§3.1 不定积分的概念

1

第三章 一元函数积分学

§3.1 不定积分的概念

§3.2 不定积分的计算方法

§3.3 定积分概念及性质

§3.4 积分学基本公式

§

3.5

§3.7 定积分的应用

2

§3.1 不定积分的概念

• 3.1.1原函数与不定积分的概念

• 3.1.2不定积分的性质与基本积分公式

3

例

(

) ′ =

x

sin ^是cos x的原函数.

( )

x x x

x ln ^是

x

1 在区间(0,+∞)内的原函数.

3.1.1 原函数与不定积分的概念

定义 3.1

内的一个原函数。

在区间

是

，则称

或 恒有

使得对

内的函数，若存在函数 是区间

设

I

x f x

F dx

x f x

dF

x f x

F I

x

x F I

x f

) ( )

( )

( )

(

) ( )

( ' ,

), (

) (

=

=

∈

∀

注: 原函数不唯一,但不同的原函数之间只差一个常数.

4

定理3.1 若 是 在区间 内的一个原函数，

则集合 是由 的原函数

全体构成的集合，其中 称为 的原 函数的一般表达式。

) (x

F ^{f (x)} I

} {

C x

F( ) +

) (x f

) (x f

如 cos x 的原函数的一般表达式为

) (

sin x + C C为任意常数

在 的原函数的一般表达式为

x

1 (0,+∞)

) (

ln x + C C为任意常数

5

任意常数

积分号 被积函数

定义3.2（不定积分的定义）

C x

F dx

x

f = +

∫ ^{( )}

^{( )}

积表达式 积分变量

称为 f ( x)^在区间I ^{内的不定积分，记为}

∫

若^F(x) 是 ^{f (x)}在区间 内的一个原函数，则I

的原函数的一般表达式 ^{F(x) + C}

( 为任意常数

)

) (x f

即

注：求不定积分即为求原函数，不定积分和原函数是 计算定积分、重积分与解微分方程的基础，故很重要.

解

例1 求 . 1

1

∫ 2

+ dx x

( )

1

arctan 1 ₂

x x

= +

 ′

. arctan

1 1

∫ ₊

^{= +}

∴ dx x C

x

7

函数 f ( x)^{的原函数 F(x) 的图形称为} f ( x)^的一条积

分曲线,将其沿 y _{轴任意平行移动，可得} f ( x)^的无穷

多条积分曲线 ^{F(x) +C} ，称为 f ( x)的积分曲线族。

几何意义：一个积分曲线族。

若求通过点 （称为初始条件）的积分 曲线，由初始条件可确定积分常数 的值。

C x

F dx

x

f = +

∫

) ,

(x₀ y₀

C

8

∫

) 1

(

∫

∫

3.1.2 不定积分的性质与基本积分公式

∫

) 2

( ^k

∫

（

k

k ≠ 0 )

[ ^{f ( x ) dx} ] ^{f ( x ),}

dx

d ∫ =

^∫

⁼

∫

^′

⁼

∫

⁼

dx

,

+ C + C

（3）

（4）

1. 基本性质

9

例2 求积分

解 原式＝

. )

1 2 ( 3

2 2 dx

x x

∫ ⁻ ₋

dx x

x dx

∫

∫

1 2 1

3 1

x

− 3

= − 2arcsin x + C

结论：

1、微分运算与求不定积分的运算是互逆的；

2、检验积分结果是否正确，可对结果求导，看 是否等于被积函数；

10

2. 基本积分公式

µ µ

µ

x =

′



 





+

+

1

1 .

1

1

x C dx

x +

+

= µ

⇒

∫

) 1 (

µ

实例

启示 能否根据求导公式得出积分公式？

11

基 本 积 分 公 式



);

1 1 (

) 2 (

1 + ≠ −

= +⁺

∫

_µ

^µ

∫

4

( ^{( 0, 1);}

ln + C a a ≠ a

a^x



∫

5

( e^x

+

+ =

∫

) 6

( arctan x + C;

− =

∫

x² 1

) 1 7

( arcsin x

+

两种情况求。

－

和

＝－

则需讨论

无特殊的说明，

若对

时，

注：求

1

1

≠

∫

µ

µ µ

µdx x

; 1 ln

) 3

( dx x C

x = +

∫

; ) (

) 1

(

∫

⁼

⁺

^是常数

12

∫

) 9

( sin x + C;

∫ ^{sin xdx =}

) 8

(

∫

10

(

∫

∫

11

(

∫

; sec

tan sec

) 12

(

∫

cot csc

) 13

(

∫

13

例3 求积分 .

1

2 1

) 1 (

2 2 2

dx x

x

x x

∫

C x

x x

x x xdx dx

dx x

x dx x

+

−

−

=

−

−

=

− −

−

∫ ∫

∫

∫

arcsin 2

2 ln 1

arcsin 2

1 2 1

1

2

2 2

例4 求积分

解 原式＝

∫

∫

. 2tan

1 x + C

=

2 . cos 1

∫ + 1 dx x

14

例5 求积分

∫ _sin

¹ _cos

说明： 求不定积分时，先将被积函数化简 或运算，再利用不定积分的性质和 基本积分公式来求。

解 原式＝

C x

x

xdx xdx

x dx x

x x

+

−

=

+

=

+

∫

∫

∫

cot tan

csc sec

cos sin

cos sin

2 2

2 2

2 2

15

§3.2 不定积分的计算方法

3.2.1 换元换元法 3.2.2 分部积分法

16

问题

∫

解决方法 利用复合函数，设置中间变量.

过程 令 t = 2x , 2

1dt dx =

⇒

∫

∫

1、第一类换元法

3.2.1 换元换元法

17

在一般情况下：

设 F′(u) = f (u), ^则

∫

如果 u =

ϕ

) ( )]

( [ )])'

( [

( F ϕ x = f ϕ x ϕ ^′ x



∫

∴ f [

ϕ

ϕ

ϕ

∫

= [ f (u)du]_{u ϕ(x)} 由此可得换元法定理

18

设 f (u)^{具有原函数 F(u) ，}

∫

^ϕ

^ϕ

∫

第一类换元公式（凑微分法）

说明 使用此公式的关键在于将

∫ ^{g ( x ) dx}

^∫

^∫

观察重点不同，所得结论不同.

) ( x

u =

ϕ

则有换元公式 定理3.2

19

例1 求

∫

解（一） ^{= 1}₂

∫

（二） ^{= 2}

∫

∫

= 2 sin xd(sin x)⁼

(

)

（三） ^{= 2}

∫

∫

−

= 2 cos xd(cos x)^{= −}

(

)

原式

原式

原式

20

例3 求

∫

解

C x

C u

du u

x u

x d

x

+ +

= +

= +

=

+ +

∫

∫

51 50 51

50

) 5 2

102 ( 1 102

1 2

5 1 2

) 5 2

( )

5 2

2 ( 1

令

原式＝

例2 求

∫

^{' (}

⁾

⁽

⁾

解

原式

C x

f C

u

x f

u udu

x df

x f

+

= +

=

∫ =

∫ =

=

2

2 [ ( )]

2 1 2

1

)) (

( )

( )

( 令

一般地

) 0 )(

( ) 1 (

)

( + =

∫

∫

21

例4 求 .

) ln 2 1

(

1 dx

x

∫

解

原式

ln 2 1

1 d x

∫

=

) ln 2 1

ln ( 2 1

1 2

1 d x

x +

=

∫

x u = 1 + 2ln

∫

= du u

1 2

1 = ln u + C

2

1

ln 1 2 ln . 2

1 +

+

=

一般地 _{dx f x d x} x x

f 1 (ln ) ln

)

(ln

∫

∫

22

例5 求 1 ( 0).

2

2 ≠

∫

解 ^dx

a a

∫

+

= ₂

2 2

1 1

1 



 







 

 + 

=

∫

a

a x ²

1

1 1

. arctan

1 C

a x

a

+

= 原式

例6 求 1 ) . 1

(

1

2 e dx

x

x x

∫

解

1 , 1 1

x2

x x ′ = −



 

 +



∴ 原式 1)

(

1

x x d

e^{x x} +

=

∫

小结：例1－6应用凑微分可直接观察到。

23

常 用 的 三 角 函 数 关 系 式



1.积化和差公式：

2.倍角公式

] ) cos(

) [cos(

2 cos 1

cos

] ) cos(

) [cos(

2 sin 1

sin

] ) sin(

) [sin(

2 cos 1

sin

x x

x x

x x

x x

x x

x x

β α

β α

β α

β α

β α

β α

β α

β α

β α

+ +

−

=

+

−

−

=

− +

+

=

2 . 2 cos cos 1

2 ; 2 cos sin 1

; 2 2 sin

cos 1 sin

2 2

x x x x

x x

x

= +

= −

=

3.平方公式

. cot

1 csc

; tan

1 sec

; 1 cos

sin

2 2

2 2

2 2

x x

x x

x x

+

=

+

=

=

+

24

例7 求 . 1

1 dx e^x

∫

解

e dx e e

x x

∫

= 1

1 dx

e e

x

∫

= 1 1 e dx

dx e _x

∫

∫

= 1 (1 )

1

1 _x

xd e

dx e +

− +

=

∫ ∫

. )

1

ln( e C

x − + ^x +

=

一)原式 (

二)原式

( dx

e e

x

∫

= ₋ ⁻

1 ^{= −}

∫ ^d

_e ^e

C e

x

e e

C e

x

x x

x

+ +

−

=

+

− +

+

−

=

) 1

ln(

ln ln

) 1

ln(

25

例8 求 .

1 2

3 2

1 dx

x

∫

原式⁼

^∫ (

)(

)

dx x

dx

x

∫

∫

= 2 1

4 3 1

4 2 1

) 1 2

( 1 8 2

) 1 3 2

( 3 8 2

1 + + − − −

=

∫

∫

( ) (

)

12 3 1

12 2

1 ^{3 3}

C x

x + − − +

=

解

小结：例7－8被积函数经过适当的变形如加 减项或根式有理化，再应用凑微分。

26

例9 求 解

cos . 1

∫

( )( )

∫

= dx

x x

x

cos 1

cos 1

cos 1

∫

= dx

x x cos2

1

cos

1 ⁼

∫

∫

∫

= (sin )

sin 1 sin

1

2

2 d x

dx x x

sin .

cot 1 C

x + x +

−

=

原式

∫ _{1 +} ^dx _{sin x}

类似可求

27

解 ^{原式 =}

∫

∫

∫

−

= (cos )

cos 1

1

2 d x

x u = cos x

∫

−

= du

u² 1

1 ^{= − 1}₂

∫

u C + u +

= −

1 ln 1 2

1 C

x +x +

= −

cos 1

cos ln 1

2 1 例10 求

∫

x C

x +

= − ₂ ² sin

) cos 1

ln ( 2 1

. cot

csc

ln x − x + C

=

xx + C

= −

sin cos ln 1

∫ ^{sec xdx .}

类似可求

28

例11 求 解

. cos

sin^{2 5}

∫

∫

= sin² x cos⁴ xd(sin x)

∫

= sin² x (1 sin² x)²d(sin x)

∫

= (sin² x 2sin⁴ x sin⁶ x)d(sin x) . 7 sin

sin 1 5

sin 2 3

1 _{3 5 7}

C x

x

x − + +

=

原式

) ,

( sin

) sin

1 ( sin

cos sin

2 2

1 2 2

+ +

∈

−

= ∫

∫

Z n

m x

d x

x

xdx x

n m

n m

29

例12 求

∫ sin

cos

解 原式

降幂计算。

，利用倍角公式 注：对

2 2 cos cos 1

2 , 2 cos sin 1

) ,

( cos

sin

2 2

2 2

x x x x

Z n

m xdx

x ⁿ

m

= +

= −

∈ ⁺

∫

x dx

x ²

2 2 cos 1

2 2 cos

1 



 



 +



 



=

∫

x C x

x

x xd

x xd

dx

dx x x

x

dx x x

x x

dx x x

x

 +



 



 − +

=

+

−

=

+

−

=

−

− +

− +

=

−

− +

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

6 2 sin 8

4 sin 2

8 1

] ) 2 (sin 2

2 sin ) 1

4 ( 4 8 cos

1 2

[ 1 8 1

) 2 cos 2

sin 4

2 cos 1 2

(1 8 1

] 2 cos ) 2 sin 1

( ) 4 cos 1

2 ( 2 1

cos 1

8 [ 1

) 2 cos 2

cos 2

cos 1

8 ( 1

3

2 2

2 3

2

30

例13 求 解

. arcsin 2

4

1

2

xdx

∫

−

2 arcsin 2

1 2

1

2

d x x

∫



 



− 

=

2) (arcsin arcsin 2

1 x

xd

∫

=

.

arcsin 2

ln x + C

=

原式

小结：例9－12是三角函数求积分，常应用三角 函数中的关系式来变形再用凑微分来求。此类变 形通常较灵活多变，有一定的难度。

31

问题

∫

解决方法 改变中间变量的设置方法.

过程 令 x = sint ⇒ dx = cos tdt,

=

∫

∫

tdt t ²

5 cos

∫

= = 

（应用“凑微分”即可求出结果）

2、第二类换元法

32

其中ψ ⁻¹(x) _{是 x =}

_ψ

证 设^Φ(t) 为^{f [ψ (t)]ψ ′(t)} 的原函数,

则 dx

dt dt

x d

F′ )( = Φ ⋅ = f [

ψ

ψ

) ( 1 ψ′ t

⋅

)

1(

] ) ( ' )]

( [ [

) (

) ( ' )]

( [

. 0 )

( ' )

(

x

dt t

t t

f dx

x f

t t

f

t t

x

= −

∫ ⁼ ∫

≠

=

ψ ψ

ψ ψ

ψ

ψ ψ

公式 具有原函数，则有换元

又设

，且 是单调的、可导的函数

定理

设

)) ( (

)

(x ¹ x F = Φ

ψ

令

)]

( [ t f

ψ

= ^{= f ( x).}

说明F( x)^为 f ( x)的原函数,

∫ ^{= +}

∴

[

]

)

(x dx f t t dt t x

f ₋

∫

∫

第二类 积分换 元公式

33

例14 求 解

).

0 1 (

2

2 >

∫

令 x = atan t ⇒ dx = asec² tdt

tdt t a

a

sec

sec

1 ⋅

= ∫

∫

= sectdt

t a

x

2

2 a

x + .

ln ₁

2 2

a C a x

a

x

  +





 



 +

+

=



 



 − π π

∈ , 2 t 2

注1 用换元法得到的结果，必须代回原变量

原式

tan

sec

ln

+

+

=

( )

ln x + x² + a² + C C = C₁ − a

=

34

例15 求 解

).

0 1 (

2

2 >

∫

tdt t

a

dx = sec tan t dt a

t t

∫ a ^⋅

= tan

tan sec

∫

= sectdt = ln(sec t + tan t) + C₁

t a

x 2 2

a x −

1 2

2

)

ln( C

a a x

a

x − +

+

= 原式

) ln (

)

ln( x + x² − a² + C C = C₁ − a

=

2 ) 0

( π



时，  t

当x  a

令

=

) 1 (

法一：

35

时，

当

 −

令 x = − u , 则

由

知

1 2

2 1

2 2

2 2

2 2

) ln(

) ln(

1 1

C a

x x

C a

u u

du a

u dx

a x

+

− +

−

−

= +

− +

−

=

− −

− =

∫

∫

2 1

2 2

ln C

a

a x

x − − +

= −

) ln 2 (

)

ln(

−

−

−

+

=

−

=

知，

综合 ( 1 )( 2 )

.

1 ln

2

2

dx x x a C

a x

+

− +

− ==

∫

36

法二：

tdt t

a

dx = − csc cot

 



 



−

−

− =

=

∫

∫ ∫

2 0 ,

csc

0 2 , csc

cot

cot csc









t dt

t

t dt

t t dt

a

t t

a

π

π

, csc t a

x

= 令

原式

2 ) 0

( π



 t

 



 



− +

−

−

+

−

−

=

2 0 ,

)]

cot (csc

ln[

0 2 , )

cot ln(csc

1 1









t C

t t

t C

t t

π

π

37

) ln (C = C₁ − a

 



 





−

− + +

−

− +

−

−

=

a x

a C a x

a x

a x

a C a x

a x





, )]

( ln[

, )

ln(

1 2

2

1 2

2

. ln x + x

− a

+ C

=

价变形可得：

对上式分子有理化及等

原式

38

例16 求 解

.

4 ²

3 x dx

∫

令 x = 2sint dx = 2costdt ^{t ∈ }_^{− π}₂ ^{, π}₂ ^_^

(

)

=

∫

tdt t ²

3 cos sin

32

∫

= ⁼ 32

∫

d t

t cos ) cos (cos

32 ² − ⁴

−

=

∫

C t

t − +

−

= cos )

5 cos 1

3 (1

32 ^{3 5}

t

2 x

4 − x2

( ) (

)

5 4 1

3

4 ₂ ³ ₂ ⁵

C x

x + − +

−

−

= 原式