高中數學（三） 隨 堂

21 – 1

3－3  球面方程式

高中數學 （三）

隨 堂 評 量 卷 ^{第　21　回}

範圍

一、多重選擇題（共 20 分）

下列哪些點位在單位球上？

A（0﹐−1﹐0）　B（1

2﹐0﹐− √3

2 ）　C（ 1

√2﹐− 1

√2﹐ 1

√2）　 D（− 1

√3﹐ 1

√3﹐− 1

√3）　E（1﹐1﹐−1）•

x：設單位球為 S：x² + y² + z² = 1﹐則球心 Q（0﹐0﹐0）﹐半徑 r = 1 A 設 A（0﹐−1﹐0）⇨ AQ² = 0² +（−1）² + 0² = 1² = r² ⇨ A ∈ S B 設 B（1

2﹐0﹐− √3

2 ）⇨ BQ² =（1

2）² + 0² +（− √3

2 ）² = 1 = r² ⇨ B ∈ S C 設 C（ 1

√2﹐− 1

√2﹐ 1

√2）⇨ CQ² =（ 1

√2）² +（− 1

√2）² +（ 1

√2）² = 3 2 ≠ 1 = r² ⇨ C ∉ S

D 設 D（− 1

√3﹐ 1

√3﹐− 1

√3）⇨ DQ² =（− 1

√3）² +（ 1

√3）² +（− 1

√3）² = 1 = r² ⇨ D ∈ S

E 設 E（1﹐1﹐−1）⇨ EQ² = 1² + 1² +（−1）² = 3 ≠ 1 = r² ⇨ E ∉ S 故ABD為正確

二、計算題（每題 20 分﹐共 80 分）

1 設 S：（x − 2）² + y² +（z + 5）² = 35﹐試求下列諸點是在 S 之內部､S 上或 S 之外 部•

1 A（0﹐0﹐0）• 2 B（−2﹐−3﹐−1）• 3 C（5﹐−1﹐−10）•

x：S：（x − 2）² + y² +（z + 5）² = 35 ⇨ 球心 Q（2﹐0﹐−5）﹐半徑 r = √35 1 A（0﹐0﹐0）⇨ AQ² =（0 − 2）² + 0² +（0 + 5）² = 4 + 0 + 25

= 29 < 35 = r² ⇨ A 在球 S 內部

2 B（−2﹐−3﹐−1）⇨ BQ² =（−4）² +（−3）² + 4² = 16 + 9 + 16 = 41 > 35 = r² ⇨ B 在球 S 外部

3 C（5﹐−1﹐−10）⇨ CQ² =（5 − 2）² +（−1）² +（−10 + 5）² = 9 + 1 + 25 = 35 = r²⇨ C 在球 S 上

21 – 2

2 試求通過原點 O 與 A（3﹐−1﹐2）﹐B（−2﹐0﹐−1）﹐C（−1﹐2﹐−1）的球面 方程式•

x：因過原點 O（0﹐0﹐0）﹐故可設所求球面方程式為

S：x² + y² + z² + dx + ey + fz = 0 ⇨ dx + ey + fz = −（x² + y² + z²） A（3﹐−1﹐2）∈ S ⇨ 3d − e + 2f = −（9 + 1 + 4）= −14      ……1 B（−2﹐0﹐−1）∈ S ⇨ −2d − f = −（4 + 0 + 1）= −5 ………2 C（−1﹐2﹐−1）∈ S ⇨ −d + 2e − f = −（1 + 4 + 1）= −6 ……3 1 + 2 + 3得 e = −25……4﹐代入1﹐3

3d + 2f = −14 + e = −14 − 25 = −39 ………5

−2d − 2f = −12 − 4e = −12 + 100 = 88 ………6 5 + 6得 d = 49 ………7 代入2得 f = −2d + 5 = −98 + 5 = −93

故得球面方程式為 S：x² + y² + z² + 49x − 25y − 93z = 0

3 試求以 A（1﹐3﹐−1）﹐B（−5﹐−3﹐7）為直徑兩端點的球面之一般式與標準式•

x：A（1﹐3﹐−1）﹐B（−5﹐−3﹐7）為所求的球面 S 直徑之兩端點﹐

則球面 S 為（x − 1）（x + 5）+（y − 3）（y + 3）+（z + 1）（z − 7）= 0

⇨ x² + 4x − 5 + y² − 9 + z² − 6z − 7 = 0 ⇨ x² + y² + z² + 4x − 6z − 21 = 0

⇨（x² + 4x + 4）+ y² +（z² − 6z + 9）= 21 + 4 + 9

⇨（x + 2）² + y² +（z − 3）² = 34

故得球面之一般式為 S：x² + y² + z² + 4x − 6z − 21 = 0 標準式為 S：（x + 2）² + y² +（z − 3）² = 34

4 設 k ∈ ℝ﹐若方程式 x² + y² + z² + 2kx − 6ky + 4kz + 4k² + 2k + 8 = 0 的圖形是一個 點﹐試求實數 k 之值與此點之坐標•

x：x² + y² + z² + 2kx − 6ky + 4kz + 4k² + 2k + 8 = 0

⇨（x² + 2kx + k²）+〔y² − 6ky +（3k）²〕+〔z² + 4kz +（2k）²〕 = −4k² − 2k − 8 + k² + 9k² + 4k²

⇨（x + k）² +（y − 3k）² +（z + 2k）² = 10k² − 2k − 8

方程式 x² + y² + z² + 2kx − 9ky + 4kz + k² + 5k − 8 = 0 的圖形是一個點（−k﹐3k﹐−2k）

⇨ 10k² − 2k − 8 = 0 ⇨ 5k² − k − 4 = 0 ⇨（k − 1）（5k + 4）= 0 ⇨ k = 1 或 − 4 5 1 當 k = 1 時﹐原方程式圖形為一點（−k﹐3k﹐−2k）=（−1﹐3﹐−2）

2 當 k = − 4

5 時﹐原方程式圖形為一點（−k﹐3k﹐−2k）=（4

5﹐−12 5 ﹐8

5）