108數學課綱的隨想：以數學史為切入點 洪萬生

HPM 通訊第二十二卷第二期第一版

發行人：洪萬生（臺灣師大數學系退休教授）

主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台南一中）

助理編輯：黃俊瑋（和平高中）

編輯小組：蘇意雯（台北市立大學）蘇俊鴻（北一女中）

葉吉海（桃園陽明高中）陳彥宏（成功高中）

英家銘（台北教育大學）

創刊日：1998 年 10 月 5 日 網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng 聯絡信箱：suhy1022@gmail.com

108 數學課綱的隨想：以數學史為切入點

洪萬生

台灣數學史教育學會理事長

一、前言

108 課綱已經公告，並且即將實施，儘管教科書審查作業還尚未全部完成。針對這一 份課綱（「十二年國民基本教育課程綱要」關於「國民中小學暨普通型高級中等學校」） 中的數學領域，¹許多第一線的教師同仁提出十分建設性的評論，值得所有數學教育工作 者參考借鑑。由於我缺乏中學現場的實際教學經驗，²因此，這一篇隨想或許只能聊供談 助，尚請各方賢達不吝指教才是。

平心而論，這是我國自從有（數學）課綱以來，³課程制訂者（或發展者）首度將小 一到高三年級（或1-12 年級）的所有學習單元視為一個整體結構來對待，這當然是在呼 應十二年國教的精神。基於此，任何數學教師或一般公民顯然都可以輕易看到國民在高 中畢業前，應該學習的數學科目之全貌。這個創舉相當有助於我們針對12 年國教的學習 單元，進行一貫統整的系統規劃，從而將來任何人在進行調整或革新時，也有了比較清 晰的單元知識之參照輪廓。

這是本課綱的特色之一，非常難能可貴，值得我們一起「按讚」！多年來，我曾經 一再指出《加州公立學校數學架構》（Mathematics Framework for California Public Schools: Kindergarten through Grade Twelve）的獨特意義。⁴那一份課綱雖然有些細節並

1 目次如下：壹、基本理念；貳、課程目標；參、時間分配；肆、核心素養；伍、學習重點：一、學習表 現，二、學習內容；陸、實施要點：一、課程發展，二、教材編選，三、教學實施，四、教學資源，五、

學習評量；柒、附錄：一、學習重點呼應核心素養參考示例，二、議題融入綱要，三、內容主題與分年雙 向細目表。這是2018 年 6 月公布版本。

2 我曾經在「教學實習」期間，擔任國中數學教師一年，不過，那是將近半個世紀的往事。

3 參考鄭章華主編，《數往知來 歷歷可數 – 中小學數學課程發展史》上、下冊（新北市：國立教育研究 院），頁522-564。

4 參考洪萬生，〈教改爭議聲中，證明所為何事？〉，《師大學報：科學教育類》49(1)(2004): 1-14。美國其他 課綱也呈現了類似的架構，不過，我比較沒有注意。

 108 數學課綱的隨想：以數學史為切 入點………洪萬生

 數學詩創作：命運的絕對值

………廖惠儀

 從一道算額問題到數學科展 …………黃俊瑋、朱舢樺、程紘琪

HPM 通訊第二十二卷第二期第二版

不怎麼能說服我，⁵但是，它將K-12 年級全部整合在一個架構之中，卻不能不說是一個 重大的突破。這是因為如此一來，儘管中小學教師專業訓練（譬如「數學教材教法」課 程就不可能一體適用）分流，⁶各個階段的教師還是可以方便地掌握國民基本數學教育內 容的全貌，從而對他們自己的教學實施有所啟發。

這份課綱還有一個值得在此註記的特色，那就是：數學史的堂皇「入憲」！它的

「基本理念」（共五條）之第三條主張是：數學是一種人文素養，宜培養學生的文化美 感。其中，數學課綱委員指出：

人類各種族文明造就出不同的思維文化，例如，古代東方數學偏向具象方式的歸納 推理，而西方則傾向抽象方式的演繹思考，數學史能夠幫助我們理解數學發展在不 同時期與不同文化的差異，更能協助教師釐清數學學習的主軸。所以適時地在數學 教學之中融入適當的數學史內容，可以提升數學教學品質與學生的學習成效。（頁 1）

同時，藉由這種「認識數學的文化面向」之（數學史）進路，「不僅有助於讓數學學習從 工具性層次延伸到智識性層次，也更彰顯數學知識的人文價值」。

事實上，這個「適時地在數學教學之中融入適當的數學史內容」之策略，就是HPM --「數學史與數學教學的關連」之研究 -- 的基本訴求。⁷由於我多年以來一直都在推動 HPM 的教學與研究，⁸而且，對於數學教育來說，教學（pedagogy，美國習慣用

instruction）也無法「切割」學生學習（learning）乃至於課綱（curriculum），因此，在 本文中，我打算從數學史或HPM 切入，「隨興地」談論這個 108 數學課綱的相關內容

（以2018 年 6 月公布的版本為準，以下引文頁碼都針對這個文件），希望凸顯它的精神 與價值，從而豐富我們對它的整體架構的想像，更有助於最終的付諸實施。

二、與總綱核心素養之連結

12 年國教的總綱核心素養共有三大面向：A-自主行動、B-溝通互動，以及 C-社會參 與。其中，「C-社會參與」的第三個項目 C3 之主題為「多元文化與國際理解」。針對這個 素養項目，總綱委員強調：國民「應具備自我文化認同的信念，並尊重與欣賞多元文

5 譬如，在 8-12 年級的幾何單元中，課綱設計者強調：有關圓形中等弧對等角的一些相當特出的定理，必 須在介紹完幾何公理之後的三週內就呈現給學生。而這主要的目的是證明下列兩個定理：(1) 等腰三角形兩 底角相等；(2) 一個三角形的外角等於兩個遠內角的和。不過，上述幾何知識架構會導致循環謬誤（logical fallacy），而有損該課綱所自豪的嚴密論證之美意。參考同上論文。

6 以台灣師大數學系為例，我們不負責培育未來的國小數學教師，因此，也就不會開授「國民小學數學教 材教法」課程。

7 HPM 原是 International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics 這 個國際研究群的簡稱，這一組織（隸屬於ICMI）的主要目的，是研究數學史與數學教學之關連，因此，

HPM 也代表了此一學門。最近我們創立的台灣數學史教育學會，其英文名銜就是 Taiwanese Society for the Relations between History and Pedagogy of Mathematics。顧名思義，此一學會的使命就是積極面向中小 學，提升中小學教師的HPM 素養。

8 我曾經在公元 2000 年 8 月 9-14 日，假台灣師大承辦國際數學教育會議的 HPM 衛星會議。為此，我還得 到國科會的贊助，在1998 年 10 月創辦《HPM 通訊》並發行至今。

HPM 通訊第二十二卷第二期第三版

化」，而且還可採取積極行動，「發展國際理解、多元文化價值觀與世界和平的胸懷」。

與此對應的普通型高中教育階段之「數學領域核心素養具體內涵」（編碼S-U-C3），

則是：

具備欣賞數學觀念或工具跨文化傳承的歷史與地理背景的視野，並瞭解其促成技術 發展或文化差異的範例。（頁5）

顯然，這些都是社會參與的必備（數學）核心素養，而其連結當然是上文提及的「理念 三」：數學是一種人文素養，宜培養學生的文化美感。事實上，誠如我們在《當數學遇見 文化》之中，所意在強調的數學文化現象：吾人雖然在不同的文化看見共同的數學，但 是，數學也洋溢著不同文化的獨特風格。這種既全球又在地的特性，在數學知識活動上 表現得最為淋漓盡致，而其絕佳切入點當然非歷史文化面向莫屬了。

現在，我們再考察本課綱附錄一「數學領域學習重點與核心素養呼應表參考示例」。 針對「學習內容」：

N-10-6 數列、級數與遞迴關係：有限項遞迴數列，有限項等比級數，常用的求和公 式，數學歸納法。（頁61）

對照的「學習表現」之評量標準：

n-V-5 能察覺規律並以一般或遞迴方式表現，進而熟悉級數的操作。理解數學歸納法 的意義，並能用於數學論證。（頁61）

課綱委員呼應的數學領域核心素養，即如前文提及的「數S-U-C3」。為了讓學生達成這樣 的學習表現，又同時擁有這個核心素養，加一點（史）料似乎是必要的。蘇惠玉的《追 本數源》收入三篇相關的HPM 文章，剛好可以作為（「課內」）閱讀的教材：

・〈歷史悠久的兔子家族與最美的比例之關係〉

・〈美妙的費氏數列與黃金分割比〉

・〈數學歸納法的時光之旅〉

在這些論述中，蘇惠玉老師告訴我們如何連結大自然的美與數學（費氏數列或黃金 分割），再進一步指出在人造的世界（特別是流行文化）中，這些數學概念又是如何地被 應用，而成為文化創意的不可缺少元素。此外，她還指出：一旦吾人有機會出入歷史脈 絡，那麼，數學歸納法的方法論意義，就會更加顯豁了。

當然，回歸到教學實施上，這些閱讀「教材」如何引進課堂？此一教學策略與「閱 讀素養教育」議題（頁63）如何結合？我們將另文討論。

HPM 通訊第二十二卷第二期第四版

三、教材編選與教學實施

在本課綱的「實施要點」中，其「教材編選」及「教學實施」都論及數學史、民族 數學與數學家相關課題的引入。比方，針對「教材編選」，課綱委員就建議：

教科用書之編寫可適當編入數學史、民族數學及數學家介紹，已引發學生興趣、培 養其欣賞數學發展的素養，並瞭解不同族群及性別者的成就與貢獻。鼓勵原住民重 點學校之教材編選，適度與當地原住民文化結合，進行文化回應教學。（頁54-55）

針對其「教學實施」，他們則強調：

教師在教學過程中可適當介紹數學史、民族數學及數學家，融入數學的人文觀、培 養其欣賞數學發展的素養，但不可將這些內容納入評量。（頁56）

不過，對我（身為專業數學史家及HPM 推動者）來說，這個「善意的」提醒似乎沒 有必要。我覺得任何一位數學教師，無論他（她）有沒有HPM 素養，一定都會自行斟酌 是否針對這些（融入的）數學史教材，⁹在課堂上進行講解或討論。以畢氏定理（《幾何原 本》版）vs. 弦圖（《周髀算經》版）為例（參見圖 1），難道我們不應該提供一個「瞭解 其促成技術發展或文化差異的範例」，給較不適應於制式學習（conventional learning）的 學生嗎？更何況，此一「對比」在人文關懷之外，也洋溢了認知的旨趣，相信即使純就 制式學習來考量，也不會視而不見才是。

上述這個涉及方法論（methodology）的文化風格之對比，也頗適合充當（回家）作 業，目標不妨設定為提升數學閱讀與寫作的能力，但人文關懷面向則可引導學生討論此 一命題的「稱謂」（naming），究竟稱作畢氏定理？商高定理？或是勾股（弦）定理？哪 一個名稱最恰當？等等。我在台灣數學史教育學會成立大會的祝賀報告中，也提到一個 數學「正名」作業，請參考圖2-4 及下文說明。

圖1：畢氏定理的兩種證法 圖 2：楊輝三角

9 這是教師的教學自主權，我們百分之百尊重！

HPM 通訊第二十二卷第二期第五版

圖3：古法七乘方圖 圖 4：算術三角形

所謂的「楊輝三角」，是從《永樂大典》抄出的二項展開式之係數表，由於南宋數學 家楊輝抄自北宋賈憲，因此，也有人稱之為「賈憲三角」。在中國元代，數學家朱世傑在 他的《四元玉鑑》(1303) 中，稱此三角形為「古法七乘方圖」。在這個圖形中，朱世傑還 增列了斜線，明確地連結到他的經典的另一個主題：垛積術（高階等差級數求和）。至於 巴斯卡三角，則出自法國天才數學家巴斯卡（B. Pascal）的《論算術三角形》，中文版本 可參考李文林主編《數學珍寶》。我的作業如下：

分析並比較這三份文本的內容。並且綜合寫一篇報告，主題或可圍繞在這個三角形 的稱謂，稱呼它是「楊輝三角」或「巴斯卡三角」，哪個比較合適？為什麼？

我也另外指出一些寫作的論述提點，讓讀者瞭解我們的思維「出入」脈絡：

巴斯卡如何研究這個三角形物件 (entity) 本身？他看到哪些東西數學家看不到的東 西？又，外在脈絡或知識獵奇 (intellectual curiosity) 如何引導他的新發現？¹⁰

前面兩個作業的學習目標似乎有一點「高調」，不過，這也說明HPM 評量議題的重 要性。我在《數學起源》(2019) -- 一本附有習題的數學史著作 -- 推薦序中指出：如果我 們引導學生採取如同古代數學家的一樣步驟解題，並且敦促他們在面對同樣困難時，去 思考答案的合理性，「這就是欣賞古代學者的聰慧與創意之最佳途徑。我們發現學生欣然 介入這種學習數學史的深入進路，以及他們經由古代、另類的解題進路之分析，而得以 理解當今數學。」因此，只要作業或習題設計得宜，就能讓學生分享數學史或HPM 所引 進的「另類」學習成效。

此外，我們台灣HPM 團隊更早翻譯的《溫柔數學史》（2008），也是以中小學數學教 師為目標讀者的HPM 專書，其中每個素描（共 25 個）之後，都附有兩類作業：習題與

10 可參考蘇惠玉，〈數學歸納法的時光之旅〉及〈巴斯卡其人其事〉，載蘇惠玉，《追本數源》，頁 48-65。

HPM 通訊第二十二卷第二期第六版

專題。以素描12（主題為畢氏定理）為例，它們的習題與專題之設計都很有創意，請參 看如下各自一則的引述：

習題

・本節素描提到歐幾里得證明了畢氏定理的一般化結果，可應用至直角三 角形上的任意相似圖形。這是在《幾何原本》第六卷的命題 31。請你去 找一本《幾何原本》，閱讀這個命題和它的證明。證明的內容是否依賴畢 氏定理？（如果不是，那麼它就提供了畢氏定理的另一個證法，因為正 方形是相似形的特例。）（《溫柔數學史》，頁 268）

專題

・閱讀歐幾里得對畢氏定理的證明（在《幾何原本》第一卷命題47）。接 著請「溫柔地」改寫他的論證，使得難度適合高中生。（《溫柔數學史》，

頁 270）

平心而論，這兩則作業除了涉及《幾何原本》（The Elements）這部古典文本之外，

它們的問題意識都相當「制式」，因此，絕對適合作為一般評量的作業來使用。我們來對 照它們如何呼應「課程編選」及「教學實施」的提醒。「課程編選」強調：

教科用書的編寫應注意整體結構的有機結合，在題材呈現上能反映出各數學觀念的 內在連結。（頁54）

同時，「教學實施」也期待教師認識到：

數學與其他領域/科目的差異，在於其結構層層累積，而其發展既依賴直覺又需要推 理。（頁56）

我想一般的評量作業應該都可以設計到符合這些要求，不過，上引這兩則作業似乎較能 凸顯數學知識的這種結構性風貌（structural aspects），尤其是縱深面的（階層）統整

（vertical integration of hierarchical levels），更是《幾何原本》的所以成為經典的標記 了。至於這些進路的引入，如何可以「自然地」連結到總綱核心素養A2 的「系統思考與 解決問題」上，則有待進一步釐清。在此，先引述A2 項目說明如下：

具體問體理解、思辨分析、推理批判的系統思考與後設思考素養，並能行動與反 思，以有效處理生活、生命問題。

何謂「系統思考」？我們從附錄一的參考示例（頁59）對應的核心素養「數-E-A2」、「數 -J-A2」及「數 S-U-A2」之說明，完全看不出所以然來。不過，我們以後會另撰他文，回 來探討這個議題。

四、多元選修課程推薦

HPM 通訊第二十二卷第二期第七版

上一段最後的問題 -- 比方，如何培養系統思考素養？ -- 之所以難以處理，原因全 在於參考（演）示例（demonstrative example）的欠缺。這個不足可望由多元選修課程來 彌補。我們不揣鄙陋，在此推薦兩門多元選修課程，其學習目標都指向學習數學結構的

「層層累積」特性。儘管不無紙上談兵之嫌，但是，拋磚引玉，或許可以激發更多容易 實施的課程出來。

我推薦的這兩門課當然都與數學史有關。第一門課：「歐幾里得《幾何原本》及其哲 學文化脈絡」。時間規劃：一學期2 學分。教材主要根據《數學起源》（The Historical Roots of Elementary Mathematics）第 5-6 章。至於實施方式：可協同歷史或哲學專業的老 師合作教學。本文上一節已提及的《數學起源》，三位作者奔特、瓊斯，及貝迪恩特都出 身荷蘭，三人推動HPM 的歷史都十分悠久，誠如前述，他們的論述都表現了數學與數學 史的雙重洞察力，而且主題是初等數學（elementary mathematics），因此，非常適合充 當高中數學史教材。此處，我們稍加介紹其第5-6 章內容，方便有意採用的老師參考。這 第5 章主題是「歐幾里得的哲學先驅」，目次則依序是「哲學與哲學家」、「柏拉圖」、「亞 里斯多德和他有關敘述句的理論」、「概念與定義」，以及「特殊概念與未定義項」。所有 這些都是歐幾里得編纂《幾何原本》的希臘哲學文化脈絡。事實上，柏拉圖及亞里斯多 德的數學哲學（philosophy of mathematics）主張，在歐幾里得身上都得到具體實現的機 會，我們只要對照第6 章的前幾個目次如「定義」、「設準與共有概念」、「幾何作圖的意 義」、「設準III 的意圖」等等，就可以略窺一二。

我推薦的另一門課是「國中數學回顧與銜接」，一學期2 學分。教材可根據《數學思 辨之旅：拆解國中數學，建立數學素養與能力》來編輯。本書作者是永野裕之（科普作 家/補習班老闆/交響樂團指揮），他在〈序言〉中特別強調：「我必須先說清楚，本書主旨 並不在於教大家要從頭學習國中數學。本書乃根據數學史，以國中數學為基礎，來探究 學習數學的意義與價值。」因此，這一門「國中數學回顧與銜接」非常適合安排在高一 上學期選修。我推薦的依據還可參考永野裕之對於本書的（普及）內容定位之簡介：本 書將國中生學到的數學分成：幾何學（第1 章）、代數學（第 2 章）、函數（第 3 章），及 機率與統計學（資料的運用，第4 章）四大領域。「各章前半部皆記述相關的數學史，後 半部則統整希望讀者在該領域所應得的領悟，其中適時地穿插了『題目』，但本書基本上 不是教科書，數學不好的讀者可以快速翻過艱澀的部分。當然，自認有能力的讀者，請 務必要挑戰這些題目，體驗解題的樂趣。」

永野裕之的「提醒」，對於國中生要想「平順地」過渡銜接到高中階段，至關緊要。

其實，在我們的「教材編選」要點中，課綱委員就十分殷切指出：「國民小學進入國民中 學教育階段，為使學生適應學習場域與學習方式的轉換，應適當安排教材內容與教法，

讓教師有機會協助學生銜接跨階段時學習狀態的落差。」（頁54）不過，在同一條要點 中，卻少了國中到高中的對等部分之論述 。¹¹有鑑於學生對於數學的學習態度之轉變都

11 目前高一的銜接課程大似乎都在補充一些國、高中之間漏掉的單元環節，而非在知識結構上，有意識地 總結國中，面向高中。

HPM 通訊第二十二卷第二期第八版

發生在高一或高二，¹²因此，我們在推動國、高中的階段銜接時，應該要有同等的關懷才 是。

五、結論

拜新世紀全球公民素養訴求風潮之賜，數學史或HPM 終於在我國的數學課綱中，找 到一個應有的位置。至於數學史所以有此「榮遇」，顯然與國際之間HPM 的熱潮息息相 關。我們從公元2000 年正式引進此一學門，一邊培訓中學教師的數學史專業，一邊與其 他數學教育研究互通有無，無論在正規或非正規教育場合與實務中，我們都非常努力扮 演「擦板球」的籃板角色。如今，數學史在數學教育實務中總算獲得肯定，這對所有數 學史的愛好者來說，都是令人振奮的一件大事。因此，儘管108 數學課綱受限於篇幅，

其中，數學史與總綱核心素養項目說明的連結，不免令人感覺意猶未盡，不過，我們相 信一旦教師開始掌握HPM 的洞識與進路，他（她）們對於其他相關的核心素養，也一定 可以觸類旁通才是。

在本文中，我試圖就數學史在本課綱被期待的「功能」，分享一些基於我自身的研究 與實務，這些經驗雖然並非直接關乎中學教學，然而，我長期在台灣師大數學系四年級 開授「數學史」課程，以及指導研究生（包含許多現職的教師）進行數學史/HPM 之研 究，再加上這幾年還陸續為台灣師大、台灣大學開授「數學通識」課程，¹³因此，針對這 些比較菁英的（大）學生如何回應HPM 的教學進路，多少有一點瞭解。因此，本文所藉 以說明或澄清HPM 的幾個作業，確實是長期教學經驗累積而成。

這些經驗當然也受惠於相關教學資源的多角度開發。我從2006 年開始出版 HPM 方 面的著作，譬如《此零非比〇》，然而，並沒有帶出什麼有意義的迴響。直到近十年來，

HPM 的「被容受」程度，似乎已有了明顯的改變跡象。在這期間，由於閱讀運動的連帶 效應，我們有機會透過著述及翻譯，出版多本具有普及風格的數學史著作，¹⁴其中有些正 如前述，甚至可以直接充當教材的HPM 專書。事實上，當我們企圖將閱讀素養融入數學 教學時，這些數學史書籍也是極適合普及閱讀使用的讀物。因此，將數學史融入教學的 進路，也一定可以將十二年國教的「閱讀素養議題」融入數學教學，一舉兩得，我們將 另文討論。

總之，HPM 的使命並不是要用「數學史」來取代「數學」。然而，它關乎多項的十 二年國教的數學素養，因此，它的教育「正當性」已毋庸置疑。我們應該好好運用數學 史的進路之特性，除了「培養學生的文化美感」之外，也讓它極力想要凸顯的「系統思 考」或「後設思考」，至少能成為學生數學思維能力的一個重要環節。

參考資料

12 這是我在台大、台師大任教數學通識時，非正式的詢問結果。

13 我曾為台大開授「數學與文化：以數學小說閱讀為進路」，目前為台灣師大開授（與謝佳叡合作）「小說 與電影中的數學思維」。

14 參考洪萬生，〈台灣數學普及三十年〉。

HPM 通訊第二十二卷第二期第九版

Fauvel, John and Jan van Maanen (2000)， History in Mathematics Education: The ICMI Study. Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers.

李文林主編 (2000)，《數學珍寶》，台北：九章出版社。

永野裕之 (2017)，《數學思辨之旅：拆解國中數學，建立數學素養與能力》，新北市：世 茂出版社。

洪萬生 (2004)，〈教改爭議聲中，證明所為何事？〉，《師大學報：科學教育類》49(1): 1- 14。

洪萬生 (2004)，《中小學數學教師學科知識的縱深統整：以結合 HPM 的探究為進路》

(NSC 93-2521-S-003-015-, 2004/08/0-2006/07/31)。

洪萬生 (2006)，《此零非比〇》，台北：台灣商務印書館。

洪萬生 (2007)，〈傳統中算家論證的個案研究〉，《科學教育學刊》10(4): 357- 385。

洪萬生 (2018)，〈台灣數學普及三十年〉，Open Book 閱讀誌

https://www.openbook.org.tw/reviewer/19516，2018 年 8 月 7 日。

洪萬生 (2019)，〈數學閱讀與寫作：新世紀的 HPM 使命〉，台灣數學史教育學會 創立祝賀報告（簡報檔），2019/01/19 發表於台灣師範大學數學系 M212。

洪萬生主編 (2018)，《窺探天機：你不知道的數學家》，台北：三民書局。

洪萬生、英家銘、蘇意雯、蘇惠玉、楊瓊茹、劉柏宏合著 (2009)，《當數學遇見 文化》，台北：三民書局。

鄭章華主編 (2018)，《數往知來 歷歷可數 – 中小學數學課程發展史》上、下 冊，新北市：國立教育研究院。

蘇惠玉 (2018)，《追本數源：你不知道的數學秘密》，台北：三民書局。

比爾・柏林霍夫、佛南度・辜維亞 (2008)，《溫柔數學史》（Math through the

Ages: A Gentle History for Teachers and Others），台北：博雅書屋。（中譯者：洪萬 生、英家銘暨台灣HPM 團隊）

盧卡斯・奔特、菲利 普・瓊斯，及傑克・貝迪恩特 (2019)，《數學起源》（The

Historical Roots of Elementary Mathematics），台北：五南圖書出版公司。（中譯者：

黃美倫、林美杏、邱珮瑜、王瑜君、黃俊瑋、劉雅茵）

網路資源

《HPM 通訊》：https://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/hpmletter.htm 台灣數學博物館：http://mathmuseum.tw/

HPM 通訊第二十二卷第二期第一○版

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命運的絕對值

廖惠儀 高雄市大仁國中

是墜落的速度， 直到 陌陌漠漠默默的二維空間。

是唐突的偶然？

是離奇的劇本？

辭別了自由，

悄悄的，命運之神的一擊。

驚惶的跫音，

錯落在苦痛中喚醒了夜，

扯開旅程的經緯，

輾過心魂的排列，

慘淡，是希望的面容。

是拼圖的聲息， 掌理

骨頭、血液、神經、肌肉的藩主們，

盤踞在各自的象限，

X 光片和數字是巡邏的士兵。

我此時在荒蔓荊棘的無邊無際徘徊，

對著天守閣內的藩主們發問

「我在哪裡？」

藩主們睥睨著

斑駁的、離散的、斷片的步履，

揪住士兵，

呢喃兀兀解方程。

是囚衣的顏色， 嘲諷 渺小、如夢似真的i 的存在。

是被鎮壓在白色巨塔底的幢幢鬼影？

還是安息之地？

是放逐 還是死去？

這是個不真實的真實城市，

失落是勇氣的叛逆。

心緒是三角函數的俘虜，

扁舟湍險，

一陣，一陣，一陣。

向前，向前，向前！

是餘燼的潑墨畫。

價值、標準、目的、意義在火焰中咆哮，

讓路，

愛，安靜地說。

甦醒的天倫的幸福

秋冬春夏的滿足

記二〇一七 年七月的一場病

數學詩創作

HPM 通訊第二十二卷第二期第一一版

從一道算額問題到數學科展

黃俊瑋、朱舢樺、程紘琪 台北市立和平高中

一、前言

筆者在〈奉掛御寶前算額－累圓容切問題〉一文中，¹⁵曾經介紹過一道江戶時期的算 額問題，此算額於西元1844 年（天保十五年）被當時的和算家奉納於「四日市市」郊區 一所神社中（如圖1 所示）：

圖1. 「奉掛御寶前算額」的算額 圖 2. 算額問題示意圖

首先，筆者簡略地重述本算額問題，如圖2 所示，畫有一個「大圓 C0」（事實上它是 一個四分之一圓）與兩條互相垂直的切線段，另外左側畫有一個「半圓」（稱為白圓C1） 與大圓、直線均相切，接著如下方式作出問題中的「累圓」（即圖1 中的一系列白圓）與

「狹圓」（即圖1 中的一系列黑圓）：

1. 先畫一系列白圓：

白圓C2同時與半圓（白圓C1）和大圓C0外切，並與直線相切；白圓C3同時與白 圓C2和大圓C0外切，並與直線相切；白圓C4同時與白圓C3和大圓C0外切，並 與直線相切；白圓5 同時與白圓 4 和大圓外切，並與直線相切，以此類推。¹⁶ 2. 再接著作一系列黑圓：

黑圓C₁'與大圓C0、半圓（白圓C1）和白圓C2均外切；黑圓C₂'與大圓C0、白圓 C2和白圓C3外切；黑圓C₃'與大圓C0、白圓C3和白圓C4均外切，以此類推。¹⁷

如此，便構成了本算額上的幾何圖形。了解本圖形中各圓的相切關係之後，本問題

15 黃俊瑋，〈奉掛御寶前算額－累圓容切問題〉，HPM 通訊第 21 卷，第 6 期，2018。

16 即相切兩圓C₀（大圓）、C₁（半圓）與外公切線L 所夾區域的外公切圓為C₂；C₀、C₂與外公切線L 所夾區域的公切圓為C₃，以此類推，C₀、C_n與外公切線L 所夾區域的外公切圓為C_n1。

17

C0、C₁與C₂的外公切圓為黑圓C₁'；C₀、C₂與C₃的外公切圓為黑圓C₂'；以此類推，C₀、C_n與

1

Cn_ 的外公切圓為黑圓C_n'

HPM 通訊第二十二卷第二期第一二版

的條件與所求如下：

已知圖中的大圓直徑為121 寸 8 分（即 1218 分），而圖中的末圓（最小的黑圓）直 徑為1 分，求圖中黑圓的總數。¹⁸

本算額在「答曰」中，給出了本問題的答案「16 個」。並在「術曰」中說明：先將大圓徑 1218(分)，除以末圓徑 1(分)的 4 倍，得 304.5。接著，開平方並省去小數部份得 17，最後 將此數值減1，所得即為圖中黑圓的個數 16。本算額問題基本上是給定圖 1 中大圓與第 n 個黑圓的半徑，欲求黑圓的個數n，而上述的術，本質上是一般化的公式解。

另一方面，在該文中筆者也提到：

日本江戶時期遺留下來的算額或和算文本中的問題，包含了許多有趣多樣化的幾何 問題，除了可提供對數學有興趣者挑戰之外，當中許多問題，都值得作進一步的推 廣與發展，亦適合作為中學生專題研究，甚至是科展的題材。

因此，筆者去年也指導了2 位學生，以解決本算額問題為出發點進行數學科展研究。除 了解出此問題，並進一步探討圖形中各圓之間的半徑關係與圓心軌跡，接著，再將此問 題延伸推廣，改變初始條件與半徑關係，再試著探討多圓相切時的相關性質。

二、與本研究主題相關之數學問題與數學工具

本問題中的幾何圖形主要由若干個相切的圓或直線所構成，這類問題是江戶時期和 算家們特別感興趣的「累圓容切」問題，當然除了本問題這類「基本款」之外，和算家 們也推廣出多個圓與三角形、長方形、多邊形相切的問題，甚至將圓推廣至橢圓，或者 將平面問題推廣成為空間中，若干個球彼此相切，或是若干個球與各類錐體的容切問題 等。¹⁹

然而，除了日本數學家對多圓相切問題感興趣之外，西方數學家瑪菲堤也曾提出下 列著名的瑪菲堤問題：「給定一個三角形，在不超出三邊的限制之下，如何在其內部做三 個圓，使其總面積盡可能地為最大？」瑪菲堤在1803 年首次提出這個問題，當時他認為 他已知道問題的解答，也就是在三角形中做三個圓，使其兩兩外切，並與三角形的邊相

切（如圖3）。然而，後人陸續發現特例說 明瑪菲堤是錯誤的，甚至發現瑪菲堤的答 案永遠不可能正確的！²⁰

圖3. 瑪菲堤所提出的解答圖形²¹

18 分與寸皆為源於古代中國的長度單位。

19 引自黃俊瑋（2018），〈奉掛御寶前算額－累圓容切問題〉，《HPM 通訊》21(6)。

20 參考大衛‧艾契森（2013），《掉進牛奶裡的 e 和玉米罐頭上的 π》，台北市：臉譜出版社。

21 本圖引自 “Malfatti circles”by Wikipedia。

HPM 通訊第二十二卷第二期第一三版

在瑪菲堤問題中，研究者們關心的是欲使三角形中三個相切圓的面積和最大，而且 僅限三個圓，是從「最佳化」的角度去思考問題，不過，我們的科展問題與瑪菲堤的研 究方向不同，研究中主要想探討各相切圓半徑的關係，而非求固定圖形內所切圓的最大 面積總和。並且本研究聚焦在以下三個主要方向上：

1. 研究中，首先探求算額問題中，一系列白圓與黑圓的半徑公式，進一步求得該問題的 公式與答案，並探討圓心所在的圖形。

2. 將原問題推廣，研究一般化的情況：大圓與半圓半徑的比值為正整數的情況，並聚焦 大圓與半圓的半徑比值為完全平方數的情況。

3. 將研究問題的條件修改為給定三個兩兩外切的圓，探求一系列公切圓半徑公式：從三 圓半徑皆相

等的條件開始，接著討論其中兩圓半徑相同，最後是三圓半徑皆相異的情況，逐步改 變三圓半徑的關係將問題一般化。

在研究與證明的過程中，我們發現需利用到索迪公式（Soddy Formula），這個公式 是於1936 年由索迪（Soddy）發表，它描述了當四個圓兩兩相切時其半徑的關係。如圖 4(a)所示，圖形中各圓兩兩相切，就有如圓與圓彼此相吻，因此它又稱為“the kissing circle”。（事實上，第四個圓可與其它三圓外切或內切）

索迪公式1²²

若四圓兩兩外切，則此四圓的半徑a,b,c,d 滿足 1₂ 1₂ 1₂ 1₂ 1 1 1 1 ²

2( ) ( )

a b c d  a  b c d

(a) (b) 圖4. 索迪公式圖形

除此之外，若將上述四個相切的圓改成三個彼此外切的圓與一外公切線時（如圖 4(b)所示），則可將外公切線視為一個半徑為無限大的圓（即倒數為 0），帶入索迪公式，

可得 1₂ 1₂ 1₂ 1 1 1

a b c 2 ab bc ac

 

      

 。此時，原本的索迪公式可簡化如下：²³

22 證明請參閱〈索迪公式〉：http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5121475-

%E7%B4%A2%E8%BF%AA%E5%85%AC%E5%BC%8F%28soddy-formula%29

23 本研究中，把四圓兩兩相切的情況稱為「索迪公式 1」，把三圓與直線兩兩相切的情況稱為「索迪公式 2」。

HPM 通訊第二十二卷第二期第一四版

索迪公式2

當三圓兩兩外切時，三圓的半徑a,b,c 滿足 1₂ 1₂ 1₂ 1 1 1

a b c 2 ab bc ac

 

      

 

索迪自己的詩作〈精確之吻〉（第一段）便點出了他所創公式的精髓（引自葛登能，

《數學馬戲團》）：

兩唇輕吻，誰還在乎三角函數。

四圓相觸可不同，每圓皆能吻三圓。

如此親密的接觸，四圓必須三含於一或者一含於三。

若為一含於三，那麼就不用懷疑， 每個圓的外表都有三個唇印。

若為三含於一，則大圓少不得被人從裡面偷親三下。

三、本研究之研究過程與主要研究成果

接下來，筆者就簡單介紹本科展研究的主要成果，不過礙於篇幅限制，本文將定理 的證明過程略去。而主要的研究架構可整理如圖5：

圖5. 研究流程圖

（一）白圓、黑圓半徑公式與原算額問題的公式解

為解此算額問題，先由白圓半徑公式著手，再求得黑圓半徑公式，如此就能解出這 個問題，並進一步探討圖形中各白圓圓心所在的圖形方程式。

我們將大圓的半徑設為r₀，半圓為第1 個白圓C1，且設其半徑為r₁，並設第白圓C_n 的半徑為r_n，黑圓C_n'的半徑為b_n。接著，先探求白圓與黑圓的半徑公式，並用來解決此 算額問題。首先，我們證明了定理 1.1。

算額問題

初始條件

兩圓外切、一公切 線

初始條件

白圓半徑通式 黑圓半徑式 算額問題公式解 白圓圓心所在曲線

延伸推廣1：

改變兩圓半徑 比

將原問題一般 化

延伸推廣2：

三圓兩兩外切

三圓半徑1:1:1 三圓半徑1:1:x 三圓半徑a:b:c

HPM 通訊第二十二卷第二期第一五版

定理1.1 若白圓 的半徑 = ，則 的半徑 = 。

接著，利用定理 1.1 可證明定理 1.2 及定理 1.3：

定理1.2（白圓半徑公式）

若大圓與白圓 （即原問題的半圓）的半徑比為 ，則第n 個白圓的半徑為

。

定理1.3（黑圓的半徑公式）

若大圓與白圓 （即原問題的半圓）的半徑比為 ，則第n 個黑圓半徑

。

利用定理1.3，便可推導出原算額問題的一般性公式解為 ⁰ 1 4 _n n r

b

 

 

  。

同時，若令原算額圖形的左下角為原點（如圖6 所示），則可求出白圓的圓心所在曲 線的軌跡方程式為 ，其為拋物線。

圖6. 圓心軌跡示意圖

（二）延伸推廣 1：改變大圓與半圓的半徑比值

在初步計算後，可得知原算額問題中的大圓與半圓半徑的比值為 1

1:4，於是我們思 考，若大圓與半圓半徑的比值改變後，白圓與黑圓的公式會不會有甚麼變化？接著，便 改變大圓和半圓的比值，在大圓與半圓半徑比值為正整數的條件下，得到一系列黑圓與 白圓的半徑公式。藉此研究一般化新問題的公式解，並同樣探討圖形中各白圓圓心所在 的圖形方程式。

1

Cn_ r_n1 1 ₀

xr Cⁿ r_n

 

1 2 1

( ) 1 1

x x x

r r

x x

     

 

   

 

C1 1

1:4

0

( 1)2 n

r r

 n



C1 1

1:4 bⁿ

0 2

r 4(n 3n 3)

  

2

0 0

(xr ) 4r y

x y

HPM 通訊第二十二卷第二期第一六版

當原題目圖形中大圓 C 與第一個白圓C1（即圖中半圓）的半徑比例為 時，可獲 得定理2.1 及定理 2.2，即新的白圓半徑公式，與黑圓半徑公式，並可利用數學歸納法證 明之。

定理2.1 若大圓:半圓= ， ，則白圓的半徑 2 0

1

[( 1) ]

rn r

n k

   。

定理2.2 若大圓:半圓= ， ，則黑圓的半徑 ₂ ⁰

4[( ) ( ) 1]

n

b r

n k n k

     。

特別地，因為上述公式帶有根號，因此，當大圓與半圓半徑之比為 ， 時，

此公式可以進一步簡化為：

白圓半徑 、黑圓半徑

此時，原算額問題的公式解可推廣為 。又當k 2時， ⁰ 1 4 _n n r

b

 

 

  ，

即為原算額問題的公式解。同樣地，若假設原圖形左下角為原點，則可求得白圓的圓心 所在曲線的軌跡方程式為 ，同樣為一拋物線。

（三）延伸推廣 2：三圓內切累圓問題

由於原問題中的直線可視為半徑無限大的圓，因此，我們嘗試將問題修改，把原問 題中的外公切線改成圓，探討已知三個兩兩外切的圓（如圖7 與圖 8 之示意圖），求一系 列列相切圓的半徑公式。因為此推廣後的新問題不再包含直線，因此證明的過程中需要 用到索迪公式1。首先，從最三圓半徑相等的最基本情況出發，接著，把問題推廣，討論 恰有二個圓半徑相同，並與第三個圓半徑不同的情況，最後把問題一般化，探討三圓半 徑皆不相等的情況。並獲得了定理3.1、定理 3.2、定理 3.3 與定理 3.3’，其中，定理 3.1 與3.2 都是定理 3.3’的特例。

ー延伸推廣→

圖7. 給定外切的兩圓與外公切線 圖 8. 給定三個圓兩兩外切

定理3.1 設三圓彼此外切且半徑為 ，若圓 C 與三圓皆外切，則圓 C 的半徑

。

定理3.2 設三圓彼此外切且半徑分別為 ，若圓C 與三圓皆外切，則圓 C 的半徑 1:1

k

1:1

k kN 1:1

k ^kN

2

1: 1

k kN

0

[( 1) ]2 n

r r

n k

  

0

4[( )2 ( ) 1]

n

b r

n k n k

    

0 ( 1)

4 _n

n r k

b

 

  

 

2 2

0 0

(xr ) k r y

r0 0

1 3 2 3

r  r



0 0 0

, ,1 r r r

x

HPM 通訊第二十二卷第二期第一七版

。

定理3.3 設三圓彼此外切且半徑分別為 0,r⁰,r⁰

r a b ，若圓C 與三圓皆外切，則圓 C 的半徑 0

1 1 2

r r

a b a b ab

      。

定理3.3’ 設三圓彼此外切且半徑分別為 ，若圓C 與三圓皆外切，則圓 C 的半徑

。

其中，從最一般化的定理定理3.3’來看，此公式具有漂亮的對稱性。

有了定理3.1、定理 3.2、定理 3.3 與定理 3.3’之後，我們仿照原算額問題，繼續討論 並推導出一系列公切圓的半徑通式：

定理3.4 給定圓 A、圓 B、圓 C 三圓兩兩外切且半徑皆為r0，設圓C1與三圓皆外切，且 設圓Cn與圓A、圓 B、圓 Cn-1皆外切（n2），則圓Cn的半徑





rn r

n n

   。

圖9. 定理 3.4 示意圖：三圓兩兩外切且其中三圓半徑相等

定理3.5 給定圓 A、圓 B、圓 C 三圓兩兩外切且半徑分別為 _{0 0} 1 ₀ , , r r r

x ，

(1)設圓 C1與三圓皆外切，且圓Cn與圓A、圓 B、圓 Cn-1皆外切（n2），則圓

Cn的半徑 2 0

1

2 2 2 1

rn r

n x n x

    。

(2)設圓 D1與三圓皆外切，且圓Dn與圓A、圓 C、圓 Dn-1皆外切（n2），則圓 Dn

0 0

2

( 2) 2 2 1 1

4 ( 2) 2 2 1

x x

r r r

x x x x

  

 

   

, , a b c 1

1 1 1 1 1 1 ( ) 2

r

a b c ab bc ca



    

C1

A

C

B

HPM 通訊第二十二卷第二期第一八版

的半徑 2 0

1

( 1) 1 2 2 1

rn r

x n n x

     。

圖10. 定理 3.5 示意圖：三圓兩兩外切且其中兩圓半徑相等

定理3.6 給定圓 A、圓 B、圓 C 三圓兩兩外切且半徑分別為r⁰ ,r⁰ ,r⁰ a b c ，

(1)設圓 C1與圓 A、圓 B、圓 C 皆外切。若圓 Cn與圓 A、圓 B、圓 Cn-1皆外切

（n2），

則圓 A、圓 B 所夾區域中的公切圓 Cn半徑

2 0

1

( ) 2

rn r

a b n c n ab ac bc

      。

(2)設圓 D1與圓 A、圓 B、圓 C 皆外切。若圓 Dn與圓 A、圓 C、圓 Dn-1皆外切

（n2），則圓 A、圓 C 所夾區域中的公切圓 Dn半徑

2 0

1

( ) 2

rn r

a c n b n ab ac bc

      。

(3)設圓 E1與圓 A、圓 B、圓 C 皆外切。若圓 En與圓 B、圓 C、圓 En-1皆外切

（n2），

則圓 B、圓 C 所夾區域中的公切圓 En半徑

2 0

1

( ) 2

rn r

b c n a n ab ac bc

      。

圖11. 定理 3.6 示意圖：三圓兩兩外切且 半徑皆不相等

HPM 通訊第二十二卷第二期第一九版

事實上，定理3.1 是定理 3.4 的特例；定理 3.2 是定理 3.5 的特例；而定理 3.6 則是最 一般化的情況，前面許多定理都可以看成定理3.6 的特例。

四、討論與未來研究展望

本研究從一道江戶時期數學家設計在算額上徵解的數學問題出發，先探求圖形中白 圓與黑圓的半徑公式，並證明了本算額文提所給的公式。接著，改變圓之半徑比例 再進行延伸推廣，在解原算額問題與延伸推廣1 的過程，我們求得了白圓圓心所在 的曲線為拋物線，但黑圓圓心所在曲線的圖形還沒求出來，這是未來努力的目標。

在延伸推廣2 裡，給定三個兩兩外切的圓之半徑，我們先求得了三圓所夾區域中的 外公切圓半徑，再仿照定理2.1 與定理 2.2 的白圓、黑圓半徑通式，求得了圖形中一系列 外公切圓的半徑通式：定理3.4、定理 3.5 與定理 3.6。然而，我們尚未研究出這一系列公 切圓的圓心落在什麼樣的曲線上。同時，圖形中還有其它造出一系列公切圓的方式，例 如：給定兩兩外切的三圓，其內公切圓與任兩圓所夾區域中也可造出一系列公切圓，再 探討這些圓的半徑通式。但受限篇幅與時間，未能在本研究中完成與呈現。

此外，我們也思考：算額問題中，還包含了各式各樣幾何圖形相切問題，因此，未 來可以繼續研究正方形容切圓問題、正三角形容切圓問題，推廣至任意三角形與任意多 邊形的容切圓問題。另外，本研究處理的都是平面上多圓相切問題，我們也好奇，是否 可以推廣到空間幾何：給定四個兩兩外切的球的半徑，求他們的公切球半徑，進而仿照 本研究，討論一系列公切球的半徑通式。

後記：本文內容主要參考改寫自朱紫瑄、程紘琪（2018），〈圓圓切切圓圓──多圓容切問 題的探討與推廣〉，臺北市第51 屆中小學科學展覽會。本文的圖為朱舢樺所繪。

參考文獻

黃俊瑋（2018），〈奉掛御寶前算額－累圓容切問題〉，《HPM 通訊》21(6)。

朱紫瑄、程紘琪（2018），〈圓圓切切圓圓──多圓容切問題的探討與推廣〉，臺北市第 51 屆中小學科學展覽會。

大衛．艾契森（2013），《掉進牛奶裡的 e 和玉米罐頭上的 π》，台北市：臉譜出版社。

HPM 通訊第二十二卷第二期第二○版

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