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第一章 随机事件和概率

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Academic year: 2022

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(1)

第一章 随机事件和概率

 

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 

 

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

 



 

 

 

 

贝努利概型 贝叶斯公式

/ )

(

独立性 全概公式

和乘法公式 条件概率

减法 加法 五大公式

几何概型 古典概型

随机事件 样本空间 基本事件

随机试验

B C BC

C B

C B

A P A E

( 1 ) 排 列 组合公式

)!

(

!

n m Pmn m

 

从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。

)!

(

!

!

n m n Cmn m

 

从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。

( 2 ) 加 法 和 乘 法 原 理

加法原理(两种方法均能完成此事):m+n

某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。

乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n

某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,第二个步骤可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m×n 种方法来完成。

( 3 ) 一 些 常见排列

重复排列和非重复排列(有序)

对立事件(至少有一个)

顺序问题

( 4 ) 随 机 试 验 和 随 机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,

但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试 验。

试验的可能结果称为随机事件。

( 5 ) 基 本 事件、样本 空 间 和 事 件

在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有 如下性质:

①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;

②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用

来表示。

基本事件的全体,称为试验的样本空间,用

表示。

(2)

一个事件就是由

中的部分点(基本事件

)组成的集合。通常用大写字母

A,B,C,…表示事件,它们是

的子集。

为必然事件,Ø 为不可能事件。

不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,

必然事件(Ω)的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。

( 6 ) 事 件 的 关 系 与 运算

①关系:

如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):

B A

如果同时有A

BB

A,则称事件A与事件B等价,或称A等于B: A=B。

A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A 与 B的差,记为A-B,也可 表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生:AB,或者AB。AB=Ø,则表示 A 与 B 不可能同时发生,

称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

-A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件,记为A。它表示 A 不发生 的事件。互斥未必对立。

②运算:

结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率:

 

1

1 i

i i

i A

A

AB

ABAB

AB

( 7 ) 概 率 的 公 理 化 定义

设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数 P(A),若满 足下列三个条件:

1° 0≤P(A)≤1,

2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件A1A2,…有

 

 

1 1

) (

i i i

i P A

A P

常称为可列(完全)可加性。

则称 P(A)为事件A的概率。

( 8 ) 古 典 概型

   

1

, 

2

n

P P P n n

1 ) ( )

( )

( 

1

 

2

   

设任一事件A,它是由

1

, 

2

m组成的,则有

P(A)=

(

1

)

(

2

)



(

m

)

=P

( 

1

) 

P

( 

2

) 

P

( 

m

)

n

m

基本事件总数 所包含的基本事件数

A

(3)

( 9 ) 几 何 概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A,

) (

) ) (

(  

L A A L

P 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。

(10)加法 公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当 P(AB)=0 时,P(A+B)=P(A)+P(B)

(11)减法 公式

P(A-B)=P(A)-P(AB)

当 B

A 时,P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时,P(B)=1- P(B)

(12)条件 概率

定义 设 A、B 是两个事件,且 P(A)>0,则称

) (

) (

A P

AB

P 为事件 A 发生条件下,事

件 B 发生的条件概率,记为P

(

B

/

A

)  ) (

) (

A P

AB

P

条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。

例如 P(Ω/B)=1

P(B /A)=1-P(B/A)

(13)乘法 公式

乘法公式:P

(

AB

) 

P

(

A

)

P

(

B

/

A

)

更一般地,对事件 A1,A2,…An,若 P(A1A2…An-1)>0,则有

2

(A1A

P An) P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2 )

1

An

(14)独立 性

①两个事件的独立性

设事件AB满足P(AB)P(A)P(B),则称事件AB是相互独立的。

若事件AB相互独立,且P(A)0,则有

) ) (

( ) ( ) ( ) (

) ) (

|

(

P B

A P

B P A P A P

AB A P

B

P

  

若事件AB相互独立,则可得到ABABAB也都相互独 立。

必然事件和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。

Ø 与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设 ABC 是三个事件,如果满足两两独立的条件,

P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么 A、B、C 相互独立。

对于 n 个事件类似。

(15)全概 公式

设事件B1,B2,,Bn满足

B1,B2,,Bn两两互不相容,P(Bi)0(i1,2,,n)

n

i

Bi

A

1

, 则有

(4)

)

| ( ) ( )

| ( ) ( )

| ( ) ( )

(A P B1 P A B1 P B2 P A B2 P Bn P A Bn

P   

(16)贝叶 斯公式

设事件B1B2,…,BnA满足

B1B2,…,Bn两两互不相容,P(Bi)>0,i

1,2,…,n

n

i

Bi

A

1

P(A)0

n

j

j j

i i

i

B A P B P

B A P B A P

B P

1

) / ( ) (

) / ( ) ) (

/

(

,i=1,2,…n。

此公式即为贝叶斯公式。

) (

Bi

P ,(i

 1

2,…,n),通常叫先验概率。P

(

Bi

/

A

)

,(i

 1

2,…,

n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了

“由果朔因”的推断。

(17)伯努 利概型

我们作了n次试验,且满足

 每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;

n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;

 每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与 否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。

p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1 pq,用Pn(k)n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率,

k n k k

n k np q

P ( )

C

k 0,1,2,,n

第二章 随机变量及其分布





 





 





) ( ) (

) ( )

( F b F a

A P b

X a

A X

随机事件 随机变量

基本事件

(5)

(1)离散 型 随 机 变 量 的 分 布 律

设离散型随机变量X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事 件(X=Xk)的概率为

P(X=xk)=pk,k=1,2,…,

则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出:

, , , ,

, , ,

| , )

(

1 2

2 1

k k

k p p p

x x x x X P

X

显然分布律应满足下列条件:

(1)pk0k 1,2,, (2)

1

1

k

pk

(2)连续 型 随 机 变 量 的 分 布 密度

F(x)是随机变量X 的分布函数,若存在非负函数f(x),对任意实数x,有

x f x dx x

F

( ) ( )

则称X 为连续型随机变量。f(x)称为X 的概率密度函数或密度函数,简称概 率密度。

密度函数具有下面 4 个性质:

f(x)0

 f

( dx

x

)  1

(3)离散 与 连 续 型 随 机 变 量 的关系

dx x f dx x X x P x X

P

(  )  (    )  ( )

积分元 f

(

x

)

dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X  )xkpk在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。

(6)

(4)分布 函数

X 为随机变量,x是任意实数,则函数

) ( )

(

x P X x

F

 

称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数。

) ( ) ( )

(

a X b F b F a

P

   

可以得到 X 落入区间

( b

a

, ]

的概率。分布 函数F

(x )

表示随机变量落入区间(– ∞,x]内的概率。

分布函数具有如下性质:

0 

F

(

x

)  1 ,   

x

 

F

(x )

是单调不减的函数,即x1x2时,有 F

(

x1

) 

F

(

x2

)

(  )  lim ( )  0



F x

F

x

(  )  lim ( )  1



F x

F

x

F

(

x

 0 ) 

F

(

x

)

,即F

(x )

是右连续的;

P

(

X

x

) 

F

(

x

) 

F

(

x

 0 )

。 对于离散型随机变量,

x x

k

k

p x

F( ) ;

对于连续型随机变量,

x f x dx x

F

( ) ( )

(5)八大 分布

0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q

二项分布

n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为 p。事件A发生

的次数是随机变量,设为X ,则X 可能取值为

0 , 1 , 2 ,  ,

n

k n k k

n k Cn p q

P k X

P

(  )  ( ) 

n k

p p

q

 1  , 0   1 ,  0 , 1 , 2 ,  ,

则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为np 的 二 项 分 布 。 记 为

) , (

~

B n p

X

n1时,P

(

X

k

) 

pkq1kk 0.1,这就是(0-1)分 布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。

(7)

泊松分布

设随机变量X 的分布律为

e

k k X P

k

) !

(

0k

 0 , 1 , 2 

则称随机变量X 服从参数为

的泊松分布,记为X

~  (  )

或 者 P(

)。

泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞)。

超几何分布

min( , )

, 2 , 1 , , 0 )

(

l M n

l k

C C k C

X

P n

N k n

M N k M

 

随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布,记为 H(n,N,M)。

几何分布 P

(

X

k

) 

qk1p

,

k

 1 , 2 , 3 ,

,其中 p≥0,q=1-p。

随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布,记为 G(p)。

均匀分布

设随机变量X 的值只落在[a,b]内,其密度函数 f(x)在[a,b]

上为常数

a b

1

,即



 

  , 0

1 , )

(

x b a

f 其他,

则称随机变量X 在[a,b]上服从均匀分布,记为 X~U(a,b)。

分布函数为

x f x dx x

F

( ) ( )

当 a≤x1<x2≤b 时,X 落在区间(x1

, x

2)内的概率为 a

b x x x

X x

P

 

2 2 1

1 )

( 。

0, x<a,

a, b

a x

a≤x≤b

1, x>b。

a≤x≤b

(8)

指数分布

其中

  0

,则称随机变量 X 服从参数为

的指数分布。

X 的分布函数为

记住积分公式:

!

0

n dx e xn x



 ) (x f

x

,

e

x

 0

,

0, x

 0

,

 ) (x F

,

1 

ex x

 0

, ,

0 x<0。

(9)

正态分布

设随机变量X 的密度函数为

2 2

2 ) (

2 ) 1

(

x

e x

f

  

x

 

其中

  0

为常数,则称随机变量X 服从参数为

的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为X

~

N

(  , 

2

)

)

(x

f 具有如下性质:

f(x)的图形是关于x

对称的;

2° 当x

时,

  2 ) 1 ( 

f 为最大值;

X

~

N

(  , 

2

)

,则X 的分布函数为 dt

e x

F x

t

2

2

2 ) (

2 ) 1

(



。。

参数

0

  1

时的正态分布称为标准正态分布,记 为 )

1 , 0 (

~ N

X ,其密度函数记为

2

2

2 ) 1 (

x

e

x

 

  

x

 

, 分布函数为

x t

dt e

x 2

2

2 ) 1

(

)

(x 是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。

Φ(-x)=1-Φ(x)且 Φ(0)=

2 1

如果X~N

(  , 

2

)

,则

X ~N

( 0 , 1 )

 

 

 

 

 

 

 

1

2 2

1

)

(

x x

x X x

P

(6)分位

数 下分位数:P

(

X

 

)

; 上分位数:P

(

X

 

) = 

(7)函数

分布 离散型

已知

X

的分布列为

 , , , ,

, , , , )

(

1 2

2 1

n n

i p p p

x x

x x X P

X

) ( X

g

Y

的分布列(yi

g

(

xi

)

互不相等)如下:

 , , , ,

), ( , ), ( ), ( )

(

1 2

2 1

n n

i p p p

x g x

g x g y Y P

Y

若有某些g

(

xi

)

相等,则应将对应的pi相加作为g

(

xi

)

的概率。

(10)

连续型 先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)=P(g(X)≤

y),再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。

第三章 二维随机变量及其分布

































































分布 分布

分布 三大统计分布

函数分布

正态分布 常见二维分布 均匀分布

独立性 条件分布 边缘分布

连续型分布密度 离散型分布律 联合分布

F t

X X X Z

Y X Y Z

X

n 2

2

1, , )

min(

max, )

, (

(11)

( 1 ) 联 合 分布

离散型

如果二维随机向量

(X,Y)的所有可能取值为至多可列

个有序对(x,y),则称

为离散型随机量。

=(X,Y)的所有可能取值为

(

xi

,

yj

)(

i

,

j

 1 , 2 ,  )

, 且事件{

=

(

xi

,

yj

)

}的概率为pij,,称

) , 2 , 1 , ( )}

, ( ) ,

{(

X Y

x y

p i j

 

P i j ij

=(X,Y)的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分 布有时也用下面的概率分布表来表示:

Y

X y1 y2 … yj

x1 p11 p12 … p1j

x2 p21 p22 … p2j

    

xi pi1

pij

    

这里pij具有下面两个性质:

(1)pij≥0(i,j=1,2,…);

(2)



ij

 1 .

i j

p

连续型

对 于 二 维 随 机 向 量

  (

X

,

Y

)

, 如 果 存 在 非 负 函 数

) ,

)(

,

(

x y

 

x

   

y

 

f ,使对任意一个其邻边

分别平行于坐标轴的矩形区域 D,即 D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}



D

dxdy y x f D

Y X

P{( , ) } ( , ) ,

则称

为连续型随机向量;并称 f(x,y)为

=(X,Y)的分布 密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。

分布密度 f(x,y)具有下面两个性质:

(1) f(x,y)≥0;

(2)

 





f(x,y)dxdy .1

(12)

( 2 ) 二 维 随 机 变 量 的本质

) (

) ,

(

X

x Y

y

 

X

x

Y

y

( 3 ) 联 合 分布函数

设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数 x,y,二元函数

} , { ) ,

(

x y P X x Y y

F

  

称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函 数。

分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 , 以 事 件 }

) ( ,

) (

| ) ,

{(

1

2 X

1xY

2y 的概率为函数值的一个实值函 数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质:

(1)

0 

F

(

x

,

y

)  1 ;

(2)F(x,y)分别对 x 和 y 是非减的,即

当 x2>x1时,有 F(x2,y)≥F(x1,y);当 y2>y1时,有 F(x,y2) ≥F(x,y1);

(3)F(x,y)分别对 x 和 y 是右连续的,即

);

0 , ( ) , ( ), , 0 ( ) ,

(

x y

F x

y F x y

F x y

F

(4)F

(  ,  ) 

F

(  ,

y

) 

F

(

x

,  )  0 ,

F

(  ,  )  1 .

(5)对于x1x2y1y2

0 ) (

) (

) (

)

(x2 y2F x2 y1F x1 y2F x1 y1

F , , , , .

( 4 ) 离 散 型 与 连 续 型的关系

dxdy y x f dy y Y y dx x X x P y Y x X

P

(  ,  )  (    ,    )  ( , )

( 5 ) 边 缘 分布

离散型

X 的边缘分布为

) , 2 , 1 , ( )

(    

 

P X x p i j

P ij

j i

i

Y 的边缘分布为

) , 2 , 1 , ( )

(   

 

P Y y p i j

P ij

i j

j

连续型

X 的边缘分布密度为



f x y dyx

fX( ) ( , ) Y 的边缘分布密度为

. ) , ( )

(y

 f x y dx fY

(13)

( 6 ) 条 件 分布

离散型

在已知X=xi的条件下,Y 取值的条件分布为

i ij i

j p

x p X y Y

P

( | )

在已知Y=yj的条件下,X 取值的条件分布为

, )

| (

j ij j

i p

y p Y x X P

连续型

在已知 Y=y 的条件下,X 的条件分布密度为

) (

) , ) (

|

(

f y

y x y f

x f

Y

在已知 X=x 的条件下,Y 的条件分布密度为

) (

) , ) (

|

(

f x

y x x f

y f

X

( 7 ) 独 立 性

一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)

离散型 pij

pipj

有零不独立

连续型

f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断,充要条件:

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二 维 正 态 分 布

, 1

2 ) 1 , (

2

2 2 2

1 2 1 2

1 1 2

2 1

) )(

( 2 )

1 ( 2

1

2





 





 

 



y y x x

e y

x f

=0

随 机 变 量 的 函数

若 X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立, h,g 为连续函数,则:

h(X1,X2,…Xm)和 g(Xm+1,…Xn)相互独立。

特例:若 X 与 Y 独立,则:h(X)和 g(Y)独立。

例如:若 X 与 Y 独立,则:3X+1 和 5Y-2 独立。

(14)

( 8 ) 二 维 均匀分布

设随机向量(X,Y)的分布密度函数为

 

 

 

, 其他 0

) , 1 (

) , (

D y S x

y x f

D

其中 SD为区域 D 的面积,则称(X,Y)服从 D 上的均匀分布,记为(X,Y)~

U(D)。

例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。

y 1

D1

O 1 x

图 3.1

y 1

O 2 x

图 3.2

y d

c

O a b x 图 3.3

D2

1

D3

(15)

( 9 ) 二 维 正态分布

设随机向量(X,Y)的分布密度函数为

, 1

2 ) 1 , (

2

2 2 2

1 2 1 2

1 1 2

2 1

) )(

( 2 )

1 ( 2

1

2





 





 

 



y y x x

e y

x f

其中

1

, 

2,

1

 0 , 

2

 0 , |  |  1

是 5 个参数,则称(X,Y)服从二维正态分 布,

记为(X,Y)~N(

1,

2,

12,

22,

).

由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布,

即 X~N(

1,

12),Y ~N(

2,

22).

但是若 X~N(

1,

12),Y ~N(

2,

22),(X,Y)未必是二维正态分布。

(10)函数 分布

Z=X+Y

根据定义计算:FZ(z)P(Zz)P(XYz)

对于连续型,fZ(z)=

f x z xdx

 ) , (

两个独立的正态分布的和仍为正态分布(

1

 

2

, 

12

 

22)。

n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。

i i

Ci

i i

Ci2 2

2

Z=max,min(

X1,X2,…Xn)

X1

,

X2Xn 相 互 独 立 , 其 分 布 函 数 分 别 为

) ( )

( )

(

2

1 x F x F x

Fx

x

xn ,则 Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布 函数为:

) ( ) ( ) ( )

(

1 2

max x F x F x F x

F

x

x

xn

)]

( 1 [ )]

( 1 [ )]

( 1 [ 1 )

(

1 2

min x F x F x F x

F

  

x

 

x

 

xn

(16)

2分布

设 n 个随机变量X1

,

X2

,

,

Xn相互独立,且服从标准正态分 布,可以证明它们的平方和

n

i

Xi

W

1 2

的分布密度为

 

 

 

 

 

. 0 ,

0

, 0 2 2

1 )

(

2 1 2 2

u u e u u n

f

u n

n

我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的

2分布,记为 W~

2

(

n

)

其中

2

0

.

1

2 e dx

n xn x

 

 

 

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量 分布中的一个重要参数。

2分布满足可加性:设

),

2

(

i

i n

Y

 

).

(

~

1 2

1

2

k k

i

i n n n

Y

Z

    

 

t 分布

设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,且

), (

~ ), 1 , 0 (

~

N Y 2 n

X

可以证明函数

n Y T X

/

的概率密度为

2 1 2

1 2 2

1 )

(



 

 



 





 

 

n

n t n n

n t

f

(  t    ).

我们称随机变量 T 服从自由度为 t 分布,记为 T~t(n)。

) ( )

1

(

n t n

t

 

(17)

F 分布

X

~ 

2

(

n1

),

Y

~ 

2

(

n2

)

, 且 X 与 Y 独 立 , 可 以 证 明

2 1

/ /

n Y

n

FX 的概率密度函数为





 

 

 



 



 





 





 

 

0 , 0

0 , 1

2 2

2 )

(

2

2 1 1

2 2

2 1 2 1

2

1 1 2

1 1

y

y n y

y n n n n n

n n

y f

n n n

n

我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1,第二个自由度为 n2

的 F 分布,记为 F~f(n1, n2).

) , ( ) 1 , (

1 2 2

1

1 n n F n n

F

第四章 随机变量的数字特征









切比雪夫不等式 矩

方差 期望 一维随机变量









协方差矩阵 相关系数

协方差 方差 期望

二维随机变量

( 1 ) 离散型 连续型

(18)

一 维 随 机 变 量 的 数 字 特 征

期望

期望就是平均值

X 是离散型随机变量,其 分布律为

X xk

pk

P

 

n k

 1 , 2 ,  ,

  

n

k k kP x X

E

1

(要求绝对收敛)

X 是连续型随机变量,其 概率密度为f

 

x ,

 

X

xf

 

x dx E

(要求绝对收敛)

函数的期望 Yg

 

X

   

k n

k

k p

x g Y

E

1

 

X g Y

 

Y

g

   

x f x dx E

方差

 

XD

X E

 

X

2

E

,

标准差

 

XD

 

X

,

      

k

k

k E X p

x X

D 2 D

 

X

     

 xE X 2 f x dx

(19)

矩 ①对于正整数k,称随机变量

X k次幂的数学期望为X

k阶原点矩,记为vk,即

 

i i k i k

k E X x p

v

k

 1 , 2 , 

②对于正整数k,称随机变量

X E

 

X 差的k 次幂的数 学期望为X k阶中心矩,

记为

k,即

 

 

k

kE XE X

 

 

i

i k

i E X p

x

 , 2 ,

 1

k

①对于正整数k,称随机变量 X k 次 幂 的 数 学 期 望 为

Xk阶原点矩,记为vk

 

k

k E X

v

=

xkf

 

x dx

 , 2 ,

 1

k

②对于正整数k,称随机变量

X E

 

X 差的k次幂的数 学期望为X k阶中心矩,

记为

k,即

 

 

K

kE XE X

 

   

,

 xE X k f x dx

 , 2 ,

 1

k

切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望E

 

X

,方差D

 

X

 

2,则对

于任意正数

,有下列切比雪夫不等式

 

22

 

  

X P

切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情况下,对概率

X

P 的一种估计,它在理论上有重要意义。

(2)

期 望 的 性 质

(1)E

 

CC; (2)E

 

CXCE

 

X

(3)E

XY

E

   

XE Y

   

 

 

n

i

i i n

i i

iX C E X

C E

1 1

(4)E

 

XYE

   

X EY ,充分条件:XY独立;充要条件:XY不相关。

(20)

(3)

方 差 的 性 质

(1)D

 

C 0;E

 

CC

(2)D

 

aX

a2D

 

X E

 

aXaE

 

X

(3)D

aX

b

 

a2D

 

X E

aXb

aE

 

Xb

(4)D

 

X

E

 

X2

E2

 

X

(5)D

X Y

D

 

X D

 

Y ,充分条件:XY独立;

充要条件:XY不相关。

D

XY

D

 

XD

 

Y  2E

 

XE

 

X

 

YE

 

Y

 

,无条件成立。

E

X Y

E

   

X E Y ,无条件成立。

(4)

常 见 分 布 的 期 望 和 方 差

期望 方差

1

0 分布B ,

 

1 p p p

1 p

二项分布B ,

 

n p np np

1 p

泊松分布P

    

几何分布G

 

p 1p 2

1 p

p

超几何分布

n M N

H , , N

nM

 

 

 

   1 1

N n N N M N

nM

均匀分布U

 

a,b a2b

 

12 a2

b

指数分布e

  1 1

2

正态分布

,

2

N

 

2

x2分布 n 2n

t分布 0

 2 

2 

n n

n

(21)

(5)

二 维 随 机 变 量 的 数 字 特 征

期望

  

n

i i ip x X

E

1

  

n

j

j jp y Y

E

1

 

X

xf

 

x dx

E X

 

Y

yf

 

y dy

E Y

函数的期望 E

G

X,Y

 

 



i j

ij j

i y P

x G

,

 

G X Y

E ,

   

 





G x,y f x,y dxdy 方差

      

i

i

i E X p

x X

D 2

 

  

j

j

j EY p

x Y

D 2

 

XD

     

 xE X 2 fX x dx

 

Y

D

     

 yEY 2 fY y dy 协方差 对于随机变量X Y,称它们的二阶混合中心矩

11X Y的协

方差或相关矩,记为

XYcov

X ,Y

,即

 

     

X E X Y E Y

XY

11E  

与记号

XY相对应,X Y的方差D

 

X D

 

Y 也可分别记为

XX

YY

參考文獻

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