103
6666----3333 比與比值 比與比值 比與比值 比與比值
※學習地圖分析
一 一一
一、、、 請將下列分數做約分到最簡分數、請將下列分數做約分到最簡分數請將下列分數做約分到最簡分數。請將下列分數做約分到最簡分數。。。 1. 25
15 2.
56 32
二二二
二、、、 請寫出下列分數的等值分數、請寫出下列分數的等值分數請寫出下列分數的等值分數。請寫出下列分數的等值分數。。。 1.
3 ( = ) = 21
7 21 ( )
2.
6 = ( ) = 30 11 22 ( )
三三三
三、、、 算算看、算算看算算看(算算看(((答案請以最簡分數回答答案請以最簡分數回答答案請以最簡分數回答)答案請以最簡分數回答)))。。。。 1. 4 ÷ 11= 2. 7 ÷ 14=
3. 3
1 ÷ 5= 4. 3 ÷
6
1 =18 5. 1
2
1 ÷ 3= 6.
5 1÷
3
2 = 7. 2
2 1 ÷
3
1= 8. 3
5 3÷ 2
4 1 = 四四四
四、、、 求最大公因數與最小公倍數、求最大公因數與最小公倍數求最大公因數與最小公倍數。求最大公因數與最小公倍數。。。
1. (16,54) 2. [24,32]
答:2 答:96
溫故知新 預備經驗
5-4 分數的乘除 6-1 最大公因數與最
小公倍數
本單元
6-3 比與比值
進入新的單元
6-4 怎樣解題
104
66 6
6- -- -3 33 3- -- -1 11 1 認識比與比值 認識比與比值 認識比與比值 認識比與比值
桶子裡有 4 顆白球及 7 顆黑球,請問桶子裡白球對黑球的數量關 係為何?
【
【【
【概念講解概念講解概念講解】概念講解】】 】
兩個數做數量關係比較時,我們常用「比」,符號寫做
「:」。
白球及黑球的數量關係,可以用「白球數量:黑球數量」來 記錄。
4 顆白球及 7 顆黑球的數量關係,
「4 顆白球:7 顆黑球」→記作「4:7」讀作「四比七」。
答:4:7
【
【【
【重新佈題重新佈題重新佈題】重新佈題】】 】
筆筒裡有 2 枝藍色的原子筆和 9 枝紅色的原子筆。
(1)請寫出藍色原子筆和紅色原子筆的數量比?
( 2 ):( 9 )。
(2)承上題,它的前項是( );後項是( )。
教學活動 1(認識比)
小秘密:
4 : 7 中,4 是前項,7 是後項
前項
:後項
105
媽媽調製一杯奶茶是用 100c.c 的紅茶,再加上 30c.c 的鮮奶混 合攪拌,請問:
(1)紅茶和鮮奶用量的比為?
(2)紅茶的用量是鮮奶的幾倍?
(3)紅茶用量:鮮奶用量的比值是多少?
【概念講解概念講解概念講解】 概念講解
紅茶和鮮奶用量的比為 100:30。
紅茶用量是鮮奶用量的幾倍?
紅茶用量÷鮮奶用量,
100÷30=
30 100 =
10 30
10 100
=
3
10倍。
前項是後項的幾倍=比值=前項÷後項=後項前項=100÷30=
3 10。
故前項 100 是後項 30 的
3
10倍。
答:(1)100:30;(2)
3
10倍;(3)比值是
3 10
【【【
【計算題計算題計算題】計算題】】算出下列比的比值。 】
(1) 1:25 (2) 30:70
(3) 25:65 (4) 21:7
教學活動 2(比值)
小秘密:
比值:比值是將比的前項÷後項所得的商,比值 可以用分數或小數來表示,因為後項是除數,
故後項不可為 0。
106
【【【
【重新佈題重新佈題重新佈題】重新佈題】】 】
姊姊調製綠茶多多是 600c.c 的綠茶,加上 90c.c 的養樂多混合 攪拌,請問綠茶和養樂多的用量比為?比值是多少?
媽媽在調鮮奶茶,第一壺用 3 公升鮮奶加 7 公升紅茶;第二壺用 300c.c 鮮奶加 700c.c 紅茶;請問媽媽調的這兩壺鮮奶茶的比例 都相同嗎?
【概念講解概念講解概念講解】 概念講解
鮮奶與紅茶的用量。
第一壺 第二壺 鮮奶 3 公升 300c.c 紅茶 7 公升 700c.c
寫出每一壺鮮奶與紅茶的比與比值,
第一壺的比為 3:7,比值為 3:7=3÷7=
7 3
;第二壺的比為 300:700,比值為 300:700=300÷700=
7 3
。 這兩壺鮮奶茶的比值皆為
7
3
,表示 3:7 和 300:700 的比是相 等的。 3:7=300:700=
7
3
發現了什麼?3:7=(3×100):(7×100)=300:700=
7 3
; 300:700=(300÷100):(700÷100)=3:7=7 3
。 比的前項及後項,同乘或同除一數(數不可為 0),所得的比和 原來的比相同。
答:比例都相同 教學活動 3(等比)
107
【
【【
【重新佈題重新佈題重新佈題】重新佈題】】 】
請問姊姊在調蜂蜜水時,第一杯 25c.c 蜂蜜加上 150c.c 水,第 二杯 60c.c 蜂蜜加上 360c.c 水,請問姊姊調的這兩杯蜂蜜水的 比例一樣嗎?
報紙上刊登了一份鮮奶茶的黃金比例為牛奶:紅茶=3:7,請問 下列泡出來的鮮奶茶,何者為黃金比例?
小博:30c.c 牛奶加 70c.c 紅茶。
小同:10
3 公升牛奶加
10
7 公升紅茶。
媽媽:0.9 公升牛奶加 2.1 公升紅茶。
【概念講解概念講解概念講解】 概念講解
黃金比例是 3:7,比值為
7 3 。
是否為黃金比例?就在問調的飲料是否與黃金比例等比,
小博:30c.c:70c.c=
70 30 =
10 70
10 30
=
7 3 ; 小同:10
3 公升:
10
7 公升=
10 3 ÷
10 7 =
7 3 ; 媽媽:0.9 公升:2.1 公升=0.9÷2.1=
10 2.1
10 0.9
=
3 21
3 9
=
7 3 。 小秘密:
等比:當兩個比的比值相等時,則這兩個比就 是等比。
教學活動 4(最簡整數比)
108
可以得知 3:7、30:70、
10 3 :
10
7 、0.9:2.1 的比值都是
7
3 。表 示三個人調的鮮奶茶都與黃金比例相同。
答:三位調的鮮奶茶都是黃金比例
【
【【
【計算題計算題計算題】計算題】】請寫出下列比的最簡整數比。 】 (1) 25:30 (2) 45:27
(3) 15 7 :
15
11 (4) 0.6:1.2
【
【【
【重新佈題重新佈題重新佈題】重新佈題】】 】
姊姊在報紙上看到蜂蜜與水的黃金比例是 1:6,姊姊泡了一杯 60c.c 蜂蜜加上 360c.c 水,請問姊姊調的這杯蜂蜜水是黃金比例 嗎?
答:與黃金比例相同。
小秘密:
當一個比的前項和後項同乘以或同除以一個不 等於 0 的數,所得的比和原來的比相等。
像「3:7」的前項與後項的最大公因數=1 時,
我們說這樣的比為「最簡單整數比」。
109
有一長方形拼圖,長 2 公尺,寬 80 公分,求此拼圖長寬的最簡 整數比及比值?
【
【【
【概念講解概念講解概念講解】概念講解】】 】
將要求的比寫出來 2 公尺:80 公分。
當兩個不同單位時,無法看出真正的關係,所以要將單位換 成一樣,建議大單位換小單位。
2 公尺=200 公分
200 公分:80 公分=(200÷40):(80÷40)=5:2 比值→200 ÷ 80=
2 5
答:5:2;
2 5
。【
【【
【計算題計算題計算題】計算題】】請寫出下列比的最簡整數比與比值。 】 (1) 5 公尺:300 公分 (2) 1 時 20 分:40 分
(3) 600 毫升:1 公升 (4) 800 公尺:4 公里
教學活動 5(不同單位求比與比值)
小秘密:
在同類項(長度對長度、重量對重量、時間對時 間…)求比與比值時,單位一定要化成相同單 位。
110
【【【
【重新佈題重新佈題重新佈題】重新佈題】】 】
今小博及小家一起跑 5 公里,小博花了 40 分鐘跑完,小家花了 1 小時 10 分鐘跑完,求兩人時間的最簡整數比及比值。
答:4:7; 。
圖書館裡,歷史類的書與文學類的書,兩者的數量比為 6:5,若 歷史類的書有 120 本,請問文學類的書有多少本?
【概念講解概念講解概念講解】 概念講解
已知數量比 6:5 是(歷史類的書):(文學類的書)數量的最簡 整數比。
表示 6:5=120:□(文學類書的數量)。
方法一:用比值,
5 6
=□
120
→使用擴分 6×(20)=120,20
20
6 120 5 ( )
=
文學類的書有 5 20=100 本
方法二:用同乘同除等比例求,
120÷6=20,
□=5×20=100,
文學類的書有 100 本。
答:100 本
6:5=120:□
×20 倍
×20 倍
6:5=120:□
?倍
?倍
教學活動 6(從等比求未知項)
111
【【【
【計算題計算題計算題】計算題】】請求出下列□的值。 】
(1) 5:6=25:□ (2) 3:4=□:8
(3) □:5=12:15 (4) 2:□=10:25
【【【
【重新佈題重新佈題重新佈題】重新佈題】】 】
筆筒裡,有藍筆與紅筆,兩者的數量比為 3:4,若藍筆有 12 枝,請問紅筆有多少枝?
答:16 枝
A 班有學生 33 人,其中男生有 16 人,女生有 17 人,請問:
(1)將男生和女生人數的關係寫成比的形式?
(2)前項是多少?後項是多少?
【
【【
【解題步驟解題步驟解題步驟】解題步驟】】 】
1. 將男生與女生人數的關係寫成比,
男生人數:女生人數=16:17。
2. 16:17,比符號的前面為前項,符號後面為後項,
前項為 16,後項為 17。
答:(1)16:17;(2)前項為 16,後項為 17 例題講解 1(比的列式)
112
B 班有學生 42 人,其中男生有 25 人,女生有 17 人,請問:
(1)男生人數:女生人數=( ):( )。
(2)前項是 ( 25 ) ;後項是( 17 )。
博幼課輔班有學生 33 人,其中男生有 16 人,女生有 17 人,請 問男生和女生人數的比值是多少?
【
【【
【解題步驟解題步驟解題步驟】解題步驟】】 】
1.求男生與女生人數的比值,用男生人數:女生人數=16:17。
2.比符號的前面為前項,符號後面為後項,所以前項為 16,後項 為 17。
3.比值=前項÷後項=16÷17=
17 16 。 答:17
16
補習班有 72 位學生,其中男生有 33 人,女生有 39 人,請問男 生對女生人數的比值是多少?
答: 。 換你試試看
換你試試看
例題講解 2(比值)
113
請寫出 3 個與 4:8 相等的比。
【
【【
【解題步驟解題步驟解題步驟】解題步驟】】 】
1.先求出 4:8 的比值,
4:8 的比值=4÷8=
8 4 =
2 1 。 2.與2
1 相等就是將
2
1 擴分,
2 1
=1 2
1 1
=2 2
2 1
=3 2
3 1
=…只要同乘相同倍數,都可以。3. 將
8 4
=2 1
=4 2
=6
3
寫成比,4:8=1:2=2:4=3:6。答:1:2、2:4、3:6
請寫出和 2:5 相等的 3 個比。
答:4:10、6:15、8:20(答案僅供參考)。
求 24:36 最簡單整數比。
【
【【
【解題步驟解題步驟解題步驟】解題步驟】】 】
1.求最簡整數比,有兩個方法。
2.方法一:先算出比值,使用約分化簡分數即可得到最簡比值,
24:36=
36 24 =
12 36
12 24
=
3
2 =2:3。
3.方法二:使用同乘同除等比計算,
先算出(24,36)=12,
24:36=24÷12:36÷12=2:3。
答:2:3 換你試試看
例題講解 3(等比)
例題講解 4(最簡整數比)
114
求 45:18 最簡單整數比。
答:5:2。
若甲數的 2 倍與乙數相等,請問甲數與乙數的最簡整數比為何?
若丙數的 2 倍與丁數的 3 倍相等,請問丙數:丁數的最簡整數比 為何?(甲、乙、丙、丁四數皆不為 0)
【【【
【解題步驟解題步驟解題步驟】解題步驟】】 】
1.乙數=甲數 × 2,乙數用甲數代替,
甲數:乙數=甲數:甲數 × 2 = 1:2。
2.丙數 × 2=丁數 × 3,且由下圖可以得知
→丙數=丁數 ×
2
3
,丙數用丁數代替。丙數 丁數
丙數:丁數=丁數×
2
3
:丁數 =2
3
:1=3:2。答:甲數:乙數=1:2;丙數:丁數=3:2。
若甲數的 4 倍與乙數 6 倍相等,請問甲數與乙數的最簡整數比為
何?
換你試試看
例題講解 5(倍數求最簡整數比)
換你試試看
×2 倍
×2 倍
115
求 600 毫升:
5
4 公升最簡單整數比及比值。
【
【【
【解題步驟解題步驟解題步驟】解題步驟】】 】
1. 不同單位,必須先將比的前後項換成相同單位:
1 公升=1000 毫升,
5
4 公升=
5
4 ×1000 毫升=800 毫升,
600 毫升:
5
4 公升=600 毫升:800 毫升。
2. 算最簡單整數比有兩個方法。
方法一:先寫出比值,約分至最簡分數即可得到最簡比值,
600:800=
800 600=
200 800
200 600
=
4
3 =3:4。
方法二:使用同乘同除等比計算,先算出(600,800)=200,
600:800=600÷200:800÷200=3:4。
答:最簡單整數比為 3:4,比值為
4 3 。
1 公里=1000 公尺,求 300 公尺:1 公里最簡單整數比及比值。
答:3:10; 。
例題講解 6(不同單位求最簡整數比及比值)
換你試試看
116
一個長方形畫框的長為 36 公分,而長與寬的長度比例為 9:5,
請問畫框的寬為多少公分?
【解題步驟】
1.題目求的是畫框的寬為多少公分。
2.已知畫框的長寬比為 9:5。
3.方法一:用比值求,先算出長寬比的比值為
9
5
, 使用通分方式20 36 4 5
4 9 5
9
,得知寬為 20 公分。4.方法二:使用同乘同除等比,
36÷9=4,
9:5=9×4:5×4=36:20 →寬為 20 公分。
答:20 公分
一長方形農地的長寬比為 7:4,已知農地的寬為 20 公尺,請問 此長方形農地的長為多少公尺?
答:35 公尺。
例題講解7(比例應用問題)
換你試試看
117
有甲、乙兩個水杯的容量比是 5:7,已知兩個水杯裝滿時的水總 和是 1200c.c,請問甲、乙兩個水杯裝滿水的容量各是多少?
【
【【
【解題步驟解題步驟解題步驟】解題步驟】】 】
1. 甲杯水:乙杯水=5:7,代表甲杯水有 5 份,乙杯水有 7 份,全部的水是 5+7=12 份。
2. 全部的水是 1200c.c,共有 12 份,代表一份是 1200÷12=
100c.c。
3. 甲杯水有 5 份,100c.c×5=500c.c。
4. 乙杯水有 7 份,100c.c×7=700c.c。
答:甲杯 500c.c;乙杯 700c.c
農夫收成水果,柳丁及蘋果數量的比為 8:3,全部的水果有 1100 顆,請問柳丁及蘋果各有多少顆?
答:柳丁 800 顆;蘋果 300 顆。
換你試試看
例題講解8(比例分配問題)
122
6 66
6- -- -3 33 3- -- -2 22 2 認識正比 認識正比 認識正比 認識正比
「1 斤麵粉 24 元,2 斤麵粉 48 元,3 斤麵粉 72 元、…」,請回答 下列問題:
麵粉重量(斤) 1 2 3 4 5 6 麵粉價錢(元) 24 48 72 96 120 144 (1)麵粉價錢:重量的比值是多少?
(2)比值相等,這樣的關係叫做什麼?
(3)若買
1
2
斤、1
3
斤、1
4
斤麵粉時,價錢是多少?【
【【
【概念講解概念講解概念講解】概念講解】】 】
麵粉重量(斤) 1 2 3 4 5 6 麵粉價錢(元) 24 48 72 96 120 144
價錢:重量的比值
241=24
248
=24
372
=24
496
=24
5120
=24
6144
=24
由上面表格可以得到麵粉的價錢對重量的比值皆為 24。
當麵粉的價錢會隨著重量改變,麵粉重量乘 2 倍時價錢也乘 2 倍、麵粉重量乘 3 倍時價錢也乘 3 倍…,有固定的比值固定的比值固定的比值固定的比值時,
麵粉的重量與價錢成一正比關係。
麵粉重量(斤) 1 2 3 4 5 6
麵粉價錢(元) 24 48 72 96 120 144
2 倍 3 倍 4 倍 5 倍 6 倍
2 倍 3 倍 4 倍 5 倍 6 倍
教學活動 1(認識正比)
123
因麵粉的重量與價錢成一正比關係,當重量變為
1
2
倍、1
3
倍、1
4
倍時,價錢也會變成1
2
倍、1
3
倍、1
4
倍。麵粉重量(斤) 1
2 1
3 1
4 1
麵粉價錢(元) 24 12 8 6
【【【
【重新佈題重新佈題重新佈題】重新佈題】】 】
「1 斤柳丁 15 元,2 斤柳丁 30 元,3 斤柳丁 45 元、…」,請回答 下列問題:
(1)完成下表,將空格內的數字填上。
柳丁重量(斤) 1 2 3 4 5 6 價錢(元) 15 30 45
60 75 90
(2)柳丁重量與價錢的比值是多少?(3)請問柳丁的重量與價錢是否成正比?答:(2) ;(3)成正比。
倍 倍 倍
倍 倍 倍
小秘密:
若重量變成 2 倍、3 倍、…時,價錢也隨著變成 2 倍、
3 倍、…。若重量變成 倍、 倍、…時,價錢也隨著 變成 倍、 倍、…。像這樣麵粉的重量與價格比值不 變的關係,稱麵粉的重量與價錢的關係為「成正比」
關係。
124
「1 瓶汽水重 2 公斤、2 瓶汽水重 4 公斤、3 瓶汽水重 6 公 斤、…」請寫出汽水瓶數與重量的關係表及關係圖。
【
【【
【概念講解概念講解概念講解】概念講解】】 】
寫出汽水的瓶數與重量的關係表。
瓶數(瓶) 1 2 3 4 5 6 重量(公斤) 2 4 6 8 10 12
依表格數據畫出折線圖,橫軸表示瓶數,縱軸表示重量。
像這樣,每一欄中汽水的瓶數與重量所成的比都是相等的比,
比值都是 2。這種情形,我們稱瓶數與重量成正比成正比成正比成正比。
數字的關係:重量=2×瓶數 10
8 6
2 4
0 12
1 2 3 4 5 6
(公斤)
(瓶數)
教學活動 2(正比的關係圖)
10 8 6
2 4
0 12
1 2 3 4 5 6
(公斤)
(瓶數)
各個黑點所連的線,會成一 一 一 一 條直線
條直線 條直線 條直線。
拿著 0 瓶汽水時,汽水的重量 是「0 公斤」,所以將直線延長 時,直線會通過 通過 通過 通過藍 藍 藍點 藍 點 點。 點
小小觀察:
當瓶數與重量成正比成正比成正比成正比時,所畫出來的折線圖成一直一直一直一直 線
線 線
線,且延長後會通過通過通過通過藍藍藍藍點點點點的位置。
125
【【【
【重新佈題重新佈題重新佈題】重新佈題】】 】
今小博在直線道路上走路,他 10 秒鐘時走了 5 公尺、20 秒鐘時 走了 10 公尺、30 秒鐘走了 15 公尺,小博走路的速度不變,請回 答下列問題:
(1)完成下表,將空格內的數字填上。
時間(秒) 10 20 30 40 50 60 距離(公尺) 5 10 15
20 25 30
(2)請將上表中,時間與距離的關係畫在折線圖上?
(3)請問小博走路的時間與距離是否成正比?
答:是,成正比。
(公尺)
(秒)
25 20 15
5 10
0 30
10 20 30 40 50 60
126
玩具汽車走的時間和距離的關係:
時間(分鐘) 2 4 6 距離(公分) 40 80 120 (1)請問距離:時間的比值是多少?
(2)請問距離與時間成正比關係嗎?
(3)若速度不變,玩具汽車 2.5 分鐘走多少公分?
【
【【
【解題步驟解題步驟解題步驟】解題步驟】】 】
1.先算距離:時間的比值,
2.比值都相同,表示時間增加為 2 倍,距離也增加為 2 倍;時間 增加為 3 倍,距離增加為 3 倍,故距離與時間成正比關係。
3.當時間改變時,求距離有兩種方法:
方法一:由上表可以得到(距離=20×時間),
20×2.5=50,50 公分。
方法二:使用比例關係求解,
40:2=□:2.5 → 2.5÷2=1.25,
40×1.25=50,50 公分。
答:(1)20;(2)距離與時間成正比;(3)50 公分
時間(分鐘) 2 4 6
距離(公分) 40 80 120 距離:時間的比值 40÷2=20 80÷4=20 120÷6=20 例題講解 1(成正比關係)
127
田徑選手跑步的時間和距離的關係:
時間(秒鐘) 10 15 20 距離(公尺) 50 75 100
(1)請問距離:時間的比值是多少?答:50÷10=5 (2)請問距離與時間成正比關係嗎?答:成正比關係
(3)若速度不變,田徑選手 1 分鐘跑多少公尺?答:5×60=300 公
養樂多一瓶 10 元,小家買 5 瓶、8 瓶、15 瓶,各需多少元?請 問養樂多的數量與總價成什麼關係?
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【解題步驟解題步驟解題步驟】解題步驟】】 】
1. 算出買各瓶數時總金額,
10×5=50 10×8=80 10×15=150。
2. 可以找出養樂多的數量與總金額的算式:
10×瓶數=總金額。
3. 可以得知養樂多的數量與總金額成正比關係。
答:50 元、80 元、150 元;成正比關係 換你試試看
例題講解 2(正比應用題)
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原子筆一枝 15 元,小同買 1 枝、3 枝、10 枝,各需多少元?請 問原子筆的數量與總價成什麼關係?
答:15 元、45 元、150 元;成正比關係。
已知蘋果的數量與價錢成正比,今媽媽買了 2 個蘋果的價錢是 60 元,若媽媽改買 10 顆蘋果,請問要付多少元?
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【解題步驟解題步驟解題步驟】解題步驟】】 】 1. 列表:
2. 方法一:先算出 1 顆蘋果的價錢,再乘上 10 顆,
60÷2=30(元/顆);30×10=300。
3. 方法二:成正比表示當蘋果的數量乘以 5 時,價錢也要乘以 5,2:60=10:□,10÷2=5,60×5=300。
答:300 元。
已知蝸牛行走的距離與時間成正比,若蝸牛行走 60 公分需花費 2 分鐘,請問蝸牛行走 3 分鐘可以走多少公分?答:90 公分。
蘋果(顆) 2 10 價錢(元) 60 ? 換你試試看
例題講解 3(正比應用題)
換你試試看