歐尼爾的罰球問題

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歐尼爾的罰球問題

梁勇能

臺北市立百齡高級中學

前言：

NBA 洛杉磯湖人隊的天王中鋒俠客歐尼 爾（Shaquille O’Neal）在籃球場上所向披靡， 禁區威力無人可擋。宛如希臘神話中的無敵 戰士阿基里斯(Achilles)一般，唯一的罩門卻 是在無人防守的罰球線上，罰球的奧妙究竟 為何？且讓我們仔細瞧來。

內容：

一個籃球的周長約在 75～78 公分，也就 是直徑約 25 公分。而籃框的直徑約 45 公分， 因此籃框顯然有足夠的空間可以讓球「自由」 的進出。可惜，其實不然，因為投球的軌道 並非垂直落入籃框，當籃球以拋物線軌跡行 進時，球兒想要投進籃的入口，將變成一個 橢圓，長軸 45 公分，短軸為 45sinθ。此時， 若不考慮擦板或彈跳碰撞後進球，則球兒要 如願空心地進入籃框，顯然其空間縮小了， 也就是必須滿足 45sinθ>25，→θ>33.75° 圖 一 圖二 為了方便，不討論碰到籃框彈進者，只 針對空心入網方式。現在我們用解析的方式 來討論，罰球時，當球員站在距離籃框水平 距離 4.6 公尺的罰球線上，手舉籃球，離地 高 h 公尺，球離手時的中心點座標視為(0,0)， 以 v 的速度，讓球以拋物線方式投向座標 (x1,y1)的籃框中心，若球的中心經過 t 秒後到 達此點，則 x1=vcosαt ……① y1

=vsinαt-2

1

gt2 …… ② 其中 v 是投射速度，α是投射角。

4.6m

3.05m

h

v

α

45sinθ

θ

科學教育月刊 第 269 期 中華民國九十三年六月 - 22 - 罰球時將受到投射速度與投射角影響， 我們分別來討論： （一）固定投射速度，何種投射角度較 易進球？ 消 去 t 之 後 可 解 得 y1=x1tan α -2 2 2 1

sec

2v

gx

α……③，∵sec2_α＝1+tan2_α 可得

0

2

tan

tan

2

2 2 1 1 1 2 2 2 1

−

+

+

=

v

gx

y

x

v

gx

_α

_α

④ 解出

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

±

=

)

2

(

2

1

1

tan

₂ 2 1 1 2 1 2

v

gx

y

v

g

gx

v

α

利用 g=9.8 m/s2_，x 1=4.6m，y1=3.05-h tanα＝

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

−

±

)

2

368

.

207

05

.

3

(

6

.

19

1

1

08

.

45

2 2 2

v

h

v

v

……⑤ 我們可以得到兩個投射角度，是否兩個 都可以呢？顯然不一定，因為我們從上面的 討 論 中 知 道 ， 球 到 達 籃 框 的 入 射 角 必 須 >33.75°才行，這個條件讓我們可以來作為判 定的鑰匙！ 再 從 ③ 的 方 程 式 ： 球 行 進 的 軌 跡 為 y=xtanα- ₂ 2 2

sec

2v

gx

α，球在任一點的斜度為

α

α

2 2

sec

tan

v

gx

dx

dy

−

=

，當籃球到達籃框 時(見圖一)，入射角為θ，所以斜度為-tan

θ ， 因 而 -tan θ =

tan

α

₂1

sec

2

α

v

gx

−

→

tanθ= ₂1

tan

2

tan

₂1

v

gx

v

gx

+

−

α

α

…⑥ 我們可以將④式 2 1 1 1 2 2 1

2

tan

2

tan

v

gx

x

y

v

gx

−

−

=

α

α

代 入 ⑥ 中，經化簡之後， tanθ＝tanα-1 1

2

x

y

＝ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − ± ) 2 368 . 207 05 . 3 ( 6 . 19 1 1 08 . 45 2 2 2 v h v v

-3

.

2

)

05

.

3

(

−

h

…⑦ 從前面的討論中，只要計算 tanθ>tan33.75° ≒0.6682 即是可以入球的投射角了！ 現在我們來瞧瞧歐尼爾的罰球概況，他 的身高 7 呎 1 吋（2.16m），若 h≒2.15m，投 射速度 v=8 公尺/秒，則 tanα＝2.0958 或 0.7407 （α＝64.49°或 36.53°） 由 此 計 算 tan θ ＝ tan α -2 × 0.9 ÷ 4.6 ＝ 1.7045 或 0.3494（θ＝59.60°或 19.26°） 因此，如果歐尼爾要順利投進籃框，投 射的角度必須為 59.60°才行！看過電視轉播 的人常可以看到，歐尼爾的罰球常是又快又 平，顯然要進球就不易了！ （二）如果要進球，投射角是否有所限 制？ 由⑦知道， tanθ＝tanα-1 1

2

x

y

>0.6682 → 投射角 範圍為 tanα>0.6682+ 3 . 2 ) 05 . 3 ( −h _{（0<h<3.05）}

歐尼爾的罰球問題 - 23 - 當 h=3.05 時，可知道投射角約 33.75° 即可，也就是等於入射角。當然如果投球的 至高點高過籃框，角度可以更小。當距離 x1 越遠時，角度要較小才行。 圖三 (三)固定投射角，何種投射速度較易進 球？ 由投射角度固定為α時，由 y1=x1tanα - ₂ 2 2 1

sec

2

v

gx

α → 可 求 得 投 射 速 度 v=

)

tan

(

2

sec

1 1 2 2 1

y

x

gx

−

α

α

，顯然距離 x1越 遠，速度也要越快才行！ （四）如果剛好正面打板進球，又是如 何？ 只要以籃板為對稱軸，瞄準虛擬的籃框 投籃即可，因此 此 時 的 投 射 角 度 公 式 ， 此 要 將 原 距 離 x1=4.6m 改為 x2≒4.6+0.45＝5.05m 即可。 此 時 的 投 射 角 度 公 式 ， 此 要 將 原 距 離 x1=4.6m 改為 x2≒4.6+0.45＝5.05m 即可。 圖四

結論：

一個優秀的籃球員，除了本身的條件要 優秀外，也需要苦練。從罰球這件事來看， 他需要去練習罰球時的投射速度和投射角， 讓雙手形成反射動作，罰球就不會變得太難 了！籃球之神麥可喬丹( M.Jordan)還曾在比 賽中閉上雙眼罰球了，神奇吧！

參考書目：

運動簡易規則(民 74)。台北：明倫出版公司。 南一書局(民 86)：體育教師手冊第 1 冊，台 北：南一書局。 身高與投射角關係圖 0 10 20 30 40 50 60 70 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 身高（公尺） 投射 角 度 （ 度 ）