5.3. Transpose and Adjoint 125
(1) Ker(T∗) = Im(T )⊥ 且 Im(T∗) = Ker(T )⊥.
(2) T is one-to-one 若且唯若 T∗ is onto. T is onto 若且唯若 T∗ is one-to-one.
(3) Ker(T∗◦ T) = Ker(T) 且 Ker(T ◦ T∗) = Ker(T∗).
(4) Im(T∗◦ T) = Im(T∗) 且 Im(T◦ T∗) = Im(T ).
Proof.
(1) 設 w∈ Ker(T∗), 即 T∗(w) = OV, 此時對任意 v∈ V, 我們有
⟨T(v),w⟩ = ⟨v,T∗(w)⟩ = ⟨v,OV⟩ = 0,
得證 w∈ Im(T)⊥. 反之, 若 w∈ Im(T)⊥, 則對任意 v∈ V 皆有 0 = ⟨T(v),w⟩ = ⟨v,T∗(w)⟩.
故由 Lemma 5.1.4 得證 w∈ Ker(T∗). 另一方面, 若 v∈ Im(T∗), 表示存在 w∈ W 使得 v = T∗(w). 故對任意 v′ ∈ Ker(T), 皆有 ⟨v′, v⟩ = ⟨v′, T∗(w)⟩ = ⟨T(v′), w⟩ = ⟨OW, w⟩ = 0, 即 v∈ Ker(T)⊥. 得證 Im(T∗)⊆ Ker(T)⊥. 最後利用 Ker(T∗) = Im(T )⊥ 得
dim(Im(T∗)) = dim(W )− dim(Ker(T∗)) = dim(W )− dim(Im(T)⊥)
= dim(W )− (dim(W) − dim(Im(T))) = dim(Im(T))
又因 dim(Ker(T )⊥) = dim(V )− dim(Ker(T)) = dim(Im(T)) 得 dim(Im(T∗)) = dim(Ker(T )⊥) 故得證 Im(T∗) = Ker(T )⊥.
(2) 若 T is one-to-one, 則 Ker(T ) ={OV}. 故由 (1) 知 Im(T∗) = Ker(T )⊥={OV}⊥= V , 得證 T∗ 為 onto. 反之, 若 T∗ 為 onto, 得 Ker(T )⊥= V , 由 Corollary 5.1.14 知
Ker(T ) = (Ker(T )⊥)⊥= V⊥={OV}.
得證 T 為 one-to-one. 利用此結果將 T 用 T∗ 取代, 得知 T∗ 為 one-to-one 若且唯若 (T∗)∗= T 為 onto.
(3) 很明顯我們有 Ker(T )⊆ Ker(T∗◦ T). 現若 v ∈ Ker(T∗◦ T), 則
⟨T(v),T(v)⟩ = ⟨v,T∗(T (v))⟩ = ⟨v,OV⟩ = 0.
得證 T (v) = OW, 即 v∈ Ker(T). 利用此結果將 T 用 T∗取代, 再利用 (T∗)∗ 得 Ker(T◦T∗) = Ker(T∗).
(4) 很明顯我們有 Im(T∗◦ T) ⊆ Im(T∗). 然而由 (3) 我們有
dim(Im(T∗◦ T)) = dim(V) − dim(Ker(T∗◦ T)) = dim(V) − dim(Ker(T)) = dim(Ker(T)⊥), 再由 (1) Im(T∗) = Ker(T )⊥ 得知 dim(Im(T∗◦ T)) = dim(Im(T∗)),證得 Im(T∗◦ T) = Im(T∗).
利用此結果將 T 用 T∗ 取代, 得證 Im(T◦ T∗) = Im(T ).
Question 5.18. 試證明 Ker(T ) = Im(T∗)⊥ 且 Im(T ) = Ker(T∗)⊥.
對於 T : V → W 和它的 adjoint T∗: W → V 的 representative matrix 當然有一定的關係, 由於 adjoint 和 inner product 有關, 所以 V,W 所選的 ordered basis 應也要和 inner product 有關. 事實上若分別取 V 和 W 的 orthonormal basis 所組成的 ordered basisβ = (v1, . . . , vn)
126 5. Operators on Inner Product Spaces
和 γ = (w1, . . . , wm),且 T (vi) = c1,iw1+··· + cm,iwm, 則依定義 γ[T ]β 的 ( j, i)-th entry 為 cj,i. 然而因 {w1, . . . , wm} 為 W 的 orthonormal basis, 我們有 cj,i=⟨T(vi), wj⟩ = ⟨vi, T∗(wj)⟩. 另 一方面若 T∗(wj) = d1, jv1+··· + dn, jvn, 則 β[T∗]γ 的 (i, j)-th entry 為
di, j=⟨T∗(wj), vi⟩ = ⟨vi, T∗wj⟩ = cj,i.
也就是說β[T∗]γ 是將γ[T ]β 先取 transpose 再將每個 entry 取其 conjugate 而得. 我們有以 下的定義.
Definition 5.3.9. 假設 A∈ Mm×n(C) 且 B ∈ Mn×m(C). 對所有 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, 令 aj,i為 A 的 ( j, i)-th entry 且 bi, j 為 B 的 (i, j)-th entry. 若 bi, j= aj,i,∀i ∈ {1,...,n}, j ∈ {1,...,m}, 則稱 B 為 A 的 adjoint 且以 A∗ 來表示.
要注意, 依此定義 (A∗)∗= A, 且若 A∈ Mm×n(R), 則 A∗= At. 又依此定義, 我們有以下之 結果.
Proposition 5.3.10. 假設 V,W 為 finite dimensional inner product space, 且分別選取 V 和 W 的 orthonormal basis 所組成的 ordered basis β = (v1, . . . , vn) 和 γ = (w1, . . . , wm). 若 T : V → W 為 linear transformation 且 T∗: W → V 為 T 的 adjoint, 則
β[T∗]γ= (γ[T ]β)∗.
由 Proposition 5.3.10, 我們可將一個 linear transformation 的 adjoint 和一個 matrix 的 adjoint 相連結. 我們可以將 Proposition 5.3.7, 5.3.8 換成有關 matrix 的 adjoint 的性質.
另外要注意的是在 Theorem 5.3.5 中我們強調一個 linear transformation 的 adjoint 是 唯一的, 這是在給定一個 inner product 的條件之下. 在不同的 inner product 之下, 一個 linear transformation 會有不同的 adjoint, 我們看以下的例子.
Example 5.3.11. 考慮 T :R3→ R3 定義為
T (x1, x2, x3) = (4x1+ x2+ 2x3, 4x1+ 4x2+ 4x3, 2x1+ x2+ 4x3).
考慮R3 上兩個 inner products⟨ , ⟩ 以及 ⟨⟨ , ⟩⟩, 其中 ⟨ , ⟩ 為 standard inner product, 即
⟨(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)⟩ = x1y1+ x2y2+ x3y3. 而 ⟨⟨ , ⟩⟩ 的定義為
⟨⟨(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)⟩⟩ = x1y1+1
4x2y2+ x3y3.
若考慮R3 為 standard inner product space, 則 ε = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} 為 R3 的 一組 ordered orthonormal basis. 此時 [T ]ε =
4 1 2 4 4 4 2 1 4
, 故由 Proposition 5.3.10 得
[T∗]ε=
4 4 2 1 4 1 2 4 4
, 即此時 T∗(x1, x2, x3) = (4x1+ 4x2+ 2x3, x1+ 4x2+ x3, 2x1+ 4x2+ 4x3).
5.4. The Adjoint of Linear Operators 127
若考慮R3 為以⟨⟨ , ⟩⟩ 為 inner product 的 inner product space, 則可取 β = {(1,0,0),(0,2,0),(0,0,1)}
為 R3 的一組 ordered orthonormal basis. 此時 [T ]β=
4 2 2 2 4 2 2 2 4
, 由 Proposition 5.3.10
得 [T∗]β=
4 2 2 2 4 2 2 2 4
, 故知此時 T∗= T , 即
T∗(x1, x2, x3) = (4x1+ x2+ 2x3, 4x1+ 4x2+ 4x3, 2x1+ x2+ 4x3).
5.4. The Adjoint of Linear Operators
這一節中我們特別要探討一個 linear operator T : V → V 的 adjoint. 我們也會探討一 些特別的 operator 的 adjoint. 所以本節中的 vector space V 永遠是一個 finite dimensional inner product space over F, 其中 F =C 或 F = R.
當 T : V → V 為 linear operator, 則其 adjoint T∗: V → V 亦為 linear operator. 所以 對任意 f (x)∈ F[x], f (T∗) 亦有定義且為 linear operator. 我們對任意 f (x)∈ F[x], f (T) 的 adjoint 為何有興趣. 首先若 f (x) = cnxn+···+c1x + c0, 我們定義 f (x) = cnxn+···+c1x + c0, 則有以下結果.
Lemma 5.4.1. 若 T : V → V 為 linear operator, 則對任意 f (x) ∈ F[x] 皆有 ( f (T ))∗= f (T∗).
Proof. 首先由 Proposition 5.3.7(2) 知 (T◦n)∗= (T∗)◦n. 故若 f (x) = cnxn+··· + c1x + c0, 則 再由 Proposition 5.3.7(1)(3) 得證
( f (T ))∗ = (cnT◦n+··· + c1T + c0idV)∗= cn(T◦n)∗+··· + c1T∗+ c0idV∗
= cn(T∗)◦n+··· + c1T∗+ c0idV = f (T∗).
由 Proposition 5.3.10 以及 Lemma 5.4.1, 我們馬上可以得到 T 和 T∗ 的 characteristic polynomialsχT(x) 和χT∗(x) 之間的關係, 以及它們的 minimal polynomialsµT(x) 和µT∗(x) 之間的關係.
Lemma 5.4.2. 若 T : V → V 為 linear operator, 則
χT∗(x) =χT(x) and µT∗(x) =µT(x).
Proof. 由於 characteristic polynomial 與 ordered basis 的選取無關, 所以我們特別選取 V 的一組 orthonormal basis 所組成的 ordered basis β. 由 Proposition 5.3.10 知 [T∗]β = ([T ]β)∗, 故得 χT∗(x) =χT(x).
