1 的整數 質數 質 數的

1.6. 數基本 23

1.6. 數基本

基本 (The fundamental theorem of arithmetic) ,

1 的整數 質數 質 數的 .

, 的 .

的 性 性的 . 的 性 的

1 的整數 質數 質數的 , 性 的

. 整數 整數的 , 整數的 .

Theorem 1.6.1 (The Fundamental Theorem of Arithmetic). a∈ N a > 1, p₁, . . . , p_r, p_i 的質數,

a = pⁿ₁¹··· pⁿ_r^r, ni∈ N,∀i ∈ {1,...,r}.

a 的 a = q^m₁¹···q^m_s^s, qi 的質數, r = s

p_i= q_i, n_i= m_i, ∀i ∈ {1,...,r}.

Proof. 性 性.

性: 性 1 的整數

( ) 質數的 . 數 . a = 2 2 質數,

性 的. 2 a− 1 的整數 性 的. a 質數,

性 . a 質數, a = a1·b1 a1, b1∈ N 1 < a1< a 1 < b1< a.

a₁ b₁ 質數的 , a = a₁· b1

質數的 .

性,

a = pⁿ₁¹··· pⁿr^r = q^m₁¹···q^ms^s,

p1, . . . , pr 的 質 數, q1, . . . , qs 的 質 數.

P ={p1, . . . , p_r} Q ={q1, . . . , q_s} 的. p_i ∈ P, p_i | a, a = q^m₁¹···q^m_s^s, pi 質數 Corollary 1.5.3 qj∈ Q pi| qj. qj

質數, p_i= q_j∈ Q. P⊆ Q. Q⊆ P. P = Q, r = s,

, p₁= q₁, p₂= q₂, . . . , p_r= q_r.

a = pⁿ₁¹··· pⁿr^r = p^m₁¹··· p^mr^r. (1.1)

, i∈ {1,...,r} n_i= m_i, 性. ,

ni̸= mi, . 性, n1̸= m1,

n₁> m₁. (1.1) p^m₁¹,

pⁿ₁^1−m1pⁿ₂²··· pⁿ_r^r = p^m₂²··· p^m_r^r.

p1 質數, n1− m1> 0, p1| p^m₂²··· p^m_r^r Corollary 1.5.3 p2, . . . , pr

p_j p₁| pj, p₁, p₂, . . . , p_r 質數 . 性. 

24 1. 整數的基本性質

整數 a 質數 a = pⁿ₁¹··· pⁿ_r^r , 性

質數 p_i 的 ni 的, a 的質 數 p₁, . . . , pr.

數 a, b , a b 的質 數 a, b 質數

的 . a = pⁿ₁¹··· pⁿ_r^r b = p^m₁¹··· p^m_r^r i∈ {1,...,r}, ni≥ 0

m_i≥ 0. a 的質 數 b 的質 數, , n_i, m_i

0. 的 性 pi a 的質 數, b 的質 數.

的 a, b 的 數 .

Proposition 1.6.2. a, b∈ N a, b > 1. a = pⁿ₁¹··· pⁿr^r b = p^m₁¹··· p^mr^r, p1, . . . , p_r 質數 ni, m_i ≥ 0, a, b 的 數 p^t₁¹··· p^t_r^r 的 , 0≤ ti≤ min{ni, mi}. ,

gcd(a, b) = p^min₁ ^{n1,m1}··· p^minr ^{nr,mr}.

Proof. min{x,y} x, y 數. d a, b 的 數,

d| a p d 的質 數, p| d p| a. Corollary 1.5.3 i∈ {1,...,r}

p| pi. p, p_i 質數 p = p_i. d 的質 數 {p1, . . . , p_r} , d

p^t₁¹··· p^t_r^r 的 , ti≥ 0. i∈ {1,...,r} p^t_iⁱ | d p^t_iⁱ | a, p^t_iⁱ | pⁿ₁¹··· pⁿr^r. i̸= j p_i̸= pj, gcd(p^t_iⁱ, pⁿ_j^j) = 1, Proposition 1.2.6(1) p^t_iⁱ | pⁿ_iⁱ. ti> n_i, p^ti−ni| 1 , ti≤ ni. d| b ti≤ mi,

0≤ ti≤ min{ni, m_i}.

gcd(a, b). , i∈ {1,...,r}, di= min{ni, mi}.

p^d₁¹··· p^dr^r a, b 的 數. i∈ {1,...,r}, d_i≤ ni, p^d_i¹ | pⁿ_iⁱ.

p^d_iⁱ | a. i = 1, . . . , r p^d₁¹, . . . , p^d_r^r 質 Question 1.8 (2) p^d₁¹··· p^dr^r | a. p^d₁¹··· p^dr^r | b. a, b 數 d. d = p^t₁¹··· p^tr^r

0≤ ti≤ di, 的 d| p^d₁¹··· p^d_r^r. gcd(a, b) = p^d₁¹··· p^d_r^r. 

Proposition 1.6.2 數 數 , (

的數 ) 質 數 的 ,

數 . Proposition 1.6.2 的 數 ,

的 的.

Proposition 1.4.2 數 .

Corollary 1.6.3. a, b∈ N a, b > 1. a = pⁿ₁¹··· pⁿ_r^r b = p^m₁¹··· p^m_r^r, p1, . . . , pr

質數 n_i, m_i≥ 0,

lcm(a, b) = p^max₁ ^{n1,m1}··· p^maxr ^{nr,mr}.

Proof. ab = pⁿ₁^1+m1··· pⁿr^r+mr Proposition 1.4.2 Proposition 1.6.2 lcm(a, b) = ab

gcd(a, b) = pⁿ₁^{1+m1−min{n1,m1}}··· pⁿr^{r+mr−min{nr,mr}}.

1.6. 數基本 25

數 x, y, 性 x≥ y, min{x,y} = y max{x,y} = x, x + y = min{x,y} + max{x,y}. i∈ {1,...,r} max{ni, m_i} =

ni+ mi− min{ni, mi}, 本 . 

的整數 , 質 數 Proposition 1.4.6

Proposition 1.4.7 的 數 數 . a = pⁿ₁¹··· pⁿr^r, b = p^m₁¹··· p^m_r^r c = p^t₁¹··· p^t_r^r, p1, . . . , p_r 質數 ni, m_i,t_i≥ 0,

gcd(a, b, c) = p^min{n₁ ^1,m1,t1}··· p^min{nr ^r,mr,tr}, lcm(a, b, c) = p^max{n₁ ^1,m1,t1}··· p^max{nr ^r,mr,tr}. Exercise 1.21. 的 a, b∈ N gcd(a, b) = 12 lcm(a, b) = 360.

Exercise 1.22. a, b, n∈ N ab = n² gcd(a, b) = 1, c, d∈ N a = c² b = d².

Exercise 1.23. m∈ N p 質數, p^a| m p^a+1- m, p^a 整 m p^a||m . p^a||m p^b||n.

(1) a < b, r p^r||m + n.

(2) a = b 的 p^r||m + n r > a.

(3) s p^s||mn.

(4) t p^t||mⁿ.

(5) m < p^a+1, v p^v||m!.

Exercise 1.24. 1 的 整數 a, b a^b= b^a.

(1) a < b, a| b.

(2) b = ak, a^k−1= k.

(3) a, k 1 的整數 a^k−1= k, k = 2.

(4) a = 2, b = 4 a = 4, b = 2 a^b= b^a 的 整數.

———————————– 13 April, 2018