海龍公式專輯

HPM 通訊第九卷第四期第一版

發行人：洪萬生（台灣師大數學系教授）

主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億 助理編輯：李建勳、陳春廷（台灣師大數學所）

編輯小組：蘇意雯（成功高中）蘇俊鴻、趙國亨（北一女中）

黃清揚（北縣福和國中）葉吉海（新竹高中）

陳彥宏（成功高中） 陳啟文（中山女高）

王文珮（桃縣青溪國中）黃哲男（台南女中）

英家銘（台師大數學系）謝佳叡（台師大數學 蔡寶桂 (新竹縣網路資源中心) 傅聖國 （北市

系） 萬福國小）

創刊日：1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng

海龍公式專輯

 海龍公式專輯

 Heron 生平、《Metrica》及海龍公式的 原始證法

 三斜求積術淺談

 海龍公式的流變--由徐光啟到梅瑴成

 李善蘭如何證明海龍公式？

 《八線備旨》中的海龍公式

 數學史融入數學教學－以海龍公式 探討為例

 海龍公式的各樣證法之特色

 三角形面積教學的縱深與統整

 海龍公式教學反思

 高中教材中海龍公式證明與教學的

 對有關李善蘭證明海龍公式的一點關聯性

 參考文獻、文本書影 心得

海龍公式專輯

《HPM 通訊客座主編》北一女中 蘇俊鴻老師 本次《HPM 通訊》的海龍公式專輯的誕生，正好紀錄了我們公館團隊這一段時間潛心 研究的成果。海龍公式在數學上並非是個偉大的定理，似乎被我們「小題大作」。但是，

當我們站在教學的角度上，審視海龍公式所能引動教學上的意義及帶給數學老師的啟發，

卻讓人覺得它是個值得好好發揮的題材，且容筆者細說分明。

整件事情的開端正是李善蘭，這位被洪萬生教授高度評價，認為在引領中國數學教育 全盤西化的風潮上，扮演重要角色的清末數學家。為了研究李善蘭在《天算或問》一書提 出有關海龍公式的證明，理解李善蘭在三問三答之間，鋪陳而出的論證。讓每個星期四下 午回到師大上課的公館團隊成員們吃足了苦頭。經過大約三週的反覆討論，大家慢慢地對 文句的解讀獲得共識，也釐清其間的算理。然而，隔週接著討論的《中國近代數學教育史 稿》(李兆華主編，山東教育出版社，2005 年)第 68 頁中討論平面三角學內容，提及明末清 初傳入中國的平面三角學知識，看見讓人熟悉的公式 ² (p a p b p c)( )( )

r p

− − −

= ，

1( )

p= 2 a b c+ + ， 為三角形內切圓半徑。只要兩邊同乘r p ，不就是我們所熟知海龍公式² 了。換句話說，海龍公式早在明末清初之際，隨著傳教士的腳步進入中國。那麼，它有著 什麼樣的影響呢？那海龍公式的證明呢？中國的數學家如何看待這個證明，如何消化吸納 呢？

隨著資料的收集，我們在徐光啟督修的《測量全義》看見海龍公式；在梅文鼎的《平 三角舉要》見到海龍公式；在康熙下令御製的《數理精蘊》中也見到海龍公式的蹤影。當 然，除了實例演算外，也包括海龍公式的證明。在這些公式的比對中，我們看見了證明的 傳承，以及歷代數學家在細部所做的微調。接著，又在清末民初，被教會學校廣泛採用的 翻譯數學教科書《八線備旨》中看見海龍公式及其證明，這時証明的風貌已經偏轉為代數

HPM 通訊第九卷第四期第二版

形式，朝著今日我們熟悉的證明形式邁進。在這個證明方法的轉變之中，我們也見到三角 學內容中的載體也由幾何形式轉而朝代數形式演變。

因此，在洪萬生教授的提議下，彙集大家研討的心得與成果，便有了此一專輯的產生。

整個專輯規劃的架構大致如下：

一、海龍公式 vs. 三斜求積術

(1)Heron 生平、《Metric》及原始證法 (2)秦九韶生平、《數書九章》及三斜求積術 二、海龍公式傳入中國後演變的證明版本

(1)海龍公式的流變--由徐光啟到梅瑴成 (2)李善蘭與《天算或問》

(3)《八線備旨》中的海龍公式 三、HPM 的觀點

(1)數學史融入數學教學－以海龍公式探討為例 (2)海龍公式各樣證明的教學

(3)以海龍公式為例，三角形面積教學的縱深與統整 (4)中學老師對於海龍公式教學的反思

看見如此豐富的菜色，想必已經開始期待這趟海龍公式的探索之旅。我們將帶領大家 先由西元一世紀的海龍看起，看他如何在充份掌握《幾何原本》的知識，別出心裁地提出 海龍公式的幾何證明。不過，對於海龍公式如何產生，至今仍是無解之謎。同樣地，我們 也將重訪十三世紀的南宋，看數學家秦九韶提出與海龍公式等價的三斜求積術。相同地，

秦九韶也未說明此一公式如何而來。以現在的數學符號來表示三斜求積術，即指三角形面

積 ) ]

( 2 4[

1 _{2 2} c² a² b² ₂ a

c + −

−

= ，其中 。以形式來看，它是不如海龍公式優美。不

過，在作者「理性」的重建下，卻發現這個公式可能有著極為自然的由來。同時，我們也 將以海龍公式與三斜求積術為例，說明如何將數學史融入數學教學。

a b c> >

接著，讓我們轉換場景來到清初，看看海龍公式及其證明傳入中國後，究竟產生什麼 樣的變化。此時，證明的方法仍然是幾何形式，利用相似三角形求比例關係。與海龍的證 法本質上差異不大，但在相似三角形的選擇各有擅場。不過，到了清末，李善蘭所提出的 證明，雖說是幾何形式，但想法上已經有著很大的跳躍。到底有著什麼不同，就請各位細 細品嚐與思量。而《八線備旨》中的證法，則是讓我們看見三角學內容的載體由幾何轉變 成代數的趨勢，已經讓人可以預見今日高中的三角學課程全然代數化的模樣。當然，我們 也沒忘記 HPM，一起來看看這些證法的不同特色，帶給我們那些教學上的啟發與反思。同 時，我們也以海龍公式的證法當成三角形面積教學的橋樑為例，說明如何在國小、國中、

高中等不同階段的現行教材內容中，尋求一個較好的一貫性，以利於銜接、縱深與統整。

讓我們一起整裝待發，展開這一趟海龍公式的探索之旅吧！

HPM 通訊第九卷第四期第三版

Heron 生平、 《Metrica》及海龍公式的原始證法

台師大數學系碩士班研究生 胡政德 廢話不多說，馬上來說說 Heron。

Heron或Hero of Alexandria（西元 1—75）有些人譯為海龍或海倫(以下我們以海龍稱 之)，也就是一般人所熟悉的三角形面積海龍公式的海龍。他不但是古希臘數學家，也是力 學家和機械學家，所處年代大約是在歐幾理得之後 350 年左右，主要活躍於亞歷山大里亞 (Alexandria)。在海龍的論述中，他大膽使用某些經驗性的近似公式，並

注重數學的實際應用，我們可以從海龍所留下來的著作中可以發現，例 如：Metrica（測量術）、Dioptra（屈光學）等等。更多有趣有關海龍的 著作與發明可以參考網站：

http://www.mlahanas.de/Greeks/HeronAlexandria.htm。

圖一：Heron of Alexandria 而一般人所熟悉的海龍公式是出現在《Metrica》書中。首先簡單的介紹一下《Metrica》

這部著作。《Metrica》共有三卷，包含 133 個幾何名詞的定義（例如：點、線等等），各卷 內容大致如下：

卷 一 主要論述平面圖形面積及立體圖形表面積，例如：三角形、四邊形及 正 3~12 邊形、圓錐、圓柱、角柱、三角錐、球體，除此之外還提供 一個算平方根近似值的方法。

卷 二 主要論述立體圖形的體積，例如：圓錐、圓柱、角柱、三角錐、球體…

等等。

卷三 主要論述將圖形分成比例的問題，而這些大部分和歐幾理得的工作是 一樣的，另外，在這裡也提供了一個求三方根的方法，而且算出³ 100 。

《Metrica》被認為是一本實用的測量手冊方面的代表作，例如：測量各種圖形的面積 和體積等等。而且，海龍還講述了如何算出數值的結果，即使其中包含了『無理的』量（例 如 720 ）。除了測量與計算以外，海龍有時也會給出證明，但他的目的主要是計算，而不 是證明。這本著作在某種意義上，讓吾人想起中國及巴比倫的一些教本，但海龍經常引用 像歐幾里得的結果，來核證他所運用的法則或公式。

在《Metrica》卷一中，討論完長方形和等腰三角形這一些簡單的情形之後，海龍接著 討論給定三邊長的三角形面積求法。他給了兩個方法，第一個方法是以歐幾里得《幾何原 本》卷一命題 47（亦即畢氏定理）（在海龍的證明中，表示成[Euclid I-47]，其餘類推）求 出高，然後「面積=

2

1×底×高」，第二個方法是「海龍公式」，編入卷一第 8 題。

上述第一個方法，這裡我們不加以詳述，若讀者有興趣，可以自己試看看給定三邊長，

HPM 通訊第九卷第四期第四版

是否能以一邊為底，算出一高。我們有興趣的是第二個方法，海龍在這個題目一開頭，給 了這樣的一段敘述：「這裡有一個一般的方法可以找出任意給定三邊的三角形面積，而且 沒有畫出垂直線。例如：假設三邊長分別為 7、8、9。」下面是整個計算過程：

12 2 / 24

24 9 8 7

=

= +

+ Î Î 3

9 12

4 8 12

5 7 12

=

−

=

−

=

−

720 3 240

240 4 60

60 5 12

=

×

=

×

=

×

Î

求近似值

= 720

∆

『海龍公式』的現代版，則可以敘述如下：

If A is the area of a triangle with sides a, b and c and s = (a + b + c)/2, then A² = s (s - a)(s - b)(s - c).

上面的例子把公式的算法詳細演算了一次。然而，海龍還給了一個令人感到相當驚奇的證 明。接下來，我們將會介紹海龍是如何證明此一公式。在這之前你可以先想一想，你會怎 麼去證明它。如果我們在三角形內部畫了一個內切圓，則三角形面積會等於

a r b r c r a b c r s r

×

= + ×

= + + ×

+ ×

× )

( 2 2 2

2

由此式子，我們似乎可以觀察到：面積可以表示成和s 的關係式。不過，這個 r 怎麼將它 換掉呢？想想看，你是不是和海龍有一樣的想法？

首先，簡單介紹所使用的符號，例如AB 表示 AB 線段長，△ABC 表示三角形 ABC 的 面積，接下來，就是海龍的證明過程了：

假設三角形ABC，三邊長分別為AB、BC、CA (c, b, a ) [Euclid IV.9] 三角形有內切圓，切點DEF 圓心為G

且連接AG、BG、CG、DG、EG、FG [Euclid I.41] BC‧EG＝2△BGC

CA‧FG＝2△AGC AB‧DG＝2△AGB

所以 2△ABC 為三角形周長乘以 EG(是內切圓半徑)

[Euclid III.17]

在BC 線上作 BH＝AD，則

CBH 線段長是三角形 ABC 周長的一半，

因為AD=AF, DB=BE, FC=CE

因此CH‧EG＝ CH EG²i ² = ∆ABC= ∆ABC²

G B

F D

E H

A

C

到這裡我們可以看的出來，海龍在三角形圖形上，將公式中的s(s - a)(s - b)(s - c)四個量都 造出來了，其中

) (

) (

) (

) (

r s GE CH ABC

BE c s

BH b s

CE a s

CH s

×

=

×

=

∆

=

−

=

−

=

−

=

B D F

A

K C G E H

L

HPM 通訊第九卷第四期第五版

若將上式兩邊平方，與海龍公式比較比較 ) )(

)(

( ) ( )

(∆ABC ² = s×r ² =s s−a s−b s−c ，

因此，若能說明線段的比例關係，就證明完畢。

不妨參考右圖，試看看你可不可看出一些比例關係。

繼續回來看到海龍公式的證明：

過B 點作垂直 BC 的直線(∠CBL＝90°) 過G 點作垂直 GC 的直線(∠CGL＝90°)，

兩線相交於L，連接 LC 交 BC 於 K

[Euclid III.31] 因為∠CBL 和∠CGL 為直角所以 CGBL 四點共圓,且 CL 為直徑 [Euclid III.22] 圓內接四邊形，對角互補，所以∠CGB+∠CBL＝180°

但∠CGB+∠AGD＝180° 因為

AGD= AGF BGD= BGF CGE= CGF

∠ ∠

⎧⎪∠ ∠

⎨⎪∠ ∠

⎩

可以得到∠AGD＝∠CLB，∠ADG＝∠CBL(＝90°) 則△AGD～△CLB(AA 相似)

因此BC：BL＝AD：DG＝BH：GE（∵AD＝BH, DG＝EG）

[Euclid V.16] 因為BL GE (平行線截等比例線段) 所以BC：BH＝BL：EG＝BK：KE [Euclid V.18] BC+BH：BH＝BK+KE：KE

CH ：BH＝ BE ：KE

所以CH²：CH‧HB＝BE‧EC：EK‧CE＝BE‧EC：EG² 內項乘積等於外項乘積，

所以CH²‧EG²＝(CH‧HB)( BE‧EC)＝∆ABC²

CH, HB, BE, EC 是給定的，因此∆ABC面積是給定的。 Q.E.D.

在海龍的證明過程中，他一直使用了《幾何原本》裡面的命題（參考上文中有 [Euclid]

的部分），運用了許多比例的技巧，搭配幾何圖形說明，每個量都有其對應的線段，這正 是他的證明的巧妙之處。因此，我們可以知道海龍並沒有未知數的概念，他也不敢使用未 知代表已知。但是，我們也許會覺得奇怪為什麼海龍的第一個方法是使用底乘以高的一半 呢？不就假設了高度是未知，然後利用已知三邊長去求出高度？這樣的想法，是以我們現 代的數學觀點去解釋的，對海龍而言，第一種方法並不奇怪，因為他可以做出高並測量之，

但有時候三角形的高無法測量時，海龍公式對於他而言，是有很大的意義的。

如果我們將《幾何原本》當成一本教科書，那麼，海龍公式的證明就是最好的解題示 範了。也許有人會覺得海龍的證明非常繁雜，尤其相較於使用餘弦定律證明來說。但是，

我們不要忘記了海龍當時還沒有發展出符號代數，而海龍卻能夠將這個問題精巧地證明，

實在令吾人感到佩服。

HPM 通訊第九卷第四期第六版

三斜求積術淺談

成功高中 蘇意雯老師 西方的海龍公式流傳已久，但是在中國也出現過一個與海龍公式等價的公式，那就是 秦九韶的三斜求積術。本篇文章首先將為大家介紹秦九韶的生平事蹟，以及他的重要著作

《數書九章》。《數書九章》被列為宋元數學的代表作之ㄧ，此算書的第五卷－田域類的第 二題「三斜求積」，就是已知三角形三邊之長，求其面積的題目。秦九韶於這裡提出了著 名的「三斜求積術」。在以下的篇幅裡，筆者除了針對三斜求積術多所說明外，也運用簡 單的平面幾何知識，試圖還原秦九韶所未給出的証明，最後並以中西海龍公式所呈現的風 貌作為比較，說明數學的發展與文化脈絡息息相關。

一、秦九韶生平簡介

秦九韶，字道古，是普州安岳（現在四川安岳）人，生於南宋寧宗嘉泰二年（1202）， 約卒於理宗景定二年（1261）。他與李冶、楊輝、朱世傑並稱為宋元數學四大家。秦九韶 自幼生活在家鄉，十八歲時曾「在鄉里為義兵首」，後來隨父移居京都。他是一位聰敏好 學之人，處處留心，勤學不倦。當他父親任職工部郎中和秘書少監期間，正是他努力學習 和積累知識的階段。工部郎中掌管營建，而秘書省則掌管圖書，其下屬機構設有太史局。

因此秦九韶有機會閱讀大量典籍，並拜訪天文曆法和建築等方面的專家，請教天文曆法和 土木工程問題，甚至可以深入到工地，瞭解施工情況。他又曾向「隱君子」學習數學，也 曾向著名詞人李劉學寫駢驪詩詞。通過這一階段的學習，秦九韶成為了一位學識淵博，多 才多藝的青年學者。他認為數學研究「大則可以通神明，順性命；小則可以經事務，類萬 物，詎容以淺近窺哉！」在 1244 年至 1247 年間，秦九韶專心致志研究數學，終於完成了 數學名著－《數書九章》。

二、《數書九章》及三斜求積術

宋元時期是中國傳統數學發展的高峰時期，《數書九章》是宋元數學的代表作之一，

這本書共十八卷八十一題，分為九類，每類兩卷九題。這些問題是秦九韶從他收集和演算 的大量資料中精選出來的較有代表性的問題。在著作體例方面，《數書九章》採用問題集 的形式，並將問題分為九類，但在各題術文（解題方法）之後多附有「草」，就是表明演 算步驟的算草圖式。在幾何方面，秦九韶的一項傑出成果是「三斜求積術」，就是已知三 角形三邊之長求其面積的公式，為前人所無，等價於古希臘著名的海龍公式。三斜求積位 於第五卷－田域類的第二題。

問：沙田一段有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三 百步，欲知為田幾何？

答曰：田積三百一十五頃。

中斜一十四里

大斜一十五里 小斜一十三里

術曰：以少廣求之。以小斜冪併大斜冪減 中斜冪逾半之自乘於上以小斜冪乘 大斜冪減上餘四約之為實一為從隅 開平方得積。

翻譯：

問題：一塊沙田有三邊，小邊長 13 里，中邊長 14 里，大邊長 15 里，古時一里

HPM 通訊第九卷第四期第七版

為 300 步，問田地的面積是多少？

答案：田地的面積是 315 頃。

方法：用少廣術來求。以小邊的平方加上大邊的平方減去中邊的平方，所得之值除以 2 後 再平方，之後以小邊平方乘以大邊平方減去前面的數值，所得之值除以 4 再開平方 就可以得到田地的面積。

“少廣”是《九章算術》第四章的章名。古人規定一畝之田，寬為 1 步，長為 240 步。

少廣之本術，是在田積一畝固定不變之下，考察田寬有小量的增長時，相應田長之值如何 變化的問題。上述的三斜求積術，若以a 表大斜、b 表中斜、c 表小斜，用現代數學符號

可表示為 ) ]

( 2 4[

1 _{2 2} c² a² b² ₂ a

c + −

−

=

∆ ，因此，我們可以得到

84 ] 2 )

14 15 (13 15 13 4[

1 _{2 2} ^{2 2 2} ₂

− =

− +

×

=

∆ 。為什麼答案不是 315 呢?主要是單位換算的問

題。因為一里是三百步，因此以 240(積)步為一畝，一百畝才是一頃的概念，所得到的數值 還需經過如下的運算才能得到 315

100 240

300 300

84 =

×

×

×

。 三、三斜求積公式的推導

由於在文本中，秦九韶只給出公式，沒有推導過程，那麼這個公式究竟如何產生呢？

雖然歷史並無定論，但在此筆者以簡單的平面幾何知識，試圖加以還原得出。先假設大邊 a 上的高為 h，此高把大邊分成 x 和(a-x)兩段長，然後由兩個直角三角形共用此高，以畢氏 定理解出x，接著代回以 c 為斜邊的直角三角形中，就可求得高的表示式

2 2 2 2 2

2 ) a

-b a -( c c

h +

= ，再由三角形面積為

2

1底×高，導得秦九韶的三斜求積公式：

] b ) a ( c a [c a )

-b a -( c c a ah

∆ ²

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 4

1 2

2 1 2

1 + −

− + =

=

= 。

其推導過程整理如下圖所示：

c b

h

x a-x

由c²-x² =b²-(a-x)² 得到

a -b a x c

2

2 2 2+

=

代入h² =c²-x² 可得 ^{2 2 2 2 2} 2 )

a -b a -( c c

h +

= 。

四、海龍公式之中西比較

在中西海龍公式的比較中，由希臘人運用平面幾何知識證出海龍公式，和中國數學家 只給出公式，代入求解，可見數學問題的展現離不開社會文化的歷史脈絡，也與民族特性

HPM 通訊第九卷第四期第八版

相關。中國的數學與古希臘人只接受演繹的邏輯推理不同，因為中算家不拘一格地採用各 種形式的推理方法，使中國數學成為一種從實際問題出發，經過分析提高而概括出一般原 理、原則和方法，以求最終解決一大類問題的體系(劉鈍, 1997）。針對一個已知三角形三邊 長求其面積的問題，由於解題形式的不同，讓我們看到了在數學知識呈現的背後，正蘊藏 了深刻的文化意含。這又豈是純粹背誦海龍公式所能體會出的呢？

附錄：

三斜求積術為何與海龍公式等價(由陳春廷提供) 試著將三斜求積術平方後做因式分解：

2 2 2 2 2 2

2 1 a +c -b a +c -b

= ac+ ac-

4 2 2

⎛ ⎞⎛ ⎞

⎟⎠

∆ ⎜ ⎟⎜

⎝ ⎠⎝

2 2 2 2 2 2

2 1 2ac+a +c -b 2ac-a -c +b

=4 2 2

⎛ ⎞⎛

⇒ ∆ ⎜ ⎟⎜

⎝ ⎠⎝

⎞⎟

⎠

2 2 2 2

2 1 (a+c) -b -(c-a) +b

=4 2 2

⎛ ⎞⎛

⇒ ∆ ⎜ ⎟⎜

⎝ ⎠⎝

⎞⎟

⎠

( )( )

2 1 (a+b+c)(a+c-b) b+(c-a) b-(c-a)

=4 2 2

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⇒ ∆ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( )

2 (a+b+c)(a+c-b) b+c-a a+b-c

= 2 2 2 2

⇒ ∆ ⋅

⋅ ⋅

(

) (

)

(a+b+c) (a+c-b)

= 2 2 2 2

⇒ ∆ ⋅ ⋅ ⋅

令 2

a b c s + +

= ，即三角形周長之半，則a+b-c

2 =s-c，a-b+c

2 =s-b，b+c-a

2 =s-a。於是，

= s s a s b s c( )( )( )

∆ − − − ，就是我們所熟悉的海龍公式了。

HPM 通訊第九卷第四期第九版

海龍公式的流變--由徐光啟到梅瑴成

台師大數學系碩士班研究生 李建勳 前言

「海龍公式」出現在國內高一教材三角函數單元中，此公式說明已知三角形三邊長的情形 下求得面積的方法，乃古希臘人海龍(Heron，約西元 10 年至 75 年)所發現，以下筆者將就 海龍公式遠渡重洋來到中國後，在明末清初歷史上如何流變作一番介紹，我們將會看見與 現今高中教材裡大相逕庭的論證風貌，「咀嚼」起來又是另一種不同味道，且讓筆者與您 一同分享。

一、《測量全義》中的海龍公式

16 世紀末，因傳教士的東來，西方數學第一次傳入中國。而後在 17 世紀初明朝崇禎 年間，由於所沿用的元朝曆法行之以久，誤差層出不窮，因此，徐光啟奉詔督修新曆，遂 把當時西方傳教士所傳入中國的天文、曆法、數學等書編譯匯整，最後合眾人之力完成《崇 禎曆書》一書。當時西方天文學，主要建立在幾何學與三角學等基礎上，於是，這本打著

『修曆』名號所彙編的典籍，當然也就網羅了這方面的初等數學知識。《測量全義》便為 收錄的其中一部著作，此書共 10 卷，主要包括了西方三角學及幾何學的一些知識，其中卷 4 和卷 5 包含了一些平面幾何的面積公式，在此烙下了海龍公式第一次傳入中國的足跡。

此題位於第四卷測面上－第二題「量三邊形」之始。

乙丙丁三邊形，有邊數，無角數，求實。

其法：并三邊數，半之為實，以每邊之數為法，各減之，三較連乘得數，以半總數 乘之為實，平方開之，得實。

乙

丙 丁

筆者試著翻譯如下：三角形乙丙丁，已知邊長，不知其內角度數，求面積。

方法：取半周長和（半總）為被減數，分別以每邊長為減數減之，所得的三個差（三較）

連乘再乘上半總，開平方根，即得所求面積。

《崇禎曆書》作者在這之後安排了兩個例子，即分別給定三邊長為 7、9、12 以及 13、

18、21 的兩個三角形，利用上面描述的方法作演算示範。由於它們單純只是作乘法及開方 運算得出其值，非本文重點，故筆者在此不呈現其計算結果，而改為詳述緊接而來的公式 證明。茲利用一般熟悉的代數符號，將此命題與其文本中的證明改寫

如下：

c b

a C

B

A

已知：一 ABC，三邊長分別為 a,b,c，令 1

( ) s=2 a b c+ + ， 則 ABC面積＝ s s a s b s c( − )( − )( − )

HPM 通訊第九卷第四期第一○版

證明

1.

A

C

xx oo

I D F E

B

( 圖一 )

如圖一所示 I 為 ABC的內心

ID IE IF= = = 為其內切圓半徑長 r BDI ≅ BFI

∵ ， CDI ≅ CEI ， AEI ≅ AFI BD BF

⇒ = ，CD CE= ，AE= AF

分別延長AB 、AC，取BH =CE、CK =BF

A

B

C

o x o

I D F E

H

K

G ( 圖二 )

如圖二所示 則AK =AH =s

再延長AI 至 G，使GK ⊥AK，連接HG 則 AHG≅ AKG ⇒HG KG=

(AK = AH =s，AG= AG，∠HAG= ∠KAG) 2.

如圖三所示

取BM =CD，連接GM 再取HP BD= ，連接PG 則PG CG=

0

90 PHG CKG HP CK HG KG PHG CKG

PHG CKG PG CG

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= =

⎜ ⎟

⎜∠ = ∠ = ⎟

⎜ ⎟

⎜ ≅ ⇒ = ⎟

⎝ ⎠

在 和 中

因 ，

故

A

B

C

o x o

I D F E

H

K

G M

P

( 圖三 )

又 CMG≅ PHG

(因CG PG= ，CM =PH ⇒MG HG= ) 故∠CMG=90⁰

HPM 通訊第九卷第四期第一一版

再者，因 BHG≅ BMG 可得∠BGH = ∠BGM 在四邊形ＭＢＨＧ中

因∠BHG= ∠BMG=90⁰ 故∠MBH+ ∠MGH =180⁰ 又∠MBH+ ∠DBF =180⁰ 則∠MGH = ∠DBF

1 1

2 2

BGH MGH DBF FBI

⇒ ∠ = ∠ = ∠ = ∠

A

B

C

o x o

I D F E

H

K

G M

P

因此兩直角三角形 BGH、 IBF 相似 則IF FB BH HG: = :

即IF HG FB BH× = × （１）

又因 AFI與 AHG相似 故IF HG: =AF AH:

即IF²:IF HG× =AF AH: （２）

由（１）、（２）可知

2: :

IF FB BH× = AF AH 即AF FB BH× × = AH IF× ²

即AH²×IF² = AH AF FB BH× × ×

其中 1

( )

AH = =s 2 a b c+ + ， IF 為內切圓半徑ｒ，

AF = −s a，FB s b= − ，BH = −s c 即s r^{2 2} =s s a s b s c( − )( − )( − )

故 ABC面積＝sr＝ s s a s b s c( − )( − )( − )得證

上述看似完美的論證過程有個瑕疵，在驗證 CMG≅ PHG時，作者利用CG=PG、 CM =PH推得MG HG= 的推理是不成立的，因此接下來即得 CMG≅ PHG的結論並不充

HPM 通訊第九卷第四期第一二版

分，即 的推論在此脈絡下並無法成立，筆者所陳述的瑕疵，當時的明末數學 家卻沒人發現，筆者推測原因有二，其一乃因西方數學演繹推理的呈現方式與中國傳統數 學大不相同，故在短時間內還難以接受，其二即《崇禎曆書》於崇禎七年（1634）編成，

在此之後中西曆訟仍紛擾不休，直到多次驗證發現西曆準確無誤後，才通行天下，這已是 崇禎 16 年（1643）之事，隔年明朝隨即覆亡，因此一直留待數十年後，我們才在文本上 第一次看到中國數學家修正了這個錯誤，此人即清朝『曆算第一名家』梅文鼎也。

900

∠CMG=

二 、梅文鼎《平三角舉要》中的海龍公式

梅文鼎 (1633-1721) 生於明末，長於清初，正是西方數學開始傳入中國的時期，他生 長在一個知識份子家庭，從小受到了良好的教育，９歲時已熟讀五經，因在其 27 歲時拜師 學習天文曆法，完成了他的第一部創作，從此開啟了對曆算的興趣。在中西文化衝突之下，

他扮演了一個承先啟後的地位，一方面當時國人對西方幾何學嚴謹的演繹體系仍難以消 化，另一方面中國傳統的幾何學知識未得到系統化的整理，有鑒於此，他終其一生致力於 中西知識的會通工作上，在融會貫通之際，以自己的見解及理念編寫了數十本的天文及數 學著作，可以說經由他的「揉合」，才讓其後的清代數學家得以窺見西方數學面貌，催生 了在這時期數學上的興盛。

康熙 14 年（1675），梅文鼎到南京參加鄉試時買到《崇禎曆書》，在積極研究後，參考 其中《大測》及《測量全義》關於平面三角的部分，對涉及三角形的幾何學性質以及有關 三角術的算法作了有系統的整理，完成《平三角舉要》一書，是歷史上第一本三角學專書。

在此書中，他補齊了筆者先前所提及《測量全義》中海龍公式的證明漏洞，詳載於其著作

《平三角舉要》卷４『或問』第 12 頁（現今我們所看到的版本載於《梅氏叢書輯要》卷 22），在此卷開頭自序中便說：

三角大意，首卷略具，而入算仍有疑端，同學好問，事事必求其所以然，故不憚為 之詳複，以暢厥旨。

故以其想將證明完美化的企圖，將上述證明漏洞補齊，也就勢在必行了！因前人在《測量 全義》中，已將海龍公式證法做了很詳細的敘述，因此，梅文鼎便延用《測量全義》論證 中大部分的成果，亦採用了同樣的插圖與證明方式。筆者接下來將略去他與《測量全義》

相同的證明部分，僅就相異部份加以著墨，亦即將梅文鼎證明 的精采過程轉 述重現。他在第 12 頁中的開頭命題如下：

900

∠CMG=

問三較連乘之理，曰亦勾股術也。以勾股為比例，而以三率之理轉換之，則用法最精 之處也，故三較連乘，即得容員半徑上方乘半總之積。

筆者試著翻譯如下：

若要問三較（先前所提及的三角形半周長分別與三邊長的差）連續相乘的道理，則同 樣是應用勾股（直角三角形）的方法，以勾股為比例，而用三率法（一比例式中，其 中三數已知，求唯一未知數的方式）來轉換，則這是用法最精妙之處，故三較連續相 乘，即得內切圓半徑長的平方乘上半總（半周長）之積。

證明：

1.

（同《測量全義》中海龍公式證明１，故省略）

HPM 通訊第九卷第四期第一三版

2.

取CM =CK，則BM =BH

延長AK 至N，使KN =BH

A

B

C

x oo

I D F E

H

K

G M

P N

再延長AH 至 P，使HP CK= 則CN =BP BC=

連CG、BG、NG、PG四線，

則 CKG≅ PHG（CK =HP，

， 900

CKG PHG

∠ = = ∠ KG HG= ） CG PG

⇒ =

同理， NKG≅ BHG ⇒NG BG=

A

B

C

o x o

I D F E

H

K

G M

P N

因此， NCG≅ BPG≅ BCG BPG BCG

⇒ ∠ = ∠

連接MG

又HP CK CM= = ，CG PG= 故 PHG≅ CMG

又 CKG≅ PHG 則 CMG≅ CKG

⇒∠CMG=90⁰ 3.

在四邊形ＭＣＫＧ與四邊形ＤIＥＣ中 因∠CKG= ∠CMG=90⁰ = ∠IEC= ∠IDC

1800

MCK MGK

⇒ ∠ + ∠ = 又∠MCK+ ∠DCE =180⁰ MGK DCE

⇒ ∠ = ∠ ；∠MCK = ∠DIE

因四對應角相等，即成四邊形ＭＣＫＧ與四邊形ＤIＥＣ相似 IEC CKG

⇒ ∼ (各為原四邊形之半)

: :

IE CE CK GK

⇒ =

⇒CE CK× =IE GK× （3）

HPM 通訊第九卷第四期第一四版

又 AKG_∼ AEI

⇒ IE GK: =AE AK:

⇒ IE²: (IE GK× )= AE AK: （4）

由（3）、（4）可知

2: ( ) :

IE CE CK AE AK

⇒ × =

即r²: (s b s c− )( − = −) (s a) :s

2 )

( )( )(

sr s a s b s c

⇒ = − − − 此式與海龍公式等價。

梅文鼎雖把《測量全義》中證明∠CMG為直角的缺陷補上，但卻在證明 3 中出現了一 點瑕疵，因為若要證明兩四邊形相似，除了對應角相等外，還需驗證對應邊是否成比例，

但很明顯地他在證明過程中並沒有任何交代。筆者對此產生了些疑問，以他精熟《幾何原 本》及《崇禎曆書》的程度，為何不模仿《測量全義》中利用內角相等方式直接處理 BGH 與 IBF 相似，卻選擇利用四邊形ＭＣＫＧ與四邊形ＤIＥＣ相似後各剖其半迂迴進行？何 以其刻意選擇『較不自然』的作法？實令筆者百思不得其解。

三、《數理精蘊》中的海龍公式

梅文鼎的『領頭作用』對清朝數學產生遠大的影響，除此之外，在他的教導之下，梅 氏後代亦有很突出的表現，例如其孫梅瑴成，從小就受到梅文鼎的親自教授天文曆法與數 學，因此，奠定其良好的數學基礎。前文所提到《梅氏叢書輯要》便是他所彙編，除此之 外，梅瑴成所成長的年代適逢康熙盛世，在康熙晚年被召入宮學習數學，後領命編彙天文 算法書籍，組織了一群數學家編撰了《數理精蘊》，分上下二編，上編 5 卷，為全書的理 論部分，下編 40 卷，包含算術、代數、幾何、三角和數學器具，是全書的主要部份。《數 理精蘊》包含了中國傳統數學，以及明末清初以來從西方傳進來的數學知識，是一本內容 豐富數學百科全書，由此可見，該書羅蒐學問之廣，當然亦涵蓋了梅文鼎所做的研究。於 是，海龍公式便第三次出現，將其收錄在《數理精蘊》下編卷 17『三角形邊線角度相求』

中，似乎也就不足為奇了。

由於梅文鼎已經將海龍公式證明整理得相當完善，故在《數理精蘊》中，海龍公式證 明脈絡及手法，與《平三角舉要》可以說如出一轍，然而，還是顯現了些許差異，其一在 於前者將後者所附的圖形作九十度旋轉並加以簡化，如右圖所示 (原文本中的頂點乃以中 國天干地支中的符號表示)：

不知道讀者是否有發現圖中所作的輔助線

乙 甲

丙

x x

o o

丁 庚

己

戊

辛

癸 壬

要比《平三角舉要》一圖來得更少？而在 先前展示證明的過程中用來驗證∠CMG (本圖中的丙癸壬角) 為直角三個大三角形已 不復見，然則我們該如何證明圖中丙癸壬角為 直角呢？原文中是這樣說明的：

試作壬丙線壬癸線，使丙癸與丙辛等，

HPM 通訊第九卷第四期第一五版

癸角辛角皆為直角。

該文是要我們作線段丙癸的長與丙辛等，則便可得癸角辛角皆為直角。相信大家都知道只 有兩組對應邊等長無法保證兩三角形必然全等，故此為作者的一大疏漏也。不過，除此之 外，『數理精蘊版』的海龍公式亦有其可取之處，以下這段話摘錄自證明的原文：

乙辛壬形與乙己丁形遂為同式形，其乙辛與乙己之比即同於壬辛與丁己之比，然乙 辛一率乙己二率之數雖有，而壬辛之數卻無，又但知己丙與丙辛相乘之數，即丁己 與壬辛相乘之數，故以己丙與丙辛相乘之數為三率，其所得四率，即丁己自乘之數，

是故乙辛與乙己之比，同於丁己與壬辛相乘之面。

這部份的大意是說乙辛壬三角形跟乙己丁三角形相似，所以乙辛 乙己 壬辛 丁己，雖然: = : 乙辛 和乙己 兩數皆知， 壬辛 卻無法得知，不過，我們知道己丙 丙辛 丁己 壬辛 ，所× = ×

以若將己丙 丙辛 之數置於原比例式中的 壬辛 位置，則原式中替換 丁己 位置之數即為× 丁己2

（即乙辛 乙己 壬辛 丁己: = : =( 丁己 壬辛× ) :丁己²=( 己丙 丙辛× ) :丁己 ）² ，

因此，就可以得到乙辛 乙己: =( 己丙 丙辛× ) :丁己 ，若以熟悉的代數符號表示，即可對² 應到s s a: ( − )= −(s b s c r)( − ) : ²（令甲丙=a、甲乙=b、乙丙=c），即

，就證明完畢了！

2 ( )( )(

sr = −s a s b s c− − )

這段文意解釋了何以要以己丙 丙辛 代換 壬辛，原因如同文章中所陳述，乃欲以已知× 換未知，此點不論在《測量全義》亦或《平三角舉要》的證明原文中均隻字未提。比起上 述兩者，《數理精蘊》在這部份讓人感覺多了點教育的關懷，更能貼近學習者的角度。

不論是《測量全義》、《平三角舉要》或是《數理精蘊》，其中包含的海龍公式論證形 式皆一脈相承。然而，在一再彙編修訂的情形之下，各版本仍有其美中不足的缺陷。雖是 如此，倒也各有所長，例如在《數理精蘊》中，直接處理兩個直角三角形的相似關係，進 而得到所求比例式一法，就令人激賞；而在《平三角舉要》中，完整呈現出 為直角 的證明等，在在提醒了我們應藉由「原典」或「第一手典籍」的貼近，向各家大師學習。

的確，在深入探討這三個版本的海龍公式之後，我們了解該如何呈現本定理及其證明，以 便可以兼顧到各個面向。我們可以以文本為師，擷取前人的智慧，乃至於前人所犯的錯誤

（也能顯露出「缺陷美」的一面），也都是非常適合啟發我們思考的問題。因此，數學原 典中的任何地方，可能都有意想不到的礦脈等待挖掘，唯有辛勤開挖才有可能使我們滿載 而歸。

∠CMG

HPM 通訊第九卷第四期第一六版

李善蘭如何證明海龍公式？

台師大數學系碩士班研究生 陳春廷 一、前言

李善蘭（1811－1882），號秋紉，別號壬叔，浙江省海寧縣人，他是清代著名的數學 家，中國數學現代化的先驅。李善蘭自小就展露數學才華，十歲時接觸到《九章算術》， 此後就對數學發生了極大興趣。

李善蘭和偉烈亞力（A. Wylie，1855－1887）合譯《幾何原本》後九卷，又合譯棣莫 甘 (De Morgan, 1806－1871) 的《代數學》、羅密士 (E. Loomis, 1811－1899) 的《代微積 拾級》。他還與艾約瑟 (Joseph Edkins) 合譯了《圓錐曲線》和《重學》。李善蘭本身也有相 當傑出的成就，例如：『尖錐術』、『垛積術』等等，其中又以『李善蘭恆等式』最為著名。

本文的重點，是有關李善蘭針對『海龍公式』(Heron’s Formula) 所提供的證明。雖然 筆者目前無法確定李善蘭如何得知此一公式（『海龍公式』在明末清初傳入中國），但是，

他使用了不同於海龍的證明方式，卻相當值得我們研究。有關此一證明的詳細過程，可以 見之於李善蘭的《天算或問》，這是他自己收集有關天文或算學的 Q＆A 之著作。本書收 入他自己結集的《則古昔齋算學》－數學與曆算著作的總集，其中包括有《方圓闡幽》一 卷、《弧矢啟秘》二卷、《對數探源》二卷、《垛積比類》四卷、《四元解》二卷、《麟德術 解》三卷、《橢圓正術解》二卷、《橢圓新術》一卷、《橢圓拾級》三卷、《火器真訣》一卷、

《對數尖錐變法解》一卷、《級數回求》一卷及《天算或問》一卷，全集共有二十四卷之 多。

二、李善蘭的證明 2.1 呈述命題及證明策略

在《天算或問》中，李善蘭總共安排了三個問答，以完成海龍公式之證明（全文詳見

『附錄』），我們運用現在的符號說明如下：

已知一個三角形 ABC 的三邊長分別為 a、b、c，見圖（一）。

以 s 表示三角形周長之半，也就是 1 2(

s= a b c)+ + ，則三角形面積為

( )( )(

s s a s b s c− − − )，請證明之。

如圖（二），作三角形 ABC 的內切圓 I，作 ID 、 IE 、 IF 為圓心 I 到三邊的垂線（長度 即內切圓半徑 r），我們能夠知道三角形面積為 1

( )

2 a b c r sr+ + = 。

b

a 圖（一）

c

B

A

C

其次，因為 ∆AIE≅ ∆AIF, BID∆ ≅ ∆BIF, CIE∆ ≅ ∆CID（RHS 全等性質），所以 AE=AF,BD=BF,CD=CE，令AE=AF=x,BD=BF= y,CD=CE=z。

通訊第九卷第四期第一七版 HPM

F

I E A

r y z

y z

B D

圖（二）

C x x

原文中所提及的名詞之意義如下：

「一率」指的是三角形三邊之和的一半，以 1 2(

s= a b c)+ + 表示。

「二率」是說任取一較，可以看成是 x、y、z 三選一，就選x=s-a來表示。

「三率」將剩下的 y、z 相乘，即 yz (s-b)(s-c)= 。

「四率」也就是「垂線冪」，意指內切圓半徑的平方r²。

茲將「二、三率相乘，乃半和乘垂線冪」，即 （原因待後文詳述）， 兩邊同乘s，得

(s a s b s c− )( − )( − =) sr2 2

) 2

)(

)(

(s a s b s c s r

s − − − =

將上式開平方，得 s s a s b s c( − )( − )( − )，這就是所謂的『海龍公式』。 2.2 四率之理則

接著，證明 (s a s b s c− )( − )( − =) sr²，也就是 xyz sr= ²。不過，李善蘭證明的策略，

主要利用 yz₂ s

r = 來推得海龍公式。參考圖（三），作三角形的高 AH（長度為 h），AH 將x 原三角形分成左右兩個直角三角形，即 ABH△ 與 ACH△ 。

A

H D r B

I

C’

B’

N M h

F E

C 圖（三）

通過 I 點，分別作 AB、AC 的平行線，並各自交 BC 於B 與' '兩點。我們不難看

出 ，

C ABH~ IB'D

∆ ∆ ∆ACH~ IC'D∆ （AA 相似性質）。現在，由於相似三角形邊長成比例，

所以，句弦和（底邊與斜邊長度之和）也會成比例。於是，

(AB BH):(IB' B'D)+ + =h:r 以及 (AC CH):(IC' C'D)+ + =h:r (AB BH):(IB' B'D) (AC CH):(IC' C'D)

⇒ + + = + +

(AB BH):(AC CH) (IB' B'D):(IC' C'D) (*)

⇒ + + = + + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

HPM 通訊第九卷第四期第一八版

再過 I 點作 BC 的平行線，分別交 AB 於 M 點、交AC於 N 點。

MI //BB'∴∠FMI = ∠MBB'

∵ 又∵MB //IB'∴∠MBB'= ∠IB'D 故∠FMI = ∠IB'D。

B'D , DB'=90 ,0

FMI I IFM I IF ID r

∠ = ∠ ∠ = ∠ = =

∵

' (AA ) '

IFM IDB S IM IB

∴∆ ≅ ∆ 全等性質 ⇒ =

觀察四邊形BMIB 。由於對邊平行且 ' IM =IB'，所以，四邊形BMIB 為四邊等長的平' 行四邊形，進而推得IB'=BB'。同理，可證IC'=CC'。故 IB'D∆ 的『句弦和』為

IB' B'D+ =BB' B'D+ =BD，∆IC'D的『句弦和』為IC' C'D+ =CC' C'D+ =CD。 由前述 (*)式，得 (AB BH):(AC CH) (IB' B'D):(IC' C'D) BD:CD+ + = + + = = y:z 這正是原文「兩句弦和比若底內二較比」的意思。

2.3 母既不同，何以比例合也？

由上所得的 (AB BH) : (AC CH)= :+ + y z可寫成 ^{AB BH AC CH}

y z

+ = + ，即

c BH b CH

y z

+ = + 。再由於相似三角形的邊長成比例，所以

^{c BH b CH h}

y z

+ = + =

r 。 如將其相乘，得到 c BH b CH ( )h ²

y z

+ ⋅ + =

r

2

2 (**)

( )( )

yz r

c BH b CH h

⇒ = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+ +

: ( )( ) 2: yz c BH b CH r h

⇒ + + = ²，

這就證明了「兩較相乘積與兩句弦和相乘積比，若垂線冪與股冪比」，其中的「股冪」就 是高的平方 h²。在 ABH △ 中，

2 2 2

( )( )

h =c −BH = −c BH c BH+ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1)

又在 ACH△ 中， h² =b²−CH² = −(b CH b CH)( + )⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2) (

無論是 (1) 式中的『左句弦較乘以左句弦和』，或者是 (2) 式中的『右句弦較乘以右句弦 和』，皆能夠用來表示「股冪」，其中「句弦較」，是指直角三角形的斜邊與底邊相減。

現在，將 (1) 代回原比例式，得

2

( )( ) ( )( ) (3)

yz r

c BH b CH = c BH c BH ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+ + + −

又將 (2) 代回原比例式，得

HPM 通訊第九卷第四期第一九版

2

( )( ) ( )( ) (4)

yz r

c BH b CH = b CH b CH ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+ + + −

在此，我們考察 (3) (4) 二式，以便回答：

句弦和所帶之母餘一句弦和也，句弦較所帶之母本句弦和也。母既不同，何以比例合 也？

以 (3) 為例，比例式中的分母分別是 (c BH b CH+ )( + ) 與 (c BH c BH− )( + ) ，李善蘭的想 法，並不是要拿 (c BH+ ) 與 (c−BH) 來比，而是拿 (b CH+ ) 與 (c BH− )來比。若把

(b CH+ ) 視為『本句弦和』，則 (c BH− ) 就是『餘一句弦較』（意指另外一個直角三角形 的句弦較），這解釋了李善蘭「所指比例非本句弦和與本句弦較相為比，乃本句弦和與餘 一句弦較相為比」。同理，也能夠依據 (4) 式進行解釋。

此外，綜合 (1) (2) 二式，得到 ( ) ( ( ) (

b CH c BH c BH b CH

+ +

− = − )

)，這就是文中的『此句弦和與彼 句弦較或彼句弦和與此句弦較比例亦不變』。

2.4 兩和兩較雖千變，比例不變也

以下，將右三角形 ACH 的『句弦和』、『句弦較』分別簡稱為「右和」與「右較」。同 理，將左三角形 ABH 的『句弦和』、『句弦較』分別簡稱為「左和」與「左較」，因此，

( ) ( ( ) (

b CH c BH c BH b CH

+ = +

− −

)

) 可看成 右和 =左和 左較 右較。

現在，右和＋左和＝ (b CH+ )+ +(c BH)=BC b c a b c+ + = + + =2s，右較＋左較＝

(b CH− ) (+ −c BH)= + −b c BC b c a= + − =(a b c+ + −) 2a=2(s a− )= 2 。 x

參考圖（四），作OP=2s a b c= + + ，在OP上取 使得S PS =2x，作R 為OP中點，過 R 作OP的垂線RR 於 '' R 點使RR'=OR，連接OR'交PQ 於 點。因為 ，以 及 本身是等腰直角三角形，所以

Q ∆ORR' ~∆OPQ ORR'

∆ ∆OPQ亦為直角等腰三角形。

V S R U

T’

V’ T

R

P S’

U’

O

Q 圖（四）

由TT'⊥OP與RR'⊥OP，我們不難看出∆ST T' 與∆ORR'相似，也與 相似，所 以，∆ 是等腰直角三角形，故

∆OPR

ST T' ST'=T T' 。另外，∆PT T' 與∆PRR'是相似，又因為R 為

HPM 通訊第九卷第四期第二○版

OP中點，所以，OR PR RR= = '=s，∆PRR'為等腰直角三角形，於是， 也是等腰 直角三角形，故

PT T'

∆ ' '

PT =T T 。綜合以上，可得知PT'=T T' =ST'。 若『右和』與『左和』相等時，則長度各為 1

2(

s= a b c)+ + ，我們可以假設『右和長』

為PR ，則『左和長』為OR，即RR 。由上述已知' 右和 =左和

左較 右較，因為右和＝左和，所以，

右較＝左較。又因為PS =2x是兩較之和，而PT'=ST'，所以，左較為PT 、右較為' ST'， 長度皆為 x，故 s

= = x 右和 左和

左較 右較 。但是，『右和』不一定等於『左和』，因此，我們必須再 討論不相等的情況。

在OP上任取一點U，過U作垂直OP的垂線，交斜邊於U'點，連接PU'交SS'於V 點

（方法與上述相同），同理可得知 ∆OUU'與∆OPR相似，所以，∆OUU'是等腰直角三角 形，故 OU UU= '。

令PU 為『右和』，則OU為『左和』（即UU'）。過 點作V OP之垂線VV'交OP於 點。

同理，我們可以知道

V' SV V'

∆ 與∆OUU'相似，也與∆OPR相似，所以， 也是等腰直 角三角形，故

SV V'

∆ ' '

SV =V V。 另外，我們也不難看出

' ' ' ~ '

' '

PU PU UU PU U PVV

PV PV V V

∆ ∆ ⇒ = = ，

' ~ PU O PVS

∆ ∆ ⇒OP PU'

PS = PV ，故 ' PU OP PV = PS ，

現在，觀察 ' '

' '

PU PU UU

PV = PV =V V，如果只看 ' ' ' PU UU

PV =V V 這一部份或許更清楚一些！ 因為PU 是『右和』、UU'是『左和』，和比例式右和 =左和

左較 右較的分子部分吻合，於是分母的部分PV' 和V V' 必定會和左較、右較成比例，讓我們檢查看看：

PV'+V V' =PV'+SV' =PS =2x＝左較＋右較，

由於比例相同、和皆為 2x，可知V V' =SV'果真是左較、PV'則是右較。又因為 ' PU OP PV = PS，

所以 ²

2 OP s s

x x

= = PS = =

右和 左和

左較 右較 ，

這就『翻譯』了原文所謂的「此句弦和與彼句弦較、或彼句弦和與此句弦較比例亦不變，

恆若半和與餘一較（非底內二較也）之比也」。

HPM 通訊第九卷第四期第二一版

接著， ( ) ( )( ) ( )(₂ ) ( ) ( )( )

s b CH c BH b CH c BH b CH

x c BH c BH c BH h

+ + + + +

= = =

− + − ，再配合上述（**）

2

2 2 2

( )(

( )( )

yz r yz c BH b CH

h r h

c BH b CH

+ +

= ⇒ = + +

)，得到 yz₂ s

r = x ⇒xyz sr= ²。

現在，將符號改回來，亦即(s a s b s c− )( − )( − =) sr² ⇒s s a s b s c( − )( − )( − =) s r^{2 2}， 於是，李善蘭終於完成了海龍公式的證明！

三、結語

觀其全文，李善蘭以三個問答來呈現，先給出一個方向說明他所使用的策略，其中不 易一眼即可看出的證明，就安排在問題二（敢問此四率何以知其相當也？）與問題三（母 既不同，何以比例合也？又兩句弦和何以與底內二較同比例也？）裡回答。至於他的證明 過程，主要是以原來的三角形來考量，而所做的輔助線，則大多在三角形之內，並進一步 通過「比例」、融合了幾何與代數來處理整個問題。從證明過程之中，我們不難看出李善 蘭對於句股形與相關的性質掌握得很好。此外，《天算或問》以對話問答方式來呈述，不 像現在教科書的標準作法（先證明需要的引理，再進入定理的證明），而是採用倒述手法，

當證明過程之中需要用到其他的觀念時，才加以解釋或證明，這樣子就像是真實的教學情 境，數學邏輯性更強。

李善蘭此一證明，只不過是他眾多著作與貢獻的一個例證而已。然而，卻足以讓吾人 驚嘆不已了！

附錄：

以下為《天算或問》中此題的全文，標點符號為筆者自行標記，茲引述以供參考。

或問曰：平三角形求積，以三邊半和與各邊相減得三較，三較連乘以乘半和，開平方 得積，何也？

答曰：三角容圜，自圜心作三邊之垂線，截三邊為六分、夾角二分，兩兩相等，即三 較也。三邊半和為一率，任取一較為二率，餘二較相乘為三率，則垂線冪為四率。又垂線 乘半和即三角積，二三率相乘乃半和乘垂線冪也，以一率除之得垂線冪，今不除更乘之，

是半和冪乘垂線冪，即半和垂線相乘積自乘，亦即三角積自乘也，故開平方得三角積。

又問曰：四率之理則，既聞命矣！敢問此四率何以知其相當也？

答曰：任取二較必同在一邊，以此邊為底，餘二邊為腰，作一中垂線，分三角形為二 句股形，中垂線即股也。兩句弦和比若底內二較比，故兩較相乘積與兩句弦和相乘積比若 垂線冪與股冪比。兩句弦和相乘，是一句弦和帶餘一句弦和為母也；股冪為句弦較句弦和 相乘積，是句弦較帶句弦和為母也。半和為兩句弦和和之半，餘一較為兩句弦較和之半，

是半和與餘一較比，必若兩句弦和相乘積與股冪比，故亦若底內兩較相乘積與垂線冪比也。

又問曰：句弦和所帶之母餘一句弦和也，句弦較所帶之母本句弦和也。母既不同，何 以比例合也？又兩句弦和何以與底內二較同比例也？

答曰：所指比例非本句弦和與本句弦較相為比，乃本句弦和與餘一句弦較相為比。股 為二形所公共，故餘一句弦較與餘一句弦和相乘亦得股冪，是二帶母仍同也。設三角底邊 不變，二腰之和亦不變，任變其形，作中垂分為二句股，則此句弦和與彼句弦較或彼句弦

HPM 通訊第九卷第四期第二二版

和與此句弦較比例亦不變，恆若半和與餘一較（非底內二較也）之比也。

兩句弦和與底內二較同比例者，此更易明！但于所容圓心，作二線至底與二腰平行，

成小三角形與本形同式，且亦分二小句股形以垂線為股。又自圓心作底之平行線至二腰，

成二四等邊形。二小句股形之二弦各為其邊，則底內二較與兩个小句弦和等，故與兩大句 弦和同比例也。

甲乙丙三角形，心為所容平圓之心，心丁、心戊、心己為三邊之垂線俱相等，甲丁、

甲己、乙丁、乙戊、丙戊、丙己俱兩兩相等，即兩兩各等于三較。心子與甲丙平行，心丑 與甲乙平行，心寅、心卯與乙丙平行。心丑子與甲乙丙同式，心戊子與心己寅同式亦同積，

心戊丑與心丁卯同式亦同積，故心丙、心乙俱為四等邊形（此解兩句弦和與底內二較同比 例）。

甲乙為三邊和，即兩句弦和之和，癸乙為夾頂角二較之和（即前圖甲丁、甲己截邊二 分和），即兩句弦較之和。設兩句股相等，則平分甲乙于申，申甲、申乙二句弦和等。乃 作申酉垂線與甲申等，作甲酉午斜線，作乙酉對角線，又作癸斗線正交乙酉于亥，作亥戌 線，則申乙為左句弦和，戌亥（即戌癸）為左句弦較，申酉為右句弦和（即申甲），戌乙 為右句弦較。兩和兩較俱相等，即定為比例率。設兩句股不等，左句弦和為角乙，右句弦 和為角亢（即角甲）。乃作亢乙對角線交癸斗于心，作心氐線（即氐癸）為左句弦較，氐 乙為右句弦較。左和角乙與右較底乙比，右和角亢與左較心氐比，俱若申乙與戌亥比，兩 和兩較雖千變，比例不變也（此解兩句弦和較之比例）。

HPM 通訊第九卷第四期第二三版

《八線備旨》中的海龍公式

台師大數學系博士生研究生 英家銘

《八線備旨》一書為中國清末被教會學校廣泛採用的數學教科書之一。鴉片戰爭結束 後，外國人得於五個通商口岸傳教、開辦學堂、設立醫院，教會學校即從此時開始設立並 迅速發展。教會學校以基督教國家的學校為辦學模式，所以，其學制仿效西方國家，而教 科書的使用也多由傳教士自西方國家的教科書中選譯。數學作為一個西方學制中的基礎學 科，在教會學校中自然受到普遍的重視。在此同時，因應清末教育改革與新式學校數量的 增加，適用的教學用書成為一時急需，教會學校編譯的教科書因而得以被廣泛採用。

在教會學校所編譯的數學教科書中，被採用最廣的有《筆算數學》、《代數備旨》、《形 學備旨》、《八線備旨》與《代形合參》五種。從這幾本書的書名，我們就可推敲其大致的 內容。《筆算數學》主要內容為算術及其在日常生活中的應用；《代數備旨》是現代中學代 數的內容；《形學備旨》涵蓋平面幾何、立體幾何與球面幾何；《代形合參》即解析幾何。

本文所討論的《八線備旨》，則是一部三角學的教材，為美國人羅密士 (E. Loomis) 原著，

美國傳教士潘慎文 (A. P. Parker) 選譯，1893 年出版。

《八線備旨》共分四卷，內容分別為「平三角形」、「量法」、「測地」與「弧三角形」。

卷一「平三角形」的內容與現今高中教材中的三角函數的理論部分頗為類似；卷二「量法」

主要涉及面積與體積的計算；卷三「測地」顧名思義即為三角函數在測量上的應用；卷四

「弧三角形」為球面三角及其在航海上的應用。我們所關心的海龍公式，被編排在卷二的 第二題，它是有關各種三角形的面積公式之證明。其中給出的公式有「法術第一：底乘高 之半」，「法術第二：二邊相乘折半，又乘夾角正弦」，以及被編在「法術第三」的海龍公 式。下面我們來看看書中是如何證明海龍公式的（以下除圖形與數學式中改用現代符號 外，其餘均保留原文）。

法術第三 以三邊半和，遞與三邊相減，所得三較連乘，再乘三邊半和，合數平 方開之。

A

H

B C

証 如圖，ABC三角形，命其三邊為a, b, c。準形學備旨四卷十二題之理，¹有 BH

BC BC

AB

AC² = ² + ² −2 × ， 即

BH a a c

b² = ² + ² −2 × 。 故

HPM 通訊第九卷第四期第二四版

a b a BH c

2

2 2

2 + −

= ，

但

2 2

2 AB BH

AH = − ，

即

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4

) (

4 4

) (

a

b a c c a a

b a

c − c + − = − + −

= ，

即

a

b a c c AH a

2

) (

4 ^{2 2} − ² + ² − ^{2 2}

= 。

但

面積 2 AH BC×

= 4 ^{2 2} ( ^{2 2 2})² 4

1 a c − c +a −b

= 此式根號內之數，可劈為

) (

2ac+ c² +a² −b² 及2ac−(c² +a² −b²) 二生數，此二生數更可劈為

) (

)

(a+c+b × a+c−b 及(b+a−c)×(b−a+c) 四生數。設s 等於

2 c b a+ +

，則可得

面積= s(s−a)(s−b)(s−c)。

上面的證明方式十分容易了解，無須多加闡釋。唯一需要說明的，是證明中所引用到 的《形學備旨》四卷十二題，即

BH BC BC

AB

AC² = ² + ² −2 × 。 (1) 這個命題其實就是餘弦定律的幾何版本。其實，同樣的命題，在《幾何原本》第二卷中就 已經出現。

《幾何原本》第二卷有一個頗具爭議性的別名，叫做「幾何式的代數」(geometric algebra)。某些數學史家認為在希臘人發現不可公度量，或是無理數之後，他們就有可能解 決許多代數中的問題，只要問題不牽涉到超過二次以上表示式的操弄。在此先舉一個例 子。我們在後面的證明會引用到《幾何原本》卷二命題 4，它的內容是：²

命題 4 如果任意兩分一個線段，則在整個線段上的正方形，等於各個小線段上 的正方形的和，加上由兩小線段所構成的矩形的兩倍。

這個命題若用現代代數符號來說明，則可以寫成

2 2 2

(a b+ ) =a +b +2ab。

卷二的大部分命題，均可以用這樣的代數等式來表現，這是卷二的特點。而從上述的恆等 式中，我們就能約略體會，「幾何式的代數」這樣的別名為什麼會出現。

然而，另外一些數學史家認為所謂的「幾何式的代數」只是後人對《幾何原本》卷二