2010二階段參考解答

2010 年台南市市長盃國民中學數

學競賽第二階段能力測驗試題

參考解法

第一部分

(

第 1 題到第 20 題每題 3 分，共

60

分 )



1. 若



試求 之各位數字之和。



(A)2 (B)4 (C)6 (D)8



Ans:

_(C)

20102010402020102010

67006700670

a



a

參考解答

故 之各位數字之和為 6 。



 









 











4 8 8 4 8 4 8 8 8 4 8 20102010402020102010 2010 1 10 10 1 10 67006700670 670 1 10 10 2010 1 10 10 1 10 3 1 10 670 1 10 10 a               

a

 2. 試問形如：  且能被 11 整除的最小正整數 。  (A)6 (B)7 (C)8 (D)9  Ans ： (C) 2012

20122012

2012 2010

n





個

n

參考解答

因為可被 11 整除的正整數正好是其偶 數位數字之和 - 奇數位數字之和為 11 的 倍數， 所以 為 11 的倍數。 故 之最小正整數為 8 。 ( 註：可利用從 著手，尋找規律。 )



3n  3



2n n  3

n

3, 4,5, n  

3. 如右圖 ( 一 ) ，矩形 ABCD 周長為 16cm ，在各邊上向外作正方形， 4 個正方形面積之和為 68 ，求矩形 ABCD 的面積。  (A)15 (B) (C) (D)13  Ans: (A) A B D C 33 2 31 2

參考解答

A B D C 2 2 2 2 2 2

AB= ,

,

8

34

(

)

2

8

34 2

15

a AD b

a b

a

b

a b

a

ab b

ab

ab



 



  











 







設

則

又

4. 已知 ，則 之值 ?  (A) 1 (B) - 1 (C) (D)0  Ans: (A) 2

_{1 0}

a

  

a

2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2 a  a a  a  a  a  a  a  a  a  a 1 

參考解答

2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2 2002 2 2005 2 2008 2 2

(

1)

(

1)

(

1) (

)

0 0 0 1

1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a





















 

  

 



  



   



5. 設一數 ， n 從 1 到 2010 ，則滿足此數的個位數為 0 總 共有多少個  (A)102 (B)203 (C) 302 (D)403  Ans: (D)

2

n



2

n

參考解答

尋找個位數的規律， 每 20 個出現 4 個  2010÷20=100…10 故共有 100×4+3=403



0,0, 2,8, 2, 2, 4,0, 4, 4,6, 2,6,6,8, 4,8,8,0,6



6. ， n > m > 0 ，則

(n,m) 有幾組正整數解 ?



(A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 8



Ans: (D)

3179 n  m 

參考解答



 



17 11

,

11,

11

( , ) (9,8), (10, 7), (11, 6), (12,5),

(13, 4), (14,3), (15, 2), (16,1)

8

n

m

n

m

a

b

a b















共 組

2

3179 17





11



7. 甲、乙、丙、丁、戊、己六位同學，看了 六本不同的書 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F ，已知每人至少要讀一本書，但不能重複 讀一本書，若甲、乙、丙、丁、戊分別讀 了 3 、 2 、 4 、 3 、 1 本書， A 、 B 、 C 、 D 、 E 分別被讀了 3 、 1 、 2 、 1 、 1 次，試問己同學讀了幾本書。  (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4  Ans: (A)

參考解答

 假設己讀了 本， F 讀了 次  依題意可知：   不能重複讀一本書，故 取 1 ， 。

x

y

3 2 4 3 1

3 1 2 1 1

13

8

x

y

x

y

    

     



  

6

y



x

8. 設實數 滿足 ， ， ， 求 之值。  (A) -26 (B) -20 (C) -8 (D) 54  Ans: (C) 2

₆

₁₇

a



b

 

2

₈

₂₃

b



c

 

c

2



2

a



14

a b c

 

, ,

a b c

參考解答

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 6 ) ( 8 ) ( 2 ) 17 23 14 26 2 6 8 26 0 ( 2 1) ( 6 9) ( 8 16) 0 ( 1) ( 3) ( 4) 0 1, 3, 4 ( 1) ( 3) ( 4) 8 a b b c c a a a b b c c a a b b c c a b c a b c a b c                                                      

9. 計算由 1 到 的每一個整數的數 字和，得到個新數 ，再求每 個新數的數字和，這樣的動作一直持續 下去，直到都是一位數為止，試問，最 後得到的數中是 1 多還是 2 多？ (A)1 比較多 (B)2 比較多 (C) 一樣多 (D) 無法確定。 Ans: (A) 2010 10 2010 10

參考解答

Key Point: 一個正整數與其數字和被 9 除 ，其餘數相同。 故最後所得的一位數為 1 時，原數被 9 除 餘 1 ，即原數為 1,10,19,…, , 同理，最後所得的一位數為 2 時，原數被 9 除餘 2 ，即原數為 2,11,20,…, , 故最後得到的數中是 1 多 2009 999...9991_{} 個 2010 10 2009 999...999 2_{} 個

10. 五支球隊進行比賽，任意 兩支隊伍恰好比賽一場，當比賽進行 到一定階段時， 各以比賽 了 4,3,2,1 場，試問此時 比賽幾場？ (A)1 場 (B)2 場 (C)3 場 (D)4 場 Ans: (B) , , , , A B C D E , , , A B C D E

參考解答

單循環且 A 已賽 4 場，  D 與 A 已賽 1 場 不能再與 B,C,E 比賽 其次， B 賽過 3 場且有 1 場是與 A ， 另 2 場為與 C 、 E ， 上述恰滿足 C 賽過 2 場， D 賽過 1 場的 條件，故 E 賽過的 2 場為 (A,E) 與 (B,E) 。 

11. 如右圖 ( 三 ) ，最大圓的半徑是 r ， 4 個小圓的半徑是 ，則圖 形中陰影部分的面積為多少？ (A) (B) (C) (D) Ans: (B) 2 ) 1 (



 r

₍





₂

₎

_r

2 2

)

3

(





r

_{(4 }  _)r 2 1 2 r

參考解答

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( 2) 4 2 2 2 8 1 1 1 1 4 ( ) 4 ( 2) ( 2) ( 1) 2 8 2 2 1 1 ( 1) ( 1) 2 2 1 1 4 ( 2) ( 1) ( 2) 8 2 r r r r r r r r r r r r r               _{  }  _{ }            _   _                 兩個小圓重疊的眼形面積為 四個小圓的面積為 介於小圓與大圓之間陰影的部分面積為 所求的全部陰影部分的面積為

12. 小天和小南兩個人比賽賽跑，小南跑 得比小天快一點，所以小南跑一圈比 小天快三秒，如果小南領先小天整整 一圈需要 90 秒，請問小南跑一圈需要 幾秒 ? (A)12 (B)15 (C)18 (D)21 Ans: (B)

參考解答

設小南一圈跑ｔ秒，小天一圈跑ｔ + ３秒，所以 則 1 1 = , = 3 v v t t  南 天 2 1 1 90 90 3 270 0 15 1 1 3 t t t v v t t           _  南 天

13. 設三角形之三邊長為正整數 ，且 ，若 ，則滿足此種 條件的不全等之三角形共有多少個？ (A)12 (B)15 (C)21 (D)24 Ans: (B) , , a b c a b c 

_b



₆

參考解答

 因為兩邊和必須大於第三邊，故 ，又 b=6 ，所以 。因 討論： 當 a=6 ， c=11,10,9,8,7 當 a=5 ， c=10,9,8,7 當 a=4 ， c=9,8,7 當 a=3 ， c=8,7 當 a=2 ， c=7 ； 故共 15 組。 a b c b   6 6 a   c a b  6

14. 如圖 ( 二 ) ，有兩等邊三角形 、  ， 若 A 、 D 、 E 在同一線 上，則角 的度數為多少度？  (A) (B)  (C) (D)  Ans: (C) ABC  CDE  BED 

45



₅₄



60



₇₅

 A B C D E D

參考解答

與 為 正三角形， ABC  



CDE

= C, DC=CE, ACD=60 DCB= BCE ( ) 120 120 60 60 AC B

ACD BCE SAS

ADC BEC BED                         A B C D E D

15. 已知 a=1000x+364 ， b=1000x+365 ， c=1000x+366 ，求 之值。 (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 Ans: (C) 2 2 2 a  b  c  ab bc ac 

參考解答

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (2 2 2 2 2 2 ) 2 1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( 1) ( 1) 2 2 1 (1 1 4) 2 3 a b c ab bc ca a ab b b bc c c ca a a b b c c a          _         _    _      _    _     _     2 2 2 a  b  c  ab bc ac 

16. 如果 ， N 是由正整 0,1,2,3, …,9 所組成的和，且每個數字都要出現且 只能出現一次，例 如 :90=0+1+52+3+4+6+7+8+9 ，則滿 足這樣條件的值共有多少個。（次序不計 ） (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 Ans: (D) 1 N 100

參考解答

最小總和為 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 將個位數 a 移至十位數，則總和加 9a ， 例： 3+6=9 ， 3 移至十位數 36=30+6 總 和增加 27 。 故移動 1,2,3,4,5,6,7,8,9 總和可能增加 9,18,27,36,45,54,63,72,81 總和小於 100 僅 45,54,63,72,81,90,99 共 7 個

 17. 實數 a 、 b 、 c 、 d 、 e 滿足  則 a 、 b 、 c 、 d 、 e 大小順序為何？  (A) (B)  (C) (D)  Ans: (C)           2010 1 2009 2 2008 3 2007 4 2006 5 a b c b c d c d e d e a e a b          _{  }                a b c d e    _{d b a c e}    c a d b e    e c a d b   

參考解答

由  因此，我們可以知道 (1)-(2):a d    1 0 a d (2)-(3):b e    1 0 b e (3)-(4):c a    1 0 c a (4)-(5):d b    1 0 d b

c a d b e

   

18. 如圖，△ ABC 中，∠ B=45° ， 是∠ BAC 的平分線， 垂直 平分 和 的延長線交於 F ，求∠ CAF 的度數。 (A) (B) (C) (D) Ans: (B) AD EF AD BC o

35

45

o

55

o

65

o

參考解答

AD , BAD

AD FAD= FDA=

CAF=

ABD FDA= BAD+ B B=45 45 , CAF=45 o o o BAC CAD x EF y y x y x                       平平平 平平平平平平平 , 平 平 平 平,平 平

19. 如圖， L 、 M 、 N 是立方體的各邊 中點，如果此正立方體的邊長為 2 ， 則 ＝？ (A) (B) (C) (D) Ans: (C) LN 2 2 5 6 ₇

參考解答

2 2 2 2 2, NA=2, 2 2 ( 2) 6 NM= 2 MLN M MH LN LN H, 6 6 2 ( 2) ( ) 2 2 2 : : 1: 2 : 3 60 LMN=120 o o AL NL LM LH MH MH LM LH LHM NMH                     因為正立方體邊長為則 又 在 中,過 作 交於則 則

20. 已知面積為 2 的 中， 三邊 及 的邊長分別為 ，且滿足 ，則 的 最小值為多少？ (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 Ans: (B) ABC  _{BC CA,} AB a b c, , a b c  a b

參考解答

過 作直線 ，作 交 於 ，延長一倍至 ，連結

C

L AB// BE  L BD E _{D CD}

 

 

2 ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 4 2 4 4 4 2 4 2 2 16 2 4 16 4 a b AC CD AD c BE c BE c BE c BE c BE c BE a b c BE                _{ }               

第二部分 (

第 21 題到第 30 題每題

4 分，共

₄₀

分 )

 _21. 古埃及 < 萊因德紙草書 > 裡談到”單位分數”，  像 這樣，分子為１的 分數稱為 單位分數，單位分數是古埃及的基本單位，古埃及人 經常將分數分解成若干個單位分數的和，例如： ，如果三個單位分數 構成等差數列，且 為相異正整數則  的最小值為何？  (A)96 (B)56 (C)50 (D)48  Ans: (C) 1 1 1 1 , , , , 2 3 4 5  2 1 1 2 1 1 , 7  4 28 13  7 91 1 1 1 , , 21 a b , a b a b

參考解答



 



2 1 1 2 , , 21 2 21 21 0 2 21 2 21 21 2 21 9, 2 21 49 15, 35 50 a b a b ab a b a b a b a b a b a b                         平 平平平平 平平 ,平 平 平平平平平平 平平平

22. ，若 為最簡根式，求 m=?  (A) (B) (C) (D) Ans: (A) 1122334455665544332211  112233445544332211 m n m n 10 10 118 ₁₀₁5

9

11

參考解答 : 從特殊情形尋找規

律

112211 10201 11 101 11 1122332211 102030201 11 10101 11       10 1122334455665544332211 112233445544332211 10101010101 11 101010101 11 10000000000 11 10 m       

 _23. 關於的二次方程式： 的兩根都是整數解，試求實數 有 多少解？  (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 Ans: (B)



_k2 _{8k 15}



_x2 _{ 2 13 3}



_{ k x}



_{ 8 0} k

參考解答

原式經過分解可知： 所以兩根 消去 k 可得： 數對 不合



k  5



x  2



k  3



x  4  0         1 2 1 2 2 4 2 4 , 5 , 3 5 3 x x k k k k x x              1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 2 x x 2x x 0 x 1 x 2 2 x  x            x x1, 2    1, 1 , 2, 4 , 3, 3 , 0,0         13 4,7, 3 k  

24. _{在一次象棋循環賽得分規則如下：勝者} 得 2 分，負者得 0 分，若平手則兩人各得 1 分。比賽結束後發現，每位棋手個別成績的 一半都是在與總排名最後三名的棋手比賽所 獲得的，試問，這次比賽共有多少人參加 _?  (A)7 人 (B)8 人 (C)9 人 (D)10 人  Ans ： (C)

參考解答

假設稱最後三名為弱者，弱者之間要賽三局，合計取得 6 分， 由題意可知，這是他們全部得分合計的一半，故弱者對強者合 計取得 6 分！ 設這次比賽共有 人參加，強者和弱者共賽 局，產生 分，其中 6 分由弱者取得， 其餘 分由強者之間取得！  由題意可知，強者對強者的得分總數 也是 分 因為強者對強者要賽 局， 產生 分  或 4( 不合 ) x ₃ _{x  3}   6 x  3





6 x  3 6   6 x  3 6 _{ 3  3 1} 2 x  x    3  4_{   } 2 3 4 2 x x x x        x 3  x 4 6 x 3 6 x 9        

 _25. 銳角 中， 是高， ，為 中點，作 與 的延長線垂直且交於 ，若 在的 中垂線上，則  (A) (B) (C) (D)  Ans: (B) ABC  AD AB  6, BD  2 M _{AB CP MD} P P BC _AC  _? 473 7 2 473 7 3 473₇ 4 473₇

參考解答

設 中點為 ，  由 設 ， BC N ~ ~ 3 3(3 ) 9 DNP DPC BDA CD DP DN DN        DN  x 2, 2 2 2 9 2 2 7 CN x CD x x x x          2 2 18 2 473 7 7 CD   AC  AD  CD  2 2 6 2 4 2 AD   

26. 有一四位數其數字由左至右分別為 a,b,c,d ，如果 ， b 與 d 之乘積所得之十位數字等 於 ，又 為 2 的整數 次方，則  (A)74 (B)75 (C)76 (D)77 Ans: (C) 26 a b c d    a c _{bd c} 2 2 3 4 ? a  b  c  d 

參考解答

為 2 的 整數次方 ，所以 c 必為奇數，



 

 



0 81 1 8 26 8 18 9 8 bd a c b d a c b d b d b d a c                         2 ₈₁ 2 bd c   c 

7

1

2

3

4

76

c

a

a

b

c

d

     

 



 _27. 在正方形 中， E 為 的中點 ， F 為 上的一點，且 ，令 ，若 之值為 ，則實數 k ＝？  (A)1 (B) (C) (D)  Ans: (B) ABCD _{BC CD} BAF    AF  BC CF k BAE  1 2 1 3 1 4

參考解答

延長 ，交於 P ，則得 BE CE  CP AB BC  , AE DC FP FC CP FC BC      AF 1 1 2 2 BAE BAF k     

(

_



ABE

 

PCE

)

(

_

AF



BC CF



)

28. 將一個四位數的四個數字順序顛倒 ，然後與原數相加；若相加所得到的 數能被 77 整除，則稱這個原來的四位 數字為好數，那麼所有的四位數中， 共有多少個好數？ (A)13 (B)14 (C)1134 (D)1260 Ans: (D)

參考解答

設原來的四位數字為 ，其中 ， 則順序顛倒後得到 ， 令 ， 則  故 可能情形計 14 種，故 的可能情形共有 種，即四位數中共有 1260 個好數。 ] [abcd a  0 ] [dcba ] [ ] [abcd dcba S   [ ] [ ] 1001( ) 110( ) 7 |1001 7 11 13 7 | ( ) 0,7,14 S abcd dcba S a d b c b c b c                 ) , ( cb ) 5 , 9 ( ), 6 , 8 ( ), 7 , 7 ( ), 8 , 6 ( ), 9 , 5 ( ), 0 , 7 ( ), 1 , 6 ( ), 2 , 5 ( ), 3 , 4 ( ), 4 , 3 ( ), 5 , 2 ( ), 6 , 1 ( ), 7 , 0 ( ), 0 , 0 ( d a c b, ), , ( 14910 1260

 29. 已知 為正整數，且 ，如果兩 個二次方程式  至少有一公共根，則  (A) (B) (C) (D)  Ans: (A) , a b _{3a b}  



 



 



 



2 2 2 2 2 2 2 4 2 0, 2 4 2 0 a x a x a a b x b x b b             ? b a  10 3 13₄ 17 5 19 6

參考解答

_{設公共根為 ，}    或  但 代入，得 ( 不合 ) ，  為正整數，且 ， 故 0 x  









 









2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 4 2 0 (1) 2 4 2 0 (2) a x a x a a b x b x b b                              0  (1) 2 (2) 2 2 2 8 1 0 b a b a a b x        _    _    2  2 8 a b  a  b    x₀  1 0 1 x  , a b 

3a b



10, 3 b  a 

2

a b

 

 30. . 已知梯形 的高為 5 ，上底 長度為 3 ，且兩對角線交於 點，則 的面積與 的面積之和的最小值為多少？  (A) (B) (C) (D)  Ans: (B) ABCD _AD P APD BPC   15 2 1 2  15



2 1



  45 2 1 2  30



2 1



參考解答

過 作 垂直 、 ， 設 由題意知：  的面積與 的面積和 為 設 因為此方程式有實數解，所以判別式 ， 故 P EF AD BC BC  x 3 5 15 5 , F 3 3 PE PE PF x PF x PE P x x          APD  BPC 2 45 5 6 2 x x   2 45 5 6 2 x k x      2 5x 2kx 45 6k 0      0 





15 2 1 k   APD CPB    