数字特征

(1)

第四章·数字特征

概率论与数理统计

(2)

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主要内容

数学期望随机变量的平均取值方差随机变量取值偏离平均值的程度协方差两个随机变量的总体偏差相关系数两个随机变量之间的线性相关程度 .

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(3)

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期望

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第一节

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方差

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第二节

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协方差与相关系数

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第三节

(4)

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期望

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第一节

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离散型随机变量的期望

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A

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连续型随机变量的期望

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B

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随机变量函数的期望

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C

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数学期望的性质

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D

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(5)

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离散型随机变量的期望

概念引入：某服装公司生产两种套装，一种是大众装，每件价格 200 元，每月生产 1 万件；另一种是高档装，每件 1800 元，每月生产 100 件．现在问该公司生产的套装平均价格是多少？ · · · ·216

(6)

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离散型随机变量的期望

概念引入：某服装公司生产两种套装，一种是大众装，每件价格 200 元，每月生产 1 万件；另一种是高档装，每件 1800 元，每月生产 100 件．现在问该公司生产的套装平均价格是多少？· · · ·216 .

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(7)

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离散型随机变量的期望

定义 1 设离散型随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = pk, k = 1,2,· · · . 若级数 ∑ k kpk 绝 · 对· 收· 敛· ，则称其和为随机变量 X 的数学期望，记为 E(X)．

(8)

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离散型随机变量的期望

例 2 设甲、乙两射手在各次射击中得分 X 和 Y 的分 布律如下： X 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.5 0.2 Y 1 2 3 4 P 0.2 0.4 0.1 0.3 试比较甲、乙两个射手的技术． .

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(9)

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离散型随机变量的期望

两点分布 X ∼ B(1,p) E(X) = p

二项分布 X ∼ B(n,p) E(X) = np

(10)

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离散型随机变量的期望

例 3 某种产品次品率为 0.1．检验员每天检验 4 次， 每次随机抽取 10 件产品进行检验，如发现次品数大于 1，就调整设备．若各件产品是否为次品是相互独立的，求一天中调整设备次数的期望． .

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(11)

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彩票派奖问题

例子美国波士顿的“Cash WinFall”彩票，每注价格为 2 美元，从 1 – 46 中选择 6 个不重复号码．在连续多期无人中头奖时的派奖规则如下： 2 个号码和开奖号码相同，奖金 2 美元． 3 个号码和开奖号码相同，奖金 50 美元． 4 个号码和开奖号码相同，奖金 1500 美元． 5 个号码和开奖号码相同，奖金 40000 美元． 6 个号码和开奖号码相同，奖金 200 万美元．

(12)

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彩票号码与开奖号码相同的个数为 k 的概率等于 pk = Ck 6C 6_−k 40 C6 46 , k = 0,1,· · · ,6. k X P 0 or 1 0 0.831 2 2 0.146 3 50 0.0211 4 1500 0.001249 5 40000 0.00002562 6 2000000 0.0000001068 .

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(13)

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彩票号码与开奖号码相同的个数为 k 的概率等于 pk = Ck 6C 6_−k 40 C6 46 , k = 0,1,· · · ,6. k X P 0 or 1 0 0.831 2 2 0.146 3 50 0.0211 4 1500 0.001249

(14)

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k X P 0 or 1 0 0.831 2 2 0.146 3 50 0.0211 4 1500 0.001249 5 40000 0.00002562 6 2000000 0.0000001068 每注彩票所得奖金 X 的数学期望 E(X) = 2p2+ 50p3+ 1500p4+ 40000p5+ 2000000p6 = 0.292 + 1.055 + 1.8735 + 1.0248 + 0.2134 =4.4587. .

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(15)

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k X P 0 or 1 0 0.831 2 2 0.146 3 50 0.0211 4 1500 0.001249 5 40000 0.00002562 6 2000000 0.0000001068 每注彩票所得奖金 X 的数学期望 E(X) = 2p2+ 50p3+ 1500p4+ 40000p5+ 2000000p6

(16)

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期望

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第一节

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离散型随机变量的期望

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A

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连续型随机变量的期望

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B

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随机变量函数的期望

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C

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数学期望的性质

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D

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(17)

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连续型随机变量的期望

定义 2 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ƒ_()，若 积分 ∫ +∞ −∞ ƒ()d 绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学期望，记 为 E_(X)．

(18)

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连续型随机变量的期望

例 4 设随机变量 X 的概率密度为 ƒ() = 1 2e −||_, _ _∈_R_, 求 X 的数学期望 E_(X)． .

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(19)

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连续型随机变量的期望

均匀分布 X ∼ U[,b] E(X) = + b 2 指数分布 X ∼ EP(λ) E(X) = 1 λ 正态分布 X ∼ N(μ,σ2) E(X) = μ

(20)

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连续型随机变量的期望

例 5 设某型号电子管的寿命 X 服从指数分布，其平 均寿命为 1000 小时，计算 P{1000 < X _¶1200}．

(21)

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连续型随机变量的期望

练习 2 已知随机变量 X 的概率密度为 ƒ() = 2, 0 <  < 1; 0, otherwise. 求 EX． 练习 3 已知随机变量 X 的概率密度为 ƒ() = + b2, 0 <  < 1; 0, otherwise. 且 EX ₌ 3₅，求未知系数 , b．

(22)

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连续型随机变量的期望

练习 2 已知随机变量 X 的概率密度为 ƒ() = 2, 0 <  < 1; 0, otherwise. 求 EX． 练习 3 已知随机变量 X 的概率密度为 ƒ() = + b2, 0 <  < 1; 0, otherwise. 且 EX ₌ 3₅，求未知系数 , b． .

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(23)

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期望

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第一节

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离散型随机变量的期望

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A

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连续型随机变量的期望

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B

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随机变量函数的期望

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C

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数学期望的性质

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D

(24)

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随机变量函数的数学期望

问题：设随机变量 X 的分布已知，在实际问题中有 时需要计算的量并非 X 的期望，而是 X 的某个函数 Y = g(X) 的期望．如何根据 X 的分布计算 EY？ 直观思路：根据 X 的分布算出 Y 的分布，然后利用定 义计算 EY．但求 Y 的分布的计算一般很麻烦． .

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(25)

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随机变量函数的数学期望

问题：设随机变量 X 的分布已知，在实际问题中有 时需要计算的量并非 X 的期望，而是 X 的某个函数 Y = g(X) 的期望．如何根据 X 的分布计算 EY？ 直观思路：根据 X 的分布算出 Y 的分布，然后利用定 义计算 EY．但求 Y 的分布的计算一般很麻烦．

(26)

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随机变量函数的数学期望

定理 设 X 为随机变量，Y _{= g(X)，则} 1 若 X 为离散型随机变量，分布律为 P{X = k} = pk, k = 1,2,· · · . 则 E(Y) = ∑ k g(k)pk. 2 若 X 为连续型随机变量，概率密度为 ƒ()，则 E(Y) = ∫ +∞ −∞ g()ƒ () d. .

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(27)

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随机变量函数的数学期望

定理 设 X 为随机变量，Y _{= g(X)，则} 1 若 X 为离散型随机变量，分布律为 P{X = k} = pk, k = 1,2,· · · . 则 E(Y) = ∑ k g(k)pk. 2 若 X 为连续型随机变量，概率密度为 ƒ()，则 ∫

(28)

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随机变量函数的数学期望

例 6 设随机变量 X 的概率分布为 X 1 2 3 P 0.2 0.1 0.7 求随机变量函数 Y _{= X}2 _的期望．例 7 设随机变量 X 在区间 _[0,π] 上服从均匀分布， 求随机变量函数 Y _{= sin X 的数学期望．} .

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(29)

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随机变量函数的数学期望

例 6 设随机变量 X 的概率分布为 X 1 2 3 P 0.2 0.1 0.7 求随机变量函数 Y _{= X}2 _的期望．例 7 设随机变量 X 在区间 _[0,π] 上服从均匀分布， 求随机变量函数 Y _{= sin X 的数学期望．}

(30)

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随机变量函数的数学期望

例 8 设随机变量 X _{∼ N(0},1)，求 E(X2)．

(31)

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随机向量函数的数学期望

定理 1 设 _(X,Y) 为随机向量，Z = g(X,Y)，则 1 若 (X,Y) 为离散型随机向量，概率分布为 P{X = ,Y = yj}= pj, ,j = 1,2,· · · . 则 EZ =∑  ∑ j g(,yj)pj. 2 若(X,Y) 为连续型随机向量，概率密度为 ƒ (,y)，则 EZ = ∫ _+∞ −∞ ∫ _+∞ −∞ g(,y)ƒ (,y) d dy.

(32)

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随机向量函数的数学期望

定理 1 设 _(X,Y) 为随机向量，Z = g(X,Y)，则 1 若 (X,Y) 为离散型随机向量，概率分布为 P{X = ,Y = yj}= pj, ,j = 1,2,· · · . 则 EZ =∑  ∑ j g(,yj)pj. 2 若(X,Y) 为连续型随机向量，概率密度为 ƒ (,y)，则 EZ = ∫ _+∞ −∞ ∫ _+∞ −∞ g(,y)ƒ (,y) d dy. .

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(33)

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随机向量函数的数学期望

例 9 设二维离散型随机向量 _(X,Y) 的概率分布如下 表所示，求 Z _{= X}2_{+ Y 的期望．} X Y 1 2 1 1₈ 1₄ 2 1₂ 1₈

(34)

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随机向量函数的数学期望

练习 4 假设 _(X,Y) 的联合分布为 (X,Y) (0,0) (0,2) (1,1) (1,2) (2,1) P 0.15 0.25 0.1 0.2 0.3 求 2X_{− Y 的期望．} .

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(35)

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随机向量函数的数学期望

例 10 设 _(X,Y) 的联合概率密度为 ƒ(,y) = ( + y, 0 ¶ ¶ 1,0¶ y ¶1 0, otherwise 求随机变量函数 Z _{= XY 的数学期望．}

(36)

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期望

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第一节

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离散型随机变量的期望

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A

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连续型随机变量的期望

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B

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随机变量函数的期望

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C

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数学期望的性质

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D

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(37)

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数学期望的性质

设 X,X1,X2,· · · ,Xn 为随机变量，c,k 为常数，则有 1 E(c) = c； 2 E(kX) = kE(X)； 3 E(X₁+ X₂) = E(X₁) + E(X₂)； 推论：E n ∑ k=1 Xk ! = n ∑ k=1 E(Xk)．

(38)

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数学期望的性质

设 X,X1,X2,· · · ,Xn 为随机变量，c,k 为常数，则有 1 E(c) = c； 2 E(kX) = kE(X)； 3 E(X₁+ X₂) = E(X₁) + E(X₂)； 推论：E n ∑ k=1 Xk ! = n ∑ k=1 E(Xk)． .

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(39)

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数学期望的性质

例子 设在某试验中事件 A 的概率为 p，将该试验独 立地进行 n 次．记 X 为 n 次试验中事件 A 发生的总 次数，X 为第  次试验中事件 A 发生的次数，则 X ∼ B(n,p), X ∼ B(1,p),= 1,2,· · · ,n，且 X = X1+ X2+ · · · + Xn 故 EX = EX1+ EX2+ · · · + EXn = np.

(40)

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例 11 将 n 个球放入 M 个盒子中，设每个球落入各 个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的期望． 解答 令 X = ( 1, 第  个盒子中有球； 0, 第  个盒子中无球． 则有 X = X1+ · · · + XM．于是 E(X) = E(X1) + · · · + E(XM)． P{X = 0} = 1− 1 M n , P{X = 1} = 1 − 1− 1 M n , 从而 E_{(X) = M · E(X}) = M h 1−1− _M1ni． .

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(41)

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例 11 将 n 个球放入 M 个盒子中，设每个球落入各 个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的期望． 解答 令 X = ( 1, 第  个盒子中有球； 0, 第  个盒子中无球． 则有 X ₌ X1+ · · · + XM．于是 E(X) = E(X1) + · · · + E(XM)． P{X = 0} = 1− 1 M n , P{X = 1} = 1 − 1− 1 M n , 从而 E_{(X) = M · E(X}) = M h 1−1− _M1ni．

(42)

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例 11 将 n 个球放入 M 个盒子中，设每个球落入各 个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的期望． 解答 令 X = ( 1, 第  个盒子中有球； 0, 第  个盒子中无球． 则有 X = X1+ · · · + XM． 于是 E_{(X) = E(X}1) + · · · + E(XM)． P{X = 0} = 1− 1 M n , P{X = 1} = 1 − 1− 1 M n , 从而 E_{(X) = M · E(X}) = M h 1−1− _M1ni． .

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(43)

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例 11 将 n 个球放入 M 个盒子中，设每个球落入各 个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的期望． 解答 令 X = ( 1, 第  个盒子中有球； 0, 第  个盒子中无球． 则有 X = X1+ · · · + XM．于是 E(X) = E(X1) + · · · + E(XM)． P{X = 0} = 1− 1 M n , P{X = 1} = 1 − 1− 1 M n , 从而 E_{(X) = M · E(X}) = M h 1−1− _M1ni．

(44)

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例 11 将 n 个球放入 M 个盒子中，设每个球落入各 个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的期望． 解答 令 X = ( 1, 第  个盒子中有球； 0, 第  个盒子中无球． 则有 X = X1+ · · · + XM．于是 E(X) = E(X1) + · · · + E(XM)． P{X = 0} = 1− 1 M n , P{X = 1} = 1 − 1− 1 M n , 从而 E_{(X) = M · E(X}) = M h 1−1− _M1ni． .

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(45)

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例 11 将 n 个球放入 M 个盒子中，设每个球落入各 个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的期望． 解答 令 X = ( 1, 第  个盒子中有球； 0, 第  个盒子中无球． 则有 X = X1+ · · · + XM．于是 E(X) = E(X1) + · · · + E(XM)． P{X = 0} = 1− 1 M n , P{X = 1} = 1 − 1− 1 M n ,

(46)

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数学期望的性质

练习 5 从一副标准扑克牌（52 张，不包含大小王）中任意抽取 10 张，求其中红桃张数的期望、脸牌（J,Q,K）张数的期望．（提示：利用抽签的公平性） .

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(47)

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数学期望的性质

4 若 X1,X₂ 相互独立，则有 E(X1X2) = E(X1)E(X2). 推论：若 X1,X2,· · · ,Xn 相互独立，则有 E n ∏ k=1 Xk ! = n ∏ k=1 E(Xk) 注：如果没有相互独立这一条件，上式一般不成立！

(48)

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数学期望的性质

4 若 X1,X₂ 相互独立，则有 E(X1X2) = E(X1)E(X2). 推论：若 X1,X2,· · · ,Xn 相互独立，则有 E n ∏ k=1 Xk ! = n ∏ k=1 E(Xk) 注：如果没有相互独立这一条件，上式一般不成立！ .

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(49)

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数学期望的性质

4 若 X1,X₂ 相互独立，则有 E(X1X2) = E(X1)E(X2). 推论：若 X1,X2,· · · ,Xn 相互独立，则有 E n ∏ k=1 Xk ! = n ∏ k=1 E(Xk)

(50)

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随机变量函数的数学期望

例 12 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且概率密度分 别为 ƒX() = 4e−4,  ≥ 0 0, otherwise; ƒY(y) = 2e−2y, y ≥ 0 0, otherwise. 求 E_{(X + Y) 和 E(XY)．} .

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(51)

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随机变量函数的数学期望

练习 6 设二维离散型随机向量 _(X,Y) 的概率分布如下表所示： X Y 1 2 1 1₉ 2₉ 2 2₉ 4₉ 求 E_{(X + Y) 和 E(XY)．}

(52)

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复习与提高

选择 (2011) 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 E(X) 与 E_{(Y) 存在，记 U = mx{X},Y}，V = min{X,Y}，

则 E_{(UV) =}· · · ·( ) (A) E(U)E(V) (B) E(X)E(Y)

(C) E(U)E(Y) (D) E(X)E(V)

(53)

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期望

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第一节

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方差

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第二节

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协方差与相关系数

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第三节

(54)

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方差

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第二节

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方差的定义

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A

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方差的性质

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B

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常用随机变量的方差

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C

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(55)

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方差的概念

例 1 设甲、乙两射手在各次射击中得分 X 和 Y 的分 布律如下： X 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.5 0.2 Y 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.4 0.3 试比较甲、乙两个射手的技术．

(56)

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方差的概念

在实际问题中，仅靠期望值不能完善地说明随机变量的分布特征．我们常常需要知道分布相对于期望值的离散程度．定义 1 设 X 是一随机变量，若 _{[X − E(X)]}2 _的期 望存在，则称该期望为 X 的方差(Variance)，记为 Vr(X)（或 D(X)），即 Vr(X) := E[X − E(X)]2. 称 pVr(X) 为 X 的标准差(Standard deviation)，记为 σ_(X)． .

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(57)

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方差的概念

在实际问题中，仅靠期望值不能完善地说明随机变量的分布特征．我们常常需要知道分布相对于期望值的离散程度．定义 1 设 X 是一随机变量，若 _{[X − E(X)]}2 _的期 望存在，则称该期望为 X 的方差(Variance)，记为 Vr(X)（或 D(X)），即 Vr(X) := E[X − E(X)]2. p (X) 为 X 的

(58)

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方差

方差刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的偏离程度． 1 若 X 的取值比较分散，则方差较大； 2 若 X 的取值比较集中，则方差较小； 特别地，Vr_{(X) = 0 当且仅当 X 取某个常数的概率} 为 1． .

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(59)

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方差的常用计算公式：Vr_{(X) = E(X}2_{) − [E(X)]}2_. 例 2 已知随机变量 X 的概率分布律为 X 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 求 Vr_(X)．例 3 设连续型随机变量 X 的密度函数为 ƒ() = 2, 0¶  ¶ 1 0, otherwise , 求 Vr_(X)．

(60)

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方差的常用计算公式：Vr_{(X) = E(X}2_{) − [E(X)]}2_. 例 2 已知随机变量 X 的概率分布律为 X 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 求 Vr_(X)．例 3 设连续型随机变量 X 的密度函数为 ƒ() = 2, 0¶  ¶ 1 0, otherwise , 求 Vr_(X)． .

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(61)

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方差的常用计算公式：Vr_{(X) = E(X}2_{) − [E(X)]}2_. 例 2 已知随机变量 X 的概率分布律为 X 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 求 Vr_(X)．例 3 设连续型随机变量 X 的密度函数为 ƒ() = 2, 0¶  ¶ 1 0, otherwise ,

(62)

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练习 1 已知随机变量 X 的概率分布律为 X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 求 Vr_(X)．练习 2 设连续型随机变量 X 的密度函数为 ƒ() = ||, −1¶  ¶ 1 0, otherwise , 求 Vr_(X)． .

.

(63)

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练习 1 已知随机变量 X 的概率分布律为 X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 求 Vr_(X)．练习 2 设连续型随机变量 X 的密度函数为 ƒ() = ||, −1¶  ¶ 1 0, otherwise , 求 Vr_(X)．

(64)

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方差

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第二节

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方差的定义

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A

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方差的性质

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B

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常用随机变量的方差

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C

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(65)

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方差的性质

设 X、Y 为随机变量，c、k 为常数，则有 1 Vr(c) = 0 2 Vr(X + c) = Vr(X) 3 Vr(kX) = k2Vr(X) =⇒ Vr(−X) = Vr(X) 4 若 X 和 Y 相互独立，则有 Vr(X + Y) = Vr(X) + Vr(Y) 注记性质 4 可以推广到多个相互独立的随机变量．

(66)

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方差的性质

设 X、Y 为随机变量，c、k 为常数，则有 1 Vr(c) = 0 2 Vr(X + c) = Vr(X) 3 Vr(kX) = k2Vr(X) =⇒ Vr(−X) = Vr(X) 4 若 X 和 Y 相互独立，则有 Vr(X + Y) = Vr(X) + Vr(Y) 注记性质 4 可以推广到多个相互独立的随机变量． .

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(67)

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方差的性质

设 X、Y 为随机变量，c、k 为常数，则有 1 Vr(c) = 0 2 Vr(X + c) = Vr(X) 3 Vr(kX) = k2Vr(X) =⇒ Vr(−X) = Vr(X) 4 若 X 和 Y 相互独立，则有 Vr(X + Y) = Vr(X) + Vr(Y) 注记性质 4 可以推广到多个相互独立的随机变量．

(68)

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方差的性质

设 X、Y 为随机变量，c、k 为常数，则有 1 Vr(c) = 0 2 Vr(X + c) = Vr(X) 3 Vr(kX) = k2Vr(X) =⇒ Vr(−X) = Vr(X) 4 若 X 和 Y 相互独立，则有 Vr(X + Y) = Vr(X) + Vr(Y) 注记性质 4 可以推广到多个相互独立的随机变量． .

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(69)

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方差的性质

设 X、Y 为随机变量，c、k 为常数，则有 1 Vr(c) = 0 2 Vr(X + c) = Vr(X) 3 Vr(kX) = k2Vr(X) =⇒ Vr(−X) = Vr(X) 4 若 X 和 Y 相互独立，则有 Vr(X + Y) = Vr(X) + Vr(Y) 注记性质 4 可以推广到多个相互独立的随机变量．

(70)

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方差的性质

设 X、Y 为随机变量，c、k 为常数，则有 1 Vr(c) = 0 2 Vr(X + c) = Vr(X) 3 Vr(kX) = k2Vr(X) =⇒ Vr(−X) = Vr(X) 4 若 X 和 Y 相互独立，则有 Vr(X + Y) = Vr(X) + Vr(Y) 注记性质 4 可以推广到多个相互独立的随机变量． .

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(71)

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方差的性质

例 4 连续掷两次骰子，用随机变量 X 表示两次的点 数之和，求 Vr_(X)．

(72)

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例 5 设随机变量 X 的期望和方差分别为 E_{(X) 和} Vr(X)，且 Vr(X) > 0，求 X∗= pX− E(X) Vr(X) 的期望和方差． 通常将 X∗ ₌ _pX− E(X) Vr(X) 称为 X 的标准化的随机变量． .

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(73)

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例 5 设随机变量 X 的期望和方差分别为 E_{(X) 和} Vr(X)，且 Vr(X) > 0，求 X∗= pX− E(X) Vr(X) 的期望和方差． 通常将 X∗ ₌ _pX− E(X) Vr(X) 称为 X 的标准化的随机变量．

(74)

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方差

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第二节

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方差的定义

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A

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方差的性质

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B

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常用随机变量的方差

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C

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(75)

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常用随机变量的方差

随机变量 X E(X) Vr(X) 两点分布 B(1,p) p p(1 − p) 二项分布 B(n,p) np np(1 − p) 泊松分布 P(λ) λ λ 均匀分布 U[,b] ( + b)/2 (b−)2/ 12 指数分布 EP(λ) 1/ λ 1/ λ2

(76)

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常用随机变量的方差

例 6 一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部 件需要调整的概率分别为 0.01,0.02,0.03．设各部 件的状态相互独立，用 X 表示同时需要调整的部件数， 求 X 的期望和方差． .

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(77)

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常用随机变量的方差

练习 3 已知随机变量 X 服从二项分布 B_(n,p)，

EX = 12, Vr(X) = 8 求 n 和 p．

(78)

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复习与提高

复习 1 设 _(X,Y) 的联合概率密度为 ƒ(,y) = 3,  ∈ [0,1],y ∈ [0,]; 0, otherwise. 求 E_{(Y) 和 Vr(Y)．} .

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(79)

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复习与提高

复习 2 假设随机变量 X 的概率密度为 ƒ() = 2+ b + c,  ∈ (0,1); 0, otherwise. 已知 EX _{= 0.5},Vr(X) = 0.15，求 ,b,c．

(80)

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复习与提高

复习 3 设 _(X,Y) 的联合概率分布如下表所示： X Y 1 2 1 1/ 8 1/ 4 2 1/ 2 1/ 8 求 Vr_(X),Vr(Y) 和 Vr(X + Y)． .

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(81)

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期望

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第一节

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方差

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第二节

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协方差与相关系数

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第三节

(82)

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协方差与相关系数

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第三节

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协方差

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A

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B

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(83)

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协方差

对于二维随机向量 _(X,Y)，除了其分量 X 和 Y 的期望 与方差外，还有一些数字特征，用以刻画 X 与 Y 之间 的相关程度，其中最主要的就是下面要讨论的协方差和相关系数．

(84)

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协方差

定义 1 定义：对于二维随机向量 _(X,Y)，称

Cov(X,Y) := E[(X − EX)(Y − EY)]

为 X 与 Y 的协方差(Covariance)．

由定义直接可得：任意随机变量与其自身的协方差就是该随机变量的方差，即

Cov(X,X) = Vr(X).

(85)

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协方差

定义 1 定义：对于二维随机向量 _(X,Y)，称

Cov(X,Y) := E[(X − EX)(Y − EY)]

为 X 与 Y 的协方差(Covariance)．

由定义直接可得：任意随机变量与其自身的协方差就是该随机变量的方差，即

(86)

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协方差的性质

设 X,Y,Z 为随机变量，,b,c,d 为常数，则有

1 Cov(X,Y) = Cov(Y,X)；

2 Cov(X + b,cY + d) = c Cov(X,Y)； 3 Cov(X,Y + Z) = Cov(X,Y) + Cov(X,Z)； 4 Cov(X,Y) = E(XY) − E(X) · E(Y)；

5 Vr(X ± Y) = Vr(X) + Vr(Y) ± 2 Cov(X,Y)．

推论两随机变量相互独立，则协方差等于零；反之未必成立．

(87)

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协方差的性质

2 Cov(X + b,cY + d) = c Cov(X,Y)；

3 Cov(X,Y + Z) = Cov(X,Y) + Cov(X,Z)； 4 Cov(X,Y) = E(XY) − E(X) · E(Y)；

(88)

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协方差的性质

2 Cov(X + b,cY + d) = c Cov(X,Y)； 3 Cov(X,Y + Z) = Cov(X,Y) + Cov(X,Z)；

4 Cov(X,Y) = E(XY) − E(X) · E(Y)；

(89)

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协方差的性质

(90)

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协方差的性质

(91)

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协方差的性质

(92)

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协方差的性质

(93)

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协方差的性质

例 1 设二维离散型随机向量 _(X,Y) 的概率分布如下表所示： X Y 0 1 0 1/ 8 1/ 4 1 1/ 2 1/ 8

(94)

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协方差

练习 1 假设二维随机变量 _(X,Y) 的联合分布为 X Y 0 1 2 0 1₄ 0 1₄ 1 0 1₃ 0 2 ₁₂1 0 ₁₂1 求 Cov_(X,Y)． .

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(95)

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协方差

练习 1 假设二维随机变量 _(X,Y) 的联合分布为 X Y 0 1 2 0 1₄ 0 1₄ 1 0 1₃ 0 2 ₁₂1 0 ₁₂1

(96)

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协方差与相关系数

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第三节

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协方差

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A

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B

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(97)

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定义对于二维随机变量 _(X,Y)，如果两个变量的方差都不为零，称 ρ_X_,_Y := p Cov(X,Y) Vr(X) ·pVr(Y) = Cov(X∗ ,Y∗) 为 X 与 Y 的相关系数，也可以记为 ρ(X,Y)．性质相关系数表示随机变量之间的线性相关程度： 1 | ρX_,_Y |¶ 1． 2 ρ_X_,_Y = −1 当且仅当 Y = X + b， < 0． 3 ρ_X_,_Y = 1 当且仅当 Y = X + b， > 0．

(98)

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定义对于二维随机变量 _(X,Y)，如果两个变量的方差都不为零，称 ρ_X_,_Y := p Cov(X,Y) Vr(X) ·pVr(Y) = Cov(X ∗ ,Y∗) 为 X 与 Y 的相关系数，也可以记为 ρ(X,Y)．性质相关系数表示随机变量之间的线性相关程度： 1 | ρX_,_Y |¶ 1． 2 ρ_X_,_Y = −1 当且仅当 Y = X + b， < 0． 3 ρ_X_,_Y = 1 当且仅当 Y = X + b， > 0． .

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(99)

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定义对于二维随机变量 _(X,Y)，如果两个变量的方差都不为零，称 ρ_X_,_Y := p Cov(X,Y) Vr(X) ·pVr(Y) = Cov(X ∗ ,Y∗) 为 X 与 Y 的相关系数，也可以记为 ρ(X,Y)．性质相关系数表示随机变量之间的线性相关程度： 1 | ρX_,_Y |¶ 1． 2 ρ = −1 当且仅当 Y = X + b， < 0．

(100)

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(101)

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(103)

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独立性和相关性

例 2 二维随机向量 _(X,Y) 的服从以下分布律 X Y −1 0 1 −1 1/8 1/8 1/8 0 1/ 8 0 1/ 8 1 1/ 8 1/ 8 1/ 8 判断 X,Y 的独立性和相关性． .

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(105)

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独立性和相关性

例 3 设 _(X,Y) 服从 D = {(,y) : 2+ y2 ¶ 1} 上的均匀分布，即概率密度函数为 ƒ(,y) = ( ₁ π,  2_{+ y}2 _¶₁ 0, otherwise 求 ρ_X_,_Y．注记 在这个例子中，X 和 Y 不相关，但是两者不是 相互独立的．

(106)

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独立性和相关性

例 3 设 _(X,Y) 服从 D = {(,y) : 2+ y2 ¶ 1} 上的均匀分布，即概率密度函数为 ƒ(,y) = ( ₁ π,  2_{+ y}2 _¶₁ 0, otherwise 求 ρ_X_,_Y．注记 在这个例子中，X 和 Y 不相关，但是两者不是 相互独立的． .

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(107)

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(109)

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(111)

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(113)

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例 6 (投资风险组合) 设有 1 百万用于投资甲、乙两 种证券：若将资金 t 投资于甲证券，将资金 1_{− t 投} 资于乙证券，则称 _(t,1− t) 为一个投资组合． 用随机变量 X 和 Y 分别表示投资甲、乙证券的收益 率．已知 X 和 Y 的期望（代表平均收益）分别为 μ1 和 μ2，方差（代表风险）分别为 σ2 1 和 σ 2 2，相关系数 为 ρ． 1 求投资组合的平均收益和风险． 2 求投资风险最小的投资组合． 在第二问中假设 σ2 1 = 0.25、σ 2 2 = 0.49、ρ = 0.6．

(114)

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例 6 (投资风险组合) 设有 1 百万用于投资甲、乙两 种证券：若将资金 t 投资于甲证券，将资金 1_{− t 投} 资于乙证券，则称 _(t,1− t) 为一个投资组合． 用随机变量 X 和 Y 分别表示投资甲、乙证券的收益 率．已知 X 和 Y 的期望（代表平均收益）分别为 μ1 和 μ2，方差（代表风险）分别为 σ2 1 和 σ 2 2，相关系数 为 ρ． 1 求投资组合的平均收益和风险． 2 求投资风险最小的投资组合． 在第二问中假设 σ2 1 = 0.25、σ 2 2 = 0.49、ρ = 0.6． .

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(115)

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例 6 (投资风险组合) 设有 1 百万用于投资甲、乙两 种证券：若将资金 t 投资于甲证券，将资金 1_{− t 投} 资于乙证券，则称 _(t,1− t) 为一个投资组合． 用随机变量 X 和 Y 分别表示投资甲、乙证券的收益 率．已知 X 和 Y 的期望（代表平均收益）分别为 μ1 和 μ2，方差（代表风险）分别为 σ2 1 和 σ 2 2，相关系数 为 ρ． 1 求投资组合的平均收益和风险． 2 求投资风险最小的投资组合． 在第二问中假设 σ2 1 = 0.25、σ 2 2 = 0.49、ρ = 0.6．

(116)

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例 6 (投资风险组合) 设有 1 百万用于投资甲、乙两 种证券：若将资金 t 投资于甲证券，将资金 1_{− t 投} 资于乙证券，则称 _(t,1− t) 为一个投资组合． 用随机变量 X 和 Y 分别表示投资甲、乙证券的收益 率．已知 X 和 Y 的期望（代表平均收益）分别为 μ1 和 μ2，方差（代表风险）分别为 σ2 1 和 σ 2 2，相关系数 为 ρ． 1 求投资组合的平均收益和风险． 2 求投资风险最小的投资组合． 在第二问中假设 σ2 1 = 0.25、σ 2 2 = 0.49、ρ = 0.6． .

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(117)

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复习与提高

选择 (2001) 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分 别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关 系数等于· · · ·( ) (A) −1 (B) 0 (C) 1₂ (D) 1