ax + by + cz + 1 = 0，則 a + b + c 之值為(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

高雄市明誠中學 高二(上)平時測驗 日期：94.10.31 班級 普二 班

範 圍

2-4

空間平面方程式 座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1. 已知空間中二點 A(2，0，1)，B(− 1，1，2)，若線段AB之垂直平分面方程式為

ax + by + cz + 1 = 0，則 a + b + c 之值為(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

【解答】(A)

【詳解】

平面 E 之法向量n^K=^____

BA

2 1，

2 1，

2 3) 則 E：3(x −

2

1) − (y − 2

1) − (z − 2

3) = 0 ⇒ 3x − y − z + 2 1 = 0

⇒ 6x − 2y − 2z + 1 = 0 ∴ a + b + c = 6 + (− 2) + (− 2) = 2

二、填充題(每題 10 分)

1. 點P(1，−1，1)對於平面E之對稱點為Q(13，35，− 3)，則E之方程式為 。

【解答】3x + 9y − z − 175 = 0

【詳解】

PQ之中點 M(7，17，− 1) ∈ E，^____

PQ

取平面 E 之法向量n= (3，9，− 1)

∴ E：3(x − 7) + 9(y − 17) − (z + 1) = 0 ⇒ E：3x + 9y − z − 175 = 0 K

2. 兩平面 2x − y − 3z = 5 與 3x + 2y − z = 8 的夾角為 。

【解答】3 π 或

3 2π

【詳解】

cos

θ

2 2

2 2 2

2 ( 1) ( 3) 3 2 ( 1)

2

| ) 1 ( ) 3 ( 2 ) 1 ( 3 2

|

− + +

− +

− +

−

×

− +

×

− +

×

． =

14 7 =

2

1 ⇒cos

θ

θ

3 π 或

3 2π

3. 兩平面ax + 3y + 5z = 3 與 2ax − y + az = 1 互相垂直，則a = 。

【解答】2

1或 − 3

【詳解】

法向量(a，3，5)，(2a，−1，a)互相垂直

⇒ a(2a) + 3(− 1) + 5．a = 0 ⇒ 2a²

+ 5a − 3 = 0

∴ (a + 3)(2a − 1) = 0 ⇒ a = − 3 或 2 1

4. 垂直於E1：x − y + 2z + 3 = 0，E2：2x + y + 3z + 5 = 0，且過點A(2，3，2)之平面方程式為 。

【解答】5x − y − 3z − 1 = 0

【詳解】

= (1，− 1，2)， = (2，1，3)

⇒ × = (

___\

n

___\

n2 ___\

n1 ___\

n2 1 2

1 3

− ， 2 1

3 2 ， 1 1 2 1

− ) = ( − 5，1，3 )

E：5(x − 2) − (y − 3) − 3(z − 2) = 0 ⇒ 5x − y − 3z − 1 = 0

5. A(1，3，2)在平面E上之投影點為B(2，1，0)，則C(3，5，1)到平面E的距離為 。

【解答】3

【詳解】

法向量 ^\

____

AB= (1，− 2，− 2) ⇒ E：(x − 2) − 2(y − 1) − 2z = 0 ⇒ x − 2y − 2z = 0

d(C，E) =

4 4 1

| 2 10 3

|

+ +

−

− = 3

6. 平面 2x + 3y + 6z = 12，交x，y，z軸於點A，B，C，則△ABC在平面 2x − 2y + z = 1 上正 射影的面積 = 。

【解答】3 8

【詳解】

平面 2x + 3y + 6z = 12 與 x，y，z 軸交點分別為 A(6，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，2)

= (− 6，4，0)， = (− 6，0，2)

⇒ △ABC 的面積 =

____\

AB

____\

AC

2

1 ^____\ ₂ ^____\ ₂ ^{____\ ____\} ₂ ) (

|

|

|

|AB AC − AB．AC = 2

1 784= 2 28= 14 2x + 3y + 6z = 12 與 2x − 2y + z = 1 所夾銳角

θ

⇒ cos

θ

21 4 7 3

4 1 4 4 36 9 4

| ) 1 2 2 ( ) 6 3 2 (

| =

= × + + +

+

−

．

，

，

．

，

，

△ABC 在 2x − 2y + z = 1 上正射影的面積為(△ABC) cos

θ = 14

3 8 214 =

×

7. 設一平面E平行平面 2x + y + 2z − 1 = 0 且與三坐標平面所成四面體之體積為 9，則此平面

E的方程式為 。

【解答】2x + y + 2z = ± 6

【詳解】

∵ 平面E與平面 2x + y + 2z − 1 = 0 平行

∴ 令平面E的方程式為 2x + y + 2z = k，則 1

2 2

x y z

k + k + k =

∵ E與三坐標平面所圍成的四面體體積 V =

| 2 6

1 k．k． | |

24 | 1 2

k3

k =

∴ 24

1 | k |³ = 9 ⇒ | k |³ = 6³ ∴ | k | = 6 ⇒ k = ± 6 故平面E的方程式為 2x + y + 2z = ± 6

8. 空間中含A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)之平面方程式為 。

【解答】x + y + z = 1

【詳解】用截距式得

1 1 1

z y

x+ + = 1，即 x + y + z = 1

9. 平面E1：x + 2y − 3z + 2 = 0，E2：3x − 2y + z + 5 = 0 相交於直線L，任取L上兩相異點P，

Q，若點A( − 3，1，0)，則平面APQ的方程式為 。

【解答】9x + 10y − 17z + 17 = 0

【詳解】

點P，Q在平面APQ上 ⇒ L在平面APQ上

而L為平面E1：x + 2y − 3z + 2 = 0，E2：3x − 2y + z + 5 = 0 的交線，而A ∉ E1

∴ 可設平面APQ的方程式為 (3x − 2y + z + 5) + t(x + 2y − 3z + 2) = 0

∵ 過點A( − 3，1，0)代入 ∴ t = 6

∴平面APQ：(3x − 2y + z + 5) + 6(x + 2y − 3z + 2) = 0⇒平面APQ：9x + 10y − 17z + 17 = 0 10.過點A( − 2，1，1)，B(1，1，3)的平面E，若與平面F：x − 2y + 3z = 5 垂直，則E的方程

式為 。

【解答】4x − 7y − 6z + 21 = 0

【詳解】

設平面 E，F 的法向量各為 ∵ E⊥F ⇒

又 A，B ∈ E ⇒ ∴ 為 ，

___\ 2 ___\

1

n

n ，

___

2 ___\

1

n

n

____\ ___\

1

AB

n

n

___\

n

____\

AB的公垂向量 由^___

n

____\

AB= (3，0，2)

⇒ ^___

n

___\

n

AB

− ， 3 1

2 3 ， 1 2 3 1

− ) = (− 4，7，6 ) = − (4，− 7，− 6)

∴ E：4x − 7y − 6z + 21 = 0

11.設過點A(1，0，0)，B(0，0，

3

1)的平面E與平面F：x + z = 2

1的銳夾角為 45°，則E的方程 式為 。

【解答】x± 6

y + 3z = 1

【詳解】

∵ 平面E過點A(1，0，0)，B(0，0，

3

1) ∴ E的x截距為 1，y截距為 3 1

設E： 1

1 1

3

x y z

+ +

b

n

b 1，3)

而F：x + z = 2

1的法向量為 = (1，0，1)

cos45° =

___\

n

|

|

|

|

|

|

___\ 2 ___\

1 ___\

2 ___\

1

n n

n n

．

． ⇒

1 2 10

4 2

1

2．

+b

= ⇒ b² =

6

1 ⇒ b = 6

± 1

∴ E：x± 6

y + 3z = 1

11.空間坐標系中，有一平面鏡E，有一雷射光線經過點A(1，3，2)射向鏡面E上的 點B(0，1，0)，反射又經過點C(− 4，5，2)，則平面E方程式為 。

【解答】x − 4y − 3z + 4 = 0

【詳解】

由光學原理， BC 之延長線必經過 A 關於平面 E 的對稱點 A′，

且A′B=AB= 3，又 = (− 4，4，2)，且 上的單位向量

=

____\

BC

____\

BC

uK

|

|

____\ ____\

BC

BC =

(− ，， = ( 3

−2

，3 2，

3 1)

⇒

A′

B

|

| ^\

____

____\

BC

BC

3

−2

，3 2，

3

1) = (− 2，2，1) 即(− x，1 − y，− z) = (− 2，2，1)，得 A′(x，y，z) = (2，− 1，− 1) 平面 E 之法向量為 = (1，− 4，− 3)，又過 B 點(0，1，0)

∴ E：(x − 0) − 4(y − 1) − 3(z − 0) = 0，即 E：x − 4y − 3z + 4 = 0

____\

A A ′

12.平面E包含兩平面 2x + y − 4 = 0 及y + 2z = 0 之交線，且垂直平面 3x + 2y − 3z − 6 = 0，則

E之方程式為 。

【解答】2x + 3y + 4z − 4 = 0

【詳解】

設 E：(2x + y − 4) + k(y + 2z) = 0……c

⇒ E：2x + (k + 1)y + 2kz − 4 = 0，法向量nK

= (2，k + 1，2k) 而 E′：3x + 2y − 3z − 6 = 0 之法向量 = (3，2，− 3)

∵ E ⊥ E′ ∴ ． = 6 + 2k + 2 − 6k = 0 ⇒ k = 2 代入c

⇒ E：2x + 3y + 4z − 4 = 0

___\

n′

nK ^___\ n′

13.設平面 E：x − 2y + 2z + 3 = 0，求平行 E 且距離為 3 的平面方程式。

【解答】x − 2y + 2z − 6 = 0 或 x − 2y + 2z + 12 = 0

【詳解】

設所求平面為 x − 2y + 2z + k = 0

則 2 2 2

2 ) 2 ( 1

| 3

|

+

− +

− k = 3 ⇒ | 3 − k | = 9 ∴ 3 − k = ± 9 ⇒ k = − 6 或 12

∴ 所求方程式：x − 2y + 2z − 6 = 0 或 x − 2y + 2z + 12 = 0

14.求平行於平面 x + y − 3z + 1 = 0 且 x，y，z 軸截距和 = 10 的平面方程式。

【解答】x + y − 3z − 6 = 0

【詳解】

設所求平面 x + y − 3z = k，則三軸截距 , ,

3 x=k y=k z= −k 截距和 = k + k −

3

k = 10 ⇒ k = 10 × 5

3= 6 ∴ x + y − 3z − 6 = 0 為所求

15.在右圖所示的長方體中，M 點在 FG 上，且 MG

FM 2

= 1 ，求通過 H 點，且與DM 垂直 的平面方程式。

【解答】3x − 6y + z + 5 = 0

【詳解】

如圖，D(0，0，1)，B(0，4，0)，F( − 2，4，

0)，

FG

OD

1 =

=

∴ M( − 2，4，

3

1) ⇒ ^_____

DM

3 2) 故通過 H 垂直DM 的平面法向量為

∴ 所求平面方程式為 − 2(x + 2) + 4(y − 0) −

_____\

DM

3

2(z − 1) = 0，即 3x − 6y + z + 5 = 0 為所求

16.設點 A(− 2，− 2，2)，B(6，1，− 2)，若AB交平面

E：2x + y − 2z = 5 於 C 點，則 AC ： BC =？

【解答】5：4

【詳解】

AC ： BC

= 3

| 5 4 2 4

|− − − −

： 3

| 5 4 1 12

| + + − = 5：4

17.若空間中四點 A(0，0，0)，B(1，2，3)，C(2，3，1)，D(1，1，a)共平面，則 a =？

【解答】(1) 7x−5y+ = 0z (2)− 2

【詳解】

先求 ABC 平面方程式，再將(1，1，a)代入方程式求 a

= (1，2，3)， = (2，3，1)

∴ ABC 平面的法向量 × = (

____\

AB

____\

AC

____\

AB

____\

AC 3 1 3

2 ，

2 1

1

3 ，

3 2

2

1 ) = (− 7，5，− 1)

∴ ABC 平面的方程式：− 7(x − 0) + 5(y − 0) − 1(z − 0) = 0 ⇒ 7x − 5y + z = 0

D(1，1，a)在平面上 ∴ 7 − 5 + a = 0 ⇒ a = − 2

18. 若點P(x0，y0，z0)是平面 2x − y − 4z − 1 = 0 上一點，則 (

x

y

x

7 21 3 21 9 =

【解答】

【詳解】

設A(1，− 2，3) ∵ P(x0，y0，z0) ∴ AP= (

x

y

z

∵ P為平面E：2x − y − 4z − 1 = 0 上一點

∴ AP的最小值即為A點到平面E之距離d

∵ d =

16 1 4

| 1 12 2 2

|

+ +

−

−

+ =

21

| 9

|− = 9 =21

7 21 3

19. 若平面E過點P(2，3，1)且在卦限(+，+，+)與三坐標平面所成之四面體體積為最小，則 平面E的方程式為 。

【解答】6 9 3 z y

x+ + = 1

【詳解】

令平面 E 為

c z b y a

x+ + = 1，點 P(2，3，1) ⇒

c b a

1 3

2 + + = 1

∵ a > 0，b > 0，c > 0 ⇒ ³ 6 3

1 3 2

abc c

b a

⇒ 6

1

abc ≥ 27

當 3

1 1 3 1 3 3 1

2 = = =

c b

a ， ， 時，等號成立 ⇒ a = 6，b = 9，c = 3 ⇒

3 9 6

z y

x+ + = 1

20.設O- xyz空間中，兩點A(1，− 2，− 1)，B(3，1，0)，一平面E：x − y − z − 1 = 0，則 (1)AB在E之正射影的長度為 。

(2)若E上一點P使

AP

BP 為最小，則P點之坐標為 。

【解答】(1) 3

114 (2) ( 3 4，

6 1，

6 1)

【詳解】

(1)^____

AB

cos

θ

|

|

|

|

____\ ____\

n AB

n AB

K K

．

． =

3 14

2

．

− ，sin

θ

θ

所求 = BC =AB．sin

θ

114

(2)AB之中點 M( 2，

2

−1

， 2

−1

)，根據中線定理

PA

PB

PM

2AB

即

PA

PB

PM

MH

AM ( 其中 H 為 M 在 E 之投影點，)

2

−1− t，

2

−1− t )代入 E：x − y − z − 1 = 0

⇒ (2 + t) − ( 2

−1− t) − ( 2

−1− t) − 1 = 0 ⇒ t = 3

−2

，故所求之 P 點即為 H(

3 4，

6 1，

6 1)