⇀ 高中數學（三）

13 – 1

2－5  空間中的直線 方程式（1）

高中數學 （三）

隨 堂 評 量 卷 ^{第　13　回}

範圍

計算題^（每題 25 分﹐共 100 分）

1 試求通過空間中 A（3﹐−1﹐5）﹐B（2﹐1﹐−7）兩點的直線方程式﹐分別以下 列方式表示•

1 參數式• 2 對稱式• 3 兩面式•

x：1 A⇀B =（−1﹐2﹐−12）= −（1﹐−2﹐12）

令 d⇀ =（1﹐−2﹐12）為直線 AB 之一方向向量﹐又直線 AB 過 A（3﹐−1﹐5）

故所求直線 AB 之參數式為 A↔B：

x = 3 + t

y = −1 − 2t﹐t ∈ ℝ（不唯一）

z = 5 + 12t

2 由1﹐令 d⇀ =（1﹐−2﹐12）為直線 AB 之一方向向量 又直線 AB 過 A（3﹐−1﹐5）

故所求直線 AB 之對稱式為 A↔B：x − 3

1 = y + 1

−2 = z − 5

12 （不唯一）

3 由2﹐E1：x − 3

1 = y + 1

−2 ⇨ −2x + 6 = y + 1     ⇨ 2x + y = 5 為過直線 AB 之一平面

E2：y + 1

−2 = z − 5

12 ⇨ 12y + 12 = −2z + 10 ⇨ 6y + z = −1 為過直線 AB 之另一平面

故所求直線 AB 之兩面式為 A↔B： E1：2x + y = 5

E2：6y + z = −1（不唯一）

2 試求空間中兩直線 L1：x − 1

2 = y + 1

1 = z − 3

−2 ﹐L2：x − 3

1 = y − 5

−2 = z + 3

1 的交點•

x：設 d⇀1 =（2﹐1﹐−2）﹐d⇀2 =（1﹐−2﹐1）分別為 L1﹐L2 之一方向向量 因 d⇀1﹐d⇀2 不平行﹐故 L1﹐L2 可能相交或歪斜

化參數式 L1：

x = 1 + 2t y = −1 + t z = 3 − 2t

﹐L2：

x = 3 + s y = 5 − 2s z = −3 + s

﹐令 x = x﹐y = y ⇨ 1 + 2t = 3 + s

−1 + t = 5 − 2s 解得 t = 2﹐s = 2﹐代入 L1﹐L2﹐皆得 z = −1﹐即 L1﹐L2 相交於一點

又 x = 5﹐y = 1﹐故得 L1﹐L2 相交於一點（5﹐1﹐−1）

13 –  3 試求 P（3﹐−2﹐1）到直線 L：x + 1

2 = y − 2

−1 = z − 3

1 的距離•

x：令 d⇀ =（2﹐−1﹐1）為直線 L 之一方向向量 而 A（−1﹐2﹐3）為直線 L 上之一個定點 而 A⇀P =（4﹐−4﹐−2）

⇨∣A⇀P∣² = 4² +（−4）² +（−2）² = 16 + 16 + 4 = 36 設 p⇀ 為 A⇀P 在 d⇀ 方向的正射影﹐則有

∣p⇀∣² = （A⇀P•d⇀）²

∣d⇀∣² = （8 + 4 − 2）² 4 + 1 + 1 = 100

6 = 50 3

由畢氏定理可得 d（P﹐L）=

√

√

=

√

4 試求 L1：x − 3

2 = y − 1

2 = z − 2

1 ﹐L2：4 − x

2 = y + 4

1 = z − 1

2 兩歪斜線的距離•

x：將 L2 化為標準對稱式 ⇨ L2：x − 4

−2 = y + 4

1 = z − 1 2 設 d⇀1 =（2﹐2﹐1）﹐d⇀2 =（−2﹐1﹐2）

分別為 L1﹐L2 之一方向向量

⇨ d⇀

1 × d⇀2 =（3﹐−6﹐6）= 3（1﹐−2﹐2）

令 n⇀ =（1﹐−2﹐2）為包含 L1 且平行 L2 之平面 E 之一法向量 可設 E：x − 2y + 2z = k﹐又 A（3﹐1﹐2）∈ E

⇨ k = 3 − 2 + 4 = 5﹐得 E：x − 2y + 2z = 5 令 B（4﹐−4﹐1）∈ L2

⇨ d（L1﹐L2）= d（B﹐E）

= ∣4 − 2•（−4）+ 2•1 − 5∣

√1 + 4 + 4 = 9

3 = 3

2 1 2 2

1 2 −2 1 2 1 2 2

1 2 −2 1