⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 高中數學（三）

23 – 

3－4  球面與平面 的關係（2）

高中數學 （三）

隨 堂 評 量 卷 ^{第　23　回}

範圍

計算題^（每題 25 分﹐共 100 分）

1 設一地球儀赤道長 60 公分﹐試求：

1 北緯 45°緯線長• 2 南緯 60°緯線長•

x：1 如右圖﹐設地球儀的赤道（大圓）之半徑為 R 則北緯 45°緯線（小圓）之半徑為

R sin（90°− 45°）= √2 2 R

故得北緯 45°的緯線長為 60 × √2

2 = 30√2（公分）

2 又南緯 60°緯線（小圓）之半徑為 R sin（90°− 60°）= R 2 故得南緯 60°的緯線長為 60 × 1

2 = 30（公分）

2 設球面 S：（x − 1）² +（y + 2）² +（z − 2）² = 22 與直線 L：x + 2

1 = y + 3

−2 = z − 1 2 ﹐ 試求：

1 球心 Q 到 L 之距離• 2 球心 Q 在 L 上之投影點•

x：1 球面 S：（x − 1）² +（y + 2）² +（z − 2）² = 22     得球心 Q（1﹐−2﹐2）﹐半徑 r = √22﹐

    設球心 Q 在直線 L 上之投影點為 P（x﹐y﹐z）

    令 d⇀ =（1﹐−2﹐2）為直線 L 之一方向向量     而 A（−2﹐−3﹐1）為直線 L 上之一個定點 ⇨ A⇀Q =（3﹐1﹐1）

    如右圖﹐設 p⇀ 為 A⇀Q 在 d⇀ 方向之正射影﹐則     p⇀ =（ A⇀Q•d⇀

∣d⇀∣² ）d⇀ =（3 − 2 + 2

1 + 4 + 4）（1﹐−2﹐2）=（1 3﹐−2

3 ﹐2 3）

    故得球心 Q 到 L 之距離為 d = d（Q﹐L）=

√

=（−2﹐−3﹐1）+（1 3﹐−2

3 ﹐2

3）=（−5 3 ﹐−11

3 ﹐5 3）

23 – 2 3 設直線 L：x + 2

1 = y − 1

2 = z − 3

−2 與球面 S：x² + y² + z² + 4x − 5y − 3z − 4 = 0﹐試求：

1 直線 L 與球面 S 之交點• 2 直線 L 被球面 S 所截之線段長•

x：

1 將直線 L：x + 2

1 = y − 1

2 = z − 3

−2 化為參數式 L：

x = −2 + t y = 1 + 2t z = 3 − 2t

﹐t ∈ ℝ

代入球面 S

⇨（−2 + t）² +（1 + 2t）² +（3 − 2t）² + 4（−2 + t）− 5（1 + 2t）− 3（3 − 2t）− 4 = 0 ⇨ 3t² − 4t − 4 = 0 ⇨（t − 2）（3t + 2）= 0

⇨ t = 2 或 − 2

3 代回 L

故得 M（0﹐5﹐−1）﹐N（−8 3 ﹐−1

3 ﹐13 3） 2 令 d⇀ =（1﹐2﹐−2）為直線 L 之一方向向量 ⇨∣d⇀∣= √1 + 4 + 4 = 3

故得 MN =∣t1 − t2∣×∣d⇀∣=〔2 −（− 2

3）〕× 3 = 8

3 × 3 = 8

4 設直線 L：x + 1

1 = y − 1

−2 = z − 3

−2 與球面 S：x² + y² + z² = r² 相切﹐試求球面 S 之半 徑與切點之坐標•

x：球面 S：x² + y² + z² = r² ⇨ 得球心 Q（0﹐0﹐0）﹐半徑 r 令 d⇀ = （1﹐−2﹐−2）為 L 之一方向向量

而 A（−1﹐1﹐3）為直線 L 上之一個定點

⇨ A⇀Q =（1﹐−1﹐−3）

如右圖﹐設 p⇀ 為 A⇀Q 在 d⇀ 方向之正射影﹐則有 p⇀ =（A⇀Q•d⇀

∣d⇀∣² ）d⇀ =（1 + 2 + 6

1 + 4 + 4）（1﹐−2﹐−2）=（1﹐−2﹐−2）

因 L 與 S 相切﹐故球心 Q 到直線 L 之距離等於半徑 r 故得 r = d = d（Q﹐L）=

√

故 T（x﹐y﹐z）= O⇀T = O⇀A + p⇀ =（−1﹐1﹐3）+（1﹐−2﹐−2）=（0﹐−1﹐1）