整數的基本性質

數

本 的 整數論 基本的 數 數 的性質,

數 . 基 的 , 整數論

. 整數論 ( 的 ) 的 ,

Silverman 的 A Friendly Introduction to Number Theory (Prentice Hall, Third Edition

2006). 本 本 .

v

整數的基本性質

整數的性質 , 的

“數 ” 的 . 的 ,

數 的 的 .

. 性質 數 的 , ,

.

1.1. 數 數

的 . 數

的 , 的 .

本 Z 整數 的 . 0 Z , 2 Z , 2007

−365 Z . 數 a 整數 , a Z .

數 “∈” , “ ” 的 .

a 整數 a∈ Z . 整數, 本

N 整數 的 . a∈ N a 整數.

整數 數 數數的 的

整 整數 的 a∈ Z, 2a . a + a n∈ N

n a 的 na. (−n)a n −a .

0a 0, 的 m∈ Z, ma . 的

的 , . ma

m∈ Z 的數 a 的 數 (multiple). b a 的 數, a b 的 數

(divisor). a|b.

a 的 數 的 aZ . aZ 的 ma 的

m∈ Z. 的 aZ = {ma | m ∈ Z} . b∈ aZ b a

的 數 ( a b 的 數) 的 .

1

的 數 數的 性質. 性質

, 的 的

的 言.

a∈ Z, aZ . 整數

的 性, aZ 的 性.

Proposition 1.1.1. a∈ Z b, c∈ aZ. 性質.

(1) b + c∈ aZ.

(2) m∈ Z mb∈ aZ.

Proof. b, c∈ aZ n, n^′∈ Z b = na c = n^′a.

(1) b + c = na + n^′a = (n + n^′)a. n, n^′ ∈ Z n + n^′∈ Z, b + c∈ aZ.

(2) mb = m(na) = (mn)a. m, n∈ Z mn∈ Z, mb∈ aZ. 

Proposition 1.1.1 的 性質.

Corollary 1.1.2. a∈ Z b, c∈ aZ. m, n∈ Z mb + nc∈ aZ. 言 , a|b a|c, m, n∈ Z a|mb + nc.

Proof. b, c∈ aZ m, n∈ Z, Proposition 1.1.1(2) mb, nc∈ aZ. Propo-

sition 1.1.1(1) mb + nc∈ aZ. a|mb + nc. 

的性質 Proposition .

Proposition 的性質 Corollary .

的性質. A, B A 的 B ,

A⊆ B ( A B). 性質:

(1) A⊆ B B⊆ A A = B.

(2) A⊆ B B⊆ C A⊆ C.

的性質 前 的 性 .

Proposition 1.1.3. a, b, c∈ Z. . (1) bZ ⊆ aZ a|b.

(2) a|b b|a a =±b.

(3) a|b b|c a|c.

Proof. (1) bZ ⊆ aZ, b∈ bZ, b∈ aZ. a|b. , a|b,

bZ ⊆ aZ. B A, 的 B

A . 的 bZ 的 mb, m∈ Z

mb∈ aZ. a|b 的 b∈ aZ. Proposition 1.1.1(2)

m∈ Z mb∈ aZ. bZ 的 aZ . bZ ⊆ aZ.

(2) a|b b|a, (1) bZ ⊆ aZ aZ ⊆ bZ. 性質 aZ = bZ.

aZ bZ 的 . , a = 0 b = 0. .

a̸= 0 b̸= 0 的 . aZ 的 數 a ( a > 0) −a ( a < 0) bZ

的 數 b −b. a =±b.

(3) a|b b|c, (1) bZ ⊆ aZ cZ ⊆ bZ. 性質 cZ ⊆ aZ.

(1) 的 a|c. 

Question 1.1. a, b∈ Z aZ = bZ a =±b.

Remark 1.1.4. 整數 的性質 “well-ordering principle”. principle

的整數的 S, S ( 數 S 的數,

S ), S 的整數 ( min S ). 整數的

S ( 數 S 的數, S ), 的整數

( max S ). Proposition 1.1.3(2) 的 aZ 的 整

數, a > 0 a aZ 的 整數. aZ ,

性質 a 的. 的 整數 ,

整數的 性質 的 數. 性質

的 數 . 數 的 (0 的 數),

的 數.

前 的 整 的性質 的

言 的論 . 的 . 的 a|b

ma|mb 的 . ,

. 的 . 數 的

. 的 整 的 言 .

前 性質.

Lemma 1.1.5. a, b∈ Z a|b, 性質.

(1) m∈ Z, ma|mb.

(2) d|a d|b, (a/d)|(b/d).

Proof. a|b n∈ Z b = na.

(1) m mb = mna = n(ma) ma|mb.

(2) d|a d|b a^′, b^′∈ Z a = a^′d b = b^′d. b = na b^′d = na^′d.

d ̸= 0, d b^′ = na^′, a^′|b^′. a/d = a^′ b/d = b^′

(a/d)|(b/d). 

Lemma 1.1.5 的性質. 本 的性質, 論 性

質 , Lemma .

Lemma 1.1.5(2) d|a d|b 的 d a b 的 數,

a, b 的 common divisor ( 數). 論 整數 的 數 數

數 數 的 . .

Definition 1.1.6. a1, a2, . . . , an∈ Z 0.

(1) c∈ Z, c|a1, c|a2, . . . , c|an, c a₁, a₂, . . . , a_n 的 common divisor ( 數).

(2) d∈ N a1, a2, . . . , an 的 數 的, d a1, a2, . . . , an 的 greatest

common divisor 數, gcd(a₁, a₂, . . . , a_n) .

(3) m∈ Z, a1|m, a2|m,..., an|m, m a1, a₂, . . . , a_n 的 common multiple ( 數).

(4) l∈ N a₁, a₂, . . . , a_n 的 的 數 的, l a₁, a₂, . . . , a_n 的 least

common multiple 數, lcm(a1, a2, . . . , an) .

, Definition .

. 的 的 本 .

Definition 1.1.6 數 數 : 1 整 的整數,

a1, a2, . . . , an∈ Z 數 . a̸= 0 , a 的 數

|a|, a₁, a₂, . . . , a_n 的 數 的 , a₁, a₂, . . . , a_n 的 數 . a1, a₂, . . . , a_n 的 數 1. ( gcd(a1, a₂, . . . , a_n) = 1), a1, a2, . . . , an 質 (relatively prime). a1a2···an a1, a2, . . . , an 的 數,

的 a₁, a₂, . . . , a_n 的 數 , well-ordering principle

a1, a2, . . . , an 的 數 .

數 數的基本性質. a −a 的 數 的,

性, 論 數 論 整數的 . 整數的 論.

Proposition 1.1.7. a, b∈ N d a b 的 數. d^′ a/d b/d 的 數, dd^′ a b 的 數.

Proof. , d a, b 的 數, m, n∈ Z a = dm b = dn.

a/d = m b/d = n 整數. d^′ m, n 的 數 m^′, n^′∈ Z m = d^′m^′

n = d^′n^′. 整 a = dd^′m^′ b = dd^′n^′ dd^′ a b 的 數. 

Proposition 1.1.7 d = gcd(a, b), 數的 性質.

Corollary 1.1.8. a, b∈ N d = gcd(a, b). a/d b/d 質.

Proof. a/d b/d 質 gcd(a/d, b/d) = 1. gcd(a/d, b/d) = 1

d^′ a/d b/d 的 的 數, d^′= 1. d^′ a/d b/d 的

的 數, Proposition 1.1.7 dd^′ a, b 的 數. d a, b 數

的, d≥ dd^′. d^′≤ 1. d^′ a, b 的 的 數 (

d^′≥ 1) d^′= 1. 

d = gcd(a, b) . d a, b 的 數,

d a b 的 數 的. 前 Corollary 1.1.8 gcd(a/d, b/d) = 1.

1 a/d, b/d 的 數, a/d b/d 的 數 1 .

Proposition 1.1.7 Corollary 1.1.8 n 整數的 . Question 1.2. a₁, . . . , a_n∈ N.

(1) d a1, . . . , an 的 數 d^′ a1/d, . . . , an/d 的 數, dd^′ a1, . . . , an 的 數.

(2) d = gcd(a₁, . . . , a_n). gcd(a₁/d, . . . , a_n/d) = 1.

, 論 數 數 的性質.

1.2. 數

整數 基本的 整數的 Division Algorithm, 整數的基

本性質 .

Theorem 1.2.1 (Division Algorithm). 整數 n, 的 m∈ Z, h, r∈ Z, 0≤ r < n, m = h· n + r.

的性質, Theorem .

, “ ” . , 36 7 的

, 36− 7, 7, 36− 2 × 7. ,

36− 3 × 7, 36− 5 × 7 , 36 7 的 5 數

1. , {36 − 7t | t ∈ Z} 的 整數,

36 7 的 數 . , Theorem 1.2.1 .

Proof. n∈ N m∈ Z. W ={m −t · n|t ∈ Z} . m,

m− n, m − 2n,... m + n, m + 2n, . . . . t 整數,

W 的整數. 言 , W^′ W 的 的 , W^′

的整數的 . 整數的 well-ordering principle W^′ 的整數

r. r W 的 的整數. r∈ W, h∈ Z r = m−h · n.

的 的 0≤ r < n.

r 的 , r≥ n ( r 整數的 ). ,

r r = n + r^′, r^′≥ 0.

m = h· n + r = h · n + (n + r^′) = (h + 1)· n + r^′,

r^′= m− (h + 1) · n ∈ W. 0≤ r^′< r, r W 的 整數 .

本 . 

Theorem 1.2.1 的 整數 的 well-ordering principle,

, 的數 .

Division Algorithm 整數論 的性質, 整數

整數整 的 . Theorem 1.2.1 Z

aZ 的 .

, a∈ Z, aZ 的 性 (Proposition

1.1.1), b, c∈ aZ m, n∈ Z mb + nc∈ aZ. , .

S Z 的 性 ( b, c∈ S m, n∈ Z

mb + nc∈ S), a∈ Z S = aZ.

S , b∈ S, 性的 b + (−1)b = 0 ∈ S.

0 S . S ={0}, a = 0, S = aZ. S̸= {0}

的 . a∈ Z S = aZ ? S = aZ, S 的

整數 a −a. a S = aZ, S 的 整數 .

S^′ S 的 整數 的 , S^′= S∩ N. S^′ .

S̸= {0} b∈ S b̸= 0. b > 0, b∈ S^′; b < 0, 0∈ S 性

0− b = −b ∈ S, −b > 0, −b ∈ S^′. S^′ a∈ S^′

S^′ 的 . S = aZ. , ,

. a∈ S, 性 m∈ Z, ma ∈ S,

aZ ⊆ S. S⊆ aZ . b∈ S, b∈ aZ. 言

, S 的 b a 整 . division algorithm

的 . a∈ N, Theorem 1.2.1 h, r∈ Z b = ha + r, 0≤ r < a.

r = b− ha, a, b S, 性 r∈ S. r̸= 0, r∈ N,

r∈ S r∈ S^′. r < a, a S^′ 的 . r = 0,

b = ha∈ aZ. 論的 整 .

Theorem 1.2.2. S⊆ Z S b, c∈ S m, n∈ Z

mb + nc∈ S, a∈ Z S = aZ. 的, S̸= {0}, a S∩ N 的 ,

S = aZ.

Question 1.3. S ={4x + 6y | x,y ∈ Z}. S b, c∈ S m, n∈ Z

mb + nc∈ S. a∈ Z S = aZ.

Theorem 1.2.2 數 的性質.

整數的 . a, b∈ N, S a, b∈ S

性, Theorem 1.2.2 d∈ Z S = dZ. a, b∈ S = dZ, a, b

d 的 數, d a, b 的 數. S^′ a, b∈ S^′

性, d^′∈ Z S^′= d^′Z, d^′ a, b 的 數. S⊆ S^′,

dZ ⊆ d^′Z, Proposition 1.1.3(1) d^′| d. , 的 S

, a, b 的 數 . 的 的 S a, b∈ S

性.

的 S a, b 性的 的 ? 性的 , a, b∈ S

m, n∈ Z ma + nb∈ S. S 的 的 S ={ma+nb | m,n ∈ Z}.

的 S 性, 的性質.

Proposition 1.2.3. a, b∈ N, d S ={ma + nb | m,n ∈ Z} 的 整數.

gcd(a, b) = d.

Proof. m, n 的整數, S ={ma + nb | m,n ∈ Z}

整數. well-ordering principle S 的 整數.

的 d .

S 的 前 的 d a, b 的 數.

u, v∈ S, S 的 r, r^′, s, s^′∈ Z u = ra + sb, v = r^′a + s^′b.

m, n∈ Z,

mu + nv = m(ra + sb) + n(r^′a + s^′b) = (mr + nr^′)a + (ms + ns^′)b.

mr + nr^′, ms + ns^′∈ Z mu + nv∈ S, S 的 性. Theorem 1.2.2

S = dZ. a∈ S b∈ S a∈ dZ b∈ dZ. d|a d|b, d

a, b 的 數.

d a, b 的 數 的數. d^′ a, b 的 數,

d^′≤ d. d∈ S, S 的 m, n∈ Z d = ma + nb. d^′|a d^′|b,

Corollary 1.1.2 d^′|ma + nb. d^′|d, l∈ Z d = d^′l. d > 0

d^′≤ d. 

, a, b 的 數 a, b 數 的

{ma + nb | m,n ∈ Z} 的 ? ,

a, b 的 . 論 的 , a, b

的整數, . Proposition 1.2.3

論的 數的 . Proposition

1.2.3 性質.

Corollary 1.2.4. a, b∈ N d = gcd(a, b) m, n∈ Z d = ma + nb.

d^′∈ Z, d^′ a, b 的 數 d^′|d.

Proof. Proposition 1.2.3 d S ={ma + nb | m,n ∈ Z} , m, n∈ Z d = ma + nb.

“ ” 的 d^′ a, b 的 數 d 整 a, b 的

數 d, d^′ 整 a, b 的 數, d^′ a, b 的 數. Proposition

1.2.3 的 d^′ a, b 的 數 d^′|d. d^′|d, d|a d|b, Proposition 1.1.3(3) d^′|a d^′|b. d^′ a, b 的 數. 

的性質 , . 性質

, “ ” . Corollary 1.2.4 整數

d m, n∈ Z d = ma + nb, d a, b 的 數.

論 的 . d ma + nb d S ={ma + nb | m,n ∈ Z} ,

d S 的 整數. d a, b 的 數.

d a, b 的 數 , 前 的 ,

整數 m, n d = ma + nb d a, b 的 數. a, b 質

( gcd(a, b) = 1) m, n ma + nb = 1 . 1 S ,

S 的 整數 . .

Corollary 1.2.5. a, b∈ N. gcd(a, b) = 1 m, n∈ Z ma + nb = 1.

Proof. , .

gcd(a, b) = 1, Corollary 1.2.4 m, n∈ Z 1 = ma + nb. ,

m, n∈ Z ma + nb = 1, 1 {ma + nb | m,n ∈ Z} 的 整數,

Proposition 1.2.3 gcd(a, b) = 1. 

的性質 m, n ma + nb = gcd(a, b),

m, n. 前 m, n,

a, b 質 的 的性質 的 性 論的 .

Proposition 1.2.6. a, b∈ N gcd(a, b) = 1. 的性質:

(1) k∈ Z a|bk, a|k.

(2) l∈ Z a|l b|l, ab|l.

Proof. gcd(a, b) = 1, Corollary 1.2.5 m, n∈ Z ma + nb = 1.

(1) ma + nb = 1 k mak + nbk = k. a|bk a|ak

Corollary 1.1.2 a|mak + nbk, a|k.

(2) a|l b|l r, s∈ Z l = ar = bs. a|ar a|bs. gcd(a, b) = 1

的 (1) a|s. 言 t∈ Z s = at. l = bs l = b(at) = (ab)t,

ab|l. 

Proposition 1.2.6 的 . a, b 質的 a|bc a|b

a|c. 12|6 × 4 , 的 12- 6 ( - 整 的 ) 12- 4.

的 a, b 質 a|c b|c ab|c. 4|12 6|12 4× 6 - 12.

a, b 的 數. l a, b 的 數, gcd(a, b)|l,

m, n∈ Z l = ma + nb. l .

l {ma + nb | m,n ∈ Z} gcd(a, b) Proposition 1.2.3

的 . , a, b 的 數

a, b 的 數.

l a, b 的 數. 數的

. l a, b 的 的 數, l a b 的 的 數

的. l a, b 的 數.

Proposition 1.2.7. a, b∈ N gcd(a, b) = d lcm(a, b) = l, l = ab/d. m∈ Z

a, b 的 數 l|m.

Proof. d = gcd(a, b) a^′, b^′∈ N a = a^′d, b = b^′d gcd(a^′, b^′) = 1 (Propo- sition 1.1.8). ab/d = a^′b = b^′a a, b 的 數.

ab/d = b^′a a|(ab/d) b|(ab/d), ab/d a b 的 數.

a, b, d 數, ab/d a, b 的 數.

m a, b 的 數, (ab/d)≤ m. m^′, n^′ ∈ N m = m^′a = n^′b. 言 m = m^′a^′d = n^′b^′d, d ( d̸= 0) m^′a^′= n^′b^′. a^′|n^′b^′. gcd(a^′, b^′) = 1, Proposition 1.2.6(1) a^′|n^′. h∈ N n^′= a^′h. m = n^′b m = ha^′b, a^′b = (ab/d)|m. ab/d m 數, (ab/d)≤ m. ab/d = lcm(a, b) = l.

ab/d = l 的 m a, b 的 數, l = (ab/d)|m. , l|m,

a|l b|l, a|m b|m, m a, b 數. 

Proposition 1.2.7 a, b∈ N, 的 數

數. a, b∈ Z , 的 Proposition 1.2.7

的 數. Corollary 1.2.4 數 數 數

Proposition 1.2.7 數 數 數.

( ) 整數的 數性質. 前

的 , 前 的 整數 .

Proposition 1.2.8. a₁, . . . , a_n∈ N, d S ={m1a₁+···+mna_n| m1, . . . , m_n∈ Z}

的 整數. gcd(a1, . . . , an) = d.

Proof. 前 的 , well-ordering principle S 的 整數.

的 d . 前 , S 的, Theorem 1.2.2

S = dZ. 前 數的 d a1, . . . , an 的 數.

i∈ {1,...,n}, d|ai. ai∈ S = dZ, d|ai. d a₁, . . . , a_n 的 數.

d a₁, . . . , a_n 的 數 的數. d^′ a₁, . . . , a_n 的 數, d^′≤ d. , m₁, . . . , m_n∈ Z d = m₁a₁+··· + mna_n.

i∈ {1,...,n}, d^′|ai d^′|m1a1+··· + mnan. d^′|d, d > 0

d^′≤ d. 

Proposition 1.2.8 前 的 , .

Corollary 1.2.9. a₁, . . . , a_n∈ N d = gcd(a₁, . . . , a_n) m₁, . . . , m_n ∈ Z d = m1a1+··· + mnan. d^′∈ Z, d^′ a1, . . . , an 的 數 d^′|d.

整數的 數的性質 整數的 .

Proposition 1.2.6(2) gcd(a, b) = 1 a|l b|l, ab|l. 性質

整數的 . 整數 質的 a1, a2, . . . , an 質

數 ±1 的 數, 數 質.

ai, aj 質 a1, . . . , an 質. a1= 6, a2= 15 a3= 10 的 . gcd(a₁, a₂) = 3, gcd(a₂, a₃) = 5 gcd(a₁, a₃) = 2 gcd(a₁, a₂, a₃) = 1.

a1, . . . , a_n 質 的, 質 ( i, j∈ {1,...,n}

i̸= j, gcd(ai, aj) = 1) 的 質性 . 的 質性 “

質” (pairwise relatively prime). a₁, . . . , a_n 質, a₁, . . . , a_n 質.

質性 . Proposition 1.2.6(2), 整數的

質 . 整數, 數 . 數

的 , .

Proposition 1.2.10. a₁, . . . , a_n∈ N a_i 質. M = a₁···an, 性質.

(1) i∈ {1,...,n} gcd(ai, M/a_i) = 1.

(2) i∈ {1,...,n} ai|l, M|l.

Proof. 整數 數, 數 n = 2 .

(1) a1, . . . , an 的 , i = 1 的 . n = 2 的

. M = a₁a₂ gcd(a₁, a₂) = 1 gcd(a₁, M/a₁) = 1. 數 n = k− 1 , gcd(a1, a₂···ak−1) = 1. m^′, n^′∈ Z

m^′a₁+ n^′(a₂···ak−1) = 1. (1.1)

n = k , M = a₁a₂···ak. (1.1) a_k

m^′a1a_k+ n^′(a2···ak−1a_k) = m^′a_ka1+ n^′(M/a1) = a_k. (1.2) 質的 gcd(a1, ak) = 1, r, s∈ Z ra1+ sak= 1. (1.2) a_k

1 = ra₁+ s(m^′a_ka₁+ n^′(M/a₁)) = (r + sm^′a_k)a₁+ sn^′(M/a₁).

r + sm^′a_k∈ Z sn^′∈ Z Corollary 1.2.5 gcd(a1, M/a1) = 1.

(2) n = 2 的 , M = a1a2 gcd(a1, a2) = 1 Proposition 1.2.6(2)

a₁|l a₂|l, M|l. 數 n = k−1 , M^′= a₁···ak−1,

M^′|l. n = k , M = a₁···ak−1a_k = M^′a_k. (1) gcd(a_k, M^′) = gcd(ak, M/a_k) = 1, ak|l M^′|l Proposition 1.2.6(2) M^′ak= M|l. 

, 整數的 數 ( )

整數的 數. d₁= gcd(a₁, a₂)

d2= gcd(a₁, a₂, a₃) = gcd(d₁, a₃), gcd(a1, a₂,··· ,an). 的

前 數 .

Proposition 1.2.11. a₁, . . . , a_n∈ N (n > 2),

gcd(a1, . . . , an−1, an) = gcd(gcd(a1, . . . , an−1), an).

Proof. d = gcd(gcd(a1, . . . , an−1), an) d a1, . . . , an 的 數.

d|gcd(a1, . . . , a_n−1) Corollary 1.2.9 d a₁, . . . , a_n−1 的 數. d|an, d a1, . . . , an−1, an 的 數.

d^′ a1, . . . , an−1, an 的 數. d^′ a1, . . . , an−1 的 數, Corollary 1.2.9 d^′|gcd(a1, . . . , a_n−1). d^′|an, d^′ gcd(a₁, . . . , a_n−1) a_n 的 數,

Corollary 1.2.4 d^′|gcd(gcd(a1, . . . , a_n−1), a_n) = d. d a1, . . . , a_n 的 數

的數, a1, . . . , an 的 數. 

整數的 數的性質. 的 Proposition 1.2.7

lcm(a, b) = ab/ gcd(a, b) 性質 整數 . 前 a₁= 6, a₂= 15 a3= 10 的 , a1a2a3= 900, gcd(a1, a2, a3) = 1 lcm(a1, a2, a3) = 30.

, 數 數 數的性質, 整數 數

數 . 數 性質. 的

, 的數 , .

Proposition 1.2.12. a₁, . . . , a_n∈ N (n > 2),

lcm(a1, . . . , an−1, an) = lcm(lcm(a1, . . . , an−1), an).

m∈ Z a1, . . . , an 的 數 lcm(a1, . . . , an)|m.

Proof. 數 , n = 3 l = lcm(lcm(a1, a2), a3). l lcm(a1, a2) a3

數, l lcm(a₁, a₂) 數, Proposition 1.2.7 l a₁, a₂ 的 數.

l a1, a₂, a₃ 數. m a1, a₂, a₃ 數. m a1, a₂ 數,

Proposition 1.2.7 lcm(a₁, a₂)|m. m a₃ 數, m lcm(a₁, a₂) a₃ 數. Proposition 1.2.7 l = lcm(lcm(a₁, a₂), a₃)|m. l a₁, a₂, a₃ 的

數 的數, l = lcm(a1, a2, a3). l 整 a1, a2, a3 的

數. , l|m, a₁|l, a2|l a₃|l m a₁, a₂, a₃ 的 數. n = 3 的 .

數 n = k− 1 :

lcm(a₁, . . . , a_k−1) = lcm(lcm(a₁, . . . , a_k−2), a_k−1)

m∈ Z a₁, . . . , a_k−1 的 數 lcm(a₁, . . . , a_k−1)|m. n = k . l^′= lcm(a₁, . . . , a_k−1) l = lcm(l^′, a_k) l a1, . . . , a_k 的 數.

l = lcm(l^′, a_k) l^′= lcm(a₁, . . . , a_k−1) 的 數, 數 (n = k− 1 ) l a1, . . . , a_k−1 的 數. l a_k 的 數, l a1, . . . , a_k 的 數. m a₁, . . . , a_k−1, a_k 的 數, m a₁, . . . , a_k−1 的 數.

數 l^′= lcm(a1, . . . , ak−1)|m. ak|m, m l^′ ak 數.

Proposition 1.2.7 l = lcm(l^′, a_k)|m. l a₁, . . . , a_k 的 數 , l = lcm(a1, . . . , a_k). m a1, . . . , a_k 的 數, l|m. l|m,

i∈ {1,...,k} ai|l, ai|m. m a1, . . . , a_k 的 數.  1.3.

數 的 . 的 .

Lemma 1.3.1. a, b∈ N a = bh + r, h, r∈ Z, gcd(a, b) = gcd(b, r).

Proof. d1= gcd(a, b) d2= gcd(b, r). d1|d2 d2|d1, Proposi- tion 1.1.3(2) d₁, d₂ 數 d₁= d₂.

d₁|a d₁|b Corollary 1.1.2 d₁|a−bh = r. d₁|b, d1|r d₂= gcd(b, r) Proposition 1.2.4 d1|d2. , d2|b d2|r d2|bh + r = a.

d2|d1. 

Lemma 1.3.1 a > b > 0 , a, b 的 數 a b

數 r, a, b 的 數 b r 的 數. 0≤ r < b < a,

. . gcd(a, b) = gcd(−a,b)

a, b 整數的 .

Theorem 1.3.2 (The Euclidean Algorithm). a, b∈ N a > b.

h₀, r₀∈ Z

a = bh₀+ r₀, 0≤ r0< b.

r₀> 0, h₁, r₁∈ Z

b = r₀h₁+ r₁, 0≤ r1< r₀. r1> 0, h2, r2∈ Z

r0= r1h2+ r2, 0≤ r2< r1.

rn= 0 . n = 0 ( r0= 0), gcd(a, b) = b. n≥ 1, gcd(a, b) = rn−1.

Proof. r0̸= 0, r0> r1> r2> . . . 的, r0 0

r₀− 1 整數, n≤ r0 r_n= 0.

r₀= 0, a = bh₀, b a 數, b a, b 的 數. r₀> 0, Lemma 1.3.1

gcd(a, b) = gcd(b, r₀) = gcd(r₀, r₁) =··· = gcd(rn−1, r_n) = gcd(r_n−1, 0) = r_n−1.



數的 .

Example 1.3.3. a = 481 b = 221 的 數. 481 =

2· 221 + 39, r₀= 39. b = 221 r₀= 39 221 = 5· 39 + 26, r₁= 26.

r0= 39 r1= 26 39 = 1· 26 + 13, r2= 13. r2= 13 整 r1= 26 r₃= 0, Theorem 1.3.2 gcd(481, 221) = r₂= 13.

數 , 的 r_n= 0.

r0= 39 r1= 26 的 數 13, Lemma 1.3.1 gcd(a, b) = 13.

Corollary 1.2.4 gcd(a, b) = d, m, n∈ Z d = ma + nb.

m, n. m, n 的 .

Theorem 1.3.2 的 . r₀= 0 的 , d = gcd(a, b) = b

m = 0, n = 1, d = b = ma + nb. r0̸= 0 r1= 0 , d = gcd(a, b) = r0. a = bh₀+ r₀ , m = 1, n =−h0, d = r₀= ma + nb. r₀̸= 0, r1̸= 0 r2= 0, d = gcd(a, b) = r1. a = bh0+ r0 b = r0h1+ r1

r₁= b− r0h₁= b− (a − bh0)h₁=−h1a + (1 + h₀h₁)b.

m =−h1 n = 1 + h0h1, d = r1= ma + nb. , r0, r₁ r2 0 , d = gcd(a, b) = rn−1 rn−3= rn−2hn−1+ rn−1 d = rn−3− hn−1rn−2. 數

m₁, m₂, n₁, n₂∈ Z r_n−3= m₁a + n₁b r_n−2= m₂a + n₂b d = (m1a + n1b)− hn−1(m2a + n2b) = (m1− hn−1m2)a + (n1− hn−1n2)b.

m = m₁− hn−1m₂ n = n₁− hn−1n₂, d = ma + nb.

的 r₀̸= 0 i∈ {0,1,...,n−2} r_i r_i= m_ia+n_ib,

d = rn−1 ma + nb 的 . 論 的 ,

r_i m^′_ir_i−2+ n^′_ir_i−1 的 d = ma + nb. 的 .

Example 1.3.4. Example 1.3.3 的 m, n∈ Z 13 = 481m + 221n.

13 = r₂= 39−26 = r0−r1. r₁= 221−5·39 = b−5r0, 13 = r₀−(b−5r0) = 6r0− b. r0= 481− 2 · 221 = a − 2b, 13 = 6(a− 2b) − b = 6a − 13b. m = 6 n =−13 13 = 481m + 221n.

的 m, n d = ma + nb 的 . 的

, 的 , 的

. m^′= m + b, n^′= n− a, m^′a + n^′b = (m + b)a + (n− a)b = ma + nb = d.

m^′, n^′ . 性 , 的 前

的 的 言 . 的 ,

的 的 . 的 .

Proposition 1.3.5. a, b∈ N d = gcd(a, b). x = m₀, y = n₀ d = ax + by 的 整數 , t∈ Z, x = m0+ bt/d, y = n₀− at/d d = ax + by 的 整數 , d = ax + by 的 整數 x = m0+ bt/d, y = n0− at/d t∈ Z 的 . Proof. x = m, y = n d = ax + by 的 . x = m₀, y = n₀

, am + bn = am0+ bn0. a(m− m0) = b(n0− n). d = gcd(a, b), a = a^′d, b = b^′d a^′, b^′ ∈ Z gcd(a^′, b^′) = 1 ( Corollary 1.1.8).

a^′(m− m0) = b^′(n₀− n). b^′|a^′(m− m0), gcd(a^′, b^′) = 1 Proposition 1.2.6(1) b^′|m − m0. t∈ Z m− m0= b^′t. m = m0+ b^′t = m0+ bt/d.

m = m₀+ bt/d am + bn = am₀+ bn₀ n = n₀− at/d, d = ax + by 的整數

x = m0+ bt/d, y = n0− at/d t∈ Z 的 . t∈ Z,

x = m₀+bt/d, y = n₀−at/d d = ax +by 的 整數 . x = m₀+ bt/d, y = n₀−at/d ax + by a(m0+ bt/d) + b(n₀− at/d) = am0+ bn₀= d, 本 .  Proposition 1.3.5 Example 1.3.4 13 = 481x + 221y 的 整數 x = 6, y =−13 x = 6 + 17t, y =−13 − 37t t∈ Z 13 = 481x + 221y 的整數 .

1.4. 質數

整數的 基本的 : 質數. 質數 p 數

1 本 的數. 的 .

Definition 1.4.1. p∈ Z, p > 1 p 的 數 p 1 p 質數 (prime

number). 整數 的 數 數 (composite number).

質數 的 整數 的數. 質數 的 性

性質. 質數 p 整數 a∈ Z, gcd(a, p)

. d = gcd(a, p) d|p, d = 1 d = p. d = p p|a, p- a,

d = 1. Proposition 1.2.6(1) 論.

Lemma 1.4.2 (Euclid). p 質數, a, b∈ Z. p|ab, p|a p|b.

Proof. p|a p|b. p|a ( p|b); p- a,

p|b. 前 p- a gcd(p, a) = 1, Proposition 1.2.6(1)

p|b. 

Euclid Lemma 質數 ab 的 數 a, b 的

數. 性質 整數 的 , 數

.

Corollary 1.4.3. p 質數, a₁, a₂, . . . , a_n ∈ Z. p|a1a₂···an, i∈ {1,...,n} p|ai.

Proof. 數 . k = 2 Lemma 1.4.2 p|a1a₂, p|a1

p|a2. k = n− 1 , n− 1 整數 a₁, . . . , a_n−1 p|a1···an−1, i∈ {1,...,n −1} p|ai. k = n 的 , a1, . . . , an n 整數 p|a1···an,

a = a₁···an−1, b = a_n. p|ab Lemma 1.4.2 p|a p|b. p|a, 數

i∈ {1,...,n − 1} p|ai, p|b p|an, 本 . 

質數 p 整數 a 的 數, p a 的 質 數. 質數 p 本

p 的質 數, 數 質 數 ? 的 ,

的 .

Lemma 1.4.4. a∈ Z a > 1. 質數 p p|a.

Proof. 數 . a = 2, 2 質數 p = 2 .

b∈ Z 2≤ b ≤ n 的數 質數 p p|b, a = n + 1 的 . a

本 質數 p = a . , a 質數 b∈ Z 2≤ b < a

b|a. 數 質數 p p|b. Proposition 1.1.3(2)

p|a. 

整數 Lemma 1.4.4 1 的 整數 質 數,

質數. 質數 . 質

數 的 的質數 的質數.

的, 的 前 數 質數 的 . 的

, 質數 . 質數的 ,

的 .

Theorem 1.4.5 (Euclid). 質數 .

Proof. 質數. ,

p₁, . . . , p_n 的質數. a = p₁··· pn+ 1, Lemma 1.4.4 質數 p_i, i∈ {1,...,n} pi|a. pi 本 整 p1··· pn Corollary 1.1.2 pi|a − p1··· pn,

p_i|1 . 質數, 質數. 

質數 的 的. 的整數 n

n 整數 質數. 的

(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, . . . , (n + 1)! + n + 1

n 整數. 質數. 質數 ,

的數 質數, 質數 .

質數的 .

Proposition 1.4.6. n > 1 整數. n 質數 質數 p

√n 整 n.

Proof. p≤√

n p| n. 1 < p < n, n 1 n 的 數, p prime. , n 質數, a, b∈ Z 1 < a≤ b < n

n = ab. a≤√

n, a >√

n ab > (√

n)²= n n = ab . Lemma 1.4.4 質數 p p|a. p|a p≤ a ≤√

n p|n. 

Proposition 1.4.6 的 composite number 的 ,

prime 的 . n 質數 √

n 的質數

整 n. 質數 (sieve method). 數 質數.

100 的質數. √

100 = 10 的質數 ( 2, 3, 5, 7) ,

2, 3, 5, 7 2, 3, 5, 7 的 數 , 100 的數

100 的質數. n < 100 質數, Proposition 1.4.6 n 質

數 √

n <√

100 = 10. 2, 3, 5, 7 的 數 100 的

數, 的 質數 .

質數 , 的質數 ?

數 2 質數, 數 , 4n + 1 4n + 3

質數. 4n + 1 的數 性 4n + 1

的數 4n + 1 的 . 4n + 1 的數 4n + 1 的

, 的數 性. 4n + 3 的 的數 性,

4n + 3 的數 4n + 1 的 . 數的 性 Lemma

1.4.4 的 , .

Lemma 1.4.7. a = 4n + 3 n ∈ N ∪ {0}, 質 數 p = 4n^′+ 3 n^′∈ N ∪ {0} p|a.

Proof. 數 . a = 3, 3 質數 p = 3 .

b = 4k + 3∈ Z 0≤ k ≤ n − 1 的數 質數 p = 4k^′+ 3 p|b,

k = n 的 . a = 4n + 3 本 質數 p = a . , a 質數

b, c∈ N b < a c < a a = bc. b, c 4k + 3 ,

b, c 4k + 1 bc = a 4k + 1 的 . b = 4k + 3 !

0≤ k ≤ n − 1 ( b < a), p = 4k^′+ 3 p|b, p|a. 

4n + 1 的數 4n + 1 的質 數. 9 的的 .

Lemma 1.4.4 Theorem 1.4.5 的 , 的 Lemma 1.4.7 4n + 3

的質數 .

Proposition 1.4.8. S ={4n + 3 | n ∈ Z,n ≥ 0} 質數.

Proof. S 質數 p₀= 3, p₁, . . . , p_n S 的

質數. a = 4(p1··· pn) + 3. a∈ S Lemma 1.4.7 質數 p∈ S

p|a, i∈ {0,...,n} p = pi, .

p = p0= 3, 3|a, 3|3 a− 3 = 4(p1··· pn) 3|4(p1··· pn), Corollary 1.4.3 3|4 3|pi, i∈ {1,...,n} 的 .

p = p_i i∈ {1,...,n}, p_i 本 整 p₁··· pn p_i|a − 4(p1··· pn),

pi|3 . S 質數. 

Lemma 1.4.7 4n + 1 的整數, Proposition 1.4.8 的

論 4n + 1 的質數, 4n + 1 的質數 . 數論

的 (Dirichlet Theorem) 質的 整數 a, b an + b

的質數. 的 本 , .

1.5. 數基本

基本 (The fundamental theorem of arithmetic) ,

1 的整數 質數 質 數的

. , 的 .

的 性 性的 . 的 性 的

1 的整數 質數 質數的 , 性 的

. 整數 整數的 , 整數的 .

Theorem 1.5.1 (The Fundamental Theorem of Arithmetic). a∈ N a > 1, p1, . . . , pr, pi 的質數,

a = pⁿ₁¹··· pⁿr^r, ni∈ N,∀i ∈ {1,...,r}.

a 的 a = q^m₁¹···q^m_s^s, q_i 的質數, r = s

pi= qi, ni= mi, ∀i ∈ {1,...,r}.

Proof. 性 性.

性: 性 1 的整數

( ) 質數的 . a 本 質數, a = p1 ( r = 1, n1= 1), 性.

a 質數 ? a₁, b₁∈ N a₁̸= 1, b1̸= 1 a = a₁· b1.

a1, b1 質數 . 質數, 質數 .

的數 . a 質

數的 . 的 , 的 , 數

. a = 2 2 質數, 性 的. 2

a− 1 的整數 性 的. a 質數, 性 . a 質數,

a = a1· b1 a1, b1∈ N 1 < a1< a 1 < b1< a. a1 b1

質數的 , a = a₁· b1 質數的 .

性,

a = pⁿ₁¹··· pⁿr^r = q^m₁¹···q^ms^s,

p₁, . . . , p_r 的質數, q₁, . . . , q_s 的質數. p₁ 質數,

p1|a = q^m₁¹···q^m_s^s Corollary 1.4.3 j∈ {1,...,s} p1|qj.

p1|q1. q1 質數, q₁ 的 數 ±1 ±q1. p1|q1 p1= q1. a

p1

= pⁿ₁¹⁻¹pⁿ₂²··· pⁿr^r = q^m₁¹⁻¹qⁿ₂²···q^ms^s.

a/p1< a, 性的 r = s p2= q₂, . . . , p_r= q_r

n1= m1, n2= m2, . . . , nr= mr, 性. 

整數 a 質數 a = pⁿ₁¹··· pⁿr^r , 性

質數 p_i 的 ni 的, a 的質 數 p₁, . . . , pr. 論

數 a, b , a b 的質 數 a, b 質數

的 . a = pⁿ₁¹··· pⁿ_r^r b = p^m₁¹··· p^m_r^r i∈ {1,...,r}, ni≥ 0

mi≥ 0. a 的質 數 b 的質 數, , ni, mi

0. 的 性 p_i a 的質 數, b 的質 數.

的 a, b 的 數 .

Proposition 1.5.2. a, b∈ N a, b > 1. a = pⁿ₁¹··· pⁿr^r b = p^m₁¹··· p^mr^r, p1, . . . , pr 質數 ni, mi ≥ 0, a, b 的 數 p^t₁¹··· p^t_r^r 的 , 0≤ ti≤ min{ni, m_i}. ,

gcd(a, b) = p^min{n₁ ^1,m1}··· p^min{nr ^r,mr}.

Proof. min{x,y} x, y 數. , i∈ {1,...,r},

di= min{ni, mi}. d a, b 的 數, d|a p d 的質 數, p|d p|a. Corollary 1.4.3 i∈ {1,...,r} p|pi. p, p_i 質數 p = pi. d 的質 數 {p1, . . . , pr} , d p^t₁¹··· p^t_r^r 的 , t_i≥ 0. i∈ {1,...,r} p^t_iⁱ|d p^t_iⁱ|a, p^t_iⁱ|pⁿ₁¹··· pⁿr^r. i̸= j pi̸= pj, gcd(p^t_iⁱ, pⁿ_j^j) = 1, 1.2.6(1) p^t_iⁱ|pⁿ_iⁱ. ti> n_i, p^ti−ni | 1

, ti≤ ni. d|b ti≤ mi, 0≤ ti≤ di.

gcd(a, b). p^d₁¹··· p^dr^r a, b 的 數. i∈ {1,...,r}, d_i≤ ni, p^d_i¹| pⁿ_iⁱ. p^d_iⁱ | a. i = 1, . . . , r p^d₁¹, . . . , p^d_r^r

質 Proposition 1.2.10 (2) p^d₁¹··· p^d_r^r| a. p^d₁¹··· p^d_r^r | b.

a, b 數 d. d = p^t₁¹··· p^tr^r 0≤ ti≤ di, 前 的 論 d| p^d₁¹··· p^dr^r.

gcd(a, b) = p^d₁¹··· p^d_r^r. 

Proposition 1.5.2 數 數 , (

的數 ) 質 數 的 ,