第一章随机事件和概率

(1)

第一章随机事件和概率

 







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





 







 







 













 

















 



 



 

 







贝努利概型贝叶斯公式

/ )

(

独立性全概公式

和乘法公式条件概率

减法加法五大公式

几何概型古典概型

随机事件样本空间基本事件

随机试验

B C BC

C B

A P A E



（ 1 ）排列组合公式

)!

(

!

n m P_mⁿ m

 

从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。

)!

(

!

n m n C_mⁿ m

 

从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。

（ 2 ）加法和乘法原理

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。

（ 3 ）一些常见排列

重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

顺序问题

（ 4 ）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，

但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（ 5 ）基本事件、样本空间和事件

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用



^来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用



表示。

(2)

一个事件就是由



中的部分点（基本事件



）组成的集合。通常用大写字母

A，B，C，…表示事件，它们是



^的子集。



为必然事件，Ø 为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，

必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。

（ 6 ）事件的关系与运算

①关系：

如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

B A



如果同时有A



B^，B



A^{，则称事件}A与事件B等价，或称A等于B： A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：A_B_，或者_AB_。AB=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，

称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率：

 

^







1

1 i

i i

i A

A

AB



AB^，AB



AB

（ 7 ）概率的公理化定义

设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：

1° 0≤P(A)≤1，

2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件A¹，A²，…有



^







 



 





1 1

) (

i i i

i P A

A P



常称为可列（完全）可加性。

则称 P(A)为事件A的概率。

（ 8 ）古典概型

1°

   

₁

, 

₂



n



，

2° P P P _n n

1 ) ( )

( )

( 

₁

 

₂

   

。

设任一事件A，它是由



₁

, 

₂



_m组成的，则有

P(A)=

 ⁽ 

1

⁾



⁽ 

2

⁾



⁽ 

m

⁾ 

⁼P

( 

₁

) 

P

( 

₂

) 





P

( 

_m

)

n



m

基本事件总数所包含的基本事件数



A

(3)

（ 9 ）几何概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，

) (

) ) (

(  

L A A L

P 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)

（11）减法公式

P(A-B)=P(A)-P(AB)

当 B



A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时，P(B)=1- P(B)

（12）条件概率

定义设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称

) (

A P

AB

P 为事件 A 发生条件下，事

件 B 发生的条件概率，记为P

(

B

/

A

)  ) (

) (

A P

AB

P 。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如 P(Ω/B)=1



^P(B /A)=1-P(B/A)

（13）乘法公式

乘法公式：P

(

AB

) 

P

(

A

)

P

(

B

/

A

)

更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有

2

(A1A

P _…Aⁿ) P(A¹)P(A²|A¹)P(A³|A¹A²)_……P(Aⁿ|A¹A²_… )

1

An _。

（14）独立性

①两个事件的独立性

设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B)_{，则称事件}A、B是相互独立的。

若事件A、B相互独立，且P(A)0_，则有

) ) (

( ) ( ) ( ) (

) ) (

|

(

P B

A P

B P A P A P

AB A P

B

P

  

若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。

必然事件和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。

Ø 与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么 A、B、C 相互独立。

对于 n 个事件类似。

（15）全概公式

设事件B¹,B²,,Bⁿ_满足

1°B¹,B²,,Bⁿ_{两两互不相容，}P(Bⁱ)0(i1,2,,n)_，

2°



ⁿ

i

Bi

A

1



，则有

(4)

)

| ( ) ( )

(A P B1 P A B1 P B2 P A B2 P Bn P A Bn

P    _。

（16）贝叶斯公式

设事件B¹，B²，…，Bⁿ_及A满足

1° B¹，B²，…，Bⁿ_{两两互不相容，}^P⁽^Bi⁾_>0，i



_{1，2，…，}n_，

2°



ⁿ

i

Bi

A

1



，P(A)0_，则





_n

j

j j

i i

i

B A P B P

B A P B A P

B P

1

) / ( ) (

) / ( ) ) (

/

(

，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

) (

B_i

P ，（i

 1

_，2，…，n_{），通常叫先验概率。}P

(

B_i

/

A

)

，（i

 1

_，2，…，

n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了

“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型

我们作了n_{次试验，且满足}

 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；

 n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；

 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n_{重伯努利试验。}

用p_{表示每次试验}A发生的概率，则A发生的概率为1 pq_，用Pⁿ(k)_表示n重伯努利试验中A出现k(0k n)_{次的概率，}

k n k k

n k np q

P ⁽ ⁾^

C

^ ，k 0,1,2,,n_。

第二章随机变量及其分布









 











 









) ( ) (

) ( )

( F b F a

A P b

X a

A X

随机事件随机变量

基本事件



(5)

（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为

P(X=xk)=pk，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：



, , , ,

, , ,

| , )

(

¹ ²

2 1

k k

k p p p

x x x x X P

X



_。

显然分布律应满足下列条件：

（1）p^k0_，k 1,2,_{，（2）}



^



1

k

pk

。

（2）连续型随机变量的分布密度

设F(x)_{是随机变量}X 的分布函数，若存在非负函数f(x)_{，对任意实数}x_，有







^x f x dx x

F

( ) ( )

，

则称X 为连续型随机变量。f(x)_称为X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面 4 个性质：

1° f(x)0_。 2°



^ f

( dx

x

)  1

。

（3）离散与连续型随机变量的关系

dx x f dx x X x P x X

P

(  )  (    )  ( )

积分元 f

(

x

)

dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X  )x^k  p^k_在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

(6)

（4）分布函数

设X 为随机变量，x是任意实数，则函数

) ( )

(

x P X x

F

 

称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。

) ( ) ( )

(

a X b F b F a

P

   

可以得到 X 落入区间

( b

a

, ]

的概率。分布函数F

(x )

表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°

0 

F

(

x

)  1 ,   

x

 

；

2° F

(x )

^{是单调不减的函数，即}x¹x²^时，有F

(

x¹

) 

F

(

x²

)

^；

3°

(  )  lim ( )  0



 F x

F

x

，

(  )  lim ( )  1



 F x

F

x

；

4° F

(

x

 0 ) 

F

(

x

)

^，即F

(x )

是右连续的；

5° P

(

X



x

) 

F

(

x

) 

F

(

x

 0 )

。对于离散型随机变量，







x x

k

p x

F( ) ；

对于连续型随机变量，









^x f x dx x

F

( ) ( )

。

（5）八大分布

0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q

二项分布

在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为 p。事件A发生

的次数是随机变量，设为X ，则X 可能取值为

0 , 1 , 2 ,  ,

n。

k n k k

n k Cn p q

P k X

P

(  )  ( ) 

^ ^， ^其 ^中

n k

p p

q

 1  , 0   1 ,  0 , 1 , 2 ,  ,

^，

则称随机变量 X 服从参数为n ， p 的二项分布。记为

) , (

~

B n p

X 。

当n1^时，P

(

X



k

) 

p^kq¹^^k^，k 0.1^{，这就是（0-1）分} 布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

(7)

泊松分布

设随机变量X 的分布律为



_



e

k k X P

k

) !

(

^，



0^，k

 0 , 1 , 2 

^，

则称随机变量X 服从参数为



的泊松分布，记为X

~  (  )

或者 P(



^)。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

超几何分布

min( , )

, 2 , 1 , , 0 )

(

l M n

l k

C C k C

X

P _n

N k n

M N k M



 



^^ ^

随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。

几何分布 P

(

X



k

) 

q^k^¹p

,

k

 1 , 2 , 3 ,

，其中 p≥0，q=1-p。

随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。

均匀分布

设随机变量X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f(x)_在[a，b]

上为常数

a b



1

，即



 



  , 0

1 , )

(

x b a

f 其他，

则称随机变量X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。

分布函数为







^x f x dx x

F

( ) ( )

当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（x¹

, x

²_{）内的概率为} a

b x x x

X x

P 

 



 ₂ ² ¹

1 )

( 。

0， x<a，

a, b

a x



a≤x≤b

1， x>b。

a≤x≤b

(8)

指数分布

其中

  0

，则称随机变量 X 服从参数为



_{的指数分布。}

X 的分布函数为

记住积分公式：

!

0

n dx e xⁿ ^x 







 ) (x f

x

,

e ^



^ x

 0

_,

0, x

 0

_,

 ) (x F

,

1 

e^^^x x

 0

_, ,

0 x<0。

(9)

正态分布

设随机变量X 的密度函数为

2 2

2 ) (

2 ) 1

( ^







 



x

e x

f ，

  

x

 

_，

其中



_、

  0

_{为常数，则称随机变量}X 服从参数为



_、



的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为X

~

N

(  , 

²

)

_。 )

(x

f _{具有如下性质：}

1° f(x)_{的图形是关于}x



_对称的；

2° 当x



_时，



  2 ) 1 ( 

f 为最大值；

若X

~

N

(  , 

²

)

_，则_X _{的分布函数为} dt

e x

F ^x



 t

 



²

2

2 ) (

2 ) 1

(

^





_。。

参数



0_、

  1

时的正态分布称为标准正态分布，记为 )

1 , 0 (

~ N

X _{，其密度函数记为}

2

2 ) 1 (

x

e

x  ^

 

，

  

x

 

，分布函数为







 



x t

dt e

x ²

2

2 ) 1

(



^。

)

(x 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ(-x)＝1-Φ(x)且 Φ(0)＝

2 1

。

如果X~N

(  , 

²

)

，则







X ~N

( 0 , 1 )

。

 

 



 



 



 



 







 







₁

2 2

1

)

(

x x

x X x

P 。

（6）分位

数下分位数：P

(

X

 

_

) ^＝ 

；上分位数：P

(

X

 

_

) ＝ 

。

（7）函数

分布离散型

已知

X

^{的分布列为}



 , , , ,

, , , , )

(

1 2

2 1

n n

i p p p

x x

x x X P

X



^，

) ( X

g

Y



的分布列（y_i



g

(

x_i

)

互不相等）如下：



 , , , ,

), ( , ), ( ), ( )

(

1 2

2 1

n n

i p p p

x g x

g x g y Y P

Y



^，

若有某些g

(

xi

)

相等，则应将对应的p_i相加作为g

(

xi

)

的概率。

(10)

连续型先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)＝P(g(X)≤

y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。

第三章二维随机变量及其分布



















































































































分布分布

分布三大统计分布

函数分布

正态分布常见二维分布均匀分布

独立性条件分布边缘分布

连续型分布密度离散型分布律联合分布

F t

X X X Z

Y X Y Z

X

n 2

2

1, , )

min(

max, )

, (







(11)

（ 1 ）联合分布

离散型

如果二维随机向量



（X，Y）的所有可能取值为至多可列

个有序对（x,y），则称



为离散型随机量。

设



=（X，Y）的所有可能取值为

(

x_i

,

y_j

)(

i

,

j

 1 , 2 ,  )

，且事件{



=

(

x_i

,

y_j

)

}的概率为pij,,称

) , 2 , 1 , ( )}

, ( ) ,

{(

X Y



x y



p i j

 

P _i _j _ij

为



=（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

Y

X y1 y2 … yj …

x1 p11 p12 … p1j …

x2 p21 p22 … p2j …

    

xi pi1 …

pij ^…

    

这里pij具有下面两个性质：

（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；

（2）



^ij

 1 .

i j

p

连续型

对于二维随机向量

  (

X

,

Y

)

，如果存在非负函数

) ,

)(

,

(

x y

 

x

   

y

 

f ，使对任意一个其邻边

分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}

有







D

dxdy y x f D

Y X

P{( , ) } ( , ) ,

则称



为连续型随机向量；并称 f(x,y)为



=（X，Y）的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。

分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：

（1） f(x,y)≥0;

（2）

 

^





 f(x,y)dxdy .1

(12)

（ 2 ）二维随机变量的本质

) (

) ,

(

X



x Y



y

 

X



x



Y



y



（ 3 ）联合分布函数

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数

} , { ) ,

(

x y P X x Y y

F

  

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 }

) ( ,

) (

| ) ,

{(



₁



₂ X



₁ xY



₂  y 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：

（1）

0 

F

(

x

,

y

)  1 ;

（2）F（x,y）分别对 x 和 y 是非减的，即

当 x2>x1时，有 F（x2,y）≥F(x1,y);当 y2>y1时，有 F(x,y2) ≥F(x,y1);

（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即

);

0 , ( ) , ( ), , 0 ( ) ,

(

x y



F x



y F x y



F x y



F

（4）F

(  ,  ) 

F

(  ,

y

) 

F

(

x

,  )  0 ,

F

(  ,  )  1 .

（5）对于x₁x₂，y₁ y₂，

0 ) (

) (

)

(x₂ y₂ F x₂ y₁ F x₁ y₂ F x₁ y₁ 

F ，，，， .

（ 4 ）离散型与连续型的关系

dxdy y x f dy y Y y dx x X x P y Y x X

P

(  ，  )  (    ，    )  ( ， )

（ 5 ）边缘分布

离散型

X 的边缘分布为

) , 2 , 1 , ( )

(    

 

 P X x p i j

P _ij

j i

i ；

Y 的边缘分布为

) , 2 , 1 , ( )

(   



 

 P Y y p i j

P _ij

i j

j 。

连续型

X 的边缘分布密度为



^

 f x y dy； x

f_X( ) ( , ) Y 的边缘分布密度为

. ) , ( )

(y 



^ f x y dx f_Y

(13)

（ 6 ）条件分布

离散型

在已知X=xi的条件下，Y 取值的条件分布为

；





i ij i

j p

x p X y Y

P

( | )

在已知Y=yj的条件下，X 取值的条件分布为

, )

| (

j ij j

i p

y p Y x X P





连续型

在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为

) (

) , ) (

|

(

f y

y x y f

x f

Y



；

在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为

) (

) , ) (

|

(

f x

y x x f

y f

X



（ 7 ）独立性

一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)

离散型 p^ij



pⁱ_p_^j

有零不独立

连续型

f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分布

, 1

2 ) 1 , (

2

2 2 2

1 2 1 2

1 1 2

2 1

) )(

( 2 )

1 ( 2

1

2















 



 



 



 



 

 

  ^



















y y x x

e y

x f



＝0

随机变量的函数

若 X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g 为连续函数，则：

h（X1，X2,…Xm）和 g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。

例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。

(14)

（ 8 ）二维均匀分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

 



 



 



, 其他 0

) , 1 (

) , (

D y S x

y x f

D

其中 SD为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）～

U（D）。

例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。

y 1

D1

O 1 x

图 3.1

y 1

O 2 x

图 3.2

y d

c

O a b x 图 3.3

D2

1

D3

(15)

（ 9 ）二维正态分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

, 1

2 ) 1 , (

2

2 2 2

1 2 1 2

1 1 2

2 1

) )(

( 2 )

1 ( 2

1

2



















 



 







 

 

  ^



















y y x x

e y

x f

其中



₁

, 

₂_,



₁

 0 , 

₂

 0 , |  |  1

是 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，

记为（X，Y）～N（



₁,



₂_,



₁²,



₂²,



).

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

即 X～N（



₁,



₁²),Y ~N(



₂_,



₂²).

但是若 X～N（



₁,



₁²),Y ~N(



₂_,



₂²)，(X，Y)未必是二维正态分布。

（10）函数分布

Z=X+Y

根据定义计算：F_Z(z)P(Zz)P(X Y z)

对于连续型，fZ(z)＝^



f x z xdx





 ) , (

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（



₁

 

₂

, 

₁²

 

₂²）。

n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。





i i

Ci



^，

^ 

i i

Ci² ²

2



Z=max,min(

X1,X2,…Xn)

若 X₁

,

X₂X_n 相互独立，其分布函数分别为

) ( )

( )

(

2

1 x F x F x

Fx

，

x



xn ，则 Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：

) ( ) ( ) ( )

(

1 2

max x F x F x F x

F



x



x



xn

)]

( 1 [ )]

( 1 [ 1 )

(

1 2

min x F x F x F x

F

  

x

 

x

 

xn

(16)



2分布

设 n 个随机变量X₁

,

X₂

,



,

X_n相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和





ⁿ

i

Xi

W

1 2

的分布密度为

 



 







 

 



 





. 0 ,

0 , 0 2 2

1 )

(

2 1 2 2

u u e u u n

f

u n

n

我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的



²^{分布，记为 W～}



²

(

n

)

^，

其中

2

⁰

.

1

2 e dx

n ^^xⁿ^ __x



 



 



 

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。



2分布满足可加性：设

),

2

(

i

i n

Y

 

则

).

(

~

₁ ₂

1

2

k k

i

i n n n

Y

Z

    



 

t 分布

设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且

), (

~ ), 1 , 0 (

~

N Y ² n

X



可以证明函数

n Y T X

/



的概率密度为

2 1 2

1 2 2

1 )

(

 



 



 



 







 



 



n

n t n n

n t

f



(  t    ).

我们称随机变量 T 服从自由度为 t 分布，记为 T～t(n)。

) ( )

1

(

n t n

t __

 

_

(17)

F 分布

设 X

~ 

²

(

n₁

),

Y

~ 

²

(

n₂

)

，且 X 与 Y 独立，可以证明

2 1

/ /

n Y

n

F  X 的概率密度函数为















 



 



 



 







 







 







 



 





 



0 , 0

0 , 1

2 2

2 )

(

2

2 1 1

2 2

2 1 2 1

2

1 ₁ ₂

1 1

y

y n y

y n n n n n

n n

y f

n n n

n

我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2

的 F 分布，记为 F～f(n1, n2).

) , ( ) 1 , (

1 2 2

1

1 n n F n n

F







第四章随机变量的数字特征























切比雪夫不等式矩

方差期望一维随机变量































协方差矩阵相关系数

协方差方差期望

二维随机变量

（ 1 ） 离散型 连续型

(18)

一维随机变量的数字特征

期望

期望就是平均值

设X 是离散型随机变量，其分布律为



X x_k



p_k

P

 

，

n k

 1 , 2 ,  ,

，

  



ⁿ

k k kP x X

E

1

（要求绝对收敛）

设X 是连续型随机变量，其概率密度为^f

 

^x ^,

 

X 



^xf

 

x dx E

（要求绝对收敛）

函数的期望 Y  g

 

X

   

k n

k

k p

x g Y

E





1

 

X g Y 

 

Y 



^g

   

x f x dx E

方差

 

X  D



^X ^E

 

^X



²

E



,

标准差

 

X  D

 

X



,

  ^   ^   

k

k E X p

x X

D ² D

 

X 

     



^ xE X ² f x dx

(19)

矩 ①对于正整数k_{，称随机变量}

X _的^k_{次幂的数学期望为}X

的k_{阶原点矩，记为}v^k_，即

  ^ _



i i k i k

k E X x p

v

， k

 1 , 2 , 

_。

②对于正整数k_{，称随机变量}

X _与E

 

X _差的k _次幂的数学期望为X _的k_{阶中心矩，}

记为



^k_，即

 

^k

k E X E X



 

 ^



i

i k

i E X p

x

 , 2 ,

 1

k _。

①对于正整数k_{，称随机变量} X _的^k 次幂的数学期望为

X 的k_{阶原点矩，记为}v^k_，

即

 

^k

k E X

v



=



^x^kf

 

x dx

，

 , 2 ,

 1

k _。

②对于正整数k_{，称随机变量}

X _与E

 

X _差的k_次幂的数学期望为X _的^k_{阶中心矩，}

记为



^k_，即

 

^K

k E X E X



 

   

,





^ xE X ^k f x dx

 , 2 ,

 1

k _。

切比雪夫不等式

设随机变量X^{具有数学期望}E

 

X 



^，方差D

 

X

 

²^，则对

于任意正数



，有下列切比雪夫不等式

 

₂²



 

  



X P

切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情况下，对概率



^X ^

^

^

^ 

P 的一种估计，它在理论上有重要意义。

（2）

期望的性质

（1）E

 

C C; （2）E

 

CX CE

 

X

（3）E



X Y



E

   

X E Y ，

   



 

 





ⁿ

i

i i n

i i

iX C E X

C E

1 1

（4）E

 

XY  E

   

X EY ，充分条件：X 和Y独立；充要条件：X和Y不相关。

(20)

（3）

方差的性质

（1）D

 

C 0；E

 

C C

（2）D

 

aX



a²D

 

X ^；E

 

aX aE

 

X

（3）^D



^aX



^b

 

^a²^D

 

^X ^；^E



^aX ^b



^aE

 

^X ^b

（4）^D

 

^X

^

^E

 

^X²

^

^E²

 

^X

（5）^D



^X ^^Y



^ ^D

 

^X ^^D

 

^Y ^{，充分条件：}^X^和^Y^独立；

充要条件：X 和Y不相关。

^D



^X ^Y



 ^D

 

^X ^D

 

^Y  2^E

 

^X ^E

 

^X

 

^Y ^E

 

^Y

 

，无条件成立。

而^E



^X ^^Y



^^E

   

^X ^^E ^Y ^{，无条件成立。}

（4）

常见分布的期望和方差

期望方差

1

0 分布B ,

 

1 p p p



1 p



二项分布B ,

 

n p np np



1 p



泊松分布P

    

几何分布^G

 

^p ¹_p 2

1 p

 p

超几何分布



n M N



H , , N

nM





 







 



 

   1 1

N n N N M N

nM

均匀分布U

 

a,b ^a^₂^b

 

12 a2

b

指数分布^e

  ^ _ ¹ ¹

₂



正态分布

 ^ ^, ^

²



N

 

²

x2分布 n 2n

t分布 0

 2 

2 



n n

n

(21)

（5）

二维随机变量的数字特征

期望

  

 



ⁿ

i i ip x X

E

1

  

 

 ⁿ

j

j jp y Y

E

1

 

X 



^xf

 

x dx

E _X

 

Y 



^yf

 

y dy

E _Y

函数的期望 ^E



^G



^X^,^Y

 

^

 



i j

ij j

i y P

x G

,

 



^G ^X ^Y



^

E ,

   

 

^





 G x,y f x,y dxdy 方差

  ^   ^   

^

i

i E X p

x X

D ²

 



_ 



  

 j

j

j EY p

x Y

D ²

 

X  D

     



^ xE X ² f_X x dx

 

^Y ^

D

     



^ yEY ² f_Y y dy 协方差对于随机变量X ^与Y，称它们的二阶混合中心矩



₁₁^为X ^与Y^的协

方差或相关矩，记为



_XY^或^cov



^{X ,}^Y



^，即

 

     



^X ^E ^X ^Y ^E ^Y



XY 



₁₁ E  



。

与记号



_XY^相对应，X ^与Y^的方差D

 

X ^与D

 

Y ^{也可分别记为}



XX^与



_YY。

第一章 随机事件和概率