第一題 第二題 104 學年度指定科目考試數學乙考科非選擇題參考答案

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104 學年度指定科目考試數學乙考科非選擇題參考答案

數學乙的題型有選擇、選填與非選擇題。非選擇題主要評量考生是否能夠清 楚表達推理過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方可 得到滿分。如果計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，或 過程不合理，則無法得到分數。

數學科試題的解法通常不只一種，在此提供多數考生可能採用的解法以供各 界參考。關於較詳細的考生解題錯誤概念或解法，請參見本中心將於 8 月 15 日 出刊的《選才電子報》。

104 學年度指定科目考試數學乙考科非選擇題各大題的參考答案說明如下：

第一題

解法： 

1. 高度差為200公分，要有最短水平距離，則所有平台的坡度須恰好為 50

1 ，且

所有坡道的坡度須恰好為 12

1 。因為平台的坡度 50

1 小於坡道的坡度 12

1 ，要得

到最短水平長度就必須極小化平台的水平長度，也就是極小化平台的高度 差。

2. 每一個平台水平距離至少為150公分，也就是每一個平台的高度差至少為 50 3

150 1  公分。可以觀察：

(1) 當高度不超過6公分時，只能設置一個平台。

(2) 當高度差超過 6 公分，但不超過3753公分時，可以設置前後兩個各 150 公分的平台，中間一個坡道。

(3) 當高度差超過3753公分，但不超過3753753公分時，可以設置 前後兩個各 150 公分的平台，中間兩個坡道以及一個 150 公分的平台。

(4) 當高度差超過3753753公分，但不超過3753753753公分 時，可以設置前後兩個各 150 公分的平台，中間三個坡道以及兩個 150 公 分的平台。

因此，高度差 200 公分須設置四個各 150 公分的平台以及三個坡道。

2 

3. 四個 150 公分的平台會升高3412公分，剩下的20012188公分的高度 由坡道來提供，所以坡道的水平長度為188122256公分。因此水平總長度 為225615042856公分，也就是28.56公尺。

第二題

解法： 

(1)寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數

不等式：

4500 5500 8000(25 ) 150000 400 200 8000

25 , 0

    

  

  

 



x y x y

x y

x y x y

，或 

7 5 100 2 40

25 , 0

 

  

  

 



x y x y x y x y

目標函數： f x y( , )3x4y6(25 x y)1503x2y   

亦可寫成

不等式：

4500 5500 8000 150000 400 200 8000

25 , , 0

  

  

   

 



x y z

x y

x y z x y z

，或 

9 11 16 300 2 40

25 , , 0

  

  

   

 



x y z

x y x y z x y z

目標函數： ( , , )f x y z 3x4y6z     

(2) 求可行解區域的所有頂點的坐標

寫出正確頂點坐標A( 0, 20 ),  B( 0, 25 ),  C(15, 10 ),  D( 20, 0 ),  ( ¹⁰⁰ , 0 )

E 7  

(3)

【解

1.  將

2.  當  

【解

  ( f x

求全部旅客 解法一：頂

將A B C D, , ,

當x15,y

解法二：平 頂      點 , )150 x y

客返回台灣 頂點法】 

,

D E頂點代

10

y 時， f

平行線法】 

點 

3 2

 x y 

灣所用的最少

代入目標函數

(15,10) f

( 0, 20 ) A

110 

3 

少等待總人

數中

85 為最少

  ( 0, 25 ) B

100

人天數

等待總人天 (15, 10 ) C

85  天數 

) D( 20, 0

90

)  ( ¹⁰⁰ E 7

750 7

, 0 ) 0 

4 

1.  畫出一條過 (15,10)C 且與直線150 3 x2y k 平行的直線，如圖。或比較直 線150 3 x2y k 的斜率 3

 2

m 介於 1 與 2 之間，即寫出

3

2 1

     2