高中數學（三） 隨 堂

20 – 

3－2  圓與直線的 關係（2）

高中數學 （三）

隨 堂 評 量 卷 ^{第　20　回}

範圍

計算題^（每題 20 分﹐共 100 分）

1 自 P（−3﹐5）作圓 C：x² + y² + 2x − 4y − 4 = 0 的切線﹐試求切線方程式•

x：C：x² + y² + 2x − 4y − 4 = 0 ⇨（x + 1）² +（y − 2）² = 4 + 1 + 4 = 9 = 3² 可得圓心為 Q（−1﹐2）﹐半徑 r = 3﹐將 P（−3﹐5）代入 C

⇨ 左式 =（−3 + 1）² +（5 − 2）² = 4 + 9 = 13 > 9 = 右式

⇨ P（−3﹐5）在圓 C 外﹐過 P 點有兩切線﹐設所求切線 L 之斜率為 m﹐則 L：y − 2 = m（x + 1）±

√

⇨ 5 − 2 = m（−3 + 1）±

√

√

⇨ 4m² + 12m + 9 = 9m² + 9 ⇨ 5m² − 12m = 0

⇨ m = 0 或 12 5

故得 L1：y = 5 與 L2：12x − 5y + 61 = 0

2 承1﹐試求第1題中之切點坐標•

x：切線 L1：y = 5 與圓 C 之切點 T1 即圓心 Q（−1﹐2）在 L1 上之投影點

⇨ T1：

x = −1 + −（0 + 2 − 5）

0² + 1² × 0 = −1 y = 2 + −（0 + 2 − 5）

0² + 1² × 1 = 5 切線 L2：12x − 5y + 61 = 0 與圓 C 之切點 T2

即圓心 Q（−1﹐2）在 L2 上之投影點

⇨ T2：

x = −1 + −（−12 − 10 + 61）

12² +（−5）² × 12 = −49 13 y = 2 + −（−12 − 10 + 61）

12² +（−5）² ×（−5）= 41 13

故得 T1（−1﹐5）﹐T2（−49 13﹐41

13）

20 – 2 3 試求斜率為 − 3

4 且與圓 C：（x − 5）² +（y + 2）² = 9 相切的直線方程式•

x：C：（x − 5）² +（y + 2）² = 9﹐可得圓心為 Q（5﹐−2）﹐半徑 r = 3 設切線為 L：3x + 4y = k﹐由 d（Q﹐L）= r 可得

d（Q﹐L）= ∣3•5 + 4•（−2）− k∣

√

∣k − 7∣

5 = 3

⇨∣k − 7∣= 15 ⇨ k − 7 = ±15

⇨ k = 22﹐−8

故得 L1：3x + 4y = 22 與 L2：3x + 4y = −8

4 試求與 L：x − 2y = 1 垂直且與圓 C：x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 相切的切線方程式•

x：C：x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 ⇨（x − 2）² +（y + 3）² = 3 + 4 + 9 = 16 可得圓心為 Q（2﹐−3）﹐半徑 r = 4

設所求切線為 M：2x + y = k﹐則 M⊥L﹐由 d（Q﹐M）= r 可得 d（Q﹐M）= ∣2•2 +（−3）− k∣

√

∣k − 1∣

√5 = 4

⇨∣k − 1∣= 4√5 ⇨ k − 1 = ±4√5

⇨ k = 1±4√5

故得 M1：2x + y = 1 + 4√5 與 M2：2x + y = 1 − 4√5

5 設圓 C：x² + y² + 6x − 10y − 2 = 0﹐過 P（1﹐−1）作 C 之切線﹐切點為 A﹐B﹐試 求△PAB 的外接圓方程式•

x：C：x² + y² + 6x − 10y − 2 = 0 ⇨（x + 3）² +（y − 5）² = 2 + 9 + 25 = 36 可得圓心為 Q（−3﹐5）﹐半徑 r = 6﹐將 P（1﹐−1）代入 C

⇨ P（1﹐−1）在圓 C 外 因∠PAQ =∠PBQ = 90°﹐

故△PAB 的外接圓即以 PQ 為直徑之圓

（x − 1）（x + 3）+（y + 1）（y − 5）= 0

⇨ x² + 2x − 3 + y² − 4y − 5 = 0

故得方程式為 x² + y² + 2x − 4y − 8 = 0