高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：97.01.09 班級
範
圍 3-4 多項函數
座號
姓 名 一、選擇題 (每題 10 分)
1、( C ) 針對二次函數y=2x2+4x− 的極值討論，以下何者正確？ 3
(A)y 有最大值−5 (B)y 有最小值−3 (C)− ≤ ≤2 x 2時，y 有最大值 13 (D)− ≤ ≤ 22 x 時，y 有最小值−3 (E)0≤ ≤x 2時，y 有最小值−5 解析：y=2x2+4x− =3 2(x2+2x+ − =1) 5 2(x+1)2−5，∴ y 最小值−5
當− ≤2 x≤2時，y 有最大值 13，最小值−5， 0≤ ≤x 2時，y 有最小值−3
2、( B ) 若二次函數y=ax2+bx+ 的圖形如下，則下列那一項確定為正？ c (A)a (B)b (C)c (D)b2−4ac (E)100a+10b+c
解析：開口向下 a<0 , y軸交點c<0 ,頂點於 軸右方y 0 0 2
b b
− a > ⇒ >
x軸沒交點 b2−4ac<0 ，x=10代入⇒100a+10b c+ <0
3、( C ) 在 xy 平面上，畫出y=mx b+ ，與y=ax2+mx b+ (a≠0)的圖形，下面那一個選
項可能發生？ (A) (B)
(C) (D) (E)
解析：∵y=ax2+mx b+ 為y=mx b+ 與y=ax2相加而得 又y=mx b+ 與y=ax2兩圖形之 y 截距均相同為(0, b)
y=ax2圖形如下：
(1)當 a > 0 時 (2)當 a < 0 時
a > 0 時y=ax2+mx b+ 恆大於 y mx b= + ，即y=ax2+mx b+ 圖形恆於 上 方
a < 0 時
y=mx b+ y=ax2+mx b+ 恆小於 y mx b= + ，即y=ax2+mx b+ 圖形恆於 下 方
y=mx b+
4、( E ) 已知拋物線y=ax2+bx+ 之圖形與 x 軸不相交，則其條件為 c (A)a>0 (B)a<0 (C)ab<0 (D)ac>0 (E)b2−4ac< 0 解析：∵與 x 軸不相交，∴b2−4ac<0
5、( A ) 在 xy 平面上畫出y=ax b+ 與y=bx+ 的圖形 (a a≠ ，下面那一個選項可能發b)
生？(A) (B) (C)
(D) (E)
解析： y ax b (1, )，故只剩下(A)與(D)，
y bx a a b
= +
⎧ ⇒ +
⎨ = +
⎩
因為(D)中 2 線斜率a b, 為正，但截距b a, 均負。(不合)
6、( CDE )(複選)對於二次函數 f x( )= − + + 的敘述，下列何者正確？ x2 x 3 (A)頂 點 ( 1
2, 3) (B)對 稱 軸 1 2 0
x+ = (C)若 −1≤x≤1，則 f(x)之 最 大 值13 4 (D)若 −2≤x≤0， 則 f(x)之 最 大 值 3 (E)將 y=−x2 + x + 3 的圖形水平右移 2 單位，再鉛直下移 1 單位所得的拋物線方程式為 y=−(x− 5
2)2 +9 4
解析： 2 2 1 2 1 2 1
( ) 3 [ ( ) ] 3 ( ) ( )
2 2 2
y= f x = − + + = −x x x − +x + + = − −x 2+13 4 ， 頂 點 ( 1
2,13
4 )， 對 稱 軸 1 2 0
x− = ， 當−1≤x≤1 時，y有最大值13
4 、 最小值 3 當−2≤x≤0 時，y有最大值 3、 最小值−3
1 2 1 ( )
2 4
y= − x− + 3的圖形水平右移 2 單位，再鉛直下移 1 單位所得的拋物線方程式為 1 2 13
[ ( 2)] ( 1)
2 4
y= − −x + + − ⇒ y=−(x− 5 2)2 +9
4
7、( BD ) (複選)設 f x( )=x2 +a(1−x2)為一實係數多項式函數， 為常數。
下列敘述何者正確：
a
(A)不論 是何值，a f x 的函數圖形都不可能是直線。 ( )
(B)不論 是何值，若a f x 有極值，極值都等於 。（極大值與極小值統稱極值) ( ) (C) 有可能是
a 0 f x 的極大值。 ( )
(D)若a≠0，則 f x( )=0無重根。
解析：y= f x( )=x2+a(1−x2)⇒ y = −(1 a x) 2+ a
(A)當 時, ，圖形為一水平直線
(B)當 時，
1
a= f x( )=1 1
a< f x 在( ) 時，有極小值 a 當 時，
0 x= 1
a> f x 在( ) 時，有極大值 a 當 時， 在
0 x= 1
a= f x( )=1 x為任意實數時，均有極值1=a 綜合以上討論知：不論 a 為何值，極值均等於 a (C)由(B)知， ( )f x 之極值均為 a
∴若 0 要為 ( )f x 之極值，則 a 必須為 0，而a=0時是產生極小值非極大值 (D)¬若a=1，則 f x( )=1 ∴ f x( )= 無解，當然無重根 0
−若a≠1則 f x( )= −(1 a x) 2+ a
判別式D=02− × − ×4 (1 a) a =4a2−4a =4 (1a −a)≠ (∵0 ,1)，
∴ 無重根
0 a≠ ( ) 0
f x =
8、( C ) 已知二次函數y=ax2+bx+ 的圖形，會通過四個象限，則其條件為何? c (A)b2−4ac> 0 (B)ac>0 (C)ac<0 (D)a>0 (E)a<0 解析：條件為ac<0或 c 0
= <a
αβ 即兩實根異號
二、填充題 (每題 10 分)
1、 二次函數y= f x( )=ax2+bx− 已知 ( 3)5 f − = f(1)且 (3) 35f = ，則 2
b
− a = ____ ,b=_____。
答案： 16 1, 3
−
解析：∵f( 3)− = f(1) ⇒ =y f x( )過 ( 3− , ( 3)), (1, (1))f − f ，
∴頂點x坐標 3 1
1 , 2
2 2
b b a
a
− =− + = − ∴ =
8 1
(3) 35, 9 3 40, 15 40 , ,
3 3
f = a+ b= a= a= b=
∵ ∴ 6
2、 某次考試，班上同學得最高分為 55 分，最低分為 15 分，經同學要求將分數調整，老 師決定用一線型函數來加分使 55 分變成 90 分，15 分變成 60 分，今已知甲原考 23 分，試問調整後為_________分。
答案：66
解析：設該線型函數y= f x( )=ax b+ ，x 表原分數，y 表新分數
∴
3
90 55 4
60 15 195
4 a b a
a b b
⎧ =⎪
= +
⎧ ⇒⎪
⎨ = + ⎨
⎩ ⎪ =
⎪⎩
，故 3 195
( ) 4 4 y= f x = x+ ；
∴ 3 195
(23) 23 66
4 4
f = × + = （分）。
3、 將二次函數 1 2 ( 2)
y= 2 x− − 2 的圖形向 x 軸方向左移 h 個單位，y 軸方向下移 k 個單位後，
得新的二次函數 1 2 2 4
y= x + − ，則數對 ( , )x h k = ___________。
答案： 5
(3, ) 2
解析：新的二次函數 1 2 1 2
4 ( 1)
2 2
y x x x 9
= + − = + − 2
頂點由 (2, 2)− 向 x 軸方向左移 h 個單位，y 軸方向下移 k 個單位後為 9 ( 1, )
− 2 ，
9 5
(2 , 2 ) ( 1, ) 3,
2 2
h k h k
− − − = − ⇒ = =
4、 y=ax2+bx+ 的圖形通過(c −1, 1)，且在x= −2時有最大值 3，則此二次函數為y=______
答案：−2x2−8x− 5
解析：設 y=a x( +2)2+ 3且 a < 0，(− , 1)代入1 1= +a 3， ∴a= −2
∴y= −2(x+2)2+ = −3 2x2−8x−5
1
5、 二次函數y=x2+2(a+1)x+a2+4a+6與二次函數y= − +x2 2bx b− 2+2b− 有相同的頂 點，則a=_______,b=_______。
答案：−2, 1
解析： ，頂點相同
2 2
( 1) 2 ( ) 2 1
y x a a
y x b b
⎧ = + + + +
⎪⎨
= − − + −
⎪⎩
5 1 =
2, 1 2 5 2 1
a b
a b
a b
− − =
⇒⎧⎨⎩ + = − ⇒ = −
6、 一個二次函數，通過 (3,1), (1,1) 和 ( 1− ,5) 三點，求此二次函數 y = ________________，
又其頂點坐標為____________。
答案：1 2 5 2 , 2x − x+2 1
(2, ) 2
解析：通過 (3,1), (1,1)，即頂點 (2, )k ，
設二次函數 1 1
( 2) ( 1, 5) ,(1,1), ,
2 2
y=a x− +k 代入 − 得a= k=
∴ 1 2 1 1 2
( 2) 2
2 2 2
y= x− + ⇒ =y x − x+5
2，且頂點為 (2,1 2)
7、 設y=(x−1)2+ −(x 2)2+ −(x 9)2，則當x=________時，y 有最小值為_______。
答案：4, 38
解析：y=3x2−24x+86=3(x−4)2+38，∴x=4，y 有最小值 38
8、將 15 分成兩個整數，使其乘積為最大，則此二數為_______與_______。
答案：7, 8
解析：x+ =y 15時 xy 之 max，此時 x = y，但 x、y 均為整數，故取二數為 7 與 8。
9、設某個二次函數其頂點在(2, 3)，且經過點(3,−1)，則此函數方程式為________________。
答案：y= −4x2+16x− 31
解析：設y=a x( −2)2+ 3，(3, −1)代入 − = +1 a 3, ∴a= −4， 故y= −4(x−2)2+3= −4x2+16x− 31 。
3
10、將二次函數y=2x2−4x+ 之圖形沿著 x 軸向左平移 2 個單位，沿著 y 軸向上平移 3 個 單位後所得到之新方程式為_____________。（以y=ax2+bx+ 表示） c
答案：y=2x2+4x+ 6
解析：原方程式y=2x2−4x+3=2(x2−2x+1 ) 3 2 12 + − × 2 =2(x−1)2+ ⇒ 頂點1 (1,1) 平移後：新頂點 (1−2,1 3)+ = −( 1, 4)⇒新方程式y=2(x+1)2+4 =2x2+4x+ 。 6
11、在邊長為 4 的正方形 ABCD 的三邊長 AB ,BC,CD上各取一點 P,Q,R，
使 2AP=BQ=2CR，則△PQR的最小面積為______，此時AP= _____。
答案：7 2; 3
2
解析： △PQR面積 4 (4 ) 1 1
16 (4 ) 2 (4 2 )
2 2 2
x x
x x x x
⋅ − +
= − − − ⋅ − ⋅ −
=2x2−6x+8 3 2 7 2( )
2 2
= x− +
∴當 3
x= 時，最小值2 7
= 。 2
即 3
AP= 時， △2 PQR的最小面積為7 2。
12、果園中種了 45 棵橘子樹，平均每棵年產 300 個橘子，依過去經驗，在此果園中，每加 種一棵橘子樹則平均每棵年產量減少 5 個，試問應加種多少棵，才能使年總產量最大？
又最大年總產量為多少個橘子？
答案：設加種 x 棵，可得年總產量 y 個橘子 (45 )(300 5 )
y= +x − x 5x2 75x 13500
= − + +
5(x2 15 ) 13500x
= − − +
2 2
15 15
5( ) 13500 5 ( )
2 2
= − x− + + ×
但x∈]， ∴應加種 7 棵可得最大產量 (7) (45 7)(300 35) 13780f = + − =
13、設y= f x( )=(x2+2x+1)(x2+2x+ −5) 2(x2+2x+ +7) 9，則當x=________時， ( )f x 有 最小值為________ 。
答案：−1, −3
解析：設t=x2+2x+ =1 (x+1)2 ≥0
原式y=t t( + −4) 2(t+ +6) 9= + − = +t2 2t 3 (t 1)2−4 但 t≥0
∴在 t = 0 即x= −1時 f (x)有最小值−3
14、設y=x2−2x− 與5 y=2x−1兩圖形交於 A, B 兩點，則AB 之長為________。
答案： 4 10
解析： 其解為
2 2 5
2 1
y x x
y x
⎧ = − −
⎨ ⇒
= −
⎩
2 4 4
x − x− = 0 α β, 故α β+ =4, αβ = −4, 且 A( ,2α α−1), B( , 2β β −1)
2 2 2
( ) (2 1 2 1) 5( ) 5
AB= α β− + α − − β+ = α β− = α β −
2 2
(α β− ) =(α β+ ) −4αβ =16 16+ =32 ⇒ −α β =4 2 ，∴AB= 5 4 2× =4 10
15、k∈\，試就 k 值討論方程式 x2−3x + − = 的相異實根的個數。 x 4 k (1)當__________時，有 1 個實根
(2)當__________時，有 2 個相異實根，
(3)當__________時，有 3 個相異實根，
(4)當__________時，有 4 個相異實根 (5)當__________時，無實根
答案：方程式 x2−3x + − = ⇒ 即解聯立方程組 x 4 k
2 3 4
y x x x
y k
⎧ = − + −
⎪⎨
⎪⎩ = 使x2−3x=0, x x( − = ⇒ =3) 0 x 0或 3
2 3 4
y= x − x + − x
x 0 2 3
y −4 0 −1 當 或 時 當 0 3
圖形如右上
(1) 時，有 1 個實根
(2) 或 時，有 2 個相異實根，
(3) 時，有 3 個相異實根，
(4) 時，有 4 個相異實根 3
x≥ x≤0 y=x2−2x− =4 (x−1)2− 5 4 4 ( 2) 0
x y x x x
< < 時 = − + − = − − +
1 1
0
2 2
4 k= −
0
k> − < < −4 k 0
k= 或− 1 k
− < <
(5) k< −4 時，無實根
