許教授 講故事
◎許志農/台灣師範大學數學系
提到高斯,大家總是聯想到 1 2+ + +3 3+100=5050
的故事;有時也會提到高斯是第一位證明正 十七邊形可以尺規作圖的數學家;或者說,
高斯的數學風格稀少,但成熟。這裡我們要 引導讀者完成一則五邊形的面積公式,知道 這個公式的人不多,曉得公式是高斯所發現 的更少。俗語說得好「凡事起頭難」,但我 們的起頭卻相當容易,只是大家想不到而 已。
你會認為
( ) ( )( )
pr
+q p
+ + =q r p
+q q
+r
是個很難的等式嗎?一點都不難,只需將兩 邊分別乘開,就馬上看出相等了。雖然在中 學教科書未曾出現過這個等式,但它卻是一 個相當有用的公式,有人稱它為「蒙日等 式」。我們也可以透過底下的面積演變,證我們也可以用文字來記憶蒙日等式:「將一 個數拆成三項的和,頭尾兩項的積加上中項 與全數的積會等於前兩項和與後兩項和的 乘積。」
既然要討論五邊形,就讓我們畫個隨意 的凸五邊形
A A A A A 。為了方便起見,
0 1 2 3 4 令△A A B 的面積為 p ,△
0 1A BC 的面積為
0q ,△ A CA 的面積為 r ;令
0 4A A 是
0 2A B 的
0m 倍, A A 是
0 3A C 的 n 倍;並將△
0A A A ,
0 1 2△
A A A ,△
0 2 3A A A ,△
0 3 4A A A ,△
0 1 4A A A ,
0 1 3△
A A A 的面積分別記為
0 2 4π π π π
12, 23, 34, 14,13, 24
π π
。
有了五邊形圖形及符號定義之後,我們可以 得出底下的面積關係:
23 34
12
13 24
14
, , ;
, , .
p q r
m mn n
p q r p q q r
n m
π π
π
π π
π
= = =
+ + = + = + =
把這六個式子代入蒙日等式,得
12 34 23 14 13 24
mn mn mn
π π + π π = π π
, 即12 34 23 14 13 24
π π + π π = π π
.真想不到,從五邊形的一個頂點出發,總共 可以畫出六個三角形,而它們的面積有這樣 美好的等式關係。我嘗試將五邊形的所有對 角線都畫上,如下圖所示:
此時對角線將五邊形分割成 11 塊區域;把 這 11 塊區域分別用符號標示,並把公式中 的六個區域分別寫成這 11 塊區域的部分 和,然後代入等式驗算,發現沒辦法完全消 掉。這告訴我們,這個恆等式隱含著比 11 塊區域還多的訊息。
現在就讓讀者操作一下剩下的部分。同 樣是這個五邊形,我們把相鄰三個頂點
1
,
0,
4A A A
所形成的△A A A 之面積記為
1 0 4a
0;同樣的,△A A A ,△
2 1 0A A A ,△
3 2 1A A A
4 3 2 及△A A A 的面積分別記為
0 4 3a a a
1,
2,
3及a
4,剛好每個頂點對應一個三角形,我們 稱它們為此五邊形的基本三角形。1 設五邊形
A A A A A 的面積為
0 1 2 3 4 , 試著利用基本三角形的面積a a a a
0,
1,
2,
3及a
4來表示五邊形A A A A A 的面積
0 1 2 3 4 。 我們手上已經有一個面積恆等式12 34 23 14 13 24
π π + π π = π π
. 如果可以將恆等式中的六個值都用0
,
1,
2,
3,
4a a a a a
及 來表示,那麼就可以求得 的公式了。
在走更遠的路之前,讓我們停下來講個 故事。幾年前中部一所大學舉辦一場研習,
請了幾位數學教授演講有趣的數學題材,我 就是講高斯五邊形定理這個主題,在演講結 束後,參與研習的聽眾都對這個第一次聽到 的公式很有興趣,然而午餐時間,主辦這場 研習的教授問我一個問題:「知道這個五邊 形的面積公式,對人類有什麼意義嗎?」我 一時不知如何回答他的問題。現在想想,如 果把對人類不是太有意義的事情,如音樂、
藝術、登陸月球、探測火星、宇宙有多大…
等,都擱置或者不鼓勵研究,那麼我們的生 活或世界會是個什麼模樣呢?
因為
π
12是△A A A 的面積,所以
0 1 212
a
1π =
;同理π
34= a
4, π
14= a
0。分別知 道:(1)
π
23= − ( a
1+ a
4)
(2)
π =
13− ( a
2+ a
4)
(3)
π =
24− ( a
1+ a
3)
將上述三個式子代入
12 34 23 14 13 24
π π + π π = π π
. 得到1 4 1 4 0
2 4 1 3
( ( ))
( ( ))( ( )).
a a a a a
a a a a
+ − +
= − + − +
整理移項得
2
0 1 2 3 4
0 1 1 2 2 3 3 4 4 0
( )
( ) 0 .
a a a a a
a a a a a a a a a a
− + + + +
+ + + + + =
也就是說,五邊形
A A A A A 的面積
0 1 2 3 4 是 二次方程式2
0 1 2 3 4
0 1 1 2 2 3 3 4 4 0
( )
( ) 0
x a a a a a x
a a a a a a a a a a
− + + + +
+ + + + + =
的一根,將二次方程式根的公式解出,就得 到 的公式。
戲說數學
◎許志農/台灣師範大學數學系 「公爵和他忠誠的騎士對奕,一位神秘
的黑衣女子在背後觀棋…」,這是一幅畫裡的 場景。畫裡的棋局不僅讓達文西喜愛不已,
就連東方的鐵路工人也著迷。究竟棋局所留 下的數學謎團是什麼呢?
達文西在他的畫作中充分使用了黃金比 例,在今日許許多多的事物也都遵循這個比 例在運作。例如:傳統照片規格 3 5× ,廣角 照片規格 4 7× 及大小為15:9 的寬螢幕電腦 等,都是在談論不同長、寬比例的矩形,這 種比例接近 1.618 的矩形稱為黃金矩形。
▲螺線與黃金比例
不知是人類 DNA 的遺傳或是上帝的傑作,
人類對這種大小尺寸的黃金矩形特別情有獨 鍾。當你拿出許許多多不同大小的矩形供小 孩子挑選時,他們總是會挑到黃金矩形,就 像真正的小法王總是可以選對圓寂法王所留
的審美天賦,可以運用在遊戲上擊敗對手 嗎?讓我們以一道在圍棋棋盤上玩的遊戲作 說明,這遊戲跟圍棋最大的差別是:只需一 粒棋子就可以玩這道遊戲。
1 在圍棋的棋盤上放置一粒棋子,接著 甲、乙兩人輪流移動這粒棋子,棋盤與移動 規則如下:
(1) 甲、乙輪流移動棋子。
(2) 移動棋子的原則:每次只能將棋子往正 下方、正左方或左斜下方移動,即每次只 能從三個方向中選擇一種,但移動格子數 需至少一格。
(3) 將棋子移到原點者贏。
如果一開始將棋子擺在 (13,8) 的位置,那麼 誰會贏得這場比賽呢?
棋子的位置與原點可以圍出一個矩形,
例如:在上圖中,當棋子落在 (13,8) 時,所 圍出的矩形大小為13 8× 。當甲、乙兩人輪流 移動棋子廝殺時,可以將眼光放在可構成黃 金矩形的落點上,即
(1, 2), (2,1), (3,5), (5,3), (4, 7), (7, 4), , (8,13), (13,8),
3 3
上。當你移動棋子讓它落在這些關鍵點時,
落在賞心悅目的點上,就是克敵制勝的關 鍵。但是,至少有兩個問題產生:
(1) 讓它構成黃金矩形的格子點如何發現?
規律為何?
(2) 當我占據關鍵點,對手就無法移動棋子 到另一個關鍵點嗎?又下一輪我可以再 占到另一個關鍵點嗎?
其實,當你將棋子落在上述關鍵點時,
就會贏得比賽,參考下圖:
顯然,當棋子落在 (0,0) 點的向右水平方向、
向上鉛直方向或右上對角方向時,只需一次 移動就可以移到原點獲勝,所以把這三條射 線上的點劃掉。在剩下的點中,離原點最近 的兩個點為 (1, 2) 與 (2,1),這是你可以贏的第 一占據位置。
接下來,將點 (1, 2) 與 (2,1) 的向右水平方 向、向上鉛直方向及右上對角方向的點劃 掉,在剩下的點中,離原點最近的兩個點為
(3,5) 與 (5,3) ,這是你可以贏的第二占據位 置。
同樣的,將點 (3,5) 與 (5,3) 的向右水平方 向、向上鉛直方向及右上對角方向的點劃 掉,在剩下的點中,離原點最近的兩個點為
(4, 7) 與 (7, 4) ,這是你可以贏的第三占據位 置。
如此繼續下去,就可以得到會贏的關鍵 點
(6,10), (10, 6), (8,13), (13,8),3 .
在玩的過程中,只需占據這些要塞,必勝券 在握。
每次這樣的劃線刪除很費時間,這裡提 出比較簡單的方法:
將所有的正整數
1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12,13,14,15,3 . 標記在數線上,如下
如上圖所示,從最小的 1 開始,取與它相距 1 單位的點 2 配成一對,得 (1, 2) 與 (2,1) 。 接下來,從剩下最小的數 3 開始,取與 它相距 2 單位的點 5 配成一對,得 (3,5) 與
(5,3) 。
同樣的,從剩下最小的數 4 開始,取與 它相距 3 單位的點 7 配成一對,得 (4,7) 與
(7, 4) 。
如此繼續下去,就可以得到更多的關鍵 數對: (6,10),(10,6);(8,13),(13,8); ;3 等等。
事實上,「一子棋遊戲」只是「拈」的另 一種呈現方式,換湯不換藥,究竟什麼是「拈」
呢?稍微介紹一下:「拈」這個遊戲本是中國 民間的遊戲,英文叫做 Nim,大概這遊戲是 當年大批(廣東人)華工到美國去做工,在 工作之餘撿石頭逍遣或賭博時,被美國佬學 了去,而 Nim 是由廣東話「拈」(取物之意)
轉音而來。遊戲的規定是這樣的:將石頭分 為兩堆,每堆的個數隨玩者任意規定,兩人 輪流從任一堆中取一個或多個石頭,或者同 時在兩堆取同樣個數的石頭,直到最後將石 頭取光的人贏。「一子棋遊戲」的條件就是
「拈」條件的不同呈現方式,我只是將它改
頭換面,讓這道拿取石頭的「拈」可以在坐 標平面上操作,讓它較為數學化而已。
一子棋這道遊戲是我在恆春當兵時發明 的,當我駐守關山崖下的山海里時,在落山 風相伴的晚上,與阿兵哥玩一子棋是無聊軍 中生活裡的一大樂趣。
【參考文獻】
1. 張鎮華,拈及其各種變形遊戲,數學傳 播第三卷第二期。
2. 李宗元、黃敏晃,一個名為「拈」的遊 戲,科學月刊第七十期。
3. 許志農,古老的池塘,青蛙跳入,噗 通!…一子棋的誘惑,與奇人相遇的故 事。
4. 雷維特(陳慧瑛譯),法蘭德斯棋盤,漫 遊者出版。
如何計算圓錐曲線的切線
◎羅驥韡/台北市立陽明高中 計算圓錐曲線的切線方程式一直是個難題,尤其是對一般高中生的程度來說,更何況針對 不同的圓錐曲線(橢圓、拋物線、雙曲線…等)而言,又有不同的切線公式,感覺上既不統一 又難以記憶,所以我在這裡要介紹一種算法,一種統一的算法,讓你不管面對何種圓錐曲線,
都可以直接應用的公式。
圓錐曲線方程式
在坐標平面上,我們知道不管是哪一種圓錐曲線,都可以表示為以下的形式:
2
0
2
+ bxy + cy + dx + ey + f =
ax
.例如:
◆ 橢 圓:
1
1 4
2
2
+ y =
x
,我們可以寫成:x
2+ y 4
2− 4 = 0
.◆ 拋物線:
y
2= x 4 ( − 1 )
,我們可以寫成:y
2− x 4 + 4 = 0
.◆ 雙曲線:
1
3 1
2
2
− y =
x
,我們可以寫成:3 x
2− y
2− 3 = 0
.當然上面所舉的例子都是所謂的「標準式」,也就是這些圓錐曲線 在坐標平面上的位置都是經過特別安排的,所以方程式會看起來 特別漂亮簡潔。一般說來,如果圓錐曲線沒有在「標準位置」的 話,那麼它的方程式就會看起來有點複雜,例如:
0 1 2 5 3
2
22
− xy + y − x − y + =
x
,它的圖形會像右圖一樣。如何判斷一條通過特定兩點的線是不是切線呢?
1.
我在上面的圓錐曲線中,再加入兩個點 (3,6)A
與 (10,3)B
,那麼連接這兩點的直線到底是 不是切線呢?要回答這樣的問題,我們可以利用直線的參數式來測試看 看,到底這條直線與圓錐曲線有幾個交點,以下我們就來 計算看看:
首先,通過 ,
A B 兩點的直線參數式為
3 7 6 3x t
y t t
= +
= − ∈
, � . 我們將這組點坐標代入圓錐曲線方程式
x
2− 2 xy + 3 y
2− 5 x − 2 y + 1 = 0
,得到
( 3 + 7 t )
2− 2 ( 3 + 7 t )( 6 − 3 t ) + 3 ( 6 − 3 t )
2− 5 ( 3 + 7 t ) − 2 ( 6 − 3 t ) + 1 = 0
, 化簡得118 t
2− 161 t + 55 = 0
,計算它的判別式可以得到( 161)− 2− ×4 118 55× = − < . 33 0
所以由判別式小於零,我們可以知道上述的直線與圓錐曲線沒有任何交點。
(雖然圖形上看起來「好像」切到,但事實上,精確的計算告訴我們並沒有。)
一般說來,要判斷一條通過特定兩點的線是不是切線,都可以利用上述的方法來達成。既 然這個方法這麼好用,那麼我們何不利用這樣的思考模式,發展出一些好用的公式或判斷的法 則呢?沒錯!這正是我們這篇文章的目的,所以我們就繼續往下探索看看吧!
探索切線的公式或準則
假設直線通過
A x
( ,1y
1), (B x
2,y 兩點,圓錐曲線為
2)ax
2+ bxy + cy
2+ dx + ey + f = 0
,那 麼我們利用上述同樣的方法來計算看看,直線參數式與圓錐曲線之間,有沒有任何交點。首先,直線參數式為 1 2 1
1 2 1
( ) ( )
x x x x t y y y y t t
= + −
∈
= + −
, � .
然後,我們將這組坐標代入圓錐曲線方程式,得到
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
2 2
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0,
a x x x t b x x x t y y y t c y y y t d x x x t e y y y t f
+ − + + − + − + + −
+ + − + + − + =
如果我們將上面的計算式整理成 t 的二次式,會得到
[ ]
2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1
2 2
1 1 1 1 1 1
( ) ( )( ) ( )
2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0.
a x x b x x y y c y y t
ax x x bx y y by x x cy y y d x x e y y t ax bx y cy dx ey f
− + − − + − ⋅
+ − + − + − + − + − + − ⋅
+ + + + + + =
當然,如果我們要計算這個二次式到底有沒有解,還要計算它的判別式,這時你或許會想:「天 啊!它的係數已經如此複雜了,我們竟然還想去計算它的判別式?就算我們真的花了九牛二虎 之力把它算出來了,難道我們還會想去記憶它或應用它嗎?」的確,我們是遇上了瓶頸,我們 遇到變數符號太多太長、複雜難以處理的窘境。然而,正是因為面對這樣的窘境,才讓數學家 了解到必須開發新的符號與新的運算規則,讓我們可以繞過複雜計算的深淵,繼續邁向推理解 題的大道。以下我們就來介紹這個新的利器!
開發新的運算符號
首先,我們先來介紹一種「表格式乘積加總法」:
在左邊的表格中,
2
所在的那一橫列與3
所在的那一直行,對到了數字5
,這時我們規定:2, 3, 5
要乘起來,也就是會得到2 × 3 × 5 = 30
.我們在左表中,又多放了一些數字上去,現在我們要計算
2 × 3 × 5
和6
4
1 × ×
,並把它們加總起來,所以其實我們要計算的是24
30 6 4 1 5 3
2 × × + × × = +
.在這個例子中,我們填上所有的數字,並利用上面說明的方式將所有 的乘積全部加起來。首先,我們先將左側的數字
0, 1, 2
和上側的數字1, 3, 4
乘到格子裡,可以得到下表中的數字:0 0 0 0 24 24
-8 30 0
最後,我們只要將表格中所有的數字加起來,那麼所得到的數字就是我們想要計算的總和,也 就是 24 24 8 30 70+ − + = .這就是我們所說的「表格式乘積加總法」。
當然,如果你學過「矩陣」乘法,你會知道我們這裡所謂的「表格式乘積加總法」,其實可 以用矩陣來表示。例如:上面所舉的最後一個例子,可以利用矩陣乘法:
[
0 1 2]
01 82 76 134 5 0 4
− −
−
來表示。不過,如果你沒學過矩陣,那也沒關係,請繼續看我們以下的討論就可以了。
我們這裡為什麼要介紹這樣怪異的加總法呢?主要是因為這種加總法剛好跟圓錐曲線的方 程式有某種巧妙的連結。請看以下的例子:
在左表中,如果我們運用「表格式乘積加總法」,那麼我們會得到
0
11 3 8
2
22
− + + + +
− x xy y x y
.請讀者注意看:這剛好是圓錐曲線方程式
2
0
2
+ bxy + cy + dx + ey + f = ax
等號左邊的形式,這也正是為什麼我們要介紹這種加總法的原因。
如果我們在表格中設定了像左表一樣的數字(請注意裡面的 , ,
2 2 2
b d e
),那麼我們就會得到與圓錐曲線一般式(等號左邊)一模一 樣的形式:
f ey dx cy bxy
ax
2+ +
2+ + +
.最後,為了靈活運用這樣的計算法,我們把最通用的形式寫出來,並 且徹底研究這種運算法的規則,才能順利地用於後面的解題推理中。
但是,我們總不能每次都用畫表格的方式來表現,所以在這裡我們假設
(
1 1 1) (
2 2 2)
, , , , , ,
a b c
M d e f P x y z Q x y z g h i
= = =
,
並且,我們規定新的符號:
[ P, Q ]
M.就代表左表所表示的「表格式乘積總和」,也就是[ P Q
,]
M =ax x
1 2+bx y
1 2+cx z
1 2+dy x
1 2+ey y
1 2+fy z
1 2+gz x
1 2+hz y
1 2+iz z
1 2.新符號的定義:
[ ]
2 2 2
1
1
1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
,
.
M
x y z x a b c
P Q y d e f
z g h i
ax x bx y cx z dy x ey y fy z gz x hz y iz z
=
= + + + + + + + +
究竟這樣的新符號有什麼漂亮的運算規則呢?請看以下的說明:
新符號的運算性質
假設我們除了上述的新符號之外,我們也引用一般的「向量加法」與「純量積」的運算概 念,也就是下列的運算規則:
◆ 若
P
=( x
1,y
1,z
1)
,Q
=( x
2,y
2,z
2)
,則P + Q
代表( x
1+ x
2, y
1+ y
2, z
1+ z
2)
。◆ 若
P
=( x y z
, ,)
,t
為實數,則tP
代表( tx , ty , tz )
。 那麼,我們所使用的新符號就會有以下的運算規則:假設
P
=( x
1,y
1,z
1)
,Q
=( x
2,y
2,z
2)
,R
=( x
3,y
3,z
3)
,t
為實數,則有 ◆加法分配律:
[ P + Q , R ] [
M= P , R ] [
M+ Q , R ]
M 或[ P , Q + R ] [
M= P , Q ] [
M+ P , R ]
M. ◆純量積:
[ tP , Q ]
M= t [ P , Q ] [
M= P , tQ ]
M.一般而言,「交換律」並不成立,也就是
[ P , Q ] [
M= Q , P ]
M 通常是錯的,但如果 M 是「對稱」的,那麼交換律也會是正確的。但我們說 M 是「對稱」的,指的是什麼意思呢?在這裡我舉個 例子:
左表中,數字 1, 4, 7 所在的位置,我們術語上稱為矩陣的「主對角 線」,在這主對角線的兩側的「格子對」(如圖中紅色的箭頭所指的三 對格子),如果都各自相同,那麼我們就說:這個矩陣是「對稱」的。
左表中,如果我們假設
( )
2 2
, , , 1
2 2
2 2
b d a
b e
M c P x y
d e f
= =
.
那麼,圓錐曲線的方程式
ax
2+ bxy + cy
2+ dx + ey + f = 0
就可以寫 成[ P , P ]
M= 0
.這裡的 M 就是一個典型的「對稱矩陣」。從現在開始,我們將這個矩陣稱為圓錐曲線的「係數 矩陣」。
因此,如果 M 是「對稱」的,那麼我們的新符號就擁有了「交換律」
[ P , Q ] [
M= Q , P ]
M.豁然開朗的切線準則
我們前面有提到,如果點
( ) x, y
在圓錐曲線ax
2+ bxy + cy
2+ dx + ey + f = 0
上面,那麼這 個點坐標代入方程式當然會等於零,如果我們用「表格式乘積加總法」來表示的話,那會得到=0
.所以,如果 A 的坐標為
( ) x, y
,那麼我們希望用 A 來代表 ( , ,1)x y
,這樣的話,我們就可以用更 簡短的方式來表示一個點是否在圓錐曲線上了,也就是A , ( ) x y
在2
0
2
+ bxy + cy + dx + ey + f =
ax
上。可以寫成, 0
M
A A
= = ,其中
2 2
2 2
2 2
b d a
b e
M c
d e f
=
.
我們就不妨把
A ( x , y , 1 )
稱為是A , ( ) x y
的「擴充坐標」吧!(比較正式的說法是「齊次坐標」) 所以我們假設 B 點的坐標為 (4,5) ,那麼 B 就是 (4,5,1) ,其餘請以此類推。好,我們已經做 完所有的準備工作了,現在讓我們正式開始繼續切線的推理工作吧!通過
A
=( x
1,y
1)
,B
=( x
2,y
2)
兩點的直線參數式為1 2 1 1 2
1 2 1 1 2
( ) (1 ) ( ) (1 )
x x x x t t x tx y y y y t t y ty t
= + − = − +
∈
= + − = − +
, � ,
我們也可以寫成
+
−
=
2 2
1
)
11
( y
t x y t x y
x
.如果我們把
( ) x, y
稱為 P ,那麼會有P = ( 1 − t ) A + tB
.事實上,對於擴充坐標
P ( x , y , 1 )
來說,P = ( 1 − t ) A + t B
也是對的,也就是
+
−
=
1 1
) 1 ( 1
2 2 1
1
y x y t
x y t
x
是對的。(請讀者自行檢驗)
現在,要檢查 AB 直線上的動點 P 是不是在圓錐曲線上,我們只要檢查
[ ] P , P
M= 0
對不對就好。但因為
P = ( 1 − t ) A + t B
,所以,我們要檢查[ ( 1 − t ) A + t B , ( 1 − t ) A + t B ]
M= 0
有沒有解?接著我們整理(利用新符號的運算性質):
( ) ( ) ( )
2 2
2
(1 ) , (1 )
(1 ) , 2 (1 ) , ,
, 2 , , 2 , 2 , , .
M
M M M
M M M M M M
t A t B t A t B
t A A t t A B t B B
A A A B B B t A A A B t A A
− + − +
= − + − +
= − + ⋅ + − + ⋅ +
之前,我們對這個 t 的二次式有沒有解束手無策,現在有了新的符號幫忙下,如虎添翼,我們不 僅用新符號重新算出這個二次式,這一次我們更要計算出它的判別式。請繼續看下面判別式的 計算:
( ) ( )( )
( )
2
2
2 , 2 , 4 , 2 , , ,
4 , , , .
M M M M M M
M M M
A A A B A A A B B B A A
A B A A B B
− + − − +
= −
從上式,我們得到一個非常重要的結果,也是本文最主要的結果:
當 , 2 , , 0
M M M
A B A A B B
− =
時判別式為零,此時意味著:直線 AB 與圓錐曲線的交點只有一 個,這個交點就是切點,此直線就是切線。
因為這個「切線準則」太重要了,所以我們重新再敘述一遍:
切線準則:
若通過
A ( x
1, y
1)
與B ( x
2, y
2)
的直線為圓錐曲線2
0
2
+ bxy + cy + dx + ey + f = ax
的切線,則「擴充坐標」
A x (
1,y
1, 1 ,) ( B x
2,y
2, 1)
會擁有 以下的切線準則: , 2 , , 0M M M
A B A A B B
− =
.
之前我們完全無法處理的判別式,現在竟然化為如此簡短的數學式,可見新符號的威力真是驚 人!
切線準則的應用
現在讓我們舉幾個例子來看看如何使用這個超強的「切線準則」。
2. A
(3, 2)− 在雙曲線x
2− y
2+ x − 2 y − 12 = 0
上,請問經過 A 點的切線方程式是什麼?假設 ( , )
P x y 為切線上的一點,那麼通過 A 與 P 的直線,
事實上就是切線本身,既然如此,
那麼 A 與 P 就會符合「切線準則」:
2
, , , 0
M M M
A P A A P P
− =
. 但因為 A 本身在雙曲線上,所以 , 0
M
A A
= , 因此,我們可以得到 , 0
A P
M =
, 也就是
x y 1 3 1 0
12
−2
0
−1 −11
12 −1 −12
=0
,經整理可得
0
2 17 2
7 x + y − =
,或者你也可以寫成
7 x + y 2 = 17
,這就是經過 A 點的切線方程式。經過上面這個例題的探討,我們發現一個漂亮的現象,那就是
過切點的切線方程式:
若
A ( x
0, y
0)
在圓錐曲線ax
2+ bxy + cy
2+ dx + ey + f = 0
上,則通過 A 點的切線方程式為
, 0
M
A X
= ,其中
X
=( ,x y
, 1). 也就是切線方程式為
=0
.現在,我們將這個公式應用到所有圓錐曲線的標準式上,你會發現:所有我們熟知的標準 式切線公式(如果你曾經記憶過的話),會一一出現。
下表中,我們假設
( x y
0, 0)
為圓錐曲線上的一點。類 型 標準式 計算切線 所得切線方程式
橢 圓 2
1
2 2 2
= + b
y a x
=0
20+
20y = 1 b x y a x
拋物線(上下型)
x
2= 4 cy
=0 x
0x = 2 c ( y + y
0)
拋物線(左右型)
y
2= 4 cx
=0 y
0y = 2 c ( x + x
0)
雙曲線(左右型) 2
1
2
2 2
=
− b y a x
=0
20−
20y = 1 b x y a x
雙曲線(上下型) 2
1
2 2
2
+ =
− b
y a
x
=0 −
20+
20y = 1 b x y a
x
雖然上面我們列出了所有的標準式的切線公式,但我們這樣做只是為了要向你說明:我們的「切 線準則」是通用的,你可以用於任一類型的圓錐曲線,而不是要你去背誦上面這些看起來都不 太一樣的切線公式。
上面我們一直把重心擺在解決如何計算圓錐曲線上一點的切線,但是如果要計算通過圓錐 曲線外一點的切線時,那麼又該如何呢?請看下面的例子:
3. 請計算通過 (1,1)
A
,並與橢圓x
2+ y 2
2= 1
相切的切線方程式。注意: A 點在橢圓外!所以會有兩條切線。
假設 ( , )
P x y 為切線上的一點,那麼根據「切線準則」
, 我們可以得到2
, , , 0
M M M
A P A A P P
− =
,
其中
1 1 1 0 0
, 2 1
1 0 2 0 1 0 0 1
M
x y
A P x y
= = + −
−
,
, 12 2 12 1 2
M
A A
= + × − = , 就是將 (1,1)
A
直接代入x
2+ y 2
2− 1
. , 2 2 2 1P P
Mx y
= + −
, 就是將 ( , )
P x y 直接代入 x
2+ y 2
2− 1
. 因此,( x + 2 y − 1 )
2− 2 ( x
2+ 2 y
2− 1 ) = 0
整理可得x
2− 4 xy + 2 x + 4 y − 3 = 0
.最後我們作因式分解(我們知道答案是兩條直線,所以應該可以分解成兩條直線方程式):
( 4 4) ( 2 2 3) 0
4( 1) ( 1)( 2) 0 ( 1)( 4 2) 0 ,
x y x x
x y x x x y x
− + + + − =
⇒ − − + − + = ⇒ − − + − =
因此
x − 1 = 0
或x − y 4 + 3 = 0
.最後這兩個方程式都是直線方程式,而且也是 ( , )P x y 必須
符合的條件,所以這兩條直線就是切線!4. 請計算通過 (2, 3)
A
− ,並與拋物線x
2= 4 y
相切的切線方程式。注意: A 點在拋物線外!所以會有兩條切線。
假設 ( , )
P x y 為切線上的一點,那麼根據「切線準則」
, 我們可以得到, 2 , , 0
M M M
A P A A P P
− =
,
其中
1 2 1 0 0
, 2 2 6
3 0 0 2 1 0 2 0
M
x y
A P x y
= = − +
− −
−
,
, 22 4( 3) 16
M
A A
= − − = , , 2 4
M
P P x y
= −
,
因此,
( 2 x − 2 y + 6 )
2− 16 ( x
2− 4 y ) = 0
整理可得3 x
2+ 2 xy − y
2− 6 x − 10 y − 9 = 0
. 最後我們作因式分解:
2 2
2
3 (2 6) ( 10 9) 0
3 (2 6) ( 1)( 9) 0 [ ( 1)][3 ( 9)] 0 ,
x y x y y
x y x y y x y x y
+ − − + + =
⇒ + − − + + = ⇒ + + − + =
因此
x + y + 1 = 0
或3 x − y − 9 = 0
. 最後這兩個直線方程式就是切線!一般說來,如果一個點在圓錐曲線之外,那麼它會擁有兩條切線,但還有另外一條線跟這 個點也有密切的關係,這條線叫做「極線」,請看以下的探討。
極線的探討
5. 已知 (3, 2)
A
在橢圓x
2+ 2 y
2− 4 y = 4
的外面,且通過 A 點的切線(有兩條)與橢圓分別交 於 ,C D 兩點,請計算出 CD 直線的方程式。
因為 AC 直線與 AD 直線都是切線,所以由「切線準則」知
2
, , , 0
M M M
A C A A C C
− =
,
2
, , , 0
M M M
A D A A D D
− =
. 但因為 ,
C D 都在橢圓上,所以
, 0M
C C
= , , 0
M
D D
= , 因此我們可以知道 , 0
A C
M =
, , 0
A D
M =
.
雖然目前我們還不知道 ,
C D 的點坐標,但由這兩個方程式,
我們知道 ,
C D 同時符合下面這個方程式
, 0
M
A X
= ,其中
X
=( , ,1)x y
. 然而這個方程式本身就是一個直線方程式,請看1 3 1 0 0
, 3 2 8 0
2 0 2 2 1 0 2 4
M
x y
A X x y
= = + − =
−
− −
.
所以,既然 ,
C D 同時符合這個方程式,那麼 CD 直線方程式當然就是 3 x + y 2 = 8
. 經由上面這個例題的探討,我們得到一條特殊的直線,這條直線我們稱為「極線」,這是一條通 過兩切點的直線。我們將這個重要的結果整理如下:極線公式:
若
A ( x
0, y
0)
在圓錐曲線ax
2+ bxy + cy
2+ dx + ey + f = 0
外面,通過 A 點的兩條切線交圓錐曲線於 ,C D 兩點,則
我們稱 CD 直線為 A 點的「極線」,且其方程式為, 0
M
A X
= ,其中
X
=( , ,1)x y
. 也就是極線方程式為
=0.
此時,我們也稱 A 點為 CD 直線的「極點」。
如果你還記得前面的「過切點的切線方程式」公式的話,你會發現:這兩個公式不是一模一樣 嗎?是的,的確沒錯!當 A 點在圓錐曲線外時,這個公式會產生「極線」,但當 A 點到達圓錐曲 線上時,它就會變成「切線」!
國立台灣師範大學數學系 97 學年度 甄選入學
指定項目甄試試題
筆試一、計算證明題(考試時間:2 小時)
1. 設一直角三角形的斜邊長與一股長的和為 6,試求此直角三角形的面積產生最大值時 的各邊長。(20 分)
2. 對每個 n∈� ,令
a 表示由
nn
+ 個 1 與 n 個 0 交錯出現所成的 21n
+ 位數,亦即: 12
0
1010 0101 10
n k n
k
a
=
= =
∑
.(1) 試證:若 n 為奇數,則
a 是 101 的倍數。
n (10 分)(2) 試證:若 n 為偶數 2m ,則
a 是由 1 所成的 2
nm
+ 位數11 11 的倍數。(10 分)3. 設 0 , , 2
α β γ π
< < 。
(1) 試證:若 ,
α β
與γ
形成等差數列,而且 4β
= ,則 tan , tanπ α β
與 tanγ
形成等比數列。(10 分)
(2) 試證:若 ,
α β
與γ
形成等差數列,而且 tan , tanα β
與 tanγ
形成等比數列,但4
β
≠π
,則α β γ
= = 。(10 分)4. 等差數列1, 2,, ,
n
有一項性質:對每個 n∈ � ,此數列的前 n 項之和恆等於二項式 係數C
2n+1。其他等差數列有類似的性質嗎?下列兩小題可回答這個問題。(1) 設 k 為正整數,試討論等差數列
2 2
( 1) ( 1) ( 1)
, , , ( 1),
2 2 2
k k k k k k
k k n
− − + − + −
是否具有下述性質:對每個 n∈� ,此數列的前 n 項之和恆等於形如
C 的一個
2m 二項式係數。(10 分)(2) 設 k 為正整數,試討論是否有等差數列具有下述性質:對每個 n∈� ,此等差數 列的前 n 項之和恆等於二項式係數
C
2kn+1。(10 分)5. 在空間坐標系中,設 O 為原點而 , ,
A B C 三點的坐標分別為
(1, 0, 0), (0,1, 0),A B C
(0, 0,1)。以線段OA OB OC 為三邊可作出一個正立方體。此正立
, , 方體除了原點 O 之外的其他七個頂點中有四個可作出一個正四面體,亦即:此四點 中兩兩的距離都相等。(1) 試求此正四面體的四個頂點坐標。(10 分)
(2) 試求此正四面體的內切球面方程式。(10 分)
筆試二、填充題(考試時間:1.5 小時)
1. 設
θ
為銳角,且滿足1
cosk 2
k
∞
θ
=
∑
= ,則 sin 2θ
= __________。2. 設複數 5
(cos 60 sin 60 )
z
= −4 ° +i
° ,則滿足z
n>107的最小正整數 n= __________。(註: log 2 0.3010, log 3 0.4771, log 7 0.8451≈ ≈ ≈ )
3. 若
f x
( )=x
4+ax
3+bx
2+cx
−54為實係數多項式,且 , , ,α β γ δ
為 ( ) 0f x
= 的根,其中α β
, 為整數,α β
> , 6<β
<12,γ
= +1 2i,則β
= __________。4. 設
2 2
16 1
x y
+
k
= 是一橢圓,焦點為F F 。若 ,
1, 2A B 為橢圓上相異兩點, F 在線段
1AB 上,
且△
ABF 的周長為 28,則 k = __________。
25. 某一老鼠走迷宮的遊戲中,假設迷宮有 , ,
A B C 三個門,老鼠走進這三個門的機率都
相等,且假設老鼠不去記憶走過哪些門。如果走進 A 門,則老鼠在 3 個小時後可以走 出迷宮;如果走進 B 門,則老鼠經過 2 個小時後又走回原地;如果走進 C 門,則老 鼠經過 4 個小時後又走回原地。那麼,這隻老鼠要走出迷宮所花時間的期望值為 __________小時。6. 在坐標空間中,給定一圓Γ 及三個平面
1: 2 0, 2: 3 1, 3: 2 3 4 1,
E x
−y
+ =z E x
− − =y z E x
+y
−z
=其中圓Γ 落在平面
E 上,且
1E E 與
1, 2E 的交點恰為圓
3 Γ 的圓心。若 L 為平面E 上的
1 一直線,其方向向量為 ( , 4, )a b ,且 L 與圓
Γ 相切於點 ( 5,4,7)Q
− ,則數對( , )
a b
= __________。7. 設數列
1
1 1 2 3
n
n k
S
=k
=
∑
+ + ++ ,且S
=limn→∞S
n,則滿足S
n− <S
0.00001的最小正整數 n之值為__________。
8. 設數列
a
n ,b
n 滿足a
0+b
0= ,且對每一正整數 n ,恆有 21 1
n 3 n n
a
=a
− −b
− 及b
n=a
n−1+ 3b
n−1, 則a
18+b
18= __________。9. 設 ,
a b 都是實數,且滿足行列式
2 2
2
3 3 1 3 2
2 2 2 2 2 1
2 2 4
a a b a b
a b a b
ab b b
− + + + +
− + + =
+ + −
,則行列式
2
2
3 3 3 3 2
2 3 2
1 3
2 3 4
2 2
b a a b ab
b b
a a b b
− − + +
− + =
− + −
__________。
10. 某校有 1000 位高三學生,其數學成績呈常態分配,平均數為 60 分,標準差為 10 分。
試問下列哪些選項是正確的?答:___________。(可複選)
(A) 高三學生中,數學成績介於 70 到 90 分之間的學生約有 150~160 位。
(B) 若甲同學的數學成績 80 分,則他的數學成績在全部高三學生中大約排前 20~25 名。
(C) 若甲和乙為該校兩位高三的學生,則隨機抽出 50 位高三學生時,甲和乙同時被 抽中的機率小於 1
400。
(D) 若將每一位學生的原始數學成績乘上1.1倍當作最終的成績,則調整後的數學最 終成績仍呈常態分配。
(E) 承(D),若調整後,乙同學的數學最終成績為 80 分,則他的數學成績在全部高 三學生中大約排前 20~25 名。
(註:在常態分配下,估算大約有 68%的資料落在以平均數為中心的一個標準差之 內;大約有 95%的資料落在兩個標準差之內;大約有 99.7%的資料落在三個 標準差之內。)
◎ 填充題答案:
1. 2. 3. 4. 5.
4 5
9
73 − 9 49 9
6. 7. 8. 9. 10.
(4, 4)
2 × 10
5− 2
192 3 ABCD
國立台灣師範大學數學系 97 學年度 甄選入學 指定項目甄試試題詳解
筆試一、計算證明題:
1. 設此直角三角形的斜邊長為 x ,而兩股的長分別為 y 與
x
2−y
2 ,依假設,可令 6x
+ = 。於是,得y
此直角三角形的面積為
2 2
( )( ) 6 2
(6 2 )
2 2 2
y x y y x y x y
y y
− + −
= = × − .
因為
3 2 (6 2 )
(6 2 ) 2
3
y y y
y y
+ + −− ≤ = ,
而且當
y
= −6 2y
或y
= 時,上式中的等號成立。 2所以,當
y
= 時,此直角三角形的面積產生最大值 2 3 ,此時,三角形的三邊長分 2 別為 2, 2 3, 4 。2. (1) 設
n
=2m
− ,則 12 1
2 2 4 6 4 4 4 2
2 1 0
2 4 6 4 4 4 2
2 4 2 4 4 2
2 4 4 4
1 4
0
10 1 10 10 10 10 10
(1 10 ) (10 10 ) (10 10 ) (1 10 ) 10 (1 10 ) 10 (1 10 ) (1 10 )(1 10 10 )
101 10 .
m
k m m
m k
m m
m
m
m k
k
a
− − −
−
=
− −
−
−
−
=
= = + + + + + +
= + + + + + +
= + + + + + +
= + + + +
= ×
∑
∑
上式中的因數分解也可以由下法獲得,
2 1
2 2 2 2 2 2 1
2 1 0
2 2 4
2 2
4 4 1 4 2 4 1
2
2 4 4 4
1 4
10 1 10 (10 ) (10 ) (10 ) 1 (10 ) 1
10 1 10 1
(10 1)[(10 ) (10 ) (10 ) 1]
10 1 (1 10 )(1 10 10 ) 101 10 .
m
k m
m k
m m
m m
m
m k
a
− −
− =
− −
−
−
= = + + + +
− −
= =
− −
− + + + +
= −
= + + + +
= ×
∑
∑
例如:當
n
= 時,5a
5=10101010101 101 100010001= × 。 由此可知,a
2m−1是 101 的倍數。(2) 設
n
=2m
,則2
2 2 4 4
2 0
2 1 2 2 2 2
2 2 1 2 1 2
2 2
2 1 2 1
2 2 1 2 2 1 2
2 2
0 0
10 1 10 10 10
1 (10 ) (10 ) (10 ) (10 ) 1 (10 ) 1
10 1 10 1 10 1 10 1
10 1 10 1
(10 10 10 1)(10 10 10 10 1) 10 ( 10) .
m
k m
m k
m
m m
m m
m m m m
m m
k k
k k
a
=
+ +
+ +
− −
= =
= = + + + +
= + + + +
− −
= =
− −
− +
= ×
− +
= + + + + − + + − +
= × −
∑
∑ ∑
上式右端的
2
0
10
m k
k=
∑
是由 1 所成的 2m
+ 位數11 11 ,而20
( 10)
m k
k=
∑
− 則為2
2 2 1 2
0
2 1 2 3 1
2 1
1
( 10) 10 10 10 10 1 9 10 9 10 9 10 1
(9 10 ) 1 9090 9091,
m
k m m
k
m m
m
k
k
−
=
− −
−
=
− = − + + − +
= × + × + + × +
= × +
=
∑
∑
此數等於由 m 個 9 與 m 個 0 交錯出現所成的 2m 位數與 1 的和。
3. (1) 依假設, 2 2
α γ
+ =β
=π
,所以得 tan tan 1 4β
=π
= 且tan tan cot 2
α
= π
−γ
=γ
.綜合兩式,得
tan
α
tanγ
= =1 tan2β
. 因此, tanα
、 tanβ
與 tanγ
形成等比數列。(2) 因為
α
、β
與γ
形成等差數列,且 4β
≠π
,所以得 22
α γ
+ =β
≠π
,進一步得 tan(
α γ
+ )=tan 2β
。依和角公式得 tanα
tanγ
2 tanβ
α γ β
+ = .