在Fn 中, 我們有一個最簡單的 basis, 即 standard basis{e1

4.3. Matrix Representation

給定一個 matrix A∈ Mm×n(F), 前面我們已知可以定義出一個 linear transformation T : Fⁿ→ F^m, 其定義為 T (v) = Av,∀v ∈ Fⁿ. 在這一節中, 我們要說明所有的 Fⁿ 到 F^m 的 linear transformations 都可以寫成這樣的形式, 並將此概念推廣到一般 linear spaces 之間的 linear transformation. 也就是說, 我們將 linear transformation 和 matrix 相連結並推得一些重要 的性質.

4.3.1. Fⁿ 到 F^m 的 linear transformations. 前面 Theorem 4.1.8 告訴我們給定一個 linear transformation, 只要知道此 linear transformation 將一組Fⁿ 的 basis 對應到哪些向 量, 就可以唯一確定這一個 linear transformation. 在Fⁿ 中, 我們有一個最簡單的 basis, 即 standard basis{e1, . . . , e_n}. 若 T : Fⁿ→ F^m 是一個 linear transformation, 由前面所述, 我們 僅要知道 T (e₁), . . . , T (en) 是哪些F^m 的 vectors, 就可以知道任意 v∈ Fⁿ, T (v) 為何了.

事實上對於每一個 v∈ Fⁿ, 都可以找到 c1, . . . , cn∈ F 使得 v = c1e₁+··· + cne_n, 也就是

說此時 v 的坐標表示法為 v =





 c1

c2

... cn





. 因此由 T 為 linear, 得 T (v) = T (c₁e₁+··· + cne_n) =

c1T (e1) +··· + cnT (en). 現若考慮 m× n matrix A, 其中 A 的 i-th column 為 T(ei), 則

Av =



   

T (e₁) T (e₂) ··· T(en)









 c1

c2

... cn





= c₁T (e₁) +··· + cnT (e_n) = T (v).

也就是說對任意 v∈ Fⁿ, 皆有 T (v) = Av. 因此 T 就等同於將 v 左邊乘上 A 這一個矩陣這樣 的 linear transformation. 我們有以下這一個重要的定理.

Theorem 4.3.1. 給定一個 Fⁿ 到 F^m 的 function T . 則 T 為 linear transformation 若且唯 若存在一個 m× n matrix A 使得 T(v) = Av, ∀v ∈ Fⁿ. 此 m× n matrix A 是唯一的, 事實上 對任意 i = 1, . . . , n, A 的 i-th column 為 T (ei), 其中 {e1, . . . , en} 為 Fⁿ 的 standard basis.

Proof. 由 Lemma 4.1.5 我們知道, 若 T (v) = Av, ∀v ∈ Fⁿ, 則 T 為 linear transformation.

反之, 若 T :Fⁿ→ F^m 為 linear transformation, 如前面所討論的, 我們可以考慮 A 為 i-th column 為 T (e_i) 的 m× n matrix, 則由矩陣乘法性質知 T(v) = Av, ∀v ∈ Fⁿ.

現若 B 為 m× n matrix 亦滿足 T(v) = Bv, 依矩陣乘法定義知對任意 i = 1,...,n, Bei 為 B 的 i-th column. 但由假設 Bei = T (e_i), 亦即 B 的 i-th column 為 T (e_i). 因此 B 的所有

column 皆與前述 A 的 column 相一致, 證得唯一性. 

簡 單 來 說 Theorem 4.3.1 告 訴 我 們 從 Fⁿ 到 F^m 的 linear transformations 和 m× n matrices 之間有一個一對一的對應關係 (注意矩陣階數與定義域, 對應域之間的關係). 由於 一個 linear transformation 和其對應的 m× n matrix 關係特別密切, 我們有以下的定義.

Definition 4.3.2. 假設 T :Fⁿ→ F^m 為 linear transformation 且{e1, . . . , e_n} 為 Fⁿ 的 stan- dard basis. 則對於 i = 1, . . . , n, 其 i-th column 為 T (ei) 的 m× n matrix 稱為 T 的 standard matrix representation.

由於 T 的 standard matrix representation 是唯一的且和 T 有關, 以後我們都用 [T ] 來 表示 T 的 standard matrix representation. 也就是說對任意 v∈ Fⁿ, 我們有 T (v) = [T ]v.

Example 4.3.3. 我們探討 Example 4.2.5 中的 linear transformation 其 standard matrix representation.

(1) 考慮 T :R³→ R² 定義為 T (



 x1

x2

x3



) =[

x1+ x₂ x1− x3

] . 由於

T (e1) = T (



1 0 0



) =[ 1 1 ]

, T (e2) = T (



0 1 0



) =[ 1 0 ]

, T (e3) = T (



0 0 1



) =[ 0

−1 ]

, 故得

[T ] =



    T (e₁) T (e₂) T (e₃)



 =[

1 1 0 1 0 −1

] . 事實上我們有

[T ]



x1

x2

x3



 =[

1 1 0 1 0 −1

]x1

x2

x3



 =[

x1+ x2

x1− x3

]

= T (



 x1

x2

x3



).

(2) 考慮 T :R²→ R³ 定義為 T ( [ x1

x2

] ) =



 x₁ x1+ x₂ x1− x2



. 由於

T (e1) = T ( [1

0 ]

) =



1 1 1



,T(e₂) = T ( [0

1 ]

) =



 0 1

−1



,

故得

[T ] =



   T (e₁) T (e₂)



 =



 1 0 1 1 1 −1



.

事實上我們有

[T ] [x1

x2

]

=



 1 0 1 1 1 −1



[ x1

x2

]

=



 x1

x1+ x2

x1− x2



 = T([ x1

x2

] ).

有了 standard matrix representation, 我們就可以利用以下的定理幫助我們找出它的的 range 和 null space.

Proposition 4.3.4. 假設 T :Fⁿ→ F^m 為 linear transformation 且令 [T ]∈ Mm×n(F) 為其 standard matrix representation. 則 T 的 range 等於 [T ] 的 column space, 而 T 的 null space 等於 [T ] 的 null space.

Proof. 由於 e₁, . . . , e_n 為 Fⁿ 的一組 basis, 由 Proposition 4.2.4 我們知 T 的 range, 即 R(T ) = Span(T (e₁), . . . , T (e_n)). 然而 T (e₁), . . . , T (e_n) 剛好就是 [T ] 的 n 個 column, 故由定 義 Span(T (e1), . . . , T (en)) 就是 [T ] 的 column space. 得證 T 的 range 就是 [T ] 的 column space.

另一方面, 若 v∈ N(T), 表示 T(v) = 0. 然而依 standard matrix representation 之定義 T (v) = [T ]v, 故得 [T ]v = 0, 亦即 v 屬於 [T ] 的 null space. 得證 N(T ) 包含於 [T ] 的 null space. 反之, 若 v 屬於 [T ] 的 null space, 表示 [T ]v = 0, 亦即 T (v) = 0, 得證 v∈ N(T). 證明 了 [T ] 的 null space 包含於 N(T ), 因此 T 的 null space 等於 [T ] 的 null space. 

回顧一個矩陣 A 的 column space 的維度, 我們稱為 A 的 rank, 用 rank(A) 來表示. 而 A 的 null space 的維度稱為 A 的 nullity, 用 nullity(A) 來表示 (參見 Definition 3.6.13). 由 Proposition 4.3.4, 我們知道 T 的 range 的維度等於 rank([T ]), 而 T 的 null space 的維度等 於 nullity([T ]), 也就是說我們有以下的結果.

Corollary 4.3.5. 假設 T :Fⁿ→ F^m 為 linear transformation 且令 [T ]∈ Mm×n(F) 為其 standard matrix representation. 則

rank(T ) = dim(R(T )) = rank([T ]) and nullity(T ) = dim(N(T )) = nullity([T ]).

因為這個原因一般我們也稱 T 的 range 的維度為 T 的 rank, 而 T 的 null space 的維度 稱為 T 的 nullity. 這更進一步的強調了 linear transformation 以及 matrix 之間的關係. 例 如我們也很容易利用 linear transformation 的 Dimension Theorem (Theorem 4.2.9) 推得矩 陣的 Dimension Theorem (Theorem 3.6.14).

Example 4.3.6. 我們利用 Example 4.3.3 中的 linear transformation 及其 standard matrix representation 探討其 range 和 null space.

(1) 考慮 T :R³→ R² 定義為 T (



 x₁ x2

x3



) =[

x₁+ x₂ x1− x3

]

, 以及其 standard matrix repre-

sentation [T ] =

[ 1 1 0 1 0 −1

]

. 由於 [T ] 的 column space 為 Span(

[1 1 ]

, [1

0 ]

, [ 0

−1 ]

) =R². 因 此由 Proposition 4.3.4 我們有 R(T ) =R² (此與 Example 4.2.5(1) 一致). 另一方面, [T ] 的 null space 為聯立方程組 [T ]x = 0, 即

{ x1 +x2 = 0

x1 −x3 = 0 ∼

{ x1 +x2 = 0

−x2 −x3 = 0

的解集合. 因此由 Proposition 4.3.4 我們有 N(T ) = Span(



 1

−1 1



) (此與 Example 4.2.7(1) 一 致).

(2) 考慮 T :R²→ R³定義為 T ( [ x₁

x2

] ) =



 x₁ x1+ x₂ x1− x2



, 以及其 standard matrix represen-

tation [T ] =



 1 0 1 1 1 −1



. 由於 [T] 的 column space 為 Span(



1 1 1



,



 0 1

−1



). 因此由 Proposition

4.3.4 我們有 R(T ) = Span(



1 1 1



,



 0 1

−1



) (此與 Example 4.2.5(2) 一致). 另一方面, [T] 的 null space 為聯立方程組 [T ]x = 0, 即





x1 = 0

x1 +x2 = 0 x1 −x2 = 0

∼

{ x1 = 0 x2 = 0

的解集合. 因此由 Proposition 4.3.4 我們有 N(T ) ={ [0

0 ]

} = {0} (此與 Example 4.2.7(2) 一 致).

當 T₁, T₂ 皆為 Fⁿ 到 F^m 的 linear transformation 時, 對任意 c₁, c₂∈ F, 我們可以利用它 們得到一個新的Fⁿ 到 F^m的 linear transformation c₁T1+ c2T2 (參見 Proposition 4.1.6). 我 們自然會想知道 c₁T₁+ c₂T₂ 的 standard matrix representation 和 T₁, T₂的 standard matrix representation 是否有關. 另外, 若 T 為F^m 到F^k 的 linear transformation, 我們可得合成函 數 T◦ T1 為 Fⁿ 到 F^k 的 linear transformation (參見 Proposition 4.1.7). 同樣的, 我們要探 討 T◦ T1 的 standard matrix representation 和 T₁, T 的 standard matrix representation 是 否有關.

Lemma 4.3.7. 設 T1, T2 為 Fⁿ 到F^m 的 linear transformations, 而 T 為F^m 到F^k 的 linear transformation. 令 [T₁], [T₂]以及 [T ] 分別為 T₁, T₂ 和 T 的 standard matrix representation.

(1) 對任意 c₁, c₂∈ F, 皆有 c1T₁+ c₂T₂:Fⁿ→ F^m 的 standard matrix representation 為 c1[T₁] + c₂[T₂], 亦即

[c₁T₁+ c₂T₂] = c₁[T₁] + c₂[T₂].

(2) T◦ T1:Fⁿ→ F^k 的 standard matrix representation 為 [T ][T₁],亦即 [T◦ T1] = [T ][T₁].

Proof. (1) 依定義對任意 v∈ Fⁿ, 我們有 (c1T1+ c2T2)(v) = c1T1(v) + c2T2(v). 又依 standard matrix representation 的定義 T₁(v) = [T₁]v, T₂(v) = [T₂]v, 故依矩陣乘法的分配律得

(c1T1+ c2T2)(v) = c1[T1]v + c2[T2]v = (c1[T1] + c2[T2])v.

換言之, c₁[T₁] + c₂[T₂]是一個 m× n matrix 且滿足 c1T₁+ c₂T₂:Fⁿ→ F^m的 standard matrix representation 之要求, 故由 standard matrix representation 的唯一性 (Theorem 4.3.1) 知 [c₁T₁+ c₂T₂] = c₁[T₁] + c₂[T₂].

(2) 依定義對任意 v∈ Fⁿ, 我們有 (T ◦ T1)(v) = T (T₁(v)). 又依 standard matrix rep- resentation 的定義 T1(v) = [T₁]v, 故得 (T◦ T1)(v) = T ([T₁]v). 又依定義, 對任意 w∈ F^m 皆 有 T (w) = [T ]w, 故 得 (T◦ T1)(v) = T ([T1]v) = [T ]([T1]v). 再 依 矩 陣 乘 法 的 結 合 律 得 [T ]([T₁]v) = ([T ][T₁])v. 換言之, [T ][T₁]是一個 k×n matrix 且滿足 T ◦T1:Fⁿ→ F^k 的 standard matrix representation 之要求 (T◦ T1)(v) = ([T ][T1])v, 故由 standard matrix representation 的唯一性 (Theorem 4.3.1) 知 [T◦ T1] = [T ][T₁].  Example 4.3.8. 我們利用 Example 4.3.3 中的 linear transformations 及其 standard matrix representations 探討它們的合成函數.

考慮 T :R³→ R² 定義為 T (



 x1

x2

x3



) =[

x1+ x2

x1− x3

]

. 我們知 T 的 standard matrix repre-

sentation 為 [T ] =

[ 1 1 0 1 0 −1

]

.另外考慮 T^′:R²→ R³ 定義為 T^′( [ x1

x2

] ) =



 x1

x1+ x2

x₁− x2



.

我 們 知 T^′ 的 standard matrix representation 為 [T^′] =



 1 0 1 1 1 −1



. 依 合 成 函 數 定 義

T^′◦ T : R³→ R³ 滿足 (T^′◦ T)(



 x1

x2

x₃



) = T^′(

[ x1+ x2

x₁− x3

] ) =



 x1+ x2

(x1+ x2) + (x1− x3) (x₁+ x₂)− (x1− x3)



 =



 x1+ x2

2x1+ x2− x3

x₂+ x₃



.

依此結果, 我們得 T^′◦ T 的 standard matrix representation 為 [T^′◦ T] =



 1 1 0 2 1 −1 0 1 1



. 另

一方面, 考慮矩陣乘法, 我們有 [T^′][T ] =



 1 0 1 1 1 −1



[

1 1 0 1 0 −1

]

=



 1 1 0 2 1 −1 0 1 1



. 的確

得到 [T^′◦ T] = [T^′][T ].

我們利用 matrix 來幫助我們了解 linear transformation. 反過來, 我們也可以利用 linear transformation 來幫助我們了解 matrix 的性質. 例如當 T :Fⁿ→ F^m, T^′:F^m→ F^k 為 linear transformations. 由於 T 的 range 是F^m 的 subspace, 即 R(T ) = T (Rⁿ)⊆ R^m, 我們有 (T^′◦ T)(Rⁿ) = T^′(T (Rⁿ))⊆ T^′(R^m). 也就是說 T^′◦ T : Rⁿ→ R^k 這一個 linear transformation 的 range 是包含於 T^′ 的 range, 即 R(T^′◦T) ⊆ R(T^′). 利用 subspace 之間 dimension 的關係 (Proposition 2.6.11(4)), 我們得 rank(T^′◦ T) ≤ rank(T^′). 因此當 A∈ Mm×n(F), B ∈ Mk×m(F), 我們可以推得 Col(BA)⊆ Col(B) 且 rank(BA) ≤ rank(B) (Proposition 3.6.16(1)).

Question 4.12. 假設 T :Fⁿ→ F^m, T^′:F^m→ F^k 為 linear transformations. 證明 N(T )⊆ N(T^′◦T), 並依此證明若 A ∈ Mm×n(F), B ∈ Mk×m(F), 則 N(A) ⊆ N(BA) 且 rank(BA) ≤ rank(A).

4.3.2. Coordinatization. 我們將介紹一種很重要的 linear transformation, 就是將一個 vector space 裡的元素坐標化. 利用坐標化我們可以將抽象的 vector space 的問題, 化成具 體的Fⁿ 空間的問題處理.

假設 V 是 finite dimensional vector space, 選定 V 的一組 basis, 我們可以將此組 basis 裡的元素排序, 並固定這個順序不變, 那麼這樣的一組有順序的 basis, 我們稱之為 ordered basis (有序基底). 這裡要特別強調, 即使 basis 裡的元素相同但排序不同, 我們也視為相異 的 ordered basis. 所以一般在談論 ordered basis 時, 我們會用 (v₁, . . . , v_n)來表示, 以強調其 順序. 舉例來說

([1 0 ]

, [0

1 ])

和 ([0

1 ]

, [1

0 ])

就是R² 中兩組不同的 ordered basis.

有時為了方便起見, 給了一組 ordered basis 後, 我們會用一個符號來表示這一組 ordered basis. 例如給定 β = (v1, . . . , vn) 為 V 的一組 ordered basis, 我們就會 β 來表示這一組 ordered basis (v₁, . . . , v_n). 對於 Fⁿ 的 standard basis, 我們通常用ε 來表示 (e1, . . . , e_n) 這一 組 ordered basis.

有了 vector space V 的一組 ordered basisβ = (v1, . . . , v_n)後, 我們就可以將 V 中的元素

“坐標化” (coordinatization). 意思就是對任意 v∈ V, 我們利用 β 這一組 ordered basis 將 v 寫成 v = c₁v₁+··· + cnv_n 後,



 c1

... cn



 就是利用 β 將 v 坐標化後所得的坐標表示法. 為了方便,

我們就用 [v]_β 來表示利用β 將 v 坐標化後所得的坐標. 坐標化的好處是, 我們可以將 [v]_β 看成是Fⁿ 中的一個向量. 這樣我們就可以將較抽象的 vector space 中的元素, 看成是Fⁿ 中 的向量來處理.

Example 4.3.9. 我們看看前面提過的幾個 vector space 坐標化的情形.

(A) 考慮 M2×2(F) 及其 ordered basis ε =

([ 1 0 0 0

] ,

[ 0 1 0 0

] ,

[ 0 0 1 0

] ,

[ 0 0 0 1

])

(通常我們稱這一組 basis 為 M2×2(F) 的 standard basis). 對於任意 M2×2(F) 中的元素 [ a b

c d ]

, 由於 [ a b

c d ]

= a [ 1 0

0 0 ]

+ b [ 0 1

0 0 ]

+ c [ 0 0

1 0 ]

+ d [ 0 0

0 1 ]

,

我們得

[ a b c d

]

利用ε 所得的坐標表示法為

[[ a b c d

]]

ε

=





 a b c d





.

例如在 M_2×2(R), 我們有

[[ 1 −2

−3 4 ]]

ε

=





 1

−2

−3 4





.

(B) 在 P₂(F) 中通常我們會稱 1,x,x² 這組 basis 為 standard basis. 考慮ε = (1,x,x²)這 組 ordered basis. 很容易看出在 P₂(R) 中, 2x²− 3x + 4 用ε 所得的坐標為



 4

−3 2



, 所以我們

有

[2x²− 3x + 4]ε =



 4

−3 2



.

我們也可考慮 ordered basisβ = (p1(x), p2(x), p3(x)) 其中

p1(x) =−(x − 1)(x + 1), p2(x) = (1/2)x(x + 1) and p3(x) = (1/2)x(x− 1) (參見 Example 2.6.12). 由於

p₁(0) = 1, p₁(1) = p₁(−1) = 0; p2(1) = 1, p₂(0) = p₂(−1) = 0; p3(−1) = 1, p3(0) = p₃(1) = 0, 若 2x²−3x+4 = c1p1(x) + c₂p2(x) + c₃p3(x), 則分別代 x = 0, 1,−1, 可得 c1= 4, c₂= 3, c₃= 9.

故

[2x²− 3x + 4]_β=



4 3 9



.

(C) 我們也可將Fⁿ 中的向量用不同的 ordered basis 坐標化. 例如在R³ 中考慮 ordered basisβ = (



1 1 1



,



0 1 1



,



1 0 1



). 若要求向量



1 2 3



 以 β 為 ordered basis 的坐標表示, 我們要求 出 c₁, c₂, c₃∈ R 滿足



1 2 3



 = c₁



1 1 1



 + c₂



0 1 1



 + c₃



1 0 1



 =



 1 0 1 1 1 0 1 1 1







c₁ c₂ c₃



.

解聯立方程組得, c₁= 0, c₂= 2, c₃= 1, 故得



1 2 3





β

=



0 2 1



.

要注意這裡我們有



1 2 3





ε

=



1 2 3



, 其中 ε 為 R³ 的 standard ordered basis (e₁, e₂, e₃). 這是因 為我們原來就是用 standard ordered basisε 來將所有 R³ 的向量的坐標化.

給定 V 的一組 ordered basisβ = (v1, . . . , v_n),將 V 中的元素利用 β 坐標化, 其實就定出 了一個從 V 到Fⁿ 的函數 T_β : V → Fⁿ, 其中對任意 v∈ V, 我們有 T_β(v) = [v]_β. 為什麼這是 一個函數呢? 因為 v₁, . . . , v_n 為 V 的一組 basis, 所以由{v1, . . . , v_n} 是 V 的 spanning set, 可 得任意的 v∈ V 確實都存在 c1, . . . , cn∈ F 使得 v = c1v₁+···+cnv_n. 所以 T_β 確實可以將每個 定義域中的元素 v 對應到對應域 Fⁿ 中的向量



 c₁

... c_n



. 而且這個對應關係是 well-defined, 也

就是說不會有將同一個 v 對應到Fⁿ 中兩個不同向量的情況. 這是因為 v₁, . . . , v_n 為 linearly independent, 所以每個 v∈ V, 僅有一組 c1, . . . , c_n∈ F 會使得 v = c1v₁+··· + cnv_n.

既然 T_β: V → Fⁿ 是一個 well-defined 的函數, 那它會是 linear transformation 嗎? 答案 是肯定的. 考慮 v, w∈ V 且假設 v = c1v₁+··· +cnv_n, w = d1v₁+··· +dnv_n, 其中 c1, . . . , cn與 d₁, . . . , d_n 皆屬於F. 依定義我們有

T_β(v) = [v]_β=



 c1

... cn



 and Tβ(w) = [w]_β=



 d1

... dn



.

對於任意 r∈ F, 由於

v + rw = (c₁v₁+··· + cnv_n) + r(d₁v₁+··· + dnv_n) = (c₁+ rd₁)v₁+··· + (cn+ rd_n)v_n, 我們有

T_β(v + rw) = [v + rw]_β=





c1+ rd1

... cn+ rdn



 =



 c1

... cn



 + r



 d1

... dn



 = Tβ(v) + rT_β(w).

得證 T_β: V → Fⁿ 為 linear transformation.

T_β: V → Rⁿ 不只是 linear transformation, 事實上 T_β : V → Rⁿ 是 one-to-one 且 onto.

要檢查 T_β 為 one-to-one, 我們僅要檢查 N(T_β) ={0} 即可 (參見 Proposition 4.2.6). 然而 若 v∈ N(T_β), 表示 v 用β 的坐標表示法是 Fⁿ 中的零向量, 亦即 v = c₁v₁+··· + cnv_n, 其中 c₁=··· = cn= 0. 很自然的, 這表示 v = 0, 故知 N(T_β) ={0}. 要檢查 T_β 為 onto, 我們可以利 用 T_β(v_i) = e_i, ∀i = 1,...,n, 故得證 R(T_β) = Span(T_β(v₁), . . . , T_β(v_n)) = Span(e₁, . . . , e_n) =Fⁿ (參見 Proposition 4.2.4), 即 T_β 為 onto. 我們證得了以下的定理.

Theorem 4.3.10. 假設 V 為 vector space over F, dim(V) = n 且 β 為 V 的一組 ordered basis. 考慮 T_β : V→ Rⁿ 定義為 T_β(v) = [v]_β, ∀v ∈ V. 則 T_β 為 linear transformation 且是 one-to-one 以及 onto.

一般來說當一個 linear transformation T : V→ W 是 one-to-one 且 onto 時, 為了方便 以及強調其特殊性, 我們會稱 T 為一個 isomorphism. 知道 T_β : V → Fⁿ 為 isomorphism 的 好處就是, 以後我們要探討 V 中元素的性質, 我們可以利用 T_β, 將問題轉換成大家熟悉的 Fⁿ 中的向量的性質. 例如我們要判斷 V 中的元素 w₁, . . . , wk 是否為 linearly independent.

我們可以先找到一組 V 的 ordered basis β, 然後考慮 [w1]_β, . . . , [w_k]_β, 這一組Fⁿ 中的向量.

利用我們熟悉的判斷Fⁿ 中向量是否為 linearly independent 的方法判斷 [w₁]_β, . . . , [w_k]_β 是 否為 linearly independent. 由於對於 i = 1, . . . , k, [wi]_β= T_β(wi), 因此由 T_β 為 isomorphism 以後我們會知道 w₁, . . . , w_k 為 linearly independent 若且唯若 [w₁]_β, . . . , [w_k]_β 為 linearly independent (參見 Proposition 4.4.4). 因此我們可以由 [w1]_β, . . . , [wk]_β 是否為 linearly independent, 來決定 w₁, . . . , w_k 是否為 linearly independent. 我們看以下的例子.

Example 4.3.11. 我們看利用坐標化來處理一般 vector space 是否 linear independent 的 問題.

(A) 考慮 P₂(R) 中 3 個非零多項式 f2(x), f₁(x), f₀(x), 其次數分別為為 2, 1, 0 的多項式.

假設 f₂(x) = ax²+ bx + c, f₁(x) = dx + e, f₀(x) = r 其中 a, d, r 皆不等於 0. 我們利用 P₂(R) 的 standard ordered basisε = (1,x,x²), 可得

[ f₂(x)]_ε=



c b a



, [ f₁(x)]_ε=



e d 0



 and [ f0(x)]_ε=



r 0 0



.

由於 a, d, r 皆不等於 0, 很容易看出矩陣



 c e r b d 0 a 0 0





的 rank 為 3, 亦即 [ f2(x)]_ε, [ f1(x)]_ε, [ f0(x)]_ε 為 linearly independet. 因此得證 f₂(x), f1(x), f₀(x) 為 linearly independent. 再由 dim(P₂(R)) = 3, 得證 f0(x), f₁(x), f₂(x) 為 P₂(R) 的一組 basis.

我 們 可 以 將 這 個 結 果 推 廣 到 P_n(R). 也就是說考慮 Pn(R) 中 n + 1 個非零多項式 f0(x), . . . , fn(x), 其中對於 i = 0, . . . , n, fi(x) 是次數為 i 的多項式. 利用對 standard ordered basisε = (1,x,...,xⁿ) 坐標化, 我們可得 f₀(x), . . . , f_n(x) 為 P_n(R) 的一組 basis.

(B) 假設 V 為 vector space overR, 且 v1, v₂, v₃, v₄∈ V 為 linearly independent. 令 w₁= v₁ −v2 +2v₃ +v₄

w₂= 2v1 −2v2 +4v3 +2v4

w₃= v₁ +v3 +v4

w₄= v₂ +v₄

w₅= −v1 +v₂ −v3

.

我們要找出 W = Span(w1, w2, w3, w4, w5) 的一組 basis.

考慮 U = Span(v1, v2, v3, v4),因為 v₁, v2, v3, v4為 linearly independent, 我們知 v₁, v2, v3, v4

為 U 的一組 basis. 由於 w₁, . . . , w₅∈ U, 我們知 W 為 U 的 subspace. 我們的想法是利用 β = (v1, v₂, v₃, v₄)這組 U 的 ordered basis 將 U 的元素坐標化. 由於 w₁, . . . , w₅∈ U, 我們可 以將 w₁, . . . , w₅ 坐標化, 得 [w₁]_β, . . . , [w₅]_β 這 5 個 R⁴ 中的向量. 利用過去我們知道求R⁴ 中 Span([w₁]_β, . . . , [w₅]_β) 的 basis 的方法求出一組 basis. 再將它們還原成 U 中的元素, 就 得到 W 的一組 basis.

現由於

[w1]_β=





 1

−1 2 1





,[w²]_β =





 2

−2 4 2





,[w³]_β=





 1 0 1 1





,[w⁴]_β =





 0 1 0 1





,[w⁵]_β=







−1 1

−1 0







我們考慮以它們為 column 的 4× 5 matrix 並利用 elementary row operations 將之化為 echelon form 得 





1 2 1 0 −1

−1 −2 0 1 1

2 4 1 0 −1 1 2 1 1 0













1 2 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0





.

由於 echelon form 的 1-st, 3-rd, 4-th column 為 pivot 所在位置, 故知 [w₁]_β, [w₃]_β, [w₄]_β 為 Span([w1]_β, . . . , [w₅]_β) 的一組 basis (參見 Proposition 3.6.8). 由於 T_β 為 isomprphism 保持 spanning set 以及 linearly independent 的性質, 我們得 w1, w3, w4 為 W 的一組 basis.

Question 4.13. 考慮 Example 4.3.11 (B) 中的 v₁, v₂, v₃, v₄ 以及 w₁, w₂, w₃, w₄, w₅. 試問 dim(Span(w1, w₂, w₃, w₄, w₅))為何? 並將 w₂, w₅ 寫成 w₁, w₃, w₄ 的 linear combination.

4.3.3. Matrix Representation of general linear transformation. 當 V,W 分別為 dimension 為 n, m 的 vector space over F. 我們可以透過 V,W 的 ordered basis, 將 V,W 的 元素轉換成Fⁿ 和 F^m 的 vector. 因此我們可以將 V 到 W 的 linear transformation T 視為 Fⁿ 到 F^m 的 linear transformation, 而談論 T 的 matrix representation.

分別給定 V,W 的一組 ordered basisβ = (v1, . . . , v_n)以及γ = (w1, . . . , w_m). 令 T_β: V→ Fⁿ 與 T_γ: W → F^m 分別為利用β 以及 γ 將 V, W 的元素坐標化的 linear transformation. 回顧 一下, 這裡 T_β, T_γ 皆為 isomorphism. 由於 isomorphism 是 one-to-one 且 onto, 故其反函數 是存在的, 且將來我們會證明此反函數仍為 linear transformation (參見 Theorem 4.4.3). 現 對於任意 V 到 W 的 linear transformation T , 我們考慮合成函數 T_γ◦ T ◦ T_β⁻¹:Fⁿ→ F^m. 由 於 T_γ, T 以及 T_β⁻¹ 皆為 linear transformation, 所以 T_γ◦ T ◦ T_β⁻¹ 是一個 Fⁿ 到 F^m 的 linear transformation (Proposition 4.1.7). 因此 T_γ◦T ◦T_β⁻¹有一個 standard matrix representation, 我們定義這個 standard matrix representation 為 T 相對於β, γ 這兩組 ordered basis 所得 的 matrix representation, 並用 [T ]^γ_β 來表示. 到底 [T ]^γ_β 是怎樣的矩陣呢? 依定義它是一個 m× n matrix, 且對於 i = 1,...,n, [T]^γ_β 的 i-th column 應為 T_γ◦ T ◦ T_β⁻¹(ei). 由於 T_β(vi) = ei, 所以 T_β⁻¹(e_i) = v_i. 因此得

T_γ◦ T ◦ T_β⁻¹(ei) = T_γ(T (T_β⁻¹(ei))) = T_γ(T (vi)) = [T (vi)]_γ.

也就是說 [T ]^γ_β 的 i-th column 就是將 ordered basisβ = (v1, . . . , v_n) 的第 i 個元素 v_i 代入 T 中所得的 T (v_i)∈ W, 再利用γ 將其坐標化所得的 R^m 中的向量. 我們大致上有以下的表示 法

[T ]^γ_β=



   

[T (v₁)]_γ [T (v₂)]_γ ··· [T(vn)]_γ



.

Example 4.3.12. 考慮假設 V 為 finite dimensional vector space over F. 考慮 V 上的 identity map id : V → V, 亦即對任意 v ∈ V, 我們定義 id(v) = v. 很容易看出 id 是一個 linear transformation. 現對任意 V 的 ordered basisβ = (v1, . . . , vn),我們想知道 id : V→ V 對定義 域和對應域都用β 這個 ordered basis 所得的 matrix representation [id]^β_β 為何? 依照前面 的討論, 我們知道 [id]^β_β 的 1-st column 就是 id(v1) 利用β 坐標化所得的 Fⁿ 中的向量. 由於 id(v1) = v1, 而 v1 又是 β 中第一個向量, 故知 [id(v1)]_β = [v1]_β= e1, 也就是說 [id]^β_β 的 1-st column 就是 e₁. 同理 [id]^β_β 的 i-th column 就是 e_i. 也就是說 [id]^β_β 就是 n× n 的 identity matrix In.

Example 4.3.13. 考慮 P2(R) 上的 standard ordered basis ε2 = (1, x, x²) 以及 P₃(R) 上 的 standard ordered basis ε3= (1, x, x², x³). 考慮函數 T : P₂(R) → P3(R) 定義為, 對任意

p(x)∈ P2(R), T(p(x)) = (x + 1)p(x − 1). 我們先驗證 T 為 linear transformation. 對任意 p(x), q(x)∈ P2(R) 以及 r ∈ R, 我們有

T (p(x) + rq(x)) =

(x + 1)(p(x− 1) + rq(x − 1)) = (x + 1)p(x − 1) + r(x + 1)q(x − 1) = T(p(x)) + rT(q(x)).

得證 T 為 linear transformation. 接下來我們要求 T 對於 ε2,ε3 的 matrix representation [T ]^ε_ε³₂. 依照前面的探討, 我們知 [T ]^ε_ε³₂ 的 1-st column 應該就是將 1 代入 T , 得 T (1) = (x+1)·1 再利用 ε3 將 x + 1 坐標化寫成R⁴ 的向量. 由於 x + 1 = 1 + x + 0x²+ 0x³, 所以得 [T ]^ε_ε³₂ 的 1-st column 為

[T (1)]_ε3 = [x + 1]_ε3 =





 1 1 0 0





.

同理我們有 [T ]^ε_ε³₂ 的 2-nd, 3-rd column 分別為

[T (x)]_ε3 = [(x + 1)(x− 1)]ε3 = [x²− 1] =







−1 0 1 0





,

[T (x²)]_ε3= [(x + 1)(x− 1)²]_ε3 = [x³− x²− x + 1]ε3 =





 1

−1

−1 1





.

因此得

[T ]^ε_ε³₂ =







1 −1 1 1 0 −1 0 1 −1

0 0 1





.

我 們 更 換 P₂(R) 以及 P3(R) 的 ordered basis. 回顧在 Example 2.6.12 中利用 La- grange interpolation polynomial 在 −1,0,1 的情形, 我們可以考慮 P2(R) 的一組 basis p₁(x), p₂(x), p₃(x), 其中

p1(−1) = 1 p1(0) = 0 p1(1) = 0 p2(−1) = 0 p2(0) = 1 p2(1) = 0 p3(−1) = 0 p3(0) = 0 p3(1) = 1

令 β = (p1(x), p₂(x), p₃(x)) 為 P₂(R) 的 ordered basis. 同樣的利用 Lagrange interpolation polynomial 在−1,0,1,2 的情形我們考慮 P3(R) 的一組 basis q1(x), q₂(x), q₃(x), q₄(x), 其中

q₁(−1) = 1 q1(0) = 0 q₁(1) = 0 q₁(2) = 0 q₂(−1) = 0 q2(0) = 1 q₂(1) = 0 q₂(2) = 0 q₃(−1) = 0 q3(0) = 0 q₃(1) = 1 q₃(2) = 0 q4(−1) = 0 q4(0) = 0 q4(1) = 0 q4(2) = 1.

令γ = (q1(x), q₂(x), q₃(x), q₄(x)) 為 P₃(R) 的 ordered basis. 我們要得到 T 對於β,γ 的 matrix representation [T ]^γ_β. 首先 [T ]^γ_β 的 1-st column 為 T (p1(x)) = (x + 1)p₁(x− 1) 利用γ 坐標化

所得 R⁴ 的向量. 現若 (x + 1)p₁(x− 1) = c1q₁(x) + c₂q₂(x) + c₃q₃(x) + c₄q₄(x). 將 x 分別代

−1,0,1,2, 我們得到

c1= (−1 + 1)p1(−2) = 0,c2= (0 + 1)p1(−1) = 1,c3= (1 + 1)p1(0) = 0, c4= (2 + 1)p1(1) = 0.

也就是說 [T ]^γ_β 的 1-st column 為

[T (p₁(x))]_γ = [(x + 1)p₁(x− 1)]γ=





 0 1 0 0





.

同樣的方法我們可以得到 [T ]^γ_β 的 2-nd, 3-rd column 分別為

[T (p₂(x))]_γ = [(x + 1)p₂(x− 1)]γ =





 0 0 2 0





, [T(p³(x))]_γ = [(x + 1)p₃(x− 1)]γ=





 0 0 0 3





.

因此得

[T ]^γ_β=







0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3





.

由 Example 4.3.13 我們知道同樣的 linear transformation 用不同的 ordered basis 會有 不同的 matrix representation. 也因此要注意當要寫下 matrix representation 時一定要表明 定義域和對應域的 ordered basis 為何.

到底 matrix representation 有何用處呢? 就如同在 Fⁿ 上的 standard matrix represen- tation, 利用 matrix representation 可以很快的幫我們求出 linear transformation 在定義域 的每個元素的取值. 通常我們會利用圖示來幫助我們了解較複雜的函數合成問題. 給定 V,W 的 ordered basisβ,γ, 以及一個 V 到 W 的 linear transformation T, 我們可以圖示如下:

V T ^- W

Fⁿ - F^m

?6 6?

T_β T_β⁻¹ T_γ⁻¹ T_γ

這樣的圖示一般稱為 commutative diagram. 它表示底下 Fⁿ 到 F^m 的函數為 T_γ◦ T ◦ T_β⁻¹, 亦即先利用 T_β⁻¹ 將 Fⁿ 映射到 V , 再利用 T 將 V 映射到 W , 最後利用 T_γ 將 W 映射到 F^m. Commutative diagram 的好處是幫助我們看出這些函數合成後如何取值. 事實上 commutative diagram 指的就是圖形上任一點到另一點若有不同的可行路徑, 經由這兩種 路徑所得的結果會相同. 例如在上圖中, 從 V 到 W 有兩個路徑: 一個是直接利用 T ; 另一 個是從 V 先經由 T_β 到 Fⁿ, 接著藉由 T_γ◦ T ◦ T_β⁻¹ 從 Fⁿ 到 F^m, 最後從 F^m 藉由 T_β⁻¹ 到達 W . 也就是說對任意 v∈ V, 我們可以由 T 得到 T(v). 也可先由 T_β 得到 T_β(v), 接著利用 T_γ◦ T ◦ T_β⁻¹ 將 T_β(v) 送至 T_γ◦ T ◦ T_β⁻¹(T_β(v)) = T_γ(T (v)), 最後再利用 T_γ⁻¹ 將 T_γ(T (v)) 送至 T_γ⁻¹(T_γ(T (v))) = T (v).

利用 V→ Fⁿ 接Fⁿ→ F^m再接F^m→ W 這樣的路徑來表示原本 T 從 V 到 W 這樣的路徑 到底有何好處呢? 主要的原因是Fⁿ→ F^m這一段的路徑, 有 standard matrix representation, 即 [T ]^γ_β. 也就是說對於任意Fⁿ 的向量, 我們只要左邊乘上 [T ]^γ_β 就可以知道會被映射到哪一 個 F^m 的向量. 所以對任意 v∈ V, 我們可以先利用 β 將 v 坐標化得 Tβ(v) = [v]_β. 接著由 於 [v]_β ∈ Fⁿ, 故將之代入 T_γ◦ T ◦ T_β⁻¹ 就是將 [v]_β 左邊乘上 [T ]^γ_β 這一個 matrix. 也就是說 T_γ◦ T ◦ T_β⁻¹([v]_β)就是 [T ]^γ_β[v]_β. 最後再利用 W 的 ordered basisγ 將 [T]^γ_β[v]_β 這個F^m 中的 向量還原回 W 的元素 T_γ⁻¹([T ]^γ_β[v]_β), 就是 T (v) 之值. 因此我們有以下之結果.

Proposition 4.3.14. 假設 V,W 為 vector space overF 且 β = (v1, . . . , v_n), γ = (w1, . . . , w_m) 分別為 V,W 的 ordered basis. 設 T : V → W 為 linear transformation 且 [T]^γ_β ∈ Mm×n(F) 為 T 相對於 β,γ 的 matrix representation. 對於任意 v ∈ V, 若 v = c1v₁+··· + cnv_n 且

[T ]^γ_β



 c1

... cn



 =



 d1

... dm



,

則 T (v) = d₁w₁+··· + dmw_m.亦即

[T ]^γ_β[v]_β = [T (v)]_γ.

Proof. 因 v = c₁v₁+··· + cnv_n, 依定義 v 利用 β 坐標化所得 Fⁿ 的向量 T_β(v) 為



 c1

... c_n



. 故

由前面所述 T_γ◦ T ◦ T_β⁻¹(T_β(v)) = T_γ(T (v)) 就是將



 c₁

... cn



 左邊乘上 [T]^γ_β 所得的 F^m 中向量



 d1

... dm



. 故由 Tγ(T (v)) =



 d1

... dm



 可得 T(v) = d1w₁+··· + dmw_m. 

Example 4.3.15. 我們考慮 Example 4.3.13 的例子, 即考慮 T : P2(R) → P3(R), 其中對 於任意 p(x)∈ P2(R), T(p(x)) = (x + 1)p(x − 1). 考慮 p(x) = x²− 1 的情形. 因 p(x − 1) = (x− 1)²− 1, 依 T 的定義得

T (p(x)) = (x + 1)p(x− 1) = (x + 1)((x − 1)²− 1) = x³− x²− 2x.

當考慮 P₂(R) 的 ordered basis ε2= (1, x, x²) 以及 P₃(R) 的 ordered basis ε3= (1, x, x², x³),

我們知道 T 對於ε2,ε3 的 matrix representation 為 [T ]^ε_ε³₂ =







1 −1 1 1 0 −1 0 1 −1 0 0 1





 故由 [p(x)]^ε2 =

[x²− 1]_ε2=



−1 0 1



 得

[T (p(x))]_ε3 =







1 −1 1 1 0 −1 0 1 −1 0 0 1









−1 0 1



 =





 0

−2−1 1





,

即 T (p(x)) = x³− x²− 2x.

當然我們也可以利用 Example 4.3.13 中 V 的 ordered basisβ = (p1(x), p₂(x), p₃(x)) 以 及 W 的 ordered basis γ = (q1(x), q2(x), q3(x), q4(x)) 求出 T (x²− 1). 此時若 p(x) = x²− 1 = c1p1(x) + c2p2(x) + c3p3(x), 則代 x =−1,0,1 得 c1= 0, c2=−1, c3= 0, 亦即 [p(x)]_β=



 0

−1 0



.

故將 [p(x)]_β 左邊乘上 T 對於β,γ 的 representation matrix [T]^γ_β 得

[T (p(x))]_γ =







0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3









 0

−1 0



 =





 0 0

−2 0





.

得知 T (p(x)) =−2q3(x). 由於 q₃(−1) = q3(0) = q₃(2) = 0 以及 q₃(1) = 1, 我們有 q₃(x) = (x + 1)x(x− 2)/(−2), 故得 T(p(x)) = (x + 1)x(x − 2) = x³− x²− 2x.

———————————– 13 December, 2018