具有小角度斜切角終端波導之特性分析
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(2) 誌. 謝. 本篇論文的完成，首先要感謝我的指導教授 張弘文博士，在他 悉心的教導之下，使我可以在數值理論的基礎上紮根，並且對於論文 理論以及程式方面給予多方的協助，並使我在對學習研究以及為人處 事上獲益良多。另外還要感謝所上的老師在學業上所提供的協助，由 於他們的教誨，使我獲得不少知識以及幫助。 同時要感謝在實驗室中的二位博士班學長盛夢徽學長、吳祚倫學 長，兩年來照顧我的學業以及生活的照顧，同時在作論文過程時更是 提供了不少寶貴的建議。也感謝實驗室同學張世明、曹碩芳、許峻源、 林政衛以及學弟們在口試期間的幫忙，讓我能安心準備口試。 最後要感謝我父母辛苦的養育和栽培，有了他們在背後的大力支 持，我才能夠完成碩士學業以及論文研究。. 吳宙秦 2004,7,3 于高雄西子灣. I.
(3) 摘要 平面光波導已逐漸成為未來光通訊不可或缺的元件，其是利用半 導體製程來大量製作功能複雜的積體光學元件的技術，可符合未來輕 薄短小及低成本的趨勢，且其具有良好的穩定性、可量產，與可體積 化的特性使其在光通訊產業中扮演著非常重要的角色。 當波導斜切角度等於零度時，其波導反射係數並不為零，但隨著 斜切角度增加其反射係數會逐漸降低，但其散射現象也會越來越明 顯；由於散射現象增加使得波導內會產生不想要的高階模態，所以如 何在波導能量傳輸效率與散射現象中取得平衡點是我們目前所要分 析的課題。為了分析上述的問題，我們在此利用模態來展開我們的反 射係數與穿透係數。接著我們可利用解析連續法使兩邊的場型在介面 上連續以及垂直微分連續。然後我們再發展出不完全積分方程來求解 我們的反射及穿透係數。而不完全積分方程非常適用於小角度斜切角 終端波導上。我們主要的分析對象為多模態一維光纖波導，一般波導 斜切角度等於零度時其能量反射係數衰減約為-28dB，但當斜切角增 至 8 度時其能量衰減可提高至-60dB，因此我們可藉由解析連續法分 析哪一個切割的斜角角度是最佳的，且其模擬結果與頻域有限差分法 相符合。. II.
(4) Abstract Utilizing the semiconductor processing technology, a large number of optical components can be integrated into a small area. cost and high reliability and can be massively produced.. It is of low The PLC. (planar light circuit) has become an important component with the optocommunication industry. In this thesis, we aim to study dielectric waveguide termination with a slightly tilted facet.. A waveguide with normal termination in the air. will have non-zero reflection coefficients due to the impedance difference at the core-air junction.. To reduce the reflection of the fundamental. mode, it is custom to terminate the waveguide with a small tilted angle. The angle is optimally chosen to avoid spurious scattering into high-order radiation modes. To analyze this problem, we employ the modal expansion method for both the reflected waves and the transmitted waves.. We then. analytically extend the waves and join the two fields on the bordering line by matching the fields and their normal derivatives.. An incomplete. transverse-mode integral equation (TMIE) is derived for the reflection and transmission coefficients.. The incomplete TMIE is good for. waveguide termination with small tilted angles.. Our analysis show that. for multi-mode 1-D slab waveguide (simulating the 1-D optical fiber), the fundamental mode reflection coefficient is about -28dB down.. It. gradually reduces to -60dB as we increase the tilt angle from around 8 degrees.. The result agrees well with those calculate from. frequency-domain finite-difference method. III.
(5) 目 錄 誌謝. I. 中文摘要. II. 英文摘要. III. 目錄. IV. 圖表目錄. VI. 第一章. 導論. 1. 1-1：簡介. 1. 1-2：研究動機. 2. 1-3：解析連續法. 4. 第二章 三層介電質波導的理論推導. 5. 2-1：三層介電質波導的模型. 5. 2-2：三層介電質波導的模態分析. 7. 2-2-1：二層介電質波導的模態分析(TE even mode). 9. 2-2-2：二層介電質波導的模態分析(TE even mode) 12 2-2-3：二層介電質波導的模態分析(TE odd mode). 15. 2-2-4：二層介電質波導的模態分析(TE odd mode). 18. 2-2-5：二層介電質波導的模態分析(TM even mode) 21 2-2-6：二層介電質波導的模態分析(TM even mode) 24 IV.
(6) 2-2-7：二層介電質波導的模態分析(TM odd mode). 27. 2-2-8：二層介電質波導的模態分析(TM odd mode). 30. 2-3：二層結構轉為三層結構之步驟. 35. 2-3-1：二層結構轉為三層結構(TE case，even mode) 36 2-3-2：二層結構轉為三層結構(TE case，odd mode) 38 2-3-3：二層結構轉為三層結構(TM case，even mode) 40 2-3-4：二層結構轉為三層結構(TM case，odd mode) 42. 第三章. 模態匹配(mode matching). 44. 3-1：TM case. 45. 3-2：TE case. 51. 第四章 不完全積分方程(incomplete TMIE). 52. 4-1：TM case. 52. 第五章 波導場型模擬. 75. 5-1：模擬結果. 76. 第六章 總結. 89. 6-1：結果討論. 89. 參考文獻 中英對照表. V.
(7) 圖表目錄 圖 1-2.1.三層介電質波導(斜切角度 = 0). 3. 圖 1-2.2.三層介電質波導(斜切角度 ≠ 0). 3. 圖 1-3.1.解析連續分析圖. 4. 圖 2-1.1.三層介電質波導結構圖. 5. 圖 2-2.2.二層介電質波導結構圖(even mode). 7. 圖 2-2.2.二層介電質波導結構圖(odd mode). 7. 圖 2-2-1.1.二層介電質波導(TE even mode,上電牆、下磁牆). 9. 圖 2-2-2.1.二層介電質波導(TE even mode,上磁牆、下磁牆). 12. 圖 2-2-3.1.二層介電質波導(TE odd mode,上電牆、下電牆). 15. 圖 2-2-4.1.二層介電質波導(TE odd mode,上磁牆、下電牆). 18. 圖 2-2-5.1.二層介電質波導(TM even mode,上電牆、下電牆). 21. 圖 2-2-6.1.二層介電質波導(TM even mode,上磁牆、下電牆). 24. 圖 2-2-7.1.二層介電質波導(TM odd mode,上電牆、下磁牆). 27. 圖 2-2-8.1.二層介電質波導(TM odd mode,上磁牆、下磁牆). 30. 表(一).TE case 的所有特徵方程式. 31. 表(二).TM case 的所有特徵方程式. 32. 圖 3-1.1.三層介電質波導結構圖(for mode matching). 43. 圖 3-2.1.三層介電質波導結構圖(for incomplete TMIE). 50. VI.
(8) 圖 5-1.1.場型圖(實部作圖). 76. 圖 5-1.2.場型圖(虛部作圖). 77. 圖 5-1.3.場型圖(實部+虛部作圖). 78. 表(三).不同角度下的反射與穿透係數 (n1 : n2 = 1.5 :1.48). 79. 表(四).不同角度下的反射與穿透係數 (n1 : n2 = 1.5 :1). 80. 表(五).不同角度下的反射與穿透係數 (n1 : n2 = 3.5 : 3). 81. VII.
(9) 第一章. 導論. 1-1 簡介 最近幾年由於網際網路的普及化，使得網路的大流通量與大傳 輸容量的要求日益迫切，也連帶使得光通訊技術的重要性水漲船高。 而平面光波導正是未來光通訊中極為重要的元件之一，而平面光波導 是利用半導體製程來大量製作功能複雜的積體光學元件的技術，可符 合未來輕薄短小及低成本的趨勢，也正因為如此，故其在光通訊產業 中扮演著非常重要的角色，加上波導物理性質穩定、不受電磁干擾、 損耗低等優點，將成為網路傳輸的主要媒介。而隨著電信的自由化， 通訊、網路、以及有線電視網路將結合在一起。為提供這些高速且有 彈性的服務，利用波導作為傳輸介質的光學網路將成未來發展的趨 勢，而其市場潛值及商機非常可觀，也使得光波導的技術成為我們今 後所要研究的重要課題之一. 1.
(10) 1-2 研究動機 我們都知道在光通訊中我們為了提高波導能量傳輸效率，我們一 般會將波導斜切一個角度以降低其反射係數，例如光纖即是利用此方 法藉以提高其傳輸效率。 一般波導斜切角度= 0 時，其波導反射係數最大且能量傳輸約為. -28B(如圖一所示)，但隨著斜切角度增加(角度 ≠ 0 時)其反射係數也會 逐漸降低且能量傳輸可提高至 60dB(如圖二所示)，雖然這種情況符合 我們所期望的，但相對的其散射現象也會越來越明顯，也由於散射現 象增加使得波導內會產生高階模態故其能量的傳輸效率會增加，所以 如何在波導能量傳輸效率與散射現象中間取得平衡點是我們目前所 要分析的課題。也正因為上述原因所以波導斜切角度為多少度時才是 最佳的，使得傳輸時可達到最小的反射係數，使能量的傳輸效率最高。 目前市面上分析波導的方法有光束傳播法(Beam Propagation. Method，BPM)，但 BPM 使用大量的近似解，對於切割的波導會使 其切割所造成的斜切面左右兩側座標系統不匹配，而造成計算上的誤 差，而且利用有限差分法及有限元素法處理斜邊上問題時，會有階梯 近似的誤差。為了有效解決這個問題，我們在此是利用解析連續法的 方法來處理，藉以找到最佳的切割角度，使其散射現象不致於影響我 們所要的模擬結果，也可作為日後切割波導角度時的參考。. 2.
(11) r ≅ −28dB n=1.49. n=1. n=1.5 n=1.49. 圖1- 2.1:斜切角度 = 0. r ≅ −60dB. n=1.49. n=1.5. n=1. n=1.49. 圖1- 2.2:斜切角度 ≠ 0(8o ). 3.
(12) 1-3 解析連續法 x. A. B. z. ε2. ε0. ε1. ε0. ε2. ε0. 圖1- 3.1:解析連續分析圖. 我們在這裡要說明解析連續的觀念，上圖 1-3.1 為三層介電質波導， 中間虛線部份為其斜切面，而在虛線左右兩旁的垂直直線則為輔助 線，我們由左至右將輔助線分別以 A、B 來表示。 在輔助線 A 的左半部基底函數有連續的特性，同樣的道理在輔助線 B 的右半部其基底函數也具有連續的特性，在這裡須注意的是由於波導 具有小角度的斜切面，因此將造成基底函數在斜切面會有不連續的狀 況產生，但由於函數具有解析的特性，故可利用其特性使左右兩側的 基底函數在波導斜切面上也能呈現連續的現象，我們將這種分析叫作 解析連續法。. 4.
(13) 第二章. 三層介電質波導的理論推導. 2-1 三層介電質的波導模型: X'. Ι. X'=2L+2d. ε2. L. X'=L+2d X=0. d. ε1. ΙΙ x ''' x. ε0. x ''. X'=L. ε2. x'. X'=0. 圖2 − 1.1: 三層介電質波導 上圖為三層介電質波導模型，從圖上我們可以看到虛線部份為波 導的斜切面，在斜切面的左邊為介質區(也就是所謂的第 I 區)，而在 斜切面右邊的則為空氣區(也就是所謂的第 II 區)。 在介質區部份我們又可將其從上到下分成三區，而上、下為 cladding 區( ε = ε 2 )其高度為 L ，中間部分為 core 區( ε = ε1 )其高度為 2d ，且. ε1 > ε 2 ，而在空氣區部份則不分區( ε = ε 0 )。在座標軸部分我們定朝 垂直方向為 x 軸，而朝水平方向則為 z 軸。在此我們為了計算方便起 見，我們重新定義各區的座標(共三區)，使各區朝垂直方向的座標分 別由各區之起始點開始定義，我們從圖上可以看到波導由下到上其各. 5.
(14) 區的起始座標分別為 x′ 、 x′′ 、 x′′′ 。且其與 x 座標之間變換的關係分 別為 x = x′ − L − d 、 x = x′′ − d 、 x = x′′′ + d 。. 6.
(15) 2-2 三層介電質的模態分析: X X'=2L+2d. X'''. L. X X'=L+2d. X. d. X=0. ''. X'=L. X'. L X'=0. 圖2-2.1:三層介電質波導. even. odd. (0,d+L). (0,d+L). ε2. ε2 (0,d) X=0. (0,d). ε1 (0,0)圖2-2.2:二層介電質波導. X=0. (even mode). ε. 1 (0,0) 圖2-2.3:三層介電質波導. (odd mode). 我們從圖 2-2-1 可看到其為三層介電質波導，當我們在求解三層介質 波導模態時，雖然可分別依其三區基底定義利用切電、切磁連續的觀 念來求解模態，但由於直接作會造成方程式過於複雜，且不容易找到 全部的模態解，所以為了避免發生此現象，我們在此提出對稱的觀念。 對稱的觀念就是將圖 2-2.1 三層介電質波導取其一半來考慮，我們在 7.
(16) 此以 TE wave 為例，依據 X=0 處為電牆 or 磁牆而分別有 even、odd. mode 的變化，如圖 2-2.2 及 2-2.3 所示。這樣我們就可以大幅簡化原 來三層介電質波導結構，而只要處理如圖 2-2.2 及 2-2.3 所示二層介 電質波導結構即可，除了 TE wave 以外，我們也可使用相同的方法處 理 TM wave，一樣可以達到大幅簡化的原則。. 8.
(17) 2-2-1：二層介電質波導的模態分析(TE case) even mode:(上邊界為電牆，下邊界為磁牆) 我們先考慮 TE wave 的情況，每個區域的場型需配合邊界條件做分區 的定義。圖形如下所示： PCW (0,d+L). ε2 (0,d) PMW. ε1. (0,0). 圖2-2-1.1:TE even mode(上電牆,下磁牆). ε 1 = ε 0 n12. ε 2 = ε 0 n22. 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下：. sinh α [( L + d ) − x] sin q[( L + d ) − x] or sin qL sinh α L EW Φ e,MW ( x ) = Cn cos px 0< x<d cos pd p=. n12 k 02 − β 2 ,. n 2 k 2 − β 2 , q= 2 0 − jα , . x>d. p is always positive n22 k 02 > β 2 n22 k 02 < β 2. , α =. β 2 − n22 k 02. 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件，推導出下列兩 個方程式，自然滿足下列兩個條件： 9.
(18) 切面電場連續：. cos px cos pd. x=d. =. sin q[( d + L ) − x ] sin qL. x=d. =. q cos q[( d + L) − x] sin qL. (2 − 2 − 1.1). x=d. 切面磁場連續：. p. sin px cos pd. (2 − 2 − 1.2). x=d. 接著我們將方程式(2-2-1.2)除以(2-2-1.1)，且將 x = d 代入 EW ⇒ E y ,MW : q cot qL = p tan pd. ( 2 − 2 − 1.3). 將式(2-2-1.3)左右兩側同乘 d . ⇒ qd cot qL = pd tan pd. (2 − 2 − 1.4). 當 0 < X < V 時: (guiding mode). 令X = pd , 將上式左右兩側同乘 d. p 2 − q 2 = ( n12 − n22 ) k02. 2. ⇒ p 2 d 2 − q 2 d 2 = (n12 − n22 )k02 d 2. (2 − 2 − 1.5). 令V 2 = ( n12 − n22 ) k02 d 2. ⇒ V = k0 d. (n. 2 1. − n22 ). normalized frequency. 將 X 及V 代入(2 − 2 − 1.5). ⇒ X 2 − (qd )2 = V 2 ⇒ qd = X 2 − V 2 令Y = qL =. X 2 −V 2 10. L d.
(19) ⇒ Y = X 2 −V 2. L d. 將 X 及Y 代入式(2 − 2 − 1.5) ，可將式 (2 − 2 − 1.5) 重新改寫. ⇒. d Y cot Y = X tan X L. (2 − 2 − 1.6). 由於是 0 < X < V (guiding mode)的情況，故我們可將 Y 重新改寫. ⇒ Y = qL =. X 2 −V 2. L = −iα L = −iYi d. 故 Yi = V 2 − X 2. L d. 在此我們可利用公式 cot(−iYi ) = i coth Yi將(2 − 2 − 1.6)重新改寫. d ⇒ Yi coth(Yi ) = X tan X L d Y cos X coth(Yi ) = X sin X L i. EW ⇒ E y ,MW :. (2 − 2 −1.7). 當 V < X < ∞ 時: (Radiation mode) 根據前面的推導，我們可得知式 (2 − 2 − 1.6) 即為 V < X < ∞ (Radiation mode)的特徵方程式. ⇒ ⇒. d L d L. Y cot Y = X tan X Y. cos Y sin Y. =X. sin X cos X. 將上式左右兩側同乘 sin Y cos X EW : ⇒ E y ,MW. d Y cos X cos Y = X sin X sin Y L 11. (2 − 2 − 1.8).
(20) 2-2-2：二層介電質波導的模態分析(TE case) even mode:(上邊界為磁牆，下邊界為磁牆) 我們先考慮 TE wave 的情況，每個區域的場型需配合邊界條件做分區 的定義。圖形如下所示： PMW (0,d+L). ε2 (0,d). ε1 (0,0) 圖2-2-2.1:TE even mode(上磁牆,下磁牆). PMW. ε 1 = ε 0 n12. ε 2 = ε 0 n22. 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下：. cosh α [( L + d ) − x] cos q[( L + d ) − x] or cos qL cosh α L MW Φ e,MW ( x ) = Cn cos px 0< x<d cos pd p=. n12 k 02 − β 2 ,. n 2 k 2 − β 2 , q= 2 0 − jα , . x>d. p is always positive n22 k 02 > β 2 n22 k 02 < β 2. , α =. β 2 − n22 k 02. 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件，推導出下列兩 個方程式，自然滿足下列兩個條件： 12.
(21) 切面電場連續：. cos px cos pd. x=d. =. cos q[( d + L ) − x ] cos qL. =. q sin q[(d + L) − x] cos qL. (2 − 2 − 2.1). x=d. 切面磁場連續：. −p. sin px cos pd. x=d. (2 − 2 − 2.2). x=d. 接著我們將方程式(2-2-2.2)除以(2-2-2.1)，且將 x = d 代入 MW ⇒ E y ,MW : q tan qL = − p tan pd. ( 2 − 2 − 2.3). 將式(2-2-2.3)左右兩側同乘 d . ⇒ qd tan qL = − pd tan pd. (2 − 2 − 2.4). 當 0 < X < V 時: (guiding mode). 令X = pd , 將上式左右兩側同乘 d. p 2 − q 2 = ( n12 − n22 ) k02. 2. ⇒ p 2 d 2 − q 2 d 2 = (n12 − n22 ) k02 d 2. (2 − 2 − 2.5). 令V 2 = ( n12 − n22 ) k02 d 2. ⇒ V = k0 d. (n. 2 1. − n22 ). normalized frequency. 將 X 及V 代入(2 − 2 − 2.5). ⇒ X 2 − (qd )2 = V 2 ⇒ qd = X 2 − V 2 令Y = qL =. X 2 −V 2 13. L d.
(22) L d. ⇒ Y = X 2 −V 2. 將 X 及Y 代入式(2 − 2 − 2.5) ，可將式 (2 − 2 − 2.5) 重新改寫. ⇒. d Y tan Y = − X tan X L. (2 − 2 − 2.6). 由於是 0 < X < V (guiding mode)的情況，故我們可將 Y 重新改寫. ⇒ Y = qL =. X 2 −V 2. L = −iα L = −iYi d. 故 Yi = V 2 − X 2. L d. 在此我們可利用公式tan(−iYi ) = −i tanh Yi將(2 − 2 − 2.6)重新改寫. d ⇒ Yi tanh(Yi ) = X tan X L MW ⇒ E y ,MW :. d Y cos X tanh(Yi ) = X sin X L i. (2 − 2 − 2.7). 當 V < X < ∞ 時: (Radiation mode) 根據前面的推導，我們可得知式 (2 − 2 − 2.6) 即為 V < X < ∞ (Radiation mode)的特徵方程式. ⇒ ⇒. d L d L. Y tan Y = − X tan X Y. sin Y cos Y. = −X. sin X cos X. 將上式左右兩側同乘 cos Y cos X MW : ⇒ E y ,MW. d Y cos X sin Y = − X sin X cos Y L 14. (2 − 2 − 2.8).
(23) 2-2-3：二層介電質波導的模態分析(TE case) odd mode:(上邊界為電牆，下邊界為電牆) 我們先考慮 TE wave 的情況，每個區域的場型需配合邊界條件做分區 的定義。圖形如下所示： PCW (0,d+L). ε2 (0,d) PCW. ε1. (0,0). 圖2-2-3.1:TE odd mode(上電牆,下電牆). ε 1 = ε 0 n12. ε 2 = ε 0 n22. 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下：. sinh α [( L + d ) − x] sin q[( L + d ) − x] or sin qL sinh α L EW Φ o,EW ( x ) = Cn sin px 0< x<d sin pd p=. n12 k 02 − β 2 ,. n 2 k 2 − β 2 , q= 2 0 − jα , . x>d. p is always positive n22 k 02 > β 2 n22 k 02 < β 2. , α =. β 2 − n22 k 02. 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件，推導出下列兩 個方程式，自然滿足下列兩個條件： 15.
(24) 切面電場連續：. sin px sin pd. =. sin q[( d + L ) − x ] sin qL. =. q cos q[(d + L) − x] sin qL. x=d. (2 − 2 − 3.1). x=d. 切面磁場連續：. −p. cos px sin pd. x=d. (2 − 2 − 3.2). x=d. 接著我們將方程式(2-2-3.2)除以(2-2-3.1)，且將 x = d 代入 EW ⇒ E y ,EW : q cot qL = − p cot pd. ( 2 − 2 − 3.3). 將式(2-2-3.3)左右兩側同乘 d. ⇒ qd cot qL = − pd cot pd. (2 − 2 − 3.4). 當 0 < X < V 時: (guiding mode). 令X = pd , 將上式左右兩側同乘 d. p 2 − q 2 = ( n12 − n22 ) k02. 2. ⇒ p 2 d 2 − q 2 d 2 = (n12 − n22 ) k02 d 2. (2 − 2 − 3.5). 令V 2 = ( n12 − n22 ) k02 d 2. ⇒ V = k0 d. (n. 2 1. − n22 ). normalized frequency. 將 X 及V 代入(2 − 2 − 3.5). ⇒ X 2 − (qd )2 = V 2 ⇒ qd = X 2 − V 2 令Y = qL =. X 2 −V 2 16. L d.
(25) L d. ⇒ Y = X 2 −V 2. 將 X 及Y 代入式(2 − 2 − 3.5) ，可將式 (2 − 2 − 3.5) 重新改寫. ⇒. d Y cot Y = − X cot X L. (2 − 2 − 3.6). 由於是 0 < X < V (guiding mode)的情況，故我們可將 Y 重新改寫. ⇒ Y = qL =. X 2 −V 2. L = −iα L = −iYi d. 故 Yi = V 2 − X 2. L d. 在此我們可利用公式 cot(−iYi ) = i coth Yi將(2 − 2 − 3.6)重新改寫. d ⇒ Yi coth(Yi ) = − X cot X L EW ⇒ E y ,EW :. d Y sin X coth(Yi ) = − X cos X L i. (2 − 2 − 3.7). 當 V < X < ∞ 時: (Radiation mode) 根據前面的推導，我們可得知式 (2 − 2 − 3.6) 即為 V < X < ∞ (Radiation mode)的特徵方程式. ⇒ ⇒. d L d L. Y cot Y = − X cot X Y. cos Y sin Y. = −X. cos X sin X. 將上式左右兩側同乘 sin Y sin X EW : ⇒ E y ,EW. d Y sin X cos Y = − X cos X sin Y L 17. (2 − 2 − 3.8).
(26) 2-2-4：二層介電質波導的模態分析(TE case) odd mode:(上邊界為磁牆，下邊界為電牆) 我們先考慮 TE wave 的情況，每個區域的場型需配合邊界條件做分區 的定義。圖形如下所示：. PMW (0,d+L). ε2. (0,d) PCW. ε1. (0,0). 圖2-2-4.1:TE odd mode(上磁牆,下電牆). ε 1 = ε 0 n12. ε 2 = ε 0 n22. 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下：. cosh α [( L + d ) − x] cos q[( L + d ) − x] or cos qL cosh α L MW Φ o,EW ( x ) = Cn sin px 0< x<d sin pd p=. n12 k 02 − β 2 ,. n 2 k 2 − β 2 , q= 2 0 − jα , . x>d. p is always positive n22 k 02 > β 2 n22 k 02 < β 2. , α =. β 2 − n22 k 02. 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件，推導出下列兩 個方程式，自然滿足下列兩個條件： 18.
(27) 切面電場連續：. sin px sin pd. x=d. =. cos q[( d + L ) − x ] cos qL. x=d. =. q sin q[(d + L) − x] cos qL. (2 − 2 − 4.1). x=d. 切面磁場連續：. p. cos px sin pd. (2 − 2 − 4.2). x=d. 接著我們將方程式(2-2-4.2)除以(2-2-4.1)，且將 x = d 代入 MW ⇒ E y ,EW : q tan qL = p cot pd. ( 2 − 2 − 4.3). 將式(2-2-3.3)左右兩側同乘 d. ⇒ qd tan qL = pd cot pd. (2 − 2 − 4.4). 當 0 < X < V 時: (guiding mode). 令X = pd , 將上式左右兩側同乘 d. p 2 − q 2 = ( n12 − n22 ) k02. 2. ⇒ p 2 d 2 − q 2 d 2 = (n12 − n22 ) k02 d 2. (2 − 2 − 4.5). 令V 2 = ( n12 − n22 ) k02 d 2. ⇒ V = k0 d. (n. 2 1. − n22 ). normalized frequency. 將 X 及V 代入(2 − 2 − 4.5). ⇒ X 2 − (qd )2 = V 2 ⇒ qd = X 2 − V 2 令Y = qL =. X 2 −V 2 19. L d.
(28) L d. ⇒ Y = X 2 −V 2. 將 X 及Y 代入式(2 − 2 − 4.5) ，可將式 (2 − 2 − 4.5) 重新改寫. ⇒. d Y tan Y = X cot X L. (2 − 2 − 4.6). 由於是 0 < X < V (guiding mode)的情況，故我們可將 Y 重新改寫. ⇒ Y = qL =. X 2 −V 2. L = −iα L = −iYi d. 故 Yi = V 2 − X 2. L d. 在此我們可利用公式tan(−iYi ) = −i tanh Yi將(2 − 2 − 4.6)重新改寫. d ⇒ Yi tanh(Yi ) = − X cot X L MW ⇒ E y ,EW :. d Y sin X tanh(Yi ) = − X cos X L i. (2 − 2 − 4.7). 當 V < X < ∞ 時: (Radiation mode) 根據前面的推導，我們可得知式 (2 − 2 − 4.6) 即為 V < X < ∞ (Radiation mode)的特徵方程式. ⇒ ⇒. d L d L. Y tan Y = X cot X Y. sin Y cos Y. =X. cos X sin X. 將上式左右兩側同乘 sin X cos Y MW : ⇒ E y ,EW. d Y sin X sin Y = X cos X cos Y L 20. (2 − 2 − 4.8).
(29) 2-2-5：二層介電質波導的模態分析(TM case) even mode:(上邊界為電牆，下邊界為電牆) 我們先考慮 TM wave 的情況，每個區域的場型需配合邊界條件做分 區的定義。圖形如下所示： PCW (0,d+L). ε2 (0,d) PCW. ε1 (0,0) 圖2-2-5.1:TM even mode(上電牆,下電牆) ε1 = ε 0 n12. ε 2 = ε 0 n22. 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下：. cosh α [( L + d ) − x] cos q[( L + d ) − x] or cos qL cosh α L EW Φ e,EW ( x ) = Cn cos px 0< x<d cos pd p= . n12 k 02 − β 2 ,. n 2 k 2 − β 2 , q= 2 0 − jα , . x>d. p is always positive n22 k 02 > β 2 n22 k 02 < β 2. , α =. β 2 − n22 k 02. 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件，推導出下列兩 個方程式，自然滿足下列兩個條件： 21.
(30) 切面磁場連續：. cos px cos pd. x=d. =. cos q[( d + L ) − x ] cos qL. x=d. (2 − 2 − 5.1). 切面電場連續：. 1. ε1. p. sin px x=d. cos pd. =−. 1 q sin q[( d + L ) − x ]. ε2. x=d. cos qL. (2 − 2 − 5.2). 接著我們將方程式(2-2-5.2)除以(2-2-5.1)，且將 x = d 代入. ⇒ H y ,EW : EW. 1. ε2. q tan qL = −. 1. ε1. p tan pd. ( 2 − 2 − 5.3). 將式(2-2-5.3)左右兩側同乘 d. ⇒. 1. ε2. qd tan qL = −. 1. ε1. pd tan pd. (2 − 2 − 5.4). 當0 < X < V時: (guiding mode) 將上式左右兩側同乘 d. 2. 令X = pd ,. p 2 − q 2 = ( n12 − n22 ) k02. ⇒ p 2 d 2 − q 2 d 2 = ( n12 − n22 ) k02 d 2. (2 − 2 − 5.5). 令V 2 = ( n12 − n22 ) k02 d 2. ⇒ V = k0 d. (n. 2 1. − n22 ). normalized frequency. 將 X 及V 代入(2 − 2 − 5.5). ⇒ X 2 − (qd )2 = V 2 ⇒ qd = X 2 − V 2 令Y = qL =. X 2 −V 2 22. L d.
(31) L d. ⇒ Y = X 2 −V 2. 將 X 及Y 代入式(2 − 2 − 5.5) ，可將式 (2 − 2 − 5.5) 重新改寫. ⇒. 1 d. ε2 L. Y tan Y = −. 1. ε1. (2 − 2 − 5.6). X tan X. 由於是 0 < X < V (guiding mode)的情況，故我們可將 Y 重新改寫. ⇒ Y = qL =. X 2 −V 2. L = −iα L = −iYi d. 故 Yi = V 2 − X 2. L d. 在此我們可利用公式tan(−iYi ) = −i tanh Yi將(2 − 2 − 5.6)重新改寫. ⇒ EW ⇒ H y ,EW :. ε1 d Y tanh(Yi ) = X tan X ε2 L i ε1 d Y cos X tanh(Yi ) = X sin X ε2 L i. (2 − 2 − 5.7). 當 V < X < ∞ 時: (Radiation mode) 根據前面的推導，我們可得知式 (2 − 2 − 5.6) 即為 V < X < ∞ (Radiation mode)的特徵方程式. ⇒ ⇒. 1 d. ε2 L. Y tan Y = −. 1. ε1. X tan X. ε1 d sin Y sin X = −X Y cos X ε 2 L cos Y. 將上式左右兩側同乘 cos X cos Y EW ⇒ H y ,EW :. ε1 d Y cos X sin Y = − X sin X cos Y ε2 L 23. (2 − 2 − 5.8).
(32) 2-2-6：二層介電質波導的模態分析(TM case) even mode:(上邊界為磁牆，下邊界為電牆) 我們先考慮 TM wave 的情況，每個區域的場型需配合邊界條件做分 區的定義。圖形如下所示：. PMW (0,d+L). ε2. (0,d) PCW. ε1. (0,0). 圖2-2-6.1:TM even mode(上磁牆,下電牆). ε1 = ε 0 n12. ε 2 = ε 0 n22. 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下：. sinh α [( L + d ) − x] sin q[( L + d ) − x] or sin qL sinh α L MW Φ e,EW ( x ) = Cn cos px 0< x<d cos pd p=. n12 k 02 − β 2 ,. n 2 k 2 − β 2 , q= 2 0 − jα , . x>d. p is always positive n22 k 02 > β 2 n22 k 02 < β 2. , α =. β 2 − n22 k 02. 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件，推導出下列兩 個方程式，自然滿足下列兩個條件： 24.
(33) 切面磁場連續：. cos px cos pd. =. x=d. sin q[( d + L ) − x ] sin qL. x=d. (2 − 2 − 6.1). 切面電場連續：. 1. ε1. p. sin px x=d. cos pd. 1 q cos q[( d + L) − x ]. =. ε2. x=d. sin qL. (2 − 2 − 6.2). 接著我們將方程式(2-2-6.2)除以(2-2-6.1)，且將 x = d 代入. 1. ⇒ H y ,EW : MW. ε2. q cot qL =. 1. ε1. p tan pd. ( 2 − 2 − 6.3). 將式(2-2-5.3)左右兩側同乘 d. ⇒. 1. ε2. qd cot qL =. 1. ε1. pd tan pd. (2 − 2 − 6.4). 當0 < X < V時: (guiding mode) 將上式左右兩側同乘 d. 2. 令X = pd ,. p 2 − q 2 = ( n12 − n22 ) k02. ⇒ p 2 d 2 − q 2 d 2 = ( n12 − n22 ) k02 d 2. (2 − 2 − 6.5). 令V 2 = ( n12 − n22 ) k02 d 2. ⇒ V = k0 d. (n. 2 1. − n22 ). normalized frequency. 將 X 及V 代入(2 − 2 − 6.5). ⇒ X 2 − (qd )2 = V 2 ⇒ qd = X 2 − V 2 令Y = qL =. X 2 −V 2 25. L d.
(34) ⇒ Y = X 2 −V 2. L d. 將 X 及Y 代入式(2 − 2 − 6.5) ，可將式 (2 − 2 − 6.5) 重新改寫. ⇒. 1 d. ε2 L. Y cot Y =. 1. ε1. X tan X. (2 − 2 − 6.6). 由於是 0 < X < V (guiding mode)的情況，故我們可將 Y 重新改寫. ⇒ Y = qL =. X 2 −V 2. L = −iα L = −iYi d. 故 Yi = V 2 − X 2. L d. 在此我們可利用公式 cot(−iYi ) = i coth Yi將(2 − 2 − 5.6)重新改寫. ε1 d Y coth(Yi ) = X tan X ε2 L i. ⇒ MW ⇒ H y ,EW :. ε1 d Y cos X coth(Yi ) = X sin X ε2 L i. (2 − 2 − 6.7). 當 V < X < ∞ 時: (Radiation mode) 根據前面的推導，我們可得知式 (2 − 2 − 6.6) 即為 V < X < ∞ (Radiation mode)的特徵方程式. ⇒ ⇒. 1 d. ε2 L. Y cot Y =. 1. ε1. X tan X. ε1 d cos Y sin X =X Y cos X ε 2 L sin Y. 將上式左右兩側同乘 cos X sin Y MW ⇒ H y ,EW :. ε1 d Y cos X cos Y = X sin X sin Y ε2 L 26. (2 − 2 − 6.8).
(35) 2-2-7：二層介電質波導的模態分析(TM case) odd mode:(上邊界為電牆，下邊界為磁牆) 我們先考慮 TM wave 的情況，每個區域的場型需配合邊界條件做分 區的定義。圖形如下所示：. PCW (0,d+L). ε2. (0,d) PMW. ε1. (0,0). 圖2-2-7.1:TM odd mode(上電牆,下磁牆). ε1 = ε 0 n12. ε 2 = ε 0 n22. 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下：. cosh α [( L + d ) − x] cos q[( L + d ) − x] or cos qL cosh α L EW Φ o,MW ( x ) = Cn sin px 0< x<d sin pd p=. n12 k 02 − β 2 ,. n 2 k 2 − β 2 , q= 2 0 − jα , . x>d. p is always positive n22 k 02 > β 2 n22 k 02 < β 2. , α =. β 2 − n22 k 02. 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件，推導出下列兩 個方程式，自然滿足下列兩個條件： 27.
(36) 切面磁場連續：. sin px sin pd. =. x=d. cos q[( d + L ) − x ] cos qL. x=d. (2 − 2 − 7.1). 切面電場連續：. 1. ε1. p. cos px sin pd. x=d. =. 1 q sin q[( d + L) − x ]. ε2. x=d. cos qL. (2 − 2 − 7.2). 接著我們將方程式(2-2-7.2)除以(2-2-7.1)，且將 x = d 代入. ⇒ H y ,MW : EW. 1. ε2. q tan qL =. 1. ε1. p cot pd. ( 2 − 2 − 7.3). 將式(2-2-7.3)左右兩側同乘 d. ⇒. 1. ε2. qd tan qL =. 1. ε1. pd cot pd. (2 − 2 − 7.4). 當0 < X < V時: (guiding mode) 將上式左右兩側同乘 d. 2. 令X = pd ,. p 2 − q 2 = ( n12 − n22 ) k02. ⇒ p 2 d 2 − q 2 d 2 = ( n12 − n22 ) k02 d 2. (2 − 2 − 7.5). 令V 2 = ( n12 − n22 ) k02 d 2. ⇒ V = k0 d. (n. 2 1. − n22 ). normalized frequency. 將 X 及V 代入(2 − 2 − 7.5). ⇒ X 2 − (qd )2 = V 2 ⇒ qd = X 2 − V 2 令Y = qL =. X 2 −V 2 28. L d.
(37) ⇒ Y = X 2 −V 2. L d. 將 X 及Y 代入式(2 − 2 − 7.5) ，可將式 (2 − 2 − 7.5) 重新改寫. ⇒. 1 d. ε2 L. Y tan Y =. 1. ε1. X cot X. (2 − 2 − 7.6). 由於是 0 < X < V (guiding mode)的情況，故我們可將 Y 重新改寫. ⇒ Y = qL =. X 2 −V 2. L = −iα L = −iYi d. 故 Yi = V 2 − X 2. L d. 在此我們可利用公式tan(−iYi ) = −i tanh Yi將(2 − 2 − 7.6)重新改寫. ⇒ EW ⇒ H y ,MW :. ε1 d Y tanh(Yi ) = − X cot X ε2 L i. ε1 d Y sin X tanh(Yi ) = X cos X ε2 L i. (2 − 2 − 7.7). 當 V < X < ∞ 時: (Radiation mode) 根據前面的推導，我們可得知式 (2 − 2 − 7.6) 即為 V < X < ∞ (Radiation mode)的特徵方程式. ⇒ ⇒. 1 d. ε2 L. Y tan Y =. 1. ε1. X cot X. ε1 d sin Y cos X =X Y sin X ε 2 L cos Y. 將上式左右兩側同乘 sin X cos Y EW ⇒ H y ,MW :. ε1 d Y sin X sin Y = X cos X cos Y ε2 L 29. (2 − 2 − 7.8).
(38) 2-2-8：二層介電質波導的模態分析(TM case) odd mode:(上邊界為磁牆，下邊界為磁牆) 我們先考慮 TM wave 的情況，每個區域的場型需配合邊界條件做分 區的定義。圖形如下所示： PMW (0,d+L). ε2 (0,d) PMW. ε1. (0,0). 圖2-2-8.1:TM odd mode(上磁牆,下磁牆). ε1 = ε 0 n12. ε 2 = ε 0 n22. 配合邊界條件，可以將場型做分區定義為下：. sinh α [( L + d ) − x] sin q[( L + d ) − x] or sin qL sinh α L MW Φ o,MW ( x ) = Cn sin px 0< x<d sin pd p=. n12 k 02 − β 2 ,. n 2 k 2 − β 2 , q= 2 0 − jα , . x>d. p is always positive n22 k 02 > β 2 n22 k 02 < β 2. , α =. β 2 − n22 k 02. 我們定義出的場型必須滿足不同介質介面的邊界條件，推導出下列兩 個方程式，自然滿足下列兩個條件： 30.
(39) 切面磁場連續：. sin px sin pd. =. x=d. sin q[( d + L ) − x ] sin qL. (2 − 2 − 8.1). x=d. 切面電場連續：. 1. ε1. p. cos px x=d. sin pd. =−. 1 q cos q[( d + L ) − x ]. ε2. sin qL. x=d. (2 − 2 − 8.2). 接著我們將方程式(2-2-8.2)除以(2-2-8.1)，且將 x = d 代入. ⇒ H y ,MW : MW. 1. ε2. q cot qL = −. 1. ε1. p cot pd. ( 2 − 2 − 8.3). 將式(2-2-8.3)左右兩側同乘 d. ⇒. 1. ε2. qd cot qL = −. 1. ε1. pd cot pd. (2 − 2 − 8.4). 當0 < X < V時: (guiding mode) 將上式左右兩側同乘 d. 2. 令X = pd ,. p 2 − q 2 = ( n12 − n22 ) k02. ⇒ p 2 d 2 − q 2 d 2 = ( n12 − n22 ) k02 d 2. (2 − 2 − 8.5). 令V 2 = ( n12 − n22 ) k02 d 2. ⇒ V = k0 d. (n. 2 1. − n22 ). normalized frequency. 將 X 及V 代入(2 − 2 − 8.5). ⇒ X 2 − (qd )2 = V 2 ⇒ qd = X 2 − V 2 令Y = qL =. X 2 −V 2 31. L d.
(40) ⇒ Y = X 2 −V 2. L d. 將 X 及Y 代入式(2 − 2 − 8.5) ，可將式 (2 − 2 − 8.5) 重新改寫. ⇒. 1 d. ε2 L. Y cot Y = −. 1. ε1. X cot X. (2 − 2 − 8.6). 由於是 0 < X < V (guiding mode)的情況，故我們可將 Y 重新改寫. ⇒ Y = qL =. X 2 −V 2. L = −iα L = −iYi d. 故 Yi = V 2 − X 2. L d. 在此我們可利用公式 cot(−iYi ) = i coth Yi將(2 − 2 − 8.6)重新改寫. ⇒ MW ⇒ H y ,MW :. ε1 d Y coth(Yi ) = − X cot X ε2 L i. ε1 d Y sin X coth(Yi ) = − X cos X ε2 L i. (2 − 2 − 8.7). 當 V < X < ∞ 時: (Radiation mode) 根據前面的推導，我們可得知式 (2 − 2 − 8.6) 即為 V < X < ∞ (Radiation mode)的特徵方程式. ⇒ ⇒. 1 d. ε2 L. Y cot Y = −. 1. ε1. X cot X. ε1 d cos Y cos X = −X Y sin X ε 2 L sin Y. 將上式左右兩側同乘 sin X sin Y MW ⇒ H y ,MW :. ε1 d Y sin X cos Y = − X cos X sin Y ε2 L 32. (2 − 2 − 8.8).
(41) TE case: 我們在此將 TE case 所有的特徵方程式整理如下(表一) TE even mode/E Wall 0<X<V ⇒. ( Cew mw ). -2. d. 係數. -2. 0 < X <V ⇒. tan pd d + 2p 2cos2 pd L coth αL − E= 2α 2sinh2 αL. ( Cew ew ). =A+E A =. V<X<∞ ⇒. ( Cew mw ). Yi coth Yi = X tan X. L. 歸一化. TE odd mode/E Wall. d. -2. tan pd d + 2p 2cos2 pd L cot qL + C=− 2q 2sin 2 qL. ( Cew ew ). -2. TE even mode/M Wall 0<X<V ⇒. 歸一化. ( Cmw mw ). -2. tan pd d + 2p 2cos2 pd L tanh αL + F= 2α 2cosh 2 αL. V<X<∞ ⇒ -2. L. Yi tanh Yi = X tan X. =A+F A =. 係數. ( Cmw mw ). d. d L. Y tan Y = − X tan X. tan pd d + 2p 2cos2 pd tan qL L D= + 2q 2cos2 qL. =A+D A =. (表一). 33. Yi coth Yi = − X cot X. cot pd d + 2p 2sin2 pd coth αL L E= − 2α 2sinh2 αL. V < X < ∞⇒. =A+C A =. L. =B+E B = −. Y cot Y = X tan X. L. d. d L. Y cot Y = − X cot X. cot pd d + 2p 2sin2 pd L cot qL + C=− 2q 2sin2 qL. =B+C B = −. TE odd mode/M Wall 0<X<V ⇒ mw ( Cew ). -2. -2. L. Yi tanh Yi = − X cot X. cot pd d + 2p 2sin2 pd L tanh αL + F= 2α 2cosh2 αL. =B+F B = −. V<X<∞ ⇒ mw ( Cew ). d. d L. Y tan Y = X cot X. cot pd d + 2p 2sin2 pd tan qL L D= + 2q 2cos2 qL. =B+D B = −.
(42) TM case: 我們在此將 TM case 所有的特徵方程式整理如下(表二). TM even mode/E Wall 0<X<V ⇒. ( Cew ew ). -2. =. ε1 d Yi tanh Yi = X tan X ε2 L. A F + n12 n22. 歸一化 係數. V<X<∞ ⇒. ( Cew ew ). -2. =. A=. tan pd d + 2p 2cos2 pd. F=. L tanhαL + 2α 2cosh2 αL. ε1 d Y tan Y = − X tan X ε2 L. A D + n12 n22. A=. tan pd d + 2 p 2cos2 pd. D=. L tan qL + 2q 2cos2 qL. TM odd mode/E Wall 0 < X < V⇒. ( Cewmw). -2. 歸一化. ( Cewmw ). -2. =. ε1 d Yi coth Yi = X tan X ε2 L. A E + n12 n22. 係數 V<X<∞ ⇒ mw ( Cew ). -2. =. A=. tan pd d + 2p 2cos2 pd. E=. L cothαL − 2α 2sinh2 αL. ε1 d Y cot Y = X tan X ε2 L. A C + n12 n22. A=. tan pd d + 2 p 2cos2 pd. C =−. L cot qL + 2q 2sin2 qL. (表二). 34. B F + n12 n22. B=− F=. V<X<∞ ⇒. ( Cewmw). -2. =. ε1 d ε2 L. B D + n12 n22. cot pd d + 2 2p 2sin pd. L tanhαL + 2α 2cosh2 αL. Y tan Y = X cot X. B=− D=. TM even mode/M Wall 0<X<V ⇒. =. ε1 d Yi tanh Yi = − X cot X ε2 L. cot pd d + 2p 2sin2 pd. L tanqL + 2q 2cos2 qL. TM odd mode/M Wall 0<X<V ⇒. (Cmw mw ). -2. =. ε1 d Yi coth Yi = − X cot X ε2 L. B E + n12 n22. B=− E=. V<X<∞ ⇒. ( Cmw mw ). -2. =. cot pd d + 2 2p 2sin pd. L cothαL − 2α 2sinh2 αL. ε1 d Y cot Y = − X cot X ε2 L. B C + n12 n22. B=−. cot pd d + 2p 2sin2 pd. C=−. L cot qL + 2q 2sin2 qL.
(43) 2-3 二層結構轉為三層結構之步驟： 1. 依據邊界條件分別定義二層結構之場型。 2. 定義出三層結構之座標 ( x ', x '', x ''' , 其原點為各座標區之底線)。 3. 依據對稱性代入二層結構之場型定義，則可得到三層結構之場型 定義(第一區之場型定義由第三區之場型 x 代 − x 得到,奇模態時， 需加負號)。 4. 我們可將三層結構場型定義作化簡，求出係數 A、B。 X'. X'=2L+2d. x '''. L. x X'=L+2d X=0. x ''. d. X'=L. x' X'=0. x = x' − L − d x = x '' − d. x = x ''' + d. 35.
(44) 2-3-1：二層結構轉為三層結構(TE case) even mode:(上邊界為電牆，下邊界為磁牆). sinh α [( L + d ) − x] sin q[( L + d ) − x] or sin qL sinh α L Φ n ( x ) = Cn cos px 0< x<d cos pd . Derivation of 第一區： Step 1. from Φn ( x ) =. sin qn [( L + d ) − x] , d < x< L+d sin qn L. 接下來, 我們轉換 x 與函數的符號, 推得 Φn ( x ) =. sin qn ( L + d + x) , − L − d < x < −d sin qn L. 接下來, 我們將 x 以 x '− L − d 代入得到 Φ n ( x ') =. sin qn x ' , 0 < x' < L sin qn L. Derivation of 第二區， Step 1. from Φn ( x ) =. cos px cos pd. 0< x<d. 接下來, 我們將 x 以 x ''− d 代入得到 Φ n ( x ') =. cos pn ( x ''− d ) , 0 < x '' < 2d cos pn d 36. x>d.
(45) Derivation of 第三區， Step 1. from Φn ( x ) =. sin qn [( L + d ) − x] , d < x< L+d sin qn L. 接下來, 我們將 x 以 x '''+ d 代入得到 Φ n ( x ') =. sin qn ( L − x ''') , 0 < x ''' < L sin qn L. 我們經由上述的推導，即可將二層結構基底轉成三層結構基底，其三 層結構基底表示如下： sin q n x ′ sinh α n x ′ or sin q n L sinh α n L cos p n ( x ′′ − d ) Φ n ( x ) = Cn cos p n d sin q n ( L − x ′′′) sinh α n ( L − x ′′′) or sin q n L sinh α n L . 37. 0 < x′ < L 0 < x ′′ < 2 d 0 < x ′′′ < L.
(46) 2-3-2：二層結構轉為三層結構(TE case) odd mode:(上邊界為電牆，下邊界為電牆). sinh α [( L + d ) − x] sin q[( L + d ) − x] or sin qL sinh α L Φ n ( x ) = Cn sin px 0< x<d sin pd . x>d. Derivation of 第一區： Step 1. from Φn ( x ) =. sin qn [( L + d ) − x] , d < x< L+d sin qn L. 接下來, 我們轉換 x 與函數的符號, 且因其為奇模態故要加負號， 推得 Φ n ( x ) =. − sin qn ( L + d + x) , − L − d < x < −d sin qn L. 接下來, 我們將 x 以 x '− L − d 代入得到 Φ n ( x ') =. − sin qn x ' , 0 < x' < L sin qn L. Derivation of 第二區， Step 1. from Φn ( x ) =. sin px sin pd. 0< x<d. 接下來, 我們將 x 以 x ''− d 代入得到 Φ n ( x ') =. sin pn ( x ''− d ) , 0 < x '' < 2d sin pn d. 38.
(47) Derivation of 第三區， Step 1. from Φn ( x ) =. sin qn [( L + d ) − x] , d < x< L+d sin qn L. 接下來, 我們將 x 以 x '''+ d 代入得到 Φ n ( x ') =. sin qn ( L − x ''') , 0 < x ''' < L sin qn L. 我們經由上述的推導，即可將二層結構基底轉成三層結構基底，其三 層結構基底表示如下： sin q n x ' sinh α n x ' − − or sin q n L sinh α n L sin p n ( x '' − d ) Φ n ( x' ) = Cn sin p n d sin q ( L − x ''' ) sinh α n ( L − x ''' ) n or sin q n L sinh α n L . 39. 0 < x' < L 0 < x '' < 2 d 0 < x ''' < L. (因 奇 模 態 產 生 負 號 ).
(48) 2-3-3：二層結構轉為三層結構(TM case) even mode:(上邊界為電牆，下邊界為電牆). cosh α [( L + d ) − x] cos q[( L + d ) − x] or cos qL cosh α L Φ n ( x ) = Cn cos px 0< x<d cos pd . Derivation of 第一區： Step 1. from Φn ( x ) =. cos qn [( L + d ) − x] , d < x< L+d cos qn L. 接下來, 我們轉換 x 與函數的符號, 推得 Φn ( x ) =. cos qn ( L + d + x) , − L − d < x < −d cos qn L. 接下來, 我們將 x 以 x '− L − d 代入得到 Φ n ( x ') =. cos qn x ' , 0 < x' < L cos qn L. Derivation of 第二區， Step 1. from Φn ( x ) =. cos px cos pd. 0< x<d. 接下來, 我們將 x 以 x ''− d 代入得到 Φ n ( x ') =. cos pn ( x ''− d ) , 0 < x '' < 2d cos pn d. 40. x>d.
(49) Derivation of 第三區， Step 1. from Φn ( x ) =. cos qn [( L + d ) − x] , d < x< L+d cos qn L. 接下來, 我們將 x 以 x '''+ d 代入得到 Φ n ( x ') =. cos qn ( L − x ''') , 0 < x ''' < L cos qn L. 我們經由上述的推導，即可將二層結構基底轉成三層結構基底，其三 層結構基底表示如下： cos q n x ′ cosh α n x ′ or cos q n L cosh α n L cos p n ( x ′′ − d ) Φ n ( x ) = Cn cos p n d cos q n ( L − x ′′′) cosh α n ( L − x ′′′) or cos q n L cosh α n L . 41. 0 < x′ < L 0 < x ′′ < 2 d 0 < x ′′′ < L.
(50) 2-3-4：二層結構轉為三層結構(TM case) odd mode:(上邊界為電牆，下邊界為磁牆). cosh α [( L + d ) − x] cos q[( L + d ) − x] or cos qL cosh α L Φ n ( x ) = Cn sin px 0< x<d sin pd . x>d. Derivation of 第一區： Step 1. from Φn ( x ) =. cos qn [( L + d ) − x] , d < x< L+d cos qn L. 接下來, 我們轉換 x 與函數的符號, 且因其為奇模態故要加負號， 推得 Φ n ( x ) =. − cos qn ( L + d + x) , − L − d < x < −d cos qn L. 接下來, 我們將 x 以 x '− L − d 代入得到 Φ n ( x ') =. − cos qn x ' , 0 < x' < L cos qn L. Derivation of 第二區， Step 1. from Φn ( x ) =. sin px sin pd. 0< x<d. 接下來, 我們將 x 以 x ''− d 代入得到 Φ n ( x ') =. sin pn ( x ''− d ) , 0 < x '' < 2d sin pn d. 42.
(51) Derivation of 第三區， Step 1. from Φn ( x ) =. cos qn [( L + d ) − x] , d < x< L+d cos qn L. 接下來, 我們將 x 以 x '''+ d 代入得到 Φ n ( x ') =. cos qn ( L − x ''') , 0 < x ''' < L cos qn L. 我們經由上述的推導，即可將二層結構基底轉成三層結構基底，其三 層結構基底表示如下： cos q n x ' cosh α n x ' − − or cos q n L cosh α n L sin p n ( x '' − d ) Φ n ( x' ) = Cn sin p n d cos q ( L − x ''' ) cosh α n ( L − x ''' ) n or cos q n L cosh α n L . 43. 0 < x' < L 0 < x '' < 2 d 0 < x ''' < L. (因 奇 模 態 產 生 負 號 ).
(52) 模態匹配(Mode Matching). 第三章. X'. X'=2L+2d. x '''. L. x X'=L+2d. x ''. d. X=0 X'=L. x' X'=0. 第一區( x = 0 ~ x = L )斜邊的基底：. ϕn (s ) = '. ε n −1. ( n − 1)π s ' cos Ls Ls. 第二區( x = L ~ x = L + 2d )斜邊的基底：. ϕn (s ) = ''. ε n −1. ( n − 1)π ( s '' + L ) cos Ls Ls. 第三區( x = L + 2d ~ x = 2 L + 2d )斜邊的基底：. ϕn (s ) = '''. 1 2. ε n−1 = . ε n −1. ( n − 1)π ( s ''' + 2 d + L ) cos Ls Ls n=0 n ≥1. 44.
(53) 在本章節我們要討論三層介電質波導場型的求法及分析，接下來我們 會介紹兩種求場型的方法，分別是模態匹配(mode matching)及不完全 積分方程(Incomplete TMIE)，現將兩種方法敘述如下：. 3-1 TM case:. X. Z. Ι. ΙΙ. S Z L. ε2. nˆ. ε1. ε0. n. ε2 ZR 圖3-1.1:三層介電質波導. 圖 3-1.1 為三層介電質波導，我們在這裡以 TM case 為例，看看在本 結構下場型的分佈情形。. TM case: Ι H yΙ ( x, z ) = H inc ( x, z ) + ∑ rnhφnΙ ( x )eiβ n ( z - zR ) Ι. H yΙΙ ( x, z ) = ∑ tnhφnΙΙ ( x)e-iβ n ( z - zL ) ΙΙ. 45. (3 − 1.1) (3 − 1.2).
(54) Ι ( x, z ) 入射波 =H inc. 反射波 = ∑ rnhφnΙ ( x )eiβ n ( z - zR ) Ι. 透射波 = ∑ tnhφnΙΙ ( x )e-iβ n ( z - zL ) ΙΙ. 接下來我們將入射、反射、及透射波的基底型式表達如下： Ι H inc ( x, z ) = ( Am ,1e. − iqm ,1 ( x − xm ). + Bm ,1e. − iqm ,1 ( Lm −( x − xm )). I. )e − i β n ( z − z R ). I. = φ1I ( x)e − jβ1 ( z − zR ). φ ( x) = Am ,n e Ι n ,m. (3 − 1.3). − iqma , n ( x − xm ) c m , n ( x − xm ). φnΙΙ,m ( x) = Cm ,n e − iq. + Bm ,n e. − iqmb , n ( Lm −( x − xm )). (3 − 1.4). − iqmd , n ( Lm −( x − xm )). (3 − 1.5). + Dm ,n e. 第n個mode Am ,n , Bm ,n => 在第m個次區 在本結構中(三層介電質波導)總共有三區，但在此我們只取其中一區 探討其場型，其餘各區的作法皆相同。. φnΙ ( x) = φmΙ ,n ( x) , xm < x < xm+1 , m = 1, 2, , M φnΙΙ ( x) = φmΙΙ,n ( x) , xm < x < xm+1 , m = 1, 2, , M. 將 x ,z on the slanted line 化成 s 的函數: φ1I ( x)e − φ ( x )e I n. j β1Ι ( z − z R ). + iβ nΙ ( z − z R ). φnII ( x)e. − iβ nΙΙ ( z − z L ). Ι 1 ( z ( s )− z R ). →. →. Ι ϕinc ( s ) = φ1Ι ( x( s ))e − jβ ′a, s s m. ϕmΙ ,inc ( s) = Am′ ,s e − iq. + Bm′ ,s e. ϕnΙ ( s) = φnΙ ( x( s ))e + jβ ϕmI ,n ( s ) = Am′ ,n e. →. ′a, j s − iqm. I n. ( z ( s )− zR ). + Bm′ ,n e. ϕnΙΙ ( s ) = φnΙΙ ( x( s))e − jβ ϕmΙΙ,n ( s ) = Cm′ ,n e 46. ′c, j s − iqm. ′b, s ( Lm − s ) − iqm. ′b, j ( Lm − s ) − iqm. ΙΙ n ( z ( s )− zL ). + Dm′ ,n e. ′d, j ( Lm − s ) − iqm.
(55) Am′ ,n 、 Bm′ ,n ⇒ 考慮在斜邊上的基底係數. 利用H y的連續條件 ⇒ Ι ϕinc ( s ) + ∑ rnhϕ nI ( s ) = ∑ tnhϕ nII ( s ). (一)根據 continuity condition of H y ( x, z ) on slanted line r1h t1h h h r t Ι ϕinc ( s ) + ϕ1Ι ( s ), ϕ 2Ι ( s ),…ϕ NΙ ( s ) 2 = ϕ1ΙΙ ( s ), ϕ 2ΙΙ ( s ),…ϕ NΙΙ ( s ) 2 h h r n tn 將上式左右兩邊同乘一個權函數(weighting function) ⇒. w1 w Ι ΙΙ LHS = RHS ⇒ ⟨w ϕ j ⟩ = ⟨w ϕ j ⟩ , w = 2 , wi : weighting function wn ⟨ wi ϕ j ⟩. ∫. Ls. 0. wi ( s )ϕ ( s ) ds. 將權函數的型式表示如下：. wi ( s) = Ei e−ipi s + Fi e−ipi ( Ls −s ) wi ( s) =. εi 2 Ls. cos. 2, i = 0 iπ s , where ε i = Ls 1, i ≥ 1. 47.
(56) 在斜邊上我們得知H yI ( s ) = H yII ( s ) Ι w1 ϕ inc Ι w2 ϕ inc ⇒ Ι wN ϕ inc w1 ϕ1ΙΙ ΙΙ w2 ϕ1 = wN ϕ1ΙΙ. w1 ϕ1Ι Ι w2 ϕ1 + wN ϕ1Ι. w1 ϕ 2 Ι. Ι w1 ϕ N r h 1. w2 ϕ 2. w2 ϕ N r2h . wN ϕ 2. wN ϕ N. Ι. Ι. Ι. Ι. w1 ϕ 2. ΙΙ. ΙΙ w1 ϕ N t h 1. w2 ϕ 2. w2 ϕ N t 2h ΙΙ. . wN ϕ 2. wN ϕ N. h t N . ΙΙ. ΙΙ. ΙΙ. ⇒ A11 ⋅ r = − A12 ⋅ t + S1. . h rN . (3 − 1.6). 48. .
(57) (二)根據微分連續邊界條件. 1 − j β1Ι ( z − zR ) Ι ∇ ⋅ nˆ φ x e ( ) 1 ε rΙ ( x) 1 ∇φnΙ ( x)e + ε ( x) Ι r. j β nΙ ( z − z R ). ⋅ nˆ. on s. Ι uinc (s) =. 1 − j β nI ( z ( s ) − zR ) Ι ∇ φ x s e ⋅ nˆ ( ( )) ε rΙ ( x( s )) n a. b. − iq′ s − iq ′ ( L − s ) umΙ ,inc ( s ) = Am′′, s e m ,s + Bm′′, s e m ,s m. on s. ΙΙ 1 ∇φnΙΙ ( x)e − j βn ( z − zL ) ⋅ nˆ ε ( x). ΙΙ r. →. 1 1 ∇ H yΙ ⋅ nˆ = ΙΙ ∇ H yΙΙ ⋅ nˆ ε ( x) ε r ( x) Ι r. →. umΙ ,n ( s ) =. I 1 ∇φnΙ ( x( s ))e+ jβ n ( z ( s ) − zR ) ⋅ nˆ ε ( x( s )). Ι r. ′a. ′b. − iq s − iq ( L − s ) umΙ ,n ( s ) = Am′′ ,n e m , j + Bm′′,n e m , j m. on s. →. umΙΙ,n ( s ) =. 1 + j β nII ( z ( s ) − z L ) ΙΙ φ e ( x ( s )) ∇ ⋅ nˆ n ε rΙΙ ( x( s )). umΙΙ,n ( s ) = Cm′′,n e. − iqm′c, j s. + Dm′′,n e. − iqm′d, j ( Lm − s ). Am′′,n 、 Bm′′,n ⇒ 考慮在斜邊上微分一次的基底係數. r1h h r Ι ⇒ uinc ( s ) + u1Ι ( s ), u 2Ι ( s ),… u NΙ ( s ) 2 h rN t1h h t ΙΙ ΙΙ ΙΙ = u1 ( s ), u 2 ( s ),… u N ( s ) 2 h t N . 49.
(58) ⇒ = . Ι w1 u inc . w1 u 2. I. I w1 u N r h 1. Ι. w2 u 2. I. w2 u N r2h . w2 uinc Ι. wN uinc. w1 u1I I w2 u1 + wN u1I II. w2 u N t 2h . II. w2 u 2. II. wN u1. I. wN u N. II w1 u N t h 1. w1 u 2. w2 u1. I. wN u 2. II. II. w1 u1. I. II. II. II. wN u 2. wN u N. . . . h rN . . h t N . (3 − 1.7). ⇒ A12 r = − A22 t + S 2 我們可將上面(3-1.6)式及(3-1.7)式化成下列矩陣形式：. A ⇒ 11 A 21. A12 r s1 = A22 t s2 . (3 − 1.8). L1 E (:,1), F (:,1)及P (:,1)型式 L Ls = 2 注意 Am ,s ≠ Am,1 , Bm ,s ≠ Bm,1 Am′ ,s ≠ Am′ ,1 , Bm′ ,s ≠ Bm′ ,1 L m 上述只完成其中一區(總共有三區)的分析，其餘各區分析過程皆以此 類推。. 50.
(59) 3-2 TE case: 只要做下列改變即為 TE case：. H y → E y , Es → H s , ε r ( x ) → µ r ( x ) → µ 0 ( x ) = 1. 51.
(60) 第四章 不完全積分方程( Incomplete TMIE) X. Z. Ι. ΙΙ. S Z L. ε2. nˆ. ε1. n. ε0. ε2 ZR. 圖4 -1.1:三層介電質波導. 4-1：TM case: Ι H yΙ ( x, z ) = H inc ( x, z ) + H rΙ ( x, z ) + Hˆ rΙ ( x, z ) ， H yΙΙ ( x, z ) = Hˆ tΙΙ ( x, z ). }. Ι 入射波 + 反射波{H inc ( x, z ) + H rΙ ( x, z ) + Hˆ rΙ ( x, z ). =φ ( x)e Ι 1. − j β1Ι ( z − z R ). M. + ∑ r φ ( x )e n =1. h Ι n n. + j β nΙ ( z − zR ). Ι 1 ( z − zR ). M. Ι n ( z − zR ). }. }. (4 − 1.2). n =1 M. Ι 殘餘反射波 Hˆ rΙ ( x, z ) = ∑ rˆnhφnΙ ( x)e+ jβn ( z − zR ). {. Ι. (4 − 1.1). 磁牆反射波{ H ( x, z )} = ∑ rnhφnΙ ( x)e+ jβ. {. + ∑ rˆnhφnΙ ( x)e+ jβn ( z − zR ) n =1. Ι 入射波{ H inc ( x, z )} =φ1Ι ( x)e − jβ Ι r. M. (4 − 1.3). n =1. M. 穿透波 Hˆ tΙΙ ( x, z ) = ∑ tˆnhφnΙΙ ( x)e− jβ n =1. 52. ΙΙ n ( z − zL ). (4 − 1.4).
(61) 根據第(4-1.1)式至第(4-1.4)式我們重新定義新的變數：. X Z. S Z L. nˆ. n θ. ZR. x, z → s (將x , z變數以s來代換) ⇒ x = s cosθ , z − z R = − s sin θ z − z L = ( z R − z L ) − s sin θ 第Ι區： Ι 1 ( z − zR ). Ι ϕinc ( s ) φ1Ι ( x)e − jβ. ϕkΙ ( s ) φkΙ ( x)e+ jβ. Ι k ( z − zR ). (向右傳的波在斜邊上1D的函數 ) (向左傳的波在斜邊上1D的函數). 第ΙΙ區：. ϕ kΙΙ ( s ) φkΙΙ ( x)e − jβ. ΙΙ k ( z − zL ). (向右傳的波在斜邊上1D的函數). 上述 ϕinc ( s ) 、 ϕ kΙ ( s ) 、 ϕ kΙΙ ( s ) 皆為磁場的函數。. 1 ∇H y ⋅ nˆ → Et ( s ) ε r ( x). (4 − 1.5). 透過第(4-1.5)式，我們可將磁場轉換成電場型式，由於. nˆ = cosθ zˆ + sin θ xˆ 將其代入第(4-1.5)式可得到下列式子：. 53.
(62) ⇒. ∂H y ∂H y 1 (cosθ ) → Es ( s ) + sin θ ε r ( x) ∂z ∂x. (4 − 1.6). Ι. Ι 接下來我們將 H y = ϕinc ( s ) = φ1Ι ( x)e − jβ1 ( z − zR ) 代入第(4-1.6)式，可得到. 第Ι區： Ι ( s) = ψ inc. =. 1 d Ι − jβ1Ι ( z − zR ) Ι Ι − + ( j )cos ( x ) sin β θφ θ φ1 ( x) e 1 1 dx ε rΙ ( x) . Ι − j β1Ι cosθ Ι sin θ ϕinc ( s ) + Ι φ1Ι′ ( x)e − jβ1 ( z − zR ) Ι ε r ( x( s )) ε r ( x( s )). 向右傳的波在斜邊上1D的函數. Ι. 再來我們將 H y = ϕkΙ ( s ) = φkΙ ( x)e + jβk ( z − zR ) 代入第(4-1.6)式，可得到. ψ kΙ ( s) = =. 1 d Ι + jβ kΙ ( z − zR ) Ι Ι + + β θφ θ φk ( x ) e ( j )cos ( x ) sin k k ε rΙ ( x) dx . sin θ + j β kΙ cosθ Ι + j β kΙ ( z − z R ) Ι′ ϕ φ ( s ) ( x ) e + k 1 ε rΙ ( x( s )) ε rΙ ( x( s)). 向左傳的波在斜邊上1D的函數. ΙΙ. 最後我們將 H y = ϕkΙΙ ( s ) = φkΙΙ ( x)e − jβk ( z − zL ) 代入第(4-1.6)式，可得到 第ΙΙ區：. ψ kΙΙ ( s ) =. ΙΙ 1 d (− j β kΙΙ )cosθφkΙΙ ( x) + sin θ φkΙΙ ( x) e − jβk ( z − zL ) dx ε ( x) . ΙΙ r. ΙΙ sin θ − j β kΙΙ cosθ ΙΙ φk ( s) + ΙΙ φkΙΙ′ ( x)e − jβk ( z − zL ) = ΙΙ ε r ( x( s)) ε r ( x( s )). 上述ψ inc ( s ) 、ψ kΙ ( s ) 、ψ kΙΙ ( s ) 皆為電場的函數。. 54. 向右傳的波在斜邊上1D的函數.
(63) H y = ∑ an wn ( s ) ：. 從上述第(4-1.1)式至第(4-1.3)式可以看出我們將第 Ι 區的波分成入射 波及反射波，而反射波又可分成磁牆反射波及殘餘反射波。如此做的 原因在於我們希望讓第 Ι 區的磁場在斜邊介面上只剩下殘餘反射波， 因為如果不這麼做的話即使能找到 an (模態係數)，也無法從其判斷波 會往右還是往左傳，所以若只剩下殘餘波反射波，則我們就可確定在 第 Ι 區由 H y ( s ) 在斜邊上所產生的波只會往左傳，而由第(4-1.4)式我們 可以看出波只會往右傳。 我們由上述可知在斜邊上第(4-1.1)式與第(4-1.2)式相加其磁場 H y = 0 ，但需注意的是在斜邊上 H y ≠ 0 ，因其還剩下殘餘反射波。. 第Ι區電場場型推導： N. H y ( s ) = ∑ an wn ( s ). (4 − 1.7). n =1. an = complex ⇒ H y ( s ) = [ w1 ( s ) w2 ( s ). a1 a wn ( s ) ]1× N 2 an N ×1. 由第(4-1.7)式可知 H y ( s ) 可同時滿足波導第 Ι 區及第 ΙΙ 區的場，因其在 斜邊上滿足切面磁場連續的條件，且 [ w] 為正交、歸一、完全基底， 55.
(64) 我們可將 H y ( s ) 用 [ w] 函數來展開。 接下來可將第(4-1.7)式中的 wn ( s ) 改寫成 M. wn ( s) = ∑ϕ kΙ ( s )rkn. (4 − 1.8). k =1. r：轉換係數 kn 接著將第(4-1.8)式代入第(4-1.7)式，可得 N. M. n =1. k =1. H y = ∑ an ∑ ϕkΙ ( s )rkn. (4 − 1.9). 由第(4-1.8)式可知 wn ( s )與ϕkΙ ( s )之間的關係，而 w1 、 w2如下所示. M. w1 ( s) = ∑ϕ kΙ ( s )rk 1 = ϕ1Ι ϕ 2Ι k =1. M. w2 ( s) = ∑ϕ kΙ ( s )rk 2 = ϕ1Ι ϕ 2Ι k =1. 故 [ w1 w2. wN ]1× N = ϕ1Ι ϕ 2Ι r11 r12 r 21 rM 1 rM 2. ϕ MΙ 1×M. r11 r 21 rM 1 M ×1. ϕ MΙ 1×M. r12 r 22 rM 2 M ×1. ϕ MΙ 1×M r1N r2 N rMN M × N. 且M > N. 56. (4 − 1.10).
(65) w1 w 則我們可將第(4-1.10)式左右兩邊同乘 2 且積分，以求出 rijh ： wN w1 L w2 ⇒ ∫ w1 w2 0 wN . w1 L w2 wN ds = ∫ ϕ1Ι ϕ2Ι 0 wN . r11 r12 r Ι ϕ M 21 rM 1 rM 2. r1N r2 N ds rMN M × N. rijh ⇒ wi w j = wi ϕ Ιj M ×N N ×N N ×M ⇒ rijh . −1. M ×N. wi w j = wi ϕ Ιj N ×N M ×N . 由上述第(4-1.11)式即可求出 rijh . (4 − 1.11) −1. ，但需注意的是 wi ϕ Ιj 為 M ×N M ×N. highly singular matrix(高奇異矩陣) 補充說明： 在這裡我們可以採取另一種方法，就是將(3-2.10)式左右兩邊同乘 ϕ1Ι Ι ϕ 2 且積分，求出 r h 藉以比較(4-1.11)式的差異性： ij Ι ϕ M ϕ1Ι Ι L ϕ ⇒ ∫ 2 w1 w2 0 Ι ϕ M . ϕ1Ι Ι L ϕ wN ds = ∫ 2 ϕ1Ι ϕ 2Ι 0 Ι ϕ M . r11 r12 r Ι ϕ M 21 rM 1 rM 2. rijh ⇒ ϕiΙ w j = ϕiΙ ϕ Ιj M ×N N ×N M ×M ⇒ rijh . −1. M ×N. ϕiΙ w j = ϕiΙ ϕ Ιj M ×N M ×M . 我們可利用 SVD 方法將上式中的 rijh 求出，且 M > N 。 57. r1N r2 N ds rMN M × N.
(66) 我們可將第(4-1.9)式改寫成. H y ( s ) = ϕ1Ι ( s ) ϕ2Ι ( s ). ϕ MΙ ( s ) 1×M. r11 r12 r 21 rM 1 rM 2. r1N a1 a r2 N 2 rMN M × N an N ×1. H y ( s ) → Et ( s ). 步驟 1： 將 {w1 ( s ), w2 ( s ),. wN ( s )} → {ϕ1Ι ( s ),ϕ2Ι ( s ), ϕ MΙ ( s )} ， 原因在於 w、 1 w2. 雖具有正交基底的特性，可以簡化我們在處理斜邊上磁場的計算，但 是其卻不具有將磁場轉成電場的特性，所以我們必須將其分解成 {ϕ} 的線性組合，這樣才能具備將磁場轉成電場的作用，而其轉換的過程 我們已經將其陳述如上。 步驟 2： 接下來我們要將 {ϕ1Ι ( s ),ϕ2Ι ( s ), ϕ MΙ ( s )} → {ψ 1Ι ( s ),ψ 2Ι ( s ), ψ MΙ ( s )} ，也就 是要將 ϕ k ( s ) → ψ k ( s ) 。 我們先令 ϕ kΙ ( x, z ) = φkΙ ( x)e + jβk ( z − zR ) ，然後我們將其代入 (. 也就是. 1 ∇ϕ ⋅ nˆ ) ， ε rΙ ( x) k. 1 + j β kΙ ( z − z R ) Ι Ι Ι′ cos ( ) sin ( ) j β θφ x θφ x e ，由於在斜邊上故 + + k k k ε rΙ ( x) . 我們將 z , x → s ，經過計算我們可得到ψ kΙ ( s ) 。 經過步驟 1 及步驟 2 的過程，我們可將 H y ( s ) → Et ( s ) ，且 Et ( s ) 如下 所示： 58.
(67) Et ( s ) = ψ 1Ι ( s ) ψ 2Ι ( s ). ψ MΙ ( s) 1×M. r11 r12 r 21 rM 1 rM 2. r1N a1 a r2 N 2 rMN M × N an N ×1. (4 − 1.12). 上述的電場 Et ( s ) 就是經由磁場 H y ( s ) 轉換而來的，且ψ 1Ι ( s、 ) ψ 2Ι ( s ) 如 下所示： ψ 1Ι ( s ) ψ 2Ι ( s ). [ w1 ( s). ψ MΙ ( s) 1×M = s11 s 21 wN ( s ) ]1× N sN 1. w2 ( s ). s12. sN 2. s1N s2 N sNM N ×M. (4 − 1.13). w1 ( s ) w ( s) 則我們可將第(4-1.13)式左右兩邊同乘 2 且積分，以求出 sijh ： wN ( s ) w1Ι Ι L w ⇒ ∫ 2 ψ 1Ι ( s ) ψ 2Ι ( s ) 0 Ι wN . ψ MΙ ( s ) ds. w1Ι Ι L w = ∫ 2 w1Ι 0 Ι wN . w2Ι. sijh ⇒ wi ψ Ιj = wi w j N ×M N ×N N ×M. 59. s11 s Ι wN 21 sN 1. s12. sN 2. s1N s2 N ds sNM N ×M.
(68) ⇒ sijh . N ×M. = wi ψ Ιj N ×M. (4 − 1.14). 由上述第(4-1.14)式即可求出 sijh . N ×M. 。. 我們可將其代入第(4-1.12)式，故可得. Et ( s ) = [ w1 ( s ) w2 ( s ). r11 r12 r 21 rM 1 rM 2. s11 s12 s 21 wN ( s ) ]1× N sN 1 sN 2 r1N a1 a r2 N 2 rMN M × N an N ×1. G11L G12L L G L 而我們可令 Gij = 21 N ×N L GN 1 s11 s12 s 21 = sN 1 sN 2 = sijh . N ×M. s1N s2 N sNM N ×M. (4 -1.15). G1LN L GNN N ×N s1N s2 N sNM N ×M. rijh M ×N. 故我們可將第(4-1.15)式重新改寫. 60. r11 r12 r 21 rM 1 rM 2. r1N r2 N rMN M × N.
(69) a1 a L 2 wN ( s ) ]1× N Gij N ×N aN N ×1. Et ( s ) = [ w1 ( s ) w2 ( s ). (4 − 1.16). 上述第(4-1.16)式為第 Ι 區電場的型式。. 第ΙΙ區電場場型推導： ∞. H t ( x, z ) = ∑ tˆnhφnΙΙ ( x)e − jβn ( z − zL ) ΙΙ. (4 − 1.17). n =1. N. H t ( x, z ) = H y ( s ) = ∑ an wn ( s ). (4 − 1.18). n =1. = ∑ tˆ ϕ ( s ) on slant line h n. ΙΙ. 從第(4-1.17)式可以看出在第 ΙΙ 區(穿透區)只有一個方向的行進波 且EtΙΙ =. 1 (∇H y ( s ) ⋅ nˆ ) ε ( x( s)) ΙΙ r. ∞ ΙΙ 1 d ∞ ˆh − j β nΙΙ ( z − zL ) ΙΙ ΙΙ ⇒ E ( x, z ) = ΙΙ + ∑ tˆnh φnΙΙ ( x)sin θ e− jβ n ( z − zL ) ∑ tn (− j β n φn ( x)cosθ e ε r ( x( s )) n=1 dx n =1 ΙΙ t. ∞. = ∑ tˆnhψ nΙΙ ( s ). (4 − 1.19). n =1. 由第(4-1.19)式可以看出 tˆnh 為未知數，如果 ϕ nΙΙ ( s ) 是正交且規一的基底 函數，則我們可由第(4-1.20)式求出 tn ∞. tˆnh = ∫ H y ( s )ψ nΙΙ ( s )ds −∞. (4 − 1.20). 但在本波導結構中因其 θ ≠ 0，故 ϕ nΙΙ ( s ) 如同 ϕ nΙ ( s ) 一樣不具有正交的特 性，所以我們要用一組正交基底來展開，所以我們要用一組正交基底 來展開。 61.
(70) 我們可將第(4-1.18)式中的 wn ( s ) 改寫成 M. wn ( s ) = ∑ϕ kΙΙ ( s )tkn. (4 − 1.21). k =1. tkn：轉換係數 再將(4-1.21)式代回(4-1.18)式，可得 N. M. n =1. k =1. H t ( x, z ) = H y ( s ) = ∑ an ∑ ϕkΙΙ ( s )tkn. (4 − 1.22). 由第(4-1.21)式可知 wn ( s )與ϕ kΙΙ ( s )之間的關係，而 w1 、 w2如下所示. ϕ MΙΙ 1×M. t11 t 21 tM 1 M ×1. w2 ( s ) = ∑ϕ kΙΙ ( s )tk 2 = ϕ1ΙΙ ϕ 2ΙΙ. ϕ MΙΙ 1×M. t12 t 22 tM 2 M ×1. 故 [ w1 w2. ϕ MΙΙ 1×M. M. w1 ( s ) = ∑ϕ kΙΙ ( s )tk1 = ϕ1ΙΙ ϕ 2ΙΙ k =1. M. k =1. wN ]1× N = ϕ1ΙΙ ϕ2ΙΙ t11 t12 t 21 t M 1 t M 2. t1N t2 N tMN M × N. (4 − 1.23). w1 w 則我們可將第(4-1.23)式左右兩邊同乘 2 且積分，以求出 tijh ： wN . 62.
(71) w1 L w ⇒ ∫ 2 w1 w2 0 wN . w1 L w wN ds = ∫ 2 ϕ1ΙΙ ϕ2ΙΙ 0 wN . t11 t12 t ϕ MΙΙ 21 t M 1 t M 2. t1N t2 N ds tMN M × N. tijh ⇒ wi w j = wi ϕ ΙΙj N ×N N ×M M × N ⇒ tijh . −1. M ×N. wi w j = wi ϕ ΙΙj N ×N M ×N . 由上述第(4-1.24)式即可求出 tijh . M ×N. (4 − 1.24). ，且 wi w j = I ，但需注意 N ×N. −1. 的是 wi ϕ ΙΙj 為 highly singular matrix(高奇異矩陣) M ×N 補充說明： 在這裡我們可以採取另一種方法，就是將(4-1.23)式左右兩邊同乘 ϕ1ΙΙ ΙΙ ϕ2 且積分，求出 t h 藉以比較(4-1.11)式的差異性： ij ΙΙ ϕ M ϕ1ΙΙ ΙΙ L ϕ ⇒ ∫ 2 w1 w2 0 ΙΙ ϕ M . ϕ1ΙΙ ΙΙ L ϕ wN ds = ∫ 2 ϕ1ΙΙ ϕ 2ΙΙ 0 ΙΙ ϕ M . t11 t12 t ΙΙ 21 ϕM t M 1 t M 2. tijh ⇒ ϕiΙΙ w j = ϕiΙΙ ϕ ΙΙj M ×N M ×M M × N ⇒ tijh . −1. M ×N. ϕiΙΙ w j = ϕiΙΙ ϕ ΙΙj M ×N M ×M . 我們可利用 SVD 方法將上式中的 tijh 求出，且 M > N 。. 63. t1N t2 N ds tMN M × N.
(72) 我們可將第(4-1.22)式改寫成. H y ( s ) = ϕ1ΙΙ ( s ) ϕ2ΙΙ ( s ). ϕ MΙΙ ( s ) 1×M. t11 t12 t 21 t M 1 t M 2. t1N a1 a t2 N 2 tMN M × N an N ×1. H y ( s ) → Et ( s ). 步驟 1： 將 {w1 ( s ), w2 ( s ),. wN ( s )} → {ϕ1ΙΙ ( s ),ϕ 2ΙΙ ( s ), ϕ MΙΙ ( s )} ， 原因在於 w、 1 w2. 雖具有正交基底的特性，可以簡化我們在處理斜邊上磁場的計算，但 是其卻不具有將磁場轉成電場的特性，所以我們必須將其分解成 {ϕ} 的線性組合，這樣才能具備將磁場轉成電場的作用，而其轉換的過程 我們已經將其陳述如上。 步驟 2： 接下來我們要將 {ϕ1ΙΙ ( s ),ϕ 2ΙΙ ( s ), ϕ MΙΙ ( s )} → {ψ 1ΙΙ ( s ),ψ 2ΙΙ ( s ), ψ MΙΙ ( s )} ，也 就是要將 ϕ kΙΙ ( s ) → ψ kΙΙ ( s ) 。 我們先令 ϕ kΙΙ ( x, z ) = φkΙΙ ( x)e − jβ k ( z − zL )，然後我們將其代入 (. 也就是. 1 ∇ϕ ⋅ nˆ )， ε rΙΙ ( x) k. 1 − j β kΙΙ ( z − z L ) − j β kΙΙ ( z − zL ) ΙΙ ΙΙ ΙΙ′ ( ) cos ( ) sin ( ) j β θφ x e θφ x e ，由於 − + k k k ε rΙΙ ( x) . 在斜邊上故我們將 z , x → s ，經過計算我們可得到ψ kΙΙ ( s ) 。 經過步驟 1 及步驟 2 的過程，我們可將 H y ( s ) → Et ( s ) ，且 Et ( s ) 如下 所示： 64.
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