1 對數的意義

(1)

B2-1-3 對數班號：姓名：

本節提要

「對數」的概念是把乘除法變加減法的數學魔法. 而求對數其實就是在問「次數(指數)是多少?」。

b =a

log ab

log_aa=1 loga1=0

log_a b # c = log_ab Clog_ac logabⁿ=n#log

ab logaaⁿ=n log10ⁿ=n

loga

1

b =Klog

ab loga

1 a =K1

loga

b

c = log

abKlog

ac

loga= logcb logca

logab #log

bc= log

ac

logba= 1 logab

log1 a

b =Klog

ab

logambⁿ= n m #log

ab

1 對數的意義

2 對數的性質(對數律) 3 對數之應用

(2)

1 對數的意義

重點

對數的意義

求「對數」就是在問「次數(指數)是多少?」

8 =2³

乘方 8 = 2³ 底數(根式) 2=³ 8 對數(次數) 3=log

28 用2來乘成8需要自乘3次

b =aⁿ

乘方 b = aⁿ

底數(根式) a=ⁿ b 對數(次數) n=log

a b 用a來乘成b需要自乘n次

對數的定義

^設a O 0且a s 1, 對每一正實數b, 滿足關係式a^x= b之實數x=log

ab, 稱為「以

a為底之b的對數」,式中a稱為「底數」, b稱為「真數」.簡單的說,「對數」就是 指數(次數),而「真數」則是乘方(恆為正數的連乘積).

例如：q 243 =3⁵ r log

3243 =5 求對數log

ab就是在問「b是a的幾次方?」 b =a^x0 x =log

ab 或者說, 求對數log

ab就是在問「以a為底自乘成b所需的次數」 a #a#…#a

logab次

= b

真數恆正,因此log₂0或是log₂ K3 都是沒有意義(不存在)的數.

整理

log aC

s底數¹

b^C

真數

(3)

例題

例題1 對數的意義

老師講解 學生練習

試求下列各對數之值：

(1) log

28 (4) log

21 (2) log

22

(5) log

2

1 8 (3) log

2 2

試求下列各對數之值：

(1) log

381 (4) log

31 (2) log

33

(5) log

3

1 9 (3) log

3 ⁴ 3

[簡答] : (1)4 (2)1 (3)1

4 (4)0 (5) K2

例題2 對數的定義

已知log _{a K1} 5 K2 a 有意義,求a的範圍為何?

x 2 R, 若log

2 xK1 K3 x²C11 xK6 恆有意義, 則x的範圍為何?

[簡答]: 2

3 !x !3

(4)

2 對數的性質(對數律)

重點

對數律

公式 意義 舉例

b =a

log

ab 任意數均可表為其它數的

乘方 2=3

log 32

=13

log 132

=10

log102

logaa=1 相同為1 log

22=1

loga1=0 1的對數都是0 log

21=0 loga b # c = log

ab Clog

ac

真數相乘, 對數相加 log

106= log

102 Clog

103

logabⁿ=n# log

ab log_aaⁿ=n log10ⁿ=n

真數的指數, 是對數的係

數 log

ab³=3#log

ab log_aa³=3

log1000 = log10³=3

loga

1

b =Klog

ab loga

1 a =K1

真數取倒數, 對數變號

log2

1

3 =Klog

23 log2

1 2 =K1

loga

b

c = log

abKlog

ac

真數相除, 對數相減 log

105= log

1010Klog

102

log_ab= logcb logca

換底公式

log₈16= log216

log28 = 4 3

logab #log

bc= log

ac ^連鎖律 log

23 #log

34= log

24

logba= 1 logab

底與真數對調,對數變倒

數 log

23= 1 log32

log1 a

b =Klog

ab 底數取倒數, 對數變號

log1 2

3 =Klog

23

logambⁿ= m n #log

ab loganbⁿ= log

ab logamaⁿ= n

m

log

8

81 = log

233⁴= 4 3

#log

23 log

827 = log

233³= log₂3 log

816 = log

232⁴= 4 3

對數律進階

m,log_axCn,log_ayKp,log_az= log_a x^m#yⁿ z^p

(5)

整理

(6)

例題

例題3-1 對數化簡(對數律基本練習)

試求2

log 25

=? 試求3

log37 =?

[簡答] : 7

試求log₂2 =? ^試求log³3 =?

[簡答] : 1

試求log₂1? ^試求log³1 =?

[簡答] : 0

試求log₆4 Clog₆9 =? ^試求log₄2 Clog₄8 =?

[簡答] : 2

(7)

例題3-5A 對數化簡(對數律基本練習)

試求log₃8 =? ^試求log₂9 =?

[簡答] :2 log₂3

例題3-5B 對數化簡(對數律基本練習)

試求log₂8 =? ^試求log₃27 =?

[簡答] :3

例題3-5C 對數化簡(對數律基本練習)

試求log₁₀10000 =? ^試求log₁₀ 1

100 =?

[簡答] : -2

試求log₂1

8 =? ^試求log₃1

9 =?

(8)

試求log₂1

2 =? ^試求log₃1

3 =?

[簡答] : -1

試求log₂20 Klog₂5 =? ^試求log₆24 Klog₆2 3 =?

[簡答] : 2

試求log

816=? ^試求log⁹²⁷=?

[簡答] : 3 2

試求log

23 # log

34=? ^試求log³^{2 #log}²⁸¹=?

[簡答] : 4

(9)

試求log

82=? ^試求log⁸¹³=?

[簡答] : 1 4

試求log

1 2

4 =? 試求log

1 3

27 =?

[簡答] : -3

試求log

3281 =? 試求log

98 =?

[簡答] : 3 2 log₃2

試求log

827 =? 試求log

925 =?

[簡答] : log₃5

(10)

例題3-12C 對數化簡(對數律基本練習)

試求log

816 =? 試求log

927 =?

[簡答]: 3 2

例題4A 對數化簡(對數律應用)

試求log₃54 Clog₃6 K2 log₃2 =? ^試求2 log₆9 C4 log₆2

[簡答]:4

例題4B 對數化簡(對數律應用)

試求log₁₀ 4

5 Clog₁₀9

8 K log₁₀ 3 10 =?

試求

log₄28

15 K2 log₄ 3

14 C3 log₄6

7 K log₄ 2 5 =

?

[簡答]: 3

(11)

例題5 對數化簡(對數律應用)

試求 log₂3 Clog₄9 log₃4 C log₉2 =? ^試求 log₂5 Clog₈25 log₅8 Clog₂₅8 =?

[簡答]: 15 2

例題6A 對數律應用

已知log₁₀2 = a,log₁₀3 = b,試以a, b表示

log₂12

已知log₁₀2 = a,log₁₀3 = b,試以a, b表示log₃18

[簡答] : a b C2

例題6B* 對數律應用

已知log₂3= a, log₃11 = b,試以a, b表示

log₆₆44

已知log₂3 = a,log₃7 = b,試以a, b表示log₄₂56

[簡答] : 3 C ab 1 C a C ab

(12)

例題7 對數律應用(求值)

設x, y 2 R,若已知 2.5^x= 1000 0.25^y= 1000,試求

1 x K 1

y ^之值

設x, y 2 R,若已知 31^x= 100 310^y= 10

試求 2 x K 1

y ^之值

[簡答] : K1

(13)

3 對數之應用

3-1 對數方程式

重點

對數方程式

含對數記號(log)的方程式稱為"對數方程式",如： log_x8 = 3, log₂x= 16 a^x= b 0 x =log_ab

未知數出現在指數位置的方程式,亦可用對數觀念來處理,如：

3^x= 8 0 x =log₃8 (底不變)

log_ax= log_ay 0x = y (底相同,真數相等)

log_ax= log_bx 0a = b (真數相同,底相等)

x = y

0 10

^logx= 10^logy

0

log x = log y 相當於 ...兩邊取對數

log_axClog_ayKlog_az=n

0

log_a xy

z = log_aaⁿ

0

xy z =aⁿ

例題

例題8A 對數方程式的類別(未知數出現在底數)

試求方程式log_x8 = 3之解試求方程式log_x81 = 4之解 [簡答]: 3

例題8B 對數方程式的類別(未知數出現在真數)

試求方程式log₂x = 5之解試求方程式log₃x = 4之解 [簡答]: 81

(14)

例題8C 對數方程式的類別( 性的對數方程式)

試求方程式3^x= 8之解試求方程式2^x= 7之解 [簡答]: log₂7

例題9 對數方程式(未知數出現在真數)

試求方程式

log₁₀xClog₁₀ x K 1 = 1 Clog₁₀2之解

試求方程式

log₅3x C log₅ x K3 = log₅12之解 [簡答]: 4

例題10 對數方程式(未知數出現在真數)

試求方程式

log₂ x C3 Klog₂ x K1 = 1之解

試求方程式

log₂ x C 2 Klog₂ x K 1 = 1之解 [簡答]: 4

(15)

3-2 對數之應用

例題

例題11 對數之應用

目前國際上使用芮氏規模來表示地震的強度, 設E M (單位爾格)為地震芮氏規模M時所釋放出來的能量,其中M與E M 的關係如下：

log₁₀E M = 11.8 C1.5 M

(1)集集大地震的芮氏規模為7.3,試問其震央所釋放

的能量E 7.3 為多少爾格？

(2)如果芮氏規模a的地震所釋放的能量是芮氏規模4

的1000倍,則a大約是多少？

1 對數的意義

B2-1-3 對數 班號： 姓名：

本節提要

1 對數的意義

對數的意義

對數的定義

2 對數的性質(對數律)

對數律

對數律進階

3 對數之應用

3-1 對數方程式

對數方程式

0 10

0

0

0

3-2 對數之應用

B2-1-3 對數班號：姓名：