有效隨機維度在大地工程可靠度中的角色

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國立臺灣大學工學院土木工程學系碩士論文

Department of Civil Engineering College of Engineering National Taiwan University

Master Thesis

有效隨機維度在大地工程可靠度中的角色

The Role of Effective Random Dimension in Geotechnical Reliability Analysis and Reliability-based Design

楊志堅 Yang, Jyh-Jian

指導教授：卿建業教授 Major Professor: Ching, Jianye

中華民國 103 年 6 月

June. 2014

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2

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誌謝

這是本論文最後編寫的頁面，也是碩士兩年生涯的句點。首先這兩年來我要特別感謝我的指導教授卿建業老師，除了在研究上的指導外對於學術領域的見解也有許多讓我值得學習的地方。能完成這本論文，我還要感謝許多岩力室的夥伴，第一大弟子毓港學長，同研究方向的時選哥，Abaqus 專家思緯，去美國的信璋、帥氣的俊哥和 Apple 學姊，以及課業上幫助的家吉、雅筑和雨璇學長學姊們。另外還有隔壁的胡揚、大砲、吐司，打球球友線條、史迪奇、莊贊申、蛆蛆，補習班戰友文淵、小賴，有趣的花生哥和好室友士賢，也感謝岩力室的學弟妹光珣、敬元和宣文在 meeting 時給的意見。同時要特別感謝 Purple、小寶和咨聿在口試時的幫忙，

還有家人無怨無悔的支持。以上老師、家人、學長姐、夥伴及學弟妹的幫助、支持和鼓勵是使我順利完成這本論文的最大動力來源。

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ii

中文摘要

在大地工程也開始逐漸步入可靠度分析與設計 (Reliability Analysis &

Reliability-based Design)後，基於部分係數設計法(Partial Factors Design)的缺陷，卿建業和方國光在 2011 年提出了分位數值法(Quantile Value Method, QVM)改善常數部分係數在變動的系統變異下之問題。而大地工程中另一特色為層狀土壤，而由於不同土層所提供之強度變化大，因此必須將每一土層視為一強度來源之隨機變數 (Random variables)。最近我們發現使用常數的分位數之 QVM 在變動的土層當中表現並不良好，因此本研究提出一改良方案，以有效隨機維度(Effective Random Dimension, ERD)來改善 QVM 的問題。

本文首先將會闡述 ERD、破壞機率與機率門檻(Probability threshold, η)三者的關係，說明 ERD 為何能影響系統，並以一於標準常態下推導得之關係式作為本研究之主體，利用此關係式進行可靠度分析與設計。在本研究中將會使用三個常見的大地工程案例來探討，並加入傳統安全係數設計(Safety Factor Design)、一階二次矩法(First Order Second Moment Method, FOSM)與 QVM 於不同設計情景下做分析，

隨後則利用設計指標預測可靠度指標(Reliability Index, β)來進行比較，其中即加入 ERD 來觀察是否能夠改善 QVM。最後本文則建立一套 ERD 的預測式，比較傳統 QVM 與加入 ERD 後的 QVM 於可靠度設計之差別。

關鍵字：分位數值法、機率門檻、有效隨機維度、可靠度設計、βη

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ABSTRACT

The Reliability Analysis (RA) and Reliability-based Design (RBD) are gradually used in Geotechnical engineering society. However, Using Partial Factor Design which has generally applied in structure engineering in geotechnical engineering is not a good way due to variable varieties. Ching and Phoon proposed a novel simplified RBD method called “Quantile Value Method, QVM” in 2011 in respond to this problem. Furthermore, another characteristic of Geotech is variable sources of resistance such as a single pile embedded in multiple soil layers. According to recent research, the constant η quantile could not maintain a uniform reliability in the practices of variable strata. This paper proposes an improvement adopting the concept called “Effective Random Dimension, ERD” to enhance QVM’s performance.

The focus of this research is to explain the role of ERD and the effect of using ERD in QVM. This paper will discuss the relationship among ERD, probability of failure and Probability Threshold at first. How the ERD affects the whole system is the main point and a formula derived from standard normal distribution would be demonstrated. To present the advantage of using ERD, we will use three common geotechnical examples to statistically compare the information content of three design method, Safety Factor Design, First Order Second Moment Method and QVM. Here will show a simple comparison of three types of design indices, then a regression predicting ERD will be established in order to take the ERD into account in RA and RBD. At the end the results of QVM and ERD-based QVM will be discussed.

Key words: QVM, Effective Random Dimension, Probability Threshold, RBD, βη

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iv

圖目錄

Fig 2-1 正常空間座標下限度狀態方程式 ... 7

Fig 2-2 標準常態空間下限度狀態方程式 ... 8

Fig 2-3 FORM 之假設與實際破壞區間 ... 9

Fig 3-1 ηlimiting – βη ... 17

Fig 3-2 案例 A、B 之 βη-β 關係 ... 18

Fig 3-3 樁基礎 ... 20

Fig 3-4 tc和限度機率門檻 ... 20

Fig 3-5 一個變數下之 QVM ... 22

Fig 3-6 樁基礎 A 與樁基礎 B ... 24

Fig 3-7 有效隨機維度與βη ... 26

Fig 3-8 3.1.2 節案例 B 有效隨機維度直方圖 ... 28

Fig 3-9 3.1.3 節案例 tc-ERD 散布圖 ... 29

Fig 3-10 3.1.3 節 μN60-ERD 關係 ... 29

Fig 4-1 擋土牆 ... 34

Fig 4-2 擋土牆改變期望值之比較 ... 36

Fig 4-3 擋土牆改變 COV 之比較 ... 37

Fig 4-4 擋土牆改變隨機變數分布之比較 ... 37

Fig 4-5 樁基礎改變期望值之比較 ... 41

Fig 4-6 樁基礎改變 COV 之比較 ... 41

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viii

Fig 4-8 樁基礎改變隨機變數之比較 ... 42

Fig 4-9 淺基礎 ... 44

Fig 4-10 改變期望值之比較 ... 45

Fig 4-11 改變 COV 之比較 ... 46

Fig 4-12 改變隨機變數分布之比較 ... 46

Fig 5-1 擋土牆簡單預測式 ... 50

Fig 5-2 改變期望值取樣範圍至前半段 ... 51

Fig 5-3 改變期望值取樣範圍至後半段 ... 52

Fig 5-4 改變變異係數取樣範圍至前半段 ... 52

Fig 5-5 改變變異係數取樣範圍至後半段 ... 53

Fig 5-6 改變隨機變數分布為常態分布 ... 54

Fig 5-7 改變隨機變數分布為 Gumbel Maximum ... 54

Fig 5-8 改變隨機變數分布為 Gumbel Minimum ... 55

Fig 5-9 改變隨機變數分布為均勻分布 ... 55

Fig 5-10 擋土牆複雜回歸式 ... 56

Fig 5-11 改變期望值取樣範圍至前半段(複雜) ... 57

Fig 5-12 改變期望值取樣範圍至後半段(複雜) ... 57

Fig 5-13 改變變異係數取樣範圍至前半段(複雜) ... 58

Fig 5-14 改變變異係數取樣範圍至後半段(複雜) ... 58

Fig 5-15 改變隨機變數分布為常態分布(複雜) ... 59

Fig 5-16 改變隨機變數分布為 Gumbel Maximum(複雜) ... 59

Fig 5-17 改變隨機變數分布為 Gumbel Minimum(複雜) ... 60

(11)

Fig 5-18 改變隨機變數分布為均勻分布(複雜) ... 60

Fig 5-19 樁基礎簡單預測式回歸結果 ... 61

Fig 5-20 樁基礎改變期望值為原範圍前半段 ... 62

Fig 5-21 樁基礎改變期望值為原範圍後半段 ... 63

Fig 5-22 樁基礎改變變異係數為原範圍前半段 ... 63

Fig 5-23 樁基礎改變變異係數為原範圍後半段 ... 64

Fig 5-24 樁基礎改變 tc為原範圍前半段 ... 64

Fig 5-25 樁基礎改變 tc為原範圍後半段 ... 65

Fig 5-26 樁基礎改變隨機變數為 Gamma 分布 ... 65

Fig 5-27 樁基礎複雜預測式校準回歸結果 ... 67

Fig 5-28 樁基礎改變期望值為原範圍前半段(複雜) ... 68

Fig 5-29 樁基礎改變期望值為原範圍後半段(複雜) ... 68

Fig 5-30 樁基礎改變變異係數為原範圍前半段(複雜) ... 69

Fig 5-31 樁基礎改變變異係數為原範圍後半段(複雜) ... 69

Fig 5-32 樁基礎改變 tc為原範圍前半段(複雜) ... 70

Fig 5-33 樁基礎改變 tc為原範圍後半段(複雜) ... 70

Fig 5-34 樁基礎改變隨機變數分布為 Gamma 分布(複雜) ... 71

Fig 5-35 淺基礎簡單預測式回歸結果 ... 72

Fig 5-36 淺基礎改變期望值為原範圍前半段 ... 73

Fig 5-37 淺基礎改變期望值為原範圍後半段 ... 73

Fig 5-38 淺基礎改變變異係數為原範圍前半段 ... 74

Fig 5-39 淺基礎改變變異係數為原範圍後半段 ... 74

(12)

x

Fig 5-40 淺基礎改變變數分布為對數常態分布 ... 75

Fig 5-41 淺基礎改變變數分布為常態分布 ... 75

Fig 5-42 淺基礎改變變數分布為 Gumbel Maximum 分布 ... 76

Fig 5-43 淺基礎改變變數分布為均勻分布 ... 76

Fig 5-44 淺基礎複雜預測式回歸結果 ... 77

Fig 5-45 淺基礎改變期望值為原範圍前半段(複雜) ... 78

Fig 5-46 淺基礎改變期望值為原範圍後半段(複雜) ... 78

Fig 5-47 淺基礎改變變異係數為原範圍前半段(複雜) ... 79

Fig 5-48 淺基礎改變變異係數為原範圍後半段(複雜) ... 79

Fig 5-49 淺基礎改變變數分布為對數常態分布(複雜) ... 80

Fig 5-50 淺基礎改變變數分布為常態分布(複雜) ... 80

Fig 5-51 淺基礎改變變數分布為 Gumbel Maximum 分布(複雜) ... 81

Fig 5-52 淺基礎改變變數分布為均勻分布(複雜) ... 81

Fig 6-1 擋土牆可靠度設計驗證結果 ... 84

Fig 6-2 樁基礎可靠度設計驗證結果 ... 86

Fig 6-3 樁基礎 tc與ηlimiting ... 87

Fig 6-4 淺基礎可靠度設計驗證結果 ... 88

(13)

表目錄

Table 3-1 案例 A、B 設計參數 ... 17

Table 3-2 簡單樁案例設計參數 ... 20

Table 4-1 擋土牆設計參數 ... 34

Table 4-2 擋土牆隨機變數 ... 35

Table 4-3 擋土牆驗證案例改變範圍 ... 35

Table 4-4 樁基礎設計參數 ... 39

Table 4-5 樁基礎隨機變數 ... 39

Table 4-6 樁基礎驗證案例改變範圍 ... 39

Table 4-7 淺基礎設計參數 ... 44

Table 4-8 淺基礎隨機變數 ... 44

Table 4-9 淺基礎驗證案例改變範圍 ... 45

Table 6-1 擋土牆可靠度設計驗證結果 ... 85

Table 6-2 樁基礎可靠度設計驗證結果 ... 86

Table 6-3 使用常數 η 之 QVM 於不同 tc範圍下驗證結果 ... 88

Table 6-4 淺基礎可靠度設計驗證結果 ... 89

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1

Chapter 1 緒論

1.1 研究動機與目的

可靠度理論發展至今已有數十年的歷史，而在伴隨著人類歷史前進的大地工程中卻仍是一新穎的設計方法。相較於其他領域，大地工程的特色為使用較多的天然材料，如土壤、岩石等，其材料性質會隨著不同時間與地點變化；另一特色則是我們對地底下的了解甚少，在有限的成本中無法掌握所有環境細節。綜合以上兩點，

能夠透過統計理論基礎全面考量不確定性與變異性的可靠度分析與設計理當是在大地工程中最佳的設計方法，但過於繁複的理論與計算使其很難被考量入設計規範；同時也因變動的不確定性與變異性，使在結構工程行之有年的可靠度設計法

「載重與阻抗設計法(LRFD)」，即一種部分係數設計法，並不太適用於大地工程。

針對此兩點，卿建業和方國光於 2011 年提出了「分位數值法(QVM)」，其已被證實能夠簡化可靠度設計並且有效的反應系統不確定性與變異性，得到較穩定的設計結果；但最近發現常數的 QVM 在變動的土層數目下的樁表現並不佳，其設計結果並不能保持著一定的可靠度水準。更深一層探究此問題，主要是 QVM 不能以一相同的機率門檻η 對應變動的隨機變數(Random Variable)個數，即在變數對系統的重要性會改變下 QVM 表現不佳；因此本研究計畫希望能夠了解 QVM 在此方面的問題並出一解決方法。

本研究主要目的分為比較傳統工作應力法和可靠度理論的差異，及探究有效隨機維度在分位數值法的應用。工作應力法只用一個安全系數來囊括所有工程的不確定性及風險，同時設計時此安全係數是經由以往工程師的經驗來制定，不論是

(15)

在安全性及經濟性，甚至學術演進上皆不是一種良好的科學方法。接著若能釐清 QVM 在變動土層(變動的隨機變數個數)下之問題則有助於我們了解系統破壞機率與土層數目之間的關係，並找出能夠解決 QVM 在此情況下的方法；同時也能強化 QVM 的表現，提出一更佳的簡化可靠度設計法，為大地工程可靠度設計的發展與進步盡一份心力。

1.2 研究方法

本研究的重點將會放在探討有效隨機維度及其應用，故首先會詳盡論述有效隨機維度的概念及推導。此部分會以一標準常態下之限度狀態函數開始利用分位數值法施作可靠度設計，透過純數學式推導出有效隨機維度、機率門檻與系統破壞機率的關係。本研究將完整建構有效隨機維度的理念架構，說明有效隨機維度如何影響系統破壞機率和機率門檻，同時結合有效隨機維度的來改良分位數值法，探討機率門檻是否更能有效反映系統變異。另一方面為更明確表達有效隨機維度並說明分位數值法的優勢，本文將導入三個常見的大地工程案例，透過改變系統的變異性，例如期望值、變異係數及變數分布等方法觀察三種設計指標所含的系統資訊。

而此三種設計指標為βη、安全係數 FS 及一階二次矩法的可靠度指標 βFOSM。第二部分則是對有效隨機維度加以應用。同樣在此階段也會使用以上三種工程案例，透過回歸的方式來預測有效隨機維度。首先本文先定義有效隨機維度的估算法，並使用重要性取樣(Important Sampling)來算出準確之系統可靠度指標，再利用設計參數對有效隨機維度進行回歸。建立的預測式將會在改變的系統變異下驗證；同時也會使用 FS 及 βFOSM來建立各自的預測式，比較其結果。最後則是實際使用預測有效隨機維度的方法來施作可靠度設計；此部分直接使用前面所建構之

(16)

3

分位數值法使用，此法在本研究稱為 ERD-based QVM；另外也會和 2011 年所發表之分位數值法比較，說明將有效隨機維度納入考量後將能夠更準確的描述系統風險，以利設計出符合需求的大地工程。

(17)

Chapter 2 文獻回顧

可靠度的定義為產品的特定的時間及環境下，成功執行特定功能的機率，而在本文中會將重點放在安全性上。可靠度分析的特點，即是能考慮所有參數的不確定性，使參數為一隨機變數(Random Variable)，故描述其性能的函數之結果也會是一隨機變數。如此對性能的評估經過分析即可得到利用機率描述的某項性能，而描述性能的方程式稱為功能函數(Performance Function)或是限度狀態函數(Limit state Function)。在大地工程中，大多使用阻抗 R 與載重 L 來描述安全性 g = R-L，因此 g < 0 即為破壞事件。若將可靠度分析之過程以數學式表達，可寫為下式：

(z)

_compute

(g( , ) 0 | )

f  P Z   

(2.1) 式中 g(Z,θ)為功能函數，Z 為工程中不確定參數，θ 為設計參數；P(.)表括號內機率。

2.1 可靠度分析法

2.1.1 蒙地卡羅模擬 Monte Carlo Simulation (MCS)

在電腦普遍使用的今日，基於統計與機率的基礎所建立，透過不斷的取樣估算可能的機率之蒙地卡羅模擬(以下簡稱 MCS)已被廣泛使用，可用來解決已知或設定隨機變數分布問題。模擬(Simulation)為根據一組假設與實際模式，轉換真實事件的過程，在工程上可得到功能或反應的測量值；而經過反覆不斷的模擬，可檢驗或評估系統功能對參數變化的靈敏度。MCS 使用上必須先(1)以機率模型產生隨機變數，並(2)描述該問題功能的方程式。在數值分析中，可以使用伯努力分布(Bernoulli distribution)之隨機變數作為指示函數，判斷樣本種類。若以破壞事件為目標，如工程中分析可為下式：

(18)

5

1 ( ) 1[F] 1[G(X) 0]

0 ( )

    



破壞發生

安全 (2.2)

當中 G(X)為描述該問題性能之函數，F 指 failure event。故 MCS 計算破壞機率可表示為：

= #

#

MCS

P

F

破壞樣本數

總樣本數

(2.3)

注意此破壞機率 PFMCS為隨機變數。因此我們可以推導出 PFMCS的期望值與變異係數，分別為：

( )=

( )= 1

MCS F

E P P(F) COV P P(F)

N P(F)





(2.4)

可知道 MCS 估算的破壞機率並沒有偏差。MCS 能解決複雜的機率問題，且在使用上相當直觀，只要能夠寫出描述該問題的性能函數即能估算；唯 MCS 亦是一種取樣技術，故會有取樣理論相同的問題，其結果往往會有誤差，在有限樣本所得到的解往往不是相當正確，如從式(2.4)能看出，若要得到較準確的機率值須使用大量的樣本數 N。根據經驗 PF的 COV 須控制在 0.3 以下，樣本數至少為一百萬個才能得到可信的值。

2.1.2 一階二次矩法 First Order Second Moment Method (FOSM)

計算系統風險時需要知道隨機變數的分布或是聯合分布，但有時候這些資料往往是不可得的；同時在計算機率過程需要積分，而這對於某些不能積分的隨機變數是個問題。因此利用變數的期望值與變異數來計算系統風險是一較簡單可行的方式(Ang & Tang 1984)。工程的可靠度可視為供給對需求的問題，如大地工程樁基

(19)

礎問題中樁身摩擦力(供給)能否承受使用期間的最大荷重(需求)。而為反應不確定性與變異性，供給與需求可使用隨機變數來表示，則系統的安全區間(Safety Margin) 可為：

( )

M X   R Q

(2.5) 其中 M 為安全區間，R 為阻抗(供給)，Q 為載重(需求)，X 為影響功能函數的參數；

故可以看出系統安全性取決於安全區間的大小，當安全區間 M = 0 時系統達到限度狀態，M < 0 時即為破壞。若將變數設定為連續型變數，則安全性將會被變數期望值與變異數影響，故定義可靠度計算法為：

2 2

R Q

M

M R Q

 

 

  

  



(2.6)

β 為可靠度指標，μ 為期望值，σ 為變異數；而對於非線性的系統，則可以利用在原點作泰勒展開(Taylor expansion)並忽略高次項，則

1 2

( , ,..., )

M

n

    

(2.7)

2

2 2

1 n

M Xi

i i

M

  X



  

      

^(2.8)

M(.)為功能函式中期望值的加減總合，β 的算法同樣為 μM / σM。因使用泰勒展開式時忽略二次項以上故稱為一階；二次矩則因此可靠度分析只需要期望值與變異數。

FOSM 使用上簡單方便，對工程師來說更因不需了解隨機變數，只需要期望值與變異數而受到歡迎；但是此法錯誤的將隨機變數均視為常態分布，使估算得的可靠度指標並不準確，同時忽略變數間的相關性(Correlation)也使得此法的正確性受到質疑，另外也沒有理論證明此指標及偏差。

(20)

7 2.1.3 一階可靠度法 First Order Reliability Method (FORM)

一階可靠度法(以下稱 FORM)，又稱改良式一階二次矩法(Advanced FOSM)，由 Hasofer & Lind (1974)[2]所提出，是工程上常用的可靠度分析法之一。此法主要利用幾何觀點，將隨機變數從正常空間轉至標準常態空間來操作，並求取限度狀態線 G = 0 與原點最近的距離，則此距離經證明即為可靠度指標。假設有一限度狀態方程式：

G   R Q

(2.9) R 為阻抗，Q 為載重，兩者皆為隨機變數且分布為常態分布。在正常空間下如 Fig 2-1，Q > R 的區域即為破壞區間。

Fig 2-1 正常空間座標下限度狀態方程式若將變數轉至標準常態空間，如 R 可表為：

'

^R

R

R R 



 

(2.10)

其中μR為變數 R 的期望值，σR為變異數。則原式可改寫為：

' '

R Q R Q

G      R   Q 

(2.11) 在此空間下限度狀態方程式 G = 0 會如 Fig 2-2，則原點與限度狀態線最接近的一

G = R – Q = 0

R Q

破壞區間

安全區間

(21)

點稱為設計點(design point)，距離為可靠度指標 β。一般而言，設計點需要滿足以下兩個條件：(1)G(z*) = 0，(2)z*∥▽G(z*)，其中 z*為設計點座標(R’*, Q’*)。因此，

FORM 的分析架構建立在設計點的找尋，在不同的演算法或最佳化之下可能有稍微不同的結果。

Fig 2-2 標準常態空間下限度狀態方程式

另一方面，FORM 假設限度狀態方程式為一線性直線以簡化問題，而由 Fig 2-3 可知此種作法並不盡然正確，因忽略了斜線部分的安全區間；但是由於 FORM 在選擇在設計點的假設，而設計點是此問題中機率密度最大的點，故忽略其他位置並不太影響整體破壞機率，因此在此假設下仍然能夠得到不錯的結果。此外，FORM 只需要執行一次最佳化分析即可得到可靠度指標，分析上較為快速，但唯無法得知計算結果與真實結果的差距，即無法改善偏差；同時 FORM 在高維度下的問題有可能找不到設計點，例如地震波有無數個隨機變數，FORM 將很難透過最佳化來做可靠度分析。

R’

Q’

G = μ

R

-μ

Q

+R’σ

R

-Q’σ

Q

=0 ^ _ ^ _

 

 

R Q

Q

μ - μ 0, σ

 

 

 

R Q

R

μ - μ

- , 0

σ

設計點(R’*, Q’*) 安全區間 破壞區間

β

(22)

9

Fig 2-3 FORM 之假設與實際破壞區間

2.1.4 重要性取樣 Importance Sampling

重要性取樣(以下簡稱 IS)的基本精神為從 FORM 的設計點取樣施作 MCS。

FORM 於標準常態空間中以最佳化求取在限度方程式上距原點最近的一點，此點稱為設計點，與原點之距即為可靠度指標。FORM 理論複雜但計算相當快速，但其結果無法證實偏差量；MCS 直觀的利用取樣求取破壞機率，但取樣是從標準常態空間之原點往外擴展，故若破壞機率很小時將很難取到足夠的樣本。因此，IS 改變 MCS 之取樣原點，移至 FORM 的設計點上取隨機樣本，使破壞樣本數大大增加，因此能夠減少總樣本數，有效解決 MCS 計算量過大以及破壞機率過小時估算不易的問題，也同樣能夠取得一無偏差的可靠度指標。標準常態空間中的樣本聯合機率密度函數 JPDF(Joint Probability Density Function, JPDF)可寫成：

 

¹ ^{1/ 2}

2

z zT

f z

n

e



 



(2.12)

其中 n 為隨機變數個數，小寫 z 為變數值。則將此 JPDF 移至 FORM 設計點 z*上

R’

Q’

G = 0 G = 0 (FORM 假設)

設計點(R’*, Q’*) 安全區間 破壞區間

β

(23)

可得 IS JPDF q(z)：

 

¹ ^1/2

^{   }

^* ^*

2

T

z z z z

q z

n

e



   



(2.13)

故 IS 估算系統破壞機率的方式為：

 

¹²

^

^*

^{ }

^*

^

1

1 1 0 ( )

iT i i T i

N z z z z z z

IS i

F

i

P g z e P F

N

 

     



 

 

            

^(2.14)

由於在使用 IS 之前必須先取得 FORM 的設計點，因此 IS 也繼承了一些 FORM 的缺點，例如 FORM 的高維度問題；但 IS 改善了 FORM 無法得知 PFFORM與真實 PF

的差距，以及 MCS 在 PF過小的問題。而就整體而言，IS 由於受 FORM 的設計點限制，使其較像 FORM 的改良版。

2.2 可靠度設計法

可靠度設計指的是在確保我們所選擇的設計參數 θ 下，設計出的系統必須小於目標破壞機率

p (g( , ) Z   0 | )   P

_F^*，其類似可靠度分析之逆向操作。假設有某一問題 F 為破壞事件，其定義為

_F  _{ _{SR Z,θ} ₍ ₎  _1}

。SR 為安全比率，即隨機版本的 FS。在本文中，

SR Z ( , ) 

假設恆為正值，在已知的設計參數θ 條件下，Z 的機率密度函數(Probability Density Function, PDF)也為一已知分佈形式，並將此機率密度函

數以

p(z | θ)

來表示，則可靠度設計其實是在執行下列限制式：

( ) 1| ) (z | ) I( 1)

_F*

P SR(Z,θ     p   SR(Z,θ   P

^(2.15) 其中 PF*是目標破壞機率；I(.)為指標函數，若函數內的事件為真則 I=1，反之則 I=0。

(24)

11 2.2.1 一階可靠度法 First Order Reliability Method (FORM)

FORM 設計點與原點的距離為可靠度指標，而此設計點也可以作為可靠度設計之用。例如找到設計點(zR*, zQ*)後，式(2.9)可表為

* *

R R R Q Q Q

G     z     z

(2.16) 則對於可靠度設計，最終目的是要滿足設計值 R ≧ Q，如

* *

R R R

z

Q Q Q

z

      

(2.17)

式(2.17)即為可靠度設計之限制式，在一工程問題中其未知(需求)將只有阻抗設計值，則可改寫式(2.17)為：

*

Q Q Q R

R

z z

  

  ^ ^

(2.18)

即可利用校準的設計點來得到所需的阻抗期望值。若不用設計點而直接量化設計值與期望值的比值，則即為常見的部分係數設計法(Partial Factors Design)，此法以計算時只須簡單的瞭解期望值而受到歡迎，例如工程界常用的「阻抗與載重係數設計法(Load and Resistance Factors Design, LRFD)」，即是部分係數設計法的一種特例。

但是，不論是使用設計點或是部分係數，可看出在此類設計值法(Design Value Method, DVM)下校準的情況將很難與設計時的情形一致，尤其在變異性較大的大地工程問題，在此架構下往往會做出風險過大的設計。

2.2.2 分位數值法 Quantile Value Method (QVM)

分位數值法(QVM)[3]為卿建業與方國光於 2011 年所發表之一可靠度設計法，

其在設計時如同 WSD 的 FS 只須利用一設計因子(design factor)即可得到所需的設計參數，也如 LRFD 不需要施作可靠度分析(RA)也可得到一具有可靠度理論下的

(25)

結果。此法核心理念為利用統一機率值來控制所有隨機變數出現的位置，在校準階段計算許多在目標可靠度下的統一機率值，則此統一機率值可在設計階段來反推出所需的設計值，在 QVM 中我們稱此統一機率值為「機率門檻，η」。而利用機率所對應變數值即為分位數(quantile)：若有一 100 個間隔之數列將其依序排列，則第 50 個間隔之數即是眾所皆知的中位數，可表示為 0.5-quantile，而第 10 個間隔之數則為 0.1-quantile，第 90 個間隔之數為 0.9-quantile。利用此概念，能在隨機變數中取得特定機率下的分位數值。在 QVM 中，每個分位數值都能對應一個機率門檻，

可視為有一數對關係[η, PF]，則由[3]推導出以下兩限制式是相同的：

(z , ) (z ,..., z

1 _m

, ) 1

SR

^

  SR

^ ^

 

(2.19)

( ( , ) 1| )

_F*

P SR Z     P

(2.20) z^η為變數之分位數值。因此可以得到[η, PF]的關係式：

(z , ) *

( , ) 1| ^F

P SR P

SR Z



 



 

 

 

 

(2.21)

QVM 將有助於系統穩定的參數取 η 分位數值，對系統不利的參數則取(1-η)分位數值，達成對阻抗折減，載重加倍的偏保守設計。以下將機率門檻η 值帶入幾種常用的累積密度反函數(即 quantile 函數)：

常態分布：

1( )

z

^

        

^ (2.22) 對數常態分布：

2 1

exp log

2

log(1 ) ( )

1 z

^

   



  





              

(2.23)

廣義極限分布(Gumbel)：

(26)

13 6 6

( ) log( log( ))

z

^

      

 

         

(2.24)

均勻分布；

3 (2 1)

z

^

         

(2.25) μ 是問題中的期望值，δ 是變異係數，ϕ 則是機率密度函數；廣義極限分布中的 γ 則是尤拉常數。式(2.21)連結了破壞機率與機率門檻，所以我們可以透過簡單的重複疊代來得到在目標破壞機率下的設計值(如樁長、淺基礎寬)，實行可靠度設計。

如前段所提，QVM 因為使用固定的機率值(即機率門檻 η)，相較部分係數設計使用之固定設計值與期望值的差值，是較能夠反應系統的變異性，做出較穩健的設計；若與 FORM 採用設計點設計相比，QVM 不會有 FORM 總是做出不保守設計的問題，此點已於[4]證實。因此在大地工程中，我們認為使用常數 η 的 QVM 是比常數的部分係數或是其他設計點法要來的好，能使結果更接近所需的設計目標可靠度。

(27)

Chapter 3 有效隨機維度

本章節將詳述有效隨機維度(Effective Random Dimension, ERD)以及 βη的計算方式及所含之意義。在上節及卿建業於 2011 年研究[3]所論及之 QVM 並無提及 βη，在此將是首次提出此概念；有效隨機維度 ERD 則是本研究中的核心理念，透過 ERD 不但能夠連結可靠度分析與設計，更能補足 QVM 的不足。在本研究中 ERD 定義為下式：

2

ERD





 

      

(3.1)

其中β 為系統可靠度指標，是破壞機率 Pf的另一種表示方式，β 越大表越安全；βη

則是本研究首次提出之「參數階層可靠度指標」；式之(3.1)推導會在後面章節完整敘述，以下 3.1 節首先介紹本文中 βη的意義。

3.1 參數階層可靠度指標 β η

3.1.1 限度機率門檻

QVM 使用上須於固定的分位數下反推設計參數，在過去所提及的 QVM 是在已知 η(案例校準或是規範提供)下反推出所需設計參數(如樁長、淺基礎寬)；本節所要論述的限度機率門檻則是在不需校準下(不做 QVM)，由已知的設計情景求出使系統達到限度狀態的 η 值，換句話說即利用調整機率門檻值 η 使系統達到限度狀態，而稱此為限度機率門檻。本節將用一簡單例子來闡述限度機率門檻。首先我們假設一系統且其設計情景皆為已知，而功能函數或是限度狀態函數 g(Z,θ)則是由

(28)

15

阻抗變數 R 和載重變數 L 組成，如下式(3.2)。

(z, )

g    R L

(3.2)

接下來藉由調整機率門檻 η 來控制系統隨機變數設計值出現位置，即 η 分位數 (η-quantile)。分位數為標準常態的 CDF 反函數，若我們對一隨機變數 X 取 0.5 分位數(記作 X^0.5)，則會取到此變數的中位數，若分位數取至小於 0.5 如 X^0.3，則分位數值會較中位數小，反之則較大；因此，若我們想控制變數出現的值是大於或小於中位數，只需要調整分位數大於或小於 0.5 即可。而在 QVM 中，希望能夠由一個分位數 η 來控制所有變數該放大或折減，故其對系統有利的變數取 z^η，對系統不利的變數取 z^1-η(η 為一機率值，而機率範圍為從 0 至 1，但 η 實際上範圍為 1 至 0.5 )，達到對阻抗折減，載重加倍的保守設計，使系統達到限度狀態 g(z^η,θ) = 0 或是前述之 SR(z^η,θ) = 1，如下式：

(z , ) 1 0

g

^

  R

^

 L

^^



(3.3)

。此時的機率門檻我們稱為「限度機率門檻 (limiting η)」。這時候系統處於安全與崩潰的邊界，稱為限度狀態(limit state)，而系統阻抗與載重相等為其中一種限度狀態，限度機率門檻基本上就是使參數到達此限度狀態的機率。要注意的是在過去我們所提及之 QVM(2.2.2)中提到機率門檻 η 並非本章節之 ηlimiting，本節所提到之

ηlimiting為分析下之結果，但 QVM 中的 η 則是從設計規範取之用於設計，故兩者的

意義並不相同。

3.1.2 β

η

與可靠度指標

「βη」是限度機率門檻 ηlimiting 的分位數，也就是標準常態 CDF(Cumulative Density Function)的反函數。標準常態分布(Standard Normal Distribution)的機率密度

(29)

函數 PDF 可表為下式：

2

1

2

(x) 2

x

f e





 (3.4)

則其 CDF 為 PDF 函數的積分，如下式：

2

1 2

(x) (x)

2

x x

F e dx







   

^(3.5)

在統計中經常使用大寫的希臘字母Φ 代表標準常態分布的 CDF。由於對 PDF 積分可得機率值，因此能夠若對式(3.5)取反函數則可由機率值反推得標準常態變數值，

如下式：

 

1( ) inf (x)

x R

P P



 



 

(3.6)

其中 P 為機率。而其實 CDF 反函數即為 Quantile。因此由式(3.6)可得 βη = Φ^-1(ηlimiting)，

其兩者關係約為下圖 Fig 3-1；前一小節說明限度機率門檻意義接近破壞機率，若其和破壞機率的關係是一致或是有規律性的，則我們可以簡單的利用 ηlimiting 來推估破壞機率。在本節我們則利用βη和可靠度指標β 來比較說明此兩種參數關係是否唯一。可靠度指標β 是破壞機率 PF的 CDF 反函數，和 βη一樣都是機率的分位數，也就是將限度機率門檻與破壞機率均轉至標準常態空間；以下將透過兩個簡單案例來比較βη-β 的關係，探討 βη是否真的如我們預期能與β 有一定的關聯性。案例 A 由兩個隨機變數組成，分別是阻抗 R 和載重 L；兩者都為對數常態分佈，阻抗 R 的期望值設計區間 μR為 110-130，變異係數 COVR為 0.25-0.35，載重 L 期望值設計區間μL為 40-50，變異係數 COVL是 0.1-0.2；限度狀態函式寫成 g = R - L；

案例 B 則有四個隨機變數，其中阻抗因子有兩個，為 R1與 R2；載重因子則分別為呆載重 DL 與活載重 LL；R1為對數常態分布，R2則是 Gamma 分布，呆載重 DL

(30)

17

是 Gumbel 分布，最後活載重 LL 為對數常態分布，設計參數區間如下表 Table 3-1；

其限度狀態函式為 g = R1+R2-DL-LL。

Fig 3-1 ηlimiting – βη

Table 3-1 案例 A、B 設計參數 Case A B μR [110-130] - μL [40-50] - COVR [0.25-

0.35]

- COVL [0.1-0.2] - μR1 - [50-70]

μR2 - [70-80]

μDL - [40-50]

μLL - [10-20]

COVR1 - [0.15- 0.3]

COVR2 - [0.4- 0.6]

COVDL - [0.1- 0.15]

COVLL - [0.2- 0.25]

10^-4 10^-3 10^-2 10^-1

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4



limiting





(31)

分別對兩案例作可靠度分析求得可靠度指標和βη後，將 βη和β 繪製成圖 Fig 3-2，注意本例並沒有施作 QVM 以及可靠度分析，只單純計算 βη；由圖可以看出，

兩案例的 βη-β 斜率並不一樣，說明了這兩個參數之間的關係會隨著案例改變而改變，似乎沒有固定的比值；但同時我們也可以得到在同一案例中βη-β 關係成正比，

在同一個問題中βη和β 能夠維持著一定的關係。利用這兩個例子我們得到以下兩個小結論：(1) βη和β 的關係並不唯一；(2)在同一個案例中 βη-β 成正比。以上結果說明不能簡單的從βη推估可靠度指標β，必須先針對每個案例都找出其獨特的 βη- β 比值，以及實際可能的偏差範圍；但同時也似乎暗示著 βη和 β 之間還有某種關聯存在，能夠影響此兩者的比值和範圍。

Fig 3-2 案例 A、B 之 βη-β 關係

3.1.3 限度機率門檻和破壞機率的等同

QVM 中機率門檻是一個很小的值，因為了要滿足一較大的目標可靠度指標 βT

(32)

19

(不同工程及不同破壞模式有不同要求，通常範圍為 3-4[5])，QVM 需要設計出一較保守的方案，故會在預期風險內做出最大的折減/加倍，使 η 來到一很小的值。限度機率門檻則是在一已知的環境下分析，在ηlimiting-quantile 位置的地方系統將達到限度狀態，使 ηlimiting在某種程度上反映了此系統的破壞機率。而此時我們可以想像一個問題：限度機率門檻能縮減至和破壞機率一樣嗎？若分析不同問題中的

ηlimiting，ηlimiting越大表系統越危險，因達到限度狀態時不能折減/加倍太多；ηlimiting

越小則越安全。若ηlimiting在某種程度上可以說是破壞機率，但分析上簡單許多，那和系統的破壞機率能有等同的情況嗎？讓我們考慮一簡單樁案例：若有一樁位於兩層土中，由上至下分別是黏土層和砂土層，並且會透過隨機挑選的 tc來控制兩土層的厚度比例，如 Fig 3-3；在黏土層阻抗為 α(su)•su•π•Lc•B，其中 α 為黏附係數，故α(su) = 14.9•su-0.7；su為黏土不排水剪力強度，Lc是黏土層厚度，Lc = tc• L；B 是樁徑；砂土層為標準貫入公式 SPT-N 值的經驗公式 2.71•N60•Ls•B，其中 2.71 是相關係數的經驗值，N60為砂土 SPT-N 值，Ls則是砂土層厚度，Ls = L- Lc。在此忽略樁底點承力，只有黏土不排水剪力強度與砂土 SPT-N 值是隨機變數，

因此樁基礎限度狀態方程式可寫成：

0.3

( ) 14.9

_u _C

2.71

60 _S

g X,θ  s   L B  N   L B  DL  LL

(3.7) 設計參數θ 有 7 個：μsu，COVsu，μN60，COVN60，DL，rL\D，tc，參數區間如 Table 3-2；隨機變數 X 有 2 個，分別是 su，N60，皆為對數常態分布；我們對此案例做 QVM，並在校準時使用 IS 調整樁長，目標破壞機率 PF為 0.01；之後我們可以得到 tc對ηlimiting的散布圖 Fig 3-4。

(33)

Fig 3-3 樁基礎

Fig 3-4 tc和限度機率門檻 Table 3-2 簡單樁案例設計參數

參數描述設計區間

(34)

21

tc tc=Lc/L [0-1]

μsu 黏土不排水剪力強度期望值 (kN/m²) [50-200]

COVsu 黏土不排水剪力強度變異係數 0.3 μN60 砂土 SPT-N 期望值 [10-50]

COVN60 砂土 SPT-N 變異係數 0.5

DL 呆載重 (kN/m²) [500-2000]

LL 活載重 (kN/m²) rL/D•DL

由於 tc會控制土層比例，因此 tc在接近 0 時土層接近全砂土層，接近 1 時為全黏土層。而我們可以從看到，在 tc接近 0 或 1 時，ηlimiting約為 0.01，相當接近目標破壞機率。由於 Fig 3-4 顯示 tc是影響此結果的最大因素，tc會改變土壤分層，而此案例的土層有兩種性質相當不同的土壤，因此我們可以排除土壤種類造成這等同的可能性；而當改變 tc讓土層接近一層時，由於本例只有兩個隨機變數，因此可以首先推論：隨機變數個數接近一個時，限度機率門檻會接近目標破壞機率。

從另一種角度來看，機率門檻η 的意義可以用 Fig 3-5 表示。在 PDF 函數中，

曲線底下的面積代表機率，因此如果系統只由一個變數組成，例如 g = R-L 只有 R 是變數，L 是定值，為了調整 R^η設計值出現的機率使在目標破壞機率下達到限度狀態，只需要使強度設計值 R^η小於載重 L 的機率控制在目標破壞機率即可；因在系統只有一個變數下能夠導致破壞的因素也就只有一個，若能得到此隨機變數出現的值之機率，也就控制了整體系統的破壞機率。換句話說，在只有一個變數 R 之下，用可靠度分析破壞機率時是找出使 G≦0 的機率；在計算 ηlimiting時則是在此情景下找出 G≦0 時變數 R 分位數值 R^η的出現機率；而事實上兩者都是在找 R 設計值小於等於 L 的機率，故目標破壞機率 PFT和限度機率門檻 ηlimiting會相等。另外 Fig 3-5 也說明此一等同和隨機變數的分佈型式、期望值或是變異數等沒有關係，

只在隨機變數個數為一個時才有此情況的發生。因此，限度機率門檻由於只控制變

(35)

數值，且其意義又能夠與破壞機率相近，可視為「參數階層」的破壞機率。由於破壞機率能表示成可靠度指標，以此類推βη可視為參數階層的可靠度指標。

Fig 3-5 一個變數下之 QVM

3.2 有效隨機維度 d’

3.2.1 視隨機維度與有效隨機維度 (Apparent Random Dimension and Effective Random Dimension)

隨機維度(Random Dimension)即系統隨機變數的個數，在問題中此一概念能夠很簡單的被接受，例如，若有一系統之限度狀態函數如下式：

1 2 3

(X, ) a X X X

g     

(3.8)

Xn為隨機變數，a 為常數；此式當中有三個隨機變數，則我們可說系統(3.8)的隨機維度為 3。如果我們在更深一層討論，則可以再細分隨機維度概念。今有另一系統表示為：

R expected value G = 0, R^η = L PFT = ηlimiting

(36)

23

1 2 3

(X, ) a X X 0.001X

g     

(3.9)

則我們可以看出，變數 X3對此系統的影響力不如 X1和 X2，X3需要放大三個級數以上才能有效影響整個系統，而這在實際問題上是很常見的。因此，我們可約略去掉 X3所佔的維度，則我們稱此系統之「有效隨機維度 (Effective Random Dimension)」

約為 2，即實際影響此系統的變數個數；而事實上系統仍是有三個隨機變數，因此我們將系統總變數個數再次定義為「視隨機維度 (Apparent Random Dimension)」。

在系統(3.9)中有效隨機維度並不等於視隨機維度。另外也可推論得，一系統中有效隨機維度不應低於 1，因一問題至少需要有一個隨機變數；同時有效隨機維度也不應超過視隨機維度，因視維度會是最大影響值。

3.2.2 有效隨機維度和系統破壞機率

上一節詳述了有效隨機維度的概念，但仍未提及有效隨機維度在一工程問題中扮演什麼樣的角色，本小節以下將用簡單的例子說明有效隨機維度如何影響系統風險。考慮一樁基礎 A，如 Fig 3-6 左，地層全由單一種類土壤組成，則此樁基礎的強度將全部由此種土壤提供；若在此案例中此土層土壤單位重等性質均不會改變，只將土壤強度視為隨機變數，因此有效隨機維度等於視隨機維度為 1。再讓我們考慮另一個一模一樣長度、樁徑和材料等的樁基礎 B，只是此處地層的土壤組成有四種，由上往下分別是土層 W、土層 X、土層土 Y 與土層 Z，如 Fig 3-6 右所示；而此四種土層性質均不同，故在四種土層都能有效影響邊坡安全性下有效隨機維度大概會是 1~4 之間，而視隨機維度則是 4。

(37)

Fig 3-6 樁基礎 A 與樁基礎 B

我們必須再次強調這兩個樁基礎中地層土壤層數不同，右邊的樁基礎 B 較左邊的樁基礎 A 多了三種土層，但是樁基礎 B 將會比樁基礎 A 來要的安全。理由很簡單，因為樁基礎 B 有四種土層能夠提供強度，若失去了一層的強度(如遇水弱化) 還有其他三層土層能夠支持；反觀樁基礎 A 則只有一層土層，若此層土壤失去強度提供則樁基礎會失去大部分的強度使其破壞機率升高。若換個角度，樁基礎 B 的地層提供較多元的強度來源，分散了風險，而樁基礎 A 的地層則是將了雞蛋都放在同一個籠子裡，若不小心錯估強度性質則會顯著的影響設計結果。因此，我們可以簡單推論在一定範圍內有效隨機維度較高的系統中安全性會較高，且有效隨機維度確實能夠影響系統風險；而若我們可以在工程中考慮有效隨機維度，則理當可以更精確的描述系統可靠性。

3.2.3 決定有效隨機維度

若有效隨機維度確實能夠影響系統風險，則這兩者之間必然有某種關聯。以下將從 QVM 透過簡單數學式來說明如何計算有效隨機維度。首先我們假設系統變數

(38)

25

單的由阻抗 R 和載重 L 組成，但這裡我們讓載重 L 為定值 a，阻抗 R 為 N 個變數 X 組成，如下式：

1 2

( ) ... _N

G X   a X  X   X

(3.10) 而我們將變數的分佈形式設為標準常態分佈(Standard Normal Distribution)，則式 (3.10)可改寫成：

1 2

( ) ... _N, ~ ,

G Z   a Z  Z   Z Z iid SN

(3.11) 首先為了校準系統 G(Z)破壞機率 PF達到我們的目標破壞機率 PFT，可用下式表達：

1 2

[G( ) 0] _FT [ Z Z ... Z_N 0]

P Z   P = P a     

(3.12) 又因

var(a b)   var(a)  var(b) 2COV(a, b) 

，且假設變數間互相獨立

COV (a, b)  0

，

(a b) var(a b) var(a) var(b)

     

，標準常態標準差為 1，則

[ Z 0]

P

FT

 P a  N 

(3.13)

1 1

( ), ( )

FT T T

a a

P P Z P Z

N   

^

^ N ^   

^

 

   

                

(3.14)

a   N 

T (3.15) 找到載重設計值後，將式(3.15)代回式(3.11)可得

1 2

( ) _T ... _N, ~

G Z   N    Z Z   Z Z SN

(3.16) 接著在 QVM 之下會對所有阻抗變數取至 η 分位數(R^η)且使系統達到限度狀態

0

G 

，故

( ) _T 1( _limiting) 0

G Z   N    N  

^



(3.17)

1 1

(

_limited

)

_T

,

_T

N (

_limiting

)

N N

 

^

    N  

^ (3.18) 而我們在此定義，βη為限度機率門檻的分位數值，即ηlimiting的 CDF 反函數，故：

(39)

T _

N

  

(3.19)

式(3.19)連結了可靠度指標、βη與隨機變數個數，完整闡明了三者之間的關係。而在第 3.2.1 節所提到的，實際掌握系統重要性的是有效隨機維度，因此在可靠度分析與設計中，式(3.19)應改寫成：

T _

d

'

  

(3.20)

其中 d’為有效隨機維度。

3.3 可靠度指標、β η 與有效隨機維度

式(3.20)呈現出可靠度指標、βη與有效隨機維度的關係，但我們仍是必須強調此一關係式是在許多條件限制下推導出之解析解，因此需簡單的證明此關係式能夠在實際案例中使用。首先我們可以在可靠度指標 3.2 下畫出 βη和有效隨機維度 d’的關係圖；同時我們試著改變隨機變數的分布形式及條件，如下圖 Fig 3-7；

Fig 3-7 有效隨機維度與 βη

(40)

27

剛好等於目標可靠度指標βT，符合 3.1.3 限度機率門檻與目標破壞機率的等同。另外，隨機變數的分布條件的不同會改變有效隨機維度和 βη的關係，但趨勢仍然一致且偏差不大，例如圖上改變為對數常態分布，或是 Gumbel 的倒數。因此，若此關係對隨機變數其他條件較不敏感，則其應可應用於可靠度分析與設計上。對於分析，若可以準確的估得系統的有效隨機維度和βη，則可以利用式(3.20)分析求得可靠度指標；在可靠度設計方面，只要先選擇所需要的目標可靠度，並估算得有效隨機維度，就可以得到 QVM 所需的機率門檻。

利用式(3.20)，可以重新檢視 Fig 3-2 所含的意義。βη-β 斜率代表的其實是平均 '

d ，β

η-β 行為之間的偏差就是有效隨機維度的改變。在該兩案例中

d 的變化範

' 圍不大，故能夠合理推測在一問題中有效隨機維度會落在某一個範圍內，如下 Fig 3-8 3.1.2 節案例 B 的有效隨機維度直方圖。在不同問題中，有效隨機維度會因為系統視隨機維度的不同而不同；而若在同一個場景下(隨機變數個數、分布保持一樣)，有效隨機維度的改變則主要來自於隨機變數的重要性，即受設計參數的影響，

例如期望值與變異係數；若換個角度，式(3.20)表示有效隨機維度會受到可靠度指標以及 βη影響，而這兩者都能夠包含許多系統資訊如變異性、風險等，因此有效隨機維度也會受這些系統資訊影響。在本研究中，我們將有效隨機維度定義為下式 (3.21)

2

' d





 

    

 

(3.21)

因此要求得一系統的有效維度，必須施作一可靠度分析求得可靠度指標 β 以

及分析得ηlimiting，本文中有效隨機維度均使用這種方式求得。在後面的章節將

會透過回歸的方式來求得有效隨機維度，並以真實案例施作可靠度設計，比較

(41)

與傳統做法的差異。

Fig 3-8 3.1.2 節案例 B 有效隨機維度直方圖

從 3.1.3 節的樁案例可以得到 tc-d’圖 Fig 3-9，其中可看出有效維度能夠隨著 tc

的改變而改變。而此行為也是合理的，因為在樁案例中改變 tc能夠影響樁身強度來源，若土層接近兩層土時其樁身摩擦力會由兩種土壤所提供，因此有效維度 d’會接近 2；反之 tc接近 0 或 1 時土層變化為只有一層土，因此有效維度會接近 1。假若我們不改變土壤層數目，我們在固定的 tc中(tc = 0.5)探討其他設計因子例如砂土 SPT-N 值對有效維度的影響，此時結果會如下圖 Fig 3-10。其中黏土不排水剪力強度期望值也為常數(μsu = 125)。而在此我們也可以看出砂土 SPT-N 值對有效維度的影響也類似 tc造成的改變，在 SPT-N 值趨近於 0 和趨近 50 時有效維度較小，反之則較大。這也是因為土壤強度來源的影響造成之結果，因 SPT-N 值能夠左右砂土所能提供的強度，使樁身摩擦力來源接近一種土或是兩種土，進而影響有效維度；

但在本案例中砂土與黏土的變異性不同，例用 SPT-N 值估算的強度不確定性較高，

(42)

29

因此砂土強度為主要控制有效維度的因子。因此在此必須強調有效隨機維度並不只是土壤層數，而是能夠影響系統的因子數目。

Fig 3-9 3.1.3 節案例 tc-ERD 散布圖

Fig 3-10 3.1.3 節 μN60-ERD 關係

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

t

c

E R D , d '

0 10 20 30 40 50

1 1.5 2 2.5



N60

E R D , d '

(43)

3.4 討論及結論

本章節詳述了βη與有效隨機維度 d’的概念以及算法，並透過圖表、公式推導和案例解釋此兩指標的意義，主要目的為希望能夠透過此兩指標的使用增強可靠度設計的穩健性(Robustness)並簡化設計流程，因此對以上探討有以下幾點結論：

1. 在一已知情景下調整機率門檻 η 使系統達到限度狀態時的 η 稱為限度機率門

檻ηlimiting；而對ηlimiting做 CDF 反函數稱為 βη，兩者都同樣是參數的破壞機率，

只是表達方式不同；限度狀態為一系統處於崩潰與安全的邊界，即 g(z,θ) = 0 或是 SR(z,θ) = 1，在本文中 ηlimiting 是分析一系統使所有變數皆取同樣一 η- quantile 下始系統 g = 0，而事實上限度狀態並非特指所有變數皆須取同一分位數。在 QVM 中藉由單一個 η 來控制所有隨機變數達成此目標，並用其來做可靠度設計，和本文所述之ηlimiting不同。

2. βη和可靠度指標β 的關係並不唯一，在不同的情景下 βη-β 會有不同的斜率，

使不太可能簡單的利用βη估算β；但是在同一個情景下 βη和β 成正比，表示 βη能夠有效反映出系統風險。若能得到一場景下 βη-β 的斜率以及準確的描述偏差，則可以很容易的透過βη來推求可靠度指標，或是在目標可靠度指標βT

下反推設計所需要的βη。

3. 系統隨機變數個數定義為視隨機維度 d；主要影響系統的隨機變數個數為有效隨機維度 d’。有效隨機維度能夠影響系統的破壞機率，一般而言有效隨機維度越大其安全性越高，因變數同時弱化/增強的機率較小，使破壞機率降低，

或者說系統的容錯率較高；而從式(3.20)也能看出有效隨機維度和可靠度指標

(44)

31

4. 從標準常態出發推導的簡單數學式(3.20)清楚闡明了可靠度指標 β、βη與有效隨機維度 d’的關係，證實在 QVM 中 βη和β 之間連結著有效隨機維度，而這一點在過去是沒有被提及的；同時在一問題中有效隨機維度會受到系統分布及變異性的影響，若能夠準確描述其影響結果，則將可以更有效的實行可靠度分析與設計，增加 QVM 的表現並善 QVM 在此類有效隨機為度不斷改變中無法表現出一致的水準問題。

(45)

Chapter 4 可靠度設計法之比較

在大地工程中最常見的設計方法為工作應力法(Working Stress Design)，又稱為容許應力設計法(Allowable Stress Design)或是安全係數設計法(Factor of Safety Design)，是一種簡單方便的方法。WSD 將參數視為常數，並利用阻抗與載重的比值做為分析及設計時的安全評估指標。由於天然材料的變異性大，同時無法完全掌握地底下的狀況，若要全面評估不確定性以及風險，將會使設計過程過於複雜使成本增加。因此除了重大工程外，在大地工程中簡單的工作應力法仍是被廣泛的使用。

然而，為了追求更少的成本與更高的安全性，工程界仍然希望能夠更準確的量化不確定性，於是只需期望值與變異數來評估風險的可靠度分析設計法「一階二次矩法, FOSM」成為許多研究的新課題；FOSM 將帶有隨機變數，複雜的限度狀態方程式做泰勒展開並忽略高次項，並假設隨機變數分布為常態使過程能被簡單的估算，進而求取可靠度指標。但是，也是因此簡化讓 FOSM 並不是一個準確的分析設計法，

Phoon (2004)[6]指出 FOSM 的結果會隨著限度狀態形式的改變而改變，但是因此法簡單方便，至今仍是活躍於許多領域。

隨著科技的進步，電腦輔助設計於各個領域逐漸興起，以往所需要的複雜大量運算可交由電腦負責，於是更複雜的可靠度分析與設計便開始被使用。而目前在大地工程較受歡迎的是載重與阻抗係數設計 (Load and Resistance Factor Design, LRFD)，是基於部分係數設計(Partial Factor Design)簡化而來，其原理是分析理想設計下設計值(標稱值)與期望値的偏差，讓在實際設計時利用此偏差還原出需要的設計參數，在 LRFD 中此偏差便稱為載重係數和阻抗係數。但是基於此種假設及流

(46)

33

變異性並不能代表實際設計下的情境，固定的變異性無法有效反映出實際參數的行為，使設計出的方案達不到目標破壞機率。而此問題在大地工程中尤其嚴重，因在大地工程中參數變異性會隨著實驗、估算的操作方法不同而改變，即參數的變異性也非定值，這種特性使常數 LRFD 或是 PFD 做出過度保守或是不保守的設計，

設計不出一穩定的結果。為此卿建業與方國光發展了一套可靠度設計理論「分位數值法, QVM」，利用固定的機率值而不是固定的變異性，使能夠簡單快速的完成一可靠度設計；同時卿建業等[7][12]也證實 QVM 與 LRFD 此類設計值法(DVM)比較 QVM 在大地工程中是較為好的。

本章將會說明 QVM 的 βη為什麼是一較佳的設計指標，透過實際案例表達βη

與系統可靠度指標β 的相似程度；並與另外兩種常用的設計法 WSD、FOSM 比較，

探討在不同情景下βη、安全係數 FS 及 FOSM 可靠度指標 βFOSM所能包含的系統資訊。

4.1 擋土牆案例

在本節會利用一擋土牆來比較各指標，而此案例是根據[8]修改而來。擋土牆高為 H，基底寬 B = α‧H，牆厚 t = 0.1‧H 且不能低於 30 公分；水單位重 γw = 9.81kN/m³，混凝土單位重 γc = 25kN/m³；牆前和牆後水位不同，牆前水位即在地表，且牆趾有固定覆土高 0.75m，牆後水位 hw = λ‧L；牆前及牆底的土壤孔隙比為 es，去水單位重期望值μγs = [(Gs+es)/(1+es)-1]‧9.81，有效摩擦角是 ϕ’s；牆後土壤孔隙比為 eb，乾單位重期望值μγd = Gs•9.81/(1+eb)，則飽和單位重 γsat = (1+ω)γd，去水單位重γ’ = γsat-γw，有效摩擦角ϕ’；則對擋土牆滑動破壞模式的限度狀態方程式為：

(47)

       

   

2 2

, 0.75

2 2

tan

0.75 0.5 0.75

2 2

s p w d w a

d w w a

c w sat w d

s

w w w

w a w w

a

K H h K

g X H h h K

B H t t B t h t H h

B B h

h K h

qHK

  

 

  

  

 

  

   

          

    

  

  

 

 

   

(4.1)

其中 Kp = tan(45⁰+ϕ’s/2)²；Ka = tan(45⁰-ϕ’s/2)²。其中設計參數θ 有 13 個，H，λ，

Gs，ω，μq，COVq，μφs，COVφs，μφ，COVφ，es，eb，α，參數設定列於 Table 4-1；

有 5 個隨機變數 X，分別是 ϕs，ϕ，q，γ’s，γd，如 Table 4-2；擋土牆設計尺寸表示於 Fig 4-1。

Fig 4-1 擋土牆

Table 4-1 擋土牆設計參數

參數描述設計區間

H 牆高(m) [2 - 8]

有效隨機維度在大地工程可靠度中的角色

國立臺灣大學工學院土木工程學系 碩士論文

Department of Civil Engineering College of Engineering National Taiwan University

Master Thesis