1 − x 1 − x

(1)

高雄市明誠中學高二(上)平時測驗日期：94.12.12 班級普二班

範圍

4-1

圓方程式座號

姓名一、選擇題(每題 10 分)

1. 有一圓通過A(1，1)，且與圓C：x² + y² − 4x − 2y = 0 有相同的圓心(a，b)，則

(A)圓心為(1，2) (B)半徑為 5 (C)圓方程式為(x − 2)² + (y − 1)² = 5 (D) a + b = 3 (E)圓面積為 5

π

【解答】(D)

【詳解】C：(x − 2)² + (y − 1)² = 5 ⇒ 圓心P(a，b) = (2，1)，半徑r =

AP

= 1，故選(D) 2. (複選)設方程式ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 表示xy平面上的一個圓，則下列敘述何者正

確？(A) a = 1 (B) b = 0 (C) c之值可為 − 2 (D) a = c (E) d² + e² − 4af > 0

【解答】(B)(C)(D)(E)

【詳解】

(1) ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 表一圓 ⇒ b = 0，a = c ≠ 0 (2) ax² + ay² + dx + ey + f = 0 ⇒ x² + y² +

a d x +

a e y +

a f

= 0 ⇒ (x +

a d

2

)² + (y +

a e

2

)² = ²₂ 4a

d

+ ²₂ 4a

e

−

a

f

> 0 ⇒ d ² + e² − 4af > 0

3. (複選)在xy平面上，下列各方程式之圖形何者表示一圓？

(A)(x − 1)² + (y − 1)² = 3 (B) x² + y² + 2x + 4y + 5 = 0 (C) y = 1 x− ² (D) ，

θ

∈ R (E)(x − 1)(x + 1) + (y − 2)(y − 3) = 0

⎩⎨

⎧

+

= +

=

θ θ

cos 2 2

sin 2 1

y x

【解答】(A)(D)(E)

【詳解】

(A)(x − 1)² + (y − 1)² = 3 為一圓

(B) x² + y² + 2x + 4y + 5 = 0 ⇒ (x + 1)² + (y + 2)² = − 5 + 1 + 4 = 0 為一點(− 1，− 2) (C) y = 1 x− ² ⇒ y² = 1 − x² ⇒ x² + y² = 1，但 1 − x² ≥ 0，故圖形為圓之上半部

(D) ⇒ (x − 1)

⎩⎨

⎧

+

= +

=

θ θ

cos 2 2

sin 2 1

y

x

₂

+ (y − 2)² = 2²表一圓

(E)(x − 1)(x + 1) + (y − 2)(y − 3) = 0 ⇒ x² − 1 + y² − 5y + 6 = 0 ⇒ x² + (y −

2

5

)² = − 6 + 1 +

4 25

=

4

5

為一圓

二、填充題(每題 10 分)

1. 圓心在(− 1，4)，且通過(2，0)之圓的半徑為r，則r = 。

【解答】5

【詳解】設圓心 A(− 1，4)，點 P(2，0)，則半徑 r =

AP

= 5

(2)

2. 圓 3x² + 3y² + 9x − 6y + 1 = 0 的圓心坐標為。

【解答】圓心( −

2 3

，1)

【詳解】x² + y² + 3x − 2y +

3

1

= 0 ⇒ (x +

2

3

)² + (y − 1)² =

12 35 3 1 1 4

9 + − =

，圓心( −

2 3

，1)

3. 坐標平面上，圓C過點A(1，4)與B(0，3)，圓心在x軸上，則圓C方程式為。

【解答】(x − 4)² + y² = 25

【詳解】

設圓心P為(t，0)，則

PA

²=

PB

² ⇒ (t − 1)² + 4² = (t − 0)² + 3² ⇒ t = 4 圓心P(4，0)，半徑r² =

PB

²= t² + 3² = 25 ∴ 圓C：(x − 4)² + y² = 25 4. 圓心在直線y = x上且通過原點及(− 2，4)的圓方程式是。

【解答】(x − 5)² + (y − 5)² = 50

【詳解】∵ 圓心A在直線y = x上 ∴ 設圓心A(t，t) 而圓又過P(− 2，4)及O(0，0)，故

AP

²=

AO

²

(t + 2)² + (t − 4)² = (t − 0)² + (t − 0)² ⇒ t = 5 得圓心A(5，5) 而半徑r = AO = 50 ⇒ 圓C之方程式為(x − 5)² + (y − 5)² = 50

5. 通過三點(1，− 1)，(0，2)，(2，− 2)三點的圓方程式是，其面積 = 。

【解答】x² + y² − 10x − 4y + 4 = 0，25

π

【詳解】設圓C為x² + y² + dx + ey + f = 0

三點代入圓C ⇒ 得

則C：x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

) 2 2 (

) 2 0 (

) 1 1 (

，

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

− + +

= + + + +

= +

− + +

0 2

2 4 4

0 2

0 4 0

0 1

1

f e d

f e

f e d

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

=

−

=

4 4

10

f e d

2 + y² − 10x − 4y + 4 = 0 ⇒ (x − 5)² + (y − 2)² = 25，故圓面積 =

π r

² = 25

π

6. 設△ABC之三邊的直線方程式為 3x − y = 0，x − 2y = 0，x − y + 4 = 0，若包含△ABC之最

小圓的方程式為x² + y² + dx + ey + f = 0，求數對(d，e，f ) = 。

【解答】(16，− 12，0 )

【詳解】，解cd得A(0，0)，解ce得B(2，6)，解de得C( − 8，− 4)

設此三角形ABC的外接圓為x

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

3x − y = 0……c

x− 2y = 0……d x − y + 4 = 0……e

2 + y² + dx + ey + f = 0 因過A(0，0)，B(2，6)，C( − 8，− 4) ∴

解之得d = 16，e = − 12，f = 0，故(d，e，f ) = (16，− 12，0)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

−

= + + +

=

0 80 4

8

0 40 6

2 0

f e d

f

e

d

f

(3)

7. A(1，2)，B(− 3，0)，

(1)求以

AB

為直徑的圓K方程式，得。（以

x

² + y² + dx + ey + f = 0 形式表之）

(2)若點P(x，y)為圓K上之動點，則x + 2y + 7 之最大值為M，最小值為m，得數對 (M，m) = 。

【解答】(1) x² + y² + 2x − 2y − 3 = 0 (2) (13，3)

【詳解】

(1)利用直徑式：(x − 1)(x + 3) + (y − 2)(y − 0) = 0，得x² + y² + 2x − 2y − 3 = 0 (2) P(x，y) ∈圓K：(x + 1)² + (y − 1)² = 5

利用柯西不等式：[(x + 1)² + (y − 1)²](1² + 2²) ≥ [(x + 1) + 2(y − 1)]²

⇒ 5 × 5 ≥ (x + 2y − 1)² ⇒ − 5 ≤ x + 2y − 1 ≤ 5 ⇒ 3 ≤ x + 2y + 7 ≤ 13 得數對(M，m) = (13，3)

8. 坐標平面上，圓C過點A(1，4)與B(3，0)，圓心在y軸上，則圓C方程式為。

【解答】x² + (y − 1)² = 10

【詳解】

設圓心P(0，t)，則

PA

²=

PB

² ⇒ 1 + (t − 4)² = 9 + t²得t = 1，即圓心為P(0，1) 又半徑r =

PA

= 10 ，故圓C：x² + (y − 1)² = 10

9. 一圓的圓心在x軸上，半徑 3 且與圓x² + y² = 16 正交，則此圓的方程式為。

【解答】(x ± 5)² + y² = 9

【詳解】設所求圓的圓心O1(a，0)，兩圓一交點A。兩圓正交，即∠OAO1 = 90°

⇒

OO

₁²=

OA

²+

O

₁

A

² ⇒ a² = 4² + 3² = 5² ⇒ a = ± 5，(x ± 5)² + y² = 3²為所求

10.一圓與圓x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 同心，並且過點(− 1，1)，則此圓的方程式為。

【解答】x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0

(4)

【詳解】與圓x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 同心的圓方程式可設為x² + y² − 4x + 6y + k = 0 過點(− 1，1)，(− 1)² +1² + 4 + 6 + k = 0 ⇒ k = − 12，所求為x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 11.圓心在直線 2x − 3y − 5 = 0 上且通過兩點(6，0)，(5，3)的圓的方程式為。

【解答】(x − 4)² + (y − 1)² = 5

【詳解】設圓心P(a，b)，因圓心在直線 2x − 3y − 5 = 0 上，所以 2a − 3b = 5……c 又圓通過兩點A(6，0)，B(5，3)，所以

PA

=

PB

故(a − 6)² + b² = (a − 5)² + (b − 3)² ⇒ a − 3b = 1……d

解c，d得a = 4，b = 1，故圓心P(4，1)，半徑r =

PA

=

( − 2 )

²

+ 1

² = 5 所求圓的方程式為(x − 4)² + (y − 1)² = 5

12.一圓C過點(2，1)且與兩坐標軸均相切，則圓C的方程式為。（有二解）

【解答】(x − 1)² + (y − 1)² = 1 或 (x − 5)² + (y − 5)² = 25

【詳解】圓C過第一象限的點(2，1)且與x軸，y軸均相切

⇒ 圓心必在第一象限內且與x軸，y軸等距

設圓心(a，a)，半徑a，則圓的方程式為(x − a)² + (y − a)² = a²

過點(2，1) ⇒ (2 − a)² + (1 − a)² = a² ⇒ a² − 6a + 5 = 0 ⇒ a = 1 或a = 5 故圓的方程式為(x − 1)² + (y − 1)² = 1 或 (x − 5)² + (y − 5)² = 25

13.圓心在第一象限，通過A(1，1)和B(2，2)兩點且與x軸相切的圓方程式為。

【解答】(x − 2)² + (y − 1)² = 1

【詳解】

圓心在第一象限，且與x軸相切，設圓心(a，b)，a > 0，b > 0，半徑 = b

∴ 圓方程式：(x − a)² + (y − b)² = b²，過(1，1)，(2，2)

⇒ ⇒

c × 2 − d得a

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

=

− +

−

=

− +

−

2 2 2

) 2 ( ) 2 (

) 1 ( ) 1 (

b b a

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

=

− + +

−

=

− + +

−

0 4 4 4

4 0 2 1 2

1

2 2

b a

a

b a

a

……c

……d

2 − 4 = 0 ∴ a = 2 代入c得b = 1 ∴ 圓方程式為(x − 2)² + (y − 1)² = 1 14.圓C：(x − 1)² + (y + 2)² = 16 過點A(− 2，− 1)的所有弦之中點軌跡方程式為。

【解答】x² + y² + x + 3y = 0

【詳解】圓C的圓心為Q(1，− 2)，而點A在圓C的內部

∴ P(x，y)在軌跡上 ⇔ ^____

AP

^\ · = 0 ⇔ (x + 2，y + 1) · (x − 1，y + 2) = 0

⇔ (x + 2)(x − 1) + (y + 1)(y + 2) = 0 ⇔ x

____\

QP

2 + y² + x + 3y = 0

(5)

15.在平面上，A(3，− 2)，B(2，1)，設P為圓C：x² + y² = 4 上的動點，則△ABP之重心所成的圖形為何？

【解答】圖形為圓

【詳解】設P(

α

，

β

) ∈圓C：x² + y² = 4，則

α

² +

β

² = 4……c

△ABP之重心G：

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

+ +

= −

+

= +

3 ) 1 2 (

3 ) 2 3 (

β α y

x

，反而解得 ……d

d代入c ⇒ (3x − 5)

⎩⎨

⎧

+

=

−

= 1 3

5 3

y x β α

2 + (3y + 1)² = 4，即(x −

3

5

)² + (y +

3 1

)² =

9

4

，圖形為圓

16.如圖所示，有一圓拱橋，其中一孔圓拱的寬度

AB

= 30 公尺，拱高OP = 5 公尺，建造時 每隔6 公尺須用一根支柱支撐，求支柱

A

₂

P

₂的長度為多少公尺？________________公尺

（ 616 ≈ 24.8，答案可取近似值到小數第一位）

【解答】4.8

【詳解】令圓半徑為r = 5 + x

由直角△AOQ ⇒ (5 + x)² = 15² + x² ⇒ x = 20，半徑r = 5 + 20 = 25 由P2作 OP 之垂直線，垂足點為T

由直角△P2

TQ

⇒

QT

=

QP

₂²

− P

₂

T

² = 25²−3² = 616 則

A

₂

P

₂=OR =

QT

− x = 616 − 20 24.8 − 20 4.8

17.已知三圓C1：x² + y² + 2ax + 12y + 10a + 8 = 0，C2：x² + y² − 2x − a² + 2a = 0，C3：x² + y² − 22x − 6ay + 8a² − 25a + 36 = 0 的圓心共線，求a之值___________。

【解答】a = 4 或 − 5

【詳解】

C

1：(x + a)² + (y + 6)² = a² − 10a + 28，圓心O1(− a，− 6)

C

2：(x − 1)² + y² = a² − 2a + 1，圓心O2(1，0)，

C

3：(x − 11)² + (y − 3a)² = a² + 19a + 85，圓心O3(11，3a)

(6)

O

1，O2，O3共線 ⇒

+ a 1

6

=

10 3a

⇒ 3a(1 + a) = 60 ⇒ a² + a − 20 = 0

⇒ (a − 4)(a + 5) = 0 ⇒ a = 4 或 − 5

18.在xy平面上A(1，2)，B(− 3，0)，若點P(x，y)在以

AB

為直徑的圓上移動，則2x + y − 1 的最大值為。

【解答】3

【詳解】以A，B為直徑之圓C：(x − 1)(x + 3) + (y − 2)(y − 0) = 0 即P(x，y) ∈ C：(x + 1)² + (y − 1)² = 5

利用柯西不等式：[(x + 1)² + (y − 1)²](2² + 1²) ≥ [2(x + 1) + (y − 1)]²⇒5 × 5 ≥ (2x + y + 1)²

⇒ − 5 ≤ (2x + y + 1) ≤ 5 ⇒ − 7 ≤ (2x + y − 1) ≤ 3 ∴ 最大值為 3

19.坐標平面上，點A(2，4)與B(− 6，10)，則以

AB

為直徑的圓方程式為。（以參數式表示之）

【解答】⎩⎨⎧

+

= +

−

=

θ θ

sin 5 7

cos 5 2

y x

【詳解】圓心(h，k)為 A，B 之中點

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

+ =

=

−

− =

= +

2 7 ) 10 4 (

2 2 ) 6 ( 2

k h

，半徑 r =

2 1 AB

= 5

∴ 圓之參數式為，即

⎩⎨

⎧

+

= +

=

θ θ

sin cos

r k y

r h x

⎩⎨

⎧ +

= +

−

=

θ θ

sin 5 7

cos 5 2

y x

20. 設P(x，y)為圓x² + y² − 2y − 15 = 0 上的點，則 2x − y + 5 的最大值為。

【解答】4 5+ 4

【詳解】

圓C：x² + y² − 2y − 15 = 0 ⇒ x² + (y − 1)² = 16，則P(x，y) = (4cos

θ

，1 + 4sin

θ )

⇒2x − y + 5 = 8cos

θ

− 1 − 4sin

θ

+ 5 = 8cos

θ

− 4sin

θ

+ 4 =

sin ) 4 5

cos 4 4 5 ( 8 5

4

θ

−

θ + 4

= 4 5 sin(

φ

−

θ ) + 4，其中sin φ

= 5

2 ，cos

φ

= 5 1

∴ 當sin(

φ

−

θ ) = 1 時，2x − y + 5 有最大值 = 4 5 + 4

21. 若P為x² + (y − 1)² = 4 上的任一點，令O為原點，Q為(3，− 4)，則△POQ面積的最大值為。

【解答】

2 13

【詳解】

因為P為x² + (y − 1)² = 4 上的任一點，故可設P(x，y) = (2cos

θ

，1 + 2sin

θ )， θ

∈ R

∵

OP

^____^\ = (2cos

θ

，1 + 2sin

θ )，

^\ = (3，− 4)

____

OQ

(7)

∴△POQ面積 = | 4 3

sin 2 1 cos

| 2 2 1

−

+

θ

=

2

1

|( − 8cos

θ

− 3 − 6sin

θ )| = | − 4cos θ

− 3sin

θ

−

2 3

|

= | − 5(

5

4

cos

θ

+

5

3

sin

θ

) −

2

3

| = | − 5(sin

φ cos θ

+ cos

φ sin θ ) − 2

3

|（sin

φ

=

5

4

，cos

φ

=

5 3

）

= | − 5sin(

θ

+

φ

) −

2

3

|，故當sin(

θ

+

φ

) = 1 時，△POQ面積的最大值為