105學測考情最前線數學科-2

大考風向球

數學科

陳清風／桃園高中

2

4

戰地記者龍騰報導

　　近幾年來，學測儼然成為升上大學的主要管道，今年的試題難度適中，鑑別度高 因而，這份學測試題更受到多方關注。 　　今年試題是採用 99 課綱的第四年，整體而言，題目靈活，文字閱讀量少，計算 量適中，只要掌握基本觀念就能作答，難度適中 ，出現好幾題不錯的題目（如第 6、11、13、C、D、G 題），是一份有鑑別度的試題。這也意味著數學將是決定今年總級 分高低的關鍵科目。 105 年 1 月 29 日 龍騰網站 可下載檔案

前言 　　甄選入學已成升大學主流，今年「繁星推薦入學」共有 69 所大學、1729 個學系參加，提供 1 萬 5735 個招生名額，另「個人申請入學」則有 71 所大學、1964 個學系參加，招生名額 5 萬 5732 個，兩 個管道總計招生名額超過 7 萬個，寫下歷年新高。臺大等多所頂尖大學甄選比率都超過五成，交大 近七成，清大近八成。使得這份學測試題受到多方的關注。 　　99 課綱將數學課程的內容簡化，102 年首次採用此課綱命題，一般預測考題會比往年簡單，但 卻是出乎大家意料之外的難。而 103 年第二次採用，則將難易度調回來了，是一份難易適中的試題 。 104 年第三次採用，又是意外的難。今年（105 年）第四次採用，再擺盪回適中的一方。 　　現就個人見解，針對今年的試題提出以下幾點分析與建議。 歷年題型分配 　　今年試題的題型沒有改變，仍然包含單選題、多選題及選填題三大題，各大題的題數略有更動， 但總題數（20 題）及配分（每題 5 分）則維持不變。 題型 年度 單選題 多選題 選填題 總題數 102 年 6 6 8 20 103 年 6 6 8 20 104 年 4 6 10 20 105 年 6 7 7 20

105 學測命題特色

大考風向球 105 學測試題分布 　　今年試題的分布如下表（單元名稱的劃分是依據 99 課綱）： 冊章 單元名稱 題號 配分 小計 一 1 數與式 7,8 10 25 2 多項式函數 1,10 10 3 指數、對數函數 4 5 二 1 數列與級數 6 5 25 2 排列、組合 A 5 3 機率 13,F 10 4 數據分析 11 5 三 1 三角 2,12 10 25 2 直線與圓 3,E 10 3 平面向量 B 5 四 1 空間向量 無 0 25 2 空間中的平面與直 線 5,9,G 15 3 矩陣 D 5 4 二次曲線 C 5 觀察上表後，有以下看法： 1. 若以冊來分類，配分相當平均，每一冊各占四分之一（各 25 分）。 2. 第四冊第一章空間向量雖然沒配到分，但其實在第 9，G 兩題的解題過程中，是需要用到它的。 3. 若以章來分類，試題的分布涵蓋每一單元，這應是歷年學測的命題原則。 試題評析 　　底下針對今年數學考題作評析： 1. 第 1 題：這個難度很適合放第 1 題。 2. 第 2 題：三角函數值結合中位數出題，很新穎。 3. 第 3 題：要多注意



x y



21 



x y 1

 

x y   這類方程式的圖形，這算 100 年學測題1



0 「方程式 2 2 2 2 2 2 2 2 0 5 4 3 2 x y x y  _  _ _       的圖形」的考古題吧！ 4. 第 4 題：典型的半衰期考古題。 5. 第 5 題：只要能寫出直線的方程式，再進一步求出與平面的交點就可解出，是有鑑別度的一題。 6. 第 6 題：考等比級數求和公式，再結合估計的設計，有創意。 7. 第 7 題：這題型是第一冊第一章主要的重點，考生應都練習過，放在多選題的第一題，很合理。

8. 第 8 題：學測常會出現不需用到高中數學就可解出的生活題，此題就是。但若沒發現甲商場奇異 果的 5 顆裝單價低於 6 顆裝單價，應會錯兩個選項，此題就零分了。 9. 第 9 題：數據簡潔，能掌握既不平行也不相交的判定法就能解出。但若選項中能有對稱比例式及 參數式的出現，會更具廣度。 10. 第 10 題：具鑑別度的多項式函數考題。第 4 選項應是為第 5 選項而設計的吧？ 11. 第 11 題：調分數的考題很多，但用對數函數調的題目卻不多見，很新穎。但第 5 選項要在短時 間內找到反例，很不容易，相信很多人是憑直覺回答的吧！ 12. 第 12 題：SSA 型的題目，考生應不陌生。 13. 第 13 題：5 個選項共問了 10 個機率，真的要很細心、有耐心才能完全答對。 14. 第 A 題：這是有兩個限制條件的排列組合題目，除了解析中的解法外，也可以用排容原理解出。 15. 第 B 題：這是 99 課綱的新題目，也是龍騰版課本第三冊3-4 例題 6，只改數據的類似題。 16. 第 C 題：除了用橢圓的定義解外，也可使用正焦弦長的公式解得。 17. 第 D 題：此題的出現，會使常被忽視的「高斯消去法」受到大家的重視。 18. 第 E 題：出題者善用填充題格式的設計，提示 a 不為負，降低題目的難度，很用心。 19. 第 F 題：不難，但要有系統、有耐心才能答對。 20. 第 G 題：設 C 為原點的坐標系，再利用截距式寫出平面 BDG 的方程式，可降低難度。或將長方 體視為邊長為 1 的正立方體，也可降低難度。 21. 缺「概念題」：往年都有那種「筆在手中轉轉就可答對的題目」，今年很缺乏。 22. 數據美化：數據的設計可看出命題者的用心。 23. 選項細膩：答案與選項相同的設計可避免考生誤答，如單選第 1,3 題。 24. 圖形題目較往年少。 25. 跨章節的題目夠多。 結語 　　整體而言，題目靈活，文字閱讀量少，計算量適中，只要掌握基本觀念就能作答，難度適中， 出現好幾題不錯的題目（如第 6、11、13、C、D、G 題），是一份有鑑別度的試題。這也意味著數學將 是決定今年總級分高低的關鍵科目。

大考風向球 　　大考中心所列數學考科的測驗目標，為評量考生是否具備「概念性」、「程序性」及「解題能力」等 三方面的知識與能力。學測應以評量前二項為主，較偏向概念性知識與程序性知識。往年這三方面知 能的試題各約占三分之一，今年應符合這個組題原則。相信大考中心會審慎檢視這份試卷，讓來年 的試題都符合學測評量的目標。 　　在 99 課綱的框架內，對未來學測的命題趨勢有以下幾點看法： 1. 基本概念：著重基本概念的靈活應用，一直是學測命題的中心想法，加強基本概念的練習是必 做的基本功夫。 2. 情境題：生活化的試題年年都有，也是必然的命題趨勢，由於這類試題往往會比一般題目為長 ， 所以應培養仔細閱讀題目的耐性，以及加強將問題與教材連結的能力。 3. 熱門單元：有幾個預期會考的單元沒出現，反而可能會成為明年的大熱門，值得注意。例如：拉 格朗日插值法、迴歸直線、貝氏定理、轉移矩陣等。 4. 三星以下的單元：指考對標示三星以下的單元是不直接命題的，這些單元往往會出在學測，例 如：二次曲線（一星），數列與級數（二星），數與式（二星）等。 5. 跨章節題：學測從 14 個單元中命 20 題，必然會有幾題涵蓋兩個單元以上，也藉此提高試題的鑑 別度。因此，加強單元與單元之間的連結能力，多練習跨章節的題目，才能在眾多考生中勝出。 　　以上提出個人淺見供大家參考，尚祈前輩先進們不吝賜教。

未來命題趨勢

第壹部分：選擇題（占

65 分）

（此份試卷解題係依據大學考試中心於 105 年 1 月 23 日所公告之答案為主） 說明：第1題至第 6 題﹐每題有 5 個選項﹐其中只有一個是正確或最適當的選項﹐請畫記在答案 卡之「選擇（填）題答案區」﹒各題答對者﹐得 5 分﹔答錯﹑未作答或畫記多於一個選項 者﹐該題以零分計算﹒

1

二次函數的最大值與最小值 設 f x 為二次實係數多項式﹐已知

 

f x 在

 

x 時有最小值1且2 f

 

3  ﹒請問3 f

 

1 之值為下 列哪一選項﹖ (1) 5 　(2) 2 　(3) 3 　(4) 4 　(5)條件不足﹐無法確定﹒ 出　　處：龍騰版《數學 1》第 2 章　多項式函數 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 2 單元　多項式函數 解題觀念：能利用最小值設出多項式f x ﹐再代點便可解出﹒

 

答　　案：(3) 解　　析：因為f x 在

 

x 時有最小值1﹐所以可設2 　　　　f x

 

a x



2



2 ﹐1 a ﹒0 又因為f

 

3    ﹐所以a 1 3 a ﹐即2 　　　　f x

 

2



x2



2 ﹒1 因此f

 

1 _{   ﹐故選(3)﹒}2 1 3

一﹑單選題（占

30 分）

試題大剖析

2

正弦函數值的定義

請問sin 73﹐sin146﹐sin 219﹐sin 292﹐sin 365這五個數值的中位數是哪一個﹖

(1) sin 73 　(2)sin146 　(3)sin 219 　(4)sin 292 　(5)sin 365 ﹒ 出　　處：龍騰版《數學 3》第 1 章　三角 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 8 單元　三角 解題觀念：知道正弦函數值及中位數的定義﹐便可解出﹒ 答　　案：(5) 解　　析：利用換算公式﹐將角度化為銳角﹐得





sin146 sin 180   34 sin 34_{ ﹐}





sin 219 sin 180    39 sin 39_{ ﹐}





sin 292 sin 360    68 sin 68_{ ﹐}





sin 365 sin 360   5 sin 5_{ ﹒}

因為在 0 ～ 90 的範圍內﹐正弦值為正且角度愈大值愈大﹐所以 　　　　sin 73 sin146 sin 365 sin 219 sin 292 ﹒

得知中位數為sin 365﹐故選(5)﹒

3

圓與直線的交點 坐標平面上兩圖形 ﹐1  的方程式分別為﹕2





2 ₂ 1 : x 1 y 1     ﹐





2 2 : x y 1    ﹒請問 ﹐1 2  共有幾個交點﹖ (1)1個　(2) 2 個　(3) 3 個　(4) 4 個　(5) 0 個﹒ 出　　處：龍騰版《數學 3》第 2 章　直線與圓 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 9 單元　直線與圓 解題觀念：能畫出 與1  圖形就可解出﹒2 答　　案：(2) 解　　析：由圓的標準式知﹐ 是圓心為1



1,0



﹐半徑為1的圓﹒ 因為 　　　　



x y



2     或1 x y 1 x y   ﹐1 所以 為二平行直線2 x y  與1 x y   ﹒1 由右圖得知﹐兩圖形共有2 個交點﹐ 故選(2)﹒

4

指數的應用 放射性物質的半衰期T 定義為每經過時間 T ﹐該物質的質量會衰退成原來的一半﹒鉛製容器中 有兩種放射性物質A ﹐ B ﹐開始紀錄時容器中物質 A 的質量為物質 B 的兩倍﹐而120 小時後兩 種物質的質量相同﹒已知物質A 的半衰期為 7.5 小時﹐請問物質 B 的半衰期為幾小時﹖ (1)8 小時　(2)10 小時　(3)12 小時　(4)15 小時　(5) 20 小時﹒ 出　　處：龍騰版《數學 1》第 3 章　指數﹑對數函數 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 3 單元　指數﹑對數函數 解題觀念：了解半衰期的定義﹐再利用指數的運算解出﹒ 答　　案：(1) 解　　析：設B 的半衰期為T 小時﹐且開始記錄時 B 的質量為 n ﹒依題意﹐得 　　　　 120 120 7.5 1 1 2 2 2 T n _{ } n _{ }     ﹐ 約去 n ﹐得 　　　　 120 16 1 1 2 2 2 T   _           120 15 1 1 2 2 T   _          ﹐ 即15 120 T  ﹐解得T_{ ﹐故選(1)﹒}8

5

空間中平面與直線的交點 坐標空間中一質點自點P



1,1,1



沿著方向



_{a }



_1,2,2



等速直線前進﹐經過 5 秒後剛好到達平面 3 28 x y  z 上﹐立即轉向沿著方向



_{b  }



_{2,2, 1}



依同樣的速率等速直線前進﹒請問再經過 幾秒此質點會剛好到達平面x 上﹖2 (1)1秒　(2) 2 秒　(3) 3 秒　(4) 4 秒　(5)永遠不會到達﹒ 出　　處：龍騰版《數學 4》第 2 章　空間中的平面與直線 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 12 單元　空間中的平面與直線 解題觀念：能寫出直線的參數式﹐及求直線與平面的交點﹒ 答　　案：(2)

試題大剖析 解　　析：設質點到達兩平面的點分別為 Q 與R ﹐如右圖所示﹒ 將參數式 1 : 1 2 1 2 x t PQ y t z t           



_{（ t   ）代入}x y 3z28﹐得



1  t

 

1 2t

 

3 1 2 t



28 3 5 t 28t ﹐5 即Q



6,11,11



﹒ 再將參數式 6 2 : 11 2 11 x s QR y s z s           



_{（ s   ）代入x ﹐得2} 　　　　 6 2 s 2 s ﹐2 即R



2,15,9



﹒ 因為 6 2 15 5 QR PQ  ﹐所以經過 2 5 2 5   秒到達 R 點﹐ 故選(2)﹒

6

等比級數的和 設 a 為一等比數列﹒已知前十項的和為n 10 1 80 k k a  



﹐前五個奇數項的和為 1 3 5 7 9 120 a  a a a a  _{﹐請選出首項}a 的正確範圍﹒₁ (1)a180　(2)80 a1 90　(3)90 a1 100　(4)100 a1 110　(5)110 a ﹒1 出　　處：龍騰版《數學 2》第 1 章　數列與級數 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 4 單元　數列與級數 解題觀念：能使用等比級數的和公式﹒ 答　　案：(4) 解　　析：設公比為 r ﹐利用等比級數的和公式﹐得 　　　　









10 1 10 1 2 1 80 1 1 120 1 a r r a r r      _    _  _  ﹐ 兩式相除﹐得1 2 3 r    1 3 r  ﹐因此 　　　　 10 1 1 1 1 80 1 3 3 a _  _ _ _ _  _        10 1 1 320 1 3 3 a _  _{ } _     ﹒ 因為 10 1 1 1 3   _{ }    ﹐所以 1 320 3 a  ﹐ 故選(4)﹒

說明：第7 題至第13 題﹐每題有 5 個選項﹐其中至少有一個是正確的選項﹐請將正確選項畫記 在答案卡之「選擇（填）題答案區」﹒各題之選項獨立判定﹐所有選項均答對者﹐得 5 分﹔答錯1個選項者﹐得 3 分﹔答錯 2 個選項者﹐得1分﹔答錯多於 2 個選項或所有選項 均未作答者﹐該題以零分計算﹒

7

數線上的幾何 下列各方程式中﹐請選出有實數解的選項﹒ (1) x   　(2)x 5 1 x   　(3)x 5 6 x   　(4)x 5 1 x    　(5)x 5 6 x _{    ﹒}x 5 1 出　　處：龍騰版《數學 1》第 1 章　數與式 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 1 單元　數與式 解題觀念：要善用 a b 等於數線上A a 與

 

B b 的距離﹒

 

答　　案：(2)(3)(5) 解　　析：在數線上﹐x   表x 0 P x 與

 

O

 

0 的距離﹔ x 表5 P x 與

 

A

 

5 的距離﹒ (1) 分兩種情形討論﹕ (i)若 P 在 OA上﹐則 x  x 5 OA ﹒5 (ii)若 P 在 OA外﹐則x   x 5 OA ﹒5 即 x   ﹐得知此選項錯﹒x 5 5 (2) 當x 0.5或5.5 時﹐滿足 x   ﹒x 5 6 (3) 當x 時﹐滿足3 x   ﹒x 5 1 (4) 分兩種情形討論﹕ (i)若 P 在 OA上﹐則 x   ﹒x 5 5 (ii)若 P 在 OA外﹐則x    或 5x 5 5  ﹒ 得知此選項錯﹒ (5) 當x 時﹐滿足2 x     ﹒x 5 1 故選(2)(3)(5)﹒

二﹑多選題（占

35 分）

(i) P 在 OA 上 (ii) P 在 OA外

試題大剖析

8

數的大小 下面是甲﹑乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表﹐例如﹕甲商場奇異果價格 「 35 元／一袋2 顆」表示每一袋有 2 顆奇異果﹐價格 35 元﹒ 甲商場售價 奇異果價格 20 元／一袋1顆 35 元／一袋 2 顆 80 元／一袋 5 顆 100 元／一袋 6 顆 蘋果價格 45 元／一袋1顆 130 元／一袋 3 顆 260 元／一袋 6 顆 340 元／一袋 8 顆 乙商場售價 奇異果價格 18 元／一袋1顆 50 元／一袋 3 顆 65 元／一袋 4 顆 95 元／一袋 6 顆 蘋果價格 50 元／一袋1顆 190 元／一袋 4 顆 280 元／一袋 6 顆 420 元／一袋10 顆 依據上述數據﹐請選出正確的選項﹒ (1)在甲商場買一袋 3 顆裝的蘋果所需金額低於買三袋1顆裝的蘋果 (2)乙商場的奇異果售價﹐一袋裝愈多顆者﹐其每顆單價愈低 (3)若只想買奇異果﹐則在甲商場花 500 元最多可以買到 30 顆奇異果 (4)如果要買12 顆奇異果和 4 顆蘋果﹐在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額 (5)無論要買多少顆蘋果﹐在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額﹒ 出　　處：龍騰版《數學 1》第 1 章　數與式 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 1 單元　數與式 解題觀念：計算出每一顆水果的單價後﹐再作分析﹒ 答　　案：(1)(2)(4) 解　　析：計算每一包裝一顆水果的價錢（依題中的順序﹐四捨五入至小數第一位）﹕ 甲商場 乙商場 奇異果 20 17.5 16 16.7 奇異果 18 16.7 16.3 15.8 蘋果 45 43.3 43.3 42.5 蘋果 50 47.5 46.7 42 結論﹕除甲的奇異果 5 顆裝較 6 顆裝便宜及甲的蘋果 3 顆裝與 6 顆裝每顆單價相同外﹐ 一袋裝愈多顆者其每顆單價愈低﹒ (1) 一袋 3 顆裝130 元低於三袋1顆裝 3 45 135  （元）﹒ (2) 由乙商場的分析表得知﹐此選項正確﹒ (3) 買 5 顆裝六袋及1顆裝一袋﹐需 6 80 1 20 500    （元）﹐可買31顆﹒ (4) 甲﹕最少需



2 80 1 35  

 

 1 130 1 45 



370（元）﹒ 乙﹕最少需 2 95 1 190 380    （元）﹒ 得知甲低於乙﹒ (5) 錯 ﹗ 當 買 40 顆 蘋 果 時 ﹐ 甲 最 少 需 5 340 1700  （ 元 ） ﹐ 乙 最 少 需4 420 1680  （元）﹐ 此時甲高於乙﹒ 故選(1)(2)(4)﹒

9

歪斜線的判定 下列各直線中﹐請選出和 z 軸互為歪斜線的選項﹒ (1) 1 0 : 0 x L z      　(2) 2 0 : 1 y L x z       　(3) 3 0 : 1 z L x y       　(4) 4 1 : 1 x L y      　(5) 5 1 : 1 y L z      ﹒ 出　　處：龍騰版《數學 4》第 2 章　空間中的平面與直線 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 12 單元　空間中的平面與直線 解題觀念：空間中﹐若兩直線既不平行也不相交﹐則兩直線歪斜﹒ 答　　案：(3)(5) 解　　析：將 z 軸及 5 個選項的方程式均改寫為參數式﹕ z 軸﹕ 0 0 x y z t         （t_{  ）﹐}L ﹕1 1 0 0 x y t z         （t_{1  ）﹐}L ﹕₂ 2 2 0 1 x t y z t          （t_{2  ）﹐} 3 L ﹕ 3 3 1 0 x t y t z          （t3  ）﹐L ﹕4 4 1 1 x y z t         （t_{4  ）﹐}L ﹕5 5 1 1 x t y z         （t5  ）﹒ (1) z 軸與L 聯立﹐解得1 x ﹐0 y ﹐0 z ﹐即交一點0



0,0,0 ﹒



(2) z 軸與L 聯立﹐解得2 x ﹐0 y ﹐0 z ﹐即交一點1



0,0,1 ﹒



(3) z 軸與L 聯立﹐無解﹐即不相交﹒3 又方向向量



_{vz }



_0,0,1



與



_{v3 }



_{1, 1,0}



不平行﹐所以歪斜﹒ (4) 因為方向向量



_{vz }



_0,0,1



與





4 0,0,1 v 



平行﹐所以不是歪斜﹒ (5) z 軸與L 聯立﹐無解﹐即不相交﹐5 又方向向量



_0,0,1



z v 



與





5 1,0,0 v 



不平行﹐所以歪斜﹒ 故選(3)(5)﹒

試題大剖析

10

多項式方程式 設 a ﹐b ﹐ c 皆為正整數﹐考慮多項式_{f x}

 

_x4_ax3_bx2_{cx ﹒請選出正確的選項﹒2} (1) f x

 

 無正根　(2)0 f x

 

 一定有實根　(3)0 f x

 

 一定有虛根0 (4) f

 

1  f

 

 的值是偶數　(5)若1 a c b  3﹐則 f x

 

 有一根介於 10  與 0 之間﹒ 出　　處：龍騰版《數學 1》第 2 章　多項式函數 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 2 單元　多項式函數 解題觀念：了解根的意義及勘根定理便可解出﹒ 答　　案：(1)(4)(5) 解　　析：(1)若r ﹐則0 _{f r}

 

_r4_ar3_br2_{cr 恆正﹐即必不等於 0 ﹒2} 因此f x

 

 無正根﹒0 (2) 錯﹗如f x

 





x2 x 1

 

x22



 的四根為 10 3 2 i   _﹐ 2i  ﹐沒有實根﹒ (3) 錯﹗如f x

  

 x1

 

3 x2



 的四根為 10  ﹐ 1 ﹐ 1 ﹐ 2 ﹐沒有虛根﹒ (4) f

 

1  f

  

     1 1 a b c 2

 

    1 a b c 2



 6 2b為偶數﹒ (5) 因為f

 

      1 1 a b c 2



b 3

 

a c



 且0 f

 

0   ﹐2 0 所以根據勘根定理得知﹐在 1 與 0 之間至少有一實根﹒ 故選(1)(4)(5)﹒

11

對數函數及一維數據分析 一個41人的班級某次數學考試﹐每個人的成績都未超過 59 分﹒老師決定以下列方式調整成 績﹕原始成績為 x 分的學生﹐新成績調整為 10 1 40log 60 10 x  _{ }     分（四捨五入到整數）﹒請選出 正確的選項﹒ (1)若某人原始成績是 9 分﹐則新成績為 60 分 (2)若某人原始成績超過 20 分﹐則其新成績超過 70 分 (3)調整後全班成績的全距比原始成績的全距大 (4)已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數﹐則小文的新成績仍然等於調整後全班成 績的中位數 (5)已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均﹐則小美的新成績仍然等於調整後全班成績 的平均（四捨五入到整數）﹒ 出　　處：龍騰版《數學 2》第 4 章　數據分析 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 7 單元　數據分析 解題觀念：了解對數函數圖形的性質﹐及數據分析的名詞之意義就可解出﹒

答　　案：(1)(2)(4)

解　　析：令新成績為 y 分﹐利用對數的運算公式﹐得

　　　　 40log 1 60 40 log





1



log10



60 10 x y _  _  x     40log



x 1



20﹒ (1) 若x ﹐則9 y40log10 20 60  ﹒ (2) 若x20﹐則

　　　　y40log 21 20 40 log3 log 7 







20 40 0.4771 0.8451







20 72.888 ﹒ (3) 錯﹗如班上最低分 9 分最高分 39 分﹐則調整後成績的全距為



40log 40 20

 

 40log10 20



40 log 40 log10







40log 4 40 0.6020 24.08   _﹐ 小於原始成績的全距 39 9 30  ﹒ (4) 因為函數y40log



x 1



20為嚴格遞增函數﹐所以調整前後每人的名次不變﹐因此 小文的新成績仍為中位數﹒ (5) 錯﹗如班上原始成績為 　　　　 0 分8 人﹐ 9 分21人﹐15 分12 人﹐平均 9 分﹐ 則調整後的成績為 　　　　 20 分8 人﹐ 60 分21人﹐ 40log16 20 68  分12 人﹐平均約 55 分﹒ 此時若小美原成績 9 分（等於平均）﹐但新成績 60 分卻不是新成績的平均﹒ 故選(1)(2)(4)﹒

12

解三角形 在△ ABC中﹐已知 A 20 ﹐AB ﹐5 BC ﹒請選出正確的選項﹒4 (1)可以確定 B 的餘弦值　(2)可以確定 C 的正弦值　(3)可以確定 ABC△ 的面積 (4)可以確定△ ABC的內切圓半徑　(5)可以確定△ ABC的外接圓半徑﹒ 出　　處：龍騰版《數學 3》第 1 章　三角 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 8 單元　三角 解題觀念：知道 SSA 不能唯一決定三角形﹒ 答　　案：(2)(5) 解　　析：滿足條件的三角形共有△ ABC1與△ABC2兩個三角形﹐如下圖﹕ AC B    ﹐則ABC 160  ﹐ AC B180  ﹐ ABC    ﹒ 20

試題大剖析

(2) 因為sin 180



 



sin﹐即sinAC B1 sinAC B2 ﹐所以 sin C 的值確定﹒

(3) 由圖知﹐△ABC1的面積小於△ ABC2的面積﹒ (4) 由圖知﹐△ABC1的內切圓半徑小於△ABC2的內切圓半徑﹒ (5) 根據正弦定理﹐兩個三角形的外接圓半徑均為 4 2sin 20﹒ 故選(2)(5)﹒

13

機率 甲﹑乙﹑丙﹑丁四位男生各騎一台機車約A ﹐ B ﹐ C ﹐ D 四位女生一起出遊﹐他們約定讓四位 女生依照A ﹐ B ﹐ C ﹐ D 的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車﹒其中除了 B 認得甲的機車 鑰匙﹐並且絕對不會選取之外﹐每個女生選取這些鑰匙的機會都均等﹒請選出正確的選項﹒ (1) A 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到甲的鑰匙的機率 (2) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 D 抽到甲的鑰匙的機率 (3) A 抽到乙的鑰匙的機率大於 B 抽到乙的鑰匙的機率 (4) B 抽到丙的鑰匙的機率大於 C 抽到丙的鑰匙的機率 (5) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到乙的鑰匙的機率﹒ 出　　處：龍騰版《數學 2》第 3 章　機率 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 6 單元　機率 解題觀念：找出樣本空間﹐再比較各機率﹒ 答　　案：(4)(5) 解　　析：因為B 認得甲的鑰匙﹐所以 (1)





=1 4 P A抽到甲 ﹐





=3 1 1 3 4 2 8 P C抽到甲    ﹒ (2)





=3 8 P C抽到甲 ﹐





=3 1 1 1 3 4 2 8 P D抽到甲     ﹒ (3)





=1 4 P A抽到乙 ﹐





= 1 1_{4 3} 2 1_{4 2} 1₃ A A P B _   _{ }  _     抽到甲沒抽到甲 抽到乙 _﹒ (4)



 

=



=1 3 P B抽到丙抽到乙P B ﹐





= 1 2 1_{4 3 2} 2 1 1_{4 2 2 24}5 A A P C _    _{ }   _     抽到甲沒抽到甲 抽到丙 _﹒ (5)





=3 8 P C抽到甲 ﹐



 

=



= 5 24 P C抽到乙 P C抽到丙 ﹒ 故選(4)(5)﹒

第貳部分：選填題（占

35 分）

說明：1.第 A 至 G 題﹐將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14 － 31 ）﹒ 2.每題完全答對給 5 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

A

排列組合與矩陣的相等 考慮每個元（或稱元素）只能是 0 或1的 2 3 階矩陣﹐且它的第一列與第二列不相同且各列的 元素不能全為零﹐這樣的矩陣共有　　　　個﹒ 出　　處：龍騰版《數學 2》第 2 章　排列﹑組合 　　　《數學 4》第 3 章　矩陣 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》 第 5 單元　排列﹑組合 第 13 單元　矩陣 解題觀念：了解矩陣相等的定義﹐及乘法原理便可解出﹒ 答　　案：42 解　　析：因為 2 3 階矩陣 a b c d e f      有二列三行﹐所以有 6 個元﹒ 先 排 第 一 列 ﹐ 並 排 除 皆 排 0 ﹐ 有₂3_{  種 ﹐ 再 排 第 二 列 ﹐ 並 排 除 皆 排 0 ﹐ 也 有1 7} 3 2   種﹐1 7 因此共有 7 7 49  種﹒ 又當排完第一列時﹐若第二列與第一列排相同﹐則兩列相同﹐因此兩列相同的排法有 7 種﹒ 故所求的排法共有 49 7 42  種﹒

B

二階行列式的應用 坐標平面上 O 為原點﹐設



_{u }

 

_1,2 ﹐



_{v }

 

_3,4 ﹒令_{ 為滿足 OP x u y v}

  

_{ } 的所有點P 所形 成的區域﹐其中1 1 2  ﹐x 1 3 2 y    ﹐則  的面積為 平方單位﹒（化成最簡分數） 出　　處：龍騰版《數學 3》第 3 章　平面向量 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 10 單元　平面向量 解題觀念：會使用二階行列式求平行四邊形的面積﹒ 答　　案：7 2 解　　析：如圖所示﹐_{ 的面積等於 u}



_{與 v}



所張出之 平行四邊形面積的1 1 3 7 4 2   倍﹐即4 　　　　7 |1 2 | 7 2 7 3 4 4    ﹒4 2

試題大剖析

C

橢圓的定義 從橢圓 的兩焦點分別作垂直於長軸的直線﹐交橢圓於四點﹒已知連此四點得一個邊長為 2 的 正方形﹐則  的長軸長為　　　  ﹒ 出　　處：龍騰版《數學 4》第 4 章　二次曲線 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 14 單元　二次曲線 解題觀念：了解橢圓的定義就可解出﹒ 答　　案：1 5 解　　析：如右圖﹐根據畢氏定理﹐得 　　　　 2 2 2 2 1 5 PF    ﹒ 由橢圓的定義﹐得長軸長為 　　　　PF₁PF₂ 1 5﹒

D

高斯消去法 線性方程組 2 3 0 2 3 6 6 2 8 x y z x y z x y x y z      _{  }          經高斯消去法計算後﹐其增廣矩陣可化簡為 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 a b c d               ﹐則 a 　　　﹐b  　　　﹐c  　　　﹐ d  　　　　﹒ 出　　處：龍騰版《數學 4》第 3 章　矩陣 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 13 單元　矩陣 解題觀念：會使用高斯消去法解聯立方程式就可解出﹒ 答　　案：a ﹐1 b4﹐c ﹐1 d 2 解　　析：使用高斯消去法﹐得 　　　　 1 2 3 0 2 1 3 6 1 1 0 6 1 2 1 8                  1 2 3 0 0 3 3 6 0 3 3 6 0 4 4 8    _{ }    _{ }           1 2 3 0 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2    _    _{ }         1 2 3 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0    _    _{ }       1 0 1 4 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0    _    _{ }       ﹐ 故a ﹐1 b ﹐4 c ﹐1 d  ﹒2

E

二元一次不等式的圖形 設 a 為一實數﹐已知在第一象限滿足聯立不等式_{  }x_x3₂y a_y₁₄  的所有點所形成之區域面積為 213 5 平方單位﹐則 a  　　　﹒ 出　　處：龍騰版《數學 3》第 2 章　直線與圓 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 9 單元　直線與圓 解題觀念：畫出二元一次不等式的圖形就可解出﹒ 答　　案： 6 解　　析：當a 時﹐0 x3y 與0 x2y14的交點為 42 14, 5 5      ﹐ 得區域面積為1 7 42 147 2  5  5 ﹐小於 213 5 ﹐得知 a 為正數﹒ （也可以由答案格式的提示知 a 不為負﹒） 如右圖﹐解_{  }x_x3₂y a_y₁₄  ﹐得交點P 的 y 坐標為 14 5 a  ﹒ 因為區域面積為213 5 ﹐所以 　　　　1 14 7 1



14



14 213 2 2 5 5 a a         ﹐ 





2 14 213 49 10 5 a    



14a



264 a 或 22 （不合）﹒6

F

條件機率 投擲一公正骰子三次﹐所得的點數依序為 a ﹐b ﹐ c ﹒在 b 為奇數的條件下﹐行列式 a b 0 b c  的 機率為 ﹒（化成最簡分數） 出　　處：龍騰版《數學 2》第 3 章　機率 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 6 單元　機率 解題觀念：了解條件機率及行列式的定義就可解出﹒

試題大剖析 解　　析：因為a b 0 b c  ﹐所以ac b 2 ﹐即0 b2ac﹒當b 為奇數時﹐列表討論如下﹕ b 1 3 5 2 b 1 9 25 a 1 2～6 2 3 4 5 6 5 6 c 2～6 1～6 5～6 4～6 3～6 2～6 2～6 6 5～6 個數 5 30 2 3 4 5 5 1 2 合計共 5 30 2 3 4 5 5 1 2 57         （個）﹒ 根據條件機率的定義﹐得 　　　　



 







2 2 _| 57 19 6 3 6 36 n b b ac P b ac b n b        為奇且 為奇 為奇 ﹒

G

平面方程式 如 右 圖 所 示 ﹐ ABCD EFGH 為 一 長 方 體 ﹒ 若 平 面 BDG 上 一 點 P 滿 足 1 2 3 AP

   

 AB AD a AE ﹐則實數 a  ﹒（化成最簡分數） 出　　處：龍騰版《數學 4》第 2 章　空間中的平面與直線方程式 《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 12 單元　空間中的平面與直線 解題觀念：建立坐標系﹐再使用平面的截距式解出﹒ 答　　案：4 3 解　　析：如右圖﹐建立坐標系﹐各點坐標為 　　　　C



0,0,0



﹐D d



,0,0



﹐B



0, ,0b



﹐G



0,0,g ﹐



則A d b



, ,0



﹐E d b g ﹐



, ,



由截距式﹐得平面 BDG 的方程式為x y z 1 d    ﹒b g 設點P 的坐標為



x y z ﹐, ,



因為 1 2 3 AP

   

 AB AD a AE ﹐所以 　　　　



, ,



1



,0,0



2 0,



,0





0,0,



, 2 , 3 3 d x d y b z   d  b a g _  b ag_  ﹐ 得 2 3 d x ﹐ y  ﹐ z agb  _{﹐即P 的坐標為} 2 , , 3 d b ag  _     ﹒ 將P 代入_dx    ﹐得_by _gz 1 2

 

1 1 3    a 4 3 a ﹒

參考公式及可能用到的數值

1. 首項為 a ﹐公差為d的等差數列前 n 項之和為



2



1





2 n a n d S   ﹔ 首項為 a ﹐公比為 r （r ）的等比數列前 n 項之和為1



1



1 n a r S r    ﹒

2. 三角函數的和角公式﹕sin



A B



sin cosA Bcos sinA B﹐ 　　　　　　cos



A B



cos cosA Bsin sinA B﹐ 　　　　　　tan





tan tan

1 tan tan A B A B A B     ﹒ 3. rABC的正弦定理﹕ 2

sin sin sin

a b c _R A B C （ R 為rABC 外接圓半徑） ABC r 的餘弦定理﹕_c2_a2_b2_{2abcosC﹒} 4. 一維數據 X ﹕x ﹐1 x ﹐…﹐2 x ﹐n 算術平均數



1 2



1 1 1 n X n i i x x x x n n      _ 



﹐ 標準差





2 1 1 n X i X i x n    



 2 2 1 1 n i X i x n n       _{ } _   



﹒ 5. 二維數據



X Y ﹕,





x y ﹐₁, ₁





x y ﹐…﹐₂, ₂





x y ﹐_n, _n



相關係數 1



 



, n i X i Y i X Y X Y x y r n        



﹐ 迴歸直線（最適合直線）方程式 Y X Y, Y



X



X y  r  x      ﹒ 6. 參考數值﹕ 2 1.414 ﹐ 3 1.732 ﹐ 5 2.236 ﹐ 6 2.449 ﹐ 3.142﹒ 7. 對數值﹕log 2 0.301010  ﹐log 3 0.477110  ﹐log 5 0.699010  ﹐log 7 0.845110  ﹒