⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ ⇀ 高中數學（三）

18 – 1

3－1  圓的方程式

高中數學 （三）

隨 堂 評 量 卷 ^{第　18　回}

範圍

計算題^（每題 20 分﹐共 100 分）

1 1 試求圓心為 Q（−2﹐−5）且過 P（4﹐3）的圓之一般式•

2 試求一直徑兩端點為 A（−1﹐2）﹐B（−5﹐−4）之圓的圓心與半徑•

x：1 設半徑為 r﹐則 r² = PQ² =（4 + 2）² +（3 + 5）² = 36 + 64 = 100 ⇨（x + 2）² +（y + 5）² = 100

⇨ x² + 4x + 4 + y² + 10y + 25 − 100 = 0 故得 x² + y² + 4x + 10y − 71 = 0

2 設 P（x﹐y）為所求圓 C 上之任意點﹐則 P⇀A =（x + 1﹐y − 2）﹐P⇀B =（x + 5﹐y + 4）

由∠APB = 90°⇨ P⇀A⊥P⇀B ⇨ P⇀A•P⇀B = 0 ⇨（x + 1）（x + 5）+（y − 2）（y + 4）= 0 ⇨ x² + 6x + 5 + y² + 2y − 8 = 0

⇨（x² + 6x + 9）+（y² + 2y + 1）= 3 + 9 + 1 ⇨（x + 3）² +（y + 1）² = 13

故得圓心為 Q（−3﹐−1）﹐半徑 r = √13

2 1 試判斷方程式 2x² + 2y² + x − y + 5 = 0 之圖形•

2 試判斷方程式 x² + y² − 4x + 6y + 13 = 0 之圖形•

x：1 2x² + 2y² + x − y + 5 = 0 ⇨ 2〔x² + 2•x•1

4 +（1

4）²〕+ 2〔y² − 2•y•1 4 +（1

4）²〕= −5 + 1 8 + 1

8 ⇨ 2（x + 1

4）² + 2（y − 1

4）² = −19

4 < 0 ⇨ x﹐y ∉ ℝ 故方程式 2x² + 2y² + x − y + 5 = 0 之圖形不存在（虛圓）

2 x² + y² − 4x + 6y + 13 = 0

⇨（x² − 4x + 4）+（y² + 6y + 9）= −13 + 4 + 9 ⇨（x − 2）² +（y + 3）² = 0 ⇨（x﹐y）=（2﹐−3）

故得方程式 x² + y² − 4x + 6y + 13 = 0 之圖形為一點（2﹐−3）

18 – 

3 試求圓心在 L：x + y − 1 = 0 上且過 A（−2﹐−5）﹐B（−4﹐3）的圓方程式•

x：設圓心為 Q（x﹐1 − x）∈ L﹐由 QA² = QB²

⇨（x + 2）² +（1 − x + 5）² =（x + 4）² +（1 − x − 3）²

⇨ x² + 4x + 4 + x² − 12x + 36 = x² + 8x + 16 + x² + 4x + 4

⇨ 8x + 4x − 4x + 12x = 4 + 36 − 16 − 4

⇨ 20x = 20 ⇨ x = 1

故圓心為 Q（1﹐0）﹐半徑平方為 QA² =（1 + 2）² +（0 + 5）² = 9 + 25 = 34 故所求之圓方程式為（x − 1）² + y² = 34

4 一圓通過 P（−2﹐5）且與 x 軸相切﹐若其半徑為 5﹐試求此圓方程式•

x：因與 x 軸相切且半徑為 5﹐而 P（−2﹐5）在第二象限

故可設圓心為 Q（h﹐5）﹐由 QP² = r²

⇨（h + 2）² +（5 − 5）² = 5² ⇨ h² + 4h + 4 + 0 − 25 = 0

⇨ h² + 4h − 21 = 0 ⇨（h + 7）（h − 3）= 0

⇨ x = −7 或 3

故所求之圓方程式為（x + 7）² +（y − 5）² = 25 與（x − 3）² +（y − 5）² = 25

5 試求到兩定點 A（2﹐−1）﹐B（−3﹐4）之距離比為 3：2 的所有點所形成之圓的 圓心與半徑•

x：設 P（x﹐y）為所求圓 C 上之任意點﹐則

PA：PB = 3：2 ⇨ PA²：PB² = 9：4 ⇨4PA² = 9PB²

⇨ 4〔（x − 2）² +（y + 1）²〕= 9〔（x + 3）² +（y − 4）²〕

⇨ 9（x² + 6x + 9 + y² − 8y + 16）− 4（x² − 4x + 4+ y² + 2y + 1）= 0

⇨ 9x² + 54x + 81 + 9y² − 72y + 144 − 4x² + 16x − 16 − 4y² − 8y − 4 = 0

⇨ 5x² + 70x + 5y² − 80y + 205 = 0

⇨ 5（x² + 14x + 7²）+ 5（y² − 16y + 8²）= −205 + 245 + 320 = 360

⇨（x + 7）² +（y − 8）² = 72

故得圓心為 Q（−7﹐8）﹐半徑為 r = √72 = 6√2