但 Bar(1987)發現，以年 幼兒童的比例推理能力，可以解決某些簡單的比例問題。Lo 與 Watanabe(1997) 也認為學生不一定要先具備乘除法的概念，即可解比例問題。而某些學者(Schorn, 1989；Van den Brink, & Streefland, 1979；Clark, & Kamii,1997)也認為，年幼的孩 童亦能解決簡單的比和比例問題。由此可知，比例推理能力是人們早期就具備的 數學能力，然而年歲稍長，面對比例相關問題時，卻令學生感到棘手。另一方面， 學生的運算技巧提升之後，雖提供更有效的解題策略，但是卻失去了用比例推理 解題的簡潔與美感。 在國小六年級到國中一年級這個階段的學生，剛學過比例相關課程，對於含 文字符號的代數運算尚不熟悉，因此解比例問題的時候，應該會有其自發性解 法，這引發研究者進一步探討的興趣。

二、 研究目的

本研究藉由工作單的寫作及訪談，觀察個案在比例問題方面的解題表現，以 瞭解底下兩項待答問題： 1、型如ax=by，x+y =k的比例問題，隨著 與a b 所代表數字的不同， 與x y的倍數關係，個案是如何求出 與x y？（工作單第一題） 2、型如ax=by，cy=dz，x+ y+z=k的比例問題，這類較具有挑戰性的 連比問題，個案是如何求出 、x y與 ？（工作單第二、三題） z

貳、 文獻探討

一、 比例問題相關研究

(一) 學童解比例問題需具備的數學知識 1、 因數與倍數的概念 學生在解比例問題時，往往會用到因數與倍數的概念。Lo 與 Watanabe(1997) 強調因數與倍數是解比例問題的重要知識基礎。在劉祥通與周立勳(1999)的研究 中指出解比例問題往往先做除法再做乘法，亦即為解因數與倍數的問題，因此因 數與倍數的概念可說是比例概念的重要基石。 2、 熟悉乘除法情境 Vergnaud(1988)提出乘除法問題是比例問題的一個特例，例如「a 個披薩給 b 個人吃，那麼 c 個披薩可以給多少人吃？」這是一個比例問題。但是若改成「1 個披薩給 b 個人吃，那麼 c 個披薩可以給多少人吃？」這會是一個乘法的問題； 如果改成「a 個披薩給 1 個人吃，那麼 c 個披薩可以給多少人吃？」則又變成除 法問題了。由此可知解比例問題若能瞭解乘法與除法適用的情境，對解題是非常 有幫助的。

3、 分數概念的整體發展 許多學者認為比值和比率是包含在分數的概念當中，Kieren(1980)將分數分 成五個面向：部分-整體(part-whole)、商數(quotient)、測度(measure)、比值(ratio)、 運算子(operator)。 若對於分數的構念瞭解並不透徹，只停留在部分-整體的觀點，則無法用分 數表示彼此的倍數關係，甚至不瞭解可以用分數表示除不盡的概念(楊錦連， 1999)。由此看來，分數概念的不完整會影響學生解比例問題。 4、 相對的思考能力 相對的思考是解比例問題重要的能力之一，所謂「相對的思考能力」是指瞭 解情境中數量關係的相對性。舉例來說，第一段考數學成績小明考 80 分，小華考 60 分，經過幾個星期的努力，第二段考兩個人都進步了 10 分，若以絕對思考的 觀點來看，兩個人都進步了 10 分，好像進步的情況一樣；但是，若就相對的觀 點來說，小明進步的情況是原來的 8 1 ，而小華是 6 1 ，因為 6 1 ＞ 8 1 ，所以應該說小 華進步的幅度比較大。因此，相對思考能力是解比例問題重要的基礎，亦是必要 的能力。 5、 單位化與基準化的能力 單位化的能力就是在解比例問題時，先求出單位量，在利用單位量解題。至 於基準化，Freudenthal(1983)提出一個例子，「將地球大小想成像一根針頭那樣大 (大約 1 公釐)，然後根據這樣的定義，重新看待整個太陽系的大小。那麼太陽就 變成直徑只有 10 公分的球體，而太陽與地球的距離就只有 10 公尺。」像這樣， 以一個單位量來推算其他量的方法，就是一種基準化的過程。 (二) 比例問題的類型 比例問題的類型可分為比值型態、語意型態以及結構型態，以下分別說明之：

1、 比值型態 比例題目中，各項的比值關係影響學生解題的難易度，依據 Noelting(1980) 與林福來(1984)的研究，將比例式「 ：b ＝ ： 」中數字的關係類型分為四種 型式： a c x 第一式：c 同時是 a 與 b 的整數倍。例如 3：4＝12： x 第二式：只有b 是a 的整數倍。例如 2：6＝7： x 第三式：只有c 是 a 的整數倍。例如 5：8＝10： x 第四式：c 不是 a 或 b 的整數倍。例如 2：7＝9： x 2、 語意型態 Lamon(1993)依語意型態將比例問題分為合成的測度(well-chunked measures)、部分-部分-整體(part-part-whole)、關聯的集合(associated sets)、擴大 與縮小(stretchers & shrinkers)等四種類型。而台灣省國民教師研習會(1997)則依對 等關係的不同，將比例問題分為交換問題、組合問題、母子問題、密度問題、伸 縮問題等五種類型。 3、 結構型態 以問題結構型態來看，比例問題可分為單一比例、多重比例以及連比例三種 型態。所謂單一比例型如「 ：b ＝c ： x 」，而多重比例(multiple proportion)則 涉及三個度量空間，其類型如「 a 1 1 b a × ： ＝c₁ a₂× ： 」，這種問題的概念源自b₂ 於 Vergnaud(1983)的論述。至於連比則是三個以上數的比，把兩個比例式 ， 結合在一起，得到 2 c 1 1: :b x y a = b:c= x₂ :y₂ a:b:c= x₁x₂: y₁x₂: y₁y₂是最基本 的連比型態。 (三) 比例問題的解題策略 一般學生面對比例問題所採行成功的解題策略不外乎單價法(between strategy）、倍數法（within strategy）、累加法（repeated addition）、數量分解法

（decomposing methed）以及公式法(formula strategy)，茲分述如下： 1、 單價法（between strategy） 在解比例問題的過程中，先求出單位量，再將單位量乘以單位數，這樣的解 題方式稱之為單價法。 2、 倍數法（within strategy） 在比例問題「模型飛機加 40 毫升的油可飛行 70 分鐘，那麼加 120 毫升的油 可飛行幾分鐘？」中，120 毫升是 40 毫升的 3 倍，因此 120 毫升的油可飛行時 間也是 40 毫升的油可飛行時間的 3 倍，所以 3×70＝210(分鐘)。此種解比例問題 的方式是以倍數來思考，而民 82 年版的數學新課程則稱這樣的解題策略為倍數 策略。 3、 累加法（repeated addition） 累加法是兒童與青少年解比例問題時經常使用的策略(何意中，1988；陳英 傑，1992；Lamon，1993)例如在「買 3 個氣球花 2 元，那麼買 24 個氣球花多少 元？」的題目中，買 3 個氣球花 2 元，那麼買 6 個氣球花 4 元，買 9 個氣球花 6 元，如此繼續推算下去，最後可得到買 24 個氣球花 16 元。 4、 數量分解法（decomposing method） 將問題數量在計算過程中分解為兩個以上的數量，分別計算之後再加以組 合，此種解題策略稱為數量分解法。Vergnaud(1983)的研究指出，有些學生在解 比例問題時會採用此方法。事實上數量分解法也可視為學生的自發性解題策略之 一。 5、 公式法(formula strategy)

Langrall & Swafford(2000)的研究指出，利用比例式來解比例問題是屬於形式 的比例推理階段，此階段的學生能將比例情境的題目，列出比例式或是運用比值

的相等來解題，此等學生對於比例推理才有全面的瞭解。

(四) 比例推理相關研究

Langrall & Swafford(2000)將學生比例推理的解題策略分為非比例推理策略 (nonproportional reasoning)、非形式的比例推理(informal reasoning about

proportional situations)、數量推理(quantitative reasoning)、形式的比例推理(formal proportional reasoning)等四個階段。

Hannah(2000)認為，探討學生的比例推理能力，要利用各種不同的題材。 Miller & Fey (2000)則指出，若能從生活情境中建構比例推理的概念，學生會比 較容易接受，而學生常常會運用單位比率來思考這些問題，亦即將其視為比值的 方式來處理。

二、 連比問題相關研究

關於連比的研究相當少，國中數學課本(國立教育研究院籌備處，2006)在連 比這個單元主要探討將 與 寫成 、連比例式 以及 比例分配的相關問題。前者課本的作法是利用比的前後項同乘或除一個不為 0 的數，讓共同項b 成為一樣的數，例如在 b a : b :c a:b:c x: y:z=a:b:c 1 1: :b x y a = ，b:c= x₂ :y₂這兩個比例 式中，將a :b的前後項同乘x₂(x₂ ≠0)，即a:b= x₁x₂: y₁x₂，而將 的前後項 同乘 ( )，即 ，如此一來兩個比的共同項b 都是 ，這 樣就可以將 與 連結起來寫成 c b : 1 y y₁ ≠0 b:c= y₁x₂ :y₁y₂ y₁x₂ b a : b :c a:b:c =x₁x₂ :y₁x₂ :y₁y₂。

參、 研究方法與設計

一、 研究方法

本研究採個案研究法，探討個案在比例問題方面的解題表現，個案研究(case study)是採用各種不同的方法以蒐集有效的完整資料，對單一的個人或社會單位

作縝密而深入研究的一種方法(郭生玉，2002)。採用個案研究可以深入瞭解個案 在比值及比例問題方面的解題表現，在訪談時根據個案的回答，適時調整提問的 方式。然而，為避免在研究過程中，因個人主觀因素而有所偏差，資料來源及研 究人員在分析資料方面必須進行三角校正，力求研究結果的客觀性。 Goldin(1998；2000)的論述中提及結構式工作單晤談(structured, task-based interviews)的技巧，亦即工作單的問題是結構式的，而訪談的問題是依照學生的 回答適時調整。根據文獻探討及研究者個人教學經驗，同時參酌共同研究者的建 議，設計此結構式工作單，兼顧數據的變換以及情境與措辭的調整，以瞭解個案 能在不同情況之下的解題表現。在工作單的填寫上，要求個案儘量將心中的想法 用不同的表徵方式呈現出來，訪談時則進一步引導個案將更深層的想法或是再一 次將表達不清楚的地方重新說明白，最後再根據所蒐集到的資料整理與分析。.

二、 研究對象

本研究在個案的選擇上是採取立意抽樣，研究之初，小含是國小六年級的 學生，而目前是國中一年級的學生，就讀之國中及國小皆位於嘉義市，班上成績 約在前 20%，並未在校外參加數學科補習。解題時能夠詳細的將過程寫下來，訪 談時則能夠清楚表達自己的想法。對於單一比例問題能夠採取單價法及倍數法解 題，至於多重比例方面，亦能運用單價法的方式成功解題， 但是，若運用倍數法解題，不同項目的倍數關係無法有效的連結，以致解題 不成功，例如「4 個太空人 3 天吃了 24 顆食物丸，那麼 8 個太空人 6 天吃幾顆 食物丸？」(圖 1) 圖1 多重比例解題結果(解題錯誤)

另外，在分數的概念發展方面，小含習慣用小數表示，例如「8÷3」，這是除 不盡的，結果她用循環小數表示，但是不曾計算過含有循環小數的乘法，所以 7 6 . 2 × 就不知該如何表示，如圖 2，但經過引導之後，能夠正確的運用分數來計 算，如圖 3。 圖2 小含的小數表徵方式 圖3小含的分數表徵方式 在學習方法方面，小含沒有在校外補習，不會有提前學習的現象，解題時較 容易產生自發性解法；在課程學習方面，從比例相關課程的教學前到教學後，解 題上會呈現不同的風貌；而在成長的歷程方面，經由國小六年級到國中一年級， 跨越了不同的學習階段。為了能夠長期且深入的綜觀個案在比值與比例相關問題 的解題表現，因此選擇小含為研究對象。

三、 研究工具

(一) 研究者與共同研究者

在質性研究中研究者即為研究工具(Guba & Lincoln, 1981)，其所扮演的角色 相當重要，因為研究者必須客觀的蒐集資料，同時在多變的質性研究過程中，需 隨時調整腳步，以順應研究情境。劉祥通(2004) 認為研究者也應從教學者的角 色去了解與分析學生的解題表現，此即研究者即教學者（researcher as teacher）， 換句話說，研究者訪談時應發揮教學者的角色，透過教學互動，才能更深入瞭解 研究個案的想法。而研究者即模型的建造者（researcher as model builder），必須 不斷地修正與建立自己對受試者解題的看法（Cobb & Steffe, 1983）。參與本研究

的成員包含研究者及共同研究者，茲分述如下： 1、 研究者 研究者目前在國中任教，教學年資約 20 年，根據文獻探討以及教學經驗設 計相關工作單，解題時請小含盡量把作法寫得詳細，可以用算式、畫圖或文字描 述來表徵。訪談時耐心的引導其將書面表達不清楚的地方，能完整的說出來。因 此從解題表現裡，可以發現其思考模式，而從訪談中則能夠進一步瞭解其深層想 法。除了資料的蒐集與整理分析，研究者需掌控研究流程，使研究工作能順利進 行。 2、 共同研究者 共同研究者一位數學教育師資培育者。在本研究中，對於工作單上題目的 設計，提供許多優質的建議；在資料的整理與分析上，與研究者共同檢驗分析的 合理性，儘量顧及人員的三角校正；而在研究流程的掌控方面，時時提醒研究者 做適切的修正，使整體研究工作能夠更完善。 (二) 工作單 本研究在探討小含比例相關問題的解題表現，工作單是採用結構式工作單， 共有三題，內容涵蓋了連比問題。第一題必須從 的 倍與 的b 倍相等，找出 與 的比例關係，再利用給定的 與 的和求出 與 的值。而第二題與第三題 是連比的問題，在 ， x a y x y x y x y by ax= cy=dz這兩個等式中，求出 、 與 的比例關係， 再利用給定的 、 與 的和分別求出 、 與 的值。在第二題中， ，因 此比較容易；而第三題 ，此時需以 與 的公倍數為橋樑，將 ， 這兩個等式，連接成 x y z x y z x y z b=c c b≠ b c ax=by cy=dz bdz bcy acx= = ，進而求出 、 與 的比例關係，這是比 較有挑戰性的問題。對於只學過國小簡單的比例課程且未學過代數解法的 x y z 小含來 說，研究者可以從小含解工作單的表現，觀察其解題策略與自發性解法。

四、 資料蒐集與分析

資料的蒐集與分析，在質性研究的過程中必須要同時進行，且持續不斷的一 直到研究將近完成(黃瑞琴，1991)，因此所蒐集到的資料勢必十分龐雜，必須做 有系統的分類以及編碼，才能有效的運用所蒐集到的資訊。工作單上有小含的解 題表現，而原案則包含訪談逐字稿及資料分析，訪談編碼為四位阿拉伯數字及一 位英文字母，前兩位數字代表原案編號，末兩位數字是訪談流水號，英文字母T 代表研究者說的話，S則是小含的話，例如 0103T，表示原案一訪談的第三句話， 是研究者說的話。 為了研究的客觀性，研究人員對資料來源將進行三角校正，在研究人員方面 分為兩部分，首先把研究者與共同研究者對小含解題表現的看法互做比較；其次 是從小含的解題表現中，研究者自己認為小含可能的想法，與訪談之後小含實際 的想法之間的比較。在資料來源方面則包含了工作單上的解題表現以及訪談。

肆、 研究結果與討論

本研究的題目類型包括了比例及連比相關問題，比例問題是型如 ， 的題目，隨著 與b 所代表數字的不同， 與 彼此的倍數關係，或是 整數，或是分數。而連比方面的問題是型如 by ax= k y x+ = a x y by ax= ，cy=dz， ，這 類的題目。連比問題因為牽涉到三個量之間的比例關係，對於小六到國一的學 生，是比較具有挑戰性的，尤其是 、 、 的係數變得複雜時，更不好處理。 底下就三個原案來探討 k z y x+ + = x y z 小含在比例問題(原案 1)及連比問題(原案 2、3)的解題表 現。

一、 比例問題解題分析

原案 1 題目：兩位姊妹有儲蓄的好習慣，每月存款的總和為 7800。已知大姊存款的 2 倍是二姐存款的 3 倍。請問大姊每月存款有多少元？

題目分析： 這兩題是ax=by，x+ y=k的類型。在此 的係數是 2，x y的係數是 3，無 法直接看出 與x y兩者的比例(或倍數)關係。 學生初始解題分析： 小含利用畫線段圖的方式，將大姊存款的 2 倍與二姐存款的 3 倍當成 1，所 以大姊的存款是 2 1 ，二姐的存款是 3 1 ，因此大姊的存款與二姐的存款的比是 3： 2，由此可知小含不僅具備「部分-整體」的概念，也能用比的方式表徵。兩人的 存款和是 7800 元，比是 3：2，再利用比例分配的概念可知大姊有 4680 5 3 7800× = (元)。 圖4 原案 1小含的解題表現 訪談： 0101T：這一題你是如何進行的呢？ 0102S：看題目的意思把圖畫出來。 0103T：從題目的意思如何把大姊及二姐畫出來？ 0104S：先畫兩條一樣長的線段，因為大姊的 2 倍是二姐的 3 倍，所以大姊那一 條線段分 2 等份，其中一等分是大姊，而二姐那一條線段分 3 等份，其

中一等分是二姐。 0105T：再來呢？ 0106S：兩人的和是 7800，所以其中一等份合起來是 7800。 0107T：那 2 1 ： 3 1 是什麼？ 0108S：其中一等份分別是 2 1 與 3 1 ，所以大姊比二姐是 3 比 2。 0109T：為什麼要乘以 5 3 呢？ 0110S：因為大姊比二姐是 3 比 2，大姊佔 3 份，二姐佔 2 份，總共佔 5 份，所 以大姊佔全部的 5 3 ？ 0111T：你還有驗算？ 0112S：想確定一下，有沒有做對。 0113T：很好。 訪談後分析： 小含還是先利用畫線段圖來做這個題目，看到他的解法，猜測他能有效運用 基準量且具備「部份－整體」的概念，在訪談時為了確認她的想法，特地再問那 2 1 ： 3 1 是什麼？（00107T）以及 為什麼要乘以 5 3 呢？（0109T）。他將大姊存款 的 2 倍與二姐存款的 3 倍當作基準量 1，且能以 2 1 表示大姊的存款所佔的份量、 3 1 表示二姐的存款所佔的份量(行號 0104S)。除了之外，也能夠將代表大姊與二 姐的部份以比的方式呈現(行號 0108S)，同時能將兩者的存款按照 3：2 的比例適 當的分配(行號 0110S)，由此可知，小含對於比例的運用有所瞭解。

二、 連比問題解題分析

前一節討論的是兩個量之間的關係，本節增加一個量，所要討論的是型如

by ax= ， ， ，這類的比例題目。因為牽涉到三個量的比例關 係，我們稱之為連比，這類題目必須從兩兩間的關係，擴充到三者的比例關係， 對於小六到國一的學生，是比較具有挑戰性的，尤其是 dz cy= x+y+z=k x、 、 的係數變得複 雜時，更不好處理。 y z 原案 2 題目：三位姊妹有儲蓄的好習慣，每月存款的總和為 7800。已知大姊存款的 2 倍是二姐存款的 3 倍，二姐存款的 3 倍是小妹存款的 4 倍。請問大姊每月 存款有多少元？ 題目分析： 本題是型如ax=by，by =dz，x+y+z=k，這類的比例題目。從 ， ，這兩個式子中，以by 為橋樑，找出 by ax= dz by= x、 、 三者的比例關係。 y z 學生初始解題分析： 學生將三人的關係用線段畫出來，同時可以用比的形式表示，最後能按比例 方式將 7800 做分配。 圖5 原案 2小含的解題表現 訪談： 0201T：這一題你是如何進行的呢？

0202S：看題目的意思把圖畫出來。 0203T：為什麼要畫線段圖呢？ 0204S：畫線段可以比較清楚。 0205T：從題目的意思如何把大姊、二姐及小妹畫出來？ 0206S：先畫兩條一樣長的線段，因為大姊的 2 倍是二姐的 3 倍，所以大姊分 2 份，二姐分 3 份。因為二姐的 3 倍是小妹的 4 倍，所以再畫一條一樣長 的線段，把它分 4 份，就是小妹的了。 0207T：那 2 1 ： 3 1 ： 4 1 是什麼？ 0208S：因為大姊 2 份、二姐 3 份與小妹 4 份都一樣長，大姊是 2 1 、二姐是 3 1 ， 而小妹是 4 1 。 2 1 ： 3 1 ： 4 1 就是三人的比。 0209T： 2 1 ： 3 1 ： 4 1 是如何化成 6：4：3？ 0210S：可以同時乘以 12。 0211T：12 是 2、3、4 的什麼？ 0212S：最小公倍數。 0213T：為什麼要乘以 13 6 呢？ 0214S：因為 6：4：3 總共分 13 份，大姊佔 6 份，所以大姊佔全部的 13 6 。 0215T：你還有驗算？ 0216S：想確定一下，有沒有做對。 0217T：很好。 訪談後分析： 用畫線段圖的方式似乎是一個不錯的方法，可以比較清楚的呈現彼此的關係 (行號 0204S)。將大姊的 2 倍、二姐的 3 倍及小妹的 4 倍當作 1，具備了基準量

的概念，而將大姊視為 2 1 、二姐視為 3 1 、而小妹視為 4 1 ，對於部分－整體的概念 也相當完備，同時也有能力把分數的比化為簡單的整數比(行號 0210S)。 原案 3 題目：三位姊妹有儲蓄的好習慣，每月存款的總和為 6600。已知大姊存款的 2 倍是二姐存款的 3 倍，二姐存款的 4 倍是小妹存款的 5 倍。請問大姊每月 存款有多少元？ 題目分析： 本題是型如ax=by，cy=dz，x+y+z=k，這類的比例題目。從 ， ，這兩個式子中，以 為橋樑，找出 by ax= dz cy= y x、 、 三者的比例關係。 y z 學生初始解題分析： 小含一開始不會做，無法將二姐不同的倍數，做有效的連結，經過介入教學 之後(行號 0303T至行號 0322S)才能處理，底下是小含經介入教學之後的解題表 現： ：這一題不會做嗎？ 不出來。 訪談： 0301T 0302S：想 圖6 原案 小含3 的解題表現

0303T：你覺得可以從什麼地方著手？ 就會比較清楚，但是這裡有 4 條線段，你所 0306S： 那ㄧ個人著手？ 示二姐的線段不一樣長。 二姐當橋樑，但是這兩條線又不一樣長，那該怎麼辦？ 說跟他們之間的倍數有關係，那可不可以從倍數的關係來想想 0314S： 線段，在上面那一段有 3 份，下面那一段有 4 份，所以 0316S： ，下面那一段排 3 個。 示二姐的線段變成 4 倍，那 0318S： 妹的部分，如果表示二姐的線段變成 3 倍， 0320S： 、小妹的線段都一樣長了，今天先到這裡， 0304S：從他們之間的倍數關係。 0305T：如果 3 個人只畫 3 個線段， 畫的線段有哪個重覆？ 二姐的線段。 0307T：所以我們可以從 0308S：二姐。 0309T：但是兩條表 0310S：是呀。 0311T：既然是要 0312S：…… 0313T：你剛剛 看，如何才能讓表示二姐的兩條線段變得一樣長。 不太知道耶。 0315T：表示二姐的兩條 兩段當然不一樣長，你可以試試看上面那一段排幾個，會跟下面那一段 排幾個一樣長？ 上面那一段排 4 個 0317T：不錯，我們來看大姊與二姐的部分，如果表 大姊要怎麼辦才會跟二姐一樣長？ 二姐 4 倍，大姊也要 4 倍。 0319T：很好，相同的方式，二姐與小 那小妹要怎麼辦才會跟二姐一樣長？ 二姐 3 倍，小妹也要 3 倍。 0321T：很好，那這樣表示大姊、二姐 剩下的部分你再想想看。

0322S： (經過 3 嗎？ 好。 日後…) 圖7 原案 3小含的解題過程 0323T：想出來了 0324S：這樣不知道可不可以？ 0325T：我看看…，不錯喲， 8 1 、 12 1 、 15 1 分別是什麼意思？ 一 、12 個二姐以及 0326S：表示大姊、二姐、小妹的線段都 樣長後，有 8 個大姊 15 個小妹。所以大姊就是 8 1 、二姐就是 12 1 、小妹就是 15 1 。 0327T：那大姊與二姐的比是多少？ 0328S： 8 1 ： 12 1 。 0329T：二姐與小妹的比又是多少？ 0330S： 12 1 ： 15 1 。 0331T：所以三個人的比就是……。 0332S： 8 1 ： 12 1 ： 15 1 0333T：那接下來的做法就跟上一題類似了。 訪談後分析： 0334S：是的。 這一題小含不會做，因此研究者期能以最少的引導介入教學(行號 0303T至 行號 0322S)，從 4 條線段中小含能夠選擇重複的二姐著手(行號 0308S)，亦即以

二姐的線段長當橋樑，連結表示大姊、小妹的線段。為了要處理表示二姐的兩條 不一樣長線段，小含分別畫成 4 倍長及 3 倍長(行號 0316S)，如此一來這兩條表 示二姐的線段長度就一樣了，小含是運用公倍數的概念來處理這個問題。當表示 大姊、二姐與小妹的線段長都一樣之後，可以發現這個長度是大姊的 8 倍、二姐 的 12 倍以及小妹的 15 倍(行號 0326S)，而兩個比，大姊：二姐＝ 8 1 ： 12 1 以及二 姐：小妹＝ 12 1 ： 15 1 ，也能將其表示成大姊：二姐：小妹＝ 8 1 ： 12 1 ： 15 1 ，此即

伍、 結論與建議

一、 結論

個原案的分析，研究者分析以下的原因是解題成功的關鍵： (一) 以適當的圖形表徵題意 徵、溝通、解題、連結、推理)之一(NCTM，2000)。 而Fr 所謂的連比。 經過這三 表徵是五個數學過程(表 ancis(2001)也提到，表徵不只是一個過程，它也是教導數學以及學習數學的 途徑，它之所以重要是因為，表徵幫助學生在不同的情境中，認出共同的數學成 分，對思考而言，表徵是強而有力的工具，對反思而言，可以產生更具體且可利 用的數學概念。小含做這些題目的時候，剛升上國中一年級，對於文字符號的運 用，代數的運算，還沒什麼概念，因此在處理這類問題時，以畫線段的方式來處 理，不僅有助於理解問題，更能夠具體的呈現彼此間的比例關係。 (二) 正確的選擇基準量 的 2 倍是二姐存款的 3 倍」這種情況，一般會將大姊的 存款 遇到「大姊存款 當作 1，則二姐的存款是 3 2 ；或是將二姐的存款當作 1，則大姊的存款是 2 3 ， 不管是哪一種情形，若要用畫線段的方式表徵，都不是很簡單。但是在原案一中，

小含將大姊存款的 2 倍與二姐存款的 3 倍當成 1，以此為基準量時，表示大姊存 款 2 倍與二姐存款 3 倍的線段是一樣長的。如此大姊的存款就是將此線段二等分 中的一份，也就是 2 1 ；而二姐的存款就是將此線段三等分中的一份，也就是 3 1 。 小含以畫線段的方式表徵大姊與二姐存款的關係，選擇大姊存款的 2 倍與二姐存 款的 3 倍當作基準量，是不錯的選擇。而在原案三中，更將大姊的 8 倍、二姐的 12 倍以及小妹的 15 倍當作基準量來解題，可見具備基準化的能力，在解比例問 題時是必要的。 (三) 能以相同的倍率(放大或縮小)表徵成比例的數 數，而不改變其比值，亦即 比的前項與後項可以同乘或同除一個不為零的 n b a mb ma: = : = ， mn≠0。這個比的運算法則 n b a : 小含能夠充分的運用，在將 過程中，不僅兩個數的比能夠處理，三個數的比 也能運用得宜。 除了數字的運 分數的比化為最簡單的整數比的 算能有所掌握之外，為了表徵比例關係所畫的線段，也能運用 此原則，在原案三中，當表示二姐 3 倍存款的線段變成 4 倍時，表示大姊 2 倍存 款的線段也要變成 4 倍(行號 0318S)。由此可知，小含能夠有效的運用成比例的 數能以相同的倍率放大或縮小這個解題策略。 (四) 教學介入引發小含再思考三者的關係，進而獲得成功的解題。 注意到只能 給予 為了盡量呈現小含的解題想法，研究者有必要教學介入時，應該 最少的引導。在原案三中，大姊存款的 2 倍是二姐存款的 3 倍，二姐存款的 4 倍是小妹存款的 5 倍，因為二姐的倍數不同，小含一開始不會做。經過研究者 利用訪談的機會，教學介入提示應以誰為橋樑之後，小含因此能思考如何將表示 二姐的兩條不同長度的線段，運用公倍數的概念化成一樣長，再以此線段長當橋 樑，表徵出大姊、小妹的線段長。如此就能找出三者的比例關係，順利的解題。

二、 建議

本研究進行的時程，個案對於含有文字符號的代數運算還不熟練，至於國中 的比例課程也尚未接觸，因此無法探究 Langrall & Swafford(2000)所提出的形式 的比例推理(formal proportional reasoning)的解題策略。若能繼續探討學生在國中 比例問題的解題表現，相信從國小尚未學習比例相關課程，到國中運用代數解比 例問題，會有較完整的資料呈現，也真正符合九年一貫的課程銜接。

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中文部分

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附錄

工作單

1、兩位姊妹有儲蓄的好習慣，每月存款的總和為 7800。已知大姊存款的 2 倍是 二姐存款的 3 倍。請問大姊每月存款有多少元？ 2、三位姊妹有儲蓄的好習慣，每月存款的總和為 7800。已知大姊存款的 2 倍是 二姐存款的 3 倍，二姐存款的 3 倍是小妹存款的 4 倍。請問大姊每月存款有 多少元？

3、三位姊妹有儲蓄的好習慣，每月存款的總和為 6600。已知大姊存款的 2 倍是 二姐存款的 3 倍，二姐存款的 4 倍是小妹存款的 5 倍。請問大姊每月存款有 多少元？