均值不等式

均值不等式 _: 從歷史到課堂

汪曉勤

早在西元前 6世紀, 畢達哥拉斯學派已經知道算術中項、 幾何中項和調和中項。 畢達哥拉斯 學派哲學家阿契塔 (Archytas, 鼎盛於西元前 400∼前365年) 在 《論音樂》 中定義了上述三類 中項, 其中算術中項和幾何中項的定義與今天相同, 調和中項的定義為: “如果在三項中, 第一項 超過第二項的量等於第一項的若干部分, 第二項超過第三項的量等於第三項的同樣部分, 那麼 我們就得到調和中項。”^[1] 後來, 畢氏學派哲學家又相繼研究了另外七類中項, 尼可麥丘 (Nico- machus, 1 世紀) 和帕普斯 (Pappus, 3 世紀) 統一了各類中項的定義。 設 , 在 a、b 中插入中 項 x, 其中四類中項的定義見下表。

表 1: 四類中項的定義

序 定 義 等價形式 名 稱 簡稱

1 b− x x− a = a

a = b

b x= a+ b

2 算術中項 A

2 b− x x− a = b

x h= x

a

i x=√

ab 幾何中項 G

3 b− x x− a = b

a x= 2ab

a+ b 調和中項 H 4 b− x

x− a = a

b x= a²+ b²

a+ b 反調和中項 C

古希臘數學家沒有研究過我們所熟悉的另一類中項 —— 均方根。 若 x² 是 a² 和 b² 的算 術中項, 則稱 x 為 a 和 b 的均方根: x =

ra²+ b²

2 , 簡記為 R。

已知某兩類中項, 則其他各類中項均可以用它們來表示, 見表 2。 從表 2 可見, 若 b > a >

0, 則根據兩類中項的大小關係, 即可推得所有五類中項之大小關係:

H < G < A < R < C (1) 本文的目的是從古代兩河流域、 希臘和中國的數學史材料中尋找上述均值不等式的推導方 法。 在第 1 節, 我們從古巴比倫的“和差術”出發推導均值不等式; 在第 2 節, 我們受巴比倫泥

表 2: ^{五類中項的大小關係}

已知 H G A R C

H, G ^G_H²

H G

2

G² H

H G

 G²

H

G² H

r 2−

H G

2 G²

H

h2−

H G

2i

H, A A

H A

 Aq

H

A A Aq

2 −^HA A 2−^HA



H, R H H√

M^∗ M H 

R H

H _M¹ 

R H

2

H

H, C H H

r

1 2

1+^C_H

H· ¹₂ 1+^C_H

H r

1 2

1+_H^C

C

H H

C H



G, A A

G A

2

A

G A

 A A

r 2 −

G A

2

Ah 2 −

G A

2i

G, R q ^G

1

2(1+_G2^R2) G G

q1

2(1+^R_G²2) G

R G

 _G(^R

G)² q1

2(1+^R2_G2)

G, C _N¹

G C

2

C^∗∗ 

G C

C N C C√

N C

A, R Ah 2−

R A

2i A

r 2−

R A

2

A A

R A



A

R A

2

A, C A 2−^CA



A q

2−^CA A A

qC

A A

C A



R, C ^R_C²h 2−

C R

2i

R² C

r 2−

C A

2

R² C

R² C

C R

 R² C

C R

2

∗ M = ¹₄ 1 +q

1 + 8(_H^R)²

, 1 < M < _H^R. ^∗∗N = ¹₄ 1 +q

1 + 8(^G_C)²

, ^G_C < N <1.

版上的梯形分割問題的啟發, 獲得均值不等式的幾何模型; 在第 3 節, 我們根據 《幾何原本》

中的有關命題, 獲得均值不等式的幾何證明; 在第 4 節, 我們借鑒阿基米德 (Archimedes, 前 287∼前 212) 著作的評注者的方法獲得均值不等式的比例證法; 第5節證明, 均值不等式實為 芝諾多魯斯 (Zenodorus, 約西元前 2 世紀) 有關等周命題的特殊情形; 在第 6 節, 我們進一步 改進了帕普斯的幾何作圖法; 在第 7 節, 我們利用趙爽“勾股圓方圖注” 中的有關圖形來證明均 值不等式; 在最後的第 8 節, 我們借助劉徽證明 “勾股容方” 公式所用的圖形來研究均值不等 式。

為方便解說, 本文將相關文本內容翻譯成現代數學符號; 文中所有圖形均依據有關文本之 原意重繪而成。

一、 和差之術

雖然我們在兩河流域泥版上沒有看到有關均值不等式的內容, 但兩個正數的算術中項和幾 何中項之間的關係卻已為當時的祭司所熟知。 古巴比倫數學泥版上含有大量的二元問題: 已知 a+ b 和 f (a, b)(a > 0, b > 0), 求 a 和 b, 其中 f (a, b) 具有 pa + qb(p² 6= q²) (如泥版 VAT 8389), ab (如泥版 YBC 4663), a²+ b² (如泥版 BM 13901) 等形式。 祭司充分利用了以下 粧等式

a+ b

2 +a− b

2 = a (2)

a+ b

2 − a− b

2 = b (3)

進行換元, 這就是所謂的 “和差術” ^[2^]。 例如, 若已知 a + b 和 ab, 則利用 (2) 和 (3) 得

a+ b 2

2

−a− b 2

2

= ab (4)

若已知 a + b 和 a²+ b², 則利用 (2) 和 (3) 得 2ha+ b

2

2

+a− b 2

2i

= a²+ b² (5) 從而各求得 a− b

2 , 進而求得 a 和 b。 由 (4) 和 (5) 馬上可以得到不等式 ab≤a+ b

2

2

≤ a²+ b²

2 (6)

此即 G < A < R。

二、 梯形分割

在古巴比倫時期的數學泥版上, 有許多三角形和梯形的分割問題。 其中有兩類典型的問題:

用平行於底邊的直線將三角形分割成若干部分, 每一部分 (梯形或三角形) 的高相等; 用平行於 上下底的直線將梯形分成滿足條件的兩個部分。

數學泥版 YBC 4675 (圖1) 如下問題:“梯形上底為 7, 下底為 17, 兩腰分別為 310 和 290, 面積為 3600。 用平行於上、 下底的直線將梯形分成面積相等的兩部分, 問: 等分線有多長?”^[3]

如圖2 所示, 設梯形上、 下底分別為 a 和 b, 兩腰分別為 l₁ 和 l₂, 梯形等分線長為 d, l1 被分割 成 p、q 兩段, l₂ 被分割成 u、v 兩段。 雖然祭司使用了錯誤的梯形面積公式

A=a+ b 2

l₁+ l₂ 2

 但所得梯形等分線長度公式卻是正確無誤的:

d =

ra²+ b² 2 .

圖1: 數學泥版 YBC 4675 圖 2: 梯形二等分問題 (採自文獻[3]之Plate 26)

祭司已經知道, 用平行於一條底邊的一組平行線將三角形分割成等高的部分 (三角形和梯 形), 那麼, 那些平行線段依次構成了等差數列。 例如, 泥版 YBC 4608 的第 5 題大意為: 六兄 弟分直角三角形土地, 土地的面積和長度 (長直角邊) 已知, 各部分的長度 (梯形或三角形的高) 相等, 求各份土地的面積之差 ^[3^], 如圖 3 所示。 祭司所得的 b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆ 構成等差數 列。 由此, 我們不難推斷, 祭司知道這樣的事實: 梯形中位線是上下底的算術中項。

圖3: 泥版 YBC 4608上的三角形分割問題

這讓我們很自然地想到了在同一個梯形中作出不同中項的問題。 為便於作圖, 我們選擇特 殊的直角梯形來解決這一問題。 如圖 4, 直角梯形 ABCD 的上下底分別為 AD = a, BC = b (a < b), 高為 AB = a + b。 在 AB 上取點 E, 使得 AE = AD, 過 E 作平行於 AD 或 BC 的直線, 交 CD 於點 F , 易證: EF = 2ab

a+ b, EF 恰好過梯形對角線 AC 和 BD 的交 點 I。 延長 BA 和 CD 交於點 O, 以 OB 為直徑作半圓, 延長 DA, 交半圓於點 K, 再以 O 為圓心、 OK 為半徑作圓弧, 交 OB 於 G, 過 G作 AD或 BC 的平行線, 交 CD 於 H。 易 證: GH =√

ab, 且梯形 AGHD 和梯形 GBCH 相似。

圖 4: 五類中項的梯形模型

取 AB 和 CD 的中點 M 和 N , 得梯形的中位線 MN, MN = a+ b

2 。 在 BM 上取點 R, 使得 BR = AD = a, 過 R 作 AD 或 BC 的平行線, 交 CD 於 S。 易證: RS = a²+ b²

a+ b 。 以 R 為圓心、RN 為半徑作圓弧, 交 RS 於點 T , 過 T 作 RS 的垂線, 交 CD 於 Q, 過 Q 作 AD 或 BC 的平行線, 交 AB 於 P 。 易證:

P Q= RT = RN =√

RM²+ MN² = r

b− a 2

2

+a+ b 2

2

=

ra²+ b² 2 由 AD < EF < GH < MN < P Q < RS < BC, 即得五類中項的大小關係 (1)。

三、 矩形之變

古希臘數學家似乎並沒有對各類中項的大小進行比較, 但他們已經研究過部分中項的幾何 作圖法以及它們之間的數量關係。 歐幾裡得 (Euclid, 前325年∼前265年) 在 《幾何原本》 卷六

命題 13中給出了兩條已知線段之間的幾何中項的作圖法。 如圖5, 以 AB 為直徑作半圓 ADB, 則 CD 即為 AC 和 CB 之間的幾何中項。

圖 5 : 《幾何原本》 卷六命題13中的作圖法

《幾何原本》 卷二命題 5 實際上給出了算術中項與幾何中項之間的關係: “將一條線段二等 分, 再分成不相等的線段, 則由二不相等的線段構成的矩形與兩個分點之間一段上的正方形之 和等於原線段一半上的正方形。”^[4] 如圖 6, 設 BD = a, AD = b, C 是線段 AB 的中點, 在 CB 上作正方形 CBEF, 過 D 作 AB 的垂線, 分別交 F B 和 F E 於 H 和 K, 過 H 作 AB 的平行線, 分別交 CF 和 BE 於 G、N。 過 A 作 AB 的垂線, 交直線 GN 於 M。 易知:

AH= AG + CH = BG + HE

⇒ AH+ GK = CE

圖6 : 《幾何原本》 卷二命題5中的作圖法 這就是:

ab+b− a 2

2

=a+ b 2

2

(7)

(7) 與 (4) 等價。 歐幾裡得的證明思路就是“將矩形化為等積的矩尺形”。 如果說, 歐幾裡得的圖 6 還不夠直觀的話, 那麼從圖 7 中則更能清楚地得出等式 (7)。

圖 7 : 《幾何原本》 卷二命題5的另一種證明 由 (7) 馬上可以得到不等式

ab≤a+ b 2

2

(8) 即 G < A。

四、 比例之用

古希臘數學家阿基米德在證明球體積公式時, 利用了如下命題: “設 a、b 是兩條已知線段, a < b。 在 a、b 之間插入兩個算術中項 c 和 d (即 a、c、d、b 構成等差數列) , 則 a³ : c³ < a: b。”^[5^]

西元 6 世紀, 希臘數學家歐多修斯 (Eutocius) 對上述命題作了證明: 設 x 和 y 滿足 a : c = c : x = x : y, 則 (c − a) : a = (x − c) : c = (y − x) : x, 因 a < c < x, 故 c− a < x − c < y − x。 又因 c − a = d − c = b − d, 故 d − c < x − c, b − d < y − x。 於 是得 x > d, y > b。 因此, a³ : c³ = a : y < a : b。

很難想像阿基米德會對更簡單的情形視而不見: 設 a、b 是兩條已知線段, a < b, A 為 a、b 的算術中項, 則 a² : A² < a : b, 而這正等價於均值不等式 G < A。 因此, 我們有理由相信, 阿基米德對於均值不等式是了然於心的。 借鑒歐多修斯的方法, 我們發現了均值不等式十分簡 單的兩種證明。

方法一: 設 a < b, a、b 的算術中項為 A, 幾何中項為 G, 則因 A − a = b − A, a < A, 故 A− a

a > b− A A 此即

A a > b

A 故得 G < A。

方法二: 設 a < b, 算術中項為 A, 幾何中項為 G, 則因 G a = b

G, 故 G− a

a = b− G G 由 a < G, 得 G − a < b − G, 故 G < A。

五、 等周問題

在阿基米德之後, 獲得與均值不等式等價結果的數學家是芝諾多魯斯。 他寫了一本名為

《論等周圖形》 的書, 專門研究等周問題。 在書中, 他給出了許多命題, 其中一個是:“在邊數相 同、 周長相等的所有多邊形中, 等邊且等角的多邊形的面積最大。”^[1]

在四邊形情形中, 我們考慮長為 b、 寬為 a (a < b) 的矩形以及與之等周的正方形 (邊長 為 a+ b

2 ), 即有不等式 (8) 成立。

為了證明上述命題, 芝諾多魯斯運用了兩個引理, 其中第一個為: “在等底等周的所有三角 形中, 等腰三角形的面積最大。”^[1]

如圖 8, BD = a, AD = b (b > a), AC = BC = a+ b

2 。 延長 AC 至 E, 使 AC = CE, 連接 DC, DE。 因 AD + DE > AE = AC + BC = AD + BD, 故 DE > BD。 於是, 在 △CBD 和 △CDE 中, ∠ECD > ∠BCD, ∠ECD > ¹₂∠BCE =

∠CAB。 因此, 過點 C 作 AB 的平行線, 必與 AD 的延長線相交於點 F 。 連接 BF , 即得 S_△ABC = S_△ABF > S_△ABD。

圖8: 等底等周的三角形 若 △ADB = 90^◦, 則得

1

2ab < 1 2

a+ b 2

2

sin(∠ACB) < 1 2

a+ b 2

2

於是得不等式 (8) 。

六、 推陳出新

西元 3 世紀末, 古希臘亞歷山大時期最後一位重要的幾何學家帕普斯在其 《數學彙編》 卷 三給出了更多中項的幾何作圖法^[6]。 如圖9, 設 BC = a, AB = b, 過點 A 作 AB 的垂線 DE, 並在其上取點 D 和 E, 使得 AD = AE, 過點 C 作 AB 的垂線, 交 BD 於 F , 連接 EF, 交 AB 於 G。 則 BG 就是 AB 和 BC 之間的調和中項。 事實上, 由上述作圖可得:

AB : BC = AD : CF = AE : CF = AG : CG = (AB − BG) : (BG − BC).

圖10: 帕普斯 《數學彙編》 拉丁文版 (1588 年) 書影 (采自文獻[6])

圖9: 帕普斯的調和中項作圖法

但帕普斯並不滿足於單個中項的作圖, 他希望能夠在同一幅圖形中作出不同的中項。 在 《幾 何原本》 卷二命題 13 的基礎上, 帕普斯在同一個半圓上作出了三類中項。 如圖 11, 以 AB 為直 徑作半圓 ADB, CD⊥AB, OD為半徑, CE⊥OD, 則 OD、CD、DE 分別為 AC 和 CB 之間的算術、 幾何和調和中項。

圖 11 : 帕普斯三類中項的作圖法 圖 12 : 五類中項的作圖法

在帕普斯作圖法的基礎上, 我們可以進一步作出 AC 和 CB 之間的所有五類中項。 如圖 12, 以 O 為圓心, OC 為半徑, 作圓, 過 O 作 OD 的垂線, 交圓於 F , 連接 DF ; 過 F 作 DF 的垂線, 交 DO 的延長線於 G。 於是, DF 和 DG 分別為 AC 和 CB 之間的均方根和 反調和中項。 設 CB = a, AC = b。 因 DE < DC < OD < DF < DG, 故得均值不等式 (1)。

另一方面, 如果我們對於帕普斯的調和中項作圖法進行改進, 同樣可以實現他的在同一幅 圖中表示不同中項的想法。 如圖 13, 設 AC = a, AB = b, 以 CB 為直徑作圓 O, 過點 A 作 圓 O 的切線 AD, D 為切點, 連接 OD。 作 DE⊥AB, 垂足為 E。 在 OB 上取點 F , 使得 OF = OE, 作 OG⊥AB, 交圓 O 於 G, 連接 AG、GF 。 易證:

AD=√

ab, AO= a+ b

2 , AE = 2ab

a+ b, AF = a²+ b²

a+ b , AG=

ra²+ b² 2 考慮到 DE⊥AE, OD⊥AD, OA⊥OG, AG⊥GF , 故有

AC < AE < AD < AO < AG < AF < AB 這就是均值不等式 (1)。

圖 13 : 帕普斯作圖法的改進

七、 勾股弦圖

西元 3 世紀, 中國數學家趙爽“負薪餘日, 聊觀 《周髀》”。 他在給 《周髀算經》“勾股圓方 圖”作注時, 給出圖 14 所示的“大方圖”。 趙爽寫道:

“以圖考之, 倍弦實, 滿外大方, 而多黃實。 黃實之多, 即勾股差實。 以差實減之, 開其餘, 得外大方。 大方之面, 即勾股並也。”^[7^]

如圖14, 設直角三角形 EBF 的勾、 股、 弦分別為 a、b、c, 則以 c 為邊的正方形由四個全 等的紅色直角三角形和一個邊長為 b − a 的黃色小正方形構成, 故上述正方形的兩倍就是由八

個全等的紅色直角三角形和兩個黃色小正方形構成。 而外大方則是由八個紅色直角三角形和一 個黃色小正方形構成。 因此有:

(a + b)²= 4ab + (b − a)²

(a + b)²= 2c²− (b − a)² = 2(a²+ b²) − (b − a)²

因此, 可得不等式

4ab ≤ (a + b)² ≤ 2(a²+ b²)

這就是不等式 (6)。

圖14 : 趙爽的大方圖

八、 勾股容方

西元 263 年, 中國數學家劉徽為 《九章算術 》 作注。 在注中, 他證明了“勾股容方” (即直 角三角形內接正方形邊長) 公式^[8^]。設直角三角形的直角邊為 a 和 b, 則與直角三角形具有公 共直角的內接正方形邊長為

d= ab a+ b

圖15 : 劉徽的勾股容方圖

如圖 15, 在矩形 ABCD 中, BC = a, AB = b, a < b。 正方形 GBEF 和 HIDJ 分 別內接於直角三角形 ABC 和 CDA, JH 的延長線交 GF 於 K, M 是 AC 的中點, MQ 和 MP 分別垂直於 AB 和 BC。 於是,

HK = b − 2ab

a+ b, KF = 2ab a+ b − a 因 AB > BC, 故 HK > KF , 於是有

b− 2ab

a+ b > 2ab a+ b − a 由此得不等式

2ab

a+ b < a+ b 2 或即

 2ab a+ b

2

< ab <a+ b 2

2

(9) 故得均值不等式 H < G < A。

另一方面, 設內接於直角三角形 ABC、 且與直角三角形具有一個公共直角的長方形的長 為 x, 則其面積為

S(x) = x b− bx

a

= −b a

 x− a

2

2

+ ab 4

易知, 當 x = a

2 時, S(x) 最大, 亦即 QBP M 是面積最大的內接長方形, 其面積為 1 4ab。 因 此有:

 ab a+ b

2

< 1

4ab (10)

由此同樣可得不等式 (9)。

圖 16

在劉徽的勾股容方圖中, 如果我們連接 BF , 並且作 BR⊥AC, 垂足為 R, 如圖16所示。

易知

BF =

√2ab

a+ b, BR= ab

√a² + b², 設 ∠BF R = θ, 則有

sin θ =BR BF =

√ ab a²+ b²

√2ab a+ b

=

a+ b 2 ra²+ b²

2

=

ra²+ b² 2 a²+ b²

a+ b ,

p1 − cot²θ=

√ab a+ b

2

= 2ab a√+ b

ab .

因 π

4 < θ < π 2, 故

√2

2 <sin θ < 1, 0 <√

1 − cot²θ < 1, 由此即得均值不等式 (1)。

九、 結語

當我們帶著“證明均值不等式”的目的去考察古代兩河流域、 古希臘和古代中國的少量數學 文獻時, 我們有一種 “有心栽花花不發, 無心插柳柳成蔭”、 “踏破鐵鞋無覓處, 得來全不費工夫”

的感覺。 儘管這些歷史文獻的主題並非均值不等式, 但它們無意中都為均值不等式提供了精彩 的證明方法或幾何模型。 沿著古人開闢的蹊徑繼續前行, 深入探究, 我們往往可以推陳出新, 有 所創獲; 那些歷史文獻也就不再是過時的、 冷冰冰的陳列品, 而是鮮活的、 生動的、 充滿教育意 蘊的思想養料。

本文所述, 不過滄海一粟而已。 上下數千年, 數學的歷史積澱了先哲們的思想精華; 數學的 歷史是一座寶藏, 從中可以發掘出取之不盡、 用之不竭的教學資源。 面對這座寶藏, 我們難免發 出“太陽底下無新事”之感歎; 深入這座寶藏, 我們將變得明智而謙卑。 有理由相信, 關於均值不 等式, 更多我們在課本上看不到的思想和方法等待我們進一步去發掘。

那麼, 從數學史材料中衍生出來的均值不等式的證明方法, 對均值不等式的教學究竟有何 意義?

(1) 利用歷史材料, 我們可以再現均值不等式的“源頭”, 並將該“源頭”作為弗賴登塔爾 (H.

Freudenthal, 1905∼1990) 所說的“數學現實”。 兩河流域的和差術與梯形分割問題、 古希臘的 等周問題、 古代中國數學家的弦圖都可以充當均值不等式的“源頭”。

(2) 薩頓 (G. Sarton, 1883∼1956) 曾經告訴我們, 解釋數學的“人性”乃是數學史家的職 責之一。 當我們將均值不等式放置在歷史背景中時, 也就將“人”的元素加入其中了, 從而使該知 識點變得人性化。 兩河流域的祭司、 古希臘數學家歐幾裡得、 芝諾多魯斯、 帕普斯、 中國數學家 劉徽、 趙爽等, 都與均值不等式有著不解之緣。 無疑, 數學史能使均值不等式的教學更加平易近 人。

(3) 歷史材料為我們提供了均值不等式的不同表徵方式, 尤其是幾何表徵, 促進了學生的 理解。

此外, 數學史的另一些教育價值, 如為學生提供探究機會^[9]、 提供了大量的問題和方法^[10]、 拓寬學生的思維^[11]、 讓學生感受數學文化的多元性^[9][10] 等等, 在均值不等式教學中, 也完全 可以實現。

審稿人對本文提出了寶貴的意見和建議, 特此致謝。

參考文獻

1. Heath, T. L. (1921). A History of Greek Mathematics. Oxford: Oxford University Press.

2. van der Waerden, B. L. (1983). Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Berlin:

Springer-Verlag.

3. Neugebauer, O. and Sachs, A. (1945). Mathematical Cuneiform Texts. New Haven:

American Oriental Society.

4. 歐幾裡得 (1990). 幾何原本 (蘭紀正, 朱恩寬譯). 西安: 陝西科學技術出版社。

5. Heath, T. L. (1959). The Works of Archimedes. New York: Dover Publications.

6. Pappi Alexandrini (1588). Mathematicae Collectiones. Pisauri: Apud Hieronymum

Concordiam, 9-12.

7. 趙爽 (1994). 《周髀算經》 注 (卷上), 見郭書春主編, 中國科學技術典籍通匯 — 數學卷(一), 鄭州:

河南教育出版社, 11-12。

8. 郭書春 (2004). 匯校九章算術. 瀋陽/臺北: 遼寧教育出版社/九章出版社。

9. Fauvel, J. (1991). Using history in mathematics education. For the Learning of Math- ematics, 11(2): 3-6.

10. Fauvel, J., van Maanen J. (2000). History in Mathematics Education. Dordrecht:

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11. Gulikers, I., Blom, K. (2001). A historical angle: A survey of recent literature on the use and value of history in geometrical education. Educational Studies in Mathematics, 47: 223-258.

—本文作者任教華東師範大學數學系—

International Conference on Nonlinear Analysis:

Boundary Phenomena for Evolutionary PDE

日 期 : 2014 年 12 月 20 日 (星期六) ∼ 2014 年 12 月 24 日 (星期三) 地 點 : 台北市大安區羅斯福路四段 1 號 天文數學館 6樓演講廳

詳見中研院數學所網頁 http://www.math.sinica.edu.tw