未進過學校的數學天才巴斯卡

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未進過學校的數學天才巴斯卡

張小平

在世界數學史上, 公認最偉大的三位數學家是阿基米德、牛頓和高斯。 18 世紀百科全書派的數學家達朗貝爾 (Jean Le Rond d’Alembert) 曾經讚譽另一位偉大的數學家巴斯卡 (Blaise Pascal), 是 “從阿基米德過渡到牛頓的中間橋樑”。

聰慧的少年

巴斯卡是法國的數學家、物理學家和思想家, 1623年6月19日出生於法國的克萊蒙費朗市 (Clermont—Ferrand)。三歲時, 母親去世。他的父親艾基納 (´Etienne Pascal) 擔任克萊蒙費朗市議會的議員, 是一位具有自由主義思想的知識份子, 他熱愛科學, 博學多才, 尤其擅長數學, 是一位業餘數學家, 著名的 “巴斯卡螺線”就是他的發現。他平時為人謹慎, 工作勤奮, 善於理財和悉心照料兒女。妻子去世後, 他自然承擔起了對孩子的啟蒙教育。他的教育觀念奇特, 教學方法注重問題解決, 而不是材料的灌輸, 從而培養了巴斯卡一種好奇和探究的精神, 動手和實驗能力也相當出色。少年的巴斯卡雖然體弱多病, 但是天賦極高, 擅長辭令, 幽默風趣, 靈氣蕩漾於清秀的眉宇之間。他抓緊時間如饑似渴地讀書學習, 顯示出對於研究自然現象的興趣和卓越才能, 七、八歲時, 就在父親的指導下學完了小學的全部課程。以後, 終身也未進入任何其他學校學習。

1631 年, 艾基納為了三個兒女的教育, 他毅然辭去了議員職務, 舉家遷居到法國科學文化的中心巴黎。兩年後, 十一歲的巴斯卡, 寫出了第一篇論文《論聲音》, 闡述了物體振動發聲的原理。但是, 父親一直有個錯誤想法, 認為兒童過早地學習數學對頭腦發育不利, 所以一直沒有主動地向巴斯卡傳授數學知識, 也不准許他閱讀任何數學書籍。直到 1635 年, 十二歲的巴斯卡看到父親在捧讀一本幾何書。他便好奇的問父親, 什麼是幾何? 父親說, 幾何可以教人畫出準確而美觀的圖形, 並且順便向巴斯卡介紹了一些簡單的幾何學知識。不想這次卻引起了巴斯卡學習數學的興趣。他趁父親不在的時候, 翻出父親的幾何書, 邊閱讀邊用鵝毛筆在紙上畫幾何圖形, 表現出了對數學學習的非凡才能, 很快就獨自發現了 “任何三角形的三個內角的和是 180^◦”這

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個定理。當他把論證的結果告訴父親時, 父親竟然激動得流出了眼淚。於是, 父親拿出歐幾里得 (Euclid) 的《幾何原本》(Elements), 親自指導巴斯卡閱讀, 使巴斯卡的數學潛質得以及時開發。

進入數學殿堂

巴斯卡的全家移居巴黎後, 他的父親很快就成為當時著名數學家和修道士馬林 · 梅森 (Marin Mersenne ) 主持的 “梅森學院”的成員。梅森在當時的歐洲科學界是一位獨具魅力的人物。他雖然從事宗教事業, 但是卻熱情崇尚科學, 為在教會中捍衛科學和真理作了很多有益的工作。他交際廣泛, 對人熱情誠摯, 歐洲的很多科學家都坦誠地與他交流科學研究的成果, 他卻將得到的科學進展的最新資訊及時的傳播出去, 他也因此成為了聯繫科學家的紐帶。 1626年, 梅森乾脆在他的修道院裏闢出專用場所, 成立了科學家聚會和交流資訊的機構, 取名為 “梅森學院”。一批傑出的科學家每週來此聚會, 自由討論大家關心的數學和物理問題。 1666 年後, “梅森學院” 由民間學術組織發展成為官方的科學研究機構, “梅森學院”因此成為法國科學院的前身。

1637 年, 巴斯卡十四歲時, 被允許隨父親參加梅森學院的學術活動。從而, 他接觸到了當時著名的數學家, 如費馬 (Fermat)、羅伯瓦 (Roberval) 、伽利略 (Galileo Galilei)、德紮格 (Desargues)、笛卡兒 (Rene Descartes) 和梅森等人, 從此, 眼界大開, 不僅領略到了數學的奧秘, 而且學識大有長進。到了十六歲時, 他在梅森學院的聚會上, 就能發表獨立的學術觀點了, 時常能引起其他數學家的思想波瀾。在這期間, 他尤其得到了德紮格的賞識和指導, 從而很快掌握了德紮格的射影幾何思想。

創立射影幾何的偉大貢獻

通過中心投影或者平行投影, 把一個圖形變換成另外一個圖形, 叫做射影變換。射影幾何就是研究在射影變換下圖形不變性質的幾何學。射影幾何的奠基者正是德紮格和巴斯卡師生兩人。

1637 年 6 月, 德紮格出版了《關於錐體與平面相交所得曲線的投影》 (Brouillon project d’une atteinte aux evenements des rencontres du cone avec un plan) 一書, 開創了射影幾何研究的新領域。德紮格首先引進了無窮遠點的概念, 把它看成是平行線的交點, 由此得出同一平面上任意兩條直線都相交的結論。這成為建立射影幾何理論體系的基石。進而, 德紮格又引入了無窮遠直線的概念, 並且得出平行平面都相交於同一直線的結論。在德紮格的理論中, 平行被看作是相交的特殊情形, 原來普通點和普通直線的結合關係依然成立。射影變換的一個重要性質, 就是點和直線的結合關係不改變。德紮格用射影幾何的思想重新審視圓錐曲線, 取得了全

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新的結論, 如直線可以看作具有無限長半徑的圓周; 焦點重合的橢圓退化為圓; 焦點之一在無窮遠點的橢圓是拋物線; 圓不僅可以變換為橢圓, 而且可以變換為開口的拋物線或雙曲線, 這時, 曲線在無窮遠點處仍然是封閉的。

十六歲的巴斯卡非常虛心地向德紮格請教。經過交流和思考, 他深刻地理解了射影幾何的基本理念, 尤其受到圓可以變換成圓錐曲線的啟發, 發現了著名的巴斯卡定理: “如果一個六邊形內接於一圓錐曲線, 每兩條對邊相交於一點, 則這三點在同一條直線上。若這個六邊形的對邊兩兩平行, 則它們在無窮遠直線上”。

巴斯卡的神奇六邊形

巴斯卡首先證明了該定理對圓是成立的。由於在射影變換下, 點和直線的結合關係不變, 圓及其內接六邊形變換成圓錐曲線及其內接六邊形, 此時, 六邊形的對邊仍將交於一條直線上的三點, 所以, 該定理對所有圓錐曲線都成立。巴斯卡的這個定理, 揭示了圓錐曲線上六個點的射影相關性, 精妙無比, 是射影幾何中內涵最為豐富的定理之一, 它的推論多達 400 餘條, 例如:

(1) 如果一個三角形內接於一圓錐曲線, 則其各頂點處的切線與對邊的交點共線。 (2) 若五邊形 ABCDE 內接於一圓錐曲線, 則 AB 和 DE 的交點, BC 和 EA 的交點, CD 與 A 點處的切線的交點, 三點共線。 (3) 內接於一圓錐曲線的四邊形的兩對對邊, 連同對著的頂點出的兩對切線, 交於四個共線點。實際上, 巴斯卡定理的逆定理也是成立的, 但是, 當時巴斯卡沒有發現。

巴斯卡的父親興奮地把這篇論文寄給法國數學界的權威笛卡兒審閱, 但是, 笛卡兒居然不相信如此偉大的成就會出自於一個十六歲的少年之手, 而認為這是巴斯卡父親的代筆。巴斯卡從此對笛卡兒也產生了厭惡的情緒, 對他開創的解析幾何理論不屑一顧, 甚至在以後的數學論文中, 也拒絕採用笛卡兒發明的數學符號。這種感情用事的結果, 還是影響到了巴斯卡學術成就的進一步深化。因為巴斯卡和德紮格的研究方法仍然屬於傳統的綜合法, 研究範圍還只停留在對幾何學的定性研究上, 當時他們都還沒有意識到, 運用解析法來研究射影幾何才能取得根本的進展。而笛卡兒創造的解析幾何理論引入了變數的思想, 開創了用代數方法研究幾何的新方

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法。當時科學技術的發展更需要解析幾何這樣的有力數量工具, 能夠迅速的計算出數量結果。正因為它的應用廣泛, 才使得與它幾乎同時產生的射影幾何相形見絀。正是因為巴斯卡的偏見, 使得他在射影幾何方面的研究停滯不前, 而射影幾何的深入研究就此中斷了幾十年。事實證明, 射影幾何理論的最後完成, 正是借助了解析幾何的思想。

與笛卡兒的態度相反, 德紮格卻非常欣賞巴斯卡的才華, 稱定理裏的六邊形是 “巴斯卡神秘六邊形”。並建議巴斯卡將阿波羅尼奧斯 (Apollonius) 在《圓錐曲線》(Conics) 一書中的命題都用射影幾何的方法推導出來。巴斯卡欣然接受了這個建議, 於 1640年 12月, 寫成《圓錐曲線論》(Essay pour les coniques) 一書, 使得射影幾何的研究取得了空前的進展。

距當時一千多年前的數學家帕波斯在研究阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》時, 提出並且解決了一個問題: 由點 C 向四條定直線引交線 CB, CD, CF, CH, 所構成的角為定值, 交點分別為 B、D、F、H, 則滿足 CB · CF= λ CD · CH 的點 C 的軌跡 (其中 λ 是常數) 是圓錐曲線。 1637年, 笛卡兒在研究 “帕波斯問題”時, 創立了用代數方法研究幾何的思想。笛卡兒在

《幾何學》中, 從這一問題入手, 深刻闡發了座標幾何的思想, 提出了平面坐標系的概念, 從而把帕波斯猜想問題, 轉化成為求一個含有兩個變數 x 和 y 的代數方程問題。解析幾何由此開闢了幾何研究的新時代。

從思想的深刻性來講, 射影幾何和解析幾何都是當時幾何研究的高峰。但是, 就通俗性和實用性而言, 射影幾何的光輝還是被解析幾何掩蓋了。巴斯卡為了挑戰笛卡兒的解析幾何理論, 1648 年 3 月, 他用純粹射影幾何的思想也徹底解決了 “帕波斯問題”, 顯示了射影幾何所具有的廣闊研究空間。

研製計算機械

1642 年, 巴斯卡剛滿 19 歲, 他的父親在皇家稅務部門擔任統計官員, 為了減輕父親在稅務徵收工作中的計算負擔, 他打算設計製造一種機器, 通過齒輪運動實現加減法運算。在研製過程中, 巴斯卡提出: 人的某些思維過程與機械的運算過程沒有本質區別, 因此, 用機械化運算模擬人的思維活動決不僅僅是設想。 1645年, 他便製造出了被稱為世界上第一台的電腦, 並在 1649 年 5 月 22 日獲得了由皇家授予的專利權, 因此而聞名於世。後來知道, 早在 1623 年, 德國數學家卡什爾已經設計製造出了齒輪式電腦, 只是卡什爾沒有巴斯卡的名氣大, 一直沒人提起這件事情而已。不過, 巴斯卡在研製過程中提出的著名論斷卻開了人工智慧之先河。 1971 年誕生的 PASCAL 語言, 就是為了紀念這位電腦先驅, 以巴斯卡的名字命名的。

在物理學上的建樹

1646年, 巴斯卡又把他的注意力轉向流體力學和真空問題的研究。他在研究液體平衡的一般規律過程中, 發現了 “加在密閉容器內流體任何一部分的壓強, 必然以同樣的大小向流體各

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個方向傳遞”的規律, 這就是流體靜力學中最基本的原理 −− 巴斯卡定律。在此基礎上, 他發明了注射器, 提出了連通器守則和水壓機工作原理。他關於真空問題的研究也領先於他人, 1647 年 10 月, 發表了《關於真空的新實驗》(Experiences nouvelles touchant le vide) 的研究報告, 極大地提高了他在物理界的聲望。國際單位制中壓強的單位為 “帕”, 也是為紀念巴斯卡的功績而規定的。

1648 年, 為了檢驗物理學家托里拆利 (Torricelli) 等人的氣壓理論, 巴斯卡改進了氣壓計和試驗手段, 還和笛卡兒坐到一起, 共同討論這個問題。儘管他們的觀點不盡一致, 他還是吸納了笛卡兒的合理化建議, 在不同的高度, 反複對實驗結果進行觀察和比較。他委託他的姐夫攀上克萊蒙費朗的多姆山坡, 認真地進行了實驗, 從而, 證明空氣有壓力的事實, 並且證實了大氣外層是真空, 否定了笛卡兒認為的整個空間都充滿物質的論點。巴斯卡還是世界上第一個計算出空氣重量和密度的人。他 1654 年完成的《論液體平衡和空氣的重量》 (Traites de l’´equilibre des liqueurs et de la pesanteur de la masse de l’air) 是多年實驗和思考的結果, 無可爭議地成為 17世紀的科學經典名著之一。

創立機率論

1654 年, 巴斯卡和數學家費馬頻繁通信, 從他們共同討論解決一個上流社會為賭博而產生的問題, 進而深入探討了算術、組合分析和機率計算等方面的理論研究成果, 成為數學史上的美談, 開了研究機率論的先河。

兩個賭徒保羅與梅爾賭錢, 每人拿出 6枚金幣。比賽開始後, 保羅勝了一局, 梅爾勝了兩局之後, 一件意外的事件中斷了他們的賭博。於是, 他們各自提出了分配這 12 枚金幣的方案。保羅認為, 根據勝負的局數, 他應該得總數的 ¹₃, 即 4 枚金幣, 梅爾得總數的 ²₃, 即 8 枚金幣。但精通賭博術的梅爾認為, 他贏得全局的可能性要大於保羅, 所以他應該得到全部金幣。兩人各不相讓, 只好請求巴斯卡來評判。

巴斯卡認為: 賭博再進行一局, 如果梅爾勝, 可以得到全部金幣 (記為 1); 如果保羅勝, 那麼兩人各勝了兩局, 應各得金幣的一半 (記為 ¹₂)。因為這一局他們勝負的可能性是相同的, 因此, 梅爾得金幣的可能性應該是兩種可能性大小的一半, 即 (1 + ¹₂) ÷ 2 = ³₄, 保羅得金幣的可能性則為 (0 + ¹₂) ÷ 2 = ¹₄。所以梅爾分 9 枚金幣, 保羅分 3 枚金幣。

隨後, 巴斯卡就將這個問題寫信告訴了數學家費馬, 徵求他的意見。費馬經過考慮後, 完全贊同巴斯卡的評判。費馬是這樣認為的, 如果再玩兩局, 會出現四種可能的結果: (梅爾勝, 保羅勝); (保羅勝, 梅爾勝); (梅爾勝, 梅爾勝); (保羅勝, 保羅勝)。其中前三種結果都決定梅爾整盤勝出, 只有第四種結果保羅才能整盤勝出。所以梅爾取勝的機率為 ³₄, 保羅取勝的機率為 ¹₄。

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巴斯卡與費馬在解決這個問題中, 雖然沒有明確提出機率的定義, 但是, 他們不約而同的規定, 輸贏的情況數與所有可能情況數的比值, 由此又繼續研究了這類隨機事件的更一般的規律, 所以, 機率論的研究自然被認為是從巴斯卡與費馬開始的。作為機率論研究的成果, 巴斯卡在 1653年寫成了《論算術三角形》(Traite du triangle arithmetique), 通過對特殊機率問題解法的討論, 深入到關於算術級數的研究領域, 由此建立了十九個有關組合論的定理。在這本著作中提到的 “巴斯卡三角形”直接啟發牛頓, 發現了二項式定理。另外, 巴斯卡還首次科學地闡述了數學歸納法的數學要旨, 由此將遞推的推理方法系統地應用於數學研究中, 因此, 他又被認為是數學歸納法的最早發現者。《論算術三角形》經過費馬修改定稿, 直到 1665年才出版。

開微積分研究之先河

1657 年, 巴斯卡把大部分時間又花在完成 “不可分量”理論的研究上。義大利數學家卡瓦列利 (Cavalieri) 提出三角形的面積可通過劃分為無數平行直線的辦法來計算。早在 1654 年, 巴斯卡在《數字冪求和》(Potestatum numericarum summa) 的論文中就曾經提到過不可分量的概念。通過對義大利數學家卡瓦列利思想的研究, 巴斯卡擺脫了卡瓦列利方法中那些邏輯上的缺陷, 他認為: 一條線不是由點構成的, 而是由無數條短線構成; 一塊面不是由線構成, 而是由無數個小塊面構成; 一個立體不是由面構成, 而是由無數個薄薄的立體構成。遵循這一思想線索, 巴斯卡寫成了《幾何學本義》 (De l’ésprit géométrique) 一書, 運用無窮小理論研究幾何, 顯示了很高的水準, 他看到了無窮大和無窮小互相呈倒數關係, 求出了曲線 y = xⁿ 下面曲邊梯形的面積 (相當於積分

Z ^a

0

xⁿdx= aⁿ⁺¹ n+ 1)。

1658 年初的一個夜晚, 巴斯卡因為牙痛而不能入眠, 乾脆起床思考數學問題, 他認為求曲邊三角形面積的方法, 經過推廣改進, 還能擴大其應用範圍, 甚至完成不可分量計演算法的全部工作。因此, 經過八個晝夜的工作, 對擺線的有關問題進行了細緻入微的研究。擺線是指沿直線滾動的圓周上一點的運動軌跡, 巴斯卡創造性地將運動和辯證法思想引入幾何問題的研究中, 揭示出廣義擺線與橢圓曲率相等的定理, 解決了關於擺線的許多具體問題。

為了取得數學界的認可, 1658 年 6 月, 巴斯卡將自己研究的成果, 諸如求曲線所圍成的面積問題, 求物體的體積問題, 確定平面圖形的重心問題, 求曲線的長度問題等, 通過徵解的方式向數學界公佈。當時, 很多第一流的數學家懷著極大的興趣關注著這場挑戰, 牛津大學教授沃利斯 (Wallis)、數學家惠更斯 (Christiaan Huygens) 等很多著名科學家都親自提交了論文, 予以解答。但是, 沒有人全部做對。

1658 年 10 月, 巴斯卡用嚴謹而明晰的幾何語言, 陸續以公開信的形式解答了自己所提出的問題, 1659年 2月, 集成《A. 戴東維爾的某些幾何發現的信件》(Lettres de A. Dettonville contenant quelques-unes de ses inventions de g´eom´etrie) 一書發表。巴斯卡的這項成就

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是從不可分量計算到微積分計算的一個重要過渡, 從理論上深化了不可分量的概念, 提出了定積分的思想, 在具體計算方法中已經顯露出部分積分法的端倪。巴斯卡的工作為通往微積分的華麗殿堂鋪平了道路, 特別是巴斯卡獨創的 “特徵三角形”方法, 對微積分的創建貢獻至偉。微積分學的創建者之一萊布尼茨曾說過, 當他讀到巴斯卡 “特徵三角形”的論述時, 就像觸電一樣, 一下引發了建立微積分理論的靈感。但是, 巴斯卡卻清晰的認識到, 他在這方面的研究是不徹底的, 這也成為他數學研究生涯中的一個疙瘩。當有人要求他解釋無窮小量這些概念的準確含義時, 他也只好用 “心領神會”來搪塞。

宗教情結和文學成就

巴斯卡如此豐富的數學研究成果, 幾乎都是在與疾病不斷鬥爭的情況下所取得的。從十八歲起, 他就沒有一天不在病中。 1659年 2月, 巴斯卡的病情加重, 已經不可能從事科學研究的工作, 但是, 他卻不放棄虔誠的宗教活動, 全身心的投入祈禱與慈善的工作。這是因為有一次, 他乘馬車外出, 馬受驚失去控制, 馬車衝過納伊橋的欄杆, 墜入河中, 這時, 韁繩突然掙斷, 巴斯卡僥倖奇跡般地得以逃生。他把這次驚險經歷歸結為 “神的啟示”, 並且終身不忘。彌留之際, 最後一句話還是 “願上帝與我同在”。巴斯卡認為, 宗教與科學並不是對立和矛盾的, 它們只不過處於不同的層次上面, 它們不會互相影響, 所以, 當科學研究佔據他的主要精力時, 宗教仍然可以成為他心中最高的渴望。英國著名的科學史專家沃爾夫說過: “巴斯卡顯露了早熟的數學才華, 但是, 他的科學研究活動受到了宗教思潮的阻礙, 直至他壽終正寢。儘管如此, 他還是使數學和物理學的許多分支取得了顯著的進展”。

巴斯卡還是一位思想家和散文大師。 1656 年 1 月 13 日到 1657 年 3 月 24 日期間, 在朋友們的幫助下, 他創作了《Lettres provinciales》, 之後又創作了《沉思錄》(Pens´ees)。這兩部著作思想深邃, 文筆雋永, 在世界思想文化史上, 都是罕見的珍稀瑰寶, 充分顯示了巴斯卡傑出的哲學和文學才華。法國大文豪伏爾泰 (Voltaire) 讀了這些作品後, 讚歎不已, 稱其為 “這是歷史上最好的作品”。

結束語

雖然巴斯卡終身都沒有經過學校的正規教育, 卻在數學和物理學領域取得非常輝煌的成就。這除了他本身具有超人的數學天賦以外, 主要與他父親對他採取特殊的教育有關, 他從小就得到了嚴謹的科學訓練, 培養了他探究問題和解決問題的能力。尤其是父親發現巴斯卡對數學特別癡迷時, 立刻就有意識地對他進行數學方面的專門培養。其次, 在父親的影響下, 巴斯卡很早就進入了主流的數學環境, 直接與科學大師們進行對話, 接觸到了最前沿的數學成果。尤其是受教於德紮格後, 數學素養得到了嚴格的訓練。另外, 巴斯卡的性格謙和, 容易與人交往, 毫

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無保留地將自己的研究成果和朋友們共用。即使與笛卡兒產生過矛盾, 但是也逐漸得到了化解, 使得笛卡兒和費馬一起成為巴斯卡主要的學術交流夥伴。正是在與這些數學大家們的思想碰撞過程中, 使得巴斯卡也成為了數學史上的一代大師。

1660 年, 費馬寫信邀請巴斯卡會面, 共同探討數學問題。但是他的身體已經虛弱得須持杖而行, 甚至連騎馬都坐不穩了, 因此, 錯過了和老朋友相見的機會。 1661年, 他的妹妹雅克琳去世, 他和朋友們在對待宗教、哲學和科學的看法又總是相左, 厭世情緒彌漫了他的整個精神世界。 1662年 8月 19日, 他在巴黎與世長辭, 享年只有三十九歲, 被安葬於巴黎的聖愛基納教堂。

參考文獻

1. 吳文俊, 世界著名數學家傳記, 北京: 科學出版社。

2. 梁宗巨, 數學家傳略辭典, 山東: 山東教育出版社。

3. (美) 莫里斯 · 克萊因著, 張理京等譯, 古今數學思想, 上海: 上海科學技術出版社。

—本文作者任教於新疆庫爾勒市石化路華山中學_—