「遞降階乘多項式」 除以 x2− x − 1 的餘式與 OEIS A265165

數學傳播 44卷1期, pp. 85-88

「遞降階乘多項式」 除以 ^{x 2 − x − 1} 的餘式與 OEIS A265165

陳建燁

一、 序言

首先, 定義 x⁽ⁿ⁾ = x(x− 1) · · · (x − n + 1), 稱為 「x 的 n 次遞降階乘多項式」, 此種多 項式, 與第二類 Stirling 數, 有密切的關聯 (參考資料 [1])。

筆者在探索費氏數列與第二類 Stirling 數的過程中, 遇到了一個問題 : 「x(x−1) · · · (x−

n + 1)除以 x²− x − 1 的餘式為何?」 注意到其中的 x²− x − 1, 正是費氏數列的特徵多項式。

具體而言, 設 x(x − 1) · · · (x − n + 1) 除以 x²− x − 1 的餘式為 A_nx + B_n, 商式為 Q(x), 亦即 x(x − 1) · · · (x − n + 1) = (x²− x − 1) · Q(x) + Anx + B_n, 則 An 與 Bn 的 表達式為何, 又有什麼樣的規律呢?

回溯既往, 自多項式除法出現以來, 人們做過無數次的多項式除法, 早已發展出一般性的 結論, 即所謂的 「餘式定理」, 出現在每一位高中學生的數學課本上。 但是相對地, 作為一個特殊 情形, 拿 x(x − 1) · · · (x − n + 1) 除以 x²− x − 1, 在筆者有限的見聞之中, 並沒有看過針對 此特例量身打造的現成結論, 故藉此契機, 探索此一問題的答案。

另一方面, 拜科技進步之賜, 網路上有所謂的 OEIS, 即 On-line Encyclopedia of In- teger Sequences (線上整數數列百科) [2], 在研究數列時, 只要輸入數列的前幾項, 就能查詢 是否為已知的數列, 若為已知的數列, 還可查到其來源的論文或期刊所在, 是一個相當有用的工 具。

在試算了數列 A_n 與 B_n 的前幾項之後, 出人意料之外的是, 數列 B_n 與編號為 「OEIS A265165」 的數列, 「幾乎」 一模一樣 : 將正負交替出現的 Bn 取絕對值之後, 即可得 OEIS A265165。 但是查詢OEIS A265165的來龍去脈, 查到的卻是 [3], 看起來和筆者的問題, 可說 是風馬牛不相及。 這其中的奧妙, 引起了筆者的高度興趣。 在考察兩數列的遞迴關係之後, 證明 了一個結論 : 設 OEIS A265165 為數列 bn , 則有 Bn= (−1)ⁿ· bn。

85

86 數學傳播 44卷1期 民109年3月

二、 探索過程

( _一 ) _{多項式除法求餘式} :

先試算 B_n 的前幾項, 透過多項式除法, 可得 :

x⁽¹⁾= x = (x²− x − 1) · 0 + (x + 0) ⇒ A1 = 1, B₁ = 0, x⁽²⁾= x²− x = (x²− x − 1) · 1 + (0x + 1) ⇒ A2 = 0, B₂ = 1,

x⁽³⁾= x³− 3x²+ 2x = (x²− x − 1) · (x − 2) + (x − 2) ⇒ A3 = 1, B₃ =−2, x⁽⁴⁾= x⁴− 6x³+ 11x²− 6x

= (x² − x − 1) · (x²− 5x + 7) + (−4x + 7) ⇒ A4 =−4, B4 = 7, x⁽⁵⁾= x⁵− 10x⁴+ 35x³− 50x²+ 24x

= (x² − x − 1) · (x³− 9x²+ 27x− 32) + (19x − 32) ⇒ A5 = 19, B₅ =−32, x⁽⁶⁾= x⁶− 15x⁵+ 85x⁴− 225x³+ 274x²− 120x

= (x² − x − 1) · (x⁴− 14x³+ 72x² − 167x + 179) + (−108x + 179)

⇒ A6 =−108, B6 = 179.

至此, 可得 B_n 的前幾項為 :

B₁ = 0, B₂ = 1, B₃ =−2, B4 = 7, B₅ =−32, B6 = 179.

( _二 )OEIS A265165 :

透過 OEIS, 獲知參考資料 [3], 查閱之後, 在該文的第 13 頁, 有數列 bn , 其中有一段 說明 : 「The first values of bn (the number of basis permutations of length n) are 1, 2, 7, 32, 179, 1182, 8993, 77440 for 2 ≤ n ≤ 9. We added this sequence to the On-line Encyclopedia of Integer Sequences (hereafter abbreviated OEIS),see Sloane and collaborators(2016)... 」

無巧不成書 : 將 x(x − 1) · · · (x − n + 1) 除以 x² − x − 1 得餘式 Anx + B_n, 將 Bn

的前幾項取絕對值之後, 所得數列正是 OEIS A265165 的前幾項, 這是怎麼一回事呢?

( _三 ) _連結 :

在 [3] 的第 11 頁, 有 b_n 的遞迴關係式 : 「· · · Equivalently, its coefficients b_nsatisfy the recurrence b_n+2 = 2nb_n+1+ (1 + n− n²)b_n, b₀ = b₁ = 0, b₂ = 1」 於是, 試著考察 B_n 的遞迴關係 :

「遞降階乘多項式」 除以 x²− x − 1 的餘式與 OEIS A265165 87

設 x(x − 1) · · · (x − n + 1) 除以 x²− x − 1 的餘式為 Anx + B_n, 商式為 Q(x), 則有 x(x− 1) · · · (x − n + 1) = (x²− x − 1) · Q(x) + Anx + B_n

⇒ x(x−1)· · ·(x−n+1)(x−n)=(x²−x−1)·Q(x)·(x−n)+(Anx+B_n)(x−n).

注意到

(A_nx + B_n)(x− n) = Anx²+ (B_n− nAn)x− nBn

= A_n(x²− x − 1) + [B_n+ (1− n)A_n]x + (A_n− nB_n), 於是可得

x⁽ⁿ⁺¹⁾= x(x− 1) · · · (x − n + 1)(x − n)

= (x²− x − 1) · Q(x) · (x − n) + A_n(x²− x − 1) + [B_n+ (1− n)A_n]x +(A_n− nBn)

= (x²− x − 1) · [Q(x) · (x − n) + An] + [(1− n)An+ B_n]x + (A_n− nBn), 由此可得

A_n+1= (1− n)An+ B_n, (1) 與

B_n+1= A_n− nB_n, (2)

由 (2) 得

A_n = B_n+1+ nB_n ⇒ An+1 = B_n+2+ (n + 1)B_n+1. 於是式 (1) 成為 :

B_n+2+ (n + 1)B_n+1 = (1− n)(Bn+1+ nB_n) + B_n

⇒ B_n+2+ 2nB_n+1+ (n² − n − 1)B_n= 0.

令 B_n= (−1)ⁿ· c_n,得

(−1)ⁿ⁺²c_n+2+ 2n(−1)ⁿ⁺¹c_n+1+ (n²− n − 1)(−1)ⁿc_n= 0

⇒ c_n+2− 2nc_n+1+ (n²− n − 1)c_n = 0,

此式與數列 OEIS A265165 (即 b_n) 所滿足的二階遞迴式完全相同, 再注意到 c1 =−B1 = 0 = b₁ 與 c2 = B₂ = 1 = b₂, 即可得數列 c_n 與數列 b_n 完全相同, 於是有 c_n = b_n, 所以可

88 數學傳播 44卷1期 民109年3月

得 Bn= (−1)ⁿ· cn= (−1)ⁿ· bn, 至此, 證明了 Bn = (−1)ⁿ· bn, 這說明了 Bn 與 bn 兩數 列的關聯性。

三、 結語

本文對 Bn 與 bn 兩數列的關聯性, 有了一點初步的認識, 但是關於此兩數列的對應以及 背景, 仍有 「見樹不見林」 之感。 此外, 數列 An 的規律, 也有待探索。 特由此文拋磚引玉, 就教 於各位賢明的讀者。

參考資料

1. 陳建燁。 第二類 Stirling 數的完全齊次對稱多項式表示法(一) : 使用比較係數法。 高中數學學科中 心電子報第 131 期, 2018 年 2 月, 1-4。

2. https://oeis.org (The On-line Encyclopedia of Integer Sequences, founded in 1964 by N.J.A. Sloane).

3. Cyril Banderier, Jean-Luc Baril, Celine Moreira Dos Santos, Right-jumps & pattern avoiding permutations, Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, vol.18 : 2, 2017, 11-13.

—本文作者任教台北市立第一女子高級中學^—