= y （皆大於 0），

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：94.10.05 班級 普三 班

範 圍

Book5 1-1,2

條件機率、獨立事件 座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1. 若有兩組資料為X：x₁，x₂，…，x_n；Y：y₁，y₂，…，y_n，其平均數x

= y （皆大於 0），

而變異係數CV

_S

(X) = CV

S

(Y)，則此兩組資料X，Y的

(A)中位數相等 (B)標準差相等 (C)四分位差相等 (D)相關係數為 1 (E)全距相等

【解答】(B)

【詳解】

∵ CV

_S

(X) =

x S_X

× 100％，CV

_S

(Y) =

y

S_Y

× 100％

由CV

_S

(X) = CV

S

(Y) ⇒

x S_X

=

y S_Y

，∵ x = y ∴

S_X

=

S_y

，即標準差相等

2. 一組資料X：x

₁

，x

₂

，…，x

_n

，其變異係數CV

_S

為 5％，表示此組資料X的平均數是標準差 的(A) 5 倍 (B)

5

1 倍 (C) 20 倍 (D) 20

1 倍 (E) 25 倍

【解答】(C)

【詳解】

∵ CV

S

=

S × 100％ = 5％ ⇒ x

S × 100 = 5 x

∴ x

= 20S，即平均數是標準差的 20 倍

3. (複選)下列敘述何者為正確？

(A)某次考試，甲班學生國文的標準差 5 分，乙班學生國文的標準差為 4.5 分，那麼可知 甲班學生的國文程度較乙班學生的國文程度差異性大

(B)某次數學競試，甲班平均分數為 80 分，標準差 12 分，乙班的平均分數為 70 分，標 準差 9 分，由此可知，甲班分數的變異大於乙班分數的變異

(C)兩組相同筆數的資料全距愈大時，其變異係數也愈大 (D)兩組相同筆數的資料標準差愈大時，其變異係數也愈大

(E)某次期中考數學成績偏低，每人成績各加 20 分，則新成績的標準差變異係數比原成 績的變異係數小

【解答】(B)(E)

【詳解】

(A)由甲班的標準差 5 分，大於乙班的標準差 4.5 分，還不知道哪一班的差異性大？必須 要再給甲、乙兩班的平均分數才能判定

(B)∵ CVS(甲) =

80

12

×100％ = 15％，CVS(乙) =

70

9

×100％ = 12.86％

∴ CVS(甲) > CVS(乙) (C)不一定。例如有兩組資料

x

10 20 30 40 60

y

20 20 50 70 90

∵ CV_R(X) =

10 60

10 60

+

−

× 100％ 71.43％，CVR(Y) =

20 90

20 90

+

−

× 100％ 63.64％

∴ R(Y) > R(X)，但CV(Y) < CV(X) (D)∵ CVS =

x

S × 100％

∴ 當S愈大時，需視x之值是否改變，才能決定CV_S的大小 (E)將每人成績加 20 分，令原成績x分，則新成績為x + 20 令Y = X + 20，則 y =x+ 20，S_Y =S_X+20=S_X

∴ CVS(Y) = y

S_Y × 100％ = +20 x

S_X

× 100％<

x S_X

× 100％ = CVS(X)

4. 設有 10 筆( xi，yi )的資料，SX = 4，SY = 2，且相關係數r = 0.8，則y對x做迴歸，其迴歸 直線的斜率為？(A) 0.4 (B) 0.64 (C) 0.8 (D) 1 (E) 1.6

【解答】(A)

【詳解】∵ 迴歸直線方程式為y =y+ r

X Y

S

S ( x − x ) 且S_X = 4，S_Y = 2，r = 0.8 ∴ 斜率為r ×

X Y

S

S = 0.8 ×

4 2

= 0.4

5. 下圖中，有五組數據，每組各有A，B，C，D，E，F等六個資料點：

設各組的相關係數由左至右分別為r1，r2，r3，r4，r5，則下列關係式，何者為真？

(A) r₁ = r₂ (B) r₂ < r₃ (C) r₃ < r₄ (D) r₃ < r₅ (E) r₄ = r₅

【解答】(A)(B)(E)

【詳解】

由r(x，y) = ，且r(x，y) =

⎩⎨

⎧

<

+ +

−

>

+ +

0 )

(

0 )

(

ac d

cy b ax r

ac d

cy b ax r

，當

，

，當

，

Y X i i

S S n

y x n y x

) 1 ( −

∑ −

(1) r₁(x，y) = r₁(x − 1，y − 1)

且A(1，1)，B(2，1)，C(3，1)，D(1，2)，E(2，2)，F(3，2) 作(x − 1，y − 1)平移後得

A′(0，0)，B′(1，0)，C′(2，0)，D′(0，1)，E ′(1，1)，F ′(2，1)

則 u = 1，

2

= 1

v ，

∑

uivi= 3，∴ r1 =

V U i i

S S n

v u n v u

) 1 ( −

∑ −

=

V US S 5

2 1 1 6 3− × ×

= 0 (2) A(2，1)，B(3，1)，C(2，2)，D(3，2)，E(2，3)，F(3，3)

作(2，1)平移，即(x − 2，y − 1)後得

A′(0，0)，B′(1，0)，C′(0，1)，D′(1，1)，E′(0，2)，F′(1，2)

則 u

2

= ， 1

v

= 1， ∑

u_iv_i

= 3 ∴r

2

=

V US S

5

2 1 6 1 3 − × ×

= 0 ⇒ r

2

(x，y) = r

2

(x − 2，y

− 1) = 0

(3) A(1，1)，B(2，1)，C(3，1)，D(2，2)，E(3，2)，F(3，3)

作(3，1)平移，即(x − 3，y − 1)後得

A′(− 2，0)，B′(− 1，0)，C′(0，0)，D′(− 1，1)，E′(0，1)，F ′(0，2)，則

u

3

− 2

= ，

v

3

= ， 2

= − 1

∴ S

∑

uivi

U

=

∑

− −

−

2 2

1 1

1 u

n u n

n ⁱ

⁼

)2

3 ( 2 5 6 5

6− −

=

15 10 15

8 5

6− =

=

3 2

S

V

=

∑

− −

−

2 2

1 1

1 v

n v n

n ⁱ

⁼

)2

3 ( 2 5 6 5

6− −

=

3 2

⇒ r

3

=

V U i i

S S n

v u n v u

) 1 ( −

∑ −

=

3 2 3 5 2

3 ) 2 3 ( 2 6 1− − ⋅

−

= 3 10

3 1+8

−

=

2

1

⇒r3(x，y) = r3(x − 3

，y

−1) =

2 1

(4) A(1

，

1)

，B

(1

，

2)

，C

(2

，

2)

，D

(1

，

3)

，E

(2

，

3)

，F

(3

，

3)

作

(1

，

3)

平移，即

(x − 1

，y

− 3)

得

A′(0

，

− 2)

，B

′(0

，

− 1)

，C

′(1

，

− 1)

，D

′(0

，

0)

，E

′(1

，

0)

，F

′(2

，

0)

則

u

3

= ， 2

v

3

− 2

= ，

∑uivi = − 1

且S

_U = S_V = 3 2

∴ r

4 =

2

1

⇒

r

4(x，y) = r4(x − 1

，y

−3) =

2 1

(5) A(1

，

1)

，B

(2

，

1)

，C

(3

，

1)

，D

(2

，

3)

，E

(3

，

3)

，F

(3

，

5)

作

(x − 3

，

2

− 1

y )

得

A′(− 2

，

0)

，B

′(− 1

，

0)

，C

′(0

，

0)

，D

′(− 1

，

1)

，E

′(0

，

1)

，F

′(0

，

2)

與第三組作

(3

，

1)

平移，即

(x − 3

，y

− 1)

之結果相同

∴ r

₅(x − 3

， 2

− 1

y ) = r₃(x − 3

，y

−1) = r₃(x，y) =

2 1

由

(1)

～

(5)

知r

₁ = r2 = 0

，r

₃ = r4 = r5 =

2 1

二、填充題

(

每題

10

分

)

1.

某次測驗成績，甲，乙二班的平均數分別是

70

，

60

，其標準差分別是

10

，

8

。已知甲班

40

人，乙班

60

人，則二班全部

100

人的平均數 x

=

，標準差S

=

， 甲與乙哪一班變異較小（均勻） 。

【解答】

64

，

10.09

，乙班

【詳解】

令甲、乙班的所有分數的平方和分別是a，b，則

(1)x=

100

1

(70 × 40 + 60 × 60) = 64

(2)

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

⎨

⎧

− +

=

=

−

=

−

] ) 6400 100 ( ) 1 99 [(

1

64 ] ) 3600 60 ( [ 1 59

1

100 ] ) 2800 40 ( [ 1 39

1

2 2

2 2

b a S

b a

得a = 199900，b = 219776，S² = 101.78，S = 10.09 (3)由

70

10

× 100％ = 14.28％及

60

8

× 100％ = 13.33％，使CV_S（甲）> CV_S（乙）

∴ 乙班的變異較小

3. 下表為甲班某科目段考成績分配表：

分數 20～30 30～40 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100

人數 1 2 3 4 10 15 10 5 則x=

，全距

=

，中位數

=

，Q

.D. =

，

S =

，CV

S=

。

（小數點以後二位四捨五入）

【解答】

71

，

80

，

73.33

，

20

，

16.41

，

23.11

％

【詳解】

x表組中點，f表次數，c表累積次數，x′

表離均差

組別

c x f x′ x′ f x′² f

20～30 1 25 1 − 46 − 46 2116 30～40 3 35 2 − 36 − 72 2592 40～50 6 45 3 −26 − 78 2028 50～60 10 55 4 − 16 − 64 1024 60～70 20 65 10 − 6 − 60 360

70～80 35 75 15 4 60 240

80～90 45 85 10 14 140 1960 90～100 50 95 5 24 120 2880

合計 50 0 13200

(1)x=

50

1

(25 + 70 + 135 + 220 + 650 + 1125 + 850 + 475) = 71 (2)

全距

= 100 − 20 = 80

(3) Me = 70 +

15

5 ．

10 73.33 Q₁= 62.5

，Q

₃= 82.5 Q.D. = Q3 − Q1 = 20 (4) S²=

49

1 ．

13200 = 269.39

，S

= 16.41

CVS=

71

41 .

16

× 100

％

= 23.11

％

4. 下表為某旅館之住房天數與人數之統計表：

天數 1～3 4～6 7～9 10～12 13～15

人數 10 12 5 2 3

則其標準差為 ，變異係數為 。

【解答】3.73，64.92％

【詳解】

每一組以組中點表示該組的每一個人的住房天數，x表組中點，f表人數

x

2 5 8 11 14

f

10 12 5 2 3

x=

32

1

(20 + 60 + 40 + 22 + 42) =

32 184

=

4

23

= 5.75

S² =

31

1

[10(

4

− 15

)² + 12(

4

− 3

)² + 5(

4

9

)² + 2(

4

21

)² + 3(

4 33

)²]=

16 31

6912

×

=

31

432

= 13.94 得S = 3.733

∴ CV_S =

75 . 5

733 .

3

× 100％ = 64.92％

5. 設有A，C兩個國家，A國國民所得的算術平均數為 30000 美元，標準差為 6000 美元；C 國國民所得的算術平均數為 5000 美元，標準差為 2500 美元。則：

(1) A國國民所得的變異係數為 。 (2) C國國民所得的變異係數為 。

(3)就A，C兩國而言，哪一個國家貧富不均的情形較嚴重？ 。

【解答】(1) 20％ (2) 50％ (3) C 國

【詳解】

(1) A國國民所得的變異係數CV_S(A) =

30000

6000

× 100％ =

5

1

× 100％ = 20％

(2) C國國民所得的變異係數CV_S(C) =

5000

2500

× 100％ =

2

1

× 100％ = 50％

(3)∵ CV_S(C) > CV_S(A) ∴ C國國民貧富不均較為嚴重

6. 若已知一組資料的平均數是 80 公分，變異係數為 10％，則此組資料的標準差是 。

【解答】8

【詳解】

由CV_S =

S × 100％ ⇒ 10％ =x

80

S × 100％ ⇒ S = 8

7.設有一組資料的總和與平方和分別為∑ = ，∑ ，則此組資料的變異係數CV

= 10 1

200

i xi =

= 10 1

2 4090

i xi _S

= 。（標準差係數）

【解答】15.81％

【詳解】

∵ ∑ = ∴

= 10 1

200

i

∑ = =

=

= 10 1

10 20 200 10

1

i

x

∴ 9

) ( 10

10 1

2 2

∑ −

= ^{i= i}

X

x x

S

． =

9 20 10

4090− × ² = 10 = 3.1623

∴ 變異係數CVS = x S_X

× 100％ =

20 16523 .

3

× 100％ = 15.81％

8.二筆同為n個數值資料X與Y滿足Y = X + 5，S1與S₂分別表X與Y的標準差，CV₁與CV₂分別表 X與Y的變異係數，則S₁與S₂之大小關係為 ，CV₁與CV₂的大小關係為

。

【解答】S₁ = S2，CV₁>CV2

【詳解】

∵ y=x+ 5，Y由X平移 5 而得，使Y與X具有相同的離均差

∴ S₁ = S2，即平移不改變標準差 由CV₁ =

x S₁

× 100％及CV₂ = y

S₂ × 100％ ，知CV₁ > CV₂

9.設 40 位女生的平均身高為 158.2 公分，標準差為 5.3 公分；平均體重為 46.5 公斤，標準 差為 4.5 公斤。試比較身高與體重的差異情形。

【解答】體重的差異比身高的差異為大

【詳解】

身高的變異係數為CV₁ =

2 . 158

3 .

5

× 100％ = 3.35％

體重的變異係數為CV₂ =

5 . 46

5 .

4

× 100％ = 9.68％

因CV₂ > CV₁，故體重的差異比身高的差異為大

10.在 10 個數值中，若前 6 個數值的平均數為 3，標準差為 3；而後 4 個數值的平均數為 8，

標準差為 4，則全體數值之標準差 S 為何？又前 6 個數值與後 4 個數值何者較均勻？

【解答】4.12，後 4 者

【詳解】

令前 6 個數值的平方和為a，後 4 個數值的平方和為b全體 10 個數值的平均數x，則 x=

10

1

(6 × 3 + 4 × 8) = 5

由

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

⎨

⎧

− +

=

=

−

=

−

] ) 50 10 ( [ 1

9 1

16 ] ) 32 4 ( [ 1 3 1

9 ] ) 18 6 ( [ 1 5 1

2 2

2 2

b a S

b a

得a = 99，b = 304，S² = 17，S = 17 = 4.12 又CV₁ =

3

3

× 100％ = 100％，CV2 =

8

4

× 100％ = 50％，CV1 > CV2 ，∴ 後 4 者較均勻

11. 五筆資料(1，2)，(2，3)，(3，1)，(4，5)，(5，4)表x與y散布圖上的樣本點，則x與y的 相關係數r = ，y對x的最適合直線為 。

【解答】0.6，yˆ= 1.2 + 0.6x

【詳解】

x′ = x − x ，y′ = y −y， x = 3，y= 3

x y x′ y′ x′y′ x′² y′² 1 2 − 2 − 1 2 4 1

2 3 − 1 0 0 1 0

3 1 0 − 2 0 0 4

4 5 1 2 2 1 4

5 4 2 1 2 4 1

合計 6 10 10

r = 10 10 6

． = 0.6

y對x的最適合直線為L時，L：yˆ=y+ r．

X Y

S

S (x − x )

SX = ² 4

1∑ x =′ 4

10 ，SY = ² 4

1∑ y =′ 4 10

得yˆ= 3 + 0.6．

4 10

4 10

(x − 3)，即 = 3 + 0.6(x − 3) yˆ

12. 下表為 5 位同學的智商與數學的分數統計：

智商 120 112 110 120 103 數學 91 85 79 84 76

則其相關係數r = 。

【解答】0.857

【詳解】

將智商減去 110，數學減去 80 之數值以 x，y 表示，x′ = x − x ，y′ = y −y，如下表

x y x′ y′ x′y′ x′² y′²

10 11 7 8 56 49 64 2 5 − 1 2 − 2 1 4 0 − 1 − 3 − 4 12 9 16

10 4 7 1 7 49 1

− 7 − 4 − 10 − 7 70 100 49

x

= 3

y

= 3 143 208 134

r =

∑ ′

2

∑ ′

2

′

′

∑

y x

y x

．

=

134 208

143 =

134 208

143²

． = 0.857