第一章 随机事件和概率
贝努利概型 贝叶斯公式
/ )
(
独立性 全概公式
和乘法公式 条件概率
减法 加法 五大公式
几何概型 古典概型
随机事件 样本空间 基本事件
随机试验
B C BCC B
C B
A P A E
( 1 ) 排 列 组合公式
)!
(
!
n m Pmn m
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!
(
!
!
n m n Cmn m
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。( 2 ) 加 法 和 乘 法 原 理
加法原理(两种方法均能完成此事):m+n
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,第二个步骤可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m×n 种方法来完成。
( 3 ) 一 些 常见排列
重复排列和非重复排列(有序)
对立事件(至少有一个)
顺序问题
( 4 ) 随 机 试 验 和 随 机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,
但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试 验。
试验的可能结果称为随机事件。
( 5 ) 基 本 事件、样本 空 间 和 事 件
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有 如下性质:
①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用
来表示。基本事件的全体,称为试验的样本空间,用
表示。一个事件就是由
中的部分点(基本事件
)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是
的子集。
为必然事件,Ø 为不可能事件。不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,
必然事件(Ω)的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
( 6 ) 事 件 的 关 系 与 运算
①关系:
如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
B A
如果同时有A
B,B
A,则称事件A与事件B等价,或称A等于B: A=B。A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A 与 B的差,记为A-B,也可 表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生:AB,或者AB。AB=Ø,则表示 A 与 B 不可能同时发生,
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件,记为A。它表示 A 不发生 的事件。互斥未必对立。
②运算:
结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率:
1
1 i
i i
i A
A
AB
AB,AB
AB( 7 ) 概 率 的 公 理 化 定义
设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数 P(A),若满 足下列三个条件:
1° 0≤P(A)≤1,
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件A1,A2,…有
1 1
) (
i i i
i P A
A P
常称为可列(完全)可加性。
则称 P(A)为事件A的概率。
( 8 ) 古 典 概型
1°
1,
2
n
,2° P P P n n
1 ) ( )
( )
(
1
2
。设任一事件A,它是由
1,
2
m组成的,则有P(A)=
(
1)
(
2)
(
m)
=P(
1)
P(
2)
P(
m)
n
m基本事件总数 所包含的基本事件数
A( 9 ) 几 何 概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A,
) (
) ) (
(
L A A L
P 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。
(10)加法 公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当 P(AB)=0 时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)减法 公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B
A 时,P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时,P(B)=1- P(B)(12)条件 概率
定义 设 A、B 是两个事件,且 P(A)>0,则称
) (
) (
A P
AB
P 为事件 A 发生条件下,事
件 B 发生的条件概率,记为P
(
B/
A) ) (
) (
A P
AB
P 。
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1
P(B /A)=1-P(B/A)(13)乘法 公式
乘法公式:P
(
AB)
P(
A)
P(
B/
A)
更一般地,对事件 A1,A2,…An,若 P(A1A2…An-1)>0,则有
2
(A1A
P …An) P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2… )
1
An 。
(14)独立 性
①两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立,且P(A)0,则有
) ) (
( ) ( ) ( ) (
) ) (
|
(
P BA P
B P A P A P
AB A P
B
P
若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独 立。
必然事件和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
(15)全概 公式
设事件B1,B2,,Bn满足
1°B1,B2,,Bn两两互不相容,P(Bi)0(i1,2,,n),
2°
ni
Bi
A
1
, 则有
)
| ( ) ( )
| ( ) ( )
| ( ) ( )
(A P B1 P A B1 P B2 P A B2 P Bn P A Bn
P 。
(16)贝叶 斯公式
设事件B1,B2,…,Bn及A满足
1° B1,B2,…,Bn两两互不相容,P(Bi)>0,i
1,2,…,n,2°
ni
Bi
A
1
,P(A)0, 则
nj
j j
i i
i
B A P B P
B A P B A P
B P
1
) / ( ) (
) / ( ) ) (
/
(
,i=1,2,…n。此公式即为贝叶斯公式。
) (
BiP ,(i
1
,2,…,n),通常叫先验概率。P(
Bi/
A)
,(i 1
,2,…,n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了
“由果朔因”的推断。
(17)伯努 利概型
我们作了n次试验,且满足
每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;
n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;
每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与 否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1 pq,用Pn(k)表 示n重伯努利试验中A出现k(0k n)次的概率,
k n k k
n k np q
P ( )
C
,k 0,1,2,,n。第二章 随机变量及其分布
) ( ) (
) ( )
( F b F a
A P b
X a
A X
随机事件 随机变量
基本事件
(1)离散 型 随 机 变 量 的 分 布 律
设离散型随机变量X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事 件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk,k=1,2,…,
则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出:
, , , ,
, , ,
| , )
(
1 22 1
k k
k p p p
x x x x X P
X
。显然分布律应满足下列条件:
(1)pk0,k 1,2,, (2)
1
1
k
pk
。
(2)连续 型 随 机 变 量 的 分 布 密度
设F(x)是随机变量X 的分布函数,若存在非负函数f(x),对任意实数x,有
x f x dx xF
( ) ( )
,
则称X 为连续型随机变量。f(x)称为X 的概率密度函数或密度函数,简称概 率密度。
密度函数具有下面 4 个性质:
1° f(x)0。 2°
f( dx
x) 1
。
(3)离散 与 连 续 型 随 机 变 量 的关系
dx x f dx x X x P x X
P
( ) ( ) ( )
积分元 f
(
x)
dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X )xk pk在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布 函数
设X 为随机变量,x是任意实数,则函数
) ( )
(
x P X xF
称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数。
) ( ) ( )
(
a X b F b F aP
可以得到 X 落入区间( b
a, ]
的概率。分布 函数F(x )
表示随机变量落入区间(– ∞,x]内的概率。分布函数具有如下性质:
1°
0
F(
x) 1 ,
x
;2° F
(x )
是单调不减的函数,即x1x2时,有 F(
x1)
F(
x2)
;3°
( ) lim ( ) 0
F x
F
x
,
( ) lim ( ) 1
F x
F
x
;
4° F
(
x 0 )
F(
x)
,即F(x )
是右连续的;5° P
(
X
x)
F(
x)
F(
x 0 )
。 对于离散型随机变量,
x x
k
k
p x
F( ) ;
对于连续型随机变量,
x f x dx xF
( ) ( )
。(5)八大 分布
0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q
二项分布
在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为 p。事件A发生
的次数是随机变量,设为X ,则X 可能取值为
0 , 1 , 2 , ,
n。k n k k
n k Cn p q
P k X
P
( ) ( )
, 其 中n k
p p
q
1 , 0 1 , 0 , 1 , 2 , ,
,则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为n , p 的 二 项 分 布 。 记 为
) , (
~
B n pX 。
当n1时,P
(
X
k)
pkq1k,k 0.1,这就是(0-1)分 布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。泊松分布
设随机变量X 的分布律为
ek k X P
k
) !
(
,
0,k 0 , 1 , 2
,则称随机变量X 服从参数为
的泊松分布,记为X~ ( )
或 者 P(
)。泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞)。
超几何分布
min( , )
, 2 , 1 , , 0 )
(
l M nl k
C C k C
X
P n
N k n
M N k M
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布,记为 H(n,N,M)。
几何分布 P
(
X
k)
qk1p,
k 1 , 2 , 3 ,
,其中 p≥0,q=1-p。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布,记为 G(p)。
均匀分布
设随机变量X 的值只落在[a,b]内,其密度函数 f(x)在[a,b]
上为常数
a b
1
,即
, 0
1 , )
(
x b af 其他,
则称随机变量X 在[a,b]上服从均匀分布,记为 X~U(a,b)。
分布函数为
x f x dx xF
( ) ( )
当 a≤x1<x2≤b 时,X 落在区间(x1
, x
2)内的概率为 ab x x x
X x
P
2 2 1
1 )
( 。
0, x<a,
a, b
a x
a≤x≤b
1, x>b。
a≤x≤b
指数分布
其中
0
,则称随机变量 X 服从参数为
的指数分布。X 的分布函数为
记住积分公式:
!
0
n dx e xn x
) (x f
x
,
e
x 0
,0, x
0
, ) (x F
,
1
ex x 0
, ,0 x<0。
正态分布
设随机变量X 的密度函数为
2 2
2 ) (
2 ) 1
(
x
e x
f ,
x
,其中
、 0
为常数,则称随机变量X 服从参数为
、
的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为X
~
N( ,
2)
。 )(x
f 具有如下性质:
1° f(x)的图形是关于x
对称的;2° 当x
时,
2 ) 1 (
f 为最大值;
若X
~
N( ,
2)
,则X 的分布函数为 dte x
F x
t
22
2 ) (
2 ) 1
(
。。参数
0、 1
时的正态分布称为标准正态分布,记 为 )1 , 0 (
~ N
X ,其密度函数记为
2
2
2 ) 1 (
x
e
x
,
x
, 分布函数为
x t
dt e
x 2
2
2 ) 1
(
。)
(x 是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。
Φ(-x)=1-Φ(x)且 Φ(0)=
2 1
。如果X~N
( ,
2)
,则
X ~N
( 0 , 1 )
。
12 2
1
)
(
x xx X x
P 。
(6)分位
数 下分位数:P
(
X
) =
; 上分位数:P(
X
) =
。(7)函数
分布 离散型
已知
X
的分布列为
, , , ,
, , , , )
(
1 22 1
n n
i p p p
x x
x x X P
X
,) ( X
gY
的分布列(yi
g(
xi)
互不相等)如下:
, , , ,
), ( , ), ( ), ( )
(
1 22 1
n n
i p p p
x g x
g x g y Y P
Y
,若有某些g
(
xi)
相等,则应将对应的pi相加作为g(
xi)
的概率。连续型 先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)=P(g(X)≤
y),再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。
第三章 二维随机变量及其分布
分布 分布
分布 三大统计分布
函数分布
正态分布 常见二维分布 均匀分布
独立性 条件分布 边缘分布
连续型分布密度 离散型分布律 联合分布
F t
X X X Z
Y X Y Z
X
n 2
2
1, , )
min(
max, )
, (
( 1 ) 联 合 分布
离散型
如果二维随机向量
(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称
为离散型随机量。设
=(X,Y)的所有可能取值为(
xi,
yj)(
i,
j 1 , 2 , )
, 且事件{
=(
xi,
yj)
}的概率为pij,,称) , 2 , 1 , ( )}
, ( ) ,
{(
X Y
x y
p i j
P i j ij
为
=(X,Y)的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分 布有时也用下面的概率分布表来表示:Y
X y1 y2 … yj …
x1 p11 p12 … p1j …
x2 p21 p22 … p2j …
xi pi1 …
pij …
这里pij具有下面两个性质:
(1)pij≥0(i,j=1,2,…);
(2)
ij 1 .
i j
p
连续型
对 于 二 维 随 机 向 量
(
X,
Y)
, 如 果 存 在 非 负 函 数) ,
)(
,
(
x y
x
y
f ,使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域 D,即 D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}
有
D
dxdy y x f D
Y X
P{( , ) } ( , ) ,
则称
为连续型随机向量;并称 f(x,y)为
=(X,Y)的分布 密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面两个性质:
(1) f(x,y)≥0;
(2)
f(x,y)dxdy .1
( 2 ) 二 维 随 机 变 量 的本质
) (
) ,
(
X
x Y
y
X
x
Y
y
( 3 ) 联 合 分布函数
设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数 x,y,二元函数
} , { ) ,
(
x y P X x Y yF
称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函 数。
分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 , 以 事 件 }
) ( ,
) (
| ) ,
{(
1
2 X
1 xY
2 y 的概率为函数值的一个实值函 数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质:(1)
0
F(
x,
y) 1 ;
(2)F(x,y)分别对 x 和 y 是非减的,即
当 x2>x1时,有 F(x2,y)≥F(x1,y);当 y2>y1时,有 F(x,y2) ≥F(x,y1);
(3)F(x,y)分别对 x 和 y 是右连续的,即
);
0 , ( ) , ( ), , 0 ( ) ,
(
x y
F x
y F x y
F x y
F(4)F
( , )
F( ,
y)
F(
x, ) 0 ,
F( , ) 1 .
(5)对于x1x2,y1 y2,
0 ) (
) (
) (
)
(x2 y2 F x2 y1 F x1 y2 F x1 y1
F , , , , .
( 4 ) 离 散 型 与 连 续 型的关系
dxdy y x f dy y Y y dx x X x P y Y x X
P
( , ) ( , ) ( , )
( 5 ) 边 缘 分布
离散型
X 的边缘分布为
) , 2 , 1 , ( )
(
P X x p i j
P ij
j i
i ;
Y 的边缘分布为
) , 2 , 1 , ( )
(
P Y y p i j
P ij
i j
j 。
连续型
X 的边缘分布密度为
f x y dy; x
fX( ) ( , ) Y 的边缘分布密度为
. ) , ( )
(y
f x y dx fY( 6 ) 条 件 分布
离散型
在已知X=xi的条件下,Y 取值的条件分布为
;
i ij i
j p
x p X y Y
P
( | )
在已知Y=yj的条件下,X 取值的条件分布为
, )
| (
j ij j
i p
y p Y x X P
连续型
在已知 Y=y 的条件下,X 的条件分布密度为
) (
) , ) (
|
(
f yy x y f
x f
Y
;在已知 X=x 的条件下,Y 的条件分布密度为
) (
) , ) (
|
(
f xy x x f
y f
X
( 7 ) 独 立 性
一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)
离散型 pij
pipj有零不独立
连续型
f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断,充要条件:
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
二 维 正 态 分 布
, 1
2 ) 1 , (
2
2 2 2
1 2 1 2
1 1 2
2 1
) )(
( 2 )
1 ( 2
1
2
y y x x
e y
x f
=0随 机 变 量 的 函数
若 X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立, h,g 为连续函数,则:
h(X1,X2,…Xm)和 g(Xm+1,…Xn)相互独立。
特例:若 X 与 Y 独立,则:h(X)和 g(Y)独立。
例如:若 X 与 Y 独立,则:3X+1 和 5Y-2 独立。
( 8 ) 二 维 均匀分布
设随机向量(X,Y)的分布密度函数为
, 其他 0
) , 1 (
) , (
D y S x
y x f
D
其中 SD为区域 D 的面积,则称(X,Y)服从 D 上的均匀分布,记为(X,Y)~
U(D)。
例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。
y 1
D1
O 1 x
图 3.1
y 1
O 2 x
图 3.2
y d
c
O a b x 图 3.3
D2
1
D3
( 9 ) 二 维 正态分布
设随机向量(X,Y)的分布密度函数为
, 1
2 ) 1 , (
2
2 2 2
1 2 1 2
1 1 2
2 1
) )(
( 2 )
1 ( 2
1
2
y y x x
e y
x f
其中
1,
2,
1 0 ,
2 0 , | | 1
是 5 个参数,则称(X,Y)服从二维正态分 布,记为(X,Y)~N(
1,
2,
12,
22,
).由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布,
即 X~N(
1,
12),Y ~N(
2,
22).但是若 X~N(
1,
12),Y ~N(
2,
22),(X,Y)未必是二维正态分布。(10)函数 分布
Z=X+Y
根据定义计算:FZ(z)P(Zz)P(X Y z)
对于连续型,fZ(z)=
f x z xdx
) , (
两个独立的正态分布的和仍为正态分布(
1
2,
12
22)。n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。
i i
Ci
,
i i
Ci2 2
2
Z=max,min(
X1,X2,…Xn)
若 X1
,
X2Xn 相 互 独 立 , 其 分 布 函 数 分 别 为) ( )
( )
(
21 x F x F x
Fx
,
x
xn ,则 Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布 函数为:) ( ) ( ) ( )
(
1 2max x F x F x F x
F
x
x
xn)]
( 1 [ )]
( 1 [ )]
( 1 [ 1 )
(
1 2min x F x F x F x
F
x
x
xn
2分布设 n 个随机变量X1
,
X2,
,
Xn相互独立,且服从标准正态分 布,可以证明它们的平方和
ni
Xi
W
1 2
的分布密度为
. 0 ,
0
, 0 2 2
1 )
(
2 1 2 2
u u e u u n
f
u n
n
我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的
2分布,记为 W~
2(
n)
,其中
2
0.
1
2 e dx
n xn x
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量 分布中的一个重要参数。
2分布满足可加性:设),
2
(
i
i n
Y
则
).
(
~
1 21
2
k k
i
i n n n
Y
Z
t 分布
设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,且
), (
~ ), 1 , 0 (
~
N Y 2 nX
可以证明函数
n Y T X
/
的概率密度为
2 1 2
1 2 2
1 )
(
n
n t n n
n t
f
( t ).
我们称随机变量 T 服从自由度为 t 分布,记为 T~t(n)。
) ( )
1
(
n t nt
F 分布
设 X
~
2(
n1),
Y~
2(
n2)
, 且 X 与 Y 独 立 , 可 以 证 明2 1
/ /
n Y
n
F X 的概率密度函数为
0 , 0
0 , 1
2 2
2 )
(
2
2 1 1
2 2
2 1 2 1
2
1 1 2
1 1
y
y n y
y n n n n n
n n
y f
n n n
n
我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1,第二个自由度为 n2
的 F 分布,记为 F~f(n1, n2).
) , ( ) 1 , (
1 2 2
1
1 n n F n n
F
第四章 随机变量的数字特征
切比雪夫不等式 矩
方差 期望 一维随机变量
协方差矩阵 相关系数
协方差 方差 期望
二维随机变量
( 1 ) 离散型 连续型
一 维 随 机 变 量 的 数 字 特 征
期望
期望就是平均值
设X 是离散型随机变量,其 分布律为
X xk
pkP
,
n k
1 , 2 , ,
,
nk k kP x X
E
1
(要求绝对收敛)
设X 是连续型随机变量,其 概率密度为f
x ,
X
xf
x dx E(要求绝对收敛)
函数的期望 Y g
X
k nk
k p
x g Y
E
1
X g Y
Y
g
x f x dx E方差
X D
X E
X
2E
,标准差
X D
X
,
k
k
k E X p
x X
D 2 D
X
xE X 2 f x dx矩 ①对于正整数k,称随机变量
X 的k次幂的数学期望为X
的k阶原点矩,记为vk,即
i i k i k
k E X x p
v
, k
1 , 2 ,
。②对于正整数k,称随机变量
X 与E
X 差的k 次幂的数 学期望为X 的k阶中心矩,记为
k,即
kk E X E X
i
i k
i E X p
x
, 2 ,
1
k 。
①对于正整数k,称随机变量 X 的k 次 幂 的 数 学 期 望 为
X 的k阶原点矩,记为vk,
即
kk E X
v
=
xkf
x dx,
, 2 ,
1
k 。
②对于正整数k,称随机变量
X 与E
X 差的k次幂的数 学期望为X 的k阶中心矩,记为
k,即
Kk E X E X
,
xE X k f x dx , 2 ,
1
k 。
切比雪夫不等式
设随机变量X具有数学期望E
X
,方差D
X
2,则对于任意正数
,有下列切比雪夫不等式
22
X P切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情况下,对概率
X
P 的一种估计,它在理论上有重要意义。
(2)
期 望 的 性 质
(1)E
C C; (2)E
CX CE
X(3)E
X Y
E
X E Y ,
ni
i i n
i i
iX C E X
C E
1 1
(4)E
XY E
X EY ,充分条件:X 和Y独立;充要条件:X和Y不相关。(3)
方 差 的 性 质
(1)D
C 0;E
C C(2)D
aX
a2D
X ;E
aX aE
X(3)D
aX
b
a2D
X ;E
aX b
aE
X b(4)D
X
E
X2
E2
X(5)D
X Y
D
X D
Y ,充分条件:X和Y独立;充要条件:X 和Y不相关。
D
X Y
D
X D
Y 2E
X E
X
Y E
Y
,无条件成立。而E
X Y
E
X E Y ,无条件成立。(4)
常 见 分 布 的 期 望 和 方 差
期望 方差
1
0 分布B ,
1 p p p
1 p
二项分布B ,
n p np np
1 p
泊松分布P
几何分布G
p 1p 21 p
p
超几何分布
n M N
H , , N
nM
1 1
N n N N M N
nM
均匀分布U
a,b a2b
12 a2
b
指数分布e
1 1
2
正态分布
,
2
N
2x2分布 n 2n
t分布 0
2
2
n nn
(5)
二 维 随 机 变 量 的 数 字 特 征
期望
ni i ip x X
E
1
n
j
j jp y Y
E
1
X
xf
x dxE X
Y
yf
y dyE Y
函数的期望 E
G
X,Y
i j
ij j
i y P
x G
,
G X Y
E ,
G x,y f x,y dxdy 方差
i
i
i E X p
x X
D 2
jj
j EY p
x Y
D 2
X D
xE X 2 fX x dx
Y D
yEY 2 fY y dy 协方差 对于随机变量X 与Y,称它们的二阶混合中心矩
11为X 与Y的协方差或相关矩,记为
XY或cov
X ,Y
,即
X E X Y E Y
XY
11 E
。与记号